6.1 परिचय

सुनीता की माँ के पास 8 केले हैं। सुनीता को अपने दोस्तों के साथ पिकनिक पर जाना है। वह अपने साथ 10 केले ले जाना चाहती है। क्या उसकी माँ उसे 10 केले दे सकती है? उसके पास पर्याप्त केले नहीं हैं, इसलिए वह अपने पड़ोसी से 2 केले उधार लेती है जिसे बाद में लौटाना होगा। सुनीता को 10 केले देने के बाद उसकी माँ के पास कितने केले बचे हैं? क्या हम कह सकते हैं कि उसके पास शून्य केले हैं? उसके पास कोई केला नहीं है, लेकिन उसे अपने पड़ोसी को 2 केले लौटाने हैं। इसलिए जब उसे कुछ और केले मिलते हैं, मान लीजिए 6, तो वह 2 लौटा देगी और उसके पास केवल 4 ही बचेंगे।

रोनाल्ड एक कलम खरीदने बाजार जाता है। उसके पास केवल ₹12 हैं लेकिन कलम की कीमत ₹15 है। दुकानदार उससे ₹3 बकाया राशि के रूप में लिखता है। वह रोनाल्ड के डेबिट को याद रखने के लिए ₹3 अपनी डायरी में लिखता है। लेकिन वह कैसे याद रखेगा कि ₹3 देने हैं या रोनाल्ड से लेने हैं? क्या वह इस डेबिट को किसी रंग या चिन्ह से व्यक्त कर सकता है?

रुचिका और सलमा 0 से 25 तक समान अंतरालों पर चिह्नित एक नंबर स्ट्रिप का उपयोग करके एक खेल खेल रही हैं।

शुरुआत में, दोनों ने शून्य चिह्न पर एक रंगीन टोकन रखा। दो रंगीन पासे एक थैले में रखे गए और वे एक-एक करके उन्हें बाहर निकालते हैं। यदि पासा लाल रंग का हो, तो टोकन को इस पासे पर आई संख्या के अनुसार आगे बढ़ाया जाता है। यदि यह नीला हो, तो टोकन को इस पासे पर आई संख्या के अनुसार पीछे ले जाया जाता है। प्रत्येक चाल के बाद पासों को थैले में वापस डाल दिया जाता है ताकि दोनों को या तो पासा मिलने का समान अवसर हो। जो पहले 25वें चिह्न तक पहुँचता है, वह विजेता होता है। वे खेल खेलते हैं। रुचिका को लाल पासा मिलता है और फेंकने पर उसमें चार आता है। इस प्रकार, वह टोकन को पट्टी पर चार के चिह्न पर ले जाती है। सलमा को भी लाल पासा निकलता है और उसे 3 अंक मिलते हैं और इस प्रकार वह अपना टोकन संख्या 3 पर ले जाती है।

दूसरे प्रयास में, रुचिका लाल पासे से तीन अंक प्राप्त करती है और सलमा को नीले पासे से 4 अंक मिलते हैं। आपके ख्याल से दूसरे प्रयास के बाद दोनों को अपना टोकन कहाँ रखना चाहिए?

रुचिका आगे बढ़ती है और $4+3$ यानी 7वें चिह्न तक पहुँचती है।

जबकि सलमा ने अपना टोकन शून्य स्थान पर रखा। लेकिन रुचिका ने आपत्ति की कि उसे शून्य के पीछे होना चाहिए। सलमा सहमत हो गई। लेकिन शून्य के पीछे कुछ भी नहीं है। वे क्या कर सकते हैं?

सलमा और रुचिका ने फिर पट्टी को दूसरी ओर बढ़ाया। उन्होंने दूसरी ओर नीली पट्टी का प्रयोग किया।

अब, सलमा ने सुझाव दिया कि वह शून्य से एक चिह्न पीछे है, इसलिए इसे नीला एक चिह्नित किया जा सकता है। यदि टोकन नीले एक पर है, तो नीले एक के पीछे की स्थिति नीला दो है। इसी प्रकार, नीला तीन नीले दो के पीछे है। इस तरह उन्होंने पीछे जाने का निर्णय लिया। एक अन्य दिन खेलते समय उन्हें नीला कागज नहीं मिला, तो रुचिका ने कहा, चलो दूसरी ओर चिह्न का प्रयोग करते हैं क्योंकि हम विपरीत दिशा में जा रहे हैं। तो आप देखते हैं कि हमें शून्य से कम संख्याओं के लिए चिह्न का प्रयोग करना होगा। जो चिह्न प्रयोग किया जाता है वह संख्या से जुड़ा हुआ एक माइनस चिह्न है। यह दर्शाता है कि ऋणात्मक चिह्न वाली संख्याएँ शून्य से कम होती हैं। इन्हें ऋणात्मक संख्याएँ कहा जाता है।

इसे करें

(कौन कहाँ है?)

मान लीजिए डेविड और मोहन शून्य स्थिति से विपरीत दिशाओं में चलना शुरू करते हैं। शून्य के दाईं ओर के कदमों को ’ + ’ चिह्न द्वारा दर्शाया जाए और शून्य के बाईं ओर के कदमों को ‘-’ चिह्न द्वारा दर्शाया जाए। यदि मोहन शून्य से 5 कदम दाईं ओर जाता है तो इसे +5 के रूप में दर्शाया जा सकता है और यदि डेविड शून्य से 5 कदम बाईं ओर जाता है तो इसे -5 के रूप में दर्शाया जा सकता है। अब निम्नलिखित स्थितियों को + या - चिह्न के साथ दर्शाइए:

(a) शून्य के बाईं ओर 8 कदम।
(b) शून्य के दाईं ओर 7 कदम।
(c) शून्य के दाईं ओर 11 कदम।
(d) शून्य के बाईं ओर 6 कदम।

इसे करो

(कौन मेरे पीछे आता है?)

हमने पिछले उदाहरणों से देखा है कि यदि वह संख्या जिससे हमें आगे बढ़ना है, धनात्मक है, तो दाईं ओर चलना पड़ता है। यदि केवल 1 कदम चलाया जाता है, तो हमें संख्या का उत्तराधिकारी मिलता है।

निम्नलिखित का उत्तराधिकारी लिखो :

यदि वह संख्या जिससे टोकन को चलना है, ऋणात्मक है, तो बाईं ओर चलना पड़ता है।

यदि केवल 1 कदम बाईं ओर चलाया जाता है, तो हमें संख्या का पूर्ववर्ती मिलता है।

अब निम्नलिखित का पूर्ववर्ती लिखो :

6.1.1 मुझे चिह्न से चिह्नित करो

हमने देखा है कि कुछ संख्याओं के साथ माइनस चिह्न लगा होता है। उदाहरण के लिए, यदि हम रोनाल्ड की दुकानदार के प्रति बकाया राशि दिखाना चाहें तो हम उसे -3 लिखेंगे।

निम्नलिखित एक दुकानदार का लेखा-जोखा है जो कुछ वस्तुओं की बिक्री से लाभ और हानि दिखाता है। चूँकि लाभ और हानि विपरीत स्थितियाँ हैं और यदि लाभ को ‘+’ चिह्न से दर्शाया जाता है, तो हानि को ‘-’ चिह्न से दर्शाया जा सकता है।

ऐसी कुछ स्थितियाँ जहाँ हम इन चिह्नों का प्रयोग कर सकते हैं :

किसी स्थान की समुद्र तल से ऊँचाई को धनात्मक संख्या द्वारा दर्शाया जाता है। जैसे-जैसे हम नीचे उतरते जाते हैं ऊँचाई कम और कम होती जाती है। इस प्रकार, समुद्र तल के सतह से नीचे की ऊँचाई को ऋणात्मक संख्या द्वारा दर्शाया जा सकता है।

इन्हें आज़माइए

निम्नलिखित संख्याओं को उपयुक्त चिह्नों के साथ लिखिए:

(a) समुद्र तल से 100 m नीचे।
(b) $0^{\circ} C$ तापमान से $25^{\circ} C$ ऊपर।
(c) $0^{\circ} C$ तापमान से $15^{\circ} C$ नीचे।
(d) 0 से कम कोई भी पाँच संख्याएँ।

यदि कमाई को ’ + ’ चिह्न द्वारा दर्शाया जाता है, तो खर्च को ‘-’ चिह्न द्वारा दर्शाया जा सकता है। इसी प्रकार, $0^{\circ} C$ से ऊपर के तापमान को ’ + ’ चिह्न द्वारा और $0^{\circ} C$ से नीचे के तापमान को ‘-’ चिह्न द्वारा दर्शाया जाता है। उदाहरण के लिए, किसी स्थान का तापमान जो $0^{\circ}$ से $10^{\circ}$ नीचे है, उसे $-10^{\circ} C$ लिखा जाता है।

6.2 पूर्णांक

पहली संख्याएँ जो खोजी गईं वे प्राकृत संख्याएँ थीं अर्थात् 1, 2, 3, 4,.. यदि हम प्राकृत संख्याओं के समूह में शून्य को भी शामिल करें तो हमें एक नया संख्याओं का समूह मिलता है जिसे पूर्ण संख्याएँ कहा जाता है अर्थात् $0,1,2,3,4, \ldots$ आपने इन संख्याओं का अध्ययन पिछले अध्याय में किया है। अब हम पाते हैं कि ऋणात्मक संख्याएँ भी होती हैं। यदि हम पूर्ण संख्याओं और ऋणात्मक संख्याओं को एक साथ रखें तो संख्याओं का नया समूह इस प्रकार दिखेगा $0,1,2,3,4,5, \ldots,-1,-2,-3$, $-4,-5, \ldots$ और इस संख्याओं के समूह को पूर्णांक कहा जाता है। इस समूह में $1,2,3, \ldots$ को धनात्मक पूर्णांक कहा जाता है और $-1,-2,-3, \ldots$ को ऋणात्मक पूर्णांक कहा जाता है।

आइए इसे निम्नलिखित आकृतियों से समझें। मान लीजिए कि आकृतियाँ उन संख्याओं के समूह को दर्शा रही हैं जो उनके सामने लिखी हैं।

तब पूर्णांकों के समूह को निम्नलिखित आरेख से समझा जा सकता है जिसमें सभी पिछले समूह सम्मिलित हैं :

6.2.1 संख्या रेखा पर पूर्णांकों का निरूपण

एक रेखा खींचिए और उस पर कुछ बिंदुओं को समान दूरी पर चिह्नित कीजिए जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। उस पर एक बिंदु को शून्य के रूप में चिह्नित कीजिए। शून्य के दाईं ओर के बिंदु धनात्मक पूर्णांक होते हैं और उन्हें $+1,+2,+3$, आदि या सरलतः $1,2,3$ आदि चिह्नित किया जाता है। शून्य के बाईं ओर के बिंदु ऋणात्मक पूर्णांक होते हैं और उन्हें $-1,-2,-3$ आदि चिह्नित किया जाता है।

इस रेखा पर -6 को चिह्नित करने के लिए, हम शून्य से 6 बिंदु बाईं ओर जाते हैं। (चित्र 6.1)

संख्या रेखा पर +2 को चिह्नित करने के लिए, हम शून्य से 2 बिंदु दाईं ओर जाते हैं। (चित्र 6.2)

6.2.2 पूर्णांकों का क्रम

रमन और इमरान एक गाँव में रहते हैं जहाँ एक सीढ़ीदार कुआँ है। कुएँ के तल तक जाने के लिए कुल 25 सीढ़ियाँ हैं।

इन्हें आज़माइए

संख्या रेखा पर -3, 7, -4, -8, -1 और -3 को चिह्नित कीजिए।

एक दिन रमन और इमरान कुएँ पर गए और पानी के स्तर तक उतरने के लिए 8 सीढ़ियाँ गिनीं। उन्होंने यह देखने का फैसला किया कि बारिश के दौरान कुएँ में कितना पानी आता है। उन्होंने मौजूदा पानी के स्तर पर शून्य चिह्नित किया और उससे ऊपर प्रत्येक सीढ़ी के लिए $1,2,3,4, \ldots$ चिह्नित किया। बारिश के बाद उन्होंने देखा कि पानी का स्तर छठी सीढ़ी तक बढ़ गया। कुछ महीनों बाद, उन्होंने देखा कि पानी का स्तर शून्य चिह्न से तीन सीढ़ियाँ नीचे गिर गया। अब, उन्होंने पानी के स्तर की गिरावट को दर्ज करने के लिए सीढ़ियों को चिह्नित करने के बारे में सोचना शुरू किया। क्या आप उनकी मदद कर सकते हैं?

अचानक, रमन को याद आया कि एक बड़े बाँध पर उसने शून्य से नीचे भी अंक चिह्नित देखे थे। इमरान ने बताया कि शून्य से ऊपर और शून्य से नीचे के अंकों को अलग करने के लिए कोई तरीका होना चाहिए। तब रमन को याद आया कि जो अंक शून्य से नीचे थे, उनके सामने माइनस का चिह्न लगा था। इसलिए उन्होंने शून्य से एक सीढ़ी नीचे को -1 और दो सीढ़ियाँ नीचे को -2 चिह्नित किया और आगे भी ऐसे ही चिह्नित किया।

तो जल स्तर अब -3 पर है (शून्य से 3 कदम नीचे)। इसके बाद और उपयोग के कारण, जल स्तर 1 कदम और नीचे चला गया और यह -4 पर था। आप देख सकते हैं कि $-4<-3$।

उपरोक्त उदाहरण को ध्यान में रखते हुए, बॉक्सों को $>$ और $<$ चिह्नों का प्रयोग कर भरें।

आइए एक बार फिर से उन पूर्णांकों को देखें जो संख्या रेखा पर दर्शाए गए हैं।

हम जानते हैं कि $7>4$ और ऊपर दिखाई गई संख्या रेखा से, हम देखते हैं कि 7, 4 के दाईं ओर है (चित्र 6.3)।

इसी प्रकार, $4>0$ और 4, 0 के दाईं ओर है। अब, चूंकि 0, -3 के दाईं ओर है, इसलिए $0>-3$। फिर, -3, -8 के दाईं ओर है, इसलिए $-3>-8$।

इस प्रकार, हम देखते हैं कि संख्या रेखा पर दाईं ओर बढ़ने पर संख्या बढ़ती है और बाईं ओर बढ़ने पर घटती है।

इसलिए, $-3<-2,-2<-1,-1<0,0<1,1<2,2<3$ आदि।

अतः, पूर्णांकों का संग्रह इस प्रकार लिखा जा सकता है…, $-5,-4,-3,-2,-1$, $0,1,2,3,4,5 \ldots$

इन्हें आज़माइए

निम्नलिखित संख्या युग्मों की तुलना $>$ या $<$ का प्रयोग कर कीजिए।

${}$ $ \begin{array}{rlrrl} 0 & \square -8 ; & -1 & \square & -15 \\ 5 & \square-5 ; & 11 & \square & 15 \\ 0 & \square \quad 6;& -20 & \square & 2 \end{array} $

उपर्युक्त अभ्यास से रोहिणी निम्नलिखित निष्कर्षों पर पहुँची :

(a) प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक प्रत्येक ऋणात्मक पूर्णांक से बड़ा होता है।

(b) शून्य प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक से छोटा होता है।

(c) शून्य प्रत्येक ऋणात्मक पूर्णांक से बड़ा होता है।

(d) शून्य न तो ऋणात्मक पूर्णांक होता है और न ही धनात्मक पूर्णांक।

(e) जितना एक संख्या शून्य से दाईं ओर दूर होती है, उसका मान उतना ही बड़ा होता है।

(f) जितना एक संख्या शून्य से बाईं ओर दूर होती है, उसका मान उतना ही छोटा होता है।

क्या आप उससे सहमत हैं? उदाहरण दीजिए।

उदाहरण 1 : संख्या रेखा को देखकर निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए : -8 और -2 के बीच कौन-से पूर्णांक स्थित हैं? उनमें सबसे बड़ा पूर्णांक कौन-सा है और सबसे छोटा पूर्णांक कौन-सा है?

हल : -8 और -2 के बीच के पूर्णांक $-7,-6,-5,-4,-3$ हैं। पूर्णांक -3 सबसे बड़ा है और -7 सबसे छोटा है।

यदि मैं शून्य पर नहीं हूँ तो जब मैं चलती हूँ तो क्या होता है?

आइए हम पहले वाला खेल जो सलमा और रुचिका खेल रही थीं, पर विचार करें।

मान लीजिए रुचिका का टोकन 2 पर है। अगले चाल में उसे एक लाल पासा मिलता है जिसे फेंकने पर 3 आता है। इसका अर्थ है कि वह 2 के दाईं ओर 3 स्थान आगे बढ़ेगी।

इस प्रकार वह 5 पर आ जाती है।

यदि दूसरी ओर, सलमा 1 पर थी, और उसने एक नीला पासा खींचा जिससे उसे संख्या 3 मिली, तो इसका अर्थ है कि वह 3 स्थानों की ओर बाईं ओर चलेगी और -2 पर खड़ी होगी।

संख्या रेखा को देखकर निम्नलिखित प्रश्न का उत्तर दीजिए:

उदाहरण 2: (a) एक बटन -3 पर रखा गया है। -9 तक पहुँचने के लिए हमें किस दिशा में और कितने कदम चलने चाहिए?

(b) यदि हम -6 से 4 कदम दाईं ओर चलें तो हम किस संख्या तक पहुँचेंगे?

हल: (a) हमें -3 के बाईं ओर छह कदम चलने होंगे।

(b) जब हम -6 से 4 कदम दाईं ओर चलते हैं तो हम -2 तक पहुँचते हैं।

अभ्यास 6.1

1. निम्नलिखित के विपरीत लिखिए:

(a) वजन में वृद्धि
(b) 30 किमी उत्तर
(c) 80 मी पूर्व
(d) ₹700 की हानि
(e) समुद्र तल से 100 मी ऊपर

2. निम्नलिखित संख्याओं को पूर्णांकों के रूप में उपयुक्त चिह्नों के साथ व्यक्त कीजिए।

(a) एक वायुयान जमीन से दो हजार मीटर की ऊँचाई पर उड़ रहा है।
(b) एक पनडुब्बी समुद्र तल से आठ सौ मीटर नीचे गहराई में चल रही है।
(c) दो सौ रुपये की जमा राशि।
(d) सात सौ रुपये की निकासी।

3. निम्नलिखित संख्याओं को संख्या रेखा पर दर्शाइए:

(a) +5
(b) -10
(c) +8
(d) -1
(e) -6

4. नीचे दी गई आकृति एक ऊध्वाधर संख्या रेखा है, जो पूर्णांकों को दर्शा रही है। इसे देखें और निम्नलिखित बिंदुओं को स्थित कीजिए:

(a) यदि बिंदु $D$ +8 है, तो कौन-सा बिंदु -8 है?
(b) क्या बिंदु $G$ एक ऋणात्मक पूर्णांक है या धनात्मक पूर्णांक?
(c) बिंदुओं B और E के लिए पूर्णांक लिखिए।
(d) इस संख्या रेखा पर चिह्नित किस बिंदु का मान सबसे कम है?
(e) सभी बिंदुओं को मान के घटते क्रम में व्यवस्थित कीजिए।

5. नीचे भारत के पाँच स्थानों का एक विशिष्ट दिन का तापमान सूचीबद्ध है।

(a) इन स्थानों के तापमानों को पूर्णांक रूप में रिक्त स्तंभ में लिखिए।
(b) नीचे दी गई संख्या रेखा सेल्सियस डिग्री में तापमान को दर्शा रही है। प्रत्येक शहर का नाम उसके तापमान के सामने चिह्नित कीजिए।

(c) सबसे ठंडा स्थान कौन-सा है?
(d) उन स्थानों के नाम लिखिए जहाँ का तापमान $10^{\circ} C$ से ऊपर है।

6. निम्नलिखित प्रत्येक युग्मों में, संख्या रेखा पर कौन-सी संख्या दूसरे की दाईं ओर है?

(a) 2,9
(b) -3,-8
(c) 0,-1
(d) -11,10
(e) -6,6
(f) 1,-100

7. दिए गए युग्मों के बीच के सभी पूर्णांकों को लिखो (उन्हें बढ़ते क्रम में लिखो)।

(a) 0 और -7
(b) -4 और 4
(c) -8 और -15
(d) -30 और -23

8. (a) -20 से बड़े चार ऋणात्मक पूर्णांक लिखो।

(b) -10 से छोटे चार पूर्णांक लिखो।

9. निम्नलिखित कथनों के लिए सत्य (T) या असत्य (F) लिखो। यदि कथन असत्य है, तो कथन को सही करो।

(a) -8 संख्या रेखा पर -10 के दाईं ओर है।
(b) -100 संख्या रेखा पर -50 के दाईं ओर है।
(c) सबसे छोटा ऋणात्मक पूर्णांक -1 है।
(d) -26, -25 से बड़ा है।

10. एक संख्या रेखा खींचो और निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दो :

(a) -2 के दाईं ओर 4 संख्याएँ आगे बढ़ने पर हम किस संख्या तक पहुँचेंगे।
(b) 1 के बाईं ओर 5 संख्याएँ आगे बढ़ने पर हम किस संख्या तक पहुँचेंगे।
(c) यदि हम संख्या रेखा पर -8 पर हैं, तो -13 तक पहुँचने के लिए हमें किस दिशा में बढ़ना चाहिए?
(d) यदि हम संख्या रेखा पर -6 पर हैं, तो -1 तक पहुँचने के लिए हमें किस दिशा में बढ़ना चाहिए?

6.3 पूर्णांकों का योग

करो यह

(ऊपर और नीचे जाना)

मोहन के घर में, छत पर जाने के लिए सीढ़ियाँ हैं और गोदाम में जाने के लिए भी सीढ़ियाँ हैं।

आइए हम छत पर जाने वाली सीढ़ियों की संख्या को धनात्मक पूर्णांक मानें, गोदाम में जाने वाली सीढ़ियों की संख्या को ऋणात्मक पूर्णांक मानें, और भूमि स्तर को दर्शाने वाली संख्या को शून्य मानें।

निम्नलिखित को करें और उत्तर को पूर्णांक के रूप में लिखें :

(a) जमीन तल से 6 कदम ऊपर जाएं।
(b) जमीन तल से 4 कदम नीचे जाएं।
(c) जमीन तल से 5 कदम ऊपर जाएं और फिर वहाँ से 3 कदम और ऊपर जाएं।
(d) जमीन तल से 6 कदम नीचे जाएं और फिर वहाँ से 2 कदम और नीचे जाएं।
(e) जमीन तल से 5 कदम नीचे जाएं और फिर वहाँ से 12 कदम ऊपर जाएं।
(f) जमीन तल से 8 कदम नीचे जाएं और फिर वहाँ से 5 कदम ऊपर जाएं।
(g) जमीन तल से 7 कदम ऊपर जाएं और फिर वहाँ से 10 कदम नीचे जाएं।

अमीना ने उन्हें इस प्रकार लिखा :

(a) $+6$
(b) $-4$
(c) $(+5)+(+3)=+8$
(d) $(-6)+(-2)=-4$
(e) $(-5)+(+12)=+7$
(f) $(-8)+(+5)=-3$
(g) $(+7)+(-10)=17$

उससे कुछ गलतियाँ हो गई हैं। क्या आप उसके उत्तरों की जाँच कर सकते हैं और जो गलत हैं उन्हें सही कर सकते हैं?

इन्हें आज़माएँ

नीचे दिखाए गए अनुसार ज़मीन पर एक क्षैतिज संख्या रेखा के रूप में एक आकृति बनाएं। दिए गए उदाहरण के अनुसार प्रश्न बनाएं और अपने मित्रों से पूछें।

एक खेल

एक संख्या पट्टी लें जो +25 से -25 तक पूर्णांकों से चिह्नित है।

दो पासे लें, एक पर 1 से 6 तक अंक चिह्नित हैं और दूसरे पर तीन ’ + ’ चिह्न और तीन ‘-’ चिह्न हैं।

खिलाड़ी संख्या पट्टी पर शून्य स्थान पर विभिन्न रंगों की बटनें (या प्लास्टिक काउंटर) रखेंगे। प्रत्येक फेंक में, खिलाड़ी को देखना होगा कि उसे दोनों पासों पर क्या प्राप्त हुआ है। यदि पहला पासा 3 दिखाता है और दूसरा पासा ‘-’ चिह्न दिखाता है, तो उसे -3 मिलता है। यदि पहला पासा 5 दिखाता है और दूसरा पासा ’ + ’ चिह्न दिखाता है, तो उसे +5 मिलता है।

जब भी कोई खिलाड़ी ’ + ’ चिह्न प्राप्त करता है, तो उसे आगे की दिशा में ( +25 की ओर) चलना होता है और यदि वह ‘-’ चिह्न प्राप्त करता है तो उसे पीछे की दिशा में ( -25 की ओर) चलना होता है।

प्रत्येक खिलाड़ी दोनों पासे एक साथ फेंकेगा। वह खिलाड़ी जिसका काउंटर -25 को छूता है, वह खेल से बाहर हो जाता है और वह खिलाड़ी जिसका काउंटर पहले +25 को छूता है, वह खेल जीतता है।

आप यही खेल 12 कार्डों के साथ खेल सकते हैं जिन पर $+1,+2,+3,+4$, +5 और +6 तथा $-1,-2, \ldots-6$ अंकित हैं। हर प्रयास के बाद कार्डों को फेंट लें।

कमला, रेशमा और मीना यह खेल खेल रही हैं।

कमला को तीन क्रमिक प्रयासों में $+3,+2,+6$ मिले। उसने अपना काउंटर +11 के निशान पर रखा।

रेशमा को $-5,+3,+1$ मिले। उसने अपना काउंटर -1 पर रखा। मीना को तीन क्रमिक प्रयासों में $+4,-3,-2$ मिले; उसका काउंटर किस स्थिति पर होगा? -1 पर या +1 पर?

यह कीजिए

दो अलग-अलग रंगों के बटन लीजिए जैसे सफेद और काला। मान लीजिए एक सफेद बटन $(+1)$ और एक काला बटन $(-1)$ दर्शाता है। एक सफेद बटन $(+1)$ और एक काला बटन $(-1)$ का एक युग्म शून्य दर्शाएगा अर्थात् $[1+(-1)=0]$

निम्नलिखित सारणी में, रंगीन बटनों की सहायता से पूर्णांक दर्शाए गए हैं।

आइए रंगीन बटनों की सहायता से योग करें। निम्नलिखित सारणी को देखिए और इसे पूरा कीजिए।

इन्हें आज़माइए

निम्नलिखित योगों के उत्तर ज्ञात कीजिए:

(a) $(-11)+(-12)$
(b) $(+10)+(+4)$
(c) $(-32)+(-25)$
(d) $(+23)+(+40)$

जब आपके पास दो धनात्मक पूर्णांक होते हैं जैसे $(+3)+(+2)=+5[=3+2]$ तो आप योग करते हैं। जब आपके पास दो ऋणात्मक पूर्णांक हों तब भी आप योग करते हैं, लेकिन उत्तर में ऋण (-) चिह्न होगा जैसे (-2) + (-1) = $-(\mathbf{2}+\mathbf{1})=\mathbf{- 3}$।

अब इन बटनों की सहायता से एक धनात्मक पूर्णांक को एक ऋणात्मक पूर्णांक के साथ जोड़ें। बटनों को युग्मों में हटाएँ अर्थात एक सफेद बटन को एक काले बटन के साथ $[$ क्योंकि $(+1)+(-1)=0]$। शेष बटनों की जाँच करें।

(a) $(-4)+(+3)$

$=(-1)+(-3)+(+3)$

$=(-1)+0=-1$

(b) $(+4)+(-3)$

$ \begin{aligned} & =(+1)+(+3)+(-3) \\ & =(+1)+0=+1 \end{aligned} $

आप देख सकते हैं कि $4-3$ का उत्तर 1 है और $-4+3$ का उत्तर -1 है।

इसलिए, जब आपके पास एक धनात्मक और एक ऋणात्मक पूर्णांक हो, तो आपको घटाना चाहिए, लेकिन उत्तर बड़े पूर्णांक का चिह्न लेगा (संख्याओं के चिह्नों को नज़रअंदाज़ करके तय करें कि कौन बड़ी है)। कुछ और उदाहरण मदद करेंगे :

(c) $(+5)+(-8)=(+5)+(-5)+(-3)=0+(-3)=(-3)$
(d) $(+6)+(-4)=(+2)+(+4)+(-4)=(+2)+0=+2$

इन्हें आज़माइए

निम्नलिखित का हल ज्ञात कीजिए:

(a) $(-7)+(+8)$
(b) $(-9)+(+13)$
(c) $(+7)+(-10)$
(d) $(+12)+(-7)$

6.3.1 संख्या रेखा पर पूर्णांकों का योग

रंगीन बटनों का उपयोग करके पूर्णांकों को जोड़ना हमेशा आसान नहीं होता। क्या हम योग के लिए संख्या रेखा का उपयोग करें?

(i) आइए संख्या रेखा पर 3 और 5 का योग करें।

संख्या रेखा पर, हम पहले 0 से 3 कदम दाईं ओर चलकर 3 तक पहुँचते हैं, फिर हम 3 से 5 कदम दाईं ओर चलकर 8 तक पहुँचते हैं। इस प्रकार, हम पाते हैं $3+5=8$ (आकृति 6.4)

(ii) आइए संख्या रेखा पर -3 और -5 का योग करें।

संख्या रेखा पर, हम पहले 0 से 3 कदम बाईं ओर चलकर -3 तक पहुँचते हैं, फिर हम -3 से 5 कदम बाईं ओर चलकर -8 तक पहुँचते हैं। (आकृति 6.5)

इस प्रकार, $(-3)+(-5)=-8$।

हम देखते हैं कि जब हम दो धनात्मक पूर्णांकों को जोड़ते हैं, तो उनका योग एक धनात्मक पूर्णांक होता है। जब हम दो ऋणात्मक पूर्णांकों को जोड़ते हैं, तो उनका योग एक ऋणात्मक पूर्णांक होता है।

(iii) मान लीजिए हम संख्या रेखा पर (+5) और (-3) का योग ज्ञात करना चाहते हैं। सबसे पहले हम 0 के दायीं ओर 5 कदम आगे बढ़ते हैं और 5 पर पहुँचते हैं। फिर हम 5 के बायीं ओर 3 कदम आगे बढ़ते हैं और 2 पर पहुँचते हैं। (चित्र 6.6)

इस प्रकार, $(+5)+(-3)=2$

(iv) इसी प्रकार, आइए संख्या रेखा पर (-5) और (+3) का योग ज्ञात करें।

सबसे पहले हम 0 के बायीं ओर 5 कदम आगे बढ़ते हैं और -5 पर पहुँचते हैं और फिर इस बिंदु से हम दायीं ओर 3 कदम आगे बढ़ते हैं। हम -2 बिंदु पर पहुँचते हैं।

इस प्रकार, $(-5)+(+3)=-2$। (चित्र 6.7)

प्रयत्न कीजिए

1. संख्या रेखा का प्रयोग कर निम्नलिखित योगों का समाधान ज्ञात कीजिए :
(a) $(-2)+6$
(b) $(-6)+2$

ऐसे दो प्रश्न बनाइए और उन्हें संख्या रेखा का प्रयोग कर हल कीजिए।

2. संख्या रेखा का प्रयोग किए बिना निम्नलिखित का समाधान ज्ञात कीजिए :
(a) $(+7)+(-11)$
(b) $(-13)+(+10)$
(c) $(-7)+(+9)$
(d) $(+10)+(-5)$

ऐसे पाँच प्रश्न बनाइए और उन्हें हल कीजिए।

जब किसी पूर्णांक में एक धनात्मक पूर्णांक जोड़ा जाता है, तो परिणामी पूर्णांक दिए गए पूर्णांक से अधिक हो जाता है। जब किसी पूर्णांक में एक ऋणात्मक पूर्णांक जोड़ा जाता है, तो परिणामी पूर्णांक दिए गए पूर्णांक से कम हो जाता है।

आइए 3 और -3 को जोड़ते हैं। हम पहले 0 से +3 तक जाते हैं और फिर +3 से, हम 3 बिंदु बाईं ओर जाते हैं। हम अंततः कहाँ पहुँचते हैं?

आकृति 6.8 से, $3+(-3)=0$। इसी प्रकार, यदि हम 2 और -2 को जोड़ते हैं, तो हमें योग शून्य प्राप्त होता है।

ऐसी संख्याएँ जैसे 3 और -3, 2 और -2, जब एक-दूसरे में जोड़ी जाती हैं तो योग शून्य आता है। इन्हें एक-दूसरे के योज्य प्रतिलोम कहा जाता है।

6 का योज्य प्रतिलोम क्या है? -7 का योज्य प्रतिलोम क्या है?

उदाहरण 3 : संख्या रेखा का प्रयोग कर लिखिए वह पूर्णांक जो

(a) -1 से 4 अधिक है
(b) 3 से 5 कम है

हल: (a) हमें वह पूर्णांक जानना है जो -1 से 4 अधिक है। इसलिए हम -1 से प्रारंभ करते हैं और -1 के दायीं ओर 4 कदम आगे बढ़ते हैं ताकि 3 तक पहुँच सकें जैसा नीचे दिखाया गया है:

इसलिए, -1 से 4 अधिक 3 है (चित्र 6.9)।

(b) हमें वह पूर्णांक जानना है जो 3 से 5 कम है; इसलिए हम 3 से प्रारंभ करते हैं और बायीं ओर 5 कदम चलते हैं और -2 प्राप्त करते हैं जैसा नीचे दिखाया गया है:

इसलिए, 3 से 5 कम -2 है। (चित्र 6.10)

उदाहरण 4: $(-9)+(+4)+(-6)+(+3)$ का योग ज्ञात कीजिए।

हल: हम संख्याओं को पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं ताकि धनात्मक पूर्णांक और ऋणात्मक पूर्णांक एक साथ समूहबद्ध हों। हमारे पास है

$ (-9)+(+4)+(-6)+(+3)=(-9)+(-6)+(+4)+(+3)=(-15)+(+7)=-8 $

उदाहरण 5: $(30)+(-23)+(-63)+(+55)$ का मान ज्ञात कीजिए।

हल: $(30)+(+55)+(-23)+(-63)=85+(-86)=-1$

उदाहरण 6: $(-10),(92),(84)$ और $(-15)$ का योग ज्ञात कीजिए।

हल: $(-10)+(92)+(84)+(-15)=(-10)+(-15)+92+84$ $=(-25)+176=151$

अभ्यास 6.2

1. संख्या रेखा का प्रयोग करते हुए वह पूर्णांक लिखिए जो:

(a) 5 से 3 अधिक
(b) -5 से 5 अधिक
(c) 2 से 6 कम
(d) -2 से 3 कम

2. संख्या रेखा का प्रयोग कर निम्नलिखित पूर्णांकों को जोड़िए :

(a) $9+(-6)$
(b) $5+(-11)$
(c) $(-1)+(-7)$
(d) $(-5)+10$
(e) $(-1)+(-2)+(-3)$
(f) $(-2)+8+(-4)$

3. संख्या रेखा का प्रयोग किए बिना जोड़िए :

(a) $11+(-7)$
(b) $(-13)+(+18)$
(c) $(-10)+(+19)$
(d) $(-250)+(+150)$
(e) $(-380)+(-270)$
(f) $(-217)+(-100)$

4. योग ज्ञात कीजिए :

(a) 137 और -354
(b) -52 और 52
(c) -312, 39 और 192
(d) -50, -200 और 300

5. योग ज्ञात कीजिए :

(a) $(-7)+(-9)+4+16$
(b) $(37)+(-2)+(-65)+(-8)$

6.4 संख्या रेखा की सहायता से पूर्णांकों की घटाना

हमने संख्या रेखा पर धनात्मक पूर्णांकों को जोड़ा है। उदाहरण के लिए, $6+2$ पर विचार कीजिए। हम 6 से प्रारंभ करते हैं और दाईं ओर 2 कदम आगे बढ़ते हैं। हम 8 पर पहुँचते हैं। इसलिए, $6+2=8$। (चित्र 6.11)

हमने यह भी देखा कि संख्या रेखा पर 6 और (-2) को जोड़ने के लिए हम 6 से प्रारंभ कर सकते हैं और फिर 6 के बाईं ओर 2 कदम आगे बढ़ सकते हैं। हम 4 पर पहुँचते हैं। इसलिए, हमारे पास $6+(-2)=4$ है। (चित्र 6.12)

इस प्रकार, हम पाते हैं कि एक धनात्मक पूर्णांक को जोड़ने के लिए हम संख्या रेखा पर दाईं ओर चलते हैं और एक ऋणात्मक पूर्णांक को जोड़ने के लिए हम बाईं ओर चलते हैं।

हमने यह भी देखा है कि जब हम पूर्ण संख्याओं के लिए संख्या रेखा का उपयोग करते हैं, तो 6 में से 2 घटाने के लिए हम बाईं ओर चलते हैं। (चित्र 6.13)

अर्थात् $6-2=4$

हम $6-(-2)$ के लिए क्या करेंगे? क्या हम संख्या रेखा पर बाईं ओर चलेंगे या दाईं ओर?

यदि हम बाईं ओर चलते हैं तो हम 4 पर पहुँचते हैं।

तब हमें कहना होगा $6-(-2)=4$। यह सत्य नहीं है क्योंकि हम जानते हैं कि $6-2=4$ और $6-2 \neq 6-(-2)$।

इसलिए, हमें दाईं ओर चलना होगा। (चित्र 6.14)

अर्थात् $6-(-2)=8$

इसका यह अर्थ भी है कि जब हम एक ऋणात्मक पूर्णांक घटाते हैं तो हमें एक बड़ा पूर्णांक प्राप्त होता है। इसे दूसरे तरीके से सोचिए। हम जानते हैं कि $(-2)$ का योज्य प्रतिलोम 2 है। इस प्रकार, ऐसा प्रतीत होता है कि 6 में -2 का योज्य प्रतिलोम जोड़ना, 6 में से $(-2)$ घटाने के समान है।

हम लिखते हैं $6-(-2)=6+2$।

आइए अब संख्या रेखा का प्रयोग करके $-5-(-4)$ का मान निकालें। हम कह सकते हैं कि यह $-5+(4)$ के समान है, क्योंकि -4 का योज्य प्रतिलोम 4 है।

हम संख्या रेखा पर -5 से प्रारंभ करके 4 कदम दाईं ओर बढ़ते हैं। (चित्र 6.15)

हम -1 पर पहुँचते हैं।

अर्थात् $-5+4=-1$। इस प्रकार, $-5-(-4)=-1$।

उदाहरण 7 : संख्या रेखा का प्रयोग करके $-8-(-10)$ का मान निकालें।

हल : $-8-(-10)$, $-8+10$ के बराबर है क्योंकि -10 का योज्य प्रतिलोम 10 है। संख्या रेखा पर, -8 से हम 10 कदम दाईं ओर बढ़ेंगे। (चित्र 6.16)

हम 2 पर पहुँचते हैं। इस प्रकार, $-8-(-10)=2$

अतः, एक पूर्णांक को दूसरे पूर्णांक से घटाने के लिए यह पर्याप्त है कि जिस पूर्णांक को घटाया जा रहा है, उसके योज्य प्रतिलोम को दूसरे पूर्णांक में जोड़ दिया जाए।

उदाहरण 8 : $(-10)$ से ( -4$)$ घटाएँ

हल : $(-10)-(-4)=(-10)+($ -4 का योज्य प्रतिलोम $)$

$=-10+4=-6$

उदाहरण 9 : $(-3)$ से $(+3)$ घटाएँ

हल : $(-3)-(+3)=(-3)+($ +3 का योज्य प्रतिलोम $)$

$ =(-3)+(-3)=-6 $

अभ्यास 6.3

1. निकालें

(a) $35-(20)$
(b) $72-(90)$
(c) $(-15)-(-18)$
(d) $(-20)-(13)$
(e) $23-(-12)$
(f) $(-32)-(-40)$

2. रिक्त स्थानों को $>,<$ या $=$ चिह्न से भरें।

(a) $(-3)+(-6)$ ______ $(-3)-(-6)$
(b) $(-21)-(-10)$ ______ $(-31)+(-11)$
(c) $45-(-11)$ ______ $57+(-4)$
(d) $(-25)-(-42)$ ______ $(-42)-(-25)$

3. रिक्त स्थानों को भरें।

(a) $(-8)+$ _____ $=0$
(b) $13+$ _____ $=0$
(c) $12+(-12)=$ _____
(d) $(-4)+$ _____ $=-12$
(e) _____ $-15=-10$

4. ज्ञात कीजिए

(a) $(-7)-8-(-25)$
(b) $(-13)+32-8-1$
(c) $(-7)+(-8)+(-90)$
(d) $50-(-40)-(-2)$

हमने क्या चर्चा की?

1. हमने देखा है कि कई बार ऐसे समय आते हैं जब हमें ऋणात्मक चिह्न वाली संख्याओं का उपयोग करना पड़ता है। यह तब होता है जब हम संख्या रेखा पर शून्य से नीचे जाना चाहते हैं। इन्हें ऋणात्मक संख्याएँ कहा जाता है। इनके उपयोग के कुछ उदाहरण तापमान पैमाने, झील या नदी में जल स्तर, टैंक में तेल का स्तर आदि हो सकते हैं। इनका उपयोग डेबिट खाते या बकाया राशि को दर्शाने के लिए भी किया जाता है।

2. संख्याओं का संग्रह…,-4, $-3,-2,-1,0,1,2,3,4, \ldots$ को पूर्णांक कहा जाता है।

इसलिए, $-1,-2,-3,-4, \ldots$ को ऋणात्मक संख्याएँ कहा जाता है जो ऋणात्मक पूर्णांक हैं और $1,2,3,4$, … को धनात्मक संख्याएँ कहा जाता है जो धनात्मक पूर्णांक हैं।

3. हमने यह भी देखा है कि दी गई संख्या से एक अधिक देने पर उत्तराधिकारी मिलता है और दी गई संख्या से एक कम देने पर पूर्ववर्ती मिलता है।

4. हमने देखा कि

(a) जब हमारे पास एक ही चिह्न हो, तो जोड़ें और वही चिह्न लगाएँ।
$\quad$ (i) जब दो धनात्मक पूर्णांकों को जोड़ा जाता है, तो हमें एक धनात्मक पूर्णांक प्राप्त होता है [उदा. $(+3)+(+2)=+5$]।
$\quad$ (ii) जब दो ऋणात्मक पूर्णांकों को जोड़ा जाता है, तो हमें एक ऋणात्मक पूर्णांक प्राप्त होता है [उदा. $(-2)+(-1)=-3$]।
(b) जब एक धनात्मक और एक ऋणात्मक पूर्णांक को जोड़ा जाता है, तो हम उन्हें पूर्ण संख्याओं की तरह उनके चिह्नों को नजरअंदाज करके घटाते हैं और फिर घटाने के परिणाम के साथ बड़ी संख्या का चिह्न लगाते हैं। बड़ा पूर्णांक यह तय करने पर होता है कि पूर्णांकों के चिह्नों को नजरअंदाज कर दिया जाए [उदा. $(+4)+(-3)=+1$ और $(-4)+$ $(+3)=-1$]।
(c) किसी पूर्णांक का घटाना उसके योज्य प्रतिलोम को जोड़ने के समान होता है।

5. हमने दिखाया है कि पूर्णांकों का योग और घटाव संख्या रेखा पर भी दिखाया जा सकता है।