SATHEE: Chapter 07 Fractions

अध्याय 7 भिन्न

7.1 परिचय

सुभाष ने चौथी और पाँचवीं कक्षा में भिन्नों के बारे में सीखा था, इसलिए जब भी मौका मिलता वह भिन्नों का प्रयोग करने की कोशिश करता। एक बार ऐसा मौका तब आया जब वह अपना खाना घर पर भूल गया। उसकी दोस्त फरीदा ने उसे अपना खाना साझा करने के लिए आमंत्रित किया। उसके डब्बे में पाँच पूरी थीं। इसलिए सुभाष और फरीदा ने दो-दो पूरी लीं। फिर फरीदा ने पाँचवीं पूरी को दो बराबर हिस्सों में बाँटा और आधा हिस्सा सुभाष को दे दिया और आधा हिस्सा खुद रख लिया। इस प्रकार सुभाष और फरीदा दोनों के पास 2 पूरी पूरी और आधी पूरी थी।

2 पूरी + आधी पूरी–सुभाष $\qquad$ $\qquad$ 2 पूरी + आधी पूरी–फरीदा

आपके जीवन में भिन्नों वाली स्थितियाँ कहाँ-कहाँ आती हैं?

सुभाष जानता था कि आधे को $\dfrac{1}{2}$ लिखा जाता है। खाते समय उसने अपनी आधी पूरी को दो बराबर भागों में और बाँट दिया और फरीदा से पूछा कि वह टुकड़ा पूरी पूरी का कितना भाग है? (चित्र 7.1)

बिना उत्तर दिए, फरिदा ने भी अपने आधे पूरी के हिस्से को दो बराबर भागों में बाँटा और उन्हें सुभाष के हिस्सों के बगल में रख दिया। उसने कहा कि ये चार बराबर भाग मिलकर एक पूरी पूरी बनाते हैं (चित्र 7.2)। इसलिए, प्रत्येक बराबर भाग एक पूरी पूरी का एक-चौथाई है और 4 भाग मिलकर $\dfrac{4}{4}$ या 1 पूरी पूरी होंगे।

जब वे खा रहे थे, तो उन्होंने पहले सीखी बातों पर चर्चा की। 4 बराबर भागों में से तीन भाग $\dfrac{3}{4}$ होते हैं। इसी तरह, $\dfrac{3}{7}$ तब प्राप्त होता है जब हम एक पूरी को सात बराबर भागों में बाँटते हैं और तीन भाग लेते हैं (चित्र 7.3)। $\dfrac{1}{8}$ के लिए, हम एक पूरी को आठ बराबर भागों में बाँटते हैं और उसमें से एक भाग लेते हैं (चित्र 7.4)।

फरिदा ने कहा कि हमने सीखा है कि भिन्न एक ऐसी संख्या है जो किसी पूरी का एक भाग दर्शाती है। पूरी एक एकल वस्तु हो सकती है या वस्तुओं का एक समूह हो सकता है। सुभाष ने देखा कि भागों को बराबर होना चाहिए।

7.2 एक भिन्न

आइए चर्चा को संक्षेप में दोहराएँ।

भिन्न का अर्थ होता है किसी समूह या क्षेत्र का एक भाग।

$\dfrac{5}{12}$ एक भिन्न है। हम इसे “पाँच-बारहवाँ” पढ़ते हैं।

“12” का क्या अर्थ है? यह उन समान भागों की संख्या है जिनमें पूर्ण को विभाजित किया गया है।

“5” का क्या अर्थ है? यह उन समान भागों की संख्या है जिन्हें बाहर निकाला गया है।

यहाँ 5 को अंश कहा जाता है और 12 को हर कहा जाता है।

$\dfrac{3}{7}$ का अंश और $\dfrac{4}{15}$ का हर बताइए।

यह खेल खेलो

आप इस खेल को अपने दोस्तों के साथ खेल सकते हैं।

यहाँ दिखाए गए ग्रिड की कई प्रतियाँ लीजिए।

कोई भी भिन्न लीजिए, मान लीजिए $\dfrac{1}{2}$।

आप में से प्रत्येक को ग्रिड का $\dfrac{1}{2}$ भाग छायांकित करना चाहिए।

अभ्यास 7.1

1. छायांकित भाग को दर्शाने वाली भिन्न लिखिए।

2. दी गई भिन्न के अनुसार भाग को रंगिए।

3. कोई त्रुटि हो तो पहचानिए।

4. एक दिन का कितना भाग 8 घंटे हैं?

5. एक घंटे का कितना भाग 40 मिनट हैं?

6. आर्य, अभिमन्यु और विवेक ने दोपहर का भोजन साझा किया। आर्य दो सैंडविच लाए थे, एक सब्जी का और एक जैम का। अन्य दो लड़कों ने अपना भोजन लाना भूल गए। आर्य ने अपने सैंडविच बाँटने की सहमति दी ताकि प्रत्येक व्यक्ति को प्रत्येक सैंडविच का समान भाग मिले।

(a) आर्य अपने सैंडविच कैसे बाँटे ताकि प्रत्येक व्यक्ति को समान भाग मिले?
(b) प्रत्येक लड़का सैंडविच का कितना भाग प्राप्त करेगा?

7. कांचन पोशाकें रंगती है। उसे 30 पोशाकें रंगनी थीं। उसने अब तक 20 पोशाकें रंग ली हैं। उसने पोशाकों का कितना भाग रंग लिया है?

8. 2 से 12 तक के प्राकृतिक संख्याएँ लिखिए। उनमें से कितनी भाग अभाज्य संख्याएँ हैं?

9. 102 से 113 तक के प्राकृतिक संख्याएँ लिखिए। उनमें से कितनी भाग अभाज्य संख्याएँ हैं?

10. इन वृत्तों में से कितने भाग में X चिह्न हैं?

11. क्रिस्टिन को उसके जन्मदिन पर एक सीडी प्लेयर मिला। उसने 3 सीडी खरीदी और 5 अन्य उपहस्वरूप प्राप्त कीं। उसकी कुल सीडी में से कितना भाग उसने खरीदा और कितना भाग उपहस्वरूप प्राप्त किया?

7.3 संख्या रेखा पर भिन्न

आपने पूर्ण संख्याओं जैसे $0,1,2 \ldots$ को संख्या रेखा पर दिखाना सीखा है।

हम भिन्नों को भी संख्या रेखा पर दिखा सकते हैं। आइए एक संख्या रेखा खींचें और उस पर $\dfrac{1}{2}$ को चिह्नित करने का प्रयास करें।

हम जानते हैं कि $\dfrac{1}{2}$, 0 से अधिक और 1 से कम है, इसलिए यह 0 और 1 के बीच में होना चाहिए।

चूँकि हमें $\dfrac{1}{2}$ दिखाना है, हम 0 और 1 के बीच की दूरी को दो बराबर भागों में विभाजित करते हैं और एक भाग को $\dfrac{1}{2}$ के रूप में दिखाते हैं (जैसा कि आकृति 7.5 में दिखाया गया है)।

मान लीजिए हम संख्या रेखा पर $\dfrac{1}{3}$ दिखाना चाहते हैं। 0 और 1 के बीच की लंबाई को कितने बराबर भागों में विभाजित करना चाहिए? हम 0 और 1 के बीच की लंबाई को 3 बराबर भागों में विभाजित करते हैं और एक भाग को $\dfrac{1}{3}$ के रूप में दिखाते हैं (जैसा कि आकृति 7.6 में दिखाया गया है)

क्या हम इस संख्या रेखा पर $\dfrac{2}{3}$ दिखा सकते हैं? $\dfrac{2}{3}$ का अर्थ है 3 भागों में से 2 भाग, जैसा कि दिखाया गया है (आकृति 7.7)।

इसी प्रकार, आप इस संख्या रेखा पर $\dfrac{0}{3}$ इन्हें आज़माएँ $C$ और $\dfrac{3}{3}$ को कैसे दिखाएँगे? 1. एक संख्या रेखा पर $\dfrac{3}{5}$ दिखाएँ।

$\dfrac{0}{3}$ बिंदु शून्य है जबकि चूँकि $\dfrac{3}{3}$ 1 पूर्ण है, इसे बिंदु 1 द्वारा दिखाया जा सकता है 2. $\dfrac{1}{10}, \dfrac{0}{10}, \dfrac{5}{10}$ और $\dfrac{10}{10}$ को (जैसा कि आकृति 7.7 में दिखाया गया है) दिखाएँ।

इसलिए यदि हमें संख्या रेखा पर $\dfrac{3}{7}$ दिखाना है, तो 0 और 1 के बीच की लंबाई को कितने बराबर भागों में बाँटना चाहिए? यदि $P$, $\dfrac{3}{7}$ को दर्शाता है तो 0 और $P$ के बीच कितनी बराबर विभाजन रेखाएँ हैं? $\dfrac{0}{7}$ और $\dfrac{7}{7}$ कहाँ स्थित हैं?

इन्हें आज़माएँ

1. एक संख्या रेखा पर $\dfrac{3}{5}$ दिखाएँ।

2. एक संख्या रेखा पर $\dfrac{1}{10}, \dfrac{0}{10}, \dfrac{5}{10}$ और $\dfrac{10}{10}$ दिखाएँ।

3. क्या आप 0 और 1 के बीच कोई अन्य भिन्न दिखा सकते हैं? पाँच और भिन्न लिखिए जिन्हें आप दिखा सकते हैं और उन्हें संख्या रेखा पर चित्रित कीजिए।

4. 0 और 1 के बीच कितनी भिन्न रेखाएँ हैं? सोचिए, चर्चा कीजिए और अपना उत्तर लिखिए?

7.4 उचित भिन्न

अब आपने सीख लिया है कि संख्या रेखा पर भिन्नों को कैसे स्थित किया जाता है। भिन्नों $\dfrac{3}{4}, \dfrac{1}{2}, \dfrac{9}{10}, \dfrac{0}{3}, \dfrac{5}{8}$ को अलग-अलग संख्या रेखाओं पर स्थित कीजिए।

क्या इनमें से कोई भिन्न 1 से आगे स्थित है?

ये सभी भिन्नें 1 के बाईं ओर स्थित हैं क्योंकि ये 1 से छोटी हैं।

वास्तव में, अब तक हमने जितनी भी भिन्नें सीखी हैं, वे सभी 1 से छोटी हैं। इन्हें सही भिन्नें कहा जाता है। सही भिन्न, जैसा फरीदा ने कहा था (धारा 7.1), वह संख्या होती है जो किसी पूर्ण का एक भाग दर्शाती है। सही भिन्न में हर यह दर्शाता है कि पूर्ण को कितने भागों में बाँटा गया है और लंब यह दर्शाता है कि कितने भागों पर विचार किया गया है। इसलिए, सही भिन्न में लंब सदैव हर से छोटा होता है।

इन्हें आज़माओ

1. एक सही भिन्न दीजिए :

(a) जिसका लंब 5 हो और हर 7 हो।

(b) जिसका हर 9 हो और लंब 5 हो।

(c) जिसका लंब और हर मिलकर 10 बनाएं। इस प्रकार की आप कितनी भिन्नें बना सकते हैं?

(d) जिसका हर लंब से 4 अधिक हो।

(कोई भी पाँच दीजिए। आप और कितनी बना सकते हैं?)

2. एक भिन्न दी गई है।

आप इसे केवल देखकर कैसे बताएँगे कि भिन्न

(a) 1 से छोटी है?

(b) 1 के बराबर है?

3. इनमें से एक चिह्न भरिए : ‘>’, ’ $<$ ’ या ‘=’

(a) $\dfrac{1}{2} \large\Box 1$

(b) $\dfrac{3}{5} \large\Box 1$

(c) $1 \large\Box \dfrac{7}{8}$

(d) $\dfrac{4}{4} \large\Box 1$

(e) $\dfrac{2005}{2005} \large\Box 1$

7.5 अनुचित और मिश्रित भिन्नें

अनघा, रवि, रेशमा और जॉन ने अपना टिफिन साझा किया। अपने खाने के साथ-साथ वे 5 सेब भी लाए थे। अन्य खाना खाने के बाद चारों दोस्त सेब खाना चाहते थे।

वे चारों के बीच पाँच से�ब कैसे बाँटें?

अनघा ने कहा, ‘हममें से हर एक को एक पूरा सेब और पाँचवें से�ब का एक चौथाई हिस्सा मिले।’

रेशमा ने कहा, ‘यह भी ठीक है, लेकिन हम पाँचों सेबों को 4 बराबर भागों में बाँटकर हर सेब से एक-एक चौथाई ले सकते हैं।’

रवि ने कहा, ‘बाँटने के दोनों तरीकों में हमें बराबर हिस्सा मिलेगा, यानी 5 चौथाई। चूँकि 4 चौथाई मिलकर एक पूरा बनाते हैं, हम यह भी कह सकते हैं कि हमें 1 पूरा और एक चौथाई मिलेगा। प्रत्येक हिस्से की कीमत पाँच को चार से विभाजित करने पर आएगी। क्या इसे $5 \div 4$ लिखा जाता है?’ जॉन ने कहा, ‘हाँ, वही बात है जो $\dfrac{5}{4}$ है।’ रेश्मा ने जोड़ा कि $\dfrac{5}{4}$ में अंश हर से बड़ा है। वे भिन्न जिनमें अंश हर से बड़ा होता है अनुचित भिन्न कहलाते हैं। इस प्रकार $\dfrac{3}{2}, \dfrac{12}{7}, \dfrac{18}{5}$ सभी अनुचित भिन्न हैं।

1. हर 7 वाली पाँच अनुचित भिन्न लिखो।
2. अंश 11 वाली पाँच अनुचित भिन्न लिखो।

रवि ने जॉन को याद दिलाया, ‘हिस्से को लिखने का दूसरा तरीका क्या है? क्या यह अनघा के 5 सेब बाँटने के तरीके से मिलता है?’

जॉन ने सिर हिलाया, ‘हाँ, यह वास्तव में अनघा के तरीके से ही मिलता है। उसके तरीके में प्रत्येक हिस्सा 1 पूरा और एक चौथाई है। यह $1+\dfrac{1}{4}$ है और संक्षेप में $1 \dfrac{1}{4}$ लिखा जाता है। याद रखो, $1 \dfrac{1}{4}$ वही है जो $\dfrac{5}{4}$ है।

फरीदा द्वारा खाए गए पूड़ों को याद करो। उसे $2 \dfrac{1}{2}$ पूड़े मिले (चित्र 7.9), यानी

$2 \dfrac{1}{2}$ में कितने छायांकित आधे हैं? 5 छायांकित आधे हैं।

इसलिए, भिन्न को $\dfrac{5}{2}$ के रूप में भी लिखा जा सकता है। $2 \dfrac{1}{2}$ और $\dfrac{5}{2}$ समान हैं।

$1 \dfrac{1}{4}$ और $2 \dfrac{1}{2}$ जैसी भिन्नों को मिश्रित भिन्न कहा जाता है। एक मिश्रित भिन्न में पूर्ण और भाग का संयोजन होता है।

आप मिश्रित भिन्नें कहाँ-कहाँ देखते हैं? कुछ उदाहरण दीजिए।

क्या आप जानते हैं?

टेनिस रैकेटों की ग्रिप-साइज़ अक्सर मिश्रित संख्याओं में होती हैं। उदाहरण के लिए एक साइज़ ‘$3 \dfrac{7}{8}$ इंच’ है और दूसरा ‘$4 \dfrac{3}{8}$ इंच’ है।

उदाहरण 1: निम्नलिखित को मिश्रित भिन्नों के रूप में व्यक्त कीजिए:

(a) $\dfrac{17}{4}$

(b) $\dfrac{11}{3}$

(d) $\dfrac{7}{3}$

हल

(a) $\dfrac{17}{4}$

$4) \dfrac{\dfrac{4}{17}}{\dfrac{16}{1}}$

अर्थात् 4 पूर्ण और $\dfrac{1}{4}$ अधिक, या $4\dfrac{1}{4}$

(b) $\dfrac{11}{3}$

$4) \dfrac{\dfrac{3}{11}}{\dfrac{9}{2}}$

अर्थात् 3 पूर्ण और $\dfrac{2}{3}$ अधिक, या $3 \dfrac{2}{3}$

$[$वैकल्पिक रूप से, $.\dfrac{11}{3}=\dfrac{9+2}{3}=\dfrac{9}{3}+\dfrac{2}{3}=3+\dfrac{2}{3}=3 \dfrac{2}{3}]$

इस प्रकार, हम एक अनुचित भिन्न को मिश्रित भिन्न के रूप में व्यक्त कर सकते हैं, जिससे हम अंश को हर से विभाजित करके भागफल और शेष प्राप्त करते हैं। फिर मिश्रित भिन्न को Quotient $\dfrac{\text{ Remainder }}{\text{ Divisor }}$ के रूप में लिखा जाएगा।

उदाहरण 2 : निम्नलिखित मिश्रित भिन्नों को अनुचित भिन्नों के रूप में व्यक्त कीजिए:

(a) $2 \dfrac{3}{4}$

(b) $7 \dfrac{1}{9}$

हल : (a) $2 \dfrac{3}{4}=2+\dfrac{3}{4}=\dfrac{2 \times 4}{4}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{11}{4}$

(b) $7 \dfrac{1}{9}=\dfrac{(7 \times 9)+1}{9}=\dfrac{64}{9}$

इस प्रकार, हम एक मिश्रित भिन्न को अनुचित भिन्न के रूप में इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं:

$\dfrac{(\text{Whole} \times \text{Denominator}) + \text{Numerator}} {\text{Denominator}}$

अभ्यास 7.2

1. संख्या रेखाएँ खींचिए और उन पर बिंदुओं को स्थित कीजिए:

(a) $\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{4}, \dfrac{3}{4}, \dfrac{4}{4}$

(b) $\dfrac{1}{8}, \dfrac{2}{8}, \dfrac{3}{8}, \dfrac{7}{8}$

2. निम्नलिखित को मिश्रित भिन्नों के रूप में व्यक्त कीजिए:

(a) $\dfrac{20}{3}$

(b) $\dfrac{11}{5}$

(d) $\dfrac{28}{5}$

(e) $\dfrac{19}{6}$

(f) $\dfrac{35}{9}$

3. निम्नलिखित को अनुचित भिन्नों के रूप में व्यक्त कीजिए:

(a) $7 \dfrac{3}{4}$

(b) $5 \dfrac{6}{7}$

(d) $10 \dfrac{3}{5}$

(e) $9 \dfrac{3}{7}$

(f) $8 \dfrac{4}{9}$

7.6 समतुल्य भिन्नाएँ

इन सभी भिन्नों के प्रतिनिधित्व को देखिए (चित्र 7.10)।

ये भिन्नें $\dfrac{1}{2}, \dfrac{2}{4}, \dfrac{3}{6}$ हैं, जो कुल भागों में से लिए गए भागों को दर्शाती हैं। यदि हम इनके चित्रात्मक प्रतिनिधित्व को एक के ऊपर एक रखें तो वे बराबर पाए जाते हैं। क्या आप सहमत हैं?

इन्हें आज़माइए

1. क्या $\dfrac{1}{3}$ और $\dfrac{2}{7}$ ; $\dfrac{2}{5}$ और $\dfrac{2}{7}$ ; $\dfrac{2}{9}$ और $\dfrac{6}{27}$ समतुल्य हैं? कारण दीजिए।

2. चार समतुल्य भिन्नों के उदाहरण दीजिए।

3. प्रत्येक में भिन्नों की पहचान कीजिए। क्या ये भिन्नें समतुल्य हैं?

इन भिन्नों को समतुल्य भिन्नें कहा जाता है। उपरोक्त भिन्नों के समान तीन और भिन्नें सोचिए।

समतुल्य भिन्नों को समझना

$\dfrac{1}{2}, \dfrac{2}{4}, \dfrac{3}{6}, \ldots, \dfrac{36}{72} \ldots$, सभी समतुल्य भिन्नें हैं। ये सभी एक ही पूरे के समान भाग को दर्शाती हैं।

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए

समतुल्य भिन्नें एक ही पूरे के समान भाग को क्यों दर्शाती हैं? हम इनमें से एक को दूसरी से कैसे प्राप्त कर सकते हैं?

हम देखते हैं कि $\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1 \times 2}{2 \times 2}$। इसी तरह, $\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1 \times 3}{2 \times 3}=\dfrac{1}{2}$ और $\dfrac{1}{2}=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1 \times 4}{2 \times 4}$

किसी दिए गए भिन्न का समतुल्य भिन्न खोजने के लिए, आप दिए गए भिन्न के अंश और हर दोनों को एक ही संख्या से गुणा कर सकते हैं।

रजनी कहती है कि $\dfrac{1}{3}$ के समतुल्य भिन्न हैं:

$\dfrac{1 \times 2}{3 \times 2}=\dfrac{2}{6}, \quad \dfrac{1 \times 3}{3 \times 3}=\dfrac{3}{9}, \quad \dfrac{1 \times 4}{3 \times 4}=\dfrac{4}{12}$ और भी बहुत सारे।

क्या आप उससे सहमत हैं? समझाइए।

इन्हें आज़माइए

1. निम्नलिखित में से प्रत्येक के पाँच समतुल्य भिन्न ज्ञात कीजिए:

(i) $\dfrac{2}{3}$

(ii) $\dfrac{1}{5}$

(iii) $\dfrac{3}{5}$

(iv) $\dfrac{5}{9}$

एक अन्य तरीका

क्या समतुल्य भिन्न प्राप्त करने का कोई अन्य तरीका है? आकृति 7.11 को देखिए।

इनमें बराबर संख्या में छायांकित वस्तुएँ हैं अर्थात् $\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}=\dfrac{4 \div 2}{6 \div 2}$

समतुल्य भिन्न खोजने के लिए, हम अंश और हर दोनों को एक ही संख्या से विभाजित कर सकते हैं।

$\dfrac{12}{15}$ का एक समतुल्य भिन्न $\dfrac{12 \div 3}{15 \div 3}=\dfrac{4}{5}$ है

क्या आप $\dfrac{9}{15}$ का एक समतुल्य भिन्न खोज सकते हैं जिसका हर 5 हो?

उदाहरण 3 : $\dfrac{2}{5}$ का समतुल्य भिन्न खोजें जिसका अंश 6 हो।

हल : हम जानते हैं $2 \times 3=6$। इसका अर्थ है कि समतुल्य भिन्न पाने के लिए हमें अंश और हर दोनों को 3 से गुणा करना होगा।

इसलिए, $\dfrac{2}{5}=\dfrac{2 \times 3}{5 \times 3}=\dfrac{6}{15} ; \dfrac{6}{15}$ अभीष्ट समतुल्य भिन्न है।

क्या आप इसे चित्रात्मक रूप से दिखा सकते हैं?

उदाहरण 4 : $\dfrac{15}{35}$ का समतुल्य भिन्न खोजें जिसका हर 7 हो।

हल : हमारे पास $\dfrac{15}{35}=\dfrac{\large\Box}{7}$

हम हर को देखते हैं और पाते हैं $35 \div 5=7$। इसलिए हम $\dfrac{15}{35}$ के अंश और हर दोनों को 5 से विभाजित करते हैं।

इस प्रकार, $\dfrac{15}{35}=\dfrac{15 \div 5}{35 \div 5}=\dfrac{3}{7}$।

एक रोचक तथ्य

आइए अब समतुल्य भिन्नों के बारे में एक रोचक तथ्य पर ध्यान दें। इसके लिए दी गई तालिका को पूरा कीजिए। पहली दो पंक्तियाँ आपके लिए पहले ही पूरी की जा चुकी हैं।

तुल्य भिन्न	पहले की अंश और दूसरे की हर का गुणनफल	दूसरे की अंश और पहले की हर का गुणनफल	क्या गुणनफल बराबर हैं?
$\dfrac{1}{3}=\dfrac{3}{9}$	$1 \times 9=9$	$3 \times 3=9$	हाँ
$\dfrac{4}{5}=\dfrac{28}{35}$	$4 \times 35=140$	$5 \times 28=140$	हाँ
$\dfrac{1}{4}=\dfrac{4}{16}$
$\dfrac{2}{3}=\dfrac{10}{15}$
$\dfrac{3}{7}=\dfrac{24}{56}$

हम क्या निष्कर्ष निकालते हैं? इन सभी स्थितियों में पहले की अंश और दूसरे की हर का गुणनफल पहले की हर और दूसरे की अंश के गुणनफल के बराबर है। इन दोनों गुणनफलों को क्रॉस गुणनफल कहा जाता है। अन्य तुल्य भिन्नों के जोड़ों के लिए क्रॉस गुणनफल निकालिए। क्या आपको कोई ऐसा भिन्नों का जोड़ा मिलता है जिसका क्रॉस गुणनफल बराबर नहीं होता? यह नियम तुल्य भिन्न खोजने में सहायक होता है।

उदाहरण 5 : $\dfrac{2}{9}$ का तुल्य भिन्न 63 हर वाला खोजिए।

हल : हमारे पास $\dfrac{2}{9}=\dfrac{\large\Box}{63}$

इसके लिए हमें चाहिए, $9 \times \large\Box=2 \times 63$।

पर $63=7 \times 9$, इसलिए $9 \times \large\Box=2 \times 7 \times 9=14 \times 9=9 \times 14$

या $9 \times \large\Box=9 \times 14$

तुलना करने पर, $\large\Box=14$। अतः, $\dfrac{2}{9}=\dfrac{14}{63}$।

7.7 एक भिन्न का सरलतम रूप

दिए गए भिन्न $\dfrac{36}{54}$ को लीजिए, आइए प्रयास करें कि एक समतुल्य भिन्न प्राप्त करें जिसमें अंश और हर के बीच 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड न हो।

हम इसे कैसे करते हैं? हम देखते हैं कि 36 और 54 दोनों 2 से विभाज्य हैं।

$\dfrac{36}{54}=\dfrac{36 \div 2}{54 \div 2}=\dfrac{18}{27}$

परंतु 18 और 27 के भी 1 के अतिरिक्त उभयनिष्ठ गुणनखंड हैं।

उभयनिष्ठ गुणनखंड $1,3,9$ हैं; सबसे बड़ा 9 है।

इसलिए, $\dfrac{18}{27}=\dfrac{18 \div 9}{27 \div 9}=\dfrac{2}{3}$

अब 2 और 3 के बीच 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है; हम कहते हैं कि भिन्न $\dfrac{2}{3}$ सरलतम रूप में है।

एक भिन्न को सरलतम (या न्यूनतम) रूप में कहा जाता है यदि उसके अंश और हर के बीच 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड न हो।

सबसे छोटा रास्ता

सरलतम रूप में समतुल्य भिन्न खोजने का सबसे छोटा रास्ता यह है कि अंश और हर का $HCF$ निकाला जाए, फिर दोनों को HCF से विभाजित किया जाए।

एक खेल
यहाँ दी गई समतुल्य भिन्न quite interesting हैं। इनमें से प्रत्येक 1 से 9 तक के सभी अंक केवल एक बार प्रयोग करती है!

$\text{ }$ $ \begin{aligned} & \dfrac{2}{6}=\dfrac{3}{9}=\dfrac{58}{174} \\ \\ & \dfrac{2}{4}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{79}{158} \end{aligned} $

ऐसी दो और समतुल्य भिन्न खोजने का प्रयास करें।

$\dfrac{36}{24}$ पर विचार करें।

36 और 24 का महत्तम समापवर्त्य (HCF) 12 है।

इसलिए, $\dfrac{36}{24}=\dfrac{36 \div 12}{24 \div 12}=\dfrac{3}{2}$। भिन्न $\dfrac{3}{2}$ न्यूनतम रूप में है।

इस प्रकार, HCF हमें एक भिन्न को उसके न्यूनतम रूप में कम करने में मदद करता है।

इन्हें आज़माएँ

1. सरलतम रूप लिखिए :

(i) $\dfrac{15}{75}$

(ii) $\dfrac{16}{72}$

(iii) $\dfrac{17}{51}$

(iv) $\dfrac{42}{28}$

(v) $\dfrac{80}{24}$

2. क्या $\dfrac{49}{64}$ अपने सरलतम रूप में है?

प्रश्नावली 7.3

1. भिन्न लिखिए। क्या ये सभी भिन्न समतुल्य हैं?

2. भिन्न लिखिए और प्रत्येक पंक्ति से समतुल्य भिन्नों को जोड़ी बनाइए।

3. निम्नलिखित में प्रत्येक $\large\Box$ को सही संख्या से प्रतिस्थापित कीजिए :

(a) $\dfrac{2}{7}=\dfrac{8}{\large\Box}$

(b) $\dfrac{5}{8}=\dfrac{10}{\large\Box}$

(d) $\dfrac{45}{60}=\dfrac{15}{\large\Box}$

(e) $\dfrac{18}{24}=\dfrac{\large\Box}{4}$

4. $\dfrac{3}{5}$ के समतुल्य भिन्न ज्ञात कीजिए जिसका

(a) हर 20 हो

(b) अंश 9 हो

(d) अंश 27 हो

5. $\dfrac{36}{48}$ के समतुल्य भिन्न ज्ञात कीजिए जिसका

(a) अंश 9 हो

(b) हर 4 हो

6. जाँच कीजिए कि दी गई भिन्नें समतुल्य हैं या नहीं :

(a) $\dfrac{5}{9}, \dfrac{30}{54}$

(b) $\dfrac{3}{10}, \dfrac{12}{50}$

7. निम्नलिखित भिन्नों को सरलतम रूप में लिखिए :

(a) $\dfrac{48}{60}$

(b) $\dfrac{150}{60}$

(d) $\dfrac{12}{52}$

(e) $\dfrac{7}{28}$

8. रमेश के पास 20 पेंसिलें थीं, शीलू के पास 50 पेंसिलें थीं और जमाल के पास 80 पेंसिलें थीं। 4 महीने बाद, रमेश ने 10 पेंसिलें इस्तेमाल कर लीं, शीलू ने 25 पेंसिलें इस्तेमाल कर लीं और जमाल ने 40 पेंसिलें इस्तेमाल कर लीं। प्रत्येक ने अपनी पेंसिलों का कितना भाग इस्तेमाल किया? जाँचिए कि क्या प्रत्येक ने अपनी पेंसिलों का समान भाग इस्तेमाल किया है?

9. तुल्य भिन्नों का मिलान कीजिए और प्रत्येक के लिए दो और भिन्न लिखिए।

(i) $\dfrac{250}{400}$ $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (a) $\dfrac{2}{3}$

(ii) $\dfrac{180}{200}$ $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (b) $\dfrac{2}{5}$

(iii) $\dfrac{660}{990}$ $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (c) $\dfrac{1}{2}$

(iv) $\dfrac{180}{360}$ $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (d) $\dfrac{5}{8}$

(v) $\dfrac{220}{550}$ $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (e) $\dfrac{9}{10}$

7.8 समान भिन्न

भिन्न जिनके हर समान हों, समान भिन्न कहलाते हैं।

इस प्रकार, $\dfrac{1}{15}, \dfrac{2}{15}, \dfrac{3}{15}, \dfrac{8}{15}$ सभी समान भिन्न हैं। क्या $\dfrac{7}{27}$ और $\dfrac{7}{28}$ समान भिन्न हैं?

इनके हर भिन्न हैं। इसलिए, ये समान भिन्न नहीं हैं। इन्हें असमान भिन्न कहा जाता है।

समान भिन्नों के पाँच युग्म और असमान भिन्नों के पाँच युग्म लिखिए।

7.9 भिन्नों की तुलना

सोहनी की थाली में $3 \dfrac{1}{2}$ रोटियाँ हैं और रीता की थाली में $2 \dfrac{3}{4}$ रोटियाँ हैं। किसकी थाली में अधिक रोटियाँ हैं? स्पष्ट है कि सोहनी के पास 3 पूरी रोटियों से अधिक हैं और रीता के पास 3 से कम रोटियाँ हैं। इसलिए, सोहनी के पास अधिक रोटियाँ हैं।

$\dfrac{1}{2}$ और $\dfrac{1}{3}$ पर विचार कीजिए जैसा कि चित्र 7.12 में दिखाया गया है। पूरे के अनुरूप $\dfrac{1}{2}$ वाला भाग स्पष्ट रूप से उसी पूरे के अनुरूप $\dfrac{1}{3}$ वाले भाग से बड़ा है।

चित्र 7.12

इसलिए $\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{1}{3}$ से बड़ा है।

लेकिन अक्सर यह कहना आसान नहीं होता कि भिन्नों के किस जोड़ी में से कौन बड़ा है। उदाहरण के लिए, $\dfrac{1}{4}$ या $\dfrac{3}{10}$ में से कौन बड़ा है? इसके लिए, हम भिन्नों को दिखाना चाहेंगे

इन्हें आज़माइए

1. आपको एक बोतल का एक-पाँचवाँ भाग जूस मिलता है और आपकी बहन को उसी आकार की बोतल का एक-तिहाई भाग जूस मिलता है। किसे अधिक मिलता है? चित्रों का प्रयोग करके (जैसा कि चित्र 7.12 में), लेकिन चित्र बनाना आसान नहीं हो सकता, विशेषकर 13 जैसे हरों के साथ। इसलिए हमें भिन्नों की तुलना के लिए एक व्यवस्थित प्रक्रिया चाहिए। समान भिन्नों की तुलना करना विशेष रूप से आसान है। हम यह पहले करते हैं।

7.9.1 समान भिन्नों की तुलना

समान भिन्न वे भिन्न होते हैं जिनके हर समान होते हैं। इनमें से कौन-से समान भिन्न हैं?

$ \dfrac{2}{5}, \dfrac{3}{4}, \dfrac{1}{5}, \dfrac{7}{2}, \dfrac{3}{5}, \dfrac{4}{5}, \dfrac{4}{7} $

आइए दो समान भिन्नों की तुलना करें: $\dfrac{3}{8}$ और $\dfrac{5}{8}$।

दोनों भिन्नों में पूरे को 8 बराबर भागों में बाँटा गया है। $\dfrac{3}{8}$ और $\dfrac{5}{8}$ के लिए, हम क्रमशः 8 बराबर भागों में से 3 और 5 भाग लेते हैं। स्पष्ट है कि 8 बराबर भागों में से 5 भागों के अनुरूप भाग, 3 भागों के अनुरूप भाग से बड़ा है। इसलिए, $\dfrac{5}{8}>\dfrac{3}{8}$। ध्यान दें कि लिए गए भागों की संख्या अंश द्वारा दी जाती है। इसलिए, यह स्पष्ट है कि समान हर वाली दो भिन्नों में, जिस भिन्न का अंश अधिक हो, वह भिन्न बड़ी होती है। $\dfrac{4}{5}$ और $\dfrac{3}{5}$ में, $\dfrac{4}{5}$ बड़ी है। $\dfrac{11}{20}$ और $\dfrac{13}{20}$ में, $\dfrac{13}{20}$ बड़ी है और आगे भी ऐसा ही है।

इन्हें आज़माएँ

1. कौन-सा भिन्न बड़ा है?

(i) $\dfrac{7}{10}$ या $\dfrac{8}{10}$

(ii) $\dfrac{11}{24}$ या $\dfrac{13}{24}$

(iii) $\dfrac{17}{102}$ या $\dfrac{12}{102}$

इनकी तुलना करना आसान क्यों है?

2. इन्हें आरोही तथा अवरोही क्रम में लिखिए।

(a) $\dfrac{1}{8}, \dfrac{5}{8}, \dfrac{3}{8}$

(b) $\dfrac{1}{5}, \dfrac{11}{5}, \dfrac{4}{5}, \dfrac{3}{5}, \dfrac{7}{5}$

(c) $\dfrac{1}{7}, \dfrac{3}{7}, \dfrac{13}{7}, \dfrac{11}{7}, \dfrac{7}{7}$

7.9.2 असमान भिन्नों की तुलना

दो भिन्न असमान होते हैं यदि उनके हर (denominators) भिन्न-भिन्न हों। उदाहरण के लिए, $\dfrac{1}{3}$ और $\dfrac{1}{5}$ असमान भिन्न हैं। $\dfrac{2}{3}$ और $\dfrac{3}{5}$ भी ऐसे ही हैं।

समान अंश वाले असमान भिन्न :

एक असमान भिन्नों के युग्म $\dfrac{1}{3}$ और $\dfrac{1}{5}$ पर विचार कीजिए, जिनमें अंश समान है।

कौन बड़ा है, $\dfrac{1}{3}$ या $\dfrac{1}{5}$ ?

$\dfrac{1}{3}$ में हम पूरी वस्तु को 3 बराबर भागों में बाँटते हैं और एक भाग लेते हैं। $\dfrac{1}{5}$ में हम पूरी वस्तु को 5 बराबर भागों में बाँटते हैं और एक भाग लेते हैं। ध्यान दीजिए कि $\dfrac{1}{3}$ में पूरी वस्तु $\dfrac{1}{5}$ की तुलना में कम भागों में बँटी जाती है। इसलिए $\dfrac{1}{3}$ में मिलने वाला बराबर भाग, $\dfrac{1}{5}$ में मिलने वाले बराबर भाग से बड़ा होता है। चूँकि दोनों स्थितियों में हम समान संख्या में भाग (अर्थात् एक) लेते हैं, इसलिए पूरी वस्तु का वह भाग जो $\dfrac{1}{3}$ दर्शाता है, $\dfrac{1}{5}$ दर्शाने वाले भाग से बड़ा होता है, और इसलिए $\dfrac{1}{3}>\dfrac{1}{5}$।

इसी प्रकार हम कह सकते हैं $\dfrac{2}{3}>\dfrac{2}{5}$। इस स्थिति में उपरोक्त स्थिति जैसा ही हाल है, केवल अंतर यह है कि उभयनिष्ठ अंश 2 है, 1 नहीं। $\dfrac{2}{5}$ के लिए पूरी वस्तु $\dfrac{2}{3}$ की तुलना में अधिक बराबर भागों में बँटी जाती है। इसलिए $\dfrac{2}{3}$ के मामले में पूरी वस्तु का प्रत्येक बराबर भाग, $\dfrac{2}{5}$ के मामले में प्राप्त भाग से बड़ा होता है। इसलिए पूरी वस्तु का वह भाग जो $\dfrac{2}{3}$ दर्शाता है, $\dfrac{2}{5}$ दर्शाने वाले भाग से बड़ा होता है और इस प्रकार, $\dfrac{2}{3}>\dfrac{2}{5}$।

उपरोक्त उदाहरण से हम देख सकते हैं कि यदि दो भिन्नों में अंश समान हो, तो जिस भिन्न का हर छोटा होता है वह दोनों में बड़ी होती है।

इस प्रकार, $\dfrac{1}{8}>\dfrac{1}{10}, \dfrac{3}{5}>\dfrac{3}{7}, \dfrac{4}{9}>\dfrac{4}{11}$ और आगे भी ऐसे ही।

आइए $\dfrac{2}{1}, \dfrac{2}{13}, \dfrac{2}{9}, \dfrac{2}{5}, \dfrac{2}{7}$ को बढ़ते क्रम में व्यवस्थित करें। ये सभी भिन्न असमान हैं, लेकिन इनका अंश समान है। इसलिए, ऐसी स्थिति में जितना बड़ा हर होगा, भिन्न उतनी ही छोटी होगी। सबसे छोटी भिन्न $\dfrac{2}{13}$ है, क्योंकि इसका हर सबसे बड़ा है। अगली तीन भिन्नें क्रमशः $\dfrac{2}{9}, \dfrac{2}{7}, \dfrac{2}{5}$ हैं। सबसे बड़ी भिन्न $\dfrac{2}{1}$ है (इसका हर सबसे छोटा है)। इसलिए बढ़ते क्रम में व्यवस्था है: $\dfrac{2}{13}, \dfrac{2}{9}, \dfrac{2}{7}, \dfrac{2}{5}, \dfrac{2}{1}$।

इन्हें आज़माएँ

1. निम्नलिखित को आरोही और अवरोही क्रम में व्यवस्थित करें:

(a) $\dfrac{1}{12}, \dfrac{1}{23}, \dfrac{1}{5}, \dfrac{1}{7}, \dfrac{1}{50}, \dfrac{1}{9}, \dfrac{1}{17}$

(b) $\dfrac{3}{7}, \dfrac{3}{11}, \dfrac{3}{5}, \dfrac{3}{2}, \dfrac{3}{13}, \dfrac{3}{4}, \dfrac{3}{17}$

(c) 3 और इसी तरह के उदाहरण लिखें और उन्हें आरोही और अवरोही क्रम में व्यवस्थित करें।

मान लीजिए हम $\dfrac{2}{3}$ और $\dfrac{3}{4}$ की तुलना करना चाहते हैं। इनके अंश भिन्न हैं और हर भी भिन्न हैं। हम जानते हैं कि समान भिन्नों, अर्थात् समान हर वाली भिन्नों की तुलना कैसे करते हैं। इसलिए हमें कोशिश करनी चाहिए कि दी गई भिन्नों के हरों को बराबर कर दिया जाए, ताकि वे समान हो जाएं। इस उद्देश्य के लिए हम तुल्य भिन्नों की विधि का उपयोग कर सकते हैं, जो हमें पहले से ज्ञात है। इस विधि का प्रयोग करके हम किसी भिन्न के हर को बदल सकते हैं बिना उसके मान को बदले।

आइए $\dfrac{2}{3}$ और $\dfrac{3}{4}$ दोनों के तुल्य भिन्न खोजें।

$\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{6}{9}=\dfrac{8}{12}=\dfrac{10}{15}=\ldots . \quad$ इसी प्रकार,$\dfrac{3}{4}=\dfrac{6}{8}=\dfrac{9}{12}=\dfrac{12}{16}=\ldots$

$\dfrac{2}{3}$ और $\dfrac{3}{4}$ के तुल्य भिन्न जिनका समान हर 12 है, क्रमशः $\dfrac{8}{12}$ और $\dfrac{9}{12}$ हैं।

अर्थात् $\dfrac{2}{3}=\dfrac{8}{12}$ और $\dfrac{3}{4}=\dfrac{9}{12}$। चूँकि, $\dfrac{9}{12}>\dfrac{8}{12}$ इसलिए, $\dfrac{3}{4}>\dfrac{2}{3}$।

उदाहरण 6 : $\dfrac{4}{5}$ और $\dfrac{5}{6}$ की तुलना कीजिए।

हल : भिन्न असमान भिन्न हैं। उनके अंश भी भिन्न हैं। आइए उनके तुल्य भिन्न लिखें।

$ \begin{aligned} & \dfrac{4}{5}=\dfrac{8}{10}=\dfrac{12}{15}=\dfrac{16}{20}=\dfrac{20}{25}=\dfrac{24}{30}=\dfrac{28}{35}= \ldots \ldots \ldots \ & \text{ और } \dfrac{5}{6}=\dfrac{10}{12}=\dfrac{15}{18}=\dfrac{20}{24}=\dfrac{25}{30}=\dfrac{30}{36}=\ldots \ldots \ldots . \end{aligned} $

समान हर वाले तुल्य भिन्न हैं :

$ \dfrac{4}{5}=\dfrac{24}{30} \text{ और } \dfrac{5}{6}=\dfrac{25}{30} $

चूँकि, $\dfrac{25}{30}>\dfrac{24}{30}$ इसलिए, $\dfrac{5}{6}>\dfrac{4}{5}$

ध्यान दें कि तुल्य भिन्नों का उभयनिष्ठ हर 30 है जो $5 \times 6$ है। यह 5 और 6 दोनों का उभयनिष्ठ गुणज है।

इसलिए, जब हम दो असमान भिन्नों की तुलना करते हैं, तो पहले हम उनके समतुल्य भिन्न इस प्रकार निकालते हैं कि उनका हर दोनों भिन्नों के हरों का एक उभयनिष्ठ गुणज हो।

उदाहरण 7 : $\dfrac{5}{6}$ और $\dfrac{13}{15}$ की तुलना करें।

हल : भिन्नें असमान हैं। हमें पहले उनके समतुल्य भिन्न इस प्रकार निकालने चाहिए कि उनका हर 6 और 15 का उभयनिष्ठ गुणज हो।

अब, $\dfrac{5 \times 5}{6 \times 5}=\dfrac{25}{30}, \dfrac{13 \times 2}{15 \times 2}=\dfrac{26}{30}$

चूँकि $\dfrac{26}{30}>\dfrac{25}{30}$ इसलिए $\dfrac{13}{15}>\dfrac{5}{6}$।

LCM क्यों?

6 और 15 का गुणा 90 है; स्पष्ट है कि 90 भी 6 और 15 का उभयनिष्ठ गुणज है। हम 30 के स्थान पर 90 का भी प्रयोग कर सकते हैं; यह गलत नहीं होगा। पर हम जानते हैं कि छोटी संख्याओं के साथ कार्य करना आसान और अधिक सुविधाजनक होता है। इसलिए हम वह उभयनिष्ठ गुणज लेते हैं जितना छोटा संभव हो। यही कारण है कि भिन्नों के हरों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) उभयनिष्ठ हर के रूप में प्राथमिकता दिया जाता है।

अभ्यास 7.4

1. छायांकित भाग को भिन्न के रूप में लिखिए। उन्हें आरोही और अवरोही क्रम में सही चिह्न ‘$<$’, ‘$=$’, ‘$>$’ का प्रयोग करते हुए व्यवस्थित कीजिए:

(a)

(b)

(c) संख्या रेखा पर $\dfrac{2}{6}, \dfrac{4}{6}, \dfrac{8}{6}$ और $\dfrac{6}{6}$ को दिखाएं। दिए गए भिन्नों के बीच उपयुक्त चिह्न लगाएं।

$ \dfrac{5}{6} \large\Box \dfrac{2}{6}, \quad \dfrac{3}{6} \large\Box 0, \quad \dfrac{1}{6} \large\Box \dfrac{6}{6}, \quad \dfrac{8}{6} \large\Box \dfrac{5}{6} $

2. भिन्नों की तुलना करें और उपयुक्त चिह्न लगाएं।

(a) $\dfrac{3}{6} \large\Box \dfrac{5}{6}$

(b) $\dfrac{1}{7} \large\Box \dfrac{1}{4}$

(d) $\dfrac{3}{5} \large\Box \dfrac{3}{7}$

3. ऐसे ही पाँच और युग्म बनाएं और उपयुक्त चिह्न लगाएं।

4. आकृतियों को देखें और दिए गए भिन्नों के युग्मों के बीच ’ $<$ ’ या ’ $>$ ‘, ’ $=$ ’ लिखें।

(a) $\dfrac{1}{6} \large\Box \dfrac{1}{3}$

(b) $\dfrac{3}{4} \large\Box \dfrac{2}{6}$

(d) $\dfrac{6}{6} \large\Box \dfrac{3}{3}$

(e) $\dfrac{5}{6} \large\Box \dfrac{5}{5}$

ऐसे ही पाँच और प्रश्न बनाएं और उन्हें अपने मित्रों के साथ हल करें।

5. आप यह कितनी जल्दी कर सकते हैं? उपयुक्त चिह्न भरें। ( ‘<’, ‘=’, ‘>’)

(a) $\dfrac{1}{2} \large\Box \dfrac{1}{5}$

(b) $\dfrac{2}{4} \large\Box \dfrac{3}{6}$

(d) $\dfrac{3}{4} \large\Box \dfrac{2}{8}$

(e) $\dfrac{3}{5} \large\Box \dfrac{6}{5}$

(f) $\dfrac{7}{9} \large\Box \dfrac{3}{9}$

(g) $\dfrac{1}{4} \large\Box \dfrac{2}{8}$

(h) $\dfrac{6}{10} \large\Box \dfrac{4}{5}$

(i) $\dfrac{3}{4} \large\Box \dfrac{7}{8}$

(j) $\dfrac{6}{10} \large\Box \dfrac{3}{5}$

(k) $\dfrac{5}{7} \large\Box \dfrac{15}{21}$

6. निम्नलिखित भिन्न तीन भिन्न संख्याओं को दर्शाती हैं। प्रत्येक को उसके सरलतम रूप में बदलकर उन्हें तीन समतुल्य भिन्नों के समूहों में विभाजित करो।

(a) $\dfrac{2}{12}$

(b) $\dfrac{3}{15}$

(d) $\dfrac{16}{100}$

(e) $\dfrac{10}{60}$

(f) $\dfrac{15}{75}$

(g) $\dfrac{12}{60}$

(h) $\dfrac{16}{96}$

(i) $\dfrac{12}{75}$

(j) $\dfrac{12}{72}$

(k) $\dfrac{3}{18}$

(l) $\dfrac{4}{25}$

7. निम्नलिखित के उत्तर खोजो। लिखो और बताओ कि तुमने उन्हें कैसे हल किया।

(a) क्या $\dfrac{5}{9}$ बराबर है $\dfrac{4}{5}$ के?

(b) क्या $\dfrac{9}{16}$ बराबर है $\dfrac{5}{9}$ के?

(d) क्या $\dfrac{1}{15}$ बराबर है $\dfrac{4}{30}$ के?

8. इला ने 100 पृष्ठों वाली पुस्तक के 25 पृष्ठ पढ़े। ललिता ने उसी पुस्तक के $\dfrac{2}{5}$ भाग को पढ़ा। किसने कम पढ़ा?

9. रफीक ने $\dfrac{3}{6}$ घंटे व्यायाम किया, जबकि रोहित ने $\dfrac{3}{4}$ घंटे व्यायाम किया। किसने अधिक समय तक व्यायाम किया?

10. कक्षा A में 25 विद्यार्थी हैं, जिनमें से 20 ने 60% या अधिक अंकों के साथ उत्तीर्णता प्राप्त की; दूसरी कक्षा B में 30 विद्यार्थी हैं, जिनमें से 24 ने 60% या अधिक अंकों के साथ उत्तीर्णता प्राप्त की। किस कक्षा में अधिक भिन्न संख्या में विद्यार्थियों ने 60% या अधिक अंक प्राप्त किए?

7.10 भिन्नों का योग और व्यवकलन

अब तक हमने प्राकृत संख्याओं, पूर्ण संख्याओं और फिर पूर्णांकों का अध्ययन किया है। वर्तमान अध्याय में हम भिन्नों — संख्याओं के एक अलग प्रकार — के बारे में सीख रहे हैं।

जब भी हमें संख्याओं का कोई नया प्रकार मिलता है, हम जानना चाहते हैं कि उनके साथ संक्रियाएँ कैसे करें। क्या हम उन्हें मिलाकर जोड़ सकते हैं? यदि हाँ, तो कैसे? क्या हम किसी संख्या को दूसरी से घटा सकते हैं? अर्थात् क्या हम एक संख्या को दूसरी से घटा सकते हैं? इत्यादि। संख्याओं के बारे में पहले जिन गुणों को हमने सीखा था, उनमें से कौन-से अब भी लागू होते हैं? कौन-से नए गुण हैं? हम यह भी देखते हैं कि ये हमारे दैनिक जीवन की परिस्थितियों से निपटने में कैसे सहायक होते हैं।

कोशिश करें

1. मेरी माँ ने एक सेब को 4 बराबर भागों में बाँटा। उसने मुझे दो भाग और मेरे भाई को एक भाग दिया। उसने हम दोनों को मिलाकर कितना सेब दिया?

2. माँ ने नीलू और उसके भाई को गेहूँ से पत्थर चुनने को कहा। नीलू ने कुल पत्थरों का एक चौथाई भाग चुना और उसके भाई ने भी पत्थरों का एक चौथाई भाग चुना। दोनों ने मिलकर कुल पत्थरों की कितनी भिन्न संख्या चुनी?

3. सोहन अपनी कॉपियों पर कवर चढ़ा रहा था। उसने सोमवार को कवरों का एक चौथाई भाग लगाया। उसने मंगलवार को एक और चौथाई भाग लगाया और बाकी बुधवार को लगाए। उसने बुधवार को कवरों की कितनी भिन्न संख्या लगाई?

निम्नलिखित उदाहरणों को देखें: एक चाय स्टॉल की मालकिन अपनी दुकान में सुबह चाय बनाने में $2 \dfrac{1}{2}$ लीटर दूध और शाम को $1 \dfrac{1}{2}$ लीटर दूध उपयोग करती है। वह स्टॉल में कुल कितना दूध उपयोग करती है?

या शेखर ने दोपहर के भोजन में 2 चपातियाँ और रात के खाने में $1 \dfrac{1}{2}$ चपातियाँ खाईं। उसने कुल कितनी चपातियाँ खाईं?

स्पष्ट है कि दोनों स्थितियों में भिन्नों को जोड़ने की आवश्यकता है। इनमें से कुछ जोड़ मौखिक रूप से किए जा सकते हैं और योग आसानी से निकाला जा सकता है।

इसे करें

अपने मित्रों के साथ मिलकर ऐसे पाँच प्रश्न बनाएँ और उन्हें हल करें।

7.10.1 समान भिन्नों को जोड़ना या घटाना

सभी भिन्नों को मौखिक रूप से नहीं जोड़ा जा सकता। हमें यह जानना होगा कि विभिन्न स्थितियों में उन्हें कैसे जोड़ा जाए और इसकी प्रक्रिया सीखनी होगी। हम समान भिन्नों के जोड़ से शुरुआत करते हैं।

एक $7 \times 4$ ग्रिड शीट लें (चित्र 7.13)। इस शीट में प्रत्येक पंक्ति में सात बॉक्स और प्रत्येक स्तंभ में चार बॉक्स हैं।

कुल कितने बॉक्स हैं?

इसके पाँच बॉक्स हरे रंग से रंगें।

पूरे का कितना भाग हरा क्षेत्र है?

अब इसके और चार बॉक्स पीले रंग से रंगें।

पूरे का कितना भाग यह पीला क्षेत्र है?

कुल मिलाकर पूरे का कितना भाग रंगा गया है?

क्या यह बताता है कि $\dfrac{5}{28}+\dfrac{4}{28}=\dfrac{9}{28}$ ?

और उदाहरण देखें

चित्र 7.14 (i) में हमारे पास आकृति के 2 चौथाई भाग छायांकित हैं। इसका अर्थ है कि हमारे पास 4 में से 2 भाग छायांकित हैं या आकृति का $\dfrac{1}{2}$ भाग छायांकित है।

अर्थात्, $\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{1+1}{4}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$।

चित्र 7.14 (ii) को देखें

चित्र 7.14 (ii) $\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{9}=\dfrac{1+1+1}{9}=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}$ को दर्शाता है।

उपरोक्त उदाहरणों से हम क्या सीखते हैं? दो या अधिक समान भिन्नों का योग निम्नलिखित प्रकार से प्राप्त किया जा सकता है :

चरण 1 अंशों को जोड़ें।

(i) $\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}$

(ii) $\dfrac{2}{5}+\dfrac{3}{5}$

(iii) $\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}$

चरण 2 (सामान्य) हर को यथावत रखें।

इन्हें अपने दोस्तों के साथ हल करें।

चरण 3 भिन्न को इस प्रकार लिखें :

$\dfrac{\text{ चरण } 1 \text{ का परिणाम }}{\text{ चरण } 2 \text{ का परिणाम }}$

आइए, इस प्रकार, $\dfrac{3}{5}$ और $\dfrac{1}{5}$ को जोड़ें।

हमारे पास $\dfrac{3}{5}+\dfrac{1}{5}=\dfrac{3+1}{5}=\dfrac{4}{5}$

तो, $\dfrac{7}{12}$ और $\dfrac{3}{12}$ का योग क्या होगा ?

इन्हें आज़माइए

1. एक आरेख की सहायता से जोड़िए।

2. $\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{12}$ जोड़िए। हम इसे चित्रात्मक रूप से कैसे दिखाएँगे? कागज़ को मोड़कर?

3. ऊपर 1 और 2 में दिए गए प्रश्नों के 5 और उदाहरण बनाइए।

शेष निकालना

शर्मिला के पास केक की $\dfrac{5}{6}$ मात्रा थी। उसने उसमें से $\dfrac{2}{6}$ अपने छोटे भाई को दे दी। उसके पास कितना केक शेष बचा?

एक आरेख स्थिति को समझा सकता है (चित्र 7.15)। (ध्यान दें कि यहाँ दी गई भिन्नाँ समान भिन्नाँ हैं)।

हम पाते हैं कि $\dfrac{5}{6}-\dfrac{2}{6}=\dfrac{5-2}{6}=\dfrac{3}{6}$ या $\dfrac{1}{2}$

(क्या यह समान भिन्नाँ जोड़ने की विधि से मिलता-जुलता नहीं है?)

इस प्रकार, हम कह सकते हैं कि दो समान भिन्नों का अंतर इस प्रकार प्राप्त किया जा सकता है:

चरण 1 छोटे अंश को बड़े अंश से घटाइए।

चरण 2 (उभयनिष्ठ) हर को यथावत रखिए।

चरण 3 भिन्न को इस प्रकार लिखिए : $\dfrac{\text{ चरण } 1 \text{ का परिणाम}}{\text{ चरण } 2 \text{ का परिणाम}}$

क्या हम अब $\dfrac{3}{10}$ को $\dfrac{8}{10}$ से घटा सकते हैं?

इन्हें आज़माएँ

1. $\dfrac{7}{8}$ और $\dfrac{3}{8}$ के बीच का अंतर निकालें।

2. माँ ने गुड़ पट्टी गोल आकार में बनाई। उसने उसे 5 भागों में बाँटा। सीमा ने उसमें से एक टुकड़ा खाया। यदि मैं एक और टुकड़ा खाऊँ तो कितना बचेगा?

3. मेरी बड़ी बहन ने तरबूज को 16 भागों में बाँटा। मैंने उनमें से 7 खाए। मेरे दोस्त ने 4 खाए। हमने मिलकर कितना खाया? मैंने अपने दोस्त से कितना अधिक तरबूज खाया? तरबूज का कितना भाग बचा रहा?

4. इस प्रकार के पाँच प्रश्न बनाएँ और उन्हें अपने दोस्तों के साथ हल करें।

अभ्यास 7.5

1. इन भिन्नों को योग या व्यवकलन के रूप में उचित रूप से लिखें :

2. हल कीजिए:

(a) $\dfrac{1}{18}+\dfrac{1}{18}$

(b) $\dfrac{8}{15}+\dfrac{3}{15}$

(d) $\dfrac{1}{22}+\dfrac{21}{22}$

(e) $\dfrac{12}{15}-\dfrac{7}{15}$

(f) $\dfrac{5}{8}+\dfrac{3}{8}$

(g) $1-\dfrac{2}{3}(1=\dfrac{3}{3})$

(h) $\dfrac{1}{4}+\dfrac{0}{4}$

(i) $3-\dfrac{12}{5}$

3. शुभम ने अपने कमरे की दीवार के $\dfrac{2}{3}$ भाग को रंगा। उसकी बहन माधवी ने मदद की और दीवार के $\dfrac{1}{3}$ भाग को रंगा। उन्होंने मिलकर कितना भाग रंगा?

4. लापता भिन्नों को भरें।

(a) $\dfrac{7}{10}-\large\Box=\dfrac{3}{10}$

(b) $\large\Box-\dfrac{3}{21}=\dfrac{5}{21}$

(d) $\large\Box+\dfrac{5}{27}=\dfrac{12}{27}$

5. जावेद को संतरों की एक टोकरी का $\dfrac{5}{7}$ भाग दिया गया। टोकरी में कितना भाग संतरों का बचा रहा?

7.10.2 भिन्नों की जोड़ और घटाव

हमने समान भिन्नों को जोड़ना और घटाना सीखा है। भिन्नों को जोड़ना जिनका हर समान नहीं होता, वह भी बहुत कठिन नहीं होता। जब हमें भिन्नों को जोड़ना या घटाना होता है तो हम पहले समान हर वाली समतुल्य भिन्नें निकालते हैं और फिर आगे बढ़ते हैं।

$\dfrac{1}{5}$ में क्या जोड़ने पर $\dfrac{1}{2}$ प्राप्त होता है? इसका अर्थ है $\dfrac{1}{2}$ में से $\dfrac{1}{5}$ घटाकर आवश्यक संख्या प्राप्त करना।

चूँकि $\dfrac{1}{5}$ और $\dfrac{1}{2}$ असमान हर वाली भिन्नें हैं, इन्हें घटाने के लिए हम पहले समान हर वाली समतुल्य भिन्नें निकालते हैं। ये क्रमशः $\dfrac{2}{10}$ और $\dfrac{5}{10}$ हैं।

ऐसा इसलिए है क्योंकि $\dfrac{1}{2}=\dfrac{1 \times 5}{2 \times 5}=\dfrac{5}{10}$ और $\dfrac{1}{5}=\dfrac{1 \times 2}{5 \times 2}=\dfrac{2}{10}$

इसलिए, $\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{5}=\dfrac{5}{10}-\dfrac{2}{10}=\dfrac{5-2}{10}=\dfrac{3}{10}$

ध्यान दें कि 10, 2 और 5 का लघुतम समापवर्त्य (LCM) है।

उदाहरण 8 : $\dfrac{5}{6}$ में से $\dfrac{3}{4}$ घटाइए।

हल : हमें $\dfrac{3}{4}$ और $\dfrac{5}{6}$ की समान हर वाली समतुल्य भिन्नें निकालनी हैं। यह हर 4 और 6 का LCM द्वारा दिया जाता है। आवश्यक $LCM$ 12 है।

इसलिए, $\dfrac{5}{6}-\dfrac{3}{4}=\dfrac{5 \times 2}{6 \times 2}-\dfrac{3 \times 3}{4 \times 3}=\dfrac{10}{12}-\dfrac{9}{12}=\dfrac{1}{12}$

उदाहरण 9 : $\dfrac{2}{5}$ में $\dfrac{1}{3}$ जोड़ें।

हल : 5 और 3 का लघुतम समापवर्त्य 15 है।

इसलिए, $\dfrac{2}{5}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{2 \times 3}{5 \times 3}+\dfrac{1 \times 5}{3 \times 5}=\dfrac{6}{15}+\dfrac{5}{15}=\dfrac{11}{15}$

उदाहरण 10 : $\dfrac{3}{5}-\dfrac{7}{20}$ को सरल कीजिए।

हल : 5 और 20 का लघुतम समापवर्त्य 20 है।

इसलिए, $\dfrac{3}{5}-\dfrac{7}{20}=\dfrac{3 \times 4}{5 \times 4}-\dfrac{7}{20}=\dfrac{12}{20}-\dfrac{7}{20}$

$ =\dfrac{12-7}{20}=\dfrac{5}{20}=\dfrac{1}{4} $

इन्हें आजमाइए

1. $\dfrac{2}{5}$ और $\dfrac{3}{7}$ को जोड़ें।

2. $\dfrac{5}{7}$ में से $\dfrac{2}{5}$ घटाएँ।

हम मिश्र भिन्नों को जोड़ते या घटाते कैसे हैं?

मिश्र भिन्नों को या तो पूर्णांक भाग और एक उचित भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है या पूरी तरह से एक अनुचित भिन्न के रूप में। मिश्र भिन्नों को जोड़ने (या घटाने) का एक तरीका यह है कि पूर्णांक भागों के लिए और भिन्न भागों के लिए अलग-अलग संक्रियाएँ की जाएँ और दूसरा तरीका यह है कि मिश्र भिन्नों को अनुचित भिन्नों के रूप में लिखा जाए और फिर सीधे उन्हें जोड़ा (या घटाया) जाए।

उदाहरण 11 : $2 \dfrac{4}{5}$ और $3 \dfrac{5}{6}$ को जोड़ें।

हल : $2 \dfrac{4}{5}+3 \dfrac{5}{6}=2+\dfrac{4}{5}+3+\dfrac{5}{6}=5+\dfrac{4}{5}+\dfrac{5}{6}$

अब $\dfrac{4}{5}+\dfrac{5}{6}=\dfrac{4 \times 6}{5 \times 6}+\dfrac{5 \times 5}{6 \times 5}($ क्योंकि 5 और 6 का लघुतम समापवर्त्य $=30$ है $)$

$=\dfrac{24}{30}+\dfrac{25}{30}=\dfrac{49}{30}=\dfrac{30+19}{30}=1+\dfrac{19}{30}$

इस प्रकार, $5+\dfrac{4}{5}+\dfrac{5}{6}=5+1+\dfrac{19}{30}=6+\dfrac{19}{30}=6 \dfrac{19}{30}$

और, इसलिए, $2 \dfrac{4}{5}+3 \dfrac{5}{6}=6 \dfrac{19}{30}$

सोचो, चर्चा करो और लिखो

क्या आप इस योग को करने का कोई अन्य तरीका खोज सकते हैं?

उदाहरण 12 : ज्ञात कीजिए $4 \dfrac{2}{5}-2 \dfrac{1}{5}$

हल : पूर्ण संख्याएँ 4 और 2 तथा भिन्न संख्याएँ $\dfrac{2}{5}$ और $\dfrac{1}{5}$ को अलग-अलग घटाया जा सकता है। (ध्यान दीजिए कि $4>2$ और $\dfrac{2}{5}>\dfrac{1}{5}$)

$ \text{ इसलिए, } 4 \dfrac{2}{5}-2 \dfrac{1}{5}=(4-2)+(\dfrac{2}{5}-\dfrac{1}{5})=2+\dfrac{1}{5}=2 \dfrac{1}{5} $

उदाहरण 13 : सरल कीजिए: $8 \dfrac{1}{4}-2 \dfrac{5}{6}$

हल : यहाँ $8>2$ है परंतु $\dfrac{1}{4}<\dfrac{5}{6}$ है। हम इस प्रकार आगे बढ़ते हैं:

$ 8 \dfrac{1}{4}=\dfrac{(8 \times 4)+1}{4}=\dfrac{33}{4} \text{ और } 2 \dfrac{5}{6}=\dfrac{2 \times 6+5}{6}=\dfrac{17}{6} $

अब, $\dfrac{33}{4}-\dfrac{17}{6}=\dfrac{33 \times 3}{12}-\dfrac{17 \times 2}{12} \quad($ क्योंकि 4 और 6 का ल.स.प. = 12 है $)$

$ =\dfrac{99-34}{12}=\dfrac{65}{12}=5 \dfrac{5}{12} $

प्रश्नावली 7.6

1. हल कीजिए

(a) $\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{7}$

(b) $\dfrac{3}{10}+\dfrac{7}{15}$

(d) $\dfrac{5}{7}+\dfrac{1}{3}$

(e) $\dfrac{2}{5}+\dfrac{1}{6}$

(f) $\dfrac{4}{5}+\dfrac{2}{3}$

(g) $\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{3}$

(h) $\dfrac{5}{6}-\dfrac{1}{3}$

(i) $\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{2}$

(j) $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}$

(k) $1 \dfrac{1}{3}+3 \dfrac{2}{3}$

(l) $4 \dfrac{2}{3}+3 \dfrac{1}{4}$

(m) $\dfrac{16}{5}-\dfrac{7}{5}$

(n) $\dfrac{4}{3}-\dfrac{1}{2}$

2. सरिता ने $\dfrac{2}{5}$ मीटर रिबन खरीदा और ललिता ने $\dfrac{3}{4}$ मीटर रिबन खरीदा। उन्होंने कुल मिलाकर कितने लंबाई का रिबन खरीदा?

3. नैना को $1 \dfrac{1}{2}$ टुकड़ा केक दिया गया और नजमा को $1 \dfrac{1}{3}$ टुकड़ा केक दिया गया। दोनों को दिए गए केक की कुल मात्रा ज्ञात कीजिए।

4. बॉक्सों को भरें :

(a) $\large\Box-\dfrac{5}{8}=\dfrac{1}{4}$

(b) $\large\Box-\dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{2}$

5. योग-व्यवकलन बॉक्स को पूरा कीजिए।

6. $\dfrac{7}{8}$ मीटर लंबा एक तार दो टुकड़ों में टूट गया। एक टुकड़ा $\dfrac{1}{4}$ मीटर लंबा था। दूसरा टुकड़ा कितना लंबा है?

7. नंदिनी का घर उसके स्कूल से $\dfrac{9}{10} km$ दूर है। वह कुछ दूरी पैदल चली और फिर $\dfrac{1}{2} km$ बस से स्कूल पहुँची। उसने कितनी दूरी पैदल तय की?

8. आशा और सैमुअल की समान आकार की किताबों की अलमारियाँ हैं जो आंशिक रूप से किताबों से भरी हुई हैं। आशा की अलमारी $\dfrac{5}{6}$ भरा हुआ है और सैमुअल की अलमारी $\dfrac{2}{5}$ भरा हुआ है। किसकी अलमारी अधिक भरी हुई है? किस भिन्न से?

9. जयदेव को स्कूल के मैदान को पार करने में (2 \dfrac{1}{5}) मिनट लगते हैं। राहुल को यही काम करने में (\dfrac{7}{4}) मिनट लगते हैं। किसे कम समय लगता है और कितने भाग से?

हमने क्या चर्चा की है?

1. (क) एक भिन्न एक ऐसी संख्या है जो किसी पूरे का एक भाग दर्शाती है। वह पूरा एक एकल वस्तु हो सकती है या वस्तुओं का एक समूह हो सकता है।

(ख) जब किसी भिन्न को लिखने के लिए भागों की गिनती की स्थिति व्यक्त की जाए, तो यह सुनिश्चित किया जाना चाहिए कि सभी भाग समान हैं।

2. (\dfrac{5}{7}) में, 5 को अंश कहा जाता है और 7 को हर कहा जाता है।

3. भिन्नों को संख्या रेखा पर दिखाया जा सकता है। प्रत्येक भिन्न के साथ संख्या रेखा पर एक बिंदु जुड़ा होता है।

4. एक उचित भिन्न में, अंश हर से छोटा होता है। वे भिन्न जिनमें अंश हर से बड़ा होता है, अनुचित भिन्न कहलाते हैं। एक अनुचित भिन्न को पूरे और भाग के संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है, और ऐसी भिन्न को मिश्रित भिन्न कहा जाता है।

5. प्रत्येक उचित या अनुचित भिन्न की कई तुल्य भिन्नें होती हैं। किसी दी गई भिन्न की तुल्य भिन्न खोजने के लिए हम दी गई भिन्न के अंश और हर दोनों को एक ही संख्या से गुणा या भाग कर सकते हैं।

6. एक भिन्न को सरलतम (या न्यूनतम) रूप में कहा जाता है यदि उसके अंश और हर में 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड न हो।