13.1 পরিচিতি: স্থূল আকৃতি ও ত্রিমাত্রিক আকৃতি

এই অধ্যায়ে আপনি যে আকৃতিগুলো দেখেছেন তাদের বর্গমাত্রা (dimension) নামক বিষয়ে বিশ্লেষণ করবেন।

আমাদের দৈনন্দিন জীবনে আমরা বই, বল, আইসক্রিমের কণা ইত্যাদি মতো বিভিন্ন আকৃতির বস্তু আস্তে আস্তে দেখি। এই সব বস্তুর মধ্যে একটি জিনিস সাধারণ হলো যে সবগুলোই কোনো দৈর্ঘ্য, প্রস্থ এবং উচ্চতা বা গভীরতার অধিকারী।

অর্থাৎ, সবগুলোই জায়গা দখল করে এবং ত্রিমাত্রিক আকৃতি বলে তাদের আবদ্ধ করা হয়।

আপনি কি আগের শ্রেণিতে দেখেছেন কোনো ত্রিমাত্রিক আকৃতি (অর্থাৎ স্থূল আকৃতি)?

চেষ্টা করুন

এই প্রতিটি আকৃতির মতো কোনো বস্তু সনাক্ত করার চেষ্টা করুন।

একই ধরনের যুক্তির সাথে, আমরা বলতে পারি যে কাগজে আঁকা আকৃতিগুলো যেগুলোতে শুধুমাত্র দৈর্ঘ্য এবং প্রস্থ থাকে তাদের দ্বিমাত্রিক (অর্থাৎ স্থবির) আকৃতি বলে ডাকা হয়। আগের শ্রেণিতে আমরা কিছু দ্বিমাত্রিক আকৃতি দেখেছি।

দ্বিমাত্রিক আকৃতিগুলোকে নামের সাথে ম্যাচ করুন (আকৃতি 13.2):

দ্রষ্টব্য: আমরা দ্বিমাত্রিক বলে 2-ডি বলে লিখতে পারি এবং ত্রিমাত্রিক বলে 3-ডি বলে লিখতে পারি।

13.2 ফেইসসমূহ, এডজসমূহ এবং ভার্টেক্সসমূহ

আপনি কি স্থূল আকৃতির ফেইস, ভার্টেক্স এবং এডজ নিয়ে আগে পড়েছিলেন? এখানে আপনি একটি কিউবের জন্য তাদের দেখতে পারবেন:

কিউবের 8টি কোণ তার ভার্টেক্স হিসাবে পরিচিত। কিউবের কাঠামোর জন্য গঠিত 12টি রেখাংশ তার এডজ। কিউবের চামড়া হিসাবে পরিচিত 6টি সমতল বর্গাকৃতির পৃষ্ঠ তার ফেইস।

এটা করুন

নিম্নলিখিত টেবিলটি সম্পূর্ণ করুন:

আপনি কি দেখতে পাচ্ছেন যে দ্বিমাত্রিক আকৃতিগুলোকে ত্রিমাত্রিক আকৃতির ফেইস হিসাবে সনাক্ত করা যায়? উদাহরণস্বরূপ, একটি সিলিন্ডারে দুটি বৃত্ত আকৃতির ফেইস থাকে, এবং এই আকৃতির মতো একটি পাইরামিডে ত্রিকোণাকৃতির ফেইস থাকে।

এখন আমরা দেখব কীভাবে এই 3-ডি আকৃতিগুলোকে একটি 2-ডি পৃষ্ঠে, অর্থাৎ কাগজে দেখানো যায়।

এটি করার জন্য আমাদের ত্রিমাত্রিক বস্তুগুলো সাথে ঘনিষ্ঠ পরিচিতি লাভ করতে হবে। আসুন এই বস্তুগুলো গঠন করার চেষ্টা করি যা বলে গেলেন নেট।

13.3 3-ডি আকৃতি গঠনের জন্য নেট

একটি কার্ডবোর্ডের বক্স নিন। এর এডজ কাটে বক্সটি সমতল করা হয়ে যায়। এখন আপনার একটি নেট পাবেন। নেট হলো এমন একটি 2-ডি কাঠামোর রূপ (আকৃতি 13.4 (i)) যা ফুল্টে (আকৃতি 13.4 (ii)) একটি 3-ডি আকৃতি (আকৃতি 13.4 (iii)) হিসাবে ফলায়।

এখানে আপনি সঠিকভাবে এডজ আলাদা করে একটি নেট পেয়েছেন। এর বিপরীত প্রক্রিয়া সম্ভব কি?

এখানে একটি বক্সের জন্য একটি নেট প্যাটার্ন (আকৃতি 13.5) দেখানো হয়েছে। নেটটির একটি বড় সংস্করণ কপি করুন এবং সঠিকভাবে ফুল্টে এবং জোড়া দিয়ে জোড়া দিয়ে বক্স গঠন করার চেষ্টা করুন। (আপনি উপযুক্ত একক ব্যবহার করতে পারেন)। বক্স একটি স্থূল। এটি একটি কুবযোইডের আকৃতির একটি 3-ডি বস্তু।

একইভাবে, আপনি একটি সিলিন্ডারের জন্য একটি নেট পেতে পারেন যখন তার স্ল্যান্ট পৃষ্ঠের সাথে একটি স্লিট কাট করেন (আকৃতি 13.6)।

আপনার বিভিন্ন আকৃতির জন্য বিভিন্ন নেট থাকে। দেওয়া নেটগুলোর বড় সংস্করণ কপি করুন (আকৃতি 13.7) এবং নির্দিষ্ট 3-ডি আকৃতিগুলো গঠন করার চেষ্টা করুন। (আপনি পপ-ক্লিপ দিয়ে কার্ডবোর্ডের স্ট্রিপ দিয়ে কাঠামোর মডেল তৈরি করতে পারেন)।

আমরা গিজার (মিশর) গ্রেট পাইরামিডের মতো একটি পাইরামিড গঠন করার জন্য একটি নেট তৈরি করার চেষ্টা করতে পারি (আকৃতি 13.8)। সেই পাইরামিডে একটি বর্গাকৃতির ভিত্তি এবং চারপাশে ত্রিকোণাকৃতির পৃষ্ঠ থাকে।

দেওয়া নেট (আকৃতি 13.9) দিয়ে এটি গঠন করার চেষ্টা করুন।

চেষ্টা করুন

এখানে আপনি চারটি নেট পাচ্ছেন (আকৃতি 13.10)। তেট্রাহেড্রন গঠনের জন্য তাদের মধ্যে দুটি সঠিক নেট রয়েছে। আপনি কীভাবে তেট্রাহেড্রন গঠন করবেন তা নির্ধারণ করার চেষ্টা করুন।

ব্যাপার 13.1

1. কোন নেটগুলো কিউব গঠনের জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে (নেটগুলোর কপি কাট করে চেষ্টা করুন):

2. ডাইস হলো প্রতিটি পৃষ্ঠে ডট থাকা কিউব। একটি ডাইসের বিপরীত পৃষ্ঠার ডটগুলোর সংখ্যা সর্বদা সাত হয়।

এখানে ডাইস (কিউব) গঠনের জন্য দুটি নেট রয়েছে; প্রতিটি বর্গাকৃতিতে যুক্ত সংখ্যা সেই বর্গাকৃতিতে থাকা ডটগুলোর সংখ্যা নির্দেশ করে।

ফাঁকাগুলোতে উপযুক্ত সংখ্যা যোগ করুন, মনে রাখুন যে বিপরীত পৃষ্ঠার সংখ্যা 7 হতে হবে।

3. এটি কি একটি ডাইসের জন্য একটি নেট?

আপনার উত্তর ব্যাখ্যা করুন।

4. এখানে একটি কিউব গঠনের জন্য একটি অসম্পূর্ণ নেট রয়েছে। এটি কমপক্ষে দুইভাবে সম্পূর্ণ করুন। মনে রাখুন যে একটি কিউবে ছয়টি পৃষ্ঠ রয়েছে। এই নেটে কতগুলো পৃষ্ঠ রয়েছে? (দুটি আলাদা আকৃতি দিন। আপনি যদি ইচ্ছা করেন, তাহলে সহজে ব্যবহারের জন্য একটি স্কীলড শীট ব্যবহার করতে পারেন।)

5. নেটগুলোকে উপযুক্ত স্থূলের সাথে ম্যাচ করুন:

এই খেলা খেলুন

আপনি এবং আপনার বন্ধু পিছনে পিছনে বসুন। আপনার একজন একটি 3-ডি আকৃতি গঠনের জন্য একটি নেট পড়ে বলে, অপর জন তা কপি করে বা বর্ণনা করা 3-ডি বস্তু আঁকে বা গঠন করে।

13.4 স্থবির পৃষ্ঠে স্থূল আকৃতি আঁকা

আপনার আঁকার পৃষ্ঠ হলো কাগজ, যা সমতল। আপনি একটি স্থূল আকৃতি আঁকলে, তার ছবিগুলো কিছুটা বিচ্ছিন্ন করে তাদের ত্রিমাত্রিক দেখানোর চেষ্টা করা হয়। এটি একটি দৃশ্যমান ভুলবশত। আপনি এখানে আপনার সাহায্যের জন্য দুটি পদ্ধতি পাবেন।

13.4.1 অসমতল স্ক্র্যাচ

এখানে একটি কিউবের ছবি রয়েছে (আকৃতি 13.11)। এটি কিউব কীভাবে দেখা যায় তা স্পষ্টভাবে দেখায় যখন তা সামনে থেকে দেখা হয়। আপনি কিছু পৃষ্ঠ দেখতে পারবেন না। আঁকা ছবিতে, দৈর্ঘ্যগুলো কিউবে থাকা উচিত এমন নয়। তবুও আপনি এটিকে কিউব হিসাবে স্বীকার করতে পারেন। এই ধরনের একটি স্থূলের স্ক্র্যাচ বলে অসমতল স্ক্র্যাচ।

এই ধরনের স্ক্র্যাচগুলো কীভাবে আঁকা যায়? আসুন পদ্ধতি শিখার চেষ্টা করি।

আপনার একটি স্কীলড (রেখা বা ডট) কাগজ দরকার। প্রাথমিকভাবে এই শীটগুলোতে আঁকার অভ্যাস পরে এইগুলো সাধারণ শীটে (স্কীলড রেখা বা ডটের সাহায্য ছাড়া) সহজে আঁকা যাবে। আসুন একটি $3 \times 3 \times 3$ এর অসমতল স্ক্র্যাচ আঁকার চেষ্টা করি (প্রতিটি এডজ 3 একক) (আকৃতি 13.12)।

উপরের অসমতল স্ক্র্যাচে, নিম্নলিখিত বিষয়গুলো নোট করেছেন?

(i) সামনের পৃষ্ঠ এবং তার বিপরীতের আকার একই; এবং

(ii) কিউবে সব এডজ সমান হয়, তার আঁকা ছবিতেও এটি দেখা যায়, তবে এডজের প্রকৃত মাপ তাদের মতো নয়।

এখন আপনি একটি কুবযোইডের অসমতল স্ক্র্যাচ আঁকার চেষ্টা করতে পারেন (মনে রাখুন এই ক্ষেত্রে পৃষ্ঠগুলো আয়তাকৃতি)।

দ্রষ্টব্য: আপনি আঁকতে পারেন যেখানে মাপগুলো দেওয়া স্থূলের মাপের সাথে মেলে। এটি করতে আপনার এমন একটি শীট দরকার যা বলে গেলেন আইসোমেট্রিক শীট। আসুন দেওয়া আইসোমেট্রিক শীটে একটি কুবযোইড আঁকার চেষ্টা করি যার মাপ $4 ~cm$ দৈর্ঘ্য, $3 ~cm$ প্রস্থ এবং $3 ~cm$ উচ্চতা।

13.4.2 আইসোমেট্রিক স্ক্র্যাচ

আপনি কি আইসোমেট্রিক ডট শীট দেখেছেন? (বইয়ের শেষে একটি নমুনা দেওয়া হয়েছে)। এই ধরনের শীট কাগজকে ছোট সমবাহু ত্রিকোণার ডট বা রেখার দ্বারা বিভক্ত করে। স্থূলের মাপের সাথে মেলে মাপ ধারণ করা স্ক্র্যাচ আঁকতে আপনি আইসোমেট্রিক ডট শীট ব্যবহার করতে পারেন। [বইয়ের পিছনের কভারের ভিতরে দেওয়া আছে (৩য় কভার পেজ)]।

আসুন একটি কুবযোইডের আইসোমেট্রিক স্ক্র্যাচ আঁকার চেষ্টা করি যার মাপ $4 \times 3 \times 3$ (অর্থাৎ দৈর্ঘ্য, প্রস্থ এবং উচ্চতার জন্য এডজ 4, 3, 3 একক হবে) (আকৃতি 13.13)।

মনে রাখুন যে আইসোমেট্রিক স্ক্র্যাচে মাপগুলো সঠিক আকারের;

উদাহরণ 1 এখানে একটি কুবযোইডের একটি অসমতল স্ক্র্যাচ রয়েছে [আকৃতি 13.14(i)]। এই আঁকার সাথে মেলে একটি আইসোমেট্রিক স্ক্র্যাচ আঁকুন।

সমাধান

এখানে সমাধান রয়েছে [আকৃতি 13.14(ii)]। মাপগুলো কীভাবে ধরা হয়েছে তা নোট করুন।

আপনি কতগুলো একক ‘দৈর্ঘ্য’ এর দিকে নেওয়া হয়েছে? (ii) ‘প্রস্থ’? (iii) ‘উচ্চতা’? এগুলো অসমতল স্ক্র্যাচে উল্লিখিত এককের সাথে মেলে কি না?

ব্যাপার 13.2

1. আইসোমেট্রিক ডট কাগজ ব্যবহার করে দেওয়া প্রতিটি আকৃতির জন্য একটি আইসোমেট্রিক স্ক্র্যাচ আঁকুন:

2. একটি কুবযোইডের মাপগুলো $5 ~cm, 3 ~cm$ এবং $2 ~cm$। এই কুবযোইডের তিনটি আলাদা আইসোমেট্রিক স্ক্র্যাচ আঁকুন।

3. প্রতিটি কিউবের এডজ $2 ~cm$ তিনটি পাশাপাশি রাখা হয়েছে একটি কুবযোইড গঠন করার জন্য। এই কুবযোইডের একটি অসমতল বা আইসোমেট্রিক স্ক্র্যাচ আঁকুন।

4. দেওয়া আইসোমেট্রিক আকৃতিগুলোর জন্য প্রতিটির জন্য একটি অসমতল স্ক্র্যাচ আঁকুন:

5. নিম্নলিখিত প্রতিটি জন্য (i) একটি অসমতল স্ক্র্যাচ এবং (ii) একটি আইসোমেট্রিক স্ক্র্যাচ দিন:

(a) একটি কুবযোইডের মাপ $5 ~cm, 3 ~cm$ এবং $2 ~cm$। (আপনার স্ক্র্যাচ এককালীন কি না?)

(b) একটি কিউবের এডজ $4 ~cm$ লম্বা।

বইয়ের শেষে একটি আইসোমেট্রিক শীট সংযুক্ত আছে। আপনি তাতে আপনার বন্ধু দ্বারা নির্দিষ্ট মাপের কিউব বা কুবযোইড আঁকার চেষ্টা করতে পারেন।

13.4.3 স্থূল বস্তুগুলো দেখার দৃষ্টিভঙ্গি

এটা করুন

কখনো কখনো আপনি যখন সমন্বিত আকৃতিগুলো দেখেন, তখন তাদের কিছু আপনার দৃষ্টির ধারাবাহিকতা থেকে লুকিয়ে থাকতে পারে।

এখানে আপনার সময় নষ্ট না করে আপনাকে কিছু স্থূল বস্তু দেখার এবং কীভাবে দেখা যায় তা বোঝার জন্য কিছু কার্যক্রম রয়েছে। কিছু কিউব নিন এবং আকৃতি 13.16 অনুযায়ী গঠন করুন।

এরপর আপনার বন্ধুকে বলুন যে তিনি তার দৃষ্টির ধারাবাহিকতা দ্বারা যে দৃশ্য দেখছেন তাতে কতগুলো কিউব রয়েছে তা অনুমান করবেন।

চেষ্টা করুন

নিম্নলিখিত গঠনগুলোতে (আকৃতি 13.17) কতগুলো কিউব রয়েছে তা অনুমান করার চেষ্টা করুন।

এই দৃষ্টিভঙ্গি খুবই সহায়ক। যদি আপনি এই কিউবগুলো জোড়া দিয়ে একটি কুবযোইড গঠন করেন, তাহলে আপনি কুবযোইডের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ এবং উচ্চতা কত হবে তা অনুমান করতে পারবেন।

উদাহরণ 2 যদি দুটি কিউবের মাপ $2 ~cm$ দশকিলোকে $2 ~cm$ দশকিলোকে $2 ~cm$ দশকিলোকে পাশাপাশি রাখা হয়, তাহলে ফলাফলস্বরূপ কুবযোইডের মাপ কী হবে?

সমাধান

আপনি দেখতে পাচ্ছেন (আকৃতি 13.18) যখন তা পাশাপাশি রাখা হয়, দৈর্ঘ্য একমাত্র পরিমাপ বাড়ে, এটি হয়ে যায় $2+2=4 ~cm$।

প্রস্থ $=2 ~cm$ এবং উচ্চতা $=2 ~cm$।

চেষ্টা করুন

আকৃতি 13.19

1. দুটি ডাইস আকৃতি 13.19 অনুযায়ী পাশাপাশি রাখা হয়েছে: আপনি কি বলতে পারেন যে পিছনের পৃষ্ঠের মোট সংখ্যা কত হবে

(a) $5+6$

(b) $4+3$

(মনে রাখুন যে একটি ডাইসে বিপরীত পৃষ্ঠার সংখ্যা 7 হয়)

2. প্রতিটি কিউবের $2 ~cm$ এডজ তিনটি পাশাপাশি রাখা হয়েছে একটি কুবযোইড গঠন করার জন্য। একটি অসমতল স্ক্র্যাচ আঁকার চেষ্টা করুন এবং তার দৈর্ঘ্য, প্রস্থ এবং উচ্চতা কত হতে পারে তা বলুন।

13.5 একটি স্থূল বস্তুর বিভিন্ন অংশ দেখা

এখন আমরা দেখব কীভাবে একটি ত্রিমাত্রিক বস্তু বিভিন্ন উপায়ে দেখা যায়।

13.5.1 একটি বস্তু দেখার একটি উপায় হলো কাটা বা স্লাইস করা: স্লাইসিং গেম

এখানে একটি ব্রেডের লুফ (আকৃতি 13.20) রয়েছে। এটি একটি বর্গাকৃতির পৃষ্ঠ থাকা কুবযোইডের মতো। আপনি এটিকে একটি বর্ধিত কাট দিয়ে ‘স্লাইস’ করেন।

আকৃতি 13.20

আপনি যখন একটি ‘উল্লম্ব’ কাট দেন, আপনি আকৃতি 13.20 অনুযায়ী বহুত্র টুকরা পাবেন। প্রতিটি টুকরার পৃষ্ঠ একটি বর্গ! আমরা এই পৃষ্ঠটি সম্পূর্ণ ব্রেডের একটি ‘ক্রস-সেকশন’ বলে ডাকি। এই ক্ষেত্রে ক্রস-সেকশন প্রায়শই একটি বর্গ।

সতর্ক! আপনার কাট যদি ‘উল্লম্ব’ না হয় তাহলে আপনি একটি ভিন্ন ক্রস-সেকশন পাবেন! এটি সম্পর্কে চিন্তা করুন। আপনি যে ক্রস-সেকশন পাবেন তার সীমানা একটি স্থানীয় বক্ররেখা। আপনি এটি দেখতে পাচ্ছেন কি না?

একটি রান্নাঘরের খেলা

আপনি কি রান্নাঘরে কিছু শাকসবজি কাটার সময় তাদের ক্রস-সেকশন দেখেছেন? বিভিন্ন স্লাইসগুলো পর্যবেক্ষণ করুন এবং ফলাফলস্বরূপ আকৃতিগুলো সম্পর্কে সচেতন হয়ে উঠুন।

এই খেলা খেলুন

নিম্নলিখিত স্থূলগুলোর জন্য মৃত্তিকা (বা প্লাস্টিন) মডেল তৈরি করুন এবং উল্লম্ব বা সমতল কাট দিন।

আপনি যে ক্রস-সেকশনগুলো পাবেন তাদের দ্রব্য আঁকার জন্য সংক্ষিপ্ত আঁকা করুন। যেখানে সম্ভব তাদের নাম দিন।

আকৃতি 13.21

ব্যাপার 13.3

1. আপনি যখন নিম্নলিখিত স্থূলগুলোতে

(i) একটি উল্লম্ব কাট $\qquad$ (ii) একটি সমতল কাট

দেন, আপনি কী ক্রস-সেকশন পাবেন?

(a) একটি তৈলি ব্রিক $\qquad$ (b) একটি গোলাপী আপেল $\qquad$ (c) একটি ডাইস

(d) একটি বৃত্তাকৃতির পাইপ $\qquad$ (e) একটি আইসক্রিমের কণা

13.5.2 অন্য একটি উপায় হলো ছায়া খেলা

একটি ছায়া খেলা

ছায়া এমন একটি ভালো উপায় যাতে ত্রিমাত্রিক বস্তুগুলো দ্বিমাত্রিক দিকে দেখা যায়। আপনি কি একটি ছায়া খেলা দেখেছেন? এটি একটি প্রক্রিয়া যেখানে একটি প্রকাশ্য আলোর পিছনে স্থূল গঠিত আকৃতি ব্যবহার করে চলচ্চিত্রের মতো ছবি তৈরি করা হয়। এটি গণিতের কিছু প্রকার অপ্রত্যক্ষভাবে ব্যবহার করে।

এই কার্যক্রমের জন্য আপনার একটি আলোর উৎস এবং কিছু স্থূল আকৃতি দরকার। (আপনার হয়দ্রয় প্রজেক্টর থাকলে, স্থূলটিকে ল্যাম্পের নিচে রাখুন এবং এই পরীক্ষাগুলো করুন।)

একটি টোর্চল সঠিকভাবে একটি কণার সামনে রাখুন। এটি স্ক্রিনে কী ধরনের ছায়া ছাড়ে?

আকৃতি 13.23

স্থূল ত্রিমাত্রিক; ছায়ার মাত্রা কত?

যদি কণা বদলে একটি কিউব এই খেলায় রাখা হয়, তাহলে আপনি কী ধরনের ছায়া পাবেন?

আলোর উৎসের বিভিন্ন অবস্থান এবং স্থূল বস্তুর বিভিন্ন অবস্থান দিয়ে পরীক্ষা করুন। আপনি যে আকৃতি এবং আকারের ছায়াগুলো পাবেন তার প্রভাব পর্যবেক্ষণ করুন।

এখানে আরেকটি মজার পরীক্ষা রয়েছে যা আপনি ইতোমধ্যে চেষ্টা করেছেন: দুপুরে সূর্য ঠিক তার উপরে থাকার সময় একটি বৃত্তাকৃতির প্লেট খোলায় দেখুন যেমন আকৃতি 13.24 (i) অনুযায়ী। আপনি কী ধরনের ছায়া পাবেন?

(i)

এটি একই হবে কি না

সূর্যের অবস্থান এবং পর্যবেক্ষণের সময় সম্পর্কে ছায়াগুলো পর্যবেক্ষণ করুন।

ব্যাপার 13.4

1. একটি বাল্ব নিম্নলিখিত স্থূলগুলোর ঠিক উপরে জ্বলিয়ে রা�