৩.১ ভূমিকা

নিচের মত পরিস্থিতির মুখোমুখি আপনি অবশ্যই হয়েছেন:

আখিলা তার গ্রামের একটি মেলায় গিয়েছিল। সে জায়ান্ট হুইলে চড়া এবং হুপলা খেলা (একটি খেলা যেখানে একটি স্টলে রাখা জিনিসের উপর আপনি একটি রিং ছুঁড়ে মারেন, এবং রিংটি যদি কোনো বস্তু সম্পূর্ণরূপে ঢেকে ফেলে, তবে আপনি সেটি পেয়ে যান) উপভোগ করতে চেয়েছিল। সে যতবার হুপলা খেলেছে তার সংখ্যা জায়ান্ট হুইলে চড়ার সংখ্যার অর্ধেক। যদি প্রতিটি রাইডের দাম ₹ 3 হয়, এবং একটি হুপলা খেলার দাম ₹ 4 হয়, তাহলে আপনি কীভাবে বের করবেন সে কতবার রাইড করেছে এবং কতবার হুপলা খেলেছে, যদি সে ₹ 20 খরচ করে থাকে।

সম্ভবত আপনি বিভিন্ন ক্ষেত্রে বিবেচনা করে এটি চেষ্টা করবেন। যদি সে একটি রাইড করে, তাহলে কি সম্ভব? দুটি রাইড করা কি সম্ভব? ইত্যাদি। অথবা আপনি নবম শ্রেণীর জ্ঞান ব্যবহার করে, এই ধরনের পরিস্থিতিকে দুটি চলরাশিতে রৈখিক সমীকরণ হিসাবে উপস্থাপন করতে পারেন।

আসুন এই পদ্ধতিটি চেষ্টা করি।

আখিলার রাইডের সংখ্যা বোঝাই $x$ দ্বারা, এবং সে যতবার হুপলা খেলেছে তার সংখ্যা বোঝাই $y$ দ্বারা। এখন পরিস্থিতিটি দুটি সমীকরণ দ্বারা উপস্থাপন করা যেতে পারে:

$$ \begin{align*} y & =\dfrac{1}{2} x \tag{1} \\ \end{align*} $$

$$ \begin{align*} 3 x+4 y & =20 \tag{2} \end{align*} $$

আমরা কি এই জোড়া সমীকরণের সমাধান খুঁজে পেতে পারি? এগুলি খুঁজে বের করার বিভিন্ন উপায় আছে, যা আমরা এই অধ্যায়ে অধ্যয়ন করব।

\missing

৩.২ একটি জোড়া রৈখিক সমীকরণের সমাধানের গ্রাফিকাল পদ্ধতি

একটি জোড়া রৈখিক সমীকরণ যার কোনো সমাধান নেই, তাকে বলা হয় অসংগত জোড়া রৈখিক সমীকরণ। দুটি চলরাশিতে একটি জোড়া রৈখিক সমীকরণ, যার একটি সমাধান আছে, তাকে বলা হয় সংগত জোড়া রৈখিক সমীকরণ। একটি জোড়া রৈখিক সমীকরণ যা সমতুল্য, তাদের অসীমভাবে অনেক স্বতন্ত্র সাধারণ সমাধান থাকে। এই ধরনের জোড়াকে বলা হয় দুটি চলরাশিতে নির্ভরশীল জোড়া রৈখিক সমীকরণ। লক্ষ্য করুন যে একটি নির্ভরশীল জোড়া রৈখিক সমীকরণ সর্বদা সংগত হয়।

আমরা এখন দুটি চলরাশিতে একটি জোড়া রৈখিক সমীকরণের প্রতিনিধিত্বকারী রেখাগুলির আচরণ এবং সমাধানের অস্তিত্ব নিম্নরূপে সংক্ষিপ্ত করতে পারি:

(i) রেখাগুলি একটি একক বিন্দুতে ছেদ করতে পারে। এই ক্ষেত্রে, সমীকরণ জোড়ার একটি অনন্য সমাধান থাকে (সংগত জোড়া সমীকরণ)।

(ii) রেখাগুলি সমান্তরাল হতে পারে। এই ক্ষেত্রে, সমীকরণগুলির কোনো সমাধান নেই (অসংগত জোড়া সমীকরণ)।

(iii) রেখাগুলি সমাপতিত হতে পারে। এই ক্ষেত্রে, সমীকরণগুলির অসীমভাবে অনেক সমাধান থাকে [নির্ভরশীল (সংগত) জোড়া সমীকরণ]।

নিচের তিন জোড়া সমীকরণ বিবেচনা করুন।

(i) $x-2 y=0$ এবং $3 x+4 y-20=0 \quad$ (রেখাগুলি ছেদ করে)

(ii) $2 x+3 y-9=0$ এবং $4 x+6 y-18=0 \quad$ (রেখাগুলি সমাপতিত হয়)

(iii) $x+2 y-4=0$ এবং $2 x+4 y-12=0 \quad$ (রেখাগুলি সমান্তরাল)

আসুন এখন তিনটি উদাহরণেই $\dfrac{a_1}{a_2}, \dfrac{b_1}{b_2}$ এবং $\dfrac{c_1}{c_2}$ এর মানগুলি লিখি এবং তুলনা করি। এখানে, $a_1, b_1, c_1$ এবং $a_2, b_2, c_2$ ধারা ৩.২-এ সাধারণ আকারে প্রদত্ত সমীকরণগুলির সহগ নির্দেশ করে।

সারণি ৩.১

উপরের সারণি থেকে, আপনি লক্ষ্য করতে পারেন যে যদি সমীকরণ দ্বারা প্রতিনিধিত্বকৃত রেখা

$ a_1 x+b_1 y+c_1=0 $

$ \text{এবং}\qquad a_2 x+b_2 y+c_2=0 $

(i) ছেদ করে, তাহলে $\dfrac{a_1}{a_2} \neq \dfrac{b_1}{b_2}$।

(ii) সমাপতিত হয়, তাহলে $\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}=\dfrac{c_1}{c_2}$।

(iii) সমান্তরাল হয়, তাহলে $\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2} \neq \dfrac{c_1}{c_2}$।

আসলে, যেকোনো জোড়া রেখার জন্য বিপরীতটিও সত্য। আপনি নিজে আরও কিছু উদাহরণ বিবেচনা করে এটি যাচাই করতে পারেন।

আসুন এখন এটি ব্যাখ্যা করার জন্য আরও কিছু উদাহরণ বিবেচনা করি।

উদাহরণ ১ : গ্রাফিকভাবে পরীক্ষা করুন যে জোড়া সমীকরণ

$$ \begin{align*} x+3 y=6 \tag{1} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} \text{and}\qquad 2 x-3 y=12 \tag{2} \end{align*} $$

সংগত কিনা। যদি হয়, তবে গ্রাফিকভাবে তাদের সমাধান করুন।

সমাধান : আসুন সমীকরণ (1) এবং (2) এর গ্রাফ আঁকি। এর জন্য, আমরা প্রতিটি সমীকরণের দুটি সমাধান খুঁজে পাই, যা সারণি ৩.২-এ দেওয়া আছে।

সারণি ৩.২

$A(0,2), B(6,0)$, $P(0,-4)$ এবং $Q(3,-2)$ বিন্দুগুলি গ্রাফ পেপারে বসান, এবং বিন্দুগুলি যোগ করে $A B$ এবং $P Q$ রেখা গঠন করুন যেমন চিত্র ৩.১-এ দেখানো হয়েছে।

আমরা লক্ষ্য করি যে একটি বিন্দু B $(6,0)$ উভয় রেখা $AB$ এবং $PQ$ এর সাধারণ। সুতরাং, রৈখিক সমীকরণ জোড়ার সমাধান হল $x=6$ এবং $y=0$, অর্থাৎ, প্রদত্ত সমীকরণ জোড়া সংগত।

চিত্র ৩.১

উদাহরণ ২ : গ্রাফিকভাবে, নির্ণয় করুন নিম্নলিখিত জোড়া সমীকরণের কোনো সমাধান নেই, অনন্য সমাধান আছে নাকি অসীমভাবে অনেক সমাধান আছে:

$$ \begin{matrix} 5 x-8 y+1=0 \tag{1} \end{matrix} $$

$$ \begin{matrix} 3 x-\dfrac{24}{5} y+\dfrac{3}{5}=0 \tag{2} \end{matrix} $$

সমাধান : সমীকরণ (2) কে $\dfrac{5}{3}$ দ্বারা গুণ করলে, আমরা পাই

$$ 5 x-8 y+1=0 $$

কিন্তু, এটি সমীকরণ (1) এর মতোই। সুতরাং সমীকরণ (1) এবং (2) দ্বারা প্রতিনিধিত্বকৃত রেখাগুলি সমাপতিত। অতএব, সমীকরণ (1) এবং (2) এর অসীমভাবে অনেক সমাধান আছে।

গ্রাফে কয়েকটি বিন্দু বসান এবং নিজে যাচাই করুন।

উদাহরণ ৩ : চম্পা কিছু প্যান্ট এবং স্কার্ট কেনার জন্য একটি ‘সেল’-এ গিয়েছিল। যখন তার বন্ধুরা তাকে জিজ্ঞাসা করল সে প্রতিটি থেকে কতটি কিনেছে, সে উত্তর দিল, “স্কার্টের সংখ্যা কেনা প্যান্টের সংখ্যার দ্বিগুণের থেকে দুই কম। আবার, স্কার্টের সংখ্যা কেনা প্যান্টের সংখ্যার চার গুণের থেকে চার কম”। চম্পার বন্ধুদের খুঁজে বের করতে সাহায্য করুন সে কতগুলি প্যান্ট এবং স্কার্ট কিনেছে।

সমাধান : আসুন প্যান্টের সংখ্যা বোঝাই $x$ দ্বারা এবং স্কার্টের সংখ্যা বোঝাই $y$ দ্বারা। তাহলে গঠিত সমীকরণগুলি হল:

$$ \begin{align*} & y=2 x-2 \tag{1} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} \text{ and} \quad \quad & y=4 x-4 \tag{2} \end{align*} $$

আসুন প্রতিটি সমীকরণের দুটি সমাধান খুঁজে সমীকরণ (1) এবং (2) এর গ্রাফ আঁকি। সেগুলি সারণি ৩.৩-এ দেওয়া আছে।

সারণি ৩.৩

চিত্র ৩.২

বিন্দুগুলি বসান এবং সমীকরণগুলি উপস্থাপন করার জন্য তাদের মধ্য দিয়ে যাওয়া রেখাগুলি আঁকুন, যেমন চিত্র ৩.২-এ দেখানো হয়েছে।

দুটি রেখা $(1,0)$ বিন্দুতে ছেদ করে। সুতরাং, $x=1, y=0$ হল রৈখিক সমীকরণ জোড়ার প্রয়োজনীয় সমাধান, অর্থাৎ, সে যে প্যান্ট কিনেছে তার সংখ্যা 1 এবং সে কোনো স্কার্ট কিননি।

প্রদত্ত সমস্যার শর্তগুলি পূরণ করে কিনা তা পরীক্ষা করে উত্তর যাচাই করুন।

৩.৩ একটি জোড়া রৈখিক সমীকরণ সমাধানের বীজগাণিতিক পদ্ধতি

পূর্ববর্তী ধারায়, আমরা আলোচনা করেছি কীভাবে একটি জোড়া রৈখিক সমীকরণ গ্রাফিকভাবে সমাধান করা যায়। গ্রাফিক পদ্ধতিটি সুবিধাজনক নয় যখন রৈখিক সমীকরণের সমাধান নির্দেশকারী বিন্দুর স্থানাঙ্ক অ-পূর্ণসংখ্যা হয় যেমন $(\sqrt{3}, 2 \sqrt{7})$, $(-1.75,3.3),(\dfrac{4}{13}, \dfrac{1}{19})$, ইত্যাদি। এই ধরনের স্থানাঙ্ক পড়ার সময় ভুল হওয়ার সম্পূর্ণ সম্ভাবনা থাকে। সমাধান খুঁজে বের করার কোনো বিকল্প পদ্ধতি আছে কি? বেশ কয়েকটি বীজগাণিতিক পদ্ধতি আছে, যা আমরা এখন আলোচনা করব।

৩.৩.১ প্রতিস্থাপন পদ্ধতি:

আমরা কিছু উদাহরণ নিয়ে প্রতিস্থাপন পদ্ধতি ব্যাখ্যা করব।

উদাহরণ ৪ : প্রতিস্থাপন পদ্ধতি দ্বারা নিম্নলিখিত জোড়া সমীকরণ সমাধান করুন:

$$ \begin{matrix} 7 x-15 y=2 \tag{1} \end{matrix} $$

$$ \begin{matrix} x+2 y=3 \tag{2} \end{matrix} $$

সমাধান :

ধাপ ১ : আমরা যেকোনো একটি সমীকরণ নিই এবং একটি চলরাশিকে অপর চলরাশির পরিপ্রেক্ষিতে লিখি। আসুন সমীকরণ (2) বিবেচনা করি:

$$ x+2 y=3 $$

$$ \text{and write it as}\quad x=3-2 y \tag{3} $$

ধাপ ২ : $x$ এর মান সমীকরণ (1) এ প্রতিস্থাপন করুন। আমরা পাই

$ \begin{aligned} & 7(3-2 y)-15 y & =2 \\ \text{ অর্থাৎ, } & 21-14 y-15 y & =2 \\ \text{ অর্থাৎ, } & -29 y & =-19 \\ & \text{ অতএব, } \quad y & =\dfrac{19}{29} \end{aligned} $

ধাপ ৩ : $y$ এর এই মান সমীকরণ (3) এ প্রতিস্থাপন করলে, আমরা পাই

$$ x=3-2(\dfrac{19}{29})=\dfrac{49}{29} $$

অতএব, সমাধান হল $x=\dfrac{49}{29}, y=\dfrac{19}{29}$।

যাচাইকরণ : $x=\dfrac{49}{29}$ এবং $y=\dfrac{19}{29}$ প্রতিস্থাপন করে, আপনি যাচাই করতে পারেন যে উভয় সমীকরণ (1) এবং (2) সন্তুষ্ট হয়।

প্রতিস্থাপন পদ্ধতি আরও স্পষ্টভাবে বোঝার জন্য, আসুন ধাপে ধাপে এটি বিবেচনা করি:

ধাপ ১ : একটি চলরাশির মান নির্ণয় করুন, ধরি $y$ কে অপর চলরাশির পরিপ্রেক্ষিতে, অর্থাৎ, $x$ যেকোনো সমীকরণ থেকে, যেটি সুবিধাজনক।

ধাপ ২ : $y$ এর এই মান অপর সমীকরণে প্রতিস্থাপন করুন, এবং এটিকে একটি চলরাশির সমীকরণে হ্রাস করুন, অর্থাৎ, $x$ এর পরিপ্রেক্ষিতে, যা সমাধান করা যায়। কখনও কখনও, যেমন নীচের উদাহরণ ৯ এবং ১০-এ, আপনি কোনো চলরাশি ছাড়া বিবৃতি পেতে পারেন। যদি এই বিবৃতিটি সত্য হয়, আপনি সিদ্ধান্ত নিতে পারেন যে রৈখিক সমীকরণ জোড়ার অসীমভাবে অনেক সমাধান আছে। যদি বিবৃতিটি মিথ্যা হয়, তবে রৈখিক সমীকরণ জোড়াটি অসংগত।

ধাপ ৩ : ধাপ ২-এ প্রাপ্ত $x$ (বা $y$) এর মান ধাপ ১-এ ব্যবহৃত সমীকরণে প্রতিস্থাপন করে অপর চলরাশির মান নির্ণয় করুন।

মন্তব্য : আমরা একটি চলরাশির মানকে অপর চলরাশির পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করে প্রতিস্থাপন করেছি যাতে রৈখিক সমীকরণ জোড়াটি সমাধান করা যায়। সেইজন্য পদ্ধতিটি প্রতিস্থাপন পদ্ধতি নামে পরিচিত।

উদাহরণ ৫ : নিম্নলিখিত প্রশ্নটি সমাধান করুন-আফতাব তার মেয়েকে বলে, “সাত বছর আগে, আমি তখন তোমার বয়সের সাত গুণ ছিলাম। আর এখন থেকে তিন বছর পরে, আমি তোমার বয়সের তিন গুণ হব।” (এটি কি আকর্ষণীয় নয়?) এই পরিস্থিতিটিকে বীজগাণিতিক এবং গ্রাফিকভাবে প্রতিস্থাপন পদ্ধতি দ্বারা উপস্থাপন করুন।

সমাধান : ধরি $s$ এবং $t$ যথাক্রমে আফতাব এবং তার মেয়ের বয়স (বছরে)। তাহলে, পরিস্থিতিটি উপস্থাপনকারী রৈখিক সমীকরণ জোড়াটি হল

$$ s-7=7(t-7) \text{, i.e., } s-7 t+42=0 \tag{1} $$

$$ \text{and}\quad s+ 3= 3(t+3), \text{i.e., }s -3t = 6 \tag{2} $$

সমীকরণ (2) ব্যবহার করে, আমরা পাই $s=3 t+6$।

$s$ এর এই মান সমীকরণ (1) এ বসালে, আমরা পাই

$ (3 t+6)-7 t+42=0 $

$ \text{ অর্থাৎ, } \quad 4 t=48 \text{, যা দেয় } t=12 \text{. } $

$t$ এর এই মান সমীকরণ (2) এ বসালে, আমরা পাই

$ s=3(12)+6=42 $

সুতরাং, আফতাব এবং তার মেয়ের বয়স যথাক্রমে 42 এবং 12 বছর।

প্রদত্ত সমস্যার শর্তগুলি পূরণ করে কিনা তা পরীক্ষা করে এই উত্তর যাচাই করুন।

উদাহরণ ৬ : একটি দোকানে 2টি পেন্সিল এবং 3টি রবারের দাম ₹9 এবং 4টি পেন্সিল এবং 6টি রবারের দাম ₹18। প্রতিটি পেন্সিল এবং প্রতিটি রবারের দাম নির্ণয় করুন।

সমাধান : গঠিত রৈখিক সমীকরণ জোড়াটি ছিল:

$$ \begin{align*} & 2 x+3 y=9 \tag{1} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} & 4 x+6 y=18 \tag{2} \end{align*} $$

আমরা প্রথমে $x$ এর মান $y$ এর পরিপ্রেক্ষিতে সমীকরণ $2 x+3 y=9$ থেকে প্রকাশ করি, পাই

$$ x=\dfrac{9-3 y}{2} \tag{3} $$

এখন আমরা $x$ এর এই মান সমীকরণ (2) এ প্রতিস্থাপন করি, পাই

$$ \begin{aligned} & \dfrac{4(9-3 y)}{2}+6 y & =18 \\ \text{ i.e., } & 18-6 y+6 y & =18 \\ \text{ i.e., } & 18 & =18 \end{aligned} $$

এই বিবৃতিটি $y$ এর সকল মানের জন্য সত্য। যাইহোক, আমরা $y$ এর একটি নির্দিষ্ট মান সমাধান হিসাবে পাই না। অতএব, আমরা $x$ এর একটি নির্দিষ্ট মান পেতে পারি না। এই পরিস্থিতির উদ্ভব হয়েছে কারণ প্রদত্ত উভয় সমীকরণই একই। সুতরাং, সমীকরণ (1) এবং (2) এর অসীমভাবে অনেক সমাধান আছে। আমরা একটি পেন্সিল এবং একটি রবারের অনন্য দাম খুঁজে পেতে পারি না, কারণ প্রদত্ত পরিস্থিতির অনেক সাধারণ সমাধান আছে।

উদাহরণ ৭ : দুটি রেলকে $x+2 y-4=0$ এবং $2 x+4 y-12=0$ সমীকরণ দ্বারা উপস্থাপন করা হয়েছে। রেলগুলি কি একে অপরকে অতিক্রম করবে?

সমাধান : গঠিত রৈখিক সমীকরণ জোড়াটি ছিল:

$$ \begin{align*} x+2 y-4 & =0 \tag{1} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} 2 x+4 y-12 & =0 \tag{2} \end{align*} $$

আমরা $x$ কে $y$ এর পরিপ্রেক্ষিতে সমীকরণ (1) থেকে প্রকাশ করি, পাই

$$ x=4-2 y $$

এখন, আমরা $x$ এর এই মান সমীকরণ (2) এ প্রতিস্থাপন করি, পাই

$$ 2(4-2 y)+4 y-12=0 $$

$ \begin{aligned} \text{ অর্থাৎ, } & \quad \quad 8-12 & =0 \\ \text{ অর্থাৎ, } & \quad \quad \quad-4 & =0 \end{aligned} $

যা একটি মিথ্যা বিবৃতি।

অতএব, সমীকরণগুলির একটি সাধারণ সমাধান নেই। সুতরাং, দুটি রেল একে অপরকে অতিক্রম করবে না।

৩.৩.২ অপসারণ পদ্ধতি

এখন আসুন অন্য একটি পদ্ধতি বিবেচনা করি যেখানে একটি চলরাশি অপসারণ (অর্থাৎ, সরানো) করা হয়। এটি কখনও কখনও প্রতিস্থাপন পদ্ধতির চেয়ে বেশি সুবিধাজনক। আসুন দেখি এই পদ্ধতিটি কীভাবে কাজ করে।

উদাহরণ ৮ : দুজন ব্যক্তির আয়ের অনুপাত $9: 7$ এবং তাদের ব্যয়ের অনুপাত $4: 3$। যদি তাদের প্রত্যেকে মাসে ₹ 2000 সঞ্চয় করতে সক্ষম হয়, তবে তাদের মাসিক আয় নির্ণয় করুন।

সমাধান : আসুন দুজন ব্যক্তির আয় নির্দেশ করি ₹ $9 x$ এবং ₹$ 7 x$ দ্বারা এবং তাদের ব্যয় নির্দেশ করি ₹ $4 y$ এবং ₹ $3 y$ দ্বারা। তাহলে পরিস্থিতিতে গঠিত সমীকরণগুলি হল:

$$ \begin{align*} & 9 x-4 y=2000 \tag{1} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} &\text{and}\quad 7 x-3 y=2000 \tag{2} \end{align*} $$

ধাপ ১ : $y$ এর সহগগুলিকে সমান করতে সমীকরণ (1) কে 3 দ্বারা এবং সমীকরণ (2) কে 4 দ্বারা গুণ করুন। তাহলে আমরা সমীকরণগুলি পাই:

$$ \begin{align*} & 27 x-12 y=6000 \tag{3} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} & 28 x-12 y=8000 \tag{4} \end{align*} $$

ধাপ ২ : y কে অপসারণ করতে সমীকরণ (3) থেকে সমীকরণ (4) বিয়োগ করুন, কারণ $y$ এর সহগগুলি একই। সুতরাং, আমরা পাই

$ (28 x-27 x)-(12 y-12 y)=8000-6000 $

$ \text{ অর্থাৎ, } \quad x=2000 $

ধাপ ৩ : $x$ এর এই মান (1) এ প্রতিস্থাপন করলে, আমরা পাই

$$ \begin{aligned} 9(2000)-4 y & =2000 \\ \text{i.e.,} \quad \quad \quad y & =4000 \end{aligned} $$

সুতরাং, সমীকরণগুলির সমাধান হল $x=2000, y=4000$। অতএব, ব্যক্তিদের মাসিক আয় যথাক্রমে ₹ 18,000 এবং ₹ 14,000।

যাচাইকরণ : $18000: 14000=9: 7$। এছাড়াও, তাদের ব্যয়ের অনুপাত $=$ $18000-2000: 14000-2000=16000: 12000=4: 3$

মন্তব্য :

১. উপরের উদাহরণে ব্যবহৃত পদ্ধতিকে অপসারণ পদ্ধতি বলা হয়, কারণ আমরা প্রথমে একটি চলরাশি অপসারণ করি, যাতে একটি চলরাশিতে একটি রৈখিক সমীকরণ পাওয়া যায়।

উপরের উদাহরণে, আমরা $y$ অপসারণ করেছি। আমরা $x$ ও অপসারণ করতে পারতাম। সেভাবে করে দেখুন।

২. আপনি এই সমস্যাটি সমাধান করতে প্রতিস্থাপন, বা গ্রাফিকাল পদ্ধতিও ব্যবহার করতে পারতেন। সেভাবে করার চেষ্টা করুন, এবং দেখুন কোন পদ্ধতিটি বেশি সুবিধাজনক।

আসুন এখন অপসারণ পদ্ধতিতে এই ধাপগুলি নোট করি:

ধাপ ১ : প্রথমে উভয় সমীকরণকে কিছু উপযুক্ত অশূন্য ধ্রুবক দ্বারা গুণ করুন যাতে একটি চলরাশির (হয় $x$ বা $y$) সহগ সংখ্যাগতভাবে সমান হয়।

ধাপ ২ : তারপর একটি সমীকরণ থেকে অপরটি যোগ বা বিয়োগ করুন যাতে একটি চলরাশি অপসারিত হয়। যদি আপনি একটি চলরাশিতে একটি সমীকরণ পান, তবে ধাপ ৩-এ যান।

যদি ধাপ ২-এ, আমরা কোনো চলরাশি ছাড়া একটি সত্য বিবৃতি পাই, তবে মূল সমীকরণ জোড়ার অসীমভাবে অনেক সমাধান আছে।

যদি ধাপ ২-এ, আমরা কোনো চলরাশি ছাড়া একটি মিথ্যা বিবৃতি পাই, তবে মূল সমীকরণ জোড়ার কোনো সমাধান নেই, অর্থাৎ, এটি অসংগত।

ধাপ ৩ : প্রাপ্ত একটি চলরাশির ($x$ বা $y$) সমীকরণটি সমাধান করে তার মান নির্ণয় করুন।

ধাপ ৪ : $x$ (বা $y$) এর এই মান মূল সমীকরণগুলির যেকোনো একটিতে প্রতিস্থাপন করে অপর চলরাশির মান নির্ণয় করুন।

এখন এটি ব্যাখ্যা করার জন্য, আমরা আরও কয়েকটি উদাহরণ সমাধান করব।

উদাহরণ ৯ : অপসারণ পদ্ধতি ব্যবহার করে নিম্নলিখিত জোড়া রৈখিক সমীকরণের সমস্ত সম্ভাব্য সমাধান নির্ণয় করুন:

$$ \begin{align*} & 2 x+3 y=8 \tag{1} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} & 4 x+6 y=7 \tag{2} \end{align*} $$

সমাধান :

ধাপ ১ : $x$ এর সহগগুলিকে সমান করতে সমীকরণ (1) কে 2 দ্বারা এবং সমীকরণ (2) কে 1 দ্বারা গুণ করুন। তাহলে আমরা সমীকরণগুলি পাই:

$$ \begin{align*} & 4 x+6 y=16 \tag{3} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} & 4 x+6 y=7 \tag{4} \end{align*} $$

ধাপ ২ : সমীকরণ (4) থেকে সমীকরণ (3) বিয়োগ করলে,

$ (4 x-4 x)+(6 y-6 y)=16-7 $

$ \text{ অর্থাৎ, } \quad 0=9 \text{, যা একটি মিথ্যা বিবৃতি। } $

অতএব, সমীকরণ জোড়ার কোনো সমাধান নেই।

উদাহরণ ১০ : একটি দুই-অঙ্কের সংখ্যা এবং তার অঙ্কগুলি উল্টে পাওয়া সংখ্যার যোগফল 66। যদি সংখ্যার অঙ্কগুলি 2 দ্বারা পৃথক হয়, তবে সংখ্যাটি নির্ণয় করুন। এরকম কতগুলি সংখ্যা আছে?

সমাধান : ধরি প্রথম সংখ্যাটির দশকের এবং এককের অঙ্ক যথাক্রমে $x$ এবং $y$। সুতরাং, প্রথম সংখ্যাটি প্রসারিত আকারে $10 x+y$ হিসাবে লেখা যেতে পারে (উদাহরণস্বরূপ, $56=10(5)+6$)।

যখন অঙ্কগুলি উল্টে দেওয়া হয়, $x$ এককের অঙ্ক হয়ে যায় এবং $y$ দশকের অঙ্ক হয়ে যায়। এই সংখ্যাটি, প্রসারিত স্বরলিপিতে হল $10 y+x$ (উদাহরণস্বরূপ, যখন 56 উল্টে দেওয়া হয়, আমরা পাই $65=10(6)+5$)।

প্রদত্ত শর্ত অনুযায়ী,

$$(10 x + y) + (10 y + x) = 66 $$

$$ \text{ i.e., } 11(x+y) =66 $$

$$ \text{ i.e., } \quad \quad \quad x+y =6 \tag{1} $$

আমাদের আরও দেওয়া আছে যে অঙ্কগুলি 2 দ্বারা পৃথক, অতএব,

$$ \text{either}\quad x-y=2 \tag{2} $$

$$ \text{or}\quad y-x=2\tag{3} $$

যদি $x-y=2$ হয়, তবে (1) এবং (2) কে অপসারণ দ্বারা সমাধান করলে, আমরা পাই $x=4$ এবং $y=2$।

এই ক্ষেত্রে, আমরা সংখ্যাটি পাই 42।

যদি $y-x=2$ হয়, তবে (1) এবং (3) কে অপসারণ দ্বারা সমাধান করলে, আমরা পাই $x=2$ এবং $y=4$।

এই ক্ষেত্রে, আমরা সংখ্যাটি পাই 24।

সুতরাং, এরকম দুটি সংখ্যা আছে 42 এবং 24।

যাচাইকরণ : এখানে $42+24=66$ এবং $4-2=2$। এছাড়াও $24+42=66$ এবং $4-2=2$।

৩.৪ সারসংক্ষেপ

এই অধ্যায়ে, আপনি নিম্নলিখিত বিষয়গুলি অধ্যয়ন করেছেন:

১. দুটি চলরাশিতে একটি জোড়া রৈখিক সমীকরণকে নিম্নলিখিতভাবে উপস্থাপন এবং সমাধান করা যায়:

(i) গ্রাফিকাল পদ্ধতি

(ii) বীজগাণিতিক পদ্ধতি

২. গ্রাফিকাল পদ্ধতি :

দুটি চলরাশিতে একটি জোড়া রৈখিক সমীকরণের গ্রাফ দুটি রেখা দ্বারা উপস্থাপিত হয়।

(i) যদি রেখাগুলি একটি বিন্দুতে ছেদ করে, তবে সেই বিন্দুটি দুটি সমীকরণের অনন্য সমাধান দেয়। এই ক্ষেত্রে, সমীকরণ জোড়াটি সংগত।

(ii) যদি রেখাগুলি সমাপতিত হয়, তবে অসীমভাবে অনেক সমাধান থাকে - রেখার প্রতিটি বিন্দু একটি সমাধান। এই ক্ষেত্রে, সমীকরণ জোড়াটি নির্ভরশীল (সংগত)।

(iii) যদি রেখাগুলি সমান্তরাল হয়, তবে সমীকরণ জোড়ার কোনো সমাধান নেই। এই ক্ষেত্রে, সমীকরণ জোড়াটি অসংগত।

৩. বীজগাণিতিক পদ্ধতি : আমরা একটি জোড়া রৈখিক সমীকরণের সমাধান(গুলি) খুঁজে বের করার জন্য নিম্নলিখিত পদ্ধতিগুলি আলোচনা করেছি:

(i) প্রতিস্থাপন পদ্ধতি

(ii) অপসারণ পদ্ধতি

\missing

৪. যদি একটি জোড়া রৈখিক সমীকরণ $a_1 x+b_1 y+c_1=0$ এবং $a_2 x+b_2 y+c_2=0$ দ্বারা দেওয়া হয়, তবে নিম্নলিখিত পরিস্থিতিগুলি দেখা দিতে পারে:

(i) $\dfrac{a_1}{a_2} \neq \dfrac{b_1}{b_1}$ : এই ক্ষেত্রে, রৈখিক সমীকরণ জোড়াটি সংগত।

(ii) $\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2} \neq \dfrac{c_1}{c_2}$ : এই ক্ষেত্রে, রৈখিক সমীকরণ জোড়াটি অসংগত।

(iii) $\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}=\dfrac{c_1}{c_2}$ : এই ক্ষেত্রে, রৈখিক সমীকরণ জোড়াটি নির্ভরশীল এবং সংগত।

৫. এমন অনেক পরিস্থিতি আছে যেগুলি গাণিতিকভাবে দুটি সমীকরণ দ্বারা উপস্থাপন করা যায় যা শুরুতে রৈখিক নয়। কিন্তু আমরা সেগুলিকে পরিবর্তন করি যাতে সেগুলি একটি জোড়া রৈখিক সমীকরণে হ্রাস পায়।