2.1 परिचय

जैसा कि हम जानते हैं, जब हम गिनती शुरू करते हैं तो हम 1, 2, 3, 4,.. का प्रयोग करते हैं। गिनती शुरू करते समय ये स्वाभाविक रूप से आ जाते हैं। इसलिए गणितज्ञ इन गिनती वाली संख्याओं को प्राकृतिक संख्याएँ कहते हैं।

पूर्ववर्ती और उत्तरवर्ती

किसी भी प्राकृतिक संख्या को लीजिए, आप उसमें 1 जोड़कर अगली संख्या प्राप्त कर सकते हैं, अर्थात् आपको उसका उत्तरवर्ती मिलता है।

16 का उत्तरवर्ती $16+1=17$ है, 19 का उत्तरवर्ती $19+1=20$ है और इसी तरह आगे।

संख्या 16, 17 से पहले आती है, हम कहते हैं कि 17 का पूर्ववर्ती $17-1=16$ है, 20 का पूर्ववर्ती $20-1=19$ है और इसी तरह आगे।

इन्हें आज़माइए

1. 19; 1997; 12000; 49; 100000 का पूर्ववर्ती और उत्तरवर्ती लिखिए।
2. क्या कोई ऐसी प्राकृतिक संख्या है जिसका कोई पूर्ववर्ती नहीं?
3. क्या कोई ऐसी प्राकृतिक संख्या है जिसका कोई उत्तरवर्ती नहीं? क्या कोई अंतिम प्राकृतिक संख्या है?

संख्या 3 का एक पूर्ववर्ती और एक उत्तरवर्ती है। 2 का क्या? उसका उत्तरवर्ती 3 है और पूर्ववर्ती 1 है। क्या 1 का पूर्ववर्ती और उत्तरवर्ती दोनों हैं?

हम अपने स्कूल में बच्चों की संख्या गिन सकते हैं; हम एक शहर में लोगों की संख्या भी गिन सकते हैं; हम भारत में लोगों की संख्या गिन सकते हैं। पूरी दुनिया में लोगों की संख्या भी गिनी जा सकती है। हो सकता है कि आकाश में तारों की संख्या या हमारे सिर के बालों की संख्या हम गिन न पाएँ, लेकिन अगर गिन पाएँ तो उनके लिए भी एक संख्या होगी। हम फिर ऐसी संख्या में एक और जोड़कर एक बड़ी संख्या प्राप्त कर सकते हैं। उस स्थिति में हम दो सिरों के बालों की कुल संख्या भी लिख सकते हैं।

शायद अब यह स्पष्ट है कि कोई सबसे बड़ी संख्या नहीं है। ऊपर दिए गए इन प्रश्नों के अलावा, कई अन्य प्रश्न भी हमारे मन में आ सकते हैं जब हम प्राकृत संख्याओं के साथ कार्य करते हैं। आप ऐसे कुछ प्रश्नों के बारे में सोच सकते हैं और उन्हें अपने मित्रों के साथ चर्चा कर सकते हैं। हो सकता है कि आप उनमें से कई के उत्तर स्पष्ट रूप से न जानते हों!

2.2 पूर्ण संख्याएँ

हमने देखा है कि संख्या 1 का प्राकृत संख्याओं में कोई पूर्ववर्ती नहीं होता है। प्राकृत संख्याओं के संग्रह में हम शून्य को 1 का पूर्ववर्ती जोड़ते हैं।

प्राकृत संख्याएँ शून्य के साथ मिलकर पूर्ण संख्याओं का संग्रह बनाती हैं।

इन्हें आजमाइए

1. क्या सभी प्राकृत संख्याएँ भी पूर्ण संख्याएँ होती हैं?
2. क्या सभी पूर्ण संख्याएँ भी प्राकृत संख्याएँ होती हैं?
3. सबसे बड़ी पूर्ण संख्या कौन-सी है?

अपनी पिछली कक्षाओं में आपने संख्याओं पर जोड़, घटाव, गुणा और भाग जैसी सभी बुनियादी संक्रियाएँ करना सीखा है। आप यह भी जानते हैं कि उन्हें समस्याओं में कैसे लगाया जाता है। आइए उन्हें संख्या रेखा पर आजमाते हैं। इससे पहले कि हम आगे बढ़ें, आइए पता लगाएँ कि संख्या रेखा क्या होती है!

2.3 संख्या रेखा

एक रेखा खींचिए। उस पर एक बिंदु चिह्नित कीजिए। उसे 0 लेबल कीजिए। 0 के दाईं ओर दूसरा बिंदु चिह्नित कीजिए। उसे 1 लेबल कीजिए।

इन बिंदुओं के बीच की दूरी जिन्हें 0 और 1 के रूप में लेबल किया गया है, को इकाई दूरी कहा जाता है। इस रेखा पर, 1 के दाईं ओर एक बिंदु चिह्नित करें और 1 से इकाई दूरी पर इसे 2 के रूप में लेबल करें। इस तरह से रेखा पर इकाई दूरियों पर बिंदुओं को $3,4,5, \ldots$ के रूप में लेबल करते जाएं। आप इस तरह से दाईं ओर किसी भी पूर्ण संख्या तक जा सकते हैं।

यह पूर्ण संख्याओं के लिए एक संख्या रेखा है।

बिंदुओं 2 और 4 के बीच की दूरी क्या है? निश्चित रूप से, यह 2 इकाइयां है। क्या आप बिंदुओं 2 और 6, 2 और 7 के बीच की दूरी बता सकते हैं?

संख्या रेखा पर आप देखेंगे कि संख्या 4 के दाईं ओर 7 है। यह संख्या 7, 4 से बड़ी है, अर्थात् $7>4$। संख्या 6 के दाईं ओर 8 है और $8>6$। ये प्रेक्षण हमें यह कहने में मदद करते हैं कि किन्हीं दो पूर्ण संख्याओं में से, जो संख्या दूसरी संख्या के दाईं ओर होती है वह बड़ी संख्या होती है। हम यह भी कह सकते हैं कि बाईं ओर की पूर्ण संख्या छोटी संख्या होती है।

उदाहरण के लिए, $4<9 ; 4$ संख्या 9 के बाईं ओर है। इसी तरह, $12>5 ; 12$ संख्या 5 के दाईं ओर है।

आप 10 और 20 के बारे में क्या कह सकते हैं?

संख्या रेखा पर 30, 12, 18 को चिह्नित करें। कौन-सी संख्या सबसे बाईं ओर है? क्या आप 1005 और 9756 में से यह बता सकते हैं कि कौन-सी संख्या दूसरी संख्या के सापेक्ष दाईं ओर होगी।

संख्या रेखा पर 12 के उत्तराधिकारी और 7 के पूर्वाधिकारी को रखें।

संख्या रेखा पर जोड़

पूर्ण संख्याओं की जोड़ को संख्या रेखा पर दिखाया जा सकता है। आइए 3 और 4 की जोड़ देखें।

3 से शुरू करें। चूँकि हम इस संख्या में 4 जोड़ रहे हैं, इसलिए हम दाईं ओर 4 छलांग लगाते हैं; 3 से 4, 4 से 5, 5 से 6 और 6 से 7, जैसा ऊपर दिखाया गया है। चौथी छलांग में अंतिम \to की नोक 7 पर है।

3 और 4 का योग 7 है, अर्थात् $3+4=7$।

इन्हें आज़माएँ

संख्या रेखा का प्रयोग कर $4+5$; $2+6 ; 3+5$ और $1+6$ ज्ञात कीजिए।

संख्या रेखा पर घटाव

दो पूर्ण संख्याओं का घटाव भी संख्या रेखा पर दिखाया जा सकता है। आइए $7-5$ ज्ञात करें।

7 से शुरू करें। चूँकि 5 घटाया जा रहा है, इसलिए बाईं ओर 1 इकाई की छलांग लगाएँ। ऐसी 5 छलांगें लगाएँ। हम बिंदु 2 पर पहुँचते हैं। हमें $7-5=2$ प्राप्त होता है।

इन्हें आज़माएँ

संख्या रेखा का प्रयोग कर $8-3$; $6-2 ; 9-6$ ज्ञात कीजिए। संख्या रेखा।

संख्या रेखा पर गुणा

अब हम पूर्ण संख्याओं की गुणा संख्या रेखा पर देखते हैं।

आइए $4 \times 3$ ज्ञात करें।

0 से शुरू करें, हर बार 3 इकाई दाएँ चलें, ऐसे 4 कदम चलें। आप कहाँ पहुँचेंगे? आप 12 पर पहुँचेंगे। इसलिए हम कहते हैं, $3 \times 4=12$।

इन्हें आज़माएँ

संख्या रेखा का प्रयोग कर $2 \times 6; 3\times3;4 \times 2$ ज्ञात कीजिए

प्रश्नावली 2.1

1. 10999 के बाद वाले अगले तीन प्राकृतिक संख्याएँ लिखिए।

2. 10001 से ठीक पहले आने वाली तीन पूर्ण संख्याएँ लिखिए।

3. सबसे छोटी पूर्ण संख्या कौन-सी है?

4. 32 और 53 के बीच कितनी पूर्ण संख्याएँ हैं?

5. उत्तराधिकारी लिखिए :

(a) 2440701
(b) 100199
(c) 1099999
(d) 2345670

6. पूर्ववर्ती लिखिए :

(a) 94
(b) 10000
(c) 208090
(d) 7654321

7. निम्नलिखित संख्या युगलों में से प्रत्येक में बताइए कि संख्या रेखा पर कौन-सी पूर्ण संख्या दूसरे की बाईं ओर है। साथ ही उन्हें उपयुक्त चिह्न $(>,<)$ के साथ लिखिए।

(a) 530,503
(b) 370,307
(c) 98765,56789
(d) 9830415,10023001

8. निम्नलिखित कथनों में से कौन-से सत्य $(T)$ हैं और कौन-से असत्य $(F)$ ?

(a) शून्य सबसे छोटी प्राकृत संख्या है।
(b) 400, 399 का पूर्ववर्ती है।
(c) शून्य सबसे छोटी पूर्ण संख्या है।
(d) 600, 599 का उत्तरवर्ती है।
(e) सभी प्राकृत संख्याएँ पूर्ण संख्याएँ होती हैं।
(f) सभी पूर्ण संख्याएँ प्राकृत संख्याएँ होती हैं।
(g) दो अंकों की संख्या का पूर्ववर्ती कभी एक अंक की संख्या नहीं होता।
(h) 1 सबसे छोटी पूर्ण संख्या है।
(i) प्राकृत संख्या 1 का कोई पूर्ववर्ती नहीं होता।
(j) पूर्ण संख्या 1 का कोई पूर्ववर्ती नहीं होता।
(k) पूर्ण संख्या 13, 11 और 12 के बीच में आती है।
(l) पूर्ण संख्या 0 का कोई पूर्ववर्ती नहीं होता।
(m) दो अंकों की संख्या का उत्तरवर्ती हमेशा दो अंकों की संख्या होता है।

हमने क्या चर्चा की है?

1. संख्याएँ $1,2,3, \ldots$ जिनका उपयोग हम गिनती के लिए करते हैं, उन्हें प्राकृत संख्याएँ कहा जाता है।

2. यदि आप किसी प्राकृत संख्या में 1 जोड़ें, तो आपको उसका उत्तरवर्ती मिलता है। यदि आप किसी प्राकृत संख्या से 1 घटाएँ, तो आपको उसका पूर्ववर्ती मिलता है।

3. हर प्राकृत संख्या का एक उत्तरवर्ती होता है। 1 को छोड़कर हर प्राकृत संख्या का एक पूर्ववर्ती होता है।

4. यदि हम प्राकृत संख्याओं के समूह में शून्य को जोड़ दें, तो हमें पूर्ण संख्याओं का समूह मिलता है। इस प्रकार, संख्याएँ $0,1,2,3, \ldots$ पूर्ण संख्याओं का समूह बनाती हैं।

5. हर पूर्ण संख्या का एक उत्तरवर्ती होता है। शून्य को छोड़कर हर पूर्ण संख्या का एक पूर्ववर्ती होता है।

6. सभी प्राकृत संख्याएँ पूर्ण संख्याएँ होती हैं, लेकिन सभी पूर्ण संख्याएँ प्राकृत संख्याएँ नहीं होतीं।

7. हम एक रेखा लेते हैं, उस पर एक बिंदु चिह्नित करते हैं और उसे 0 लेबल करते हैं। फिर हम 0 के दाईं ओर समान अंतराल पर बिंदु चिह्नित करते हैं। उन्हें $1,2,3, \ldots$ के रूप में लेबल करते हैं। इस प्रकार, हमारे पास एक संख्या रेखा है जिस पर पूर्ण संख्याएँ दर्शाई गई हैं। हम संख्या रेखा पर जोड़, घटाव और गुणा संबंधी संख्या संक्रियाओं को आसानी से कर सकते हैं।

8. जोड़ संख्या रेखा पर दाईं ओर बढ़ने से संगत होता है, जबकि घटाव बाईं ओर बढ़ने से संगत होता है। गुणा शून्य से प्रारंभ होकर समान दूरी की छलांगें लगाने से संगत होता है।