4.1 परिचय

ज्यामिति का एक लंबा और समृद्ध इतिहास है। ‘Geometry’ शब्द ग्रीक शब्द ‘Geometron’ का अंग्रेज़ी समकक्ष है। ‘Geo’ का अर्थ है पृथ्वी और ‘metron’ का अर्थ है मापन। इतिहासकारों के अनुसार, ज्यामितीय विचार प्राचीन समय में विकसित हुए, संभवतः कला, वास्तुकला और मापन की आवश्यकता के कारण। इनमें वे अवसर शामिल हैं जब खेती की भूमि की सीमाओं को शिकायतों के लिए कोई जगह दिए बिना चिह्नित करना पड़ता था। भव्य महलों, मंदिरों, झीलों, बांधों और शहरों के निर्माण, कला और वास्तुकला ने इन विचारों को बढ़ावा दिया। आज भी ज्यामितीय विचार सभी प्रकार की कलाओं में परिलक्षित होते हैं,

मापन, वास्तुकला, इंजीनियरिंग, कपड़ा डिज़ाइनिंग आदि में। आप विभिन्न वस्तुओं को देखते और उपयोग करते हैं जैसे डिब्बे, मेज़, किताबें, वह टिफिन बॉक्स जिसे आप स्कूल में लंच के लिए ले जाते हैं, वह गेंद जिससे आप खेलते हैं और आगे भी। इन सभी वस्तुओं की अलग-अलग आकृतियाँ होती हैं। वह पैमाना जिसे आप उपयोग करते हैं, वह पेंसिल जिससे आप लिखते हैं, सीधी होती हैं। चूड़ी, एक रुपये का सिक्का या गेंद की तस्वीरें गोल प्रतीत होती हैं।

यहाँ आप कुछ रोचक तथ्य सीखेंगे जो आपको आपके चारों ओर की आकृतियों के बारे में अधिक जानने में मदद करेंगे।

4.2 बिंदु

पेंसिल के तेज सिरे से कागज़ पर एक बिंदु बनाएँ। जितना तेज सिरा होगा, बिंदु उतना ही पतला होगा। यह लगभग अदृश्य छोटा बिंदु आपको बिंदु की एक विचार देगा।

एक बिंदु एक स्थान निर्धारित करता है।

ये बिंदु के कुछ मॉडल हैं:

यदि आप कागज़ पर तीन बिंदु बनाएँ, तो आपको उन्हें अलग-अलग पहचानने की आवश्यकता होगी। इसके लिए उन्हें दर्शाया जाता है

ये बिंदु बिंदु A, बिंदु B और बिंदु C के रूप में पढ़े जाएँगे।

बेशक, बिंदुओं को अदृश्य रूप से पतला होना चाहिए।

इन्हें आज़माएँ

1. पेंसिल के तेज सिरे से कागज़ पर चार बिंदु बनाएँ और उन्हें अक्षरों A, C, P, H से नाम दें। इन बिंदुओं को विभिन्न तरीकों से नाम देने का प्रयास करें। एक ऐसा तरीका इस प्रकार हो सकता है

2. आकाश में एक तारा भी हमें बिंदु की एक विचार देता है। अपने दैनिक जीवन में कम से कम पाँच ऐसी स्थितियों की पहचान करें।

4.3 एक रेखाखंड

कागज़ के एक टुकड़े को मोड़ो और फिर खोलो। क्या तुम्हें एक मोड़ दिखाई देता है? यह रेखा-खंड (line segment) की संकल्पना देता है। इसके दो सिरे बिंदु A और B होते हैं।

एक पतला धागा लो। उसके दोनों सिरों को पकड़ो और बिना ढीला छोड़े खींचो। यह एक रेखा-खंड दर्शाता है। हाथों से पकड़े गए सिरे रेखा-खंड के अंत्य बिंदु (end points) हैं।

नीचे रेखा-खंड के कुछ मॉडल दिए गए हैं:

अपने आस-पास से रेखा-खंड के और उदाहरण खोजने की कोशिश करो।

कागज़ की एक शीट पर कोई भी दो बिंदु A और B चिह्नित करो। A को B से सभी संभव मार्गों से जोड़ने की कोशिश करो। (चित्र 4.1)

A से B तक सबसे छोटा मार्ग कौन-सा है?

बिंदु $A$ से $B$ तक का सबसे छोटा संयोजन (जिसमें $A$ और $B$ दोनों शामिल हैं) जो यहाँ दिखाया गया है, एक रेखाखंड है। इसे $\overline{AB}$ या $\overline{BA}$ द्वारा दर्शाया जाता है। बिंदु $A$ और $B$ को इस रेखाखंड के सिरे कहा जाता है।

इन्हें आज़माइए

1. आकृति 4.2 में दिए गए रेखाखंडों के नाम बताइए। क्या $A$ प्रत्येक रेखाखंड का सिरा है?

4.4 एक रेखा

कल्पना कीजिए कि बिंदु $A$ से $B$ तक का रेखाखंड (अर्थात् $\overline{AB}$) को $A$ से एक दिशा में और $B$ से दूसरी दिशा में बिना किसी अंत के बढ़ाया जाता है (आकृति देखिए)। आपको अब एक रेखा का मॉडल प्राप्त होता है।

क्या आपको लगता है कि आप एक रेखा की पूरी तस्वीर खींच सकते हैं? नहीं। (क्यों?)

दो बिंदुओं $A$ और $B$ से होकर जाने वाली रेखा को $\overline{{}A B}$ लिखा जाता है। यह दोनों दिशाओं में अनिश्चित रूप से फैली होती है। इसलिए इसमें अनगिनत बिंदु होते हैं। (इस पर सोचिए)।

दो बिंदु एक रेखा को निर्धारित करने के लिए पर्याप्त होते हैं। हम कहते हैं ‘दो बिंदु एक रेखा निर्धारित करते हैं’।

सन्निकट आकृति (आकृति 4.3) एक रेखा PQ की है जिसे $\overline{PQ}$ लिखा जाता है। कभी-कभी एक रेखा को $l$, $m$ जैसे अक्षर से भी दर्शाया जाता है।

4.5 प्रतिच्छेदी रेखाएँ

आकृति (चित्र 4.4) को देखिए। दो रेखाएँ $l_1$ और $l_2$ दिखाई गई हैं। दोनों रेखाएँ बिंदु $P$ से होकर गुजरती हैं। हम कहते हैं कि $l_1$ और $l_2$, $P$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि दो रेखाओं का एक उभयनिष्ठ बिंदु हो, तो उन्हें प्रतिच्छेदी रेखाएँ कहा जाता है।

नीचे प्रतिच्छेदी रेखाओं के कुछ जोड़ों के मॉडल दिए गए हैं (चित्र 4.5):

प्रतिच्छेदी रेखाओं के कुछ और मॉडल खोजने की कोशिश करें।

करें

एक कागज़ का टुकड़ा लें। दो मोड़ (और उनकी सिलवटें) बनाकर एक प्रतिच्छेदी रेखाओं के जोड़े को दर्शाएँ और चर्चा करें:

(a) क्या दो रेखाएँ एक से अधिक बिंदुओं पर प्रतिच्छेद कर सकती हैं?
(b) क्या एक से अधिक रेखाएँ एक ही बिंदु पर प्रतिच्छेद कर सकती हैं?

4.6 समांतर रेखाएँ

आइए इस मेज़ (चित्र 4.6) को देखें। शीर्ष ABCD समतल है। क्या आप कुछ बिंदु और रेखाखंड देख पा रहे हैं?

क्या कोई प्रतिच्छेदी रेखाखंड हैं?

हाँ, AB और BC बिंदु B पर प्रतिच्छेद करती हैं।

कौन-सी रेखाखंड बिंदु A पर प्रतिच्छेद करती हैं? बिंदु C पर? बिंदु D पर?

क्या रेखाएँ AD और CD प्रतिच्छेद करती हैं?

क्या रेखाएँ $\overline{AD}$ और $\overline{BC}$ प्रतिच्छेद करती हैं?

आप पाते हैं कि मेज़ की सतह पर कुछ रेखाखंड ऐसे हैं जो चाहे जितना भी बढ़ाए जाएँ, मिलेंगे नहीं। $\overline{AD}$ और $\overline{BC}$ ऐसी ही एक जोड़ी हैं। क्या आप मेज़ की ऊपरी सतह पर एक और ऐसी जोड़ी खोज सकते हैं जो न मिले?

इस प्रकार की रेखाएँ जो नहीं मिलतीं, समांतर कही जाती हैं; और समांतर रेखाएँ कहलाती हैं।

सोचो, चर्चा करो और लिखो

और कहाँ समांतर रेखाएँ दिखती हैं? दस उदाहरण खोजने की कोशिश करो।

यदि दो रेखाएँ $\overline{AB}$ और $\overline{CD}$ समांतर हों, तो हम लिखते हैं $\overline{AB} \| \overline{CD}$।

यदि दो रेखाएँ $l_1$ और $l_2$ समांतर हों, तो हम लिखते हैं $l_1 \| l_2$।

क्या आप नीचे दी गई आकृतियों में समांतर रेखाएँ पहचान सकते हैं?

4.7 किरण

किरण के लिए निम्नलिखित कुछ मॉडल हैं:

एक किरण एक रेखा का एक भाग होती है। यह एक बिंदु से प्रारंभ होती है (जिसे प्रारंभिक बिंदु या आरंभिक बिंदु कहा जाता है) और एक दिशा में अनंत तक जाती है।

यहाँ दिखाई गई किरण का आरेख (चित्र 4.7) देखें। किरण पर दो बिंदु दिखाए गए हैं। वे हैं (क) A, प्रारंभिक बिंदु (ख) $P$, किरण के पथ पर एक बिंदु।

हम इसे $\overline{{}AP}$ द्वारा दर्शाते हैं।

इन्हें आज़माएँ

1. इस चित्र (चित्र 4.8) में दी गई किरणों के नाम बताएँ।

2. क्या $T$ इनमें से प्रत्येक किरण का प्रारंभिक बिंदु है?

चित्र 4.8

सोचें, चर्चा करें और लिखें

यदि $\overline{{}PQ}$ एक किरण है,

(क) इसका प्रारंभिक बिंदु क्या है?

(ख) बिंदु $Q$ किरण पर कहाँ स्थित है?

(ग) क्या हम कह सकते हैं कि $Q$ इस किरण का प्रारंभिक बिंदु है?

यहाँ एक किरण $\overline{{}OA}$ है (चित्र 4.9)। यह $O$ से प्रारंभ होती है और बिंदु $A$ से होकर गुज़रती है। यह बिंदु $B$ से भी होकर गुज़रती है।

क्या आप इसे $\overline{{}OB}$ भी कह सकते हैं? क्यों?

$\overline{{}OA}$ और $\overline{{}OB}$ यहाँ एक ही हैं।

क्या हम $\overline{{}OA}$ को $\overline{{}AO}$ लिख सकते हैं? क्यों या क्यों नहीं?

पाँच किरणें खींचिए और उनके लिए उपयुक्त नाम लिखिए।

इनमें से प्रत्येक किरण पर बने तीर क्या दर्शाते हैं?

अभ्यास 4.1

1. चित्र का प्रयोग कर नाम दीजिए :

(a) पाँच बिंदु
(b) एक रेखा
(c) चार किरणें
(d) पाँच रेखाखंड

2. दी गई रेखा के सभी संभावित (बारह) नाम दीजिए, दिए गए चार अक्षरों में से हर बार केवल दो अक्षर चुनकर।

3. चित्र का प्रयोग कर नाम दीजिए :

(a) बिंदु E को धारण करने वाली रेखा।
(b) A से होकर जाने वाली रेखा।
(c) रेखा जिस पर O स्थित है।
(d) प्रतिच्छेदी रेखाओं के दो युग्म।

4. कितनी रेखाएँ (a) एक दिए गए बिंदु से, (b) दो दिए गए बिंदुओं से होकर जा सकती हैं?

5. निम्नलिखित प्रत्येक स्थिति में एक अस्थिर आकृति बनाएँ और उपयुक्त रूप से लेबल करें:

(a) बिंदु P, $\overline{AB}$ पर स्थित है।
(b) $\overline{XY}$ और $\overline{PQ}$, M पर प्रतिच्छेद करती हैं।
(c) रेखा l, E और F को धारण करती है लेकिन D को नहीं।
(d) $\overline{OP}$ और $\overline{OQ}$, O पर मिलती हैं।

6. रेखा $\overline{MN}$ की निम्नलिखित आकृति पर विचार करें। दी गई आकृति के संदर्भ में निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य बताइए।

(a) Q, M, O, N, P बिंदु हैं रेखा $\overline{{}MN}$ पर।
(b) M, O, N बिंदु हैं रेखाखंड $\overline{MN}$ पर।
(c) M और N रेखाखंड $\overline{MN}$ के अंत बिंदु हैं।
(d) O और N रेखाखंड $\overline{OP}$ के अंत बिंदु हैं।
(e) M रेखाखंड $\overline{QO}$ के एक अंत बिंदुओं में से एक है।
(f) M बिंदु है किरण $\overline{{}OP}$ पर।
(g) किरण $\overline{{}OP}$ भिन्न है किरण $\overline{{}QP}$ से।
(h) किरण $\overline{{}OP}$ समान है किरण $\overline{{}OM}$ के।
(i) किरण $\overline{{}OM}$ विपरीत नहीं है किरण $\overline{{}OP}$ से।
(j) O प्रारंभिक बिंदु नहीं है $\overline{{}OP}$ का।
(k) N प्रारंभिक बिंदु है $\overline{{}NP}$ और $\overline{{}NM}$ का।

4.8 वक्र

क्या आपने कभी कागज का एक टुकड़ा लिया और बस डूडल किया? चित्र जो आपके डूडलिंग के परिणाम होते हैं उन्हें वक्र कहा जाता है।

आप इनमें से कुछ चित्र पेंसिल को कागज से उठाए बिना और रूलेर के उपयोग के बिना खींच सकते हैं। ये सभी वक्र हैं (चित्र 4.10)।

‘वक्र’ का प्रतिदिन के उपयोग में अर्थ है “सीधा नहीं”। गणित में, एक वक्र सीधा भी हो सकता है जैसा कि चित्र 4.10 (iv) में दिखाया गया है।

ध्यान दीजिए कि आकृति 4.10 में वक्र (iii) और (vii) स्वयं को काटते हैं, जबकि वक्र (i), (ii), (v) और (vi) नहीं काटते। यदि कोई वक्र स्वयं को नहीं काटता, तो उसे सरल वक्र कहा जाता है।

पाँच और सरल वक्र बनाइए और पाँच ऐसे वक्र जो सरल नहीं हैं।

अब इन्हें देखिए (आकृति 4.11)।

इन दोनों में क्या अंतर है? पहला अर्थात् आकृति 4.11 (i) एक खुला वक्र है और दूसरा अर्थात् आकृति 4.11 (ii) एक बंद वक्र है। क्या आप आकृति 4.10 के वक्रों (i), (ii), (v), (vi) में से कुछ बंद और खुले वक्रों की पहचान कर सकते हैं? पाँच-पाँच ऐसे वक्र बनाइए जो खुले हों और बंद हों।

आकृति में स्थिति

टेनिस कोर्ट की कोर्ट लाइन उसे तीन भागों में बाँटती है: लाइन के अंदर, लाइन पर और लाइन के बाहर। आप लाइन को पार किए बिना अंदर नहीं जा सकते।

एक चौदीवारी आपके घर को सड़क से अलग करती है। आप चौदीवारी के ‘अंदर’, चौदीवारी की ‘सीमा पर’ और चौदीवारी के ‘बाहर’ की बात करते हैं।

इस प्रकार, एक बंद वक्र में तीन भाग होते हैं।

(i) वक्र का आंतरिक भाग (‘अंदर’)
(ii) वक्र की सीमा (‘पर’) और
(iii) वक्र का बाहरी भाग (‘बाहर’)।

आकृति 4.12 में, A आंतरिक भाग में है, C बाहरी भाग में है और B वक्र पर है।

एक वक्र का आंतरिक भाग उसकी सीमा सहित “क्षेत्र” कहलाता है।

4.9 बहुभुज

इन आकृतियों 4.13 (i), (ii), (iii), (iv), (v) और (vi) को देखो।

तुम क्या कह सकते हो? क्या ये बंद हैं? प्रत्येक एक दूसरे से किस प्रकार भिन्न है? (i), (ii), (iii), (iv) और (vi) विशेष हैं क्योंकि ये पूरी तरह रेखाखंडों से बने हैं। इनमें से (i), (ii), (iii) और (iv) सरल बंद वक्र भी हैं। इन्हें बहुभुज कहा जाता है।

इसलिए, एक आकृति बहुभुज है यदि वह सरल बंद आकृति है जो पूरी तरह रेखाखंडों से बनी हो। दस भिन्न आकारों के बहुभुज बनाओ।

इसे करो

प्रयास करो कि एक बहुभुज बनाओ

1. पाँच तीलियों से।

2. चार तीलियों से।

3. तीन तीलियों से।

4. दो तीलियों से।

किस स्थिति में यह संभव नहीं था? क्यों?

भुजाएँ, शीर्ष और विकर्ण

यहाँ दी गई आकृति (आकृति 4.14) का निरीक्षण करो।

इसे बहुभुज कहने का औचित्य दीजिए।

बहुभुज बनाने वाली रेखाखंडों को इसकी भुजाएँ कहा जाता है।

बहुभुज ABCDE की भुजाएँ क्या हैं? (ध्यान दीजिए कि कोनों को क्रम में कैसे नाम दिया गया है।)

भुजाएँ $\overline{AB}, \overline{BC}, \overline{CD}, \overline{DE}$ और $\overline{EA}$ हैं।

भुजाओं के एक युग्म के मिलने वाले बिंदु को इसका शीर्ष कहा जाता है।

भुजाएँ $\overline{AE}$ और $\overline{ED}$ बिंदु $E$ पर मिलती हैं, इसलिए $E$ बहुभुज $ABCDE$ का एक शीर्ष है। बिंदु $B$ और $C$ इसके अन्य शीर्ष हैं। क्या आप इन बिंदुओं पर मिलने वाली भुजाओं के नाम बता सकते हैं?

क्या आप उपरोक्त बहुभुज $A B C D E$ के अन्य शीर्षों के नाम बता सकते हैं?

कोई भी दो भुजाएँ जिनका एक उभयनिष्ठ अंतिम बिंदु हो, बहुभुज की संलग्न भुजाएँ कहलाती हैं।

क्या भुजाएँ $\overline{AB}$ और $\overline{BC}$ संलग्न हैं? $\overline{AE}$ और $\overline{DC}$ कैसे?

बहुभुज की एक ही भुजा के अंतिम बिंदुओं को संलग्न शीर्ष कहा जाता है। शीर्ष E और D संलग्न हैं, जबकि शीर्ष $A$ और $D$ संलग्न शीर्ष नहीं हैं। क्या आप देखते हैं क्यों?

ऐसे शीर्षों के युग्मों पर विचार कीजिए जो संलग्न नहीं हैं। इन शीर्षों को मिलाने वाली रेखाओं को बहुभुज के विकर्ण कहा जाता है।

आकृति 4.15 में, $\overline{AC}, \overline{AD}, \overline{BD}, \overline{BE}$ और $\overline{CE}$ विकर्ण हैं।

क्या $\overline{BC}$ एक विकर्ण है, क्यों या क्यों नहीं?

यदि आप संलग्न शीर्षों को मिलाने का प्रयास करें, तो क्या परिणाम एक विकर्ण होगा?

आकृति ABCDE (चित्र 4.15) के सभी भुजाओं, संलग्न भुजाओं, संलग्न शीर्षों के नाम बताएं।

एक बहुभुज $ABCDEFGH$ बनाएं और इसकी सभी भुजाओं, संलग्न भुजाओं और शीर्षों के साथ-साथ बहुभुज के विकर्णों के नाम भी बताएं।

अभ्यास 4.2

1. निम्नलिखित वक्रों को (i) खुला या (ii) बंद के रूप में वर्गीकृत करें।

2. निम्नलिखित को दर्शाने के लिए आरेख बनाएं:

(a) खुला वक्र
(b) बंद वक्र।

3. कोई बहुभुज बनाएं और इसके आंतरिक भाग को छायांकित करें।

4. दी गई आकृति पर विचार करें और प्रश्नों के उत्तर दें:

(a) क्या यह एक वक्र है?
(b) क्या यह बंद है?

5. यदि संभव हो तो निम्नलिखित में से प्रत्येक को एक आरेख से दर्शाएं:

(a) एक बंद वक्र जो बहुभुज नहीं है।
(b) एक खुला वक्र जो पूरी तरह रेखाखंडों से बना है।
(c) दो भुजाओं वाला एक बहुभुज।

4.10 कोण

कोण तब बनते हैं जब कोने बनते हैं।

यहाँ एक चित्र है (चित्र 4.16) जहाँ एक बॉक्स का ऊपरी हिस्सा एक कब्जे वाले ढक्कन की तरह है। बॉक्स की भुजा AD और दरवाज़े की भुजा AP को दो किरणों $\overline{{}AD}$ और $\overline{{}AP}$ के रूप में कल्पना किया जा सकता है। इन दोनों किरणों का एक सामान्य प्रारंभिक बिंदु $A$ है। यहाँ इन दोनों किरणों को मिलाकर एक कोण कहा जाता है। एक कोण दो किरणों से बनता है जो एक सामान्य प्रारंभिक बिंदु से शुरू होती हैं। कोण बनाने वाली दोनों किरणों को कोण की भुजाएँ या साइड्स कहा जाता है। सामान्य प्रारंभिक बिंदु कोण का शीर्ष होता है।

यह एक कोण है जो किरणों $\overline{{}OP}$ और $\overline{{}OQ}$ द्वारा बनाया गया है (चित्र 4.17)। इसे दिखाने के लिए हम शीर्ष पर एक छोटा वक्र उपयोग करते हैं। (चित्र 4.17 देखें)। O शीर्ष है। भुजाएँ क्या हैं? क्या वे $\overline{{}OP}$ और $\overline{{}OQ}$ नहीं हैं?

हम इस कोण का नाम कैसे दे सकते हैं? हम बस कह सकते हैं कि यह O पर एक कोण है। अधिक विशिष्ट होने के लिए हम दो बिंदुओं को पहचानते हैं, एक प्रत्येक भुजा पर और शीर्ष को, कोण का नाम देने के लिए। कोण POQ इस प्रकार कोण का नाम देने का एक बेहतर तरीका है। हम इसे $\angle POQ$ द्वारा निरूपित करते हैं।

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए

आकृति (चित्र 4.18) को देखिए। कोण का नाम क्या है? क्या हम $\angle P$ कहें? लेकिन फिर हम किसका मतलब कर रहे हैं? $\angle P$ से हमारा क्या अभिप्राय है? क्या यहाँ शीर्ष द्वारा कोण का नाम देना सहायक है? क्यों नहीं?

$\angle P$ से हमारा अभिप्राय $\angle APB$ या $\angle CPB$ या यहाँ तक कि $\angle APC$ भी हो सकता है! हमें अधिक जानकारी की आवश्यकता है।

ध्यान दीजिए कि कोण निर्दिष्ट करते समय शीर्ष को हमेशा बीच का अक्षर लिखा जाता है।

इसे कीजिए

कोई भी कोण लीजिए, मान लीजिए $\angle ABC$।

उस कागज़ के हिस्से को छायांकित कीजिए जो $\overline{{}BA}$ से लगा हुआ है और जहाँ $\overline{{}BC}$ स्थित है।

अब कागज़ के उस भाग को दूसरे रंग से रंगें जो $\overline{{}BC}$ की सीमा बनाता है और जहाँ $\overline{{}BA}$ स्थित है।

दोनों रंगों से रंगे गए भाग को $\angle ABC$ का आंतरिक भाग कहा जाता है (चित्र 4.19)। (ध्यान दें कि आंतरिक भाग कोई सीमित क्षेत्र नहीं है; यह अनिश्चित रूप से फैला हुआ है क्योंकि दोनों भुजाएँ अनिश्चित रूप से फैली हुई हैं)।

इस चित्र में (चित्र 4.20), $X$ कोण के आंतरिक भाग में है, $Z$ आंतरिक भाग में नहीं बल्कि कोण के बाहरी भाग में है; और $S$ को $\angle PQR$ पर है। इस प्रकार, कोण से संबद्ध तीन भाग होते हैं।

अभ्यास 4.3

1. दी गई आकृति में कोणों के नाम बताइए।

2. दिए गए चित्र में बिंदु(ओं) का नाम लिखिए

(a) $\angle DOE$ के आंतरिक भाग में
(b) $\angle EOF$ के बाहरी भाग में
(c) $\angle EOF$ पर

3. दो कोणों के रफ आरेख बनाइए जिनमें

(a) एक बिंदु उभयनिष्ठ हो।
(b) दो बिंदु उभयनिष्ठ हों।
(c) तीन बिंदु उभयनिष्ठ हों।
(d) चार बिंदु उभयनिष्ठ हों।
(e) एक किरण उभयनिष्ठ हो।

हमने क्या चर्चा की?

1. एक बिंदु एक स्थान निर्धारित करता है। इसे सामान्यतः एक बड़े अक्षर से दर्शाया जाता है।

2. एक रेखाखंड दो बिंदुओं के बीच की न्यूनतम दूरी को दर्शाता है। बिंदु $A$ और $B$ को मिलाने वाले रेखाखंड को $\overline{AB}$ से दर्शाया जाता है।

3. जब $\overline{AB}$ जैसे रेखाखंड को दोनों ओर अनिश्चित रूप से बढ़ाया जाता है तो एक रेखा प्राप्त होती है; इसे $\overline{AB}$ से या कभी-कभी एक छोटे अक्षर जैसे $l$ से दर्शाया जाता है।

4. दो भिन्न रेखाएँ जो एक बिंदु पर मिलती हैं, प्रतिच्छेदी रेखाएँ कहलाती हैं।

5. एक समतल में दो रेखाएँ समानांतर कही जाती हैं यदि वे मिलती नहीं हैं।

6. एक किरण रेखा का वह भाग होता है जो एक बिंदु से प्रारंभ होकर एक दिशा में अनंत तक जाता है।

7. कोई भी चित्र (सीधा या गैर-सीधा) जो पेंसिल उठाए बिना बनाया जाए, एक वक्र कहलाता है। इस अर्थ में एक रेखा भी एक वक्र है।

8. एक सरल वक्र वह होता है जो स्वयं को काटता नहीं है।

9. एक वक्र बंद कहा जाता है यदि उसके सिरे मिले हों; अन्यथा उसे खुला वक्र कहा जाता है।

10. एक बहुभुज एक सरल बंद वक्र होता है जो रेखाखंडों से बना होता है। यहाँ,

(i) रेखाखंड बहुभुज की भुजाएँ होती हैं।
(ii) कोई भी दो भुजाएँ जिनका एक उभयनिष्ठ अंतिम बिंदु हो, संलग्न भुजाएँ होती हैं।
(iii) भुजाओं के एक युग्म का मिलन बिंदु शीर्ष कहलाता है।
(iv) एक ही भुजा के अंतिम बिंदु संलग्न शीर्ष होते हैं।
(v) किन्हीं दो असंलग्न शीर्षों को मिलाने वाला रेखाखण्ड एक विकर्ण होता है।

11. एक कोण दो किरणों से बनता है जो एक उभयनिष्ठ प्रारंभिक बिंदु से प्रारंभ होती हैं।

दो किरणें $\overline{{}OA}$ और $\overline{{}OB}$ मिलकर $\angle AOB$ (या $\angle BOA$ भी कहलाता है) बनाती हैं।

एक कोण एक क्षेत्र को तीन भागों में बाँटता है:

कोण पर, कोण का आंतरिक भाग और कोण का बाहरी भाग।