11.1 কোণার এবং সেগমেন্টের ক্ষেত্রফল

আপনি আগের শ্রেণিতে ইতিমধ্যে কোণা এবং সেগমেন্টের শব্দগুলি সম্পর্কে পরিচিত ছিলেন। মনে করুন যে দুটি রেডিয়াস এবং সংশ্লিষ্ট আর্ক দ্বারা আবৃত বৃত্তাকার অঞ্চলের অংশ (বা অংশ) কোণার বৃত্তকে বলে এবং একটি কোণার এবং সংশ্লিষ্ট আর্কের মধ্যে আবৃত বৃত্তাকার অঞ্চলের অংশ (বা অংশ) কোণার বৃত্তকে বলে। অতএব, ছবি 11.1-এ, সমভূক্ত অঞ্চল OAPB কেন্দ্র $\mathrm{O} . \angle \mathrm{AOB}$ সহ বৃত্তের একটি কোণা হিসাবে বোঝা যায়। কোণাটিকে কেন্দ্র $\mathrm{O} . \angle \mathrm{AOB}$ সহ বৃত্তের একটি কোণা বলা হয়। লক্ষ্য করুন যে এই ছবিতে, অসমভূক্ত অঞ্চল OAQB ও একটি কোণা হিসাবে বৃত্তের একটি কোণা। স্পষ্ট কারণে, OAPB কম কোণাকে বলা হয় এবং $\mathrm{OAQB}$ বড় কোণাকে বলা হয়। আপনি আবারও দেখতে পাবেন যে বড় কোণার কোণ $360^{\circ}-\angle \mathrm{AOB}$।

ছবি 11.1

এখন ছবি 11.2-এ দেখুন যেখানে AB কেন্দ্র $\mathrm{O}$ সহ বৃত্তের একটি কোণা। অতএব, সমভূক্ত অঞ্চল APB বৃত্তের একটি সেগমেন্ট হিসাবে বোঝা যায়। আপনি আবারও দেখতে পাবেন যে অসমভূক্ত অঞ্চল $\mathrm{AQB}$ কোণা AB দ্বারা গঠিত বৃত্তের আরেকটি সেগমেন্ট। স্পষ্ট কারণে, APB কম সেগমেন্টকে বলা হয় এবং AQB বড় সেগমেন্টকে বলা হয়।

ছবি 11.2

মন্তব্য : আমরা ‘সেগমেন্ট’ এবং ‘কোণা’ শব্দ লিখলে আমরা স্বাধীনভাবে ‘কম সেগমেন্ট’ এবং ‘কম কোণা’ বোঝাবেন, অন্যথায় বলা হয়না।

এখন এই জ্ঞান সহ, আমরা তাদের ক্ষেত্রফল গণনা করার জন্য কিছু সম্পর্ক (বা সূত্র) খুঁজে বের করার চেষ্টা করিস্ট।

চিত্র 11.3-এ দেখুন, OAPB কেন্দ্র $\mathrm{O}$ এবং ব্যাস $r$ সহ বৃত্তের একটি কোণা। $\angle \mathrm{AOB}$ $\theta$ ডিগ্রি পরিমাপ হলে আপনি জানেন যে বৃত্তের ক্ষেত্রফল (বিস্তারিতভাবে বৃত্তাকার অঞ্চল বা ডিস) $\pi r^{2}$।

একটি উপকরণ হিসাবে, আমরা এই বৃত্তাকার অঞ্চলকে কেন্দ্র O এ $360^{\circ}$ (অর্থাৎ, ডিগ্রি পরিমাপ 360) এর একটি কোণা গঠন করে বিবেচনা করতে পারি। এখন একক পদ্ধতি প্রয়োগ করে, আমরা নিচের মতোভাবে কোণা OAPB এর ক্ষেত্রফল প্রাপ্ত করতে পারিঃ

কেন্দ্রের কোণের ডিগ্রি পরিমাপ 360 হলে, কোণার ক্ষেত্রফল $=\pi r^{2}$

তাহলে, কেন্দ্রের কোণের ডিগ্রি পরিমাপ 1 হলে, কোণার ক্ষেত্রফল $=\dfrac{\pi r^{2}}{360}$।

অতএব, কেন্দ্রের কোণের ডিগ্রি পরিমাপ $\theta$ হলে, কোণার ক্ষেত্রফল $=\dfrac{\pi r^{2}}{360} \times \theta=\dfrac{\theta}{360} \times \pi r^{2}$।

অতএব, আমরা বৃত্তের একটি কোণার ক্ষেত্রফলের জন্য নিচের সম্পর্ক (বা সূত্র) প্রাপ্ত করিঃ

কোণ $\theta=\dfrac{\theta}{360} \times \pi r^{2} \text {, }$ এর কোণার ক্ষেত্রফল

$r$ হল বৃত্তের ব্যাস এবং $\theta$ হল কোণার কোণ ডিগ্রিতে।

এখন, একটি প্রাকৃতিক প্রশ্ন উদ্ভূত হয় : আমরা কি এই কোণার সংশ্লিষ্ট আর্ক APB এর দৈর্ঘ্য পাব? হ্যাঁ। আবারও, একক পদ্ধতি প্রয়োগ করে এবং বৃত্তের সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য (কোণ $360^{\circ}$ ) $2 \pi r$ নেওয়া হলে, আমরা প্রয়োজনীয় আর্ক APB এর দৈর্ঘ্য $\dfrac{\theta}{360} \times 2 \pi r$ প্রাপ্ত করতে পারি।

অতএব, একটি কোণ $\theta=\dfrac{\theta}{360} \times 2 \pi r$ এর কোণার আর্কের দৈর্ঘ্য।

ছবি 11.4

এখন আমরা কেন্দ্র $\mathrm{O}$ এবং ব্যাস $r$ সহ বৃত্তের সেগমেন্ট APB এর ক্ষেত্রফল নিয়ে আলোচনা করিস্ট (ছবি 11.4-এ দেখুন)। আপনি দেখতে পাবেনঃ

সেগমেন্টের ক্ষেত্রফল $\mathrm{APB}=$ কোণার ক্ষেত্রফল $\mathrm{OAPB}-$ এবং $\triangle \mathrm{OAB}$ এর ক্ষেত্রফল

$$ =\dfrac{\theta}{360} \times \pi r^{2}-\text { area of } \Delta \mathrm{OAB} $$

নোট : ছবি 11.3 এবং ছবি 11.4 থেকে আপনি প্রত্যক্ষভাবে দেখতে পাবেনঃ

বড় কোণার ক্ষেত্রফল $\mathrm{OAQB}=\pi r^{2}-$ কম কোণার ক্ষেত্রফল $\mathrm{OAPB}$

এবংঃ বড় সেগমেন্টের ক্ষেত্রফল $\mathrm{AQB}=\pi r^{2}$ - কম সেগমেন্ট APB এর ক্ষেত্রফল

এখন আমরা এই ধারণা (বা ফলাফল) বোঝার জন্য কিছু উদাহরণ নিয়ে আলোচনা করিস্ট।

উদাহরণ 1 : ব্যাস $4 \mathrm{~cm}$ এবং কোণ $30^{\circ}$ সহ বৃত্তের একটি কোণার ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন। এছাড়াও, সংশ্লিষ্ট বড় কোণার ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন ($\pi=3.14$ ব্যবহার করুন)।

সমাধান : প্রদত্ত কোণা OAPB হল (ছবি 11.5-এ দেখুন)।

ছবি 11.5

কোণার ক্ষেত্রফল $=\dfrac{\theta}{360} \times \pi r^{2}$

$$ \begin{aligned} & =\dfrac{30}{360} \times 3.14 \times 4 \times 4 \mathrm{~cm}^{2} \\ & =\dfrac{12.56}{3} \mathrm{~cm}^{2}=4.19 \mathrm{~cm}^{2} \text { (approx.) } \end{aligned} $$

সংশ্লিষ্ট বড় কোণার ক্ষেত্রফল

$$ \begin{aligned} & =\pi r^{2}-\text { area of sector OAPB } \\ & =(3.14 \times 16-4.19) \mathrm{cm}^{2} \\ & =46.05 \mathrm{~cm}^{2}=46.1 \mathrm{~cm}^{2} \text { (approx.) } \end{aligned} $$

অন্যভাবে, বড় কোণার ক্ষেত্রফল $=\dfrac{(360-\theta)}{360} \times \pi r^{2}$

$$ \begin{aligned} & =\left(\dfrac{360-30}{360}\right) \times 3.14 \times 16 \mathrm{~cm}^{2} \\ & =\dfrac{330}{360} \times 3.14 \times 16 \mathrm{~cm}^{2}=46.05 \mathrm{~cm}^{2} \\ & =46.1 \mathrm{~cm}^{2} \text { (approx.) } \end{aligned} $$

উদাহরণ 2 : বৃত্তের ব্যাস $21 \mathrm{~cm}$ এবং $\angle \mathrm{AOB}=120^{\circ}$ হলে ছবি 11.6-এ দেখানো সেগমেন্ট AYB এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন। ($\pi=\dfrac{22}{7}$ ব্যবহার করুন)

ছবি 11.6

সমাধান : সেগমেন্ট AYB এর ক্ষেত্রফল

$$ =\text { Area of sector OAYB }- \text { Area of } \Delta \mathrm{OAB} \tag{1} $$

$$ \text{ Now, area of the sector OAYB } =\dfrac{120}{360} \times \dfrac{22}{7} \times 21 \times 21 \mathrm{~cm}^{2}=462 \mathrm{~cm}^{2} \tag{2}$$

$\Delta \mathrm{OAB}$ এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে, ছবি 11.7-এ দেখানো মতো $\mathrm{OM} \perp \mathrm{AB}$ আঁকুন।

ছবি 11.7

লক্ষ্য করুন $\mathrm{OA}=\mathrm{OB}$। অতএব, RHS সমতুল্যতা দ্বারা, $\Delta \mathrm{AMO} \cong \Delta \mathrm{BMO}$।

অতএব, $\mathrm{M}$ হল $\mathrm{AB}$ এবং $\angle \mathrm{AOM}=\angle \mathrm{BOM}=\dfrac{1}{2} \times 120^{\circ}=60^{\circ}$ এর মাঝখানের বিন্দু।

$\text {Let} \qquad \mathrm{OM}=x \mathrm{~cm}$

অতএব, $\Delta$ OMA থেকে, $$ \dfrac{\mathrm{OM}}{\mathrm{OA}}=\cos 60^{\circ} $$

$\text {or,}\qquad \dfrac{x}{21}=\dfrac{1}{2} \quad\left(\cos 60^{\circ}=\dfrac{1}{2}\right)$

$\text {or,}\qquad x=\dfrac{21}{2}$

$\text {So,}\qquad \mathrm{OM}=\dfrac{21}{2} \mathrm{~cm}$

$\text {Also,}\qquad \dfrac{\mathrm{AM}}{\mathrm{OA}}=\sin 60^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$\text {So,}\qquad \mathrm{AM}=\dfrac{21 \sqrt{3}}{2} \mathrm{~cm}$

$\text {Therefore,}\qquad \mathrm{AB}=2 \mathrm{AM}=\dfrac{2 \times 21 \sqrt{3}}{2} \mathrm{~cm}=21 \sqrt{3} \mathrm{~cm}$

অতএব, $$ \text { area of } \begin{aligned} \Delta \mathrm{OAB} & =\dfrac{1}{2} \mathrm{AB} \times \mathrm{OM}=\dfrac{1}{2} \times 21 \sqrt{3} \times \dfrac{21}{2} \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned} $$

$$ =\dfrac{441}{4} \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2}\tag{3}$$

অতএব, সেগমেন্ট AYB এর ক্ষেত্রফল $=\left(462-\dfrac{441}{4} \sqrt{3}\right) \mathrm{cm}^{2}$

[প্রমাণ (1), (2) এবং (3) থেকে]

$$ =\dfrac{21}{4}(88-21 \sqrt{3}) \mathrm{cm}^{2} $$

11.2 সারসংক্ষেপ

এই অধ্যায়ে, আপনি নিচের পয়ন্তগুলি অধ্যয়ন করেছেনঃ

1. ব্যাস $r$ এবং ডিগ্রি পরিমাপ $\theta$ সহ কোণার বৃত্তের আর্কের দৈর্ঘ্য $\dfrac{\theta}{360} \times 2 \pi r$।

2. ব্যাস $r$ এবং ডিগ্রি পরিমাপ $\theta$ সহ কোণার বৃত্তের ক্ষেত্রফল $\dfrac{\theta}{360} \times \pi r^{2}$।

3. বৃত্তের সেগমেন্টের ক্ষেত্রফল $=$ সংশ্লিষ্ট কোণার ক্ষেত্রফল - সংশ্লিষ্ট ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল।