11.1 भूमिका

अब तक हमारा अध्ययन संख्याओं और आकृतियों से रहा है। हमने संख्याओं को, संख्याओं पर संक्रियाओं को और संख्याओं के गुणों को सीखा है। हमने संख्याओं के अपने ज्ञान को जीवन की विभिन्न समस्याओं में लगाया है। गणित की वह शाखा जिसमें हमने संख्याओं का अध्ययन किया है, अंकगणित कहलाती है। हमने दो और तीन आयामी आकृतियों और उनके गुणों के बारे में भी सीखा है। गणित की वह शाखा जिसमें हमने आकृतियों का अध्ययन किया है, ज्यामिति कहलाती है। अब हम गणित की एक अन्य शाखा का अध्ययन प्रारंभ करते हैं। इसे बीजगणित कहा जाता है।

नई शाखा की मुख्य विशेषता, जिसका हम अध्ययन करने जा रहे हैं, अक्षरों का प्रयोग है। अक्षरों के प्रयोग से हम नियमों और सूत्रों को सामान्य रूप में लिख सकेंगे। अक्षरों का प्रयोग करके हम किसी विशेष संख्या के बजाय किसी भी संख्या के बारे में बात कर सकते हैं। दूसरे, अक्षर अज्ञात मात्राओं के लिए खड़े हो सकते हैं। अज्ञातों को निर्धारित करने की विधियाँ सीखकर हम पहेलियों और दैनिक जीवन की अनेक समस्याओं को हल करने के शक्तिशाली साधन विकसित करते हैं। तीसरे, चूँकि अक्षर संख्याओं के लिए खड़े होते हैं, उन पर संख्याओं की तरह संक्रियाएँ की जा सकती हैं। इससे बीजगणितीय व्यंजकों और उनके गुणों का अध्ययन होता है।

आपको बीजगणित रोचक और उपयोगी लगेगा। यह समस्याओं को हल करने में बहुत उपयोगी है। आइए हम अपने अध्ययन को सरल उदाहरणों से प्रारंभ करें।

11.2 माचिस की तीलियों से बनाए गए पैटर्न

अमीना और सरिता माचिस की तीलियों से पैटर्न बना रही हैं। वे अंग्रेज़ी वर्णमाला के अक्षरों के सरल पैटर्न बनाने का निर्णय लेती हैं। अमीना दो माचिस की तीलियाँ लेकर अक्षर L को चित्र 11.1 (a) में दिखाए अनुसार बनाती है।

फिर सरिता भी दो तीलियाँ उठाती है, एक और अक्षर L बनाती है और उसे अमीना द्वारा बनाए गए L के बगल में रखती है [चित्र 11.1 (b)]।

फिर अमीना एक और L जोड़ती है और यह क्रम चित्र 11.1 (c) में बिंदुओं द्वारा दिखाए गए अनुसार आगे बढ़ता है।

उनका दोस्त अप्पू आता है। वह पैटर्न को देखता है। अप्पू हमेशा सवाल पूछता है। वह लड़कियों से पूछता है, “सात L बनाने के लिए कितनी तीलियों की आवश्यकता होगी”? अमीना और सरिता व्यवस्थित हैं। वे 1L, 2L, 3L आदि बनाकर पैटर्न बनाती जाती हैं और एक तालिका तैयार करती हैं।

तालिका 1

अप्पू को तालिका 1 से अपने सवाल का उत्तर मिलता है; 7L बनाने के लिए 14 तीलियों की आवश्यकता होती है।

तालिका लिखते समय, अमीना को एहसास होता है कि आवश्यक तीलियों की संख्या बनाए गए L की संख्या की दोगुनी है।

आवश्यक तीलियों की संख्या = 2 × बनाए गए L की संख्या।

सुविधा के लिए, आइए बनाए गए L की संख्या के लिए अक्षर n लिखें। यदि एक L बनाया जाता है, तो n = 1; यदि दो L बनाए जाते हैं, तो n = 2 और इसी तरह; इस प्रकार, n कोई भी प्राकृत संख्या 1, 2, 3, 4, 5, … हो सकती है। हम फिर लिखते हैं, आवश्यक तीलियों की संख्या = 2 × n।

2 × n लिखने के बजाय, हम 2n लिखते हैं। ध्यान दें कि 2n, 2 × n के समान है।

अमीना अपने दोस्तों को बताती है कि उसके नियम से किसी भी संख्या में L बनाने के लिए जितनी माचिस की तीलियाँ चाहिए, वह मिल जाती हैं।

इस प्रकार, $n=1$ के लिए, आवश्यक माचिस की तीलियों की संख्या $=2 \times 1=2$

$n=2$ के लिए, आवश्यक माचिस की तीलियों की संख्या $=2 \times 2=4$

$n=3$ के लिए, आवश्यक माचिस की तीलियों की संख्या $=2 \times 3=6$ आदि।

ये संख्याएँ तालिका 1 से मिलती हैं।

सरिता कहती है, “यह नियम बहुत शक्तिशाली है! इस नियम का उपयोग करके मैं बता सकती हूँ कि $100$ L बनाने के लिए कितनी माचिस की तीलियाँ चाहिए। नियम जानने के बाद मुझे आकृति बनाने या तालिका बनाने की ज़रूरत नहीं पड़ती”।

क्या आप सरिता से सहमत हैं?

11.3 चर (Variable) की अवधारणा

उपरोक्त उदाहरण में, हमने L की आकृति बनाने के लिए आवश्यक माचिस की तीलियों की संख्या देने वाला एक नियम खोजा। नियम था:

आवश्यक माचिस की तीलियों की संख्या $=\mathbf{2} \boldsymbol{{}n}$

यहाँ, $n$ आकृति में L की संख्या है, और $n$ मान लेता है $1,2,3,4, \ldots$। आइए तालिका 1 को एक बार फिर देखें। तालिका में, $n$ का मान बदलता (बढ़ता) जाता है। परिणामस्वरूप, आवश्यक माचिस की तीलियों की संख्या भी बदलती (बढ़ती) जाती है।

$\boldsymbol{n}$ एक चर (variable) का उदाहरण है। इसका मान निश्चित नहीं है; यह कोई भी मान $\mathbf{1,2,3,4,} \ldots$ ले सकता है। हमने चर $\boldsymbol{n}$ का उपयोग करते हुए माचिस की तीलियों की संख्या के लिए नियम लिखा।

‘चर’ शब्द का अर्थ है कुछ ऐसा जो बदल सकता है, यानी परिवर्तनशील हो। किसी चर का मान निश्चित नहीं होता। यह विभिन्न मान ले सकता है।

हम चरों के बारे में और जानने के लिए माचिस की तीलियों के पैटर्न का एक और उदाहरण देखेंगे।

11.4 और माचिस के पैटर्न

अमीना और सरिता को माचिस के पैटर्न काफी रोचक लग रहे हैं। अब वे अक्षर $C$ का पैटर्न बनाना चाहते हैं। एक $C$ बनाने में वे तीन माचिस की तीलियाँ इस्तेमाल करते हैं, जैसा कि चित्र 11.2(a) में दिखाया गया है।

तालिका 2 में Cs के पैटर्न बनाने के लिए आवश्यक माचिस की तीलियों की संख्या दी गई है।

तालिका 2

क्या आप तालिका में खाली छोड़े गए स्थानों को पूरा कर सकते हैं?

सरिता एक नियम सामने रखती है :

आवश्यक माचिस की तीलियों की संख्या $=\mathbf{3} \boldsymbol{{}n}$

उसने Cs की संख्या के लिए अक्षर $n$ का प्रयोग किया है; $n$ एक चर है जो मान $1,2,3,4, \ldots$ लेता है।

क्या आप सरिता से सहमत हैं?

याद रखें $3 n$ वही है जो $3 \times n$।

अगले, अमीना और सरिता F के पैटर्न बनाना चाहती हैं। वे एक F को 4 माचिस की तीलियों से बनाती हैं जैसा कि चित्र 11.3(a) में दिखाया गया है।

क्या आप अब $F$ के पैटर्न बनाने के लिए नियम लिख सकते हैं?

वर्णमाला के अन्य अक्षरों और अन्य आकृतियों के बारे में सोचें जिन्हें माचिस की तीलियों से बनाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, U $(\bigsqcup)$, V (\/), त्रिभुज ($\triangle$), वर्ग ($\square$) आदि। कोई भी पाँच चुनें और उनके साथ माचिस पैटर्न बनाने के नियम लिखें।

11.5 चर के और उदाहरण

हमने चर दिखाने के लिए अक्षर $n$ का प्रयोग किया है। राजू पूछता है, “क्यों न $m$?” $n$ में कुछ विशेष नहीं है, कोई भी अक्षर प्रयोग किया जा सकता है।

चर दिखाने के लिए कोई भी अक्षर जैसे $m, l, p, x, y, z$ आदि प्रयोग किया जा सकता है। याद रखें, चर एक ऐसी संख्या है जिसकी कोई निश्चित मान नहीं होता है। उदाहरण के लिए, संख्या 5 या संख्या 100 या कोई अन्य दी गई संख्या चर नहीं है। उनके पास निश्चित मान हैं। इसी प्रकार, एक त्रिभुज के कोणों की संख्या का निश्चित मान है अर्थात् 3। यह चर नहीं है। एक चतुर्भुज के कोनों की संख्या (4) निश्चित है; यह भी चर नहीं है। लेकिन $\boldsymbol{{}n}$ उदाहरणों में जिसे हमने देखा है वह एक चर है। यह विभिन्न मान $1,2,3,4, \ldots$ लेता है।

आइए अब चर को एक अधिक परिचित परिस्थिति में विचार करें।

छात्र स्कूल की किताबों की दुकान से कॉपियाँ खरीदने गए। एक कॉपी की कीमत ₹ 5 है। मुन्नू 5 कॉपियाँ खरीदना चाहता है, अप्पू 7 कॉपियाँ खरीदना चाहता है, सारा 4 कॉपियाँ खरीदना चाहती है और इसी तरह। जब कोई छात्र कॉपियाँ खरीदने के लिए दुकान पर जाता है तो उसे कितने पैसे ले जाने चाहिए?

यह इस बात पर निर्भर करेगा कि छात्र कितनी कॉपियाँ खरीदना चाहता है। छात्रों ने मिलकर एक सारणी तैयार की।

सारणी 3

अक्षर $m$ उन कॉपियों की संख्या को दर्शाता है जो एक छात्र खरीदना चाहता है; $m$ एक चर है, जो कोई भी मान $1,2,3,4, \ldots$ ले सकता है। $m$ कॉपियों की कुल लागत नियम द्वारा दी जाती है:

कुल लागत रुपयों में $=5 \times$ आवश्यक कॉपियों की संख्या

$ =5 m $

यदि मुन्नू 5 कॉपियाँ खरीदना चाहता है, तो $m=5$ लेते हुए, हम कहते हैं कि मुन्नू को स्कूल की किताबों की दुकान पर ₹ 5 × 5 अर्थात् ₹ 25 ले जाने चाहिए।

आइए एक और उदाहरण लें। स्कूल में गणतंत्र दिवस समारोह के लिए बच्चे मुख्य अतिथि की उपस्थिति में सामूहिक अभ्यास प्रस्तुत करने जा रहे हैं। वे एक पंक्ति में 10 बच्चे खड़े होते हैं (चित्र 11.4)। अभ्यास में कितने बच्चे हो सकते हैं?

बच्चों की संख्या पंक्तियों की संख्या पर निर्भर करेगी। यदि चित्र 11.4 में 1 पंक्ति है, तो 10 बच्चे होंगे। यदि 2 पंक्तियाँ हैं, तो $2 \times 10$ या 20 बच्चे होंगे और इसी तरह। यदि $r$ पंक्तियाँ हैं, तो ड्रिल में $10 r$ बच्चे होंगे; यहाँ, $r$ एक चर है जो पंक्तियों की संख्या को दर्शाता है और इसलिए मान लेता है $1,2,3,4, \ldots$।

अब तक देखे गए सभी उदाहरणों में, चर को किसी संख्या से गुणा किया गया था। विभिन्न स्थितियाँ भी हो सकती हैं जिनमें चर में संख्या जोड़ी या घटाई जाती है जैसा नीचे देखा गया है।

सरिता कहती है कि उसके संग्रह में अमीना की तुलना में 10 अधिक कंचे हैं। यदि अमीना के पास 20 कंचे हैं, तो सरिता के पास 30 हैं। यदि अमीना के पास 30 कंचे हैं, तो सरिता के पास 40 हैं और इसी तरह। हमें यह नहीं पता कि अमीना के पास ठीक-ठीक कितने कंचे हैं। उसके पास कोई भी संख्या में कंचे हो सकते हैं।

लेकिन हम जानते हैं कि, सरिता के कंचे $=$ अमीना के कंचे +10।

हम अमीना के कंचों को अक्षर $x$ से दर्शाएँगे। यहाँ, $x$ एक चर है, जो कोई भी मान ले सकता है $1,2,3,4, \ldots, 10, \ldots, 20, \ldots, 30, \ldots$। $x$ का उपयोग करके, हम लिखते हैं सरिता के कंचे $=x+10$। व्यंजक $(x+10)$ को ’ $x$ प्लस दस’ पढ़ा जाता है। इसका अर्थ है $x$ में 10 जोड़ा गया। यदि $x$ है 20, तो $(x+10)$ है 30। यदि $x$ है 30, तो $(x+10)$ है 40 और इसी तरह।

व्यंजक $(x+10)$ को और सरल नहीं किया जा सकता।

$x+10$ को $10x$ से भ्रमित नहीं करें, ये भिन्न हैं।

$10x$ में, $x$ को 10 से गुणा किया जाता है। $(x+10)$ में, $x$ में 10 जोड़ा जाता है।

हम इसे $x$ के कुछ मानों के लिए जाँच सकते हैं।

उदाहरण के लिए,

यदि $x=2$, तो $10x=10 \times 2=20$ और $x+10=2+10=12$।

यदि $x=10$, तो $10x=10 \times 10=100$ और $x+10=10+10=20$।

राजू और बालू भाई हैं। बालू राजू से 3 वर्ष छोटा है। जब राजू 12 वर्ष का होता है, तब बालू 9 वर्ष का होता है। जब राजू 15 वर्ष का होता है, तब बालू 12 वर्ष का होता है। हम राजू की उम्र ठीक-ठीक नहीं जानते। इसका कोई भी मान हो सकता है। मान लीजिए $x$ राजू की उम्र वर्षों में दर्शाता है, $x$ एक चर है। यदि राजू की उम्र वर्षों में $x$ है, तो बालू की उम्र वर्षों में $(x-3)$ है। व्यंजक $(x-3)$ को $x$ माइनस तीन पढ़ा जाता है। जैसा कि आप अपेक्षा करेंगे, जब $x$ 12 है, तो $(x-3)$ 9 है और जब $x$ 15 है, तो $(x-3)$ 12 है।

अभ्यास 11.1

1. वह नियम खोजिए जो निम्नलिखित माचिस की तीलियों के आकृतियाँ बनाने के लिए आवश्यक तीलियों की संख्या देता है। नियम लिखने के लिए एक चर का प्रयोग कीजिए।

(a) अक्षर $T$ का एक पैटर्न इस प्रकार है $\substack{— \\ | }$
(b) अक्षर $Z$ का एक पैटर्न इस प्रकार है $\substack{— \\ / \\ —}$
(c) अक्षर $U$ का एक पैटर्न इस प्रकार है $\bigsqcup$
(d) अक्षर $V$ का एक पैटर्न इस प्रकार है $\mathbf{V}$
(e) अक्षर $E$ का एक पैटर्न इस प्रकार है $|\substack{- \\ - \\ -}$
(f) अक्षर $S$ का एक पैटर्न इस प्रकार है $|\substack{- \\ - \\ -}|$
(g) अक्षर $A$ का एक पैटर्न इस प्रकार है $\mathbf{|\substack{- \\ - \\ }|}$

2. हम पहले से ही अक्षरों L, C और F के पैटर्न के नियम को जानते हैं। प्र. 1 (ऊपर दिए गए) में से कुछ अक्षर हमें वही नियम देते हैं जो L द्वारा दिया गया है। ये कौन-से हैं? ऐसा क्यों होता है?

3. कैडेट्स एक परेड में मार्च कर रहे हैं। एक पंक्ति में 5 कैडेट हैं। वह नियम बताइए जो पंक्तियों की संख्या देने पर कैडेटों की संख्या देता है। (पंक्तियों की संख्या के लिए $n$ का प्रयोग कीजिए।)

4. यदि एक डिब्बे में 50 आम हैं, तो आप कुल आमों की संख्या को डिब्बों की संख्या के पदों में कैसे लिखेंगे? (डिब्बों की संख्या के लिए $b$ का प्रयोग कीजिए।)

5. शिक्षक प्रत्येक विद्यार्थी को 5 पेंसिलें बाँटता है। क्या आप बता सकते हैं कि विद्यार्थियों की संख्या देने पर कितनी पेंसिलों की आवश्यकता होगी? (विद्यार्थियों की संख्या के लिए $s$ का प्रयोग कीजिए।)

6. एक पक्षी एक मिनट में 1 किलोमीटर उड़ता है। क्या आप पक्षी द्वारा तय की गई दूरी को उसकी उड़ान के समय (मिनटों में) के पदों में व्यक्त कर सकते हैं? (उड़ान के समय के लिए $t$ का प्रयोग कीजिए।)

7. राधा चॉक पाउडर से एक बिंदु रंगोली (बिंदुओं को जोड़ने वाली सुंदर रेखाओं की डिज़ाइन) बना रही है। उसकी एक पंक्ति में 9 बिंदु हैं। r पंक्तियों के लिए उसकी रंगोली में कितने बिंदु होंगे? यदि 8 पंक्तियाँ हों तो कितने बिंदु हैं? यदि 10 पंक्तियाँ हों?

8. लीला राधा की छोटी बहन है। लीला राधा से 4 वर्ष छोटी है। क्या आप लीला की आयु राधा की आयु के पदों में लिख सकते हैं? राधा की आयु x वर्ष मानिए।

9. माँ ने लड्डू बनाए हैं। वह कुछ लड्डू मेहमानों और परिवार के सदस्यों को देती है; फिर भी 5 लड्डू बच जाते हैं। यदि माँ ने l लड्डू दिए, तो उसने कितने लड्डू बनाए थे?

10. संतरे बड़े डिब्बों से छोटे डिब्बों में स्थानांतरित किए जा रहे हैं। जब एक बड़ा डिब्बा खाली होता है, तो उसके संतरे दो छोटे डिब्बों में भर जाते हैं और फिर भी 10 संतरे बाहर रह जाते हैं। यदि एक छोटे डिब्बे में संतरों की संख्या x मानी जाए, तो बड़े डिब्बे में संतरों की संख्या क्या है?

11. (a) नीचे दिए गए वर्गों के माचिस-कील के पैटर्न को देखिए (चित्र 11.6)। वर्ग अलग-अलग नहीं हैं। दो पड़ोसी वर्गों में एक साझी माचिस-कील होती है। पैटर्न को देखिए और वह नियम खोजिए जो माचिस-कीलों की संख्या देता है

वर्गों की संख्या के पदों में। (संकेत: यदि आप अंत में लगा ऊध्र्वाधर छड़ी हटा दें, तो आपको C का एक पैटर्न मिलेगा।)

(b) आकृति 11.7 त्रिभुजों का एक माचिस-छड़ी पैटर्न देती है। उपर्युक्त व्यायाम 11 (a) की तरह, वह सामान्य नियम खोजिए जो त्रिभुजों की संख्या के पदों में माचिस-छड़ियों की संख्या देता है।

हमने क्या चर्चा की?

1. हमने माचिस-छड़ियों से अक्षर और अन्य आकृतियाँ बनाने के पैटर्न देखे। हमने सीखा कि किसी दी गई आकृति को दोहराने के लिए आवश्यक माचिस-छड़ियों की संख्या के बीच सामान्य संबंध कैसे लिखा जाता है। दी गई आकृति को दोहराने की बार संख्या बदलती है; यह 1,2,3,… मान लेती है। यह एक चर है, जिसे $n$ जैसे किसी अक्षर से दर्शाया जाता है।

2. एक चर विभिन्न मान लेता है, इसका मान निश्चित नहीं होता है। एक वर्ग की भुजा की लंबाई कोई भी मान हो सकती है। यह एक चर है। पर त्रिभुज के कोणों की संख्या का निश्चित मान 3 है। यह चर नहीं है।

3. हम किसी चर को दिखाने के लिए कोई भी अक्षर $n, l, m, p, x, y, z$ आदि का उपयोग कर सकते हैं।

4. एक चर हमें किसी व्यावहारिक परिस्थिति में संबंधों को व्यक्त करने देता है।

5. चर संख्याएँ होती हैं, यद्यपि उनका मान निश्चित नहीं होता है। हम उन पर जोड़, घटाव, गुणा और भाग की संक्रियाएँ वैसे ही कर सकते हैं जैसे निश्चित संख्याओं के साथ। विभिन्न संक्रियाओं का प्रयोग कर हम चरों के साथ व्यंजक बना सकते हैं, जैसे $x-3, x+3,2 n, 5 m, \dfrac{p}{3}, 2 y+3,3 l-5$, आदि।