8.1 परिचय

सविता और शमा कुछ स्टेशनरी सामान खरीदने बाजार जा रही थीं। सविता ने कहा, “मेरे पास 5 रुपये और 75 पैसे हैं।” शमा ने कहा, “मेरे पास 7 रुपये और 50 पैसे हैं।”

उन्हें पता था कि रुपये और पैसे को दशमलव का प्रयोग करके कैसे लिखा जाता है।

इसलिए सविता ने कहा, मेरे पास ₹ 5.75 है और शमा ने कहा, “मेरे पास ₹ $7.50 “$ “।

क्या उन्होंने सही लिखा है?

हम जानते हैं कि बिंदु दशमलव बिंदु को दर्शाता है। इस अध्याय में, हम दशमलव के साथ कार्य करने के बारे में और अधिक जानेंगे।

8.2 दशमलव की तुलना

क्या आप बता सकते हैं कि 0.07 और 0.1 में से कौन बड़ा है?

समान आकार के दो वर्गाकार कागज़ के टुकड़े लीजिए। उन्हें 100 बराबर भागों में बांटिए। 0.07 के लिए हमें 100 में से 7 भागों को छायांकित करना होगा।

अब, $0.1=\frac{1}{10}=\frac{10}{100}$, इसलिए, 0.1 के लिए, 100 में से 10 भागों को छायांकित कीजिए।

इसका अर्थ है $0.1>0.07$

अब हम संख्याओं 32.55 और 32.5 की तुलना करते हैं। इस स्थिति में, हम पहले पूर्ण भाग की तुलना करते हैं। हम देखते हैं कि दोनों संख्याओं के लिए पूर्ण भाग 32 है और, इसलिए, बराबर है।

हालांकि, हम जानते हैं कि दोनों संख्याएं बराबर नहीं हैं। इसलिए, अब हम दशमांश भाग की तुलना करते हैं। हम पाते हैं कि 32.55 और 32.5 के लिए, दशमांश भाग भी बराबर है, फिर हम सौवां भाग की तुलना करते हैं।

हम पाते हैं,

$32.55=32+\frac{5}{10}+\frac{5}{100}$ और $32.5=32+\frac{5}{10}+\frac{0}{100}$, इसलिए, $32.55>32.5$ क्योंकि 32.55 का सौवां भाग अधिक है।

उदाहरण 1 : कौन बड़ा है?

(a) 1 या 0.99

(b) 1.09 या 1.093

हल : (a) $1=1+\frac{0}{10}+\frac{0}{100} ; \quad 0.99=0+\frac{9}{10}+\frac{9}{100}$

1 का पूर्णांक भाग 0.99 के पूर्णांक भाग से बड़ा है।

इसलिए, $1>0.99$

(b) $1.09=1+\frac{0}{10}+\frac{9}{100}+\frac{0}{1000} ; 1.093=1+\frac{0}{10}+\frac{9}{100}+\frac{3}{1000}$

इस स्थिति में, दोनों संख्याओं के भाग सौवें स्थान तक समान हैं।

लेकिन 1.093 का हजारवां भाग 1.09 के हजारवें भाग से अधिक है।

इसलिए, $1.093>1.09$।

अभ्यास 8.1

1. कौन बड़ा है?

(a) 0.3 या 0.4
(b) 0.07 या 0.02
(c) 3 या 0.8
(d) 0.5 या 0.05
(e) 1.23 या 1.2
(f) 0.099 या 0.19
(g) 1.5 या 1.50
(h) 1.431 या 1.490
(i) 3.3 या 3.300
(j) 5.64 या 5.603

2. पाँच और उदाहरण बनाओ और उनमें से बड़ी संख्या ज्ञात करो।

8.3 दशमलवों का प्रयोग

8.3.1 धन

हम जानते हैं कि 100 पैसे = ₹ 1

इसलिए, 1 पैसा = ₹ $\frac{1}{100}$ = ₹ 0.01

तो, 65 पैसे = ₹ $\frac{65}{100}$ = ₹ 0.65

और 5 पैसे = ₹ $\frac{5}{100}$ = ₹ 0.05

105 पैसे क्या है? यह ₹ 1 और 5 पैसे = ₹ 1.05 है

इन्हें आजमाओ

(i) 2 रुपये 5 पैसे और 2 रुपये 50 पैसे को दशमलव में लिखो।

(ii) 20 रुपये 7 पैसे और 21 रुपये 75 पैसे को दशमलव में लिखो?

8.3.2 लंबाई

महेश अपने टेबल टॉप की लंबाई मीटर में मापना चाहता था। उसके पास 50 cm का स्केल था। उसने पाया कि टेबल टॉप की लंबाई 156 cm है। इसकी लंबाई मीटर में क्या होगी?

महेश जानता था कि

1 cm = 1/100 m या 0.01 m

इसलिए, 56 cm = 56/100 m = 0.56 m

इस प्रकार, टेबल टॉप की लंबाई 156 cm = 100 cm + 56 cm

= 1 m + 56/100 m = 1.56 m.

महेश इस लंबाई को चित्रात्मक रूप से भी दर्शाना चाहता है। उसने समान आकार के वर्गाकार कागज़ लिए और उन्हें 100 समान भागों में बांटा। उसने प्रत्येक छोटे वर्ग को 1 cm माना।

इन्हें आज़माइए

1. क्या आप 4 mm को ‘cm’ में दशमलव का प्रयोग करके लिख सकते हैं?

2. आप 7 cm 5 mm को ‘cm’ में दशमलव का प्रयोग करके कैसे लिखेंगे?

3. क्या आप अब 52 m को ‘km’ में दशमलव का प्रयोग करके लिख सकते हैं? 340 m को ‘km’ में दशमलव का प्रयोग करके कैसे लिखेंगे? 2008 m को ‘km’ में कैसे लिखेंगे?

8.3.3 वजन

नंदू ने 500 g आलू, 250 g शिमला मिर्च, 700 g प्याज, 500 g टमाटर, 100 g अदरक और 300 g मूली खरीदी। थैले में सब्जियों का कुल वजन कितना है? आइए थैले में सभी सब्जियों के वजन को जोड़ें।

500 g + 250 g + 700 g + 500 g + 100 g + 300 g = 2350 g

इन्हें आज़माएँ

1. क्या आप अब 456 g को दशमलव का प्रयोग करके ‘kg’ में लिख सकते हैं?

2. आप 2 kg 9 g को ‘kg’ में दशमलव का प्रयोग करके कैसे लिखेंगे?

हम जानते हैं कि 1000 g = 1 kg

इसलिए, 1 g = 1/1000 kg = 0.001 kg

$ \begin{aligned} \text{ इस प्रकार, } 2350 g & = 2000 g + 350 g \ & = \frac{2000}{1000} kg + \frac{350}{1000} kg \ & = 2 kg + 0.350 kg = 2.350 kg \ \text{ अर्थात् } 2350 g & = 2 kg 350 g = 2.350 kg \end{aligned} $

इस प्रकार, नंदू के थैले में सब्जियों का वजन 2.350 kg है।

अभ्यास 8.2

1. रुपयों में दशमलव का प्रयोग करके व्यक्त कीजिए।

(a) 5 पैसे
(b) 75 पैसे
(c) 20 पैसे
(d) 50 रुपये 90 पैसे
(e) 725 पैसे

2. मीटर में दशमलव का प्रयोग करके व्यक्त कीजिए।

(a) 15 cm
(b) 6 cm
(c) 2 m 45 cm
(d) 9 m 7 cm
(e) 419 cm

3. cm में दशमलव का प्रयोग करके व्यक्त कीजिए।

(a) 5 mm
(b) 60 mm
(c) 164 mm
(d) 9 cm 8 mm
(e) 93 mm

4. km में दशमलव का प्रयोग करके व्यक्त कीजिए।

(a) 8 m
(b) 88 m
(c) 8888 m
(d) 70 km 5 m

5. kg में दशमलव का प्रयोग करके व्यक्त कीजिए।

(a) 2 g
(b) 100 g
(c) 3750 g
(d) 5 kg 8 g
(e) 26 kg 50 g

8.4 दशमलव वाली संख्याओं की जोड़

इसे कीजिए

0.35 और 0.42 को जोड़िए।

एक वर्ग लीजिए और उसे 100 बराबर भागों में बाँटिए।

इस वर्ग में 0.35 को चिह्नित करें 3 दशमलव को छायांकित करके और 5 सौंवें को रंगकर।

इस वर्ग में 0.42 को चिह्नित करें 4 दशमलव को छायांकित करके और 2 सौंवें को रंगकर।

अब वर्ग में कुल दशमलव की संख्या और वर्ग में कुल सौंवें की संख्या गिनें।

इसलिए, $0.35+0.42=0.77$

इस प्रकार, हम दशमलव को उसी तरह जोड़ सकते हैं

इन्हें आज़माएँ

जिस तरह पूर्ण संख्याएँ जोड़ी जाती हैं, उसी तरह ज्ञात करें।

(i) $0.29+0.36$

(ii) $0.7+0.08$

(iii) $1.54+1.80$

(iv) $2.66+1.85$

क्या आप अब 0.68 और 0.54 जोड़ सकते हैं?

उदाहरण 2 : लता ने एक पेन खरीदने के लिए ₹ 9.50 और एक पेंसिल के लिए ₹ 2.50 खर्च किए। उसने कुल कितना धन खर्च किया?

हल :

पेन के लिए खर्च धन =₹ $9.50$

पेंसिल के लिए खर्च धन =₹ $2.50$

कुल खर्च धन $\quad$=₹ $9.50$+₹ $2.50$

कुल खर्च धन $\quad$=₹ $12.00$

उदाहरण 3: संसोन ने बस से 5 km 52 m, कार से 2 km 265 m और बाकी 1 km 30 m पैदल यात्रा की। उसने कुल कितनी दूरी तय की?

हल: बस से तय की गई दूरी = 5 km 52 m = 5.052 km

कार से तय की गई दूरी = 2 km 265 m = 2.265 km

पैदल तय की गई दूरी = 1 km 30 m = 1.030 km

इसलिए, कुल तय की गई दूरी है

$ \begin{array}{r} 5.052 \text { km } \ 2.265 \text { km } \ +\quad 1.030 \text { km } \ \hline 8.347 \text { km } \ \hline \end{array} $

इसलिए, कुल तय की गई दूरी = 8.347 km

उदाहरण 4: राहुल ने 4 kg 90 g सेब, 2 kg 60 g अंगूर और 5 kg 300 g आम खरीदे। उसके द्वारा खरीदे गए सभी फलों का कुल वजन ज्ञात कीजिए।

हल:

$ \begin{aligned} & \text{ सेब का वजन }=4 kg ~90 g=4.090 kg \ & \text{ अंगूर का वजन }=2 kg ~60 g=2.060 kg \ & \text{ आम का वजन }=5 kg ~300 g=5.300 kg \end{aligned} $

इसलिए, खरीदे गए फलों का कुल वजन है

$ \begin{array}{r} 4.090 \text { kg } \ 2.060 \text { kg } \ +\quad 5.300 \text { kg } \ \hline 11.450 \text { kg } \ \hline \end{array} $

खरीदे गए फलों का कुल वजन = 11.450 kg.

अभ्यास 8.3

1. निम्नलिखित में से प्रत्येक का योग ज्ञात कीजिए:

(a) 0.007 + 8.5 + 30.08

(b) $15+0.632+13.8$

(c) $27.076+0.55+0.004$

(d) $25.65+9.005+3.7$

(e) $0.75+10.425+2$

(f) $280.69+25.2+38$

2. राशिद ने गणित की पुस्तक के लिए ₹ 35.75 और विज्ञान की पुस्तक के लिए ₹ 32.60 खर्च किए। राशिद द्वारा खर्च की गई कुल राशि ज्ञात कीजिए।

3. राधिका की माँ ने उसे ₹ 10.50 और उसके पिता ने उसे ₹ 15.80 दिए, राधिका को माता-पिता द्वारा दी गई कुल राशि ज्ञात कीजिए।

4. नसरीन ने अपनी कमीज के लिए 3 मी 20 सेमी कपड़ा और पैंट के लिए 2 मी 5 सेमी कपड़ा खरीदा। उसके द्वारा खरीदे गए कपड़े की कुल लंबाई ज्ञात कीजिए।

5. नरेश ने सुबह में 2 किमी 35 मीटर और शाम में 1 किमी 7 मीटर की दूरी तय की। उसने कुल कितनी दूरी तय की?

6. सुनीता अपने स्कूल पहुँचने के लिए बस से 15 किमी 268 मीटर, कार से 7 किमी 7 मीटर और पैदल 500 मीटर की यात्रा करती है। उसके घर से स्कूल कितनी दूरी पर है?

7. रवि ने 5 किग्रा 400 ग्राम चावल, 2 किग्रा 20 ग्राम चीनी और 10 किग्रा 850 ग्राम आटा खरीदा। उसकी खरीदारी का कुल वजन ज्ञात कीजिए।

8.5 दशमलवों की घटाना

करो ऐसा

2.58 में से 1.32 घटाइए

इसे तालिका द्वारा दिखाया गया है।

इस प्रकार, $2.58-1.32=1.26$

इसलिए, हम कह सकते हैं कि दशमलवों की घटाना करते समय हम सौवें को सौवें से, दहाई को दहाई से, इकाई को इकाई से आदि घटाते हैं, जैसे हम जोड़ में करते थे।

कभी-कभी दशमलव घटाते समय हमें पुनः समूहन करने की आवश्यकता होती है जैसे हमने जोड़ में किया था।

आइए 3.5 में से 1.74 घटाते हैं।

सौंवें स्थान से घटाएँ।

घटाया नहीं जा सकता! इसलिए पुनः समूहित करें

$\begin{array}{r} 3. & 5 & 0 \ -1. & 7 & 4 \ \hline 1. & 7 & 6 \ \hline \end{array}$

इस प्रकार, $3.5-1.74=1.76$

इन्हें आज़माएँ

1. 5.46 से 1.85 घटाएँ ;

2. 8.28 से 5.25 घटाएँ ;

3. 2.29 से 0.95 घटाएँ ;

4. 5.68 से 2.25 घटाएँ।

उदाहरण 5 : अभिषेक के पास ₹ 7.45 थे। उसने ₹ 5.30 की टॉफियाँ खरीदीं। अभिषेक के पास बची हुई राशि ज्ञात कीजिए।

हल : कुल धनराशि ₹ $7.45$

टॉफियों पर खर्च की गई राशि =₹ $5.30$

बची हुई धनराशि =₹ $7.45$-₹ $5.30$=₹ $2.15$

उदाहरण 6 : उर्मिला का स्कूल उसके घर से $5 km 350 m$ की दूरी पर है। वह $1 km 70 m$ पैदल चलती है और शेष बस से तय करती है। वह बस से कितनी दूरी तय करती है?

हल : घर से स्कूल की कुल दूरी $=5.350 km$

पैदल तय की गई दूरी $=1.070 km$

इसलिए, बस से तय की गई दूरी $\quad=5.350 km-1.070 km$ $=4.280 km$

इस प्रकार, बस से तय की गई दूरी $=4.280 km$ या $4 km ~280 m$

उदाहरण 7 : कांचन ने $5 kg 200 g$ वाला एक तरबूज़ खरीदा। उसने इसमें से $2 kg 750 g$ अपने पड़ोसी को दे दिया। कांचन के पास बचे हुए तरबूज़ का वज़न क्या है?

हल : तरबूज़ का कुल वज़न $\quad=5.200 kg$

पड़ोसी को दिया गया तरबूज़ $=2.750 kg$

इसलिए, बचे हुए तरबूज़ का वज़न

$ =5.200 kg-2.750 kg=2.450 kg $

अभ्यास 8.4

1. घटाएँ:

(a) ₹ 20.75 में से ₹ 18.25
(b) 250 m में से 202.54 m
(c) ₹ 8.40 में से ₹ 5.36
(d) 5.206 km में से 2.051 km
(e) 2.107 kg में से 0.314 kg

2. मान ज्ञात कीजिए:

(a) 9.756 - 6.28
(b) 21.05 - 15.27
(c) 18.5 - 6.79
(d) 11.6 - 9.847

3. राजू ने एक किताब ₹ 35.65 में खरीदी। उसने दुकानदार को ₹ 50 दिए। उसे दुकानदार से कितने पैसे वापस मिले?

4. रानी के पास ₹ 18.50 थे। उसने ₹ 11.75 का एक आइसक्रीम खरीदा। अब उसके पास कितने पैसे बचे हैं?

5. टीना के पास 20 m 5 cm लंबा कपड़ा था। उसने इसमें से 4 m 50 cm लंबा कपड़ा पर्दा बनाने के लिए काटा। उसके पास कितना कपड़ा बचा है?

6. नमिता हर दिन 20 km 50 m की यात्रा करती है। इसमें से वह 10 km 200 m बस से और बाकी ऑटो से तय करती है। वह ऑटो से कितनी दूरी तय करती है?

7. आकाश ने 10 kg सब्जियाँ खरीदीं। इसमें से 3 kg 500 g प्याज, 2 kg 75 g टमाटर और बाकी आलू हैं। आलू का वजन कितना है?

हमने क्या चर्चा की?

1. प्रत्येक दशमलव को भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है।

2. कोई भी दो दशमलव संख्याओं की आपस में तुलना की जा सकती है। तुलना पूर्णांक भाग से शुरू की जा सकती है। यदि पूर्णांक भाग बराबर हैं तो दशमलव के दसवें भाग की तुलना की जा सकती है और इसी तरह आगे बढ़ा जा सकता है।

3. दशमलव का उपयोग हमारे जीवन में कई तरह से किया जाता है। उदाहरण के लिए, धन की इकाइयों, लंबाई और वजन को दर्शाने में।