1.1 परिचय

चीज़ों की गिनती करना अब हमारे लिए आसान है। हम बड़ी संख्या में वस्तुओं की गिनती कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, स्कूल में छात्रों की संख्या, और उन्हें अंकों के माध्यम से दर्शा सकते हैं। हम बड़ी संख्याओं को उपयुक्त संख्या नामों का प्रयोग करके संप्रेषित भी कर सकते हैं।

ऐसा नहीं है कि हमेशा से हम बड़ी मात्राओं को बातचीत या प्रतीकों के माध्यम से व्यक्त करना जानते थे। हज़ारों वर्ष पहले, लोग केवल छोटी संख्याओं को ही जानते थे। धीरे-धीरे, उन्होंने बड़ी संख्याओं को संभालना सीखा। उन्होंने यह भी सीखा कि बड़ी संख्याओं को प्रतीकों में कैसे व्यक्त किया जाए। यह सब मानव जाति के सामूहिक प्रयासों के माध्यम से संभव हुआ। उनका मार्ग आसान नहीं था, उन्हें हर कदम पर संघर्ष करना पड़ा। वास्तव में, संपूर्ण गणित का विकास इसी प्रकार समझा जा सकता है। जैसे-जैसे मानव जाति ने प्रगति की, गणित के विकास की आवश्यकता और अधिक बढ़ी और परिणामस्वरूप गणित और अधिक तेज़ी से आगे बढ़ा।

हम संख्याओं का प्रयोग करते हैं और उनके बारे में बहुत कुछ जानते हैं। संख्याएँ हमें ठोस वस्तुओं की गिनती करने में मदद करती हैं। वे हमें यह बताने में मदद करती हैं कि वस्तुओं का कौन-सा समूह बड़ा है और उन्हें क्रम में व्यवस्थित करने में भी, जैसे पहला, दूसरा, आदि। संख्याओं का प्रयोग अनेक विभिन्न संदर्भों और तरीकों से किया जाता है। उन विभिन्न परिस्थितियों के बारे में सोचिए जहाँ हम संख्याओं का प्रयोग करते हैं। पाँच अलग-अलग परिस्थितियाँ सूचीबद्ध कीजिए जिनमें संख्याओं का प्रयोग होता है।

हमने अपनी पिछली कक्षाओं में संख्याओं के साथ काम करने का आनंद लिया। हमने उन्हें जोड़ा, घटाया, गुणा किया और भाग दिया। हमने संख्या अनुक्रमों में पैटर्न भी खोजे और संख्याओं के साथ कई अन्य रोचक चीजें की। इस अध्याय में हम ऐसी रोचक चीजों को थोड़ी समीक्षा और पुनरावृत्ति के साथ आगे बढ़ाएंगे।

1.2 संख्याओं की तुलना

चूंकि हमने यह काफी पहले किया है, आइए देखें कि क्या हमें याद है कि इनमें सबसे बड़ी कौन-सी है:

(i) $92,392,4456,89742 \quad$ मैं सबसे बड़ा हूँ!

(ii) $1902,1920,9201,9021,9210 \quad$ मैं सबसे बड़ा हूँ!

तो, हमें उत्तर पता हैं।

अपने मित्रों से चर्चा करो, तुम सबसे बड़ी संख्या कैसे ढूंढते हो।

इन्हें आज़माओ

क्या तुम तुरंत प्रत्येक पंक्ति में सबसे बड़ी और सबसे छोटी संख्या ढूंढ सकते हो?

1. $382,4972,18,59785,750$ $\qquad$ उत्तर :$59785$ सबसे बड़ी है और 18 सबसे छोटी है
2. $1473,89423,100,5000,310$ $\qquad$ उत्तर :____________________
3. $1834,75284,111,2333,450$ $\qquad$ उत्तर :____________________
4. $2853,7691,9999,12002,124$ $\qquad$ उत्तर :____________________

क्या यह आसान था? यह आसान क्यों था?

हमने बस अंकों की संख्या देखी और उत्तर पा लिया।

सबसे बड़ी संख्या में सबसे ज़्यादा हज़ार होते हैं और सबसे छोटी सिर्फ सैकड़ों या दहाई में होती है।

इस तरह के पाँच और प्रश्न बनाओ और अपने दोस्तों को हल करने के लिए दो।

अब, हम 4875 और 3542 की तुलना कैसे करें?

यह भी बहुत मुश्किल नहीं है। इन दोनों संख्याओं में अंकों की संख्या समान है। दोनों हज़ार में हैं। लेकिन 4875 में हज़ार का अंक 3542 के हज़ार के अंक से बड़ा है। इसलिए, 4875, 3542 से बड़ा है।

इन्हें आज़माओ

सबसे बड़ी और सबसे छोटी संख्याएँ खोजो।

(a) $4536, 4892, 4370, 4452$.
(b) $15623, 15073, 15189, 15800$.
(c) $25286, 25245, 25270, 25210$.
(d) $6895, 23787, 24569, 24659$.

अब बताओ कि कौन बड़ा है, 4875 या 4542? यहाँ भी अंकों की संख्या समान है। और हज़ार के स्थान पर अंक भी दोनों में समान हैं। तब हम क्या करें? हम अगले अंक पर जाते हैं, यानी सैकड़ों के स्थान पर। सैकड़ों के स्थान पर 4875 का अंक 4542 के अंक से बड़ा है। इसलिए, 4875, 4542 से बड़ा है।

अगर दोनों संख्याओं में सैकड़ों के स्थान के अंक भी समान हों, तब हम क्या करें?

4875 और 4889 की तुलना करो; साथ ही 4875 और 4879 की भी।

1.2.1 तुम कितनी संख्याएँ बना सकते हो?

मान लो, हमारे पास चार अंक 7, 8, 3, 5 हैं। इन अंकों से हम ऐसी विभिन्न 4-अंकीय संख्याएँ बनाना चाहते हैं कि कोई भी अंक दोहराया न जाए। इस प्रकार, 7835 चलेगा, लेकिन 7735 नहीं। जितनी हो सके उतनी 4-अंकीय संख्याएँ बनाओ।

सबसे बड़ी संख्या कौन-सी है जो तुम्हें मिली? सबसे छोटी कौन-सी है?

सबसे बड़ी संख्या 8753 है और सबसे छोटी 3578 है।

दोनों में अंकों की व्यवस्था के बारे में सोचो। क्या आप बता सकते हैं कि सबसे बड़ी संख्या कैसे बनाई गई है? अपनी प्रक्रिया लिखो।

इन्हें आज़माइए

1. दिए गए अंकों को बिना दोहराए प्रयोग करके सबसे बड़ी और सबसे छोटी 4-अंकीय संख्याएँ बनाइए।

(a) $2,8,7,4$
(b) $9,7,4,1$
(c) $4,7,5,0$
(d) $1,7,6,2$
(e) $5,4,0,3$

(संकेत: 0754 एक 3-अंकीय संख्या है।)

2. अब किसी एक अंक को दो बार प्रयोग करके सबसे बड़ी और सबसे छोटी 4-अंकीय संख्याएँ बनाइए।

(a) $3,8,7$
(b) $9,0,5$
(c) $0,4,9$
(d) $8,5,1$

(संकेत: सोचिए कि प्रत्येक स्थिति में कौन-सा अंक आप दो बार प्रयोग करेंगे।)

3. कोई भी चार भिन्न अंक प्रयोग करके नीचे दी गई शर्तों के अनुसार सबसे बड़ी और सबसे छोटी 4-अंकीय संख्याएँ बनाइए।

${}$ $ \begin{array}{lllr} \text{ (क) }& \text{ अंक 7 हमेशा इकाई के स्थान पर हो } & \text{ सबसे बड़ी } & \boxed{9}\boxed{8}\boxed{6}\boxed{7} \\ \\ & & \text{ सबसे छोटी} & \boxed{1}\boxed{0}\boxed{2}\boxed{7} \end{array} $

(ध्यान दीजिए, संख्या अंक 0 से नहीं शुरू हो सकती। क्यों?)

${}$ $ \begin{array}{lllr} \text{ (ख) }& \text{ अंक 4 हमेशा दहाई के स्थान पर हो } & \text{ सबसे बड़ी } & \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline & & 4 & \\ \hline \end{array} \\ \\ & & \text{ सबसे छोटी} & \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline & & 4 & \\ \hline \end{array} \\ \\ \text{ (ग) }& \text{ अंक 9 हमेशा सैकड़े के स्थान पर हो } & \text{ सबसे बड़ी } & \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline & 9 & & \\ \hline \end{array} \\ \\ & & \text{ सबसे छोटी} & \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline & 9 & & \\ \hline \end{array} \\ \\ \text{ (घ) }& \text{ अंक 1 हमेशा हजार के स्थान पर हो } & \text{ सबसे बड़ी } & \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline 1 & & & \\ \hline \end{array} \\ \\ & & \text{ सबसे छोटी} & \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline 1 & & & \\ \hline \end{array} \end{array} $

4. दो अंक लीजिए, मान लीजिए 2 और 3। दोनों अंकों को समान बार प्रयोग करके 4-अंकीय संख्याएँ बनाइए।

सबसे बड़ी संख्या कौन-सी है?

सबसे छोटी संख्या कौन-सी है?

कुल कितनी भिन्न संख्याएँ आप बना सकते हैं?

ठीक क्रम में खड़े हों

1. सबसे लंबा कौन है?
2. सबसे छोटा कौन है?

(a) क्या आप उन्हें उनकी ऊँचाई के बढ़ते क्रम में व्यवस्थित कर सकते हैं?
(b) क्या आप उन्हें उनकी ऊँचाई के घटते क्रम में व्यवस्थित कर सकते हैं?

कौन-सा खरीदें?

सोहन और रीता एक अलमारी खरीदने गए। वहाँ कई अलमारियाँ उनकी कीमतों के साथ उपलब्ध थीं।

(a) क्या आप उनकी कीमतों को बढ़ते क्रम में व्यवस्थित कर सकते हैं?
(b) क्या आप उनकी कीमतों को घटते क्रम में व्यवस्थित कर सकते हैं?

इन्हें आज़माएँ

ऐसी पाँच और स्थितियाँ सोचिए जहाँ आप तीन या अधिक मात्राओं की तुलना करते हैं।

आरोही क्रम आरोही क्रम का अर्थ है सबसे छोटे से सबसे बड़े तक की व्यवस्था।

अवरोही क्रम अवरोही क्रम का अर्थ है सबसे बड़े से सबसे छोटे तक की व्यवस्था।

इन्हें आज़माएँ

1. निम्नलिखित संख्याओं को आरोही क्रम में व्यवस्थित कीजिए :

(a) $847,9754,8320,571$
(b) $9801,25751,36501,38802$

2. निम्नलिखित संख्याओं को अवरोही क्रम में व्यवस्थित कीजिए :

(a) $5000, 7500, 85400, 7861$
(b) $1971,45321,88715,92547$

आरोही/अवरोही क्रम के ऐसे दस उदाहरण बनाइए और उन्हें हल कीजिए।

1.2.2 अंकों को स्थानांतरित करना

क्या आपने सोचा है कि यह कितना मजेदार होगा यदि किसी संख्या के अंक एक स्थान से दूसरे स्थान पर स्थानांतरित (हिल) सकें?

सोचिए कि 182 के साथ क्या होगा। यह 821 जितनी बड़ी और 128 जितनी छोटी हो सकती है। इसे 391 के साथ भी आजमाइए।

अब इस बारे में सोचिए। कोई भी 3-अंकीय संख्या लीजिए और सैकड़े के स्थान पर रखे अंक को इकाई के स्थान पर रखे अंक से बदल दीजिए।

(क) क्या नई संख्या पहले वाली से बड़ी है?
(ख) क्या नई संख्या पहले वाली से छोटी है?

दोनों संख्याओं को आरोही और अवरोही क्रम में लिखिए।

यदि आप पहली और तीसरी टाइल्स (यानी अंकों) को आपस में बदल दें, तो किस स्थिति में संख्या बड़ी हो जाती है? किस स्थिति में यह छोटी हो जाती है?

इसे 4-अंकीय संख्या के साथ आजमाइए।

1.2.3 10,000 का परिचय

हम जानते हैं कि 99 से आगे कोई 2-अंकीय संख्या नहीं होती। 99 सबसे बड़ी 2-अंकीय संख्या है। इसी प्रकार, सबसे बड़ी 3-अंकीय संख्या 999 है और सबसे बड़ी 4-अंकीय संख्या 9999 है। यदि हम 9999 में 1 जोड़ें तो हमें क्या मिलेगा?

$ \begin{array}{lllllll} \text{प्रतिरूप देखिए : } & 9+1 & = & 10 & = & 10 \times 1 \ & 99+1 & = & 100 & = & 10 \times 10 \ & 999+1 & = & 1000 & = & 10 \times 100 \end{array} $

हम देखते हैं कि

सबसे बड़ी एक अंकीय संख्या $+1=$ सबसे छोटी 2-अंकीय संख्या
सबसे बड़ी 2-अंकीय संख्या $+1=$ सबसे छोटी 3-अंकीय संख्या
सबसे बड़ी 3-अंकीय संख्या $+1=$ सबसे छोटी 4-अंकीय संख्या

हमें तो यह अपेक्षा करनी चाहिए कि सबसे बड़ी 4-अंकीय संख्या में 1 जोड़ने पर हमें सबसे छोटी 5-अंकीय संख्या प्राप्त होगी, अर्थात् $9999+1=10000$।

9999 के बाद आने वाली नई संख्या 10000 है। इसे दस हजार कहा जाता है। आगे, $10000=10 \times 1000$।

1.2.4 स्थानीय मान की पुनरावृत्ति

आपने यह काफी पहले किया है, और आप निश्चित ही 2-अंकीय संख्या जैसे 78 के विस्तार को याद करेंगे

$78=70+8=7 \times 10+8$

इसी प्रकार, आप 3-अंकीय संख्या जैसे 278 के विस्तार को याद करेंगे

$278=200+70+8=2 \times 100+7 \times 10+8$

हम कहते हैं कि यहाँ 8 इकाई के स्थान पर है, 7 दहाई के स्थान पर है और 2 सैकड़े के स्थान पर है।

बाद में हमने इस विचार को 4-अंकीय संख्याओं तक बढ़ाया।

उदाहरण के लिए, 5278 का विस्तार है

$ \begin{aligned} 5278 & =5000+200+70+8 \ & =5 \times 1000+2 \times 100+7 \times 10+8 \end{aligned} $

यहाँ, 8 इकाई के स्थान पर है, 7 दहाई के स्थान पर है, 2 सैकड़े के स्थान पर है और 5 हजार के स्थान पर है।

10000 संख्या को जानने के साथ, हम इस विचार को आगे बढ़ा सकते हैं। हम 5-अंकीय संख्याएँ जैसे

$45278=4 \times 10000+5 \times 1000+2 \times 100+7 \times 10+8$

लिख सकते हैं। हम कहते हैं कि यहाँ 8 इकाई के स्थान पर है, 7 दहाई के स्थान पर है, 2 सैकड़े के स्थान पर है, 5 हजार के स्थान पर है और 4 दस हजार के स्थान पर है। इस संख्या को पैंतालीस हजार, दो सौ अठहत्तर पढ़ा जाता है। क्या आप अब सबसे छोटी और सबसे बड़ी 5-अंकीय संख्याएँ लिख सकते हैं?

इन्हें आज़माएँ

रिक्त स्थानों पर संख्याओं को पढ़ें और विस्तारित रूप में लिखें।

संख्या	संख्या का नाम	विस्तार
20000	बीस हज़ार	$2 \times 10000$
26000	छब्बीस हज़ार	$2 \times 10000+6 \times 1000$
38400	अड़तीस हज़ार चार सौ	$3 \times 10000+8 \times 1000 +4 \times 100$
65740	सड़सठ हज़ार सात सौ चालीस	$6 \times 10000+5 \times 1000 +7 \times 100+4 \times 10$
89324	तिरानवे हज़ार तीन सौ चौबीस	$8 \times 10000 + 9 \times 1000 + 3 \times 100+2 \times 10 + 4 \times 1$
50000	_______________	_______________
41000	_______________	_______________
47300	_______________	_______________
57630	_______________	_______________
29485	_______________	_______________
29085	_______________	_______________
20085	_______________	_______________
20005	_______________	_______________

पाँच और 5-अंकीय संख्याएँ लिखें, उन्हें पढ़ें और विस्तारित रूप में लिखें।

1.2.5 $1,00,000$ का परिचय

सबसे बड़ी 5-अंकीय संख्या कौन-सी है?

सबसे बड़ी 5-अंकीय संख्या में 1 जोड़ने पर सबसे छोटी 6-अंकीय संख्या मिलनी चाहिए : $99,999+1=1,00,000$

इस संख्या का नाम एक लाख है। एक लाख, 99,999 के बाद आता है।

$10 \times 10,000=1,00,000$

अब हम 6-अंकीय संख्याओं को विस्तारित रूप में इस प्रकार लिख सकते हैं :

$ \begin{aligned} 2,46,853= & 2 \times 1,00,000+4 \times 10,000+6 \times 1,000+ \ & 8 \times 100+5 \times 10+3 \times 1 \end{aligned} $

इस संख्या में इकाई के स्थान पर 3, दहाई के स्थान पर 5, सैकड़ा के स्थान पर 8, हजार के स्थान पर 6, दस हजार के स्थान पर 4 और लाख के स्थान पर 2 है। इसका संख्या नाम दो लाख छियालीस हजार आठ सौ तिरपन है।

इन्हें आज़माइए

खाली स्थानों पर संख्याओं को पढ़ें और विस्तारित करें।

संख्या	संख्या का नाम	विस्तार
$3,00,000$	तीन लाख	$3 \times 1,00,000$
$3,50,000$	तीन लाख पचास हजार	$3 \times 1,00,000+5 \times 10,000$
$3,53,500$	तीन लाख तिरपन हजार पाँच सौ	$3 \times 1,00,000+5 \times 10,000 +3 \times 1000+5 \times 100$
$4,57,928$	__________	__________
$4,07,928$	__________	__________
$4,00,829$	__________	__________
$4,00,029$	__________	__________

1.2.6 बड़ी संख्याएँ

यदि हम सबसे बड़ी 6-अंकीय संख्या में एक और जोड़ें तो हमें सबसे छोटी 7-अंकीय संख्या मिलती है। इसे दस लाख कहा जाता है।

सबसे बड़ी 6-अंकीय संख्या और सबसे छोटी 7-अंकीय संख्या लिखिए। सबसे बड़ी 7-अंकीय संख्या और सबसे छोटी 8-अंकीय संख्या लिखिए। सबसे छोटी 8-अंकीय संख्या को एक करोड़ कहा जाता है।

रूप पूरा कीजिए :

$\begin{array}{ll}9+1 & =10 \\ 99+1 & =100 \\ 999+1 & = ——\\ 9,999+1 & = ——\\ 99,999+1 & = ——\\ 9,99,999+1 & = ——\\ 99,99,999+1 & =-1,00,00,000 \end{array}$

इन्हें आज़माएँ

1. $10-1=$ क्या है?
2. $100-1=$ क्या है?
3. $10,000-1=$ क्या है?
4. $1,00,000-1=$ क्या है?
5. $1,00,00,000-1=$ क्या है?

(संकेत: दिए गए पैटर्न का प्रयोग करें।)

हम कई अलग-अलग परिस्थितियों में बड़ी संख्याओं के बारे में सोचते हैं। उदाहरण के लिए, आपकी कक्षा में बच्चों की संख्या 2-अंकीय होगी, जबकि आपके विद्यालय में बच्चों की संख्या 3 या 4-अंकीय होगी।

नज़दीकी कस्बे में लोगों की संख्या कहीं अधिक होगी।

क्या वह 5 या 6 या 7-अंकीय संख्या है?

क्या आप अपने राज्य में लोगों की संख्या जानते हैं?

उस संख्या में कितने अंक होंगे?

एक बोरी भर गेहूँ में दाने कितने होंगे? 5-अंकीय संख्या, 6-अंकीय संख्या या उससे भी अधिक?

इन्हें आज़माएँ

1. पाँच उदाहरण दीजिए जहाँ गिनी जाने वाली वस्तुओं की संख्या 6-अंकीय से अधिक हो।
2. सबसे बड़ी 6-अंकीय संख्या से शुरू करते हुए, घटते क्रम में पिछली पाँच संख्याएँ लिखिए।
3. सबसे छोटी 8-अंकीय संख्या से शुरू करते हुए, बढ़ते क्रम में अगली पाँच संख्याएँ लिखिए और उन्हें पढ़िए।

1.2.7 बड़ी संख्याओं को पढ़ने और लिखने में सहायता

नीचे दी गई संख्याओं को पढ़ने की कोशिश कीजिए :

(a) 279453
(b) 5035472
(c) 152700375
(d) 40350894

क्या यह कठिन था?

क्या आपको इनका पता लगाना कठिन लगा?

कभी-कभी बड़ी संख्याओं को पढ़ने और लिखने में संकेतकों का उपयोग करना मददगार होता है।

शगुफ्ता संकेतकों का उपयोग करती है जो उसे बड़ी संख्याओं को पढ़ने और लिखने में मदद करते हैं। उसके संकेतक संख्याओं के प्रसार को लिखने में भी उपयोगी होते हैं। उदाहरण के लिए, वह 257 में इकाई, दहाई और सैकड़ा स्थान के अंकों को पहचानती है और उन्हें सारणियों $O, T$ और $H$ के नीचे इस प्रकार लिखती है

$\mathrm{Th} \quad \mathrm{H} \quad \mathrm{T} \quad \mathrm{O} \quad$ प्रसार

$\begin{array}{llll}2 & 9 & 0 & 2 & 2 \times 1000+9 \times 100+0 \times 10+2 \times 1\end{array}$

इसी प्रकार, 2902 के लिए,

$\mathrm{Th} \quad \mathrm{H} \quad \mathrm{T} \quad \mathrm{O} \quad$ प्रसार

$\begin{array}{llll}2 & 9 & 0 & 2 & 2 \times 1000+9 \times 100+0 \times 10+2 \times 1\end{array}$

इस विचार को लाख तक की संख्याओं तक बढ़ाया जा सकता है जैसा कि निम्नलिखित सारणी में देखा गया है। (आइए हम उन्हें प्लेसमेंट बॉक्स कहें)। खाली छोड़े गए स्थानों में प्रविष्टियों को भरें।

इसी प्रकार, हम नीचे दिखाए अनुसार करोड़ तक की संख्याओं को शामिल कर सकते हैं :

आप विस्तारित रूप में संख्याएँ लिखने के लिए तालिकाओं के अन्य प्रारूप बना सकते हैं।

अल्पविराम का प्रयोग

आपने ध्यान दिया होगा कि ऊपर दी गई बड़ी संख्याओं को लिखते समय हमने अक्सर अल्पविराम का प्रयोग किया है। अल्पविराम बड़ी संख्याओं को पढ़ने और लिखने में हमारी मदद करते हैं। हमारी भारतीय संख्या पद्धति में हम इकाई, दहाई, सैकड़ा, हज़ार और फिर लाख तथा करोड़ का प्रयोग करते हैं। अल्पविराम हज़ार, लाख और करोड़ को चिह्नित करने के लिए प्रयोग किए जाते हैं। पहला अल्पविराम सैकड़े के स्थान के बाद आता है (दाएँ से तीन अंकों के बाद) और हज़ार को चिह्नित करता है। दूसरा अल्पविराम दो अंकों के बाद आता है (दाएँ से पाँच अंकों के बाद)। यह दस हज़ार के स्थान के बाद आता है और लाख को चिह्नित करता है। तीसरा अल्पविराम फिर दो अंकों के बाद आता है (दाएँ से सात अंकों के बाद)। यह दस लाख के स्थान के बाद आता है और करोड़ को चिह्नित करता है।

संख्या के नाम लिखते समय हम अल्पविराम का प्रयोग नहीं करते।

$ \begin{array}{ll} \text{उदाहरण के लिए, } & 5, 08, 01, 592 \\ & 3,32,40,781 \\ & 7,27,05,062 \\ \end{array} $

ऊपर दी गई संख्याओं को पढ़ने का प्रयास करें। इस रूप में पाँच और संख्याएँ लिखें और उन्हें पढ़ें।

अंतर्राष्ट्रीय संख्या प्रणाली

अंतर्राष्ट्रीय संख्या प्रणाली में, जैसा कि इसका प्रयोग किया जा रहा है, हमारे पास इकाई, दहाई, सैकड़ा, हजार और फिर मिलियन होते हैं। एक मिलियन एक हजार हजार होता है। हजार और मिलियन को चिह्नित करने के लिए अल्पविराम (कॉमा) का प्रयोग किया जाता है। यह दाईं ओर से हर तीन अंकों के बाद आता है। पहला अल्पविराम हजार को और अगला अल्पविराम मिलियन को दर्शाता है। उदाहरण के लिए, संख्या 50,801,592 को अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली में fifty million eight hundred one thousand five hundred ninety two पढ़ा जाता है। भारतीय प्रणाली में यह पाँच करोड़ आठ लाख एक हजार पाँच सौ बानबे होती है।

एक मिलियन बनाने के लिए कितने लाख लगते हैं?

एक करोड़ बनाने के लिए कितने मिलियन लगते हैं?

तीन बड़ी संख्याएँ लीजिए। उन्हें भारतीय और अंतर्राष्ट्रीय दोनों संख्या प्रणालियों में व्यक्त कीजिए।

रोचक तथ्य :

एक मिलियन से बड़ी संख्याओं को व्यक्त करने के लिए अंतर्राष्ट्रीय संख्या प्रणाली में बिलियन का प्रयोग किया जाता है: 1 बिलियन $=1000$ मिलियन।

क्या आप जानते हैं?

भारत की जनसंख्या में लगभग
27 मिलियन की वृद्धि हुई 1921-1931 के दौरान;
37 मिलियन की वृद्धि हुई 1931-1941 के दौरान;
44 मिलियन की वृद्धि हुई 1941-1951 के दौरान;
78 मिलियन की वृद्धि हुई 1951-1961 के दौरान!

1991-2001 के दौरान जनसंध्या में कितनी वृद्धि हुई थी? इसे जानने का प्रयास करें।

क्या आप जानते हैं कि आज भारत की जनसंख्या कितनी है? यह भी जानने का प्रयास करें।

इन्हें आज़माएँ

1. इन संख्याओं को पढ़ें। इन्हें प्लेसमेंट बॉक्स का प्रयोग कर लिखें और फिर इनका विस्तारित रूप लिखें।

(i) 475320
(ii) 9847215
(iii) 97645310
(iv) 30458094

(a) सबसे छोटी संख्या कौन-सी है?
(b) सबसे बड़ी संख्या कौन-सी है?
(c) इन संख्याओं को आरोही और अवरोही क्रम में व्यवस्थित करें।

2. इन संख्याओं को पढ़ें।

(i) 527864
(ii) 95432
(iii) 18950049
(iv) 70002509

(a) इन संख्याओं को प्लेसमेंट बॉक्स का प्रयोग कर लिखें और फिर अल्पविराम लगाकर भारतीय तथा अंतर्राष्ट्रीय संख्या पद्धति में लिखें।
(b) इन्हें आरोही और अवरोही क्रम में व्यवस्थित करें।

3. बड़ी संख्याओं के तीन और समूह लें और ऊपर दिए गए अभ्यास को कीजिए।

क्या आप अंक लिखने में मेरी मदद कर सकते हैं?

किसी संख्या के लिए अंक लिखने के लिए आप फिर से बॉक्स का अनुसरण कर सकते हैं।

(a) बयालीस लाख सत्तर हज़ार आठ।
(b) दो करोड़ नब्बे लाख पचपन हज़ार आठ सौ।
(c) सात करोड़ साठ हज़ार पचपन।

इन्हें आज़माएँ

1. आपके पास निम्नलिखित अंक $4,5,6,0,7$ और 8 हैं। इनका प्रयोग करके छः अंकों की पाँच संख्याएँ बनाएँ।

(a) आसान पढ़ने के लिए अल्पविराम लगाएँ।
(b) इन्हें आरोही और अवरोही क्रम में व्यवस्थित करें।

2. अंक 4, 5, 6, 7, 8 और 9 लें। आठ अंकों की कोई भी तीन संख्याएँ बनाएँ। पढ़ने में आसानी के लिए अल्पविराम लगाएँ।

3. अंक 3, 0 और 4 से छः अंकों की पाँच संख्याएँ बनाएँ। अल्पविराम का प्रयोग करें।

प्रश्नावली 1.1

1. रिक्त स्थान भरें:

(a) 1 लाख = __________ दस हज़ार।
(b) 1 मिलियन = __________ सौ हज़ार।
(c) 1 करोड़ = __________ दस लाख।
(d) 1 करोड़ = __________ मिलियन।
(e) 1 मिलियन = __________ लाख।

2. अल्पविराम सही स्थान पर लगाकर संख्याएँ लिखिए:

(a) तिहत्तर लाख पचहत्तर हज़ार तीन सौ सात।
(b) नौ करोड़ पाँच लाख इकतालीस।
(c) सात करोड़ बावन लाख इक्कीस हज़ार तीन सौ दो।
(d) अट्ठावन मिलियन चार सौ तेईस हज़ार दो सौ दो।
(e) तेईस लाख तीस हज़ार दस।

3. भारतीय संख्या पद्धति के अनुसार अल्पविराम लगाकर नाम लिखिए:

(a) 87595762
(b) 8546283
(c) 99900046
(d) 98432701

4. अंतरराष्ट्रीय संख्या पद्धति के अनुसार अल्पविराम लगाकर नाम लिखिए:

(a) 78921092
(b) 7452283
(c) 99985102
(d) 48049831

1.3 व्यवहार में बड़ी संख्याएँ

पिछली कक्षाओं में हमने सीखा है कि लंबाई की इकाई के रूप में हम सेंटीमीटर $(cm)$ का प्रयोग करते हैं। पेंसिल की लंबाई, किताब या कॉपियों की चौड़ाई आदि मापने के लिए हम सेंटीमीटर का प्रयोग करते हैं। हमारे स्केल पर प्रत्येक सेंटीमीटर के निशान होते हैं। पेंसिल की मोटाई मापने के लिए, हालाँकि, हमें सेंटीमीटर बहुत बड़ा लगता है। पेंसिल की मोटाई दिखाने के लिए हम मिलीमीटर $(mm)$ का प्रयोग करते हैं।

(a) 10 मिलीमीटर $=1$ सेंटीमीटर

कक्षा या विद्यालय भवन की लंबाई मापने के लिए हमें सेंटीमीटर बहुत छोटा लगेगा। इस उद्देश्य के लिए हम मीटर का प्रयोग करते हैं।

(b) 1 मीटर $=100$ सेंटीमीटर $=1000$ मिलीमीटर

कभी-कभी मीटर भी बहुत छोटा पड़ जाता है, जब हमें शहरों के बीच की दूरियाँ बतानी हों, जैसे कि दिल्ली और मुंबई, या चेन्नई और कोलकाता। इसके लिए हमें किलोमीटर $(km)$ चाहिए होते हैं।

इन्हें आज़माइए

1. एक किलोमीटर कितने सेंटीमीटर बनाता है?

2. भारत के पाँच बड़े शहरों के नाम लिखिए। उनकी जनसंख्या ज्ञात कीजिए। साथ ही इन शहरों के प्रत्येक युग्म के बीच की दूरी किलोमीटर में भी ज्ञात कीजिए।

(c) 1 किलोमीटर $=1000$ मीटर

1 किलोमीटर कितने मिलीमीटर बनाता है?

चूँकि $1 m=1000 mm$

$ 1 km=1000 m=1000 \times 1000 mm=10,00,000 mm $

हम बाज़ार चावल या गेहूँ खरीदने जाते हैं; हम इसे किलोग्राम (kg) में खरीदते हैं। लेकिन अदरक या मिर्च जैसी चीज़ें जो हमें बड़ी मात्रा में नहीं चाहिए, हम उन्हें ग्राम (g) में खरीदते हैं। हम जानते हैं 1 किलोग्राम = 1000 ग्राम।

क्या आपने बीमारों को दी जाने वाली दवा की गोलियों के वज़न पर ध्यान दिया है? यह बहुत कम होता है। यह मिलीग्राम (mg) में होता है।

$ 1 \text{ ग्राम }=1000 \text{ मिलीग्राम } . $

इन्हें आज़माइए

1. एक किलोग्राम कितने मिलीग्राम बनाता है?

2. एक डिब्बे में $2,00,000$ दवा की गोलियाँ हैं, प्रत्येक $20 mg$ वज़न की। डिब्बे में सभी गोलियों का कुल वज़न ग्राम और किलोग्राम में क्या है?

एक बाल्टी की पानी धारण करने की क्षमता क्या है? यह आमतौर पर 20 लिटर $(\ell)$ होती है। क्षमता लिटर में दी जाती है। लेकिन कभी-कभी हमें एक छोटी इकाई, मिलीलीटर की ज़रूरत पड़ती है। बालों का तेल, सफाई वाला तरल या कोल्ड ड्रिंक की बोतल पर लेबल होता है जो अंदर के तरल की मात्रा मिलीलीटर $(ml)$ में देता है।

1 लिटर $=1000$ मिलीलीटर।

ध्यान दें कि इन सभी इकाइयों में हमें कुछ सामान्य शब्द जैसे किलो, मिली और सेंटी मिलते हैं। आपको याद रखना चाहिए कि इनमें किलो सबसे बड़ा और मिली सबसे छोटा है; किलो 1000 गुना बड़ा दर्शाता है, मिली 1000 गुना छोटा दर्शाता है, अर्थात् 1 किलोग्राम $=1000$ ग्राम, 1 ग्राम $=1000$ मिलीग्राम।

इसी प्रकार, सेंटी 100 गुना छोटा दर्शाता है, अर्थात् 1 मीटर $=100$ सेंटीमीटर।

इन्हें आज़माइए

1. एक बस ने अपनी यात्रा शुरू की और 60 किमी/घंटा की चाल से विभिन्न स्थानों तक पहुँची। यात्रा पृष्ठ 14 पर दिखाई गई है।

(i) बस द्वारा A से D तय की गई कुल दूरी ज्ञात कीजिए।
(ii) बस द्वारा D से G तय की गई कुल दूरी ज्ञात कीजिए।
(iii) बस द्वारा तय की गई कुल दूरी ज्ञात कीजिए, यदि वह A से शुरू होकर A पर ही लौटती है।
(iv) क्या आप C से D और D से E की दूरियों का अंतर निकाल सकते हैं?
(v) बस द्वारा पहुँचने में लिया गया समय ज्ञात कीजिए

(a) A से B
(b) C से D
(c) E से G
(d) कुल यात्रा

2. रमन की दुकान

वस्तुएँ	मूल्य
सेब	₹40 प्रति किग्रा
संतरे	₹30 प्रति किग्रा
कंघे	₹3 प्रति एक
टूथब्रश	₹10 प्रति एक
पेंसिलें	₹1 प्रति एक
नोटबुकें	₹6 प्रति एक
साबुन के टुकड़े	₹8 प्रति एक

पिछले वर्ष की बिक्री

सेब	2457 किग्रा
संतरे	3004 किग्रा
कंघे	22760
टूथब्रश	25367
पेंसिलें	38530
नोटबुकें	40002
साबुन के टुकड़े	20005

(a) क्या आप रमन द्वारा पिछले वर्ष बेचे गए सेबों और संतरों का कुल वजन निकाल सकते हैं? सेबों का वजन = ___________ किग्रा
संतरों का वजन = ___________ किग्रा
इसलिए, कुल वजन = _______ किग्रा + _______ किग्रा = ___________ किग्रा
उत्तर – संतरों और सेबों का कुल वजन = ___________ किग्रा।

(b) क्या आप सेब बेचकर रमन को मिली कुल राशि निकाल सकते हैं?

(c) क्या आप सेब और संतरे दोनों को बेचकर रमन को मिली कुल राशि निकाल सकते हैं?

(d) एक तालिका बनाइए जो दिखाए कि रमन को प्रत्येक वस्तु बेचने से कितनी राशि मिली। प्राप्त राशि की प्रविष्टियों को अवरोही क्रम में व्यवस्थित कीजिए। वह वस्तु ज्ञात कीजिए जिसने उसे सबसे अधिक राशि दिलाई। यह राशि कितनी है?

हमने बहुत सारे प्रश्न किए हैं जिनमें जोड़, घटाव, गुणा और भाग है। हम यहाँ कुछ और प्रयास करेंगे। शुरू करने से पहले, इन उदाहरणों को देखें और प्रयोग की गई विधियों का पालन करें।

उदाहरण 1 : सुंदरनगर की जनसंख्या वर्ष 1991 में 2,35,471 थी। वर्ष 2001 में यह 72,958 बढ़ी पाई गई। वर्ष 2001 में शहर की जनसंख्या कितनी थी?

हल : वर्ष 2001 में शहर की जनसंख्या

$=$ वर्ष 1991 में शहर की जनसंख्या $+$ जनसंख्या में वृद्धि

$=2,35,471+72,958$

अब: $\begin{array}{r} 235471 \\ +\quad 72958 \\ \hline 308429 \\ \hline \end{array}$

सलमा ने इन्हें इस प्रकार जोड़ा कि 235471 को $200000+35000+471$ और 72958 को $72000+958$ लिखा। उसे योग $200000+107000+1429=308429$ मिला। मेरी ने इसे इस प्रकार जोड़ा $200000+35000+400+71+72000+900+58=308429$

उत्तर : वर्ष 2001 में शहर की जनसंख्या 3,08,429 थी।

तीनों विधियाँ सही हैं।

उदाहरण 2 : एक राज्य में वर्ष 2002-2003 में 7,43,000 साइकिलें बेची गईं। वर्ष 2003-2004 में बेची गई साइकिलों की संख्या 8,00,100 थी। किस वर्ष अधिक साइकिलें बेची गईं और कितनी अधिक?

हल : स्पष्ट है, $8,00,100$, $7,43,000$ से अधिक है। इसलिए, उस राज्य में वर्ष 2003-2004 में वर्ष 2002-2003 की तुलना में अधिक साइकिलें बेची गईं।

$ \begin{array}{lr} \text{अब, } & 800100 \\ & -743000 \\ & \overline{\underline{057100}} \end{array} $

जवाब को जोड़कर जाँचिए

$ \begin{array}{lll} \text{अब, } & 74300 \\ & +57100 \\ & \overline{\underline{800100}} & \text{ (जवाब सही है) } \end{array} $

क्या आप इस समस्या को हल करने के अन्य तरीके सोच सकते हैं?

उत्तर: वर्ष 2003-2004 में 57,100 अधिक साइकिलें बेची गईं।

उदाहरण 3: शहर का अखबार हर दिन प्रकाशित होता है। एक प्रति में 12 पृष्ठ होते हैं। हर दिन 11,980 प्रतियाँ छपती हैं। हर दिन कुल कितने पृष्ठ छपते हैं?

हल: प्रत्येक प्रति में 12 पृष्ठ होते हैं। इसलिए, 11,980 प्रतियों में $12 \times 11,980$ पृष्ठ होंगे। यह संख्या कितनी होगी? $1,00,000$ से अधिक या कम। अनुमान लगाने की कोशिश करें।

$ \begin{array}{lr} \text{अब, } & 11980 \\ & \times 12 \\ & \overline{{23960}} \\ & \underline{+ 119800} \\ & \underline{143760} \end{array} $

उत्तर: हर दिन 1,43,760 पृष्ठ छपते हैं।

उदाहरण 4: नोटबुक बनाने के लिए उपलब्ध कागज की चादरों की संख्या 75,000 है। प्रत्येक चादर एक नोटबुक के 8 पृष्ठ बनाती है। प्रत्येक नोटबुक में 200 पृष्ठ होते हैं। उपलब्ध कागज से कितनी नोटबुकें बनाई जा सकती हैं?

हल: प्रत्येक चादर 8 पृष्ठ बनाती है।

इसलिए, 75,000 चादरें $8 \times 75,000$ पृष्ठ बनाती हैं,

$ \begin{array}{lr} \text{अब, } & 75000 \\ & \times 8 \\ & \overline{\underline{600000}} \end{array} $

इस प्रकार, नोट बनाने के लिए 6,00,000 पृष्ठ उपलब्ध हैं।

अब, 200 पृष्ठ 1 नोट बनाते हैं।

अतः, $6,00,000$ पृष्ठ $6,00,000 \div 200$ नोट बनाते हैं।

$ \begin{array}{lll} & & \quad 300 \\ \text{अब, } & 200 &)\overline{600000} \\ & & -600 \\ & & \overline{0000} & \text{ उत्तर है 3,000 नोट। } \end{array} $

अभ्यास 1.2

1. एक विद्यालय में चार दिनों तक पुस्तक प्रदर्शनी आयोजित की गई। पहले, दूसरे, तीसरे और अंतिम दिन काउंटर पर क्रमशः 1094, 1812, 2050 और 2751 टिकट बेचे गए। सभी चार दिनों में बेचे गए कुल टिकटों की संख्या ज्ञात कीजिए।

2. शेखर एक प्रसिद्ध क्रिकेट खिलाड़ी हैं। उन्होंने अब तक टेस्ट मैचों में 6980 रन बनाए हैं। वह 10,000 रन पूरे करना चाहते हैं। उसे और कितने रनों की आवश्यकता है?

3. एक चुनाव में, सफल उम्मीदवार ने 5,77,500 मत दर्ज कराए और उसके निकटतम प्रतिद्वंद्वी ने 3,48,700 मत प्राप्त किए। सफल उम्मीदवार ने चुनाव किस अंतर से जीता?

4. कीर्ति बुकस्टोर ने जून के पहले सप्ताह में ₹ $2,85,891$ मूल्य की पुस्तकें बेचीं और महीने के दूसरे सप्ताह में ₹ $4,00,768$ मूल्य की पुस्तकें बेचीं। दोनों सप्ताहों की कुल बिक्री कितनी हुई? किस सप्ताह बिक्री अधिक थी और कितनी अधिक?

5. अंक $6,2,7,4,3$ का प्रत्येक केवल एक बार प्रयोग करके बनाए जा सकने वाले सबसे बड़े और सबसे छोटे 5-अंकीय संख्याओं के बीच अंतर ज्ञात कीजिए।

6. एक मशीन औसतन प्रतिदिन 2,825 पेंच बनाती है। इसने जनवरी 2006 के महीने में कितने पेंच बनाए?

7. एक व्यापारी के पास ₹ 78,592 थे। उसने ₹ 1200 प्रति रेडियो की दर से 40 रेडियो सेट खरीदने का ऑर्डर दिया। खरीदारी के बाद उसके पास कितना धन शेष बचेगा?

8. एक विद्यार्थी ने 7236 को 56 से गुणा करने के बजाय 65 से गुणा कर दिया। उसका उत्तर सही उत्तर से कितना अधिक था? (संकेत: क्या आपको दोनों गुणा करने हैं?)

9. एक कमीज़ सिलने के लिए $2 m 15 cm$ कपड़े की आवश्यकता होती है। $40 m$ कपड़े में से कितनी कमीज़ें सिली जा सकती हैं और कितना कपड़ा शेष बचेगा?

(संकेत: डेटा को cm में बदलें।)

10. दवा को डिब्बों में पैक किया जाता है, प्रत्येक डिब्बे का वज़न $4 kg 500 g$ है। ऐसे कितने डिब्बे एक वैन में लोड किए जा सकते हैं जो $800 kg$ से अधिक वज़न नहीं उठा सकती?

11. स्कूल और एक विद्यार्थी के घर के बीच की दूरी $1 km 875 m$ है। वह प्रतिदिन दोनों तरफ पैदल चलती है। छह दिनों में उसके द्वारा तय की गई कुल दूरी ज्ञात कीजिए।

12. एक बर्तन में 4 लीटर और $500 ml$ दही है। इसे कितने गिलासों में भरा जा सकता है, यदि प्रत्येक गिलास की क्षमता $25 ml$ हो?

हमने क्या चर्चा की?

1. दो संख्याओं में से जिसमें अधिक अंक हों, वही बड़ी संख्या होती है। यदि दी गई दोनों संख्याओं में अंकों की संख्या समान हो, तो वह संख्या बड़ी होती है जिसका सबसे बायाँ अंक बड़ा हो। यदि यह अंक भी समान हो, तो हम अगले अंक की ओर देखते हैं, और इसी तरह आगे बढ़ते हैं।

2. दिए गए अंकों से संख्याएँ बनाते समय हमें यह सावधानी बरतनी चाहिए कि संख्याएँ बनाने की जो शर्तें दी गई हैं, वे पूरी हो रही हैं या नहीं। इस प्रकार, 7, 8, 3, 5 से बिना किसी अंक को दोहराए चार अंकों की सबसे बड़ी संख्या बनाने के लिए हमें सभी चारों अंकों का प्रयोग करना होगा; सबसे बड़ी संख्या में सबसे बायाँ अंक केवल 8 ही हो सकता है।

3. सबसे छोटी चार अंकों की संख्या 1000 (एक हज़ार) है। यह सबसे बड़ी तीन अंकों की संख्या 999 के बाद आती है। इसी प्रकार, सबसे छोटी पाँच अंकों की संख्या 10,000 है। यह दस हज़ार है और सबसे बड़ी चार अंकों की संख्या 9999 के बाद आती है।

आगे, सबसे छोटी छह अंकों की संख्या 100,000 है। यह एक लाख है और सबसे बड़ी पाँच अंकों की संख्या 99,999 के बाद आती है। यह क्रम उच्च अंकों की संख्याओं के लिए भी इसी तरह आगे बढ़ता है।

4. अल्पविराम (कॉमा) का प्रयोग बड़ी संख्याओं को पढ़ने और लिखने में सहायक होता है। भारतीय संख्या पद्धति में हम दायीं ओर से शुरू करके 3 अंकों के बाद अल्पविराम लगाते हैं और तत्पश्चात हर 2 अंकों के बाद। 3, 5 और 7 अंकों के बाद लगने वाले अल्पविराम क्रमशः हज़ार, लाख और करोड़ को पृथक् करते हैं। अंतर्राष्ट्रीय संख्या पद्धति में दायीं ओर से शुरू करके हर 3 अंकों के बाद अल्पविराम लगते हैं। 3 और 6 अंकों के बाद लगने वाले अल्पविराम क्रमशः हज़ार और मिलियन को पृथक् करते हैं।

5. दैनिक जीवन में कई स्थानों पर बड़ी संख्याओं की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, किसी विद्यालय में छात्रों की संख्या बताने के लिए, किसी गाँव या शहर में लोगों की संख्या के लिए, बड़े लेन-देन (खरीदने और बेचने) में भुगतान या प्राप्त की गई राशि के लिए, बड़ी दूरियों को मापने में जैसे कि देश या विश्व के विभिन्न शहरों के बीच आदि।

6. याद रखें कि किलो 1000 गुना बड़ा दर्शाता है, सेंटी 100 गुना छोटा दर्शाता है और मिली 1000 गुना छोटा दर्शाता है, इस प्रकार, 1 किलोमीटर $=1000$ मीटर, 1 मीटर $=100$ सेंटीमीटर या 1000 मिलीमीटर आदि।