10.1 भूमिका

जब हम नीचे दिखाए गए कुछ समतल आकृतियों की बात करते हैं तो हम उनके क्षेत्रों और उनकी सीमाओं के बारे में सोचते हैं। हमें उनकी तुलना करने के लिए कुछ मापों की आवश्यकता होती है। हम अब इन पर विचार करते हैं।

10.2 परिमाप

निम्नलिखित आकृतियों (चित्र 10.1) को देखें। आप इन्हें तार या डोरी से बना सकते हैं।

यदि आप प्रत्येक स्थिति में बिंदु $S$ से प्रारंभ करते हैं और रेखा खंडों के साथ आगे बढ़ते हैं तो आप पुनः बिंदु $S$ पर पहुँचते हैं। आपने प्रत्येक स्थिति (a), (b) और (c) में आकृति का एक पूर्ण चक्कर पूरा किया है।

तय की गई दूरी आकृति को बनाने में प्रयुक्त तार की लंबाई के बराबर होती है।

इस दूरी को बंद आकृति का परिमाप कहा जाता है। यह आकृतियों को बनाने के लिए आवश्यक तार की लंबाई होती है।

परिमाप की अवधारणा हमारे दैनिक जीवन में व्यापक रूप से प्रयोग की जाती है।

• एक किसान जो अपने खेत को बाड़ लगाना चाहता है।
• एक अभियंता जो एक घर के चारों ओर चारदीवार बनाने की योजना बनाता है।
• एक व्यक्ति जो खेल आयोजित करने के लिए ट्रैक तैयार कर रहा है।

इन सभी लोगों को ‘परिमाप’ की अवधारणा का प्रयोग करना पड़ता है।

पाँच उदाहरण दीजिए जहाँ आपको परिमाप जानने की आवश्यकता पड़ती है।

परिमाप वह दूरी है जो किसी बंद आकृति की सीमा के साथ तय की जाती है जब आप आकृति के चारों ओर एक बार चक्कर लगाते हैं।

इन्हें आज़माइए

1. अपनी स्टडी टेबल के ऊपर के चारों किनारों की लंबाई मापकर लिखिए।

AB= _______ cm
BC= _______ cm
CD= _______ cm
DA= _______ cm

अब, चारों किनारों की लंबाइयों का योग

$=AB+BC+CD+DA$

$=$ _____ cm+ _____ cm+ _____ cm+ _____ cm

$=$ ______cm

परिमाप क्या है?

2. अपनी नोटबुक के एक पेज के चारों किनारों की लंबाई मापकर लिखिए। चारों किनारों की लंबाइयों का योग

$=AB+BC+CD+DA$

$=$ _____ cm+ _____ cm+ _____ cm+ _____ cm

$=$ ______cm

पेज का परिमाप क्या है?

3. मीरा एक पार्क में गई जो 150 m लंबा और 80 m चौड़ा है। उसने इसकी सीमा पर एक पूरा चक्कर लगाया। उसके द्वारा तय की गई दूरी क्या है?

4. निम्नलिखित आकृतियों का परिमाप ज्ञात कीजिए:

तो, आप रेखाखंडों से बनी किसी भी बंद आकृति का परिमाप कैसे ज्ञात करेंगे? बस सभी किनारों (जो रेखाखंड हैं) की लंबाइयों का योग निकालिए।

10.2.1 आयत का परिमाप

आइए एक आयत $ABCD$ (चित्र 10.2) पर विचार करें जिसकी लंबाई और चौड़ाई क्रमशः $15 cm$ और $9 cm$ है। इसका परिमाप क्या होगा?

आयत का परिमाप $=$ इसकी चारों भुजाओं की लंबाइयों का योग।

$ \begin{aligned} & =AB+BC+CD+DA \\ & =AB+BC+AB+BC \\ & =2 \times AB+2 \times BC \\ & =2 \times(AB+BC) \\ & =2 \times(15 cm+9 cm) \\ & =2 \times(24 cm) \\ & =48 cm \end{aligned} $

याद रखें कि आयत की सम्मुख भुजाएं बराबर होती हैं इसलिए AB = CD, AD = BC

इन्हें आजमाएं

निम्नलिखित आयतों का परिमाप ज्ञात कीजिए:

आयत की लंबाई	आयत की चौड़ाई	सभी भुजाओं को जोड़कर परिमाप	$2 \times($ लंबाई + चौड़ाई $)$ द्वारा परिमाप
$25 cm$	$12 cm$	$=25 cm+12 cm$ $+25 cm+12 cm$ $=74 cm$	$=2 \times(25 cm+12 cm)$ $=2 \times(37 cm)$ $=74 cm$
$0.5 m$	$0.25 m$
$18 cm$	$15 cm$
$10.5 cm$	$8.5 cm$

इसलिए, उपरोक्त उदाहरण से हम देखते हैं कि आयत का परिमाप $=$ लंबाई + चौड़ाई + लंबाई + चौड़ाई अर्थात् आयत का परिमाप $=\mathbf{2} \times($ लंबाई + चौड़ाई $)$

आइए अब इस विचार के व्यावहारिक अनुप्रयोग देखें:

उदाहरण 1 : शबाना एक आयताकार टेबल कवर (चित्र 10.3), जो $3 m$ लंबा और $2 m$ चौड़ा है, के चारों ओर लेस की बॉर्डर लगाना चाहती है। शबाना द्वारा आवश्यक लेस की लंबाई ज्ञात कीजिए।

हल : आयताकार टेबल कवर की लंबाई $=3 m$

आयताकार टेबल कवर की चौड़ाई $=2 m$

शबाना टेबल कवर के चारों ओर लेस की बॉर्डर लगाना चाहती है। इसलिए, आवश्यक लेस की लंबाई आयताकार टेबल कवर के परिमाप के बराबर होगी।

अब, आयताकार टेबल कवर का परिमाप

$=2 \times($ लंबाई + चौड़ाई $)=2 \times(3 m+2 m)=2 \times 5 m=10 m$

इसलिए, आवश्यक लेस की लंबाई $10 m$ है।

उदाहरण 2 : एक एथलीट $50 m$ लंबे और $25 m$ चौड़े आयताकार पार्क के 10 चक्कर लगाता है। उसके द्वारा तय की गई कुल दूरी ज्ञात कीजिए।

हल : आयताकार पार्क की लंबाई $=50 m$

आयताकार पार्क की चौड़ाई $=25 m$

एक चक्कर में एथलीट द्वारा तय की गई कुल दूरी पार्क के परिमाप के बराबर होगी।

अब, आयताकार पार्क का परिमाप

$=2 \times($ लंबाई + चौड़ाई $)=2 \times(50 m+25 m)$

$=2 \times 75 m=150 m$

इसलिए, एक चक्कर में एथलीट द्वारा तय की गई दूरी $150 m$ है।

इसलिए, 10 चक्करों में तय की गई दूरी $=10 \times 150 m=1500 m$

एथलीट द्वारा तय की गई कुल दूरी $1500 m$ है।

उदाहरण 3: एक आयत जिसकी लंबाई और चौड़ाई क्रमशः 150 सेमी और 1 मी है, का परिमाप ज्ञात कीजिए।

हल: लंबाई = 150 सेमी

$ \text{चौड़ाई} = 1 मी = 100 सेमी $

आयत का परिमाप

$= 2 \times (\text{लंबाई} + \text{चौड़ाई})$

$= 2 \times (150 सेमी + 100 सेमी)$

$= 2 \times (250 सेमी) = 500 सेमी = 5 मी$

उदाहरण 4: एक किसान के पास एक आयताकार खेत है जिसकी लंबाई और चौड़ाई क्रमशः 240 मी और 180 मी है। वह इसे चित्र 10.4 में दिखाए अनुसार 3 चक्कर रस्सी से घेरना चाहता है। रस्सी की कुल लंबाई कितनी होनी चाहिए?

हल: किसान को उस खेत का परिमाप तीन गुना घेरना है। इसलिए, आवश्यक रस्सी की कुल लंबाई उसके परिमाप की तीन गुनी होगी।

खेत का परिमाप $= 2 \times (\text{लंबाई} + \text{चौड़ाई})$

$ \begin{aligned} & = 2 \times (240 मी + 180 मी) \ & = 2 \times 420 मी = 840 मी \end{aligned} $

आवश्यक रस्सी की कुल लंबाई $= 3 \times 840 मी = 2520 मी$

उदाहरण 5: 250 मी लंबाई और 175 मी चौड़ाई के एक आयताकार पार्क की बाड़ लगाने का व्यय ज्ञात कीजिए, यदि दर ₹ 12 प्रति मी हो।

हल : आयताकार पार्क की लंबाई $=250 मी$

आयताकार पार्क की चौड़ाई $=175 मी$

बाड़ लगाने की लागत की गणना के लिए हमें परिमाप की आवश्यकता है।

आयत का परिमाप $=2 \times($ लंबाई + चौड़ाई $)$

$ =2 \times(250 मी+175 मी) $

$ =2 \times(425 मी)=850 मी $

पार्क के $1 मी$ बाड़ लगाने की लागत $=₹ 12$

इसलिए, पार्क के चारों ओर बाड़ लगाने की कुल लागत

= ₹ $12 \times 850$=₹ $10200$

10.2.2 नियमित आकृतियों का परिमाप

इस उदाहरण पर विचार करें।

बिस्वामित्र एक वर्गाकार तस्वीर (चित्र 10.5) जिसकी भुजा $1 मी$ है, के चारों ओर रंगीन टेप लगाना चाहता है। उसे कितनी लंबाई का रंगीन टेप चाहिए होगा?

चूँकि बिस्वामित्र वर्गाकार तस्वीर के चारों ओर रंगीन टेप लगाना चाहता है, उसे तस्वीर के फ्रेम का परिमाप ज्ञात करना होगा।

इस प्रकार, आवश्यक टेप की लंबाई

$=$ वर्ग का परिमाप $=1 मी+1 मी+1 मी+1 मी=4 मी$

अब, हम जानते हैं कि वर्ग की चारों भुजाएँ बराबर होती हैं, इसलिए चार बार जोड़ने के बजाय, हम एक भुजा की लंबाई को 4 से गुणा कर सकते हैं। इस प्रकार, आवश्यक टेप की लंबाई $=4 \times 1 मी=4 मी$

इस उदाहरण से हम देखते हैं कि

वर्ग का परिमाप $=\mathbf{4} \times$ एक भुजा की लंबाई

ऐसे और वर्ग बनाएँ और उनके परिमाप ज्ञात करें।

अब, समबाहु त्रिभुज (चित्र 10.6) को देखें जिसकी प्रत्येक भुजा $4 cm$ है। क्या हम इसका परिमाप निकाल सकते हैं?

इस समबाहु त्रिभुज का परिमाप $=4+4+4 cm$

$ =3 \times 4 cm=12 cm $

इसलिए, हम पाते हैं कि

समबाहु त्रिभुज का परिमाप $=3 \times$ एक भुजा की लंबाई

वर्ग और समबाहु त्रिभुज में समानता क्या है? ये ऐसे आकृतियाँ हैं जिनकी सभी भुजाएँ समान लंबाई की हैं और सभी कोण समान माप के हैं। ऐसी आकृतियों को नियमित बंद आकृतियाँ कहा जाता है। इस प्रकार, वर्ग और समबाहु त्रिभुज नियमित बंद आकृतियाँ हैं।

इन्हें आज़माएँ

अपने आस-पास से विभिन्न वस्तुएँ खोजें जिनकी नियमित आकृतियाँ हों और उनके परिमाप ज्ञात करें।

आपने पाया कि,

वर्ग का परिमाप $=4 \times$ एक भुजा की लंबाई

समबाहु त्रिभुज का परिमाप $=3 \times$ एक भुजा की लंबाई

तो, एक नियमित पंचभुज का परिमाप क्या होगा?

एक नियमित पंचभुज की पाँच समान भुजाएँ होती हैं।

इसलिए, नियमित पंचभुज का परिमाप $=5 \times$ एक भुजा की लंबाई और एक नियमित षट्भुज का परिमाप होगा _______ और अष्टभुज का होगा _______।

उदाहरण 6 : शाइना द्वारा तय की गई दूरी ज्ञात कीजिए यदि वह $70 m$ भुजा वाले वर्गाकार पार्क के तीन चक्कर लगाती है।

हल : वर्गाकार पार्क का परिमाप $=4 \times$ एक भुजा की लंबाई $=4 \times 70 m=280 m$

एक चक्कर में तय की गई दूरी $=280 m$

इसलिए, तीन चक्करों में तय की गई दूरी $=3 \times 280 m=840 m$

उदाहरण 7 : पिंकी एक 75 m भुजा वाले वर्गाकार मैदान के चारों ओर दौड़ती है, बॉब एक 160 m लंबाई और 105 m चौड़ाई वाले आयताकार मैदान के चारों ओर दौड़ता है। कौन अधिक दूरी तय करता है और कितनी अधिक?

हल : पिंकी द्वारा एक चक्कर में तय की गई दूरी $=$ वर्ग का परिमाप

$ \begin{aligned} & =4 \times \text{ एक भुजा की लंबाई } \\ & =4 \times 75 m=300 m \end{aligned} $

बॉब द्वारा एक चक्कर में तय की गई दूरी $=$ आयत का परिमाप

$ \begin{aligned} & =2 \times(\text{ लंबाई }+ \text{ चौड़ाई }) \\ & =2 \times(160 m+105 m) \\ & =2 \times 265 m=530 m \end{aligned} $

तय की गई दूरी में अंतर $=530 m-300 m=230 m$।

इसलिए, बॉब 230 m अधिक दूरी तय करता है।

उदाहरण 8 : एक नियमित पंचभुज का परिमाप ज्ञात कीजिए जिसकी प्रत्येक भुजा 3 cm मापती है।

हल : इस नियमित बंद आकृति में 5 भुजाएँ हैं, प्रत्येक 3 cm लंबाई की। इस प्रकार, हम पाते हैं

नियमित पंचभुज का परिमाप $=5 \times 3 cm=15 cm$

उदाहरण 9 : एक नियमित षट्भुज का परिमाप 18 cm है। इसकी एक भुजा कितनी लंबी है?

हल : परिमाप $=18 cm$

एक नियमित षट्भुज में 6 भुजाएँ होती हैं, इसलिए हम परिमाप को 6 से विभाजित करके एक भुजा की लंबाई प्राप्त कर सकते हैं।

षट्भुज की एक भुजा $=18 cm \div 6=3 cm$

इसलिए, नियमित षट्भुज की प्रत्येक भुजा की लंबाई $3 cm$ है।

अभ्यास 10.1

1. निम्नलिखित प्रत्येक आकृति का परिमाप ज्ञात कीजिए :

2. एक आयताकार डिब्बे के ढक्कन, जिसकी भुजाएँ $40 cm$ और $10 cm$ हैं, को चारों ओर टेप से सील किया गया है। टेप की आवश्यक लंबाई कितनी है?

3. एक टेबल-टॉप की माप $2 m 25 cm$ और $1 m 50 cm$ है। टेबल-टॉप का परिमाप क्या है?

4. एक तस्वीर, जिसकी लंबाई और चौड़ाई क्रमशः $32 cm$ और $21 cm$ है, को फ्रेम करने के लिए कितनी लंबाई की लकड़ी की पट्टी की आवश्यकता होगी?

5. एक आयताकार भूमि की माप $0.7 km$ और $0.5 km$ है। प्रत्येक भुजा को 4 पंक्तियों में तार से घेरा जाना है। तार की आवश्यक लंबाई कितनी है?

6. निम्नलिखित प्रत्येक आकृति का परिमाप ज्ञात कीजिए :

(a) एक त्रिभुज जिसकी भुजाएँ $3 cm, 4 cm$ और $5 cm$ हैं।
(b) एक समबाहु त्रिभुज जिसकी भुजा $9 cm$ है।
(c) एक समद्विबाहु त्रिभुज जिसकी समान भुजाएँ प्रत्येक $8 cm$ और तीसरी भुजा $6 cm$ है।

7. एक त्रिभुज जिसकी भुजाएँ $10 cm, 14 cm$ और $15 cm$ हैं, का परिमाप ज्ञात कीजिए।

8. एक नियमित षट्भुज जिसकी प्रत्येक भुजा $8 m$ है, का परिमाप ज्ञात कीजिए।

9. वर्ग की भुजा ज्ञात कीजिए जिसका परिमाप 20 m है।

10. एक सम पंचभुज का परिमाप 100 cm है। इसकी प्रत्येक भुजा कितनी लंबी है?

11. एक टुकड़ा धागा 30 cm लंबा है। यदि धागे का उपयोग करके निम्न आकृतियाँ बनाई जाएँ तो प्रत्येक भुजा की लंबाई क्या होगी:

(a) एक वर्ग?
(b) एक समबाहु त्रिभुज?
(c) एक सम षट्भुज?

12. एक त्रिभुज की दो भुजाएँ 12 cm और 14 cm हैं। त्रिभुज का परिमाप 36 cm है। इसकी तीसरी भुजा क्या है?

13. 250 m भुजा वाले एक वर्गाकार पार्क की बाड़ लगाने का व्यय ₹ 20 प्रति मीटर की दर से ज्ञात कीजिए।

14. 175 m लंबाई और 125 m चौड़ाई वाले एक आयताकार पार्क की बाड़ लगाने का व्यय ₹ 12 प्रति मीटर की दर से ज्ञात कीजिए।

15. स्वीटी 75 m भुजा वाले एक वर्गाकार पार्क के चारों ओर दौड़ती है। बुलबुल 60 m लंबाई और 45 m चौड़ाई वाले एक आयताकार पार्क के चारों ओर दौड़ती है। कौन कम दूरी तय करता है?

16. निम्नलिखित प्रत्येक आकृति का परिमाप क्या है? उत्तरों से आप क्या निष्कर्ष निकालते हैं?

17. अवनीत (\frac{1}{2}) m भुजा वाली 9 वर्गाकार पेविंग स्लैब खरीदता है। वह उन्हें एक वर्ग के रूप में लगाता है।

(a) उसकी व्यवस्था [आकृति 10.7(i)] का परिमाप क्या है?
(b) शारी को उसकी व्यवस्था पसंद नहीं है। वह उसे उन्हें क्रॉस के आकार में लगाने के लिए कहती है। उसकी व्यवस्था [आकृति 10.7(ii)] का परिमाप क्या है?
(c) किसका परिमाप अधिक है?
(d) अवनीत सोचता है कि क्या कोई तरीका है जिससे और भी अधिक परिमाप प्राप्त किया जा सके। क्या आप ऐसा कोई तरीका खोज सकते हैं? (पेविंग स्लैब्स को पूरी किनारों के साथ मिलाना होगा, अर्थात् उन्हें तोड़ा नहीं जा सकता।)

10.3 क्षेत्रफल

नीचे दी गई बंद आकृतियों (आकृति 10.8) को देखें। ये सभी किसी समतल सतह के कुछ भाग को घेरती हैं। क्या आप बता सकते हैं कि कौन-सी आकृति अधिक क्षेत्र घेरती है?

किसी बंद आकृति द्वारा घिरी सतह की मात्रा को उसका क्षेत्रफल कहा जाता है।

तो, क्या आप बता सकते हैं कि उपरोक्त में से किस आकृति का क्षेत्रफल अधिक है?

अब, आकृति 10.9 की संलग्न आकृतियों को देखें:

इनमें से किसका क्षेत्रफल अधिक है? इन्हें देखकर सिर्फ अनुमान लगाना कठिन है। तो आप क्या करेंगे?

इन्हें एक वर्गीय कागज़ या ग्राफ पेपर पर रखें जहाँ हर वर्ग $1 cm \times 1 cm$ का हो।

आकृति की रूपरेखा बनाएँ।

देखें कि आकृति द्वारा घिरे वर्ग कितने हैं। कुछ पूरी तरह घिरे हैं, कुछ आधे, कुछ आधे से कम और कुछ आधे से ज़्यादा।

क्षेत्रफल वह संख्या है जितने सेंटीमीटर वर्ग उसे ढकने के लिए चाहिए।

लेकिन एक छोटी समस्या है : वर्ग हमेशा मापे जा रहे क्षेत्र में ठीक-ठीक नहीं बैठते। हम इस कठिनाई को एक नियम अपनाकर दूर करते हैं :

• एक पूरे वर्ग का क्षेत्रफल 1 वर्ग इकाई माना जाता है। यदि यह सेंटीमीटर वर्ग पेपर है, तो एक पूरे वर्ग का क्षेत्रफल $1 sq ~cm$ होगा।
• उन भागों को नज़रअंदाज़ करें जो आधे वर्ग से कम हैं।
• यदि किसी वर्ग का आधे से ज़्यादा भाग क्षेत्र में है, तो उसे एक वर्ग गिन लें।
• यदि ठीक-ठीक आधा वर्ग गिना जाए, तो उसका क्षेत्रफल $\frac{1}{2}$ वर्ग इकाई लें।

इस तरह का नियम वांछित क्षेत्रफल का उचित अनुमान देता है।

उदाहरण 10 : आकृति 10.10 में दिखाए गए आकार का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल : यह आकृति रेखा-खंडों से बनी है।

इसके अलावा, यह पूर्ण वर्गों और आधे वर्गों से ही ढका हुआ है। इससे हमारा काम आसान हो जाता है।

(i) पूर्ण रूप से भरे वर्ग $=3$
(ii) आधे भरे वर्ग $=3$

पूर्ण वर्गों से ढका क्षेत्रफल

$=3 \times 1$ वर्ग इकाई $=3$ वर्ग इकाई

कुल क्षेत्रफल $=4 \frac{1}{2}$ वर्ग इकाई।

Fig 10.10

उदाहरण 11 : वर्गों की गिनती करके आकृति $10.9 b$ का क्षेत्रफल अनुमानित कीजिए।

हल : आकृति की रूपरेखा एक ग्राफ शीट पर बनाइए। (Fig 10.11)

कुल क्षेत्रफल $=11+3 \times \frac{1}{2}+7=19 \frac{1}{2}$ वर्ग इकाई।

वर्ग इसे कैसे ढकते हैं?

उदाहरण 12 : वर्गों की गिनती करके आकृति $10.9 a$ का क्षेत्रफल अनुमानित कीजिए।

हल : आकृति की रूपरेखा एक ग्राफ शीट पर बनाइए। यह है कि वर्ग आकृति को कैसे ढकते हैं (Fig 10.12)।

इन्हें आज़माइए

1. ग्राफ शीट पर कोई भी वृत्त बनाइए। वर्गों की गिनती कीजिए और उनका उपयोग वृत्तीय क्षेत्र के क्षेत्रफल का अनुमान लगाने के लिए कीजिए।

2. पत्तियों, फूलों की पंखुड़ियों और ऐसी अन्य वस्तुओं की आकृतियों को ग्राफ पेपर पर ट्रेस कीजिए और उनके क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

अभ्यास 10.2

1. निम्नलिखित आकृतियों के क्षेत्रफल वर्गों की गिनती करके ज्ञात कीजिए:

10.3.1 आयत का क्षेत्रफल

क्या हम चेक वाले कागज़ की मदद से बता सकते हैं कि लंबाई 5 cm और चौड़ाई 3 cm वाले आयत का क्षेत्रफल क्या होगा?

1 cm × 1 cm वाले वर्गों वाले ग्राफ पेपर पर आयत खींचिए (चित्र 10.13)। आयत पूरी तरह 15 वर्गों को ढकता है।

आयत का क्षेत्रफल = 15 वर्ग सेमी जिसे 5 × 3 वर्ग सेमी अर्थात् (लंबाई × चौड़ाई) लिखा जा सकता है।

कुछ आयतों की भुजाओं की माप दी गई है। उन्हें ग्राफ पेपर पर रखकर वर्गों की संख्या गिनकर उनके क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

इससे हम क्या निष्कर्ष निकालते हैं?

हम पाते हैं,

आयत का क्षेत्रफल = (लंबाई × चौड़ाई)

क्या हम बिना ग्राफ पेपर के उस आयत का क्षेत्रफल निकाल सकते हैं जिसकी लंबाई 6 cm और चौड़ाई 4 cm है?

हाँ, यह संभव है।

इससे हम क्या निष्कर्ष निकालते हैं?

हम पाते हैं कि,

आयत का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई = 6 cm × 4 cm = 24 वर्ग सेमी।

इन्हें आज़माइए

1. अपनी कक्षा के फर्श का क्षेत्रफल निकालिए।

2. अपने घर के किसी एक दरवाज़े का क्षेत्रफल निकालिए।

10.3.2 वर्ग का क्षेत्रफल

अब हम एक 4 सेमी भुजा का वर्ग लेते हैं (चित्र 10.14)।

इसका क्षेत्रफल क्या होगा?

यदि हम इसे एक सेंटीमीटर ग्राफ पेपर पर रखें, तो हम क्या देखते हैं?

यह 16 वर्गों को ढकता है अर्थात् वर्ग का क्षेत्रफल $=16 वर्ग सेमी=4 \times 4 वर्ग सेमी$

कुछ वर्गों का क्षेत्रफल स्वयं भुजा की लंबाई तय करके निकालिए।

उनका क्षेत्रफल ग्राफ पेपरों से निकालिए।

इससे हम क्या निष्कर्ष निकालते हैं?

हम पाते हैं कि प्रत्येक स्थिति में,

वर्ग का क्षेत्रफल $=$ भुजा $\times$ भुजा

आप इसे सूत्र के रूप में प्रश्नों को हल करने में प्रयोग कर सकते हैं।

उदाहरण 13 : एक आयत का क्षेत्रफल निकालिए जिसकी लंबाई और चौड़ाई क्रमशः $12 सेमी$ और $4 सेमी$ हैं।

हल : आयत की लंबाई $=12 सेमी$

आयत की चौड़ाई $=4 सेमी$

आयत का क्षेत्रफल $=$ लंबाई $\times$ चौड़ाई $=12 सेमी \times 4 सेमी=48 वर्ग सेमी$।

उदाहरण 14 : एक $8 मी$ भुजा वाले वर्गाकार प्लॉट का क्षेत्रफल निकालिए।

हल : वर्ग की भुजा $=8 मी$

वर्ग का क्षेत्रफल $=$ भुजा $\times$ भुजा

$ =8 मी \times 8 मी=64 वर्ग मी . $

उदाहरण 15: एक आयताकार कार्डबोर्ड का क्षेत्रफल (36 वर्ग सेमी) है और इसकी लंबाई (9 सेमी) है। कार्डबोर्ड की चौड़ाई क्या है?

हल: आयत का क्षेत्रफल (=36 वर्ग सेमी)

लंबाई (=9 सेमी)

चौड़ाई (=) ?

आयत का क्षेत्रफल (=) लंबाई (\times) चौड़ाई

इसलिए, चौड़ाई (=\dfrac{\text{ क्षेत्रफल }}{\text{ लंबाई }}=\frac{36}{9}=4 सेमी)

इस प्रकार, आयताकार कार्डबोर्ड की चौड़ाई (4 सेमी) है।

उदाहरण 16: बॉब एक कमरे के फर्श को (3 मी) चौड़ा और (4 मी) लंबा वर्गाकार टाइलों से ढकना चाहता है। यदि प्रत्येक वर्गाकार टाइल की भुजा (0.5 मी) है, तो कमरे के फर्श को ढकने के लिए आवश्यक टाइलों की संख्या ज्ञात कीजिए।

हल: टाइलों का कुल क्षेत्रफल कमरे के फर्श के क्षेत्रफल के बराबर होना चाहिए।

कमरे की लंबाई (=4 मी)

कमरे की चौड़ाई (=3 मी)

फर्श का क्षेत्रफल (=) लंबाई (\times) चौड़ाई (=4 मी \times 3 मी=12 वर्ग मी)

एक वर्गाकार टाइल का क्षेत्रफल (=) भुजा (\times) भुजा (=0.5 मी \times 0.5 मी)

(=0.25 वर्ग मी)

आवश्यक टाइलों की संख्या (=\dfrac{\text{ फर्श का क्षेत्रफल }}{\text{ एक टाइल का क्षेत्रफल }}=\dfrac{12}{0.25}=\dfrac{1200}{25}=48) टाइलें।

उदाहरण 17: एक कपड़े का टुकड़ा जिसकी चौड़ाई (1 मी 25 सेमी) और लंबाई (2 मी) है, का क्षेत्रफल वर्ग मीटर में ज्ञात कीजिए।

हल: कपड़े की लंबाई (=2 मी)

कपड़े की चौड़ाई (=1 मी 25 सेमी=1 मी+0.25 मी=1.25 मी)

(चूँकि $25 cm=0.25 m$)

कपड़े का क्षेत्रफल = कपड़े की लंबाई × कपड़े की चौड़ाई

$ =2 m \times 1.25 m=2.50 वर्ग~ m $

अभ्यास 10.3

1. उन आयतों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिनकी भुजाएँ हैं :

(a) $3 cm$ और $4 cm$
(b) $12 m$ और $21 m$
(c) $2 km$ और $3 km$
(d) $2 m$ और $70 cm$

2. उन वर्गों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिनकी भुजाएँ हैं :

(a) $10 cm$
(b) $14 cm$
(c) $5 m$

3. तीन आयतों की लंबाई और चौड़ाई नीचे दी गई है :

(a) $9 m$ और $6 m$
(b) $17 m$ और $3 m$
(c) $4 m$ और $14 m$

किसका क्षेत्रफल सबसे बड़ा है और किसका सबसे छोटा?

4. एक आयताकार बगीचे की लंबाई $50 m$ है और क्षेत्रफल $300 वर्ग m$ है। बगीचे की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।

5. एक आयताकार भूखंड जिसकी लंबाई $500 m$ और चौड़ाई $200 m$ है, को ₹ 8 प्रति सौ वर्ग $m$ की दर से टाइल कराने का खर्च क्या होगा?

6. एक टेबल-टॉप की माप $2 m$ × $1 m 50 cm$ है। इसका क्षेत्रफल वर्ग मीटर में क्या है?

7. एक कमरा $4 m$ लंबा और $3 m 50 cm$ चौड़ा है। कमरे के फर्श को ढकने के लिए कितने वर्ग मीटर कालीन की आवश्यकता होगी?

8. एक फर्श $5 m$ लंबा और $4 m$ चौड़ा है। इस पर $3 m$ भुजा का एक वर्गाकार कालीन बिछाया गया है। उस फर्श का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जो कालीन से ढका नहीं गया है।

9. एक भूखंड जिसकी लंबाई $5 m$ और चौड़ाई $4 m$ है, उस पर पाँच वर्गाकार फूलों की क्यारियाँ बनाई गई हैं, प्रत्येक की भुजा $1 m$ है। भूखंड के शेष भाग का क्षेत्रफल क्या है?

10. नीचे दी गई आकृतियों को आयतों में विभाजित करके उनके क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (माप सेंटीमीटर में दी गई है)।

11. निम्नलिखित आकृतियों को आयतों में विभाजित कीजिए और उनके क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (माप सेंटीमीटर में दी गई है)

12. कितने टाइलों की आवश्यकता होगी, जिनकी लंबाई और चौड़ाई क्रमशः $12 cm$ और $5 cm$ है, एक आयताकार क्षेत्र में फिट करने के लिए जिसकी लंबाई और चौड़ाई क्रमशः हैं:

(a) $100 cm$ और $144 cm$
(b) $70 cm$ और $36 cm$.

एक चुनौती!

एक सेंटीमीटर वर्ग कागज़ पर, जितने आयत बना सकते हैं बनाइए, जैसे कि आयत का क्षेत्रफल $16 वर्ग सेमी$ हो (केवल प्राकृतिक संख्या लंबाइयों पर विचार कीजिए)।

(a) किस आयत की परिधि सबसे अधिक है?
(b) किस आयत की परिधि सबसे कम है?

यदि आप $24 वर्ग सेमी$ क्षेत्रफल का आयत लें, तो आपके उत्तर क्या होंगे?

कोई भी क्षेत्रफल दिया गया हो, तो क्या यह पूर्वानुमान लगाना संभव है कि सबसे अधिक परिधि वाला आयत किस आकार का होगा? सबसे कम परिधि वाला? उदाहरण और कारण दीजिए।

हमने क्या चर्चा की?

1. परिधि वह दूरी है जो एक बंद आकृति की सीमा के साथ तय की जाती है जब आप आकृति के चारों ओर एक बार चक्कर लगाते हैं।

2. (a) आयत की परिधि $=2 \times$ (लंबाई + चौड़ाई)

(b) वर्ग का परिमाप $=4 \times$ उसकी भुजा की लंबाई

(c) समबाहु त्रिभुज का परिमाप $=3 \times$ एक भुजा की लंबाई

3. आकृतियाँ जिनकी सभी भुजाएँ और कोण बराबर होते हैं, नियमित बंद आकृतियाँ कहलाती हैं।

4. किसी बंद आकृति द्वारा घिरी सतह की मात्रा को उसका क्षेत्रफल कहा जाता है।

5. किसी आकृति का क्षेत्रफल वर्गाकार कागज़ का प्रयोग करके निकालने के लिए निम्नलिखित परंपराएँ अपनाई जाती हैं :

(a) उस क्षेत्रफल के हिस्सों को नज़रअंदाज़ करें जो आधे वर्ग से कम हों।
(b) यदि किसी क्षेत्र में आधे वर्ग से अधिक भाग हो, तो उसे एक वर्ग मानें।
(c) यदि ठीक-ठीक आधा वर्ग हो, तो उसका क्षेत्रफल $\frac{1}{2}$ वर्ग इकाई मानें।

6. (a) आयत का क्षेत्रफल $=$ लंबाई $\times$ चौड़ाई

(b) वर्ग का क्षेत्रफल $=$ भुजा $\times$ भुजा