5.1 परिचय

हमारे चारों ओर जो आकृतियाँ दिखाई देती हैं, वे सभी वक्रों या रेखाओं से बनाई गई होती हैं। हम अपने आस-पास कोनों, किनारों, समतलों, खुले वक्रों और बंद वक्रों को देख सकते हैं। हम उन्हें रेखाखंडों, कोणों, त्रिभुजों, बहुभुजों और वृत्तों में व्यवस्थित करते हैं। हम पाते हैं कि उनके आकार और माप अलग-अलग होते हैं। आइए अब उनके आकारों की तुलना करने के उपकरण विकसित करने का प्रयास करें।

5.2 रेखाखंडों की माप

हमने अनेक रेखाखंडों को खींचा और देखा है। एक त्रिभुज तीन, एक चतुर्भुज चार रेखाखंडों से बना होता है।
$\quad$ एक रेखाखंड एक रेखा का निश्चित भाग होता है। यह एक रेखाखंड को मापना संभव बनाता है। प्रत्येक रेखाखंड की यह माप एक अद्वितीय संख्या होती है जिसे इसकी “लंबाई” कहा जाता है। हम रेखाखंडों की तुलना करने के लिए इस विचार का उपयोग करते हैं।

किन्हीं भी दो रेखाखंडों की तुलना करने के लिए, हम उनकी लंबाइयों के बीच एक संबंध खोजते हैं। यह कई तरीकों से किया जा सकता है।

(i) प्रेक्षण द्वारा तुलना:

क्या आप केवल उन्हें देखकर बता सकते हैं कि कौन सा लंबा है?

आप देख सकते हैं कि $\overline{AB}$ लंबा है।

लेकिन आप अपने सामान्य निर्णय के बारे में हमेशा निश्चित नहीं हो सकते।

उदाहरण के लिए, संलग्न रेखाखंडों को देखें :

इन दोनों की लंबाइयों के बीच अंतर स्पष्ट नहीं हो सकता है। यह तुलना के अन्य तरीकों को आवश्यक बनाता है।

इस संलग्न आकृति में, $\overline{AB}$ और $\overline{PQ}$ की लंबाइयाँ समान हैं। यह बात पूरी तरह स्पष्ट नहीं है।

इसलिए, हमें रेखाखंडों की तुलना के लिए बेहतर तरीकों की जरूरत है।

(ii) ट्रेसिंग द्वारा तुलना

$\overline{AB}$ और $\overline{CD}$ की तुलना करने के लिए हम ट्रेसिंग पेपर का उपयोग करते हैं, $\overline{CD}$ को ट्रेस करते हैं और ट्रेस किए गए रेखाखंड को $\overline{AB}$ पर रखते हैं।

क्या आप अब बता सकते हैं कि $\overline{AB}$ और $\overline{CD}$ में से कौन-सा लंबा है?

यह विधि रेखाखंड को ट्रेस करने की सटीकता पर निर्भर करती है। इसके अतिरिक्त, यदि आप किसी अन्य लंबाई से तुलना करना चाहें, तो आपको दूसरा रेखाखंड ट्रेस करना होगा। यह कठिन है और आप हर बार तुलना करने के लिए लंबाइयों को ट्रेस नहीं कर सकते।

(iii) रूलर और डिवाइडर का उपयोग कर तुलना

क्या आपने अपने इंस्ट्रूमेंट बॉक्स में मौजूद सभी उपकरणों को देखा है या पहचान सकते हैं? अन्य चीजों के अलावा, आपके पास एक रूलर और एक डिवाइडर होता है।

ध्यान दें कि रूलर को इसकी एक किनारे के साथ कैसे चिह्नित किया गया है। इसे 15 भागों में बाँटा गया है। इन 15 भागों में से प्रत्येक की लंबाई 1 cm है।

प्रत्येक सेंटीमीटर को 10 उपभागों में बाँटा गया है। cm के विभाजन का प्रत्येक उपभाग 1 mm होता है।

1 mm 0.1 cm है।
2 mm 0.2 cm है और आगे भी ऐसे ही।
2.3 cm का अर्थ होगा 2 cm और 3 mm।

एक सेंटीमीटर बनाने के लिए कितने मिलीमीटर लगते हैं? चूँकि 1 cm = 10 mm, हम 2 cm को कैसे लिखेंगे? 3 mm को? 7.7 cm से हमारा क्या तात्पर्य है?

रूलर का शून्य चिह्न A पर रखें। B के सामने वाले चिह्न को पढ़ें। यह AB की लंबाई देता है। मान लीजिए लंबाई 5.8 cm है, तो हम लिख सकते हैं,

लंबाई AB = 5.8 cm या और भी सरलता से AB = 5.8 cm।

इस प्रक्रिया में भी त्रुटि की गुंजाइश है। रूलर की मोटाई इस पर चिह्नित निशान पढ़ने में कठिनाई पैदा कर सकती है।

सोचो, चर्चा करो और लिखो

1. हमें और कौन-सी त्रुटियाँ और कठिनाइयाँ हो सकती हैं?

2. यदि स्केल पर निशान को ठीक से नहीं देखा जाए तो किस प्रकार की त्रुटियाँ हो सकती हैं? इससे कैसे बचा जा सकता है?

स्थिति-संबंधी त्रुटि

सही माप पाने के लिए आँख को ठीक ऊपर, निशान के ठीक ऊध्र्वाधर ऊपर रखना चाहिए। अन्यथा कोणीय देखने के कारण त्रुटियाँ हो सकती हैं।

क्या हम इस समस्या से बच सकते हैं? कोई बेहतर तरीका है?

आइए लंबाई मापने के लिए डिवाइडर का प्रयोग करें।

डिवाइडर को खोलिए। इसके एक बाँह के सिरे को A पर और दूसरे बाँह के सिरे को B पर रखिए। ध्यान रखिए कि डिवाइडर की खुली स्थिति बिगड़े नहीं, डिवाइडर को उठाकर स्केल पर रखिए। सुनिश्चित कीजिए कि एक सिरा स्केल के शून्य निशान पर है। अब दूसरे सिरे के सामने वाले निशान को पढ़िए।

इन्हें आजमाइए

1. कोई भी पोस्टकार्ड लीजिए। उपरोक्त तकनीक का प्रयोग करके इसके दो संलग्न भुजाओं को मापिए।

2. कोई भी तीन ऐसी वस्तुएँ चुनिए जिनका ऊपरी भाग समतल हो। डिवाइडर और स्केल का प्रयोग करके ऊपर की सभी भुजाओं को मापिए।

अभ्यास 5.1

1. केवल निरीक्षण द्वारा रेखाखंडों की तुलना करने में क्या नुकसान है?

3. रेखाखंड की लंबाई मापते समय रूलर की बजाय डिवाइडर का उपयोग करना बेहतर क्यों है?

4. कोई रेखाखंड खींचिए, मान लीजिए $\overline{AB}$। $A$ और $B$ के बीच स्थित कोई बिंदु $C$ लीजिए। $AB, BC$ और $AC$ की लंबाइयों को मापिए। क्या $AB=AC+CB$ है?

[नोट: यदि $A, B, C$ रेखा पर कोई तीन बिंदु इस प्रकार हैं कि $AC+CB=AB$, तो हम निश्चित हो सकते हैं कि $C$, $A$ और $B$ के बीच स्थित है।]

4. यदि $A, B, C$ रेखा पर तीन बिंदु इस प्रकार हैं कि $AB=5 cm, BC=3 cm$ और $AC=8 cm$, तो इनमें से कौन-सा बिंदु अन्य दो के बीच स्थित है?

5. सत्यापित कीजिए कि क्या $D$, $\overline{AG}$ का मध्य-बिंदु है।

6. यदि $B$, $\overline{AC}$ का मध्य-बिंदु है और $C$, $\overline{BD}$ का मध्य-बिंदु है, जहाँ $A, B, C, D$ एक सीधी रेखा पर स्थित हैं, तो बताइए कि $AB=CD$ क्यों है?

7. पाँच त्रिभुज खींचिए और उनकी भुजाओं को मापिए। प्रत्येक स्थिति में जाँचिए कि क्या किसी भी दो भुजाओं की लंबाइयों का योग सदैव तीसरी भुजा से कम होता है।

5.3 कोण - ‘समकोण’ और ‘सरल’

आपने भूगोल में दिशाओं के बारे में सुना होगा। हम जानते हैं कि चीन भारत के उत्तर में है, श्रीलंका दक्षिण में है। हम यह भी जानते हैं कि सूर्य पूर्व में उगता है और पश्चिम में अस्त होता है। चार मुख्य दिशाएँ होती हैं। वे हैं उत्तर (N), दक्षिण (S), पूर्व (E) और पश्चिम (W)。

क्या आप जानते हैं कि उत्तर के विपरीत कौन-सी दिशा है?

पश्चिम के विपरीत कौन-सी दिशा है?

बस वही याद कीजिए जो आप पहले से जानते हैं। हम अब इस ज्ञान का उपयोग कोणों के कुछ गुण सीखने में करते हैं।

उत्तर की ओर मुँह करके खड़े हो जाइए।

इसे करो

घड़ी की सुई की दिशा में पूर्व की ओर मुड़िए।

हम कहते हैं, आपने एक समकोण घूमा है।

इसके बाद एक बार फिर ‘समकोण-घुमाव’, घड़ी की सुई की दिशा में।

अब आपका मुँह दक्षिण की ओर है।

यदि आप एक समकोण घड़ी की सुई के विपरीत दिशा में घूमें, तो आपका मुँह किस दिशा में होगा? यह फिर से पूर्व है! (क्यों?)

निम्न स्थितियों का अध्ययन कीजिए :

उत्तर की ओर मुँह करने से दक्षिण की ओर मुँह करने तक, आपने दो समकोण घूमा है। क्या यह एक साथ दो समकोण घुमाने के समान नहीं है?

उत्तर से पूर्व तक का मोड़ एक समकोण है।

उत्तर से दक्षिण की ओर मुड़ने पर दो समकोण बनते हैं; इसे सीधा कोण कहा जाता है। (NS एक सीधी रेखा है!)

दक्षिण की ओर मुँह करके खड़े हों।

एक सीधे कोण पर मुड़ें।

अब आप किस दिशा की ओर मुँह करते हैं?

आप उत्तर की ओर मुँह करते हैं!

उत्तर से दक्षिण की ओर मुड़ने के लिए आपने एक सीधा कोण लिया, फिर दक्षिण से उत्तर की ओर मुड़ने के लिए आपने फिर से उसी दिशा में एक और सीधा कोण लिया। इस प्रकार, दो सीधे कोण मोड़ने पर आप अपनी मूल स्थिति पर पहुँच जाते हैं।

सोचो, चर्चा करो और लिखो

अपनी मूल स्थिति पर पहुँचने के लिए आपको कितने समकोण उसी दिशा में मोड़ने चाहिए?

दो सीधे कोणों (या चार समकोणों) से उसी दिशा में मोड़ने पर एक पूरा चक्कर लगता है। इस एक पूरे चक्कर को एक चक्र कहा जाता है। एक चक्र का कोण एक पूर्ण कोण होता है।

हम ऐसे चक्र घड़ी के डायल पर देख सकते हैं। जब घड़ी की सुई एक स्थिति से दूसरी स्थिति में जाती है, तो वह एक कोण के माध्यम से घूमती है।

मान लीजिए घड़ी की सुई 12 से शुरू होती है और फिर से 12 तक घूमती है। क्या उसने एक चक्कर नहीं लगाया? तो उसने कितने समकोण घूमे हैं? इन उदाहरणों पर विचार कीजिए:

इन्हें आज़माइए

1. आधे चक्कर के लिए कोण का क्या नाम है?

2. एक-चौथाई चक्कर के लिए कोण का क्या नाम है?

3. घड़ी पर एक-चौथाई, आधे और तीन-चौथाई चक्कर की पाँच अन्य स्थितियाँ बनाइए।

ध्यान दीजिए कि तीन-चौथाई चक्कर के लिए कोई विशेष नाम नहीं है।

अभ्यास 5.2

1. घड़ी की घंटे की सुई जब निम्नलिखित स्थानों से होकर जाती है तो वह घड़ी की दिशा में घूमते हुए कितने चक्कर का कितना भाग तय करती है?

(a) 3 से 9
(b) 4 से 7
(c) 7 से 10
(d) 12 से 9
(e) 1 से 10
(f) 6 से 3

2. घड़ी की सुई कहाँ रुकेगी यदि वह

(a) 12 से शुरू होकर घड़ी की दिशा में $\frac{1}{2}$ चक्कर लगाती है?
(b) 2 से शुरू होकर घड़ी की दिशा में $\frac{1}{2}$ चक्कर लगाती है?
(c) 5 से शुरू होकर घड़ी की दिशा में $\frac{1}{4}$ चक्कर लगाती है?
(d) 5 से शुरू होकर घड़ी की दिशा में $\frac{3}{4}$ चक्कर लगाती है?

3. यदि आप सामना करते हुए प्रारंभ करें तो किस दिशा की ओर मुँह होगा

(a) पूर्व की ओर और घड़ी की सुई की दिशा में आधा चक्कर लगाएँ?
(b) पूर्व की ओर और घड़ी की सुई की दिशा में $1 \frac{1}{2}$ चक्कर लगाएँ?
(c) पश्चिम की ओर और घड़ी की सुई के विपरीत दिशा में $\frac{3}{4}$ चक्कर लगाएँ?
(d) दक्षिण की ओर और एक पूरा चक्कर लगाएँ?

(क्या हमें इस अंतिम प्रश्न के लिए घड़ी की सुई की दिशा या विपरीत दिशा निर्दिष्ट करनी चाहिए? क्यों नहीं?)

4. आपने क्रांति का कितना भाग पार कर लिया है यदि आप सामना करते हुए

(a) पूर्व की ओर और घड़ी की सुई की दिशा में मुड़कर उत्तर की ओर सामना करें?
(b) दक्षिण की ओर और घड़ी की सुई की दिशा में मुड़कर पूर्व की ओर सामना करें?
(c) पश्चिम की ओर और घड़ी की सुई की दिशा में मुड़कर पूर्व की ओर सामना करें?

5. घड़ी की घंटे की सुई द्वारा बनाए गए समकोणों की संख्या ज्ञात कीजिए जब वह

(a) 3 से 6 तक जाती है
(b) 2 से 8 तक जाती है
(c) 5 से 11 तक जाती है
(d) 10 से
(e) 12 से 9 तक जाती है
(f) 12 से 6 तक जाती है

6. आप कितने समकोण बनाते हैं यदि आप सामना करते हुए

(a) दक्षिण की ओर और घड़ी की सुई की दिशा में मुड़कर पश्चिम की ओर सामना करें?
(b) उत्तर की ओर और घड़ी की सुई के विपरीत दिशा में मुड़कर पूर्व की ओर सामना करें?
(c) पश्चिम की ओर और पश्चिम की ओर ही मुड़ें?
(d) दक्षिण की ओर और उत्तर की ओर मुड़ें?

7. घड़ी की घंटे की सुई कहाँ रुकेगी यदि वह प्रारंभ करती है

(a) 6 से और 1 समकोण घूमती है?
(b) 8 से और 2 समकोण घूमती है?
(c) 10 से और 3 समकोण घूमती है?
(d) 7 से और 2 सीधे कोण घूमती है?

5.4 कोण - ‘न्यून’, ‘अधिक’ और ‘पुनःप्रवर्ती’

हमने देखा कि समकोण और सीधे कोण का क्या अर्थ होता है। हालांकि, हमारे सामने आने वाले सभी कोण इन दो प्रकारों में से नहीं होते। दीवार (या फर्श) के साथ सीढ़ी द्वारा बनाया गया कोण न तो समकोण होता है और न ही सीधा कोण।

सोचो, चर्चा करो और लिखो

क्या समकोण से छोटे कोण होते हैं? क्या समकोण से बड़े कोण होते हैं? क्या आपने बढ़ई का स्क्वायर देखा है? यह अंग्रेजी वर्णमाला के अक्षर “L” जैसा दिखता है। वह इसका उपयोग समकोण की जांच के लिए करता है। आइए हम भी समकोण के लिए एक ऐसा ही ‘टेस्टर’ बनाते हैं।

यह कीजिए

अपने सुधारे हुए ‘राइट-एंगल-टेस्टर’ को देखो। [क्या हम इसे RA टेस्टर कहें?] क्या एक किनारा दूसरे पर सीधा आ जाता है?
$\quad$ मान लो कोई भी आकृति जिसमें कोने हों, दी गई है। तुम अपने RA टेस्टर का उपयोग कोनों पर कोण जाँचने के लिए कर सकते हो।

क्या किनारे कागज़ के कोनों से मेल खाते हैं? यदि हाँ, तो यह एक समकोण दर्शाता है।

इन्हें आज़माइए

1. एक घड़ी की घंटे की सुई 12 से 5 तक जाती है।

क्या घंटे की सुई का चक्कर 1 समकोण से अधिक है?

2. जब घड़ी की घंटे की सुई 5 से 7 तक जाती है तो बना कोण कैसा दिखता है? क्या घूमा गया कोण 1 समकोण से अधिक है?

3. निम्नलिखित को आकर्षित कीजिए और अपने RA टेस्टर से कोण की जाँच कीजिए।

(a) 12 से 2 तक जाना
(b) 6 से 7 तक
(c) 4 से 8 तक
(d) 2 से 5 तक

4. कोनों वाले पाँच भिन्न आकार लीजिए। कोनों के नाम लिखिए। अपने टेस्टर से उनकी जाँच कीजिए और प्रत्येक स्थिति के लिए अपने परिणामों को सारणीबद्ध कीजिए:

अन्य नाम

• एक समकोण से छोटे कोण को न्यून कोण कहा जाता है। ये न्यून कोण हैं।

क्या आप देखते हैं कि इनमें से प्रत्येक एक चौथाई क्रांति से कम है? इन्हें अपने RA टेस्टर से जाँचिए।

• यदि कोई कोण समकोण से बड़ा हो, लेकिन सीधे कोण से छोटा हो, तो उसे अधिक कोण कहा जाता है। ये अधिक कोण हैं।

क्या आप देखते हैं कि इनमें से प्रत्येक एक चौथाई क्रांति से अधिक है लेकिन आधी क्रांति से कम है? आपका RA टेस्टर जाँचने में मदद कर सकता है।

पिछले उदाहरणों में भी अधिक कोणों की पहचान कीजिए।

• एक पुनः कोण सीधे कोण से बड़ा होता है।

यह इस तरह दिखता है। (कोण चिह्न देखें)

क्या आपके द्वारा पहले बनाए गए आकृतियों में कोई पुनः कोण थे?

आप उनकी जाँच कैसे करेंगे?

इन्हें आज़माएँ

1. अपने आस-पास देखें और वे किनारे पहचानें जो कोनों पर मिलकर कोण बनाते हैं। ऐसी दस स्थितियाँ सूचीबद्ध करें।
2. दस ऐसी स्थितियाँ सूचीबद्ध करें जहाँ बने कोण न्यून कोण हों।
3. दस ऐसी स्थितियाँ सूचीबद्ध करें जहाँ बने कोण समकोण हों।
4. पाँच ऐसी स्थितियाँ खोजें जहाँ अधिक कोण बने हों।
5. पाँच अन्य ऐसी स्थितियाँ सूचीबद्ध करें जहाँ आपत कोण देखे जा सकें।

अभ्यास 5.3

1. सुमेलित कीजिए:

(i) सीधा कोण $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ $\quad$ (a) एक चक्कर की एक-चौथाई से कम
(ii) समकोण $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (b) आधे चक्कर से अधिक
(iii) न्यून कोण $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ $\quad$ (c) आधा चक्कर
(iv) अधिक कोण $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ $\quad$ (d) एक चक्कर की एक-चौथाई
(v) आपत कोण $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ $\quad$ (e) एक चक्कर की $\frac{1}{4}$ से $\frac{1}{2}$ के बीच
$\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ $\quad$ $\qquad$ (f) 20 का गुणनखंड

2. निम्नलिखित प्रत्येक कोण को समकोण, सीधा, न्यून, अधिक या आपत वर्गीकृत कीजिए:

5.5 कोणों की मापन

हमने जो अस्थायी ‘समकोण परीक्षक’ बनाया था, वह कोणों की तुलना समकोण से करने में उपयोगी है। हम कोणों को न्यून, अधिक या आपत के रूप में वर्गीकृत करने में सक्षम हुए।

लेकिन यह सटीक तुलना नहीं देता। यह नहीं बता सकता कि दोनों अधिक कोणों में से कौन-सा बड़ा है। इसलिए तुलना को अधिक सटीक बनाने के लिए हमें कोणों को ‘मापना’ होगा। हम यह ‘प्रोट्रैक्टर’ से कर सकते हैं।

कोण का माप

हम अपने माप को ‘डिग्री माप’ कहते हैं। एक पूर्ण चक्र को 360 बराबर भागों में बाँटा जाता है। प्रत्येक भाग एक डिग्री होता है। हम $360^{\circ}$ लिखकर ‘तीन सौ साठ डिग्री’ कहते हैं।

सोचो, चर्चा करो और लिखो

आधे चक्र में कितनी डिग्रियाँ होती हैं? एक समकोण में? एक सीधे कोण में?

कितने समकोण मिलकर $180^{\circ}$ बनाते हैं? $360^{\circ}$?

इसे करो

1. एक चूड़ी का उपयोग करके गोलाकार आकृति काटो या लगभग उसी आकार की गोल शीट लो।

2. इसे दो बार मोड़ो ताकि नीचे दिखाई गई आकृति मिले। इसे चतुर्थांश कहते हैं।

3. इसे खोलो। तुम्हें बीच में मोड़ के साथ एक अर्धवृत्त दिखेगा। मोड़ पर $90^{\circ}$ अंकित करो।

4. अर्धवृत्त को चतुर्थांश तक मोड़ें। अब चतुर्थांश को फिर से दिखाए अनुसार मोड़ें। कोण (90^{\circ}) का आधा है अर्थात् (45^{\circ}) है।

5. अब इसे खोलें। प्रत्येक ओर दो मोड़ दिखाई देते हैं। पहली नई रेखा तक कोण क्या है? आधार रेखा के बाईं ओर पहले मोड़ पर (45^{\circ}) लिखें।

6. दूसरी ओर का मोड़ (90^{\circ}+45^{\circ}=135^{\circ}) होगा।

7. कागज़ को फिर से $45^{\circ}$ तक मोड़ें (चतुर्थांश का आधा)। अब इसका आधा और मोड़ें। आधार रेखा के बाईं ओर पहला मोड़ अब $45^{\circ}$ का आधा है, अर्थात् $22 \frac{1}{2}^{\circ}$। $135^{\circ}$ के बाईं ओर का कोण $157 \frac{1}{2}^{\circ}$ होगा।

आपके पास कोण मापने के लिए एक तैयार उपकरण है। यह एक अनुमानित कोणमापक है।

कोणमापक (The Protractor)

आप अपने ‘उपकरण-पेटी’ में एक तैयार कोणमापक पा सकते हैं। वक्राकार किनारे को 180 बराबर भागों में बाँटा गया है। प्रत्येक भाग एक ‘डिग्री’ के बराबर होता है। निशान दाईं ओर $0^{\circ}$ से शुरू होते हैं और बाईं ओर $180^{\circ}$ पर समाप्त होते हैं, और इसके विपरीत भी।

मान लीजिए आपको कोण ABC को मापना है।

दिया गया है $\angle ABC$

$\angle ABC$ को मापना

1. प्रोट्रैक्टर को इस प्रकार रखें कि इसकी सीधे किनारे का मध्य बिंदु (चित्र में $M$) कोण के शीर्ष $B$ पर स्थित हो।

2. प्रोट्रैक्टर को इस प्रकार समायोजित करें कि $\overline{BC}$ प्रोट्रैक्टर के सीधे किनारे के अनुदिश हो।

3. प्रोट्रैक्टर पर दो ‘स्केल’ होते हैं: वह स्केल पढ़ें जिसका $0^{\circ}$ चिह्न सीधे किनारे के साथ मेल खाता है (अर्थात् किरण $BC$ के साथ)।

4. वक्र किनारे पर $\overline{BA}$ द्वारा दिखाया गया चिह्न कोण की डिग्री माप देता है।

हम लिखते हैं $m \angle ABC=40^{\circ}$, या सरलतः $\angle ABC=40^{\circ}$।

अभ्यास 5.4

1. माप क्या है

(i) एक समकोण का?
(ii) एक सीधे कोण का?

2. सत्य या असत्य बताएं :

(a) एक न्यून कोण की माप $<90^{\circ}$ होती है।
(b) एक अधिक कोण की माप $<90^{\circ}$ होती है।
(c) एक रिफ्लेक्स कोण की माप $>180^{\circ}$ होती है।
(d) एक पूर्ण चक्र की माप $=360^{\circ}$ होती है।
(e) यदि $m \angle A=53^{\circ}$ और $m \angle B=35^{\circ}$ है, तो $m \angle A>m \angle B$ है।

3. नीचे लिखिए

(a) कुछ न्यून कोणों की माप।
(b) कुछ अधिक कोणों की माप।

(प्रत्येक के कम से कम दो उदाहरण दें)।

4. नीचे दिए गए कोणों को प्रोट्रैक्टर से मापिए और माप लिखिए।

5. किस कोण की माप अधिक है?

पहले अनुमान लगाओ और फिर मापो.

कोण A की माप =

कोण B की माप =

6. इन दो कोणों में से किसकी माप अधिक है? अनुमान लगाओ और फिर मापकर पुष्टि करो.

7. निम्न रिक्त स्थानों को न्यून, अधिक, समकोण या सरल कोण से भरो:

(a) एक कोण जिसकी माप समकोण से कम हो ________ होता है।
(b) एक कोण जिसकी माप समकोण से अधिक हो ________ होता है।
(c) एक कोण जिसकी माप दो समकोणों की माप के बराबर हो ________ होता है।
(d) जब दो कोणों की मापों का योग समकोण के बराबर हो, तो प्रत्येक कोण ________ होता है।
(e) जब दो कोणों की मापों का योग सरल कोण के बराबर हो और यदि उनमें से एक न्यून कोण हो, तो दूसरा ________ होना चाहिए।

8. प्रत्येक आकृति में दिखाए गए कोण की माप ज्ञात कीजिए। (पहले आँखों से अनुमान लगाइए और फिर प्रोट्रैक्टर से वास्तविक माप ज्ञात कीजिए)।

9. प्रत्येक आकृति में घड़ी की सुइयों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए:

10. जाँच कीजिए

दी गई आकृति में कोण की माप $30^{\circ}$ है। उसी आकृति को आवर्धक काँच से देखिए। क्या कोण बड़ा हो जाता है? क्या कोण का आकार बदलता है?

11. प्रत्येक कोण को मापिए और वर्गीकृत कीजिए:

$ \begin{array}{|l|l|l|} \hline \text{कोण} & \text{माप} & \text{प्रकार} \ \hline \angle \mathrm{AOB} & & \ \hline \angle \mathrm{AOC} & & \ \hline \angle \mathrm{BOC} & & \ \hline \angle \mathrm{DOC} & & \ \hline \angle \mathrm{DOA} & & \ \hline \angle \mathrm{DOB} & & \ \hline \end{array} $

5.6 लंब रेखाएँ

जब दो रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं और उनके बीच का कोण समकोण हो, तो रेखाओं को लंब कहा जाता है। यदि कोई रेखा $A B$, $C D$ पर लंब है, तो हम $AB \perp CD$ लिखते हैं।

सोचो, चर्चा करो और लिखो

यदि $AB \perp CD$ है, तो क्या हमें यह भी कहना चाहिए कि $CD \perp AB$ भी है?

हमारे आस-पास लंब रेखाएँ!

आप अपने आस-पास की चीज़ों से लंब रेखाओं (या रेखाखंडों) के ढेर सारे उदाहरण दे सकते हैं। अंग्रेज़ी वर्णमाला का अक्षर $T$ एक उदाहरण है। क्या कोई अन्य अक्षर है जो लंबता को दर्शाता है?

किसी पोस्टकार्ड के किनारों पर विचार करो। क्या किनारे लंब हैं?

मान लीजिए $\overline{AB}$ एक रेखाखंड है। इसका मध्य-बिंदु $M$ चिह्नित करो। मान लीजिए $MN$ एक ऐसी रेखा है जो $M$ से होकर जाकर $\overline{AB}$ पर लंब है।

क्या $MN$, $\overline{AB}$ को दो बराबर भागों में बाँटती है?

MN, $\overline{AB}$ को दो बराबर भागों में बाँटती है (अर्थात् $\overline{AB}$ को समद्विभाजित करती है) और $\overline{AB}$ पर लंब भी है।

इसलिए हम कहते हैं कि $MN$, $\overline{AB}$ का लंब समद्विभाजक है।

आप इसे बनाना बाद में सीखेंगे।

अभ्यास 5.5

1. निम्नलिखित में से कौन-से लंब रेखाओं के मॉडल हैं:

(a) एक टेबल-टॉप की आसन्न किनारे।
(b) रेलवे पटरी की रेखाएँ।
(c) अक्षर ‘L’ बनाने वाली रेखाखंड।
(d) अक्षर V।

2. मान लीजिए $\overline{PQ}$, रेखाखंड $\overline{XY}$ पर लंब है। मान लीजिए $\overline{PQ}$ और $\overline{XY}$ बिंदु $A$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। $\angle PAY$ का माप क्या है?

3. आपके डिब्बे में दो सेट-स्क्वायर हैं। उनके कोनों पर बने कोणों के माप क्या हैं? क्या उनमें कोई कोण-माप समान है?

4. आरेख का अध्ययन कीजिए। रेखा $l$, रेखा $m$ पर लंब है

(a) क्या $CE=EG$ है?
(b) क्या PE, CG का समद्विभाजक है?
(c) दो ऐसे रेखाखंड बताइए जिनके लिए $PE$ लंब समद्विभाजक है।
(d) क्या ये सत्य हैं?

(i) $AC>FG$
(ii) $CD=GH$
(iii) $BC<EH$.

5.7 त्रिभुजों का वर्गीकरण

क्या आपको सबसे कम भुजाओं वाले बहुभुज की याद है? वह त्रिभुज है। आइए देखें कि हमें किस प्रकार के त्रिभुज मिल सकते हैं।

इसे कीजिए

एक प्रोट्रैक्टर और रूलर का उपयोग करके दिए गए त्रिभुजों की भुजाओं और कोणों की माप ज्ञात करें। माप को दी गई तालिका में भरें।

कोणों और त्रिभुजों के साथ-साथ भुजाओं की मापों को ध्यान से देखें। क्या इनमें कुछ विशेष है?

आपको क्या मिलता है?

• त्रिभुज जिनमें सभी कोण समान हैं।

यदि किसी त्रिभुज के सभी कोण समान हैं, तो इसकी भुजाएँ भी …………….

• त्रिभुज जिनमें सभी तीन भुजाएँ समान हैं।

यदि किसी त्रिभुज की सभी भुजाएँ समान हैं, तो इसके कोण …………….

• त्रिभुज जिनमें दो समान कोण और दो समान भुजाएँ हैं।

यदि किसी त्रिभुज की दो भुजाएँ समान हैं, तो इसके समान ……………. कोण होते हैं। और यदि किसी त्रिभुज के दो कोण समान हैं, तो इसकी ……………. समान भुजाएँ होती हैं।

• त्रिभुज जिनमें कोई भी दो भुजाएँ समान नहीं हैं।

यदि किसी त्रिभुज का कोई भी कोण समान नहीं है तो कोई भी भुजा समान नहीं है।

यदि एक त्रिभुज की तीनों भुजाएँ असमान हैं, तो तीनों कोण भी ……………..

कुछ और त्रिभुज लो और इनकी पुष्टि करो। इसके लिए हमें फिर से त्रिभुजों की सभी भुजाओं और कोणों को मापना होगा।

त्रिभुजों को श्रेणियों में बाँटा गया है और उन्हें विशेष नाम दिए गए हैं। आइए देखते हैं कि वे क्या हैं।

भुजाओं के आधार पर त्रिभुजों का नामकरण

एक त्रिभुज जिसकी तीनों भुजाएँ असमान हों, विषमबाहु त्रिभुज [(c), (e)] कहलाता है।

एक त्रिभुज जिसकी दो भुजाएँ बराबर हों, समद्विबाहु त्रिभुज [(b), (f)] कहलाता है।

एक त्रिभुज जिसकी तीनों भुजाएँ बराबर हों, समबाहु त्रिभुज [(a), (d)] कहलाता है।

उन सभी त्रिभुजों को इन परिभाषाओं के आधार पर वर्गीकृत करो जिनकी भुजाएँ तुमने पहले मापी थीं।

कोणों के आधार पर त्रिभुजों का नामकरण

यदि प्रत्येक कोण $90^{\circ}$ से कम हो, तो त्रिभुज को न्यूनकोण त्रिभुज कहा जाता है।

यदि कोई एक कोण समकोण हो, तो त्रिभुज को समकोण त्रिभुज कहा जाता है।

यदि कोई एक कोण $90^{\circ}$ से अधिक हो, तो त्रिभुज को अधिककोण त्रिभुज कहा जाता है।

इन तीन श्रेणियों के अनुसार उन त्रिभुजों के नाम बताओ जिनके कोण पहले मापे गए थे। कितने समकोण त्रिभुज थे?

करके देखो

नीचे दी गई आकृतियों के मोटे-मोटे रफ स्केच बनाने की कोशिश करो

(a) एक विषमबाहु न्यूनकोण त्रिभुज।
(b) एक अधिककोण समद्विबाहु त्रिभुज।
(c) एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज।
(d) एक विषमबाहु समकोण त्रिभुज।
क्या तुम्हें लगता है कि नीचे दी गई आकृतियाँ बनाना संभव है
(a) एक अधिककोण समबाहु त्रिभुज?
(b) एक समकोण समबाहु त्रिभुज?
(c) एक त्रिभुज जिसमें दो समकोण हों?

सोचो, चर्चा करो और अपने निष्कर्ष लिखो।

अभ्यास 5.6

1. निम्न त्रिभुजों के प्रकार बताओ :

(a) भुजाओं की लंबाइयाँ $7 सेमी, 8 सेमी$ और $9 सेमी$ वाला त्रिभुज।
(b) $\triangle ABC$ जिसमें $AB=8.7 सेमी, AC=7 सेमी$ और $BC=6 सेमी$।
(c) $\triangle PQR$ जैसा कि $PQ=QR=PR=5 सेमी$।
(d) $\triangle DEF$ जिसमें $m \angle D=90^{\circ}$
(e) $\triangle XYZ$ जिसमें $m \angle Y=90^{\circ}$ और $XY=YZ$।
(f) $\triangle LMN$ जिसमें $m \angle L=30^{\circ}, m \angle M=70^{\circ}$ और $m \angle N=80^{\circ}$।

2. सुमेलित कीजिए :

त्रिभुज के माप $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ $\quad$ त्रिभुज का प्रकार

(i) 3 sides of equal length $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (a) विषमबाहु
(ii) 2 sides of equal length $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (b) समद्विबाहु समकोण
(iii) All sides are of different length $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\qquad$ $\qquad$ (c) अधिक कोण
(iv) 3 acute angles $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ $\quad$ (d) समकोण
(v) 1 right angle $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (e) समबाहु
(vi) 1 obtuse angle $\qquad$ $\qquad$ $\quad$ $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (f) न्यूनकोण
(vii) 1 right angle with two sides of equal length $\quad$ $\qquad$ (g) समद्विबाहु

3. निम्नलिखित प्रत्येक त्रिभुज को दो भिन्न-भिन्न तरीकों से नाम दीजिए: (आप कोण की प्रकृति को देखकर अनुमान लगा सकते हैं)

4. माचिस की तीलियों का उपयोग कर त्रिभुज बनाने का प्रयास करें। कुछ यहाँ दिखाए गए हैं। क्या आप एक त्रिभुज बना सकते हैं

(a) 3 माचिस की तीलियों से?
(b) 4 माचिस की तीलियों से?
(c) 5 माचिस की तीलियों से?
(d) 6 माचिस की तीलियों से?

(याद रखें कि आपको प्रत्येक स्थिति में सभी उपलब्ध माचिस की तीलियों का उपयोग करना है)

प्रत्येक स्थिति में त्रिभुज के प्रकार का नाम लिखें।

यदि तुम एक त्रिभुज नहीं बना सकते, तो इसके कारणों के बारे में सोचो।

5.8 चतुर्भुज

एक चतुर्भुज, यदि तुम्हें याद हो, तो एक बहुभुज होता है जिसकी चार भुजाएँ होती हैं।

इसे करो

1. असमान लकड़ियों का एक जोड़ा इस प्रकार रखो कि उनके सिरे एक सिरे पर मिले हों। अब एक और ऐसा ही जोड़ा लेकर पहले जोड़े के खुले सिरों से मिलाओ।

बनने वाला आकृति क्या है?

यह एक चतुर्भुज है, जैसा कि तुम यहाँ देख रहे हो।

चतुर्भुज की भुजाएँ $\overline{AB}, \overline{BC}$, _____ , _____ हैं।

इस चतुर्भुज के 4 कोण हैं।

वे $\angle BAD, \angle ADC, \angle DCB$ और _____ द्वारा दिए गए हैं।

$BD$ एक विकर्ण है। दूसरा कौन-सा है?

भुजाओं और विकर्णों की लंबाई मापो। सभी कोणों को भी मापो।

2. चार असमान लकड़ियों का प्रयोग करके, जैसा तुमने उपरोक्त गतिविधि में किया था, देखो कि क्या तुम एक ऐसा चतुर्भुज बना सकते हो जिसमें

(a) चारों कोण न्यून कोण हैं।
(b) उनमें से एक कोण अधिक कोण है।
(c) उनमें से एक कोण समकोण है।
(d) उनमें से दो कोण अधिक कोण हैं।
(e) उनमें से दो कोण समकोण हैं।
(f) विकर्ण एक-दूसरे पर लंबवत हैं।

इसे करें

आपके उपकरण डिब्बे में दो सेट-स्क्वायर हैं। एक है $30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}$ सेट-स्क्वायर, दूसरा है $45^{\circ}-45^{\circ}-90^{\circ}$ सेट-स्क्वायर।

आप और आपका मित्र मिलकर यह कर सकते हैं।

(a) आप दोनों के पास $30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}$ सेट-स्क्वायरों की एक जोड़ी होगी। उन्हें चित्र में दिखाए अनुसार रखें।

क्या आप वर्णित चतुर्भुज का नाम बता सकते हैं?

इसके प्रत्येक कोण की माप क्या है?

यह चतुर्भुज एक आयत है।

आयत का एक और स्पष्ट गुण जो आप देख सकते हैं वह यह है कि विपरीत भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं।

आप और कौन-से गुण ढूँढ सकते हैं?

(b) यदि आप $45^{\circ}-45^{\circ}-90^{\circ}$ सेट-स्क्वायरों की एक जोड़ी का उपयोग करें, तो इस बार आपको एक और चतुर्भुज मिलता है।

यह एक वर्ग है।

क्या आप देख पा रहे हैं कि सभी भुजाएँ समान लंबाई की हैं? आप कोणों और विकर्णों के बारे में क्या कह सकते हैं? वर्ग की कुछ और विशेषताएँ खोजने की कोशिश करें।

(c) यदि आप $30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}$ के सेट-स्क्वायरों के जोड़े को एक अलग स्थिति में रखते हैं, तो आपको एक समांतर चतुर्भुज मिलता है।

क्या आप देखते हैं कि विपरीत भुजाएँ समांतर हैं? क्या विपरीत भुजाएँ समान हैं?

क्या विकर्ण समान हैं?

(d) यदि आप चार $30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}$ सेट-स्क्वायरों का उपयोग करते हैं तो आपको एक समचतुर्भुज मिलता है।

(e) यदि आप कई सेट-स्क्वायरों का उपयोग करते हैं तो आप यहाँ दिए गए जैसा आकृति बना सकते हैं।

यहाँ एक चतुर्भुज है जिसकी एक जोड़ी विपरीत भुजाएँ समानांतर हैं।

यह एक समलंब है।

यहाँ आपकी संभावित खोजों का एक रूपरेखा-सारांश है। इसे पूरा कीजिए।

अभ्यास 5.7

1. सत्य या असत्य बताइए :

(a) आयत का प्रत्येक कोण समकोण होता है।
(b) आयत की विपरीत भुजाएँ लंबाई में समान होती हैं।
(c) वर्ग के विकर्ण एक-दूसरे पर लंब होते हैं।
(d) समचतुर्भुज की सभी भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं।
(e) समांतर चतुर्भुज की सभी भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं।
(f) समलंब की विपरीत भुजाएँ समानांतर होती हैं।

2. निम्नलिखित के कारण बताइए :

(a) एक वर्ग को एक विशेष आयत के रूप में सोचा जा सकता है।
(b) एक आयत को एक विशेष समांतर चतुर्भुज के रूप में सोचा जा सकता है।
(c) एक वर्ग को एक विशेष समचतुर्भुज के रूप में सोचा जा सकता है।
(d) वर्ग, आयत, समांतर चतुर्भुज सभी चतुर्भुज हैं।
(e) वर्ग भी एक समांतर चतुर्भुज है।

3. एक आकृति को नियमित कहा जाता है यदि उसकी भुजाएँ समान लंबाई की हों और कोण समान माप के हों। क्या आप नियमित चतुर्भुज की पहचान कर सकते हैं?

5.9 बहुभुज

अब तक आपने 3 या 4 भुजाओं वाले बहुभुजों का अध्ययन किया है (जिन्हें क्रमशः त्रिभुज और चतुर्भुज कहा जाता है)। अब हम बहुभुज की अवधारणा को अधिक भुजाओं वाली आकृतियों तक बढ़ाने का प्रयास करते हैं। हम बहुभुजों को उनकी भुजाओं की संख्या के अनुसार वर्गीकृत कर सकते हैं।

आप इनमें से कई आकृतियों को रोज़मर्रा की ज़िंदगी में पा सकते हैं। खिड़कियाँ, दरवाज़े, दीवारें, अलमारियाँ, ब्लैकबोर्ड, नोटबुक सभी आमतौर पर आयताकार होते हैं। फर्श की टाइलें आयत होती हैं। त्रिभुज की मज़बूत प्रकृति इसे इंजीनियरिंग निर्माणों में सबसे उपयोगी आकृति बनाती है।

चारों ओर देखें और देखें कि आप इन सभी आकृतियों को कहाँ पा सकते हैं।

अभ्यास 5.8

1. परीक्षण कीजिए कि क्या निम्न बहुभुज हैं। यदि इनमें से कोई एक नहीं है, तो बताइए क्यों?

2. प्रत्येक बहुभुज का नाम बताइए।

इनमें से प्रत्येक के दो और उदाहरण बनाओ।

3. एक नियमित षट्भुज का एक मोटा रफ स्केच बनाओ। इसके किन्हीं तीन शीर्षों को मिलाकर एक त्रिभुज बनाओ। पहचानो कि तुमने किस प्रकार का त्रिभुज बनाया है।

4. एक नियमित अष्टभुज का एक मोटा रफ स्केच बनाओ। (यदि चाहो तो वर्गाकार कागज़ का प्रयोग करो)। अष्टभुज के ठीक चार शीर्षों को मिलाकर एक आयत बनाओ।

5. एक विकर्ण वह रेखाखंड है जो किसी बहुभुज के किन्हीं दो शीर्षों को मिलाता है और स्वयं बहुभुज की भुजा नहीं होता। एक पंचभुज का मोटा रफ स्केच बनाओ और उसके विकर्ण खींचो।

हमने क्या चर्चा की?

1. एक रेखाखंड के अंत्य बिंदुओं के बीच की दूरी उसकी लंबाई होती है।

2. एक ग्रेजुएटेड रूल और डिवाइडर रेखाखंडों की लंबाइयों की तुलना करने में उपयोगी होते हैं।

3. जब घड़ी की एक सूई एक स्थिति से दूसरी स्थिति में जाती है तो हमारे पास कोण का एक उदाहरण होता है।

सूई का एक पूरा चक्कर 1 चक्र होता है।

एक समकोण $1 / 4$ चक्र होता है और एक सीधा कोण $1 / 2$ चक्र होता है।

हम कोण के आकार को डिग्री में मापने के लिए प्रोट्रैक्टर का प्रयोग करते हैं।

एक समकोण का माप $90^{\circ}$ होता है और इसलिए एक सीधे कोण का माप $180^{\circ}$ होता है।

एक कोण न्यूनकोण होता है यदि उसका माप समकोण से छोटा हो और वह अधिककोण

होता है यदि उसका माप समकोण से बड़ा हो और सीधे कोण से छोटा हो।

एक आघूर्ण कोण सीधे कोण से बड़ा होता है।

4. दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ लंबवत होती हैं यदि उनके बीच का कोण $90^{\circ}$ हो।

5. रेखाखंड का लंब समद्विभाजक वह लंब होता है जो रेखाखंड को दो बराबर भागों में विभाजित करता है।

6. त्रिभुजों को उनके कोणों के आधार पर इस प्रकार वर्गीकृत किया जा सकता है:

त्रिभुज में कोणों की प्रकृति	नाम
प्रत्येक कोण न्यूनकोण होता है	न्यूनकोण त्रिभुज
एक कोण समकोण होता है	समकोण त्रिभुज
एक कोण अधिक कोण होता है	अधिककोण त्रिभुज

7. त्रिभुजों को उनकी भुजाओं की लंबाई के आधार पर इस प्रकार वर्गीकृत किया जा सकता है:

त्रिभुज में भुजाओं की प्रकृति	नाम
तीनों भुजाएं असमान लंबाई की होती हैं	विषमबाहु त्रिभुज
कोई भी दो भुजाएं समान लंबाई की होती हैं	समद्विबाहु त्रिभुज
तीनों भुजाएं समान लंबाई की होती हैं	समबाहु त्रिभुज

8. बहुभुजों का नाम उनकी भुजाओं के आधार पर रखा जाता है।

भुजाओं की संख्या	बहुभुज का नाम
3	त्रिभुज
4	चतुर्भुज
5	पंचभुज
6	षट्भुज
8	अष्टभुज

9. चतुर्भुजों को उनके गुणों के संदर्भ में और भी वर्गीकृत किया जाता है।

गुण	चतुर्भुज का नाम
एक युग्म समांतर भुजाओं का	समलंब
दो युग्म समांतर भुजाओं का	समांतर चतुर्भुज
4 समकोणों वाला समांतर चतुर्भुज	आयत
4 समान लंबाई की भुजाओं वाला समांतर चतुर्भुज	समचतुर्भुज
4 समकोणों वाला समचतुर्भुज	वर्ग