3.1 परिचय

रमेश के पास 6 कंचे हैं। वह उन्हें इस प्रकार पंक्तियों में व्यवस्थित करना चाहता है कि प्रत्येक पंक्ति में समान संख्या में कंचे हों। वह उन्हें निम्नलिखित तरीकों से व्यवस्थित करता है और कंचों की कुल संख्या से मिलान करता है।

(i) प्रत्येक पंक्ति में 1 कंचा

पंक्तियों की संख्या $=6$

कंचों की कुल संख्या $\quad=1 \times 6=6$

(ii) प्रत्येक पंक्ति में 2 कंचे
पंक्तियों की संख्या $=3$

कंचों की कुल संख्या $\quad=2 \times 3=6$

(iii) प्रत्येक पंक्ति में 3 कंचे

पंक्तियों की संख्या $\quad=2$

कंचों की कुल संख्या $\quad=3 \times 2=6$

(iv) वह ऐसी कोई व्यवस्था नहीं सोच पाया जिसमें प्रत्येक पंक्ति में 4 कंचे या 5 कंचे हों। इसलिए, केवल एक संभावित व्यवस्था बची थी जिसमें सभी 6 कंचे एक ही पंक्ति में हों।

पंक्तियों की संख्या $\quad=1$

कंचों की कुल संख्या $=6 \times 1=6$

इन गणनाओं से रमेश यह देखता है कि 6 को दो संख्याओं के गुणनफल के रूप में विभिन्न तरीकों से लिखा जा सकता है:

$ 6=1 \times 6 ; \quad 6=2 \times 3 ; \quad 6=3 \times 2 ; \quad 6=6 \times 1 $

$6=2 \times 3$ से यह कहा जा सकता है कि 2 और 3, 6 को पूरी तरह से विभाजित करते हैं। इसलिए, 2 और 3, 6 के पूर्ण विभाजक हैं। दूसरे गुणनफल $6=1 \times 6$ से, 6 के पूर्ण विभाजक 1 और 6 मिलते हैं।

इस प्रकार, 1, 2, 3 और 6, 6 के पूर्ण विभाजक हैं। इन्हें 6 के गुणनखंड कहा जाता है। 18 कंचों को पंक्तियों में लगाकर 18 के गुणनखंड ज्ञात करने की कोशिश करें।

3.2 गुणनखंड और गुणज

मैरी उन संख्याओं को खोजना चाहती है जो 4 को पूरी तरह से विभाजित करती हैं। वह 4 को 4 से छोटी संख्याओं से इस प्रकार विभाजित करती है।

उसे पता चलता है कि संख्या 4 को इस प्रकार लिखा जा सकता है: $4=1 \times 4 ; 4=2 \times 2$; $4=4 \times 1$ और वह जानती है कि संख्याएँ 1,2 और 4 संख्या 4 के सटीक भाजक हैं।

इन संख्याओं को 4 के गुणनखंड कहा जाता है।

किसी संख्या का गुणनखंड उस संख्या का सटीक भाजक होता है।

ध्यान दीजिए कि 4 के प्रत्येक गुणनखंड 4 से छोटा या बराबर है।

खेल-1 : यह एक खेल है जो दो व्यक्तियों द्वारा खेला जाता है मान लीजिए A और B। यह गुणनखंडों को पहचानने के बारे में है।

इसके लिए 1 से 50 तक अंकित 50 कार्डों की आवश्यकता होती है।

कार्डों को टेबल पर इस प्रकार व्यवस्थित करें।

चरण

(a) तय करें कि पहले कौन खेलेगा, A या B।

(b) मान लीजिए A पहले खेलता है। वह टेबल से एक कार्ड उठाता है और उसे अपने पास रखता है। मान लीजिए कार्ड पर संख्या 28 है।

(c) खिलाड़ी B फिर उन सभी कार्डों को उठाता है जिन पर लिखी संख्याएँ A के कार्ड पर लिखी संख्या (अर्थात् 28) के गुणनखंड हैं, और उन्हें अपने पास एक ढेर में रखता है।

(d) खिलाड़ी B फिर मेज़ से एक कार्ड उठाता है और उसे अपने पास रखता है। बचे हुए कार्डों में से, A उन सभी कार्डों को उठाता है जिन पर लिखी संख्याएँ B के कार्ड पर लिखी संख्या के गुणनखंड हैं। A उन्हें उस पिछले कार्ड पर रखता है जो उसने पहले इकट्ठा किया था।

(e) यह खेल इसी तरह चलता रहता है जब तक सभी कार्ड समाप्त नहीं हो जाते।

(f) A उन कार्डों पर लिखी संख्याओं को जोड़ेगा जो उसने इकट्ठा किए हैं। B भी अपने कार्डों के साथ ऐसा ही करेगा। जिस खिलाड़ी का योग अधिक होगा, वह विजेता होगा।

इस खेल को और अधिक रोचक बनाया जा सकता है कार्डों की संख्या बढ़ाकर। इस खेल को अपने मित्र के साथ खेलें। क्या आप इस खेल को जीतने का कोई तरीका खोज सकते हैं?

जब हम किसी संख्या 20 को $20=4 \times 5$ के रूप में लिखते हैं, तो हम कहते हैं कि 4 और 5, 20 के गुणनखंड हैं। हम यह भी कहते हैं कि 20, 4 और 5 का गुणज है।

प्रस्तुति $24=2 \times 12$ दर्शाती है कि 2 और 12, 24 के गुणनखंड हैं, जबकि 24, 2 और 12 का गुणज है।

इन्हें आज़माएँ

45, 30 और 36 के संभावित गुणनखंड ज्ञात कीजिए।

हम यह कह सकते हैं कि कोई संख्या अपने प्रत्येक गुणनखंड का गुणज होती है

आइए अब गुणनखंडों और गुणजों के बारे में कुछ रोचक तथ्य देखें।

(a) 3 इकाई लंबाई वाली कई लकड़ी/कागज़ की पट्टियाँ इकट्ठा कीजिए।

(b) उन्हें आगे-पीछे जोड़ें जैसा कि निम्न आकृति में दिखाया गया है।

ऊपर वाली पट्टी की लंबाई $3=1 \times 3$ इकाई है।

उसके नीचे वाली पट्टी की लंबाई $3+3=6$ इकाई है। साथ ही, $6=2 \times 3$ है। अगली पट्टी की लंबाई $3+3+$ $3=9$ इकाई है, और $9=3 \times 3$ है। इसी तरह आगे बढ़ते हुए हम अन्य लंबाइयों को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं,

$ 12=4 \times 3 ; \quad 15=5 \times 3 $

हम कहते हैं कि संख्याएँ $3,6,9,12,15$ संख्या 3 के गुणज हैं।

संख्या 3 के गुणजों की सूची को आगे बढ़ाया जा सकता है: $18,21,24, \ldots$

इनमें से प्रत्येक गुणज 3 से बड़ा या बराबर है।

संख्या 4 के गुणज हैं $4,8,12,16,20,24, \ldots$

यह सूची अनंत है। इनमें से प्रत्येक संख्या 4 से बड़ी या बराबर है।

आइए देखें कि हम गुणनखंडों और गुणजों के बारे में क्या निष्कर्ष निकालते हैं:

1. क्या कोई ऐसी संख्या है जो प्रत्येक संख्या का गुणनखंड हो? हाँ। वह 1 है। उदाहरण के लिए $6=1 \times 6,18=1 \times 18$ और आगे भी। कुछ और संख्याओं के लिए इसकी जाँच करें।

हम कहते हैं कि $\mathbf{1}$ प्रत्येक संख्या का गुणनखंड होता है।

2. क्या 7 अपना स्वयं का गुणनखंड हो सकता है? हाँ। आप 7 को $7=7 \times 1$ के रूप में लिख सकते हैं। 10 के बारे में क्या? और 15 के बारे में?

आप पाएँगे कि प्रत्येक संख्या को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है।

हम कहते हैं कि प्रत्येक संख्या अपना स्वयं का गुणनखंड होती है।

3. 16 के गुणनखंड क्या हैं? वे 1, 2, 4, 8, 16 हैं। इन गुणनखंडों में से क्या कोई ऐसा गुणनखंड है जो 16 को विभाजित नहीं करता? इसे $20 ; 36$ के लिए आज़माएँ।

आप पाएँगे कि किसी संख्या का प्रत्येक गुणनखंड उस संख्या का एक सटीक भाजक होता है।

4. 34 के गुणनखंड क्या हैं? वे 1, 2, 17 और 34 स्वयं हैं। इनमें से सबसे बड़ा गुणनखंड कौन-सा है? यह 34 स्वयं है।

अन्य गुणनखंड 1, 2 और 17, 34 से छोटे हैं। इसे 64, 81 और 56 के लिए जाँचने का प्रयास करें।

हम कहते हैं कि प्रत्येक गुणनखंड दी गई संख्या से छोटा या उसके बराबर होता है।

5. संख्या 76 के 5 गुणनखंड हैं। 136 या 96 के कितने गुणनखंड हैं? आप पाएँगे कि आप इनमें से प्रत्येक के गुणनखंडों की गिनती कर पाते हैं।

यदि संख्याएँ 10576, 25642 आदि या इससे भी बड़ी हों, तब भी आप ऐसी संख्याओं के गुणनखंडों की गिनती कर सकते हैं (यद्यपि आपको ऐसी संख्याओं का गुणनखंडन कठिन लग सकता है)।

हम कहते हैं कि किसी दी गई संख्या के गुणनखंडों की संख्या सीमित होती है।

6. 7 के गुणज क्या हैं? स्पष्टतः, $7,14,21,28, \ldots$ आप पाएँगे कि इनमें से प्रत्येक गुणज 7 से बड़ा या उसके बराबर है। क्या यह प्रत्येक संख्या के साथ होगा? इसे 6, 9 और 10 के गुणजों के लिए जाँचें।

हम पाते हैं कि किसी संख्या का प्रत्येक गुणज उस संख्या से बड़ा या उसके बराबर होता है।

7. 5 के गुणज लिखें। वे $5,10,15,20, \ldots$ हैं। क्या आपको लगता है कि यह सूची कहीं समाप्त होगी? नहीं! यह सूची अनंत है। इसे 6, 7 आदि के गुणजों के साथ आज़माएँ।

हम पाते हैं कि किसी दी गई संख्या के गुणजों की संख्या अनंत होती है।

8. क्या 7, स्वयं का गुणज हो सकता है? हाँ, क्योंकि $7=7 \times 1$। क्या यह बात अन्य संख्याओं के लिए भी सही होगी? इसे 3, 12 और 16 के साथ आज़माएँ।

आप पाएँगे कि हर संख्या स्वयं का गुणज होती है।

6 के गुणनखण्ड 1, 2, 3 और 6 हैं। साथ ही, $1+2+3+6=12=2 \times 6$। हम पाते हैं कि 6 के गुणनखण्डों का योग 6 की दुगुनी संख्या है। 28 के सभी गुणनखण्ड 1, 2, 4, 7, 14 और 28 हैं। इन्हें जोड़ने पर, $1+2+4+7+14+28=56=2 \times 28$।

28 के गुणनखण्डों का योग 28 की दुगुनी संख्या के बराबर है।

एक ऐसी संख्या जिसके सभी गुणनखण्डों का योग संख्या के दुगुने के बराबर हो, उसे पूर्ण संख्या कहा जाता है। संख्याएँ 6 और 28 पूर्ण संख्याएँ हैं। क्या 10 एक पूर्ण संख्या है?

उदाहरण 1 : 68 के सभी गुणनखण्ड लिखिए।

हल : हम देखते हैं कि

$ \begin{matrix} 68=1 \times 68 \quad \quad & 68=2 \times 34 \\ 68=4 \times 17 \quad \quad & 68=17 \times 4 \end{matrix} $

यहाँ रुकिए, क्योंकि 4 और 17 पहले ही आ चुके हैं।

इस प्रकार, 68 के सभी गुणनखण्ड 1, 2, 4, 17, 34 और 68 हैं।

उदाहरण 2 : 36 के गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए।

हल :

$ \begin{array}{lll} 36=1 \times 36 & 36=2 \times 18 & 36=3 \times 12 \\ 36=4 \times 9& 36=6 \times 6 & \end{array} $

यहाँ रुकिए, क्योंकि दोनों गुणनखण्ड (6) समान हैं। इस प्रकार, गुणनखण्ड हैं 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 और 36।

उदाहरण 3 : 6 के पहले पाँच गुणज लिखिए।

हल : अभीष्ट गुणज हैं: $6 \times 1=6,6 \times 2=12,6 \times 3=18,6 \times 4=24$, $6 \times 5=30$ अर्थात् 6, 12, 18, 24 और 30।

अभ्यास 3.1

1. निम्नलिखित संख्याओं के सभी गुणनखंड लिखिए :

(a) 24
(b) 15
(c) 21
(d) 27
(e) 12
(f) 20
(g) 18
(h) 23
(i) 36

2. निम्नलिखित के पहले पाँच गुणज लिखिए :

(a) 5
(b) 8
(c) 9

3. कॉलम 1 की वस्तुओं को कॉलम 2 की वस्तुओं से मिलान कीजिए।

कॉलम1 $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ $\quad$ कॉलम2

(i) 35 $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (a) 8 का गुणज
(ii) 15 $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (b) 7 का गुणज
(iii) 16 $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (c) 70 का गुणज
(iv) 20 $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (d) 30 का गुणनखंड
(v) 25 $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (e) 50 का गुणनखंड
$\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (f) (f) 20 का गुणनखंड

4. 100 तक 9 के सभी गुणज ज्ञात कीजिए।

3.3 अभाज्य और भाज्य संख्याएँ

अब हम किसी संख्या के गुणनखंडों से परिचित हैं। इस सारणी में व्यवस्थित कुछ संख्याओं के गुणनखंडों की संख्या पर ध्यान दीजिए।

संख्याएँ	गुणनखंड	गुणनखंडों की संख्या
1	1	1
2	1,2	2
3	1,3	2
4	1,2,4	3
5	1,5	2
6	1,2,3,6	4
7	1,7	2
8	1,2,4,8	4
9	1,3,9	3
10	1,2,5,10	4
11	1,11	2
12	1,2,3,4,6,12	6

हम पाते हैं कि (a) संख्या 1 में केवल एक गुणनखंड है (अर्थात् स्वयं)।

(b) कुछ संख्याएँ हैं, जिनमें ठीक दो गुणनखंड 1 और स्वयं संख्या होते हैं। ऐसी संख्याएँ 2, 3, 5, 7, 11 आदि हैं। ये संख्याएँ अभाज्य संख्याएँ हैं।

1 के अतिरिक्त वे संख्याएँ जिनके केवल गुणनखंड 1 और स्वयं संख्या होती हैं, अभाज्य संख्याएँ कहलाती हैं।

इनके अलावा कुछ और अभाज्य संख्याएँ खोजने की कोशिश करें।

(c) कुछ संख्याएँ ऐसी होती हैं जिनके दो से अधिक गुणनखंड होते हैं, जैसे 4, 6, 8, 9, 10 आदि।

इन संख्याओं को संयुक्त संख्याएँ कहा जाता है।

1 न तो अभाज्य होता है और न ही संयुक्त संख्या।

दो से अधिक गुणनखंड वाली संख्याओं को संयुक्त संख्याएँ कहा जाता है।

क्या 15 एक संयुक्त संख्या है? क्यों? 18 का क्या? 25?

किसी संख्या के गुणनखंडों की जाँच किए बिना, हम 1 से 100 तक की अभाज्य संख्याओं को एक आसान विधि से खोज सकते हैं। यह विधि एक ग्रीक गणितज्ञ एराटोस्थनीज़ ने ईसा पूर्व तीसरी शताब्दी में दी थी। आइए यह विधि देखें। सभी संख्याओं को 1 से 100 तक नीचे दिखाए अनुसार सूचीबद्ध करें।

चरण 1 : 1 को काट दें क्योंकि यह अभाज्य संख्या नहीं है।

चरण 2 : 2 को घेरें, 2 के सभी गुणजों को काट दें, 2 को छोड़कर, अर्थात् 4, 6, 8 आदि।

चरण 3 : आप पाएँगे कि अगली बिना काटी संख्या 3 है। 3 को घेरें और 3 के सभी गुणजों को काट दें, 3 को छोड़कर।

चरण 4 : अगली बिना काटी संख्या 5 है। 5 को घेरें और 5 के सभी गुणजों को काट दें, 5 को छोड़कर।

चरण 5 : यह प्रक्रिया तब तक जारी रखें जब तक सूची में सभी संख्याएँ या तो घेरी न जाएँ या काटी न जाएँ।

सभी घेरी गई संख्याएँ अभाज्य संख्याएँ होती हैं। सभी काटी गई संख्याएँ, 1 को छोड़कर, संयुक्त संख्याएँ होती हैं।

इस विधि को इरेटोस्थनीज का छलनी विधि कहा जाता है।

इन्हें आज़माएँ

ध्यान दीजिए कि $2 \times 3+1=7$ एक अभाज्य संख्या है। यहाँ, 2 के एक गुणज में 1 जोड़कर एक अभाज्य संख्या प्राप्त की गई है। क्या आप इस प्रकार की कुछ और संख्याएँ खोज सकते हैं?

उदाहरण 4 : 15 से कम सभी अभाज्य संख्याएँ लिखिए।

हल : छलनी विधि को देखकर, हम आवश्यक अभाज्य संख्याओं को आसानी से 2, 3, 5, 7, 11 और 13 लिख सकते हैं।

सम और विषम संख्याएँ

क्या आप संख्याओं $2,4,6,8,10,12,14, \ldots$ में कोई प्रतिरूप देखते हैं? आप पाएँगे कि इनमें से प्रत्येक 2 का गुणज है।

इन्हें सम संख्याएँ कहा जाता है। शेष संख्याएँ $1,3,5,7,9,11, \ldots$ को विषम संख्याएँ कहा जाता है।

आप यह सत्यापित कर सकते हैं कि कोई दो अंकों वाली संख्या या तीन अंकों वाली संख्या सम है या नहीं। आप कैसे जानेंगे कि 756482 जैसी संख्या सम है या नहीं? इसे 2 से विभाजित करके। क्या यह थकाऊ नहीं होगा?

हम कहते हैं कि जिस संख्या के इकाई के स्थान पर $0,2,4,6,8$ हो, वह सम संख्या होती है। इसलिए, 350, 4862, 59246 सम संख्याएँ हैं। संख्याएँ 457, 2359, 8231 सभी विषम हैं। आइए कुछ रोचक तथ्य खोजने का प्रयास करें:

(a) सबसे छोटी सम संख्या कौन-सी है? यह 2 है। सबसे छोटी अभाज्य संख्या कौन-सी है? यह फिर से 2 है।

इस प्रकार, 2 सबसे छोटी अभाज्य संख्या है जो सम है।

(b) अन्य अभाज्य संख्याएँ $3,5,7,11,13, \ldots$ हैं। क्या आपको इस सूची में कोई सम संख्या मिलती है? निश्चित रूप से नहीं, ये सभी विषम हैं।

इस प्रकार, हम कह सकते हैं कि प्रत्येक अभाज्य संख्या 2 को छोड़कर विषम होती है।

अभ्यास 3.2

1. किन्हीं दो (क) विषम संख्याओं का योग क्या होता है? (ख) सम संख्याओं का योग क्या होता है?

2. निम्नलिखित कथनों को सत्य या असत्य बताइए:

(a) तीन विषम संख्याओं का योग सम होता है।
(b) दो विषम संख्याओं और एक सम संख्या का योग सम होता है।
(c) तीन विषम संख्याओं का गुणनफल विषम होता है।
(d) यदि एक सम संख्या को 2 से विभाजित किया जाए, तो भागफल सदैव विषम होता है।
(e) सभी अभाज्य संख्याएँ विषम होती हैं।
(f) अभाज्य संख्याओं के कोई गुणनखंड नहीं होते।
(g) दो अभाज्य संख्याओं का योग सदैव सम होता है।
(h) 2 एकमात्र सम अभाज्य संख्या है।
(i) सभी सम संख्याएँ भाज्य संख्याएँ होती हैं।
(j) दो सम संख्याओं का गुणनफल सदैव सम होता है।

3. संख्याएँ 13 और 31 अभाज्य संख्याएँ हैं। इन दोनों संख्याओं में एक ही अंक 1 और 3 हैं। 100 तक ऐसे अभाज्य संख्या युग्म ज्ञात कीजिए।

4. 20 से कम अभाज्य और भाज्य संख्याओं को अलग-अलग लिखिए।

5. 1 और 10 के बीच सबसे बड़ी अभाज्य संख्या कौन-सी है?

6. निम्नलिखित को दो विषम अभाज्य संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त कीजिए।

(a) 44
(b) 36
(c) 24
(d) 18

7. ऐसे तीन अभाज्य संख्या युग्म दीजिए जिनका अंतर 2 हो।

[टिप्पणी : दो अभाज्य संख्याएँ जिनका अंतर 2 हो, जुड़वाँ अभाज्य कहलाते हैं।]

8. निम्नलिखित में से कौन-सी संख्याएँ अभाज्य हैं?

(a) 23
(b) 51
(c) 37
(d) 26

9. 100 से कम सात क्रमागत भाज्य संख्याएँ लिखिए जिनके बीच कोई अभाज्य संख्या न हो।

10. निम्नलिखित प्रत्येक संख्या को तीन विषम अभाज्य संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त कीजिए:

(a) 21
(b) 31
(c) 53
(d) 61

11. 20 से कम ऐसे पाँच अभाज्य संख्या युग्म लिखिए जिनका योग 5 से विभाज्य हो। (संकेत : $3+7=10$)

12. रिक्त स्थानों को भरिए :

(a) एक संख्या जिसके केवल दो गुणनखंड होते हैं, उसे ______ कहा जाता है।
(b) एक संख्या जिसके दो से अधिक गुणनखंड होते हैं, उसे ______ कहा जाता है।
(c) 1 न तो ______ है और न ही ______ है।
(d) सबसे छोटी अभाज्य संख्या ______ है।
(e) सबसे छोटी भाज्य संख्या ______ है।
(f) सबसे छोटी सम संख्या ______ है।

3.4 संख्याओं की विभाज्यता के परीक्षण

क्या संख्या 38, 2 से विभाज्य है? 4 से? 5 से?

इन संख्याओं से 38 को वास्तव में विभाजित करने पर हम पाते हैं कि यह 2 से विभाज्य है, लेकिन 4 और 5 से विभाज्य नहीं है।

आइए देखें कि क्या हम कोई ऐसा नियम खोज सकते हैं जो बता सके कि कोई संख्या $2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10$ या 11 से विभाज्य है या नहीं। क्या आपको लगता है कि ऐसे नियम आसानी से देखे जा सकते हैं?

10 से विभाज्यता: चारू 10 के गुणजों को देख रही थी। गुणज हैं $10, 20, 30, 40, 50, 60, \ldots$। उसने इन संख्याओं में कुछ समान बात देखी। क्या आप बता सकते हैं वह क्या है? इनमें से प्रत्येक संख्या के इकाई के स्थान पर 0 है।

उसने इकाई के स्थान पर 0 वाली कुछ और संख्याओं के बारे में सोचा, जैसे $100, 1000, 3200, 7010$। उसने यह भी पाया कि ऐसी सभी संख्याएँ 10 से विभाज्य हैं।

उसने यह निष्कर्ष निकाला कि यदि किसी संख्या के इकाई के स्थान पर 0 हो तो वह 10 से विभाज्य होती है।

क्या आप 100 की विभाज्यता का नियम खोज सकते हैं?

5 से विभाज्यता: मणि ने 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, … संख्याओं में कुछ रोचक पैटर्न देखा। क्या तुम वह पैटर्न बता सकते हो? इकाई के स्थान को देखो। इन सभी संख्याओं के इकाई स्थान पर या तो 0 या 5 है। हम जानते हैं कि ये संख्याएँ 5 से विभाजित होती हैं।

मणि ने 5 से विभाजित होने वाली कुछ और संख्याएँ लीं, जैसे 105, 215, 6205, 3500। इन संख्याओं के इकाई स्थान पर भी या तो 0 या 5 है।

उसने 23, 56, 97 संख्याओं को 5 से विभाजित करने की कोशिश की। क्या वह ऐसा कर पाएगा? जाँच करो। वह देखता है कि जिस संख्या के इकाई स्थान पर 0 या 5 हो, वह 5 से विभाजित होती है, अन्य संख्याएँ शेष देती हैं।

क्या 1750125, 5 से विभाजित है?

2 से विभाज्यता: चारू 2 के कुछ गुणजों को देखती है—10, 12, 14, 16… और साथ ही संख्याएँ जैसे 2410, 4356, 1358, 2972, 5974। वह इन संख्याओं के इकाई स्थान में कुछ पैटर्न ढूँढती है। क्या तुम वह बता सकते हो? इन संख्याओं के इकाई स्थान पर केवल अंक 0, 2, 4, 6, 8 हैं।

वह इन संख्याओं को 2 से विभाजित करती है और शेष 0 प्राप्त करती है।

वह यह भी पाती है कि संख्याएँ 2467, 4829, 2 से विभाजित नहीं होती हैं। इन संख्याओं के इकाई स्थान पर 0, 2, 4, 6 या 8 नहीं हैं।

इन प्रेक्षणों को देखकर वह निष्कर्ष निकालती है कि यदि किसी संख्या के इकाई स्थान पर 0, 2, 4, 6 या 8 हो, तो वह संख्या 2 से विभाजित होती है।

3 से विभाज्यता: क्या संख्याएँ 21, 27, 36, 54, 219, 3 से विभाजित हैं? हाँ, ये विभाजित हैं।

क्या संख्याएँ 25, 37, 260, 3 से विभाजित हैं? नहीं।

क्या तुम्हें इकाई के स्थान पर कोई पैटर्न दिखाई दे रहा है? हमें नहीं दिखाई देता, क्योंकि जिन संख्याओं की इकाई के स्थान पर एक ही अंक होता है वे 3 से विभाजित हो सकती हैं, जैसे 27, या 3 से विभाजित नहीं भी हो सकती, जैसे 17, 37। आइए अब 21, 36, 54 और 219 के अंकों को जोड़ने की कोशिश करें। क्या तुम्हें कुछ विशेष दिखाई देता है? 2+1=3, 3+6=9, 5+4=9, 2+1+9=12। ये सभी योग 3 से विभाजित हैं।

25, 37, 260 के अंकों को जोड़ें। हमें 2+5=7, 3+7=10, 2+6+0=8 मिलता है।

ये 3 से विभाजित नहीं हैं।

हम कहते हैं कि यदि अंकों का योग 3 का गुणज हो, तो संख्या 3 से विभाजित होती है।

क्या 7221, 3 से विभाजित है?

6 से विभाज्यता: क्या तुम्हें कोई ऐसी संख्या मिल सकती है जो 2 और 3 दोनों से विभाजित हो? एक ऐसी संख्या 18 है। क्या 18, 2×3=6 से विभाजित होगी? हाँ, होती है।

18 जैसी कुछ और संख्याएँ खोजो और जाँचो कि क्या वे 6 से भी विभाजित हैं या नहीं।

क्या तुम तुरंत कोई ऐसी संख्या सोच सकते हो जो 2 से विभाजित हो लेकिन 3 से न हो?

अब 3 से विभाजित होने पर 2 से न विभाजित होने वाली संख्या के लिए, एक उदाहरण 27 है। क्या 27, 6 से विभाजित है? नहीं। 27 जैसी संख्याएँ खोजने की कोशिश करो।

इन प्रेक्षणों से हम निष्कर्ष निकालते हैं कि यदि कोई संख्या 2 और 3 दोनों से विभाजित होती है तो वह 6 से भी विभाजित होती है।

4 से विभाज्यता: क्या आप तुरंत पाँच ऐसे 3-अंकीय संख्याएँ बता सकते हैं जो 4 से विभाज्य हों? एक ऐसी संख्या 212 है। ऐसी ही 4-अंकीय संख्याओं के बारे में सोचिए। एक उदाहरण 1936 है।

212 के इकाई और दहाई के स्थान से बने अंक को देखिए। यह 12 है; जो 4 से विभाज्य है। 1936 के लिए यह 36 है, फिर से 4 से विभाज्य है।

इस अभ्यास को अन्य ऐसी संख्याओं के साथ आज़माइए, उदाहरण के लिए 4612; $3516 ; 9532$ के साथ।

क्या संख्या 286, 4 से विभाज्य है? नहीं। क्या 86, 4 से विभाज्य है? नहीं।

इसलिए, हम देखते हैं कि 3 या अधिक अंकों वाली कोई संख्या 4 से विभाज्य होती है यदि उसके अंतिम दो अंकों (अर्थात् इकाई और दहाई) से बनी संख्या 4 से विभाज्य हो।

इस नियम की जाँच दस और उदाहरण लेकर कीजिए।

1 या 2 अंकों वाली संख्याओं की 4 से विभाज्यता को वास्तविक भाग देकर ही जाँचना होता है।

8 से विभाज्यता: क्या संख्याएँ $1000,2104,1416$, 8 से विभाज्य हैं?

आप जाँच सकते हैं कि ये 8 से विभाज्य हैं। आइए प्रतिरूप देखने की कोशिश करें।

इन संख्याओं के इकाई, दहाई और सैकड़े के स्थान के अंकों को देखिए। ये क्रमशः 000, 104 और 416 हैं। ये भी 8 से विभाज्य हैं। कुछ और ऐसी संख्याएँ खोजिए जिनमें इकाई, दहाई और सैकड़े के स्थान के अंकों (अर्थात् अंतिम 3 अंकों) से बनी संख्या 8 से विभाज्य हो। उदाहरण के लिए, 9216, 8216, 7216, 10216, 9995216 आदि। आप पाएँगे कि संख्याएँ स्वयं भी 8 से विभाज्य हैं।

हम पाते हैं कि 4 या अधिक अंकों वाली कोई संख्या 8 से विभाज्य होती है, यदि अंतिम तीन अंकों से बनी संख्या 8 से विभाज्य हो।

क्या 73512, 8 से विभाज्य है?

1, 2 या 3 अंकों वाली संख्याओं की 8 से विभाज्यता की जाँच वास्तविक विभाजन द्वारा करनी पड़ती है।

9 से विभाज्यता : 9 के गुणज $9,18,27,36,45,54, \ldots$ हैं। 4608, 5283 जैसी अन्य संख्याएँ भी 9 से विभाज्य हैं।

क्या आप इन संख्याओं के अंकों को जोड़ने पर कोई प्रतिरूप देखते हैं?

$1+8=9,2+7=9,3+6=9,4+5=9$

$4+6+0+8=18,5+2+8+3=18$

ये सभी योग भी 9 से विभाज्य हैं।

क्या संख्या 758, 9 से विभाज्य है?

नहीं। इसके अंकों का योग $7+5+8=20$ भी 9 से विभाज्य नहीं है।

ये प्रेक्षण हमें यह कहने की ओर ले जाते हैं कि यदि किसी संख्या के अंकों का योग 9 से विभाज्य हो, तो संख्या स्वयं भी 9 से विभाज्य होती है।

11 से विभाज्यता : संख्याएँ 308, 1331 और 61809 सभी 11 से विभाज्य हैं। हम एक सारणी बनाते हैं और देखते हैं कि क्या इन संख्याओं के अंक हमें कोई प्रतिरूप दिखाते हैं।

संख्या	दायें से विषम स्थानों के अंकों का योग	दायें से सम स्थानों के अंकों का योग	अंतर
308	$8+3=11$	0	$11-0=11$
1331	$1+3=4$	$3+1=4$	$4-4=0$
61809	$9+8+6=23$	$0+1=1$	$23-1=22$

हम देखते हैं कि प्रत्येक स्थिति में अंतर या तो 0 है या 11 से विभाज्य है। ये सभी संख्याएँ भी 11 से विभाज्य हैं।

संख्या 5081 के लिए, अंकों का अंतर $(5+8)-(1+0)=12$ है जो 11 से विभाज्य नहीं है। संख्या 5081 भी 11 से विभाज्य नहीं है।

इस प्रकार, किसी संख्या की 11 से विभाज्यता की जाँच करने के लिए नियम है, संख्या के दाएँ से विषम स्थानों पर स्थित अंकों के योग और दाएँ से सम स्थानों पर स्थित अंकों के योग के बीच का अंतर निकालें। यदि अंतर 0 हो या 11 से विभाजित होता हो, तो संख्या 11 से विभाज्य है।

अभ्यास 3.3

1. विभाज्यता परीक्षणों का प्रयोग करके निर्धारित कीजिए कि निम्नलिखित संख्याएँ 2 से; 3 से; 4 से; 5 से; 6 से; 8 से; 9 से; 10 से; 11 से विभाज्य हैं या नहीं (हाँ या ना कहिए):

संख्या		विभाज्य है
	2	3	4	5	6	8	9	10	11
128	हाँ	ना	हाँ	ना	ना	हाँ	ना	ना	ना
990	…..	…..	…..	…..	…..	…..	…..	…..	…..
1586	…..	…..	…..	…..	…..	…..	…..	…..	…..
275	…..	…..	…..	…..	…..	…..	…..	…..	…..
6686	…..	…..	…..	…..	…..	…..	…..	…..	…..
639210	…..	…..	…..	…..	…..	…..	…..	…..	….
429714	…..	…..	…..	…..	……	…..	…	…..	…..
2856	…..	…..	…..	…..	…..	…..	…..	…..	…..
3060	…..	…..	…..	…..	…..	…..	…..	…..	…..
406839	…..	…..	…..	…..	…..	…..	…..	…..	…..

2. विभाज्यता परीक्षणों का प्रयोग करके निम्नलिखित संख्याओं में से कौन-कौन सी संख्याएँ 4 से; 8 से विभाज्य हैं :

(a) 572
(b) 726352
(c) 5500
(d) 6000
(e) 12159
(f) 14560
(g) 21084
(h) 31795072
(i) 1700
(j) 2150

3. विभाज्यता परीक्षणों का प्रयोग करके निम्नलिखित संख्याओं में से कौन-कौन सी संख्याएँ 6 से विभाज्य हैं :

(a) 297144
(b) 1258
(c) 4335
(d) 61233
(e) 901352
(f) 438750
(g) 1790184
(h) 12583
(i) 639210
(j) 17852

4. विभाज्यता परीक्षणों का प्रयोग करके निम्नलिखित संख्याओं में से कौन-कौन सी संख्याएँ 11 से विभाज्य हैं:

(a) 5445
(b) 10824
(c) 7138965
(d) 70169308
(e) 10000001
(f) 901153

5. निम्नलिखित प्रत्येक संख्या में खाली स्थान पर सबसे छोटा अंक और सबसे बड़ा अंक लिखिए ताकि बनी हुई संख्या 3 से विभाज्य हो :

(a) ___ 6724
(b) 4765 ___ 2

6. निम्नलिखित प्रत्येक संख्या में खाली स्थान पर एक अंक लिखिए ताकि बनी हुई संख्या 11 से विभाज्य हो :

(a) 92 ___ 389
(b) 8 ___ 9484

3.5 साझा गुणनखंड और साझा गुणज

कुछ संख्याओं के गुणनखंडों को युग्मों में लेकर देखिए।

(a) 4 और 18 के गुणनखंड क्या हैं ?

4 के गुणनखंड 1,2 और 4 हैं।

18 के गुणनखंड $1,2,3,6,9$ और 18 हैं।

संख्याएँ 1 और 2 दोनों 4 और 18 के गुणनखंड हैं।

वे 4 और 18 के साझा गुणनखंड हैं।

इन्हें आज़माइए

साझा गुणनखंड ज्ञात कीजिए

(a) 8,20
(b) 9,15

(b) 4 और 15 के साझा गुणनखंड क्या हैं?

इन दोनों संख्याओं का केवल 1 ही साझा गुणनखंड है।

7 और 16 का क्या हाल है ?

वे दो संख्याएँ जिनका केवल 1 साझा गुणनखंड होता है, सह-अभाज्य संख्याएँ कहलाती हैं। इस प्रकार, 4 और 15 सह-अभाज्य संख्याएँ हैं।

क्या 7 और 15, 12 और 49, 18 और 23 सह-अभाज्य संख्याएँ हैं?

(c) क्या हम 4, 12 और 16 के साझा गुणनखंड ज्ञात कर सकते हैं?

4 के गुणनखंड 1, 2 और 4 हैं।

12 के गुणनखंड 1, 2, 3, 4, 6 और 12 हैं।

16 के गुणनखंड 1, 2, 4, 8 और 16 हैं।

स्पष्ट है कि 1, 2 और 4 संख्याएँ 4, 12 और 16 के साझा गुणनखंड हैं।

(a) 8, 12, 20 के साझा गुणनखंड ज्ञात कीजिए (b) 9, 15, 21 के साझा गुणनखंड ज्ञात कीजिए।

अब हम एक साथ ली गई एक से अधिक संख्याओं के गुणजों को देखते हैं।

(a) 4 और 6 के गुणज क्या हैं?

4 के गुणज $4,8,12,16,20,24, \ldots$ हैं (कुछ और लिखिए)

6 के गुणज $6,12,18,24,30,36, \ldots$ हैं (कुछ और लिखिए)

क्या इनमें से कोई संख्याएँ दोनों सूचियों में आती हैं?

हम देखते हैं कि 12, 24, 36, … 4 और 6 दोनों के गुणज हैं।

क्या आप कुछ और लिख सकते हैं?

इन्हें 4 और 6 के साझा गुणज कहा जाता है।

(b) 3, 5 और 6 के साझा गुणज ज्ञात कीजिए।

3 के गुणज 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, .. हैं

5 के गुणज 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, .. हैं

6 के गुणज 6, 12, 18, 24, 30, .. हैं

3, 5 और 6 के साझा गुणज 30, 60, … हैं

3, 5 और 6 के कुछ और साझा गुणज लिखिए।

उदाहरण 5 : 75, 60 और 210 के साझा गुणनखंड ज्ञात कीजिए।

हल : 75 के गुणनखंड 1, 3, 5, 15, 25 और 75 हैं।

60 के गुणनखंड 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 30 और 60 हैं।

210 के गुणनखंड 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15, 21, 30, 35, 42, 70, 105 और 210 हैं।

इस प्रकार, 75, 60 और 210 के उभयनिष्ठ गुणनखण्ड 1, 3, 5 और 15 हैं।

उदाहरण 6 : 3, 4 और 9 के उभयनिष्ठ गुणज ज्ञात कीजिए।

हल : 3 के गुणज 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, $45,48, \ldots$ हैं।

4 के गुणज 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48,.. हैं।

9 के गुणज $9,18,27,36,45,54,63,72,81, \ldots$ हैं।

स्पष्ट है कि 3,4 और 9 के उभयनिष्ठ गुणज $36,72,108, \ldots$ हैं।

प्रश्नावली 3.4

1. उभयनिष्ठ गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए :

(a) 20 और 28
(b) 15 और 25
(c) 35 और 50
(d) 56 और 120

2. उभयनिष्ठ गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए :

(a) 4, 8 और 12
(b) 5, 15 और 25

3. पहले तीन उभयनिष्ठ गुणज ज्ञात कीजिए :

(a) 6 और 8
(b) 12 और 18

4. वे सभी संख्याएँ लिखिए जो 100 से कम हैं और 3 और 4 के उभयनिष्ठ गुणज हैं।

5. निम्नलिखित में से कौन-सी संख्याएँ सह-अभाज्य हैं?

(a) 18 और 35
(b) 15 और 37
(c) 30 और 415
(d) 17 और 68
(e) 216 और 215
(f) 81 और 16

6. एक संख्या 5 और 12 दोनों से विभाज्य है। वह संख्या अन्य किस संख्या से सदैव विभाज्य होगी?

7. एक संख्या 12 से विभाज्य है। वह संख्या अन्य किन संख्याओं से विभाज्य होगी?

3.6 अभाज्य गुणनफल

जब किसी संख्या को उसके गुणनखण्डों के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जाता है, तो हम कहते हैं कि संख्या का गुणनखण्डन किया गया है। इस प्रकार, जब हम $24=3 \times 8$ लिखते हैं, तो हम कहते हैं कि 24 का गुणनखण्डन किया गया है। यह 24 के गुणनखण्डन में से एक है। अन्य इस प्रकार हैं :

$\begin{aligned} 24 & =2 \times 12 \\ & =2 \times 2 \times 6 \\ & =2 \times 2 \times 2 \times 3\end{aligned}$	$\begin{aligned} 24 & =4 \times 6 \\ & =2 \times 2 \times 6 \\ & =2 \times 2 \times 2 \times 3\end{aligned}$	$\begin{aligned} 24 & =3 \times 8 \\ & =3 \times 2 \times 2 \times 2 \\ & =2 \times 2 \times 2 \times 3\end{aligned}$

24 के उपरोक्त सभी गुणनखंडनों में हम अंततः केवल एक ही गुणनखंडन $2 \times 2 \times 2 \times 3$ पर पहुँचते हैं। इस गुणनखंडन में केवल गुणनखंड 2 और 3 अभाज्य संख्याएँ हैं। किसी संख्या के इस प्रकार के गुणनखंडन को अभाज्य गुणनखंडन कहा जाता है।

आइए इसे संख्या 36 के लिए जाँचें।

36 का अभाज्य गुणनखंडन $2 \times 2 \times 3 \times 3$ है, अर्थात् 36 का केवल एक ही अभाज्य गुणनखंडन है।

इसे कीजिए

कोई एक संख्या चुनिए और उसे लिखिए

गुणनखंड वृक्ष

एक गुणनखंड युग्म कीजिए, जैसे, $90 = 10 \times 9$

90: अब 10 का एक गुणनखंड युग्म सोचिए

10 = 2 $\times$ 5

99 का गुणनखंड युग्म लिखिए = 3 $\times$ 3

$9=3 \times 3$

इसे निम्नलिखित संख्याओं के लिए आजमाइए

(a) 8
(b) 12

इन्हें आज़माइए

$16,28,38$ का अभाज्य गुणनफल लिखिए।

उदाहरण 7 : 980 का अभाज्य गुणनफल ज्ञात कीजिए।

हल : हम इस प्रकार आगे बढ़ते हैं:

हम संख्या 980 को $2,3,5,7$ आदि से इस क्रम में तब तक बार-बार विभाजित करते हैं जब तक कि भागफल उस संख्या से विभाज्य रहे। इस प्रकार, 980 का अभाज्य गुणनफल $2 \times 2 \times 5 \times 7 \times 7$ है।

$ \begin{array}{r|r} 2 & 980 \ \hline 2 & 490 \ \hline 5 & 245 \ \hline 7 & 49 \ \hline 7 & 7 \ \hline & 1 \end{array} $

अभ्यास 3.5

1. यहाँ 60 के लिए दो भिन्न गुणन वृक्ष दिए गए हैं। लुप्त संख्याएँ लिखिए।

(a)

(b)

2. कौन-से गुणनखंड समग्र संख्या के अभाज्य गुणनफल में सम्मिलित नहीं किए जाते?

3. सबसे बड़ी 4-अंकीय संख्या लिखिए और उसे उसके अभाज्य गुणनखंडों के रूप में व्यक्त कीजिए।

4. सबसे छोटी 5-अंकीय संख्या लिखिए और उसे उसके अभाज्य गुणनखंडों के रूप में व्यक्त कीजिए।

5. 1729 के सभी अभाज्य गुणनफल (prime factors) ज्ञात कीजिए और उन्हें आरोही क्रम में व्यवस्थित कीजिए। अब दो क्रमागत अभाज्य गुणनफलों के बीच कोई संबंध हो तो बताइए।

6. तीन क्रमागत संख्याओं का गुणनफल सदैव 6 से विभाज्य होता है। कुछ उदाहरणों की सहायता से इस कथन की पुष्टि कीजिए।

7. दो क्रमागत विषम संख्याओं का योग 4 से विभाज्य होता है। कुछ उदाहरणों की सहायता से इस कथन की पुष्टि कीजिए।

8. निम्नलिखित व्यंजकों में से किसमें अभाज्य गुणनफल (prime factorisation) किया गया है?

(a) $24=2 \times 3 \times 4$
(b) $56=7 \times 2 \times 2 \times 2$
(c) $70=2 \times 5 \times 7$
(d) $54=2 \times 3 \times 9$

9. 18, 2 और 3 दोनों से विभाज्य है। यह $2 \times 3=6$ से भी विभाज्य है। इसी प्रकार, एक संख्या 4 और 6 दोनों से विभाज्य है। क्या हम कह सकते हैं कि वह संख्या $4 \times 6=24$ से भी अवश्य विभाज्य होगी? यदि नहीं, तो अपने उत्तर को सही ठहराने के लिए एक उदाहरण दीजिए।

10. मैं वह सबसे छोटी संख्या हूँ जिसके पास चार भिन्न-भिन्न अभाज्य गुणनफल हैं। क्या आप मुझे खोज सकते हैं?

3.7 उच्चतम समापवर्तक (Highest Common Factor)

हम किन्हीं दो संख्याओं के समापवर्तक (common factors) ज्ञात कर सकते हैं। अब हम इन समापवर्तकों में से सबसे बड़ा ज्ञात करने का प्रयास करते हैं।

12 और 16 के समापवर्तक क्या हैं? ये 1, 2 और 4 हैं।

इन समापवर्तकों में सबसे बड़ा कौन-सा है? यह 4 है।

20, 28 और 36 के समापवर्तक क्या हैं? ये 1, 2 और 4 हैं और पुनः 4 इन समापवर्तकों में सबसे बड़ा है।

दो या दो से अधिक दी गई संख्याओं का महत्तम समापवर्त्य (HCF) उनके उभयनिष्ठ गुणनखंडों में सबसे बड़ा (या महत्तम) होता है। इसे ग्रेटेस्ट कॉमन डिविज़र (GCD) भी कहा जाता है।

इन्हें आज़माएँ

निम्नलिखित का HCF ज्ञात कीजिए:

(i) 24 और 36
(ii) 15, 25 और 30
(iii) 8 और 12
(iv) 12, 16 और 28

20, 28 और 36 का HCF इन संख्याओं के अभाज्य गुणनखंडन द्वारा भी ज्ञात किया जा सकता है, जैसा कि नीचे दिया गया है:

$ \begin{aligned} \text{इस प्रकार, }\quad& 20=2 \times 2 \times 5 \\ & 28=2 \times 2 \times 7 \\ & 36=2 \times 2 \times 3 \times 3 \\ \end{aligned} $

20, 28 और 36 का उभयनिष्ठ गुणनखंड 2 (दो बार आ रहा है) है। इस प्रकार, 20, 28 और 36 का HCF $2 \times 2=4$ है।

अभ्यास 3.6

1. निम्नलिखित संख्याओं का $HCF$ ज्ञात कीजिए :

(a) 18,48
(b) 30,42
(c) 18,60
(d) 27,63
(e) 36,84
(f) 34,102
(g) 70,105,175
(h) 91,112,49
(i) 18,54,81
(j) 12,45,75

2. दो क्रमागत संख्याओं का HCF क्या होता है

(a) संख्याओं का?
(b) सम संख्याओं का?
(c) विषम संख्याओं का?

3. सह-अभाज्य संख्याओं 4 और 15 का HCF गुणनखंड द्वारा इस प्रकार ज्ञात किया गया : $4=2 \times 2$ और $15=3 \times 5$ चूँकि कोई उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड नहीं है, इसलिए 4 और 15 का HCF 0 है। क्या यह उत्तर सही है? यदि नहीं, तो सही HCF क्या है?

3.8 लघुतम समापवर्त्य

4 और 6 के समापवर्त्य क्या हैं? वे $12,24,36, \ldots$ हैं। इनमें सबसे छोटा कौन-सा है? यह 12 है। हम कहते हैं कि 4 और 6 का लघुतम समापवर्त्य 12 है। यह वह सबसे छोटी संख्या है जिसका दोनों संख्याएँ गुणनखंड हैं।

दो या अधिक दी गई संख्याओं का लघुतम समापवर्त्य (LCM) उनके समापवर्त्यों में सबसे छोटा (या न्यूनतम या लघुतम) होता है।

8 और 12 का LCM क्या होगा? 4 और 9 का? 6 और 9 का?

उदाहरण 8 : 12 और 18 का LCM ज्ञात कीजिए।

हल : हम जानते हैं कि 12 और 18 के समापवर्त्य 36, 72, 108 आदि हैं। इनमें सबसे छोटा 36 है। आइए दो संख्याओं का LCM ज्ञात करने का एक अन्य तरीका देखें।

12 और 18 के अभाज्य गुणनखंड इस प्रकार हैं :

$12=2 \times 2 \times 3 ; \quad 18=2 \times 3 \times 3$

इन अभाज्य गुणनफलों में, अभाज्य गुणनखंड 2 अधिकतम दो बार आता है; यह 12 के लिए होता है। इसी प्रकार, गुणनखंड 3 अधिकतम दो बार आता है; यह 18 के लिए होता है। दो संख्याओं का लघुतम समापवर्त्य (LCM) वह अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल होता है जो किसी भी संख्या में अधिकतम बार आते हैं। इस प्रकार, इस स्थिति में LCM $=2 \times 2 \times 3 \times 3=36$ है।

उदाहरण 9: 24 और 90 का LCM ज्ञात कीजिए।

हल: 24 और 90 के अभाज्य गुणनफल इस प्रकार हैं:

$24=2 \times 2 \times 2 \times 3 ; \quad 90=2 \times 3 \times 3 \times 5$

इन अभाज्य गुणनफलों में अभाज्य गुणनखंड 2 अधिकतम तीन बार आता है; यह 24 के लिए होता है। इसी प्रकार, अभाज्य गुणनखंड 3 अधिकतम दो बार आता है; यह 90 के लिए होता है। अभाज्य गुणनखंड 5 केवल 90 में एक बार आता है।

इस प्रकार, $LCM=(2 \times 2 \times 2) \times(3 \times 3) \times 5=360$

उदाहरण 10: 40, 48 और 45 का LCM ज्ञात कीजिए।

हल: 40, 48 और 45 के अभाज्य गुणनफल इस प्रकार हैं;

$40=2 \times 2 \times 2 \times 5$

$48=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3$

$45=3 \times 3 \times 5$

अभाज्य गुणनखंड 2 अधिकतम चार बार 48 के अभाज्य गुणनफल में आता है, अभाज्य गुणनखंड 3 अधिकतम दो बार 45 के अभाज्य गुणनफल में आता है, अभाज्य गुणनखंड 5 40 और 45 के अभाज्य गुणनफल में एक बार आता है, हम इसे केवल एक बार लेते हैं।

इसलिए, अभीष्ट $LCM=(2 \times 2 \times 2 \times 2) \times(3 \times 3) \times 5=720$

LCM को निम्नलिखित तरीके से भी निकाला जा सकता है :

उदाहरण 11 : 20, 25 और 30 का LCM ज्ञात कीजिए।

हल : हम संख्याओं को एक पंक्ति में इस प्रकार लिखते हैं :

$ \begin{array}{c|cccr} 2 & 20 & 25 & 30 \\ \hline 2 & 10 & 25 & 15\\ \hline 3 & 5 & 25 & 15 \\ \hline 5 & 5 & 25 & 5 \\ \hline 5 & 1 & 5 & 1 \\ \hline & 1 & 1 & 1 \\ \hline & & & \end{array} \begin{array}{c} \mathbf{(A)}\\ \mathbf{(B)}\\ \mathbf{(C)}\\ \mathbf{(D)}\\ \mathbf{(E)}\\ \\ \\ \end{array} $

इसलिए, $LCM=2 \times 2 \times 3 \times 5 \times 5$

(A) सबसे छोटी अभाज्य संख्या से भाग दें जो दी गई संख्याओं में से कम से कम एक को विभाजित करती है। यहाँ यह 2 है। संख्याएँ जैसे 25, 2 से विभाजित नहीं होतीं, इसलिए उन्हें अगली पंक्ति में वैसे ही लिखा जाता है।

(B) फिर से 2 से भाग दें। यह तब तक जारी रखें जब तक हमारे पास 2 के गुणज न रहें।

(C) अगली अभाज्य संख्या 3 से भाग दें।

(D) अगली अभाज्य संख्या 5 से भाग दें।

(E) फिर से 5 से भाग दें।

3.9 HCF और LCM पर कुछ समस्याएँ

हम ऐसी कई स्थितियों में आते हैं जिनमें हम HCF और LCM की संकल्पनाओं का उपयोग करते हैं। हम इन स्थितियों को कुछ उदाहरणों के माध्यम से समझाते हैं।

उदाहरण 12 : दो टैंकरों में क्रमशः 850 लीटर और 680 लीटर मिट्टी का तेल है। एक ऐसे बर्तन की अधिकतम क्षमता ज्ञात कीजिए जो दोनों टैंकरों के तेल को पूर्ण संख्या में बार माप सके।

हल: आवश्यक कंटेनर को दोनों टैंकरों को मापना होगा इस प्रकार कि गिनती एक निश्चित बार हो। इसलिए इसकी क्षमता दोनों टैंकरों की क्षमताओं का एक निश्चित भाजक होनी चाहिए। साथ ही, यह क्षमता अधिकतम होनी चाहिए। इस प्रकार, ऐसे कंटेनर की अधिकतम क्षमता 850 और 680 का महत्तम समापवर्तक होगा।

इसे इस प्रकार ज्ञात किया गया है:

इसलिए,

850 और 680 के उभयनिष्ठ गुणनखंड 2, 5 और 17 हैं।

इस प्रकार, 850 और 680 का महत्तम समापवर्तक $2 \times 5 \times 17=170$ है।

अतः, अभीष्ट बर्तन की अधिकतम क्षमता 170 लीटर है।

यह पहले बर्तन को 5 और दूसरे को 4 बार भरने में भरेगा।

उदाहरण 13 : एक प्रातःकालीन सैर में तीन व्यक्ति एक साथ कदम बढ़ाते हैं। उनके कदम क्रमशः $80 cm, 85 cm$ और $90 cm$ मापते हैं। प्रत्येक को न्यूनतम कितनी दूरी चलनी चाहिए ताकि सभी पूर्ण कदमों में समान दूरी तय कर सकें?

हल : प्रत्येक द्वारा तय की जाने वाली दूरी समान और न्यूनतम होनी चाहिए। प्रत्येक द्वारा चलनी होने वाली न्यूनतम दूरी उनके कदमों के माप का लघुतम समापवर्त्य होगा। क्या आप बता सकते हैं क्यों? इस प्रकार, हम 80, 85 और 90 का ल.स.प. निकालते हैं। 80, 85 और 90 का ल.स.प. 12240 है।

अभीष्ट न्यूनतम दूरी $12240 cm$ है।

उदाहरण 14 : वह न्यूनतम संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 12, 16, 24 और 36 से भाग देने पर प्रत्येक स्थिति में 7 शेष बचे।

हल : हम पहले 12, 16, 24 और 36 का ल.स.प. इस प्रकार निकालते हैं :

$ \begin{array}{c|cccc} 2 & 12 & 16 & 24 & 36 \\ \hline 2 & 6 & 8 & 12 & 18 \\ \hline 2 & 3 & 4 & 6 & 9 \\ \hline 2 & 3 & 2 & 3 & 9 \\ \hline 3 & 3 & 1 & 3 & 9 \\ \hline 3 & 1 & 1 & 1 & 3 \\ \hline & 1 & 1 & 1 & 1 \end{array} $

इस प्रकार, ल.स.प. $=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3=144$

144 वह न्यूनतम संख्या है जिसे दी गई संख्याओं से विभाजित करने पर प्रत्येक दशा में शेषफल 0 बचेगा। परंतु हमें वह न्यूनतम संख्या चाहिए जो प्रत्येक दशा में शेषफल 7 छोड़े।

अतः अभीष्ट संख्या 144 से 7 अधिक है। अभीष्ट न्यूनतम संख्या $=144+7=151$ है।

अभ्यास 3.7

1. रेणू खाद के दो थैले जिनका भार क्रमशः $75 kg$ और $69 kg$ है, खरीदती है। वह भार का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए जो खाद के भार को ठीक-ठीक बार-बार माप सके।

2. तीन लड़के एक साथ एक ही स्थान से कदम बढ़ाते हैं। उनके कदमों की माप क्रमशः $63 cm$, $70 cm$ और $77 cm$ है। न्यूनतम दूरी क्या होगी जो प्रत्येक को तय करनी चाहिए ताकि सभी पूरी स्टेप्स में वह दूरी तय कर सकें?

3. एक कमरे की लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः $825 cm$, $675 cm$ और $450 cm$ है। सबसे लंबी टेप ज्ञात कीजिए जो कमरे की तीनों विमाओं को ठीक-ठीक माप सके।

4. वह छोटी से छोटी 3-अंकीय संख्या ज्ञात कीजिए जो 6, 8 और 12 से पूर्णतः विभाज्य हो।

5. वह बड़ी से बड़ी 3-अंकीय संख्या ज्ञात कीजिए जो 8, 10 और 12 से पूर्णतः विभाज्य हो।

6. तीन अलग-अलग सड़क क्रॉसिंग्स पर लगे ट्रैफिक लाइट क्रमशः हर 48 सेकंड, 72 सेकंड और 108 सेकंड बाद बदलते हैं। यदि वे सुबह 7 बजे एक साथ बदलते हैं, तो वे फिर से एक साथ किस समय बदलेंगे?

7. तीन टैंकरों में क्रमशः 403 लीटर, 434 लीटर और 465 लीटर डीज़ल है। एक ऐसे कंटेनर की अधिकतम क्षमता ज्ञात कीजिए जो तीनों कंटेनरों के डीज़ल को ठीक-ठीक बार माप सके।

8. वह न्यूनतम संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 6, 15 और 18 से विभाजित करने पर प्रत्येक दशा में शेषफल 5 बचे।

9. वह छोटी से छोटी 4-अंकीय संख्या ज्ञात कीजिए जो 18, 24 और 32 से विभाज्य हो।

10. निम्नलिखित संख्याओं का लघुतम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात कीजिए:

(a) 9 और 4
(b) 12 और 5
(c) 6 और 5
(d) 15 और 4

प्राप्त LCMs में एक सामान्य गुण देखिए। क्या प्रत्येक दशा में LCM दो संख्याओं का गुणनफल है?

11. निम्नलिखित संख्याओं का LCM ज्ञात कीजिए जिनमें से एक संख्या दूसरी का गुणनखंड है।

(a) 5,20
(b) 6,18
(c) 12,48
(d) 9,45

प्राप्त परिणामों में आप क्या देखते हैं?

हमने क्या चर्चा की?

1. हमने गुणज, भाजक, गुणनखंडों की चर्चा की है और यह देखा है कि गुणनखंड तथा गुणजों की पहचान कैसे करें।

2. हमने निम्नलिखित की चर्चा और खोज की है:

(a) किसी संख्या का गुणनखंड वह संख्या होती है जो उसे पूरी तरह से विभाजित कर दे।
(b) प्रत्येक संख्या स्वयं का गुणनखंड होती है। 1 प्रत्येक संख्या का गुणनखंड होता है।
(c) किसी संख्या का प्रत्येक गुणनखंड उस संख्या से छोटा या उसके बराबर होता है।
(d) प्रत्येक संख्या अपने प्रत्येक गुणनखंड की गुणज होती है।
(e) किसी दी गई संख्या का प्रत्येक गुणज उस संख्या से बड़ा या उसके बराबर होता है।
(f) प्रत्येक संख्या स्वयं की गुणज होती है।

3. हमने सीखा है कि -

(a) 1 के अतिरिक्त वह संख्या जिसके केवल दो गुणनखंड हों—1 और वह संख्या स्वयं—एक अभाज्य संख्या होती है। वे संख्याएँ जिनके दो से अधिक गुणनखंड हों, संयुक्त (composite) संख्याएँ कहलाती हैं। संख्या 1 न तो अभाज्य है और न ही संयुक्त।
(b) संख्या 2 सबसे छोटी अभाज्य संख्या है और सम है। 2 के अतिरिक्त प्रत्येक अभाज्य संख्या विषम होती है।
(c) दो संख्याएँ जिनका केवल 1 उभयनिष्ठ गुणनखंड हो, सह-अभाज्य (co-prime) संख्याएँ कहलाती हैं।
(d) यदि कोई संख्या दो सह-अभाज्य संख्याओं से विभाज्य है, तो वह उनके गुणनफल से भी विभाज्य होती है।

4. हमने चर्चा की है कि हम किसी संख्या को देखकर ही बता सकते हैं कि क्या वह छोटी संख्याओं $2,3,4,5,8,9$ और 11 से विभाज्य है। हमने संख्या के अंकों तथा विभिन्न संख्याओं से विभाज्यता के बीच संबंध का अन्वेषण किया है।

(a) 2, 5 और 10 से विभाज्यता केवल अंतिम अंक देखकर जाँची जा सकती है।
(b) 3 और 9 से विभाज्यता सभी अंकों का योग निकालकर जाँची जाती है।
(c) 4 और 8 से विभाज्यता क्रमशः अंतिम 2 और 3 अंकों से जाँची जाती है।
(d) 11 से विभाज्यता विषम और सम स्थानों पर स्थित अंकों के योगों की तुलना करके जाँची जाती है।

5. हमने सीखा है कि -

(क) दो या दो से अधिक दिए गए संख्याओं का महत्तम समापवर्त्य (HCF) उनके समापवर्तकों में सबसे बड़ा होता है।
(ख) दो या दो से अधिक दिए गए संख्याओं का लघुतम समापवर्त्य (LCM) उनके समापवर्तकों में सबसे छोटा होता है।