12.1 परिचय

हमारी दैनिक जीवन में, कई बार हम एक ही प्रकार की दो मात्राओं की तुलना करते हैं। उदाहरण के लिए, अवनी और शारी ने स्क्रैप नोटबुक के लिए फूल इकट्ठे किए। अवनी ने 30 फूल इकट्ठे किए और शारी ने 45 फूल इकट्ठे किए। इसलिए, हम कह सकते हैं कि शारी ने अवनी की तुलना में $45-30=15$ फूल अधिक इकट्ठे किए।

इसके अलावा, यदि रहीम की ऊंचाई $150 cm$ है और अवनी की ऊंचाई $140 cm$ है, तो हम कह सकते हैं कि रहीम की ऊंचाई अवनी की तुलना में $150 cm-140 cm=10 cm$ अधिक है। यह तुलना का एक तरीका है जो अंतर लेकर किया जाता है।

यदि हम एक चींटी और एक टिड्डे की लंबाइयों की तुलना करना चाहें, तो अंतर लेकर तुलना व्यक्त नहीं करता। टिड्डे की लंबाई, आमतौर पर $4 cm$ से $5 cm$ तक, चींटी की लंबाई की तुलना में बहुत अधिक है जो कुछ मिलीमीटर होती है। तुलना बेहतर होगी यदि हम यह जानने की कोशिश करें कि कितनी चींटियों को एक के पीछे एक रखा जा सकता है ताकि टिड्डे की लंबाई से मेल खाए। इसलिए, हम कह सकते हैं कि 20 से 30 चींटियों की लंबाई एक टिड्डे के बराबर होती है।

एक और उदाहरण पर विचार करें।

एक कार की कीमत ₹ 2,50,000 है और एक मोटरसाइकिल की कीमत ₹ 50,000 है। यदि हम कीमतों के बीच अंतर निकालें, तो यह ₹ 2,00,000 है और यदि हम भाग देकर तुलना करें;

अर्थात् $\dfrac{2,50,000}{50,000}=\dfrac{5}{1}$

हम कह सकते हैं कि कार की कीमत मोटरसाइकिल की कीमत की पाँच गुनी है। इस प्रकार, कुछ परिस्थितियों में अंतर निकालने की तुलना से भाग देकर तुलना अधिक सार्थक होती है। भाग देकर की गई तुलना को अनुपात कहा जाता है। अगले खंड में हम ‘अनुपात’ के बारे में और अधिक जानेंगे।

12.2 अनुपात

निम्नलिखित पर विचार करें:

ईशा का वजन 25 kg है और उसके पिता का वजन 75 kg है। पिता का वजन ईशा के वजन का कितना गुना है? यह तीन गुना है।

एक पेन की कीमत ₹ 10 है और एक पेंसिल की कीमत ₹ 2 है। पेन की कीमत पेंसिल की कीमत की कितनी गुनी है? स्पष्ट रूप से यह पाँच गुनी है।

उपरोक्त उदाहरणों में हमने दो मात्राओं की तुलना ‘कितनी बार’ के रूप में की है। इस तुलना को अनुपात कहा जाता है। हम अनुपात को ‘:’ प्रतीक द्वारा दर्शाते हैं।

पुनः पिछले उदाहरणों पर विचार करें। हम कह सकते हैं,

पिता के वजन का ईशा के वजन से अनुपात $=\dfrac{75}{25}=\dfrac{3}{1}=3: 1$

पेन की कीमत का पेंसिल की कीमत से अनुपात $=\dfrac{10}{2}=\dfrac{5}{1}=5: 1$

आइए इस समस्या को देखें।

एक कक्षा में 20 लड़के और 40 लड़कियाँ हैं। अनुपात क्या है

(a) लड़कियों की संख्या का कुल विद्यार्थियों की संख्या से।
(b) लड़कों की संख्या का कुल विद्यार्थियों की संख्या से।

इन्हें आज़माइए

1. एक कक्षा में 20 लड़के और 40 लड़कियाँ हैं। लड़कों की संख्या का लड़कियों की संख्या से अनुपात क्या है?

2. रवि 1 घंटे में $6 km$ चलता है जबकि रोशन 1 घंटे में $4 km$ चलता है। रवि द्वारा तय की गई दूरी का रोशन द्वारा तय की गई दूरी से अनुपात क्या है?

सबसे पहले हमें कुल विद्यार्थियों की संख्या निकालनी होगी, जो है,

लड़कियों की संख्या + लड़कों की संख्या $=20+40=60$।

फिर, लड़कियों की संख्या का कुल विद्यार्थियों की संख्या से अनुपात $\dfrac{40}{60}=\dfrac{2}{3}=2: 3$ है

भाग (b) का उत्तर इसी तरह से निकालिए।

अब निम्नलिखित उदाहरण पर विचार कीजिए।

एक घर की छिपकली की लंबाई $20 cm$ है और एक मगरमच्छ की लंबाई $4 m$ है।

“मैं तुमसे 5 गुना बड़ी हूँ”, छिपकली कहती है। जैसा कि हम देख सकते हैं यह

वास्तव में बेतुका है। एक छिपकली की लंबाई मगरमच्छ की लंबाई का 5 गुना नहीं हो सकती। तो, क्या गलत है? ध्यान दीजिए कि छिपकली की लंबाई सेंटीमीटर में है और मगरमच्छ की लंबाई मीटर में है। इसलिए, हमें उनकी लंबाइयों को एक ही इकाई में बदलना होगा।

मगरमच्छ की लंबाई $=4 m=4 \times 100=400 cm$।

इसलिए, मगरमच्छ की लंबाई की छिपकली की लंबाई से अनुपात $=\dfrac{400}{20}=\dfrac{20}{1}=20: 1$.

दो मात्राओं की तुलना तभी की जा सकती है जब वे एक ही इकाई में हों।

अब छिपकली की लंबाई का मगरमच्छ की लंबाई से अनुपात क्या है?

यह $\dfrac{20}{400}=\dfrac{1}{20}=1: 20$ है।

ध्यान दीजिए कि दोनों अनुपात $1: 20$ और $20: 1$ एक-दूसरे से भिन्न हैं। अनुपात $1: 20$ छिपकली की लंबाई का मगरमच्छ की लंबाई से अनुपात है, जबकि $20: 1$ मगरमच्छ की लंबाई का छिपकली की लंबाई से अनुपात है।

अब एक और उदाहरण पर विचार कीजिए।

एक पेंसिल की लंबाई $18 cm$ है और उसका व्यास $8 mm$ है। पेंसिल के व्यास का उसकी लंबाई से अनुपात क्या है? चूँकि पेंसिल की लंबाई और व्यास विभिन्न इकाइयों में दिए गए हैं, हमें पहले उन्हें एक ही इकाई में बदलना होगा।

इस प्रकार, पेंसिल की लंबाई $=18 cm$ $=18 \times 10 mm=180 mm$।

पेंसिल के व्यास का उसकी लंबाई से अनुपात $=\dfrac{8}{180}=\dfrac{2}{45}=2: 45$।

इन्हें आज़माइए

1. सौरभ को अपने घर से स्कूल पहुँचने में 15 मिनट लगते हैं और सचिन को अपने घर से स्कूल पहुँचने में एक घंटा लगता है। सौरभ द्वारा लिए गए समय का सचिन द्वारा लिए गए समय से अनुपात ज्ञात कीजिए।

2. एक टॉफी की कीमत 50 पैसे है और एक चॉकलेट की कीमत ₹10 है। एक टॉफी की कीमत का एक चॉकलेट की कीमत से अनुपात ज्ञात कीजिए।

3. एक स्कूल में एक वर्ष में 73 छुट्टियाँ थीं। एक वर्ष में छुट्टियों की संख्या का एक वर्ष में दिनों की संख्या से अनुपात क्या है?

कुछ और स्थितियों के बारे में सोचिए जहाँ आप एक ही प्रकार की दो मात्राओं की तुलना विभिन्न इकाइयों में करते हैं।

हम अपने दैनिक जीवन की कई स्थितियों में अनुपात की अवधारणा का उपयोग करते हैं बिना यह जाने कि हम ऐसा कर रहे हैं।

चित्र A और B की तुलना कीजिए। B, A की तुलना में अधिक प्राकृतिक लगता है। क्यों?

चित्र A में पैर अन्य शरीर के अंगों की तुलना में बहुत लंबे हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि हम सामान्य रूप से पैरों की लंबाई और पूरे शरीर की लंबाई के बीच एक निश्चित अनुपात की अपेक्षा करते हैं।

पेंसिल की दो तस्वीरों की तुलना कीजिए। क्या पहली एक पूरी पेंसिल लग रही है? नहीं।

क्यों नहीं? कारण यह है कि पेंसिल की मोटाई और लंबाई सही अनुपात में नहीं हैं।

विभिन्न परिस्थितियों में वही अनुपात :

निम्नलिखित पर विचार करें :

• एक कमरे की लंबाई 30 m है और इसकी चौड़ाई 20 m है। अतः कमरे की लंबाई से चौड़ाई का अनुपात = 30/20 = 3/2 = 3:2
• पिकनिक पर जाने वाली 24 लड़कियाँ और 16 लड़के हैं। लड़कियों की संख्या से लड़कों की संख्या का अनुपात = 24/16 = 3/2 = 3:2 दोनों उदाहरणों में अनुपात 3:2 है।
• ध्यान दें कि अनुपात 30:20 और 24:16 न्यूनतम रूप में 3:2 के समान हैं। ये समतुल्य अनुपात हैं।
• क्या आप 3:2 अनुपात वाले कुछ और उदाहरण सोच सकते हैं?

किसी निश्चित अनुपात को उत्पन्न करने वाली परिस्थितियाँ लिखना मजेदार होता है। उदाहरण के लिए, वे परिस्थितियाँ लिखें जो 2:3 अनुपात दें।

• मेज़ की चौड़ाई से लंबाई का अनुपात 2:3 है।
• शीना के पास 2 कंचे हैं और उसकी दोस्त शबनम के पास 3 कंचे हैं।

तब, शीना और शबनम के पास कंचों का अनुपात 2:3 है।

क्या आप इस अनुपात के लिए कुछ और परिस्थितियाँ लिख सकते हैं? अपने मित्रों को कोई भी अनुपात दें और उनसे परिस्थितियाँ बनाने को कहें।

रवि और रानी ने एक व्यवसाय शुरू किया और पैसा 2 : 3 के अनुपात में लगाया। एक वर्ष बाद कुल लाभ ₹ 4,00,000 था।

रवि ने कहा “हम इसे बराबर बाँट लेंगे”, रानी ने कहा “मुझे अधिक मिलना चाहिए क्योंकि मैंने अधिक निवेश किया है”।

तब यह तय हुआ कि लाभ उनके निवेश के अनुपात में बाँटा जाएगा।

यहाँ, अनुपात 2 : 3 के दो पद 2 हैं

इन पदों का योग = 2 + 3 = 5

इसका क्या अर्थ है?

इसका अर्थ है कि यदि लाभ ₹ 5 है तो रवि को ₹ 2 और रानी को ₹ 3 मिलने चाहिए। या, हम यह कह सकते हैं कि कुल 5 भागों में से रवि को 2 भाग और रानी को 3 भाग मिलते हैं।
अर्थात्, रवि को कुल लाभ का (\dfrac{2}{5}) भाग और रानी को कुल लाभ का (\dfrac{3}{5}) भाग मिलना चाहिए।

यदि कुल लाभ ₹ 500 होता

रवि को ₹ (\dfrac{2}{5} \times 500) = ₹ 200 मिलते

और रानी को (\dfrac{3}{5} \times 500) = ₹ 300 मिलते

अब, यदि लाभ ₹ 4,00,000 हो तो क्या तुम प्रत्येक का हिस्सा ज्ञात कर सकते हो?

रवि का हिस्सा = ₹ (\dfrac{2}{5} \times 4,00,000) = ₹ 1,60,000

और रानी का हिस्सा = ₹ (\dfrac{3}{5} \times 4,00,000) = ₹ 2,40,000

क्या तुम कुछ और उदाहरण सोच सकते हो जहाँ तुम्हें कुछ चीज़ों को किसी अनुपात में बाँटना हो? ऐसे तीन उदाहरण बनाओ और अपने मित्रों से उन्हें हल करने को कहो।

आइए देखें कि अब तक हमने किस प्रकार के प्रश्न हल किए हैं।

इन्हें आज़माइए

1. अपने बस्ते में कॉपियों की संख्या की पुस्तकों की संख्या से अनुपात ज्ञात कीजिए।

2. अपनी कक्षा में डेस्कों और कुर्सियों की संख्या का अनुपात ज्ञात कीजिए।

3. अपनी कक्षा में बारह वर्ष से अधिक आयु के विद्यार्थियों की संख्या ज्ञात कीजिए। फिर बारह वर्ष से अधिक आयु के विद्यार्थियों की संख्या और शेष विद्यार्थियों की संख्या का अनुपात ज्ञात कीजिए।

4. अपनी कक्षा में दरवाजों की संख्या की खिड़कियों की संख्या से अनुपात ज्ञात कीजिए।

5. कोई आयत बनाइए और उसकी लंबाई की चौड़ाई से अनुपात ज्ञात कीजिए।

उदाहरण 1 : एक आयताकार मैदान की लंबाई और चौड़ाई क्रमशः 50 m और 15 m हैं। मैदान की लंबाई का चौड़ाई से अनुपात ज्ञात कीजिए।

हल : आयताकार मैदान की लंबाई = 50 m

आयताकार मैदान की चौड़ाई = 15 m

लंबाई का चौड़ाई से अनुपात 50 : 15 है।

इस अनुपात को $\dfrac{50}{15}=\dfrac{50 \div 5}{15 \div 5}=\dfrac{10}{3}=10: 3$ लिखा जा सकता है।

इस प्रकार, अभीष्ट अनुपात 10 : 3 है।

उदाहरण 2 : 90 cm का 1.5 m से अनुपात ज्ञात कीजिए।

हल : दोनों मात्राएँ समान इकाइयों में नहीं हैं। इसलिए हमें इन्हें समान इकाइयों में बदलना होगा।

1.5 m = 1.5 × 100 cm = 150 cm।

इसलिए, अभीष्ट अनुपात 90 : 150 है।

$=\dfrac{90}{150}=\dfrac{90 \times 30}{150 \times 30}=\dfrac{3}{5}$

अभीष्ट अनुपात $3: 5$ है।

उदाहरण 3 : एक कार्यालय में 45 व्यक्ति कार्य करते हैं। यदि महिलाओं की संख्या 25 है और शेष पुरुष हैं, तो निम्नलिखित अनुपात ज्ञात कीजिए:

(a) महिलाओं की संख्या का पुरुषों की संख्या से अनुपात।
(b) पुरुषों की संख्या का महिलाओं की संख्या से अनुपात।

हल : महिलाओं की संख्या $=25$

कुल कार्यकर्ताओं की संख्या $=45$

पुरुषों की संख्या $=45-25=20$

इसलिए, महिलाओं की संख्या का पुरुषों की संख्या से अनुपात

$ =25: 20=5: 4 $

और पुरुषों की संख्या का महिलाओं की संख्या से अनुपात

$ =20: 25=4: 5 . $

(ध्यान दें कि दोनों अनुपातों $5: 4$ और $4: 5$ में अंतर है)।

उदाहरण 4 : $6: 4$ के दो समतुल्य अनुपात दीजिए।

हल : अनुपात $6: 4=\dfrac{6}{4}=\dfrac{6 \times 2}{4 \times 2}=\dfrac{12}{8}$।

इसलिए, $12: 8$, $6: 4$ का एक समतुल्य अनुपात है।

इसी प्रकार, अनुपात $6: 4=\dfrac{6}{4}=\dfrac{6 \times 2}{4 \times 2}=\dfrac{3}{2}$

इसलिए, $3: 2$, $6: 4$ का एक और समतुल्य अनुपात है।

इसलिए, हम अंश और हर को एक ही संख्या से गुणा या भाग करके समतुल्य अनुपात प्राप्त कर सकते हैं।

$6: 4$ के दो और समतुल्य अनुपात लिखिए।

उदाहरण 5 : लापता संख्याओं को भरिए :

$ \dfrac{14}{21}=\dfrac{\square}{3}=\dfrac{6}{\square} $

हल: पहला अज्ञात अंक पाने के लिए हम यह बात ध्यान में रखते हैं कि (21=3 \times 7)। अर्थात् जब हम 21 को 7 से विभाजित करते हैं तो हमें 3 प्राप्त होता है। इससे संकेत मिलता है कि दूसरे अनुपात का अज्ञात अंक पाने के लिए 14 को भी 7 से विभाजित करना होगा।

जब हम विभाजित करते हैं, हम पाते हैं, (14 \div 7=2)

अतः दूसरा अनुपात (\dfrac{2}{3}) है।

इसी प्रकार, तीसरा अनुपात पाने के लिए हम दूसरे अनुपात के दोनों पदों को 3 से गुणा करते हैं। (क्यों?)

अतः तीसरा अनुपात (\dfrac{6}{9}) है

इसलिए, (\dfrac{14}{21}=\dfrac{\boxed{2}}{3}=\dfrac{6}{\boxed{9}}) [ये सभी समतुल्य अनुपात हैं।]

उदाहरण 6: मेरी के घर से स्कूल की दूरी का जॉन के घर से स्कूल की दूरी से अनुपात (2: 1) है।

(क) स्कूल के निकट किसका घर है?

(ख) निम्नलिखित सारणी को पूर्ण कीजिए जो मेरी और जॉन के स्कूल से संभावित दूरियों को दर्शाती है।

(ग) यदि मेरी के घर से स्कूल की दूरी का कलाम के घर से स्कूल की दूरी से अनुपात (1: 2) है, तो स्कूल के निकट किसका घर है?

हल: (क) जॉन का घर स्कूल के निकट है (क्योंकि अनुपात (2: 1) है)।

(ख)

(ग) चूँकि अनुपात (1: 2) है, इसलिए मेरी का घर स्कूल के निकट है।

उदाहरण 7: ₹ 60 को कृति और किरण के बीच (1: 2) के अनुपात में विभाजित कीजिए।

हल: दो भाग 1 और 2 हैं।

इसलिए, भागों का योग $=1+2=3$।

इसका मतलब है कि अगर ₹ 3 हैं, तो कृति को ₹ 1 मिलेगा और किरण को ₹ 2 मिलेंगे। या, हम कह सकते हैं कि कृति को हर 3 भागों में से 1 भाग मिलता है और किरण को 2 भाग मिलते हैं।

इसलिए, कृति का हिस्सा $=\dfrac{1}{3} \times 60$ =₹ $20$

और किरण का हिस्सा $=\dfrac{2}{3} \times 60$ =₹ $40$।

अभ्यास 12.1

1. एक कक्षा में 20 लड़कियाँ और 15 लड़के हैं।

(क) लड़कियों की संख्या का लड़कों की संख्या से अनुपात क्या है?
(ख) लड़कियों की संख्या का कक्षा में कुल विद्यार्थियों की संख्या से अनुपात क्या है?

2. एक कक्षा के 30 विद्यार्थियों में से 6 को फुटबॉल पसंद है, 12 को क्रिकेट पसंद है और शेष को टेनिस पसंद है। निम्नलिखित का अनुपात ज्ञात कीजिए:

(क) फुटबॉल पसंद करने वाले विद्यार्थियों की संख्या का टेनिस पसंद करने वाले विद्यार्थियों की संख्या से अनुपात।
(ख) क्रिकेट पसंद करने वाले विद्यार्थियों की संख्या का कुल विद्यार्थियों की संख्या से अनुपात।

3. आकृति को देखें और निम्नलिखित का अनुपात ज्ञात कीजिए:

(क) आयत के अंदर त्रिभुजों की संख्या का वृत्तों की संख्या से अनुपात।
(ख) आयत के अंदर वर्गों की संख्या का सभी आकृतियों की संख्या से अनुपात।
(ग) आयत के अंदर वृत्तों की संख्या का सभी आकृतियों की संख्या से अनुपात।

4. एक घंटे में हामिद और अख्तर द्वारा तय की गई दूरियाँ क्रमशः 9 किमी और 12 किमी हैं। हामिद की चाल से अख्तर की चाल का अनुपात ज्ञात कीजिए।

5. निम्न रिक्त स्थानों को भरिए:

\dfrac{15}{18}=\dfrac{\square}{6}=\dfrac{10}{\square}=\dfrac{\square}{30} [क्या ये समतुल्य अनुपात हैं?]

6. निम्नलिखित का अनुपात ज्ञात कीजिए:

(a) 81 से 108
(b) 98 से 63
(c) 33 किमी से 121 किमी
(d) 30 मिनट से 45 मिनट

7. निम्नलिखित का अनुपात ज्ञात कीजिए:

(a) 30 मिनट से 1.5 घंटे
(b) 40 सेमी से 1.5 मी
(c) 55 पैसे से ₹ 1
(d) 500 मिलीलीटर से 2 लीटर

8. एक वर्ष में सीमा ₹ 1,50,000 कमाती है और ₹ 50,000 बचाती है। अनुपात ज्ञात कीजिए:

(a) सीमा द्वारा कमाई गई राशि से बचाई गई राशि का।
(b) बचाई गई राशि से खर्च की गई राशि का।

9. एक विद्यालय में 3300 विद्यार्थियों के लिए 102 शिक्षक हैं। शिक्षकों की संख्या से विद्यार्थियों की संख्या का अनुपात ज्ञात कीजिए।

10. एक कॉलेज में 4320 विद्यार्थियों में से 2300 लड़कियाँ हैं। अनुपात ज्ञात कीजिए:

(a) लड़कियों की संख्या से कुल विद्यार्थियों की संख्या का।
(b) लड़कों की संख्या से लड़कियों की संख्या का।
(c) लड़कों की संख्या से कुल विद्यार्थियों की संख्या का।

11. एक विद्यालय के 1800 विद्यार्थियों में से 750 ने बास्केटबॉल, 800 ने क्रिकेट और शेष ने टेबल टेनिस चुना। यदि एक विद्यार्थी केवल एक ही खेल चुन सकता है, तो अनुपात ज्ञात कीजिए:

(a) बास्केटबॉल चुने वाले विद्यार्थियों की संख्या का टेबल टेनिस चुने वाले विद्यार्थियों की संख्या से अनुपात।
(b) क्रिकेट चुने वाले विद्यार्थियों की संख्या का बास्केटबॉल चुनने वाले विद्यार्थियों की संख्या से अनुपात।
(c) बास्केटबॉल चुने वाले विद्यार्थियों की संख्या का कुल विद्यार्थियों की संख्या से अनुपात।

12. एक दर्जन पेन की कीमत ₹180 है और 8 बॉल पेन की कीमत ₹56 है। एक पेन की कीमत का एक बॉल पेन की कीमत से अनुपात ज्ञात कीजिए।

13. कथन पर विचार कीजिए: एक हॉल की चौड़ाई और लंबाई का अनुपात 2 : 5 है। निम्न तालिका को पूरा कीजिए जो हॉल की कुछ संभावित चौड़ाइयों और लंबाइयों को दर्शाती है।

14. 20 पेनों को शीला और संगीता के बीच 3 : 2 के अनुपात में बाँटिए।

15. माँ अपनी बेटियों श्रेया और भूमिका के बीच ₹36 को उनकी उम्रों के अनुपात में बाँटना चाहती है। यदि श्रेया की उम्र 15 वर्ष और भूमिका की उम्र 12 वर्ष है, तो ज्ञात कीजिए कि श्रेया और भूमिका को कितना-कितना मिलेगा।

16. पिता की वर्तमान आयु 42 वर्ष है और उसके पुत्र की आयु 14 वर्ष है। अनुपात ज्ञात कीजिए

(a) पिता की वर्तमान आयु का पुत्र की वर्तमान आयु से अनुपात।
(b) पुत्र के 12 वर्ष के होने पर पिता की आयु का पुत्र की आयु से अनुपात।
(c) 10 वर्ष बाद पिता की आयु का 10 वर्ष बाद पुत्र की आयु से अनुपात।
(d) जब पिता 30 वर्ष का था, तब पिता की आयु का पुत्र की आयु से अनुपात।

12.3 अनुपात

इस स्थिति पर विचार कीजिए :

राजू टमाटर खरीदने बाज़ार गया। एक दुकानदार ने उसे बताया कि टमाटर का मूल्य ₹ 40 प्रति 5 kg है। दूसरे दुकानदार ने मूल्य बताया ₹ 42 प्रति 6 kg। अब राजू को क्या करना चाहिए? उसे पहले दुकानदार से टमाटर खरीदने चाहिए या दूसरे से? क्या अंतर निकालने से तुलना करने पर उसे निर्णय लेने में मदद मिलेगी? नहीं। क्यों नहीं?

कोई ऐसा तरीका सोचिए जिससे उसकी मदद हो सके। अपने मित्रों से चर्चा कीजिए।

एक अन्य उदाहरण पर विचार कीजिए।

भाविका के पास 28 कंचे हैं और विनी के पास 180 फूल हैं। वे इन्हें आपस में बाँटना चाहते हैं। भाविका ने विनी को 14 कंचे दिए और विनी ने भाविका को 90 फूल दिए। लेकिन विनी संतुष्ट नहीं हुई। उसे लगा कि उसने भाविका को भाविका द्वारा दिए गए कंचों की तुलना में अधिक फूल दिए हैं।

आपको क्या लगता है? क्या विनी सही है?

इस समस्या को हल करने के लिए दोनों विनी की माँ पूजा के पास गए।

पूजा ने समझाया कि 28 कंचों में से भाविका ने विनी को 14 कंचे दिए।

इसलिए, अनुपात है $14: 28=1: 2$।

और 180 फूलों में से, विनी ने भाविका को 90 फूल दिए थे।

इसलिए, अनुपात है $90: 180=1: 2$।

चूँकि दोनों अनुपात समान हैं, इसलिए बँटवारा न्यायसंगत है।

दो सहेलियाँ आशमा और पंखुड़ी बाजार गईं और हेयर क्लिप खरीदीं। उन्होंने ₹ 30 में 20 हेयर क्लिप खरीदीं। आशमा ने ₹ 12 और पंखुड़ी ने ₹ 18 दिए। घर लौटने पर आशमा ने पंखुड़ी से 10 हेयर क्लिप देने को कहा। लेकिन पंखुड़ी ने कहा, “चूँकि मैंने अधिक पैसे दिए हैं, इसलिए मुझे अधिक क्लिप मिलनी चाहिए। तुम्हें 8 हेयर क्लिप मिलनी चाहिए और मुझे 12 मिलनी चाहिए।”

क्या आप बता सकते हैं कि सही कौन है, आशमा या पंखुड़ी? क्यों?

आशमा द्वारा दिए गए पैसों का पंखुड़ी द्वारा दिए गए पैसों से अनुपात = ₹ $12: ₹ 18=2: 3$

आशमा के सुझाव के अनुसार, आशमा के हेयर क्लिपों की संख्या का पंखुड़ी के हेयर क्लिपों की संख्या से अनुपात $=10: 10=1: 1$

पंखुड़ी के सुझाव के अनुसार, आशमा के हेयर क्लिपों की संख्या का पंखुड़ी के हेयर क्लिपों की संख्या से अनुपात $=8: 12=2: 3$

अब ध्यान दीजिए कि आशमा के बँटवारे के अनुसार, हेयर क्लिपों का अनुपात और उनके द्वारा दिए गए पैसों का अनुपात समान नहीं है। लेकिन पंखुड़ी के बँटवारे के अनुसार दोनों अनुपात समान हैं।

इसलिए, हम कह सकते हैं कि पंखुड़ी का बँटवारा सही है।

एक अनुपात बाँटने का मतलब होता है!

निम्नलिखित उदाहरणों पर विचार कीजिए :

• राज ने ₹ 15 में 3 पेन खरीदे और अनु ने ₹ 50 में 10 पेन खरीदे। किसके पेन अधिक महँगे हैं?

राज द्वारा खरीदे गए पेनों की संख्या का अनु द्वारा खरीदे गए पेनों की संख्या से अनुपात $=3: 10$।

उनकी लागतों का अनुपात $=15: 50=3: 10$

दोनों अनुपात $3: 10$ और $15: 50$ बराबर हैं। इसलिए, दोनों ने पेनों को समान कीमत पर खरीदा था।

• रहीम ₹ 180 में $2 kg$ सेब बेचता है और रोशन ₹ 360 में $4 kg$ सेब बेचता है। किसके सेब अधिक महंगे हैं?

सेब के वजन का अनुपात $=2 kg: 4 kg=1: 2$

उनकी लागत का अनुपात =₹ $180: ₹ 360=6: 12=1: 2$

इसलिए, सेब के वजन का अनुपात $=$ उनकी लागत का अनुपात।

चूँकि दोनों अनुपात बराबर हैं, इसलिए हम कहते हैं कि वे समानुपात में हैं। वे सेब एक ही दर पर बेच रहे हैं।

यदि दो अनुपात बराबर हों, तो हम कहते हैं कि वे समानुपात में हैं और दोनों अनुपातों को बराबर करने के लिए प्रतीक ‘::’ या ’ $=$ ’ का उपयोग करते हैं।

पहले उदाहरण के लिए, हम कह सकते हैं कि $3,10,15$ और 50 समानुपात में हैं जिसे $3: 10:: 15: 50$ लिखा जाता है और इसे 3 is to 10 as 15 is to 50 के रूप में पढ़ा जाता है या इसे $3: 10=15: 50$ लिखा जाता है।

दूसरे उदाहरण के लिए, हम कह सकते हैं कि 2, 4, 180 और 360 समानुपात में हैं जिसे $2: 4:: 180: 360$ लिखा जाता है और इसे 2 is to 4 as 180 is to 360 के रूप में पढ़ा जाता है।

आइए एक और उदाहरण पर विचार करें।

एक आदमी 2 घंटे में $35 km$ यात्रा करता है। क्या वही समान गति से 4 घंटे में $70 km$ यात्रा कर पाएगा?

अब, आदमी द्वारा तय की गई दो दूरियों का अनुपात 35 से 70 = 1:2 है और इन दूरियों को तय करने में लगे समय का अनुपात 2 से 4 = 1:2 है।

इसलिए, दोनों अनुपात बराबर हैं अर्थात् 35:70 = 2:4।

अतः हम कह सकते हैं कि चार संख्याएँ 35, 70, 2 और 4 समानुपात में हैं।

इसलिए हम इसे 35:70 :: 2:4 के रूप में लिख सकते हैं और इसे 35 का 70 से वैसा ही अनुपात है जैसा 2 का 4 से पढ़ सकते हैं। इसलिए वह उस चाल से 4 घंटे में 70 km दूरी तय कर सकता है।

अब इस उदाहरण पर विचार करें।

2 kg सेब की कीमत ₹180 है और 5 kg तरबूज की कीमत ₹45 है।

अब सेब के भार का तरबूज के भार से अनुपात 2:5 है।

इन्हें आज़माएँ

दिए गए अनुपातों की जाँच करें कि क्या वे बराबर हैं, अर्थात् वे समानुपात में हैं।

यदि हाँ, तो उन्हें उचित रूप में लिखें।

1. 1:5 और 3:15
2. 2:9 और 18:81
3. 15:45 और 5:25
4. 4:12 और 9:27
5. ₹10 से ₹15 और 4 से 6

और सेब की कीमत का तरबूज की कीमत से अनुपात 180:45 = 4:1 है।

यहाँ दो अनुपात 2:5 और 180:45 बराबर नहीं हैं,

अर्थात् 2:5 ≠ 180:45

इसलिए चार मात्राएँ 2, 5, 180 और 45 समानुपात में नहीं हैं।

यदि दो अनुपात समान नहीं होते, तो हम कहते हैं कि वे समानुपात में नहीं हैं। समानुपात के कथन में, चार मात्राएँ जब क्रम में ली जाती हैं, तो उन्हें संबंधित पद कहा जाता है। पहला और चौथा पद चरम पद कहे जाते हैं। दूसरा और तीसरा पद मध्य पद कहे जाते हैं।

उदाहरण के लिए, $35: 70:: 2: 4$ में;

$35,70,2,4$ चार पद हैं। 35 और 4 चरम पद हैं। 70 और 2 मध्य पद हैं।

उदाहरण 8 : क्या अनुपात $25 g: 30 g$ और $40 kg: 48 kg$ समानुपात में हैं?

हल : $25 g: 30 g=\dfrac{25}{30}=5: 6$

$40 kg: 48 kg=\dfrac{40}{48}=5: 6 \quad$ इसलिए, $25: 30=40: 48$।

अतः, अनुपात $25 g: 30 g$ और $40 kg: 48 kg$ समानुपात में हैं, अर्थात् $25: 30:: 40: 48$

इसमें मध्य पद 30, 40 हैं और चरम पद 25, 48 हैं।

उदाहरण 9 : क्या 30, 40, 45 और 60 समानुपात में हैं?

हल : 30 से 40 का अनुपात $=\dfrac{30}{40}=3: 4$।

45 से 60 का अनुपात $=\dfrac{45}{60}=3: 4$।

चूँकि, $30: 40=45: 60$।

इसलिए, 30, 40, 45, 60 समानुपात में हैं।

उदाहरण 10 : क्या अनुपात $15 cm$ से $2 m$ और $10 sec$ से 3 मिनट समानुपात बनाते हैं?

हल : $15 cm$ से $2 m$ का अनुपात $=15: 2 \times 100(1 m=100 cm)$

$ =3: 40 $

$10 sec$ से $3 min$ का अनुपात $=10: 3 \times 60(1 min=60 sec)$

$ =1: 18 $

चूँकि, $3: 40 \neq 1: 18$, इसलिए, दिए गए अनुपात समानुपात नहीं बनाते।

अभ्यास 12.2

1. निर्धारित कीजिए कि निम्नलिखित समानुपात में हैं या नहीं।

(a) $15,45,40,120$
(b) $33,121,9,96$
(c) $24,28,36,48$
(d) $32,48,70,210$
(e) $4,6,8,12$
(f) $33,44,75,100$

2. निम्नलिखित में से प्रत्येक कथन के सामने सत्य ( $T$ ) या असत्य ( $F$ ) लिखिए :

(a) $16: 24:: 20: 30$
(b) $21: 6:: 35: 10$
(c) $12: 18:: 28: 12$
(d) $8: 9:: 24: 27$
(e) $5.2: 3.9:: 3: 4$
(f) $0.9: 0.36:: 10: 4$

3. क्या निम्नलिखित कथन सत्य हैं?

(a) 40 व्यक्ति : 200 व्यक्ति =₹ 15: ₹ 75
(b) 7.5 लीटर : 15 लीटर =5 किग्रा: 10 किग्रा
(c) 99 किग्रा: 45 किग्रा=₹ 44: ₹ 20
(d) 32 मी: 64 मी=6 सेकंड: 12 सेकंड
(e) 45 किमी: 60 किमी=12 घंटे : 15 घंटे

4. निर्धारित कीजिए कि निम्नलिखित अनुपात समानुपात बनाते हैं या नहीं। जहाँ अनुपात समानुपात बनाते हैं, वहाँ मध्य पद और अन्तिम पद भी लिखिए।

(a) 25 सेमी: 1 मी और ₹ 40: ₹ 160
(b) 39 लीटर : 65 लीटर और 6 बोतलें : 10 बोतलें
(c) 2 किग्रा: 80 किग्रा और 25 ग्रा: 625 ग्रा
(d) 200 मिली: 2.5 लीटर और ₹ 4: ₹ 50

12.4 एकात्मक विधि

निम्नलिखित परिस्थितियों पर विचार कीजिए:

• दो मित्र रेशमा और सीमा नोटबुकें खरीदने बाज़ार गईं। रेशमा ने ₹ 24 में 2 नोटबुकें खरीदीं। एक नोटबुक की कीमत क्या है?

• एक स्कूटर $80 km$ की दूरी तय करने के लिए 2 लीटर पेट्रोल की आवश्यकता रखता है। $1 km$ की दूरी तय करने के लिए कितने लीटर पेट्रोल की आवश्यकता होगी ?

ये उन परिस्थितियों के उदाहरण हैं जिनका सामना हम अपने दैनिक जीवन में करते हैं। आप इन्हें कैसे हल करेंगे?

पहले उदाहरण को फिर से देखें: 2 कॉपियों की लागत ₹ 24 है।

इसलिए, 1 कॉपी की लागत = ₹ 24 ÷ 2 = ₹ 12।

अब, यदि आपसे 5 ऐसी कॉपियों की लागत पूछी जाए तो वह होगी = ₹ 12 × 5 = ₹ 60

दूसरे उदाहरण को फिर से देखें: हम जानना चाहते हैं कि 1 किमी यात्रा करने के लिए कितने लीटर की आवश्यकता होती है।

80 किमी के लिए, पेट्रोल की आवश्यकता = 2 लीटर।

इसलिए, 1 किमी यात्रा करने के लिए, पेट्रोल की आवश्यकता = 2⁄80 = 1⁄40 लीटर।

अब, यदि आपसे पूछा जाए कि 120 किमी की दूरी तय करने के लिए कितने लीटर पेट्रोल की आवश्यकता होगी?

तो पेट्रोल की आवश्यकता = 1⁄40 × 120 लीटर = 3 लीटर।

वह विधि जिसमें पहले हम एक इकाई का मान निकालते हैं और फिर आवश्यक संख्या की इकाइयों का मान, उसे एकात्मक विधि (Unitary Method) कहा जाता है।

इन्हें आजमाएँ

1. पाँच समान प्रश्न तैयार करें और अपने मित्रों से उन्हें हल करने को कहें।

2. सारणी को पढ़ें और खाली बक्सों को भरें।

समय	करण द्वारा तय की गई दूरी	कृति द्वारा तय की गई दूरी
2 घंटे	8 किमी	6 किमी
1 घंटा	4 किमी	$\square$
4 घंटे	$\square$	$\square$

हम देखते हैं कि,

करण द्वारा 2 घंटे में तय की गई दूरी = 8 किमी

किरण द्वारा 1 घंटे में तय की गई दूरी $=\dfrac{8}{2} km=4 km$

इसलिए, किरण द्वारा 4 घंटे में तय की गई दूरी $=4 \times 4=16 km$

इसी प्रकार, कृति द्वारा 4 घंटे में तय की गई दूरी ज्ञात करने के लिए, पहले उसके द्वारा 1 घंटे में तय की गई दूरी ज्ञात करें।

उदाहरण 11 : यदि 6 कैन जूस की लागत ₹ 210 है, तो 4 कैन जूस की लागत क्या होगी?

हल : 6 कैन जूस की लागत =₹ $210$

इसलिए, एक कैन जूस की लागत $=\dfrac{210}{6}$=₹ $35$

इसलिए, 4 कैन जूस की लागत $=₹ 35 \times 4$=₹ $140$.

इस प्रकार, 4 कैन जूस की लागत ₹ 140 है।

उदाहरण 12 : एक मोटरबाइक 5 लीटर पेट्रोल में $220 km$ की दूरी तय करती है। यह 1.5 लीटर पेट्रोल में कितनी दूरी तय करेगी?

हल : 5 लीटर पेट्रोल में, मोटरबाइक $220 km$ की दूरी तय कर सकती है।

इसलिए, 1 लीटर पेट्रोल में, मोटरबाइक $=\dfrac{220}{5} km$ की दूरी तय करती है।

इसलिए, 1.5 लीटर में, मोटरबाइक $=\dfrac{220}{5} \times 1.5 km$ की दूरी तय करती है।

$ =\dfrac{220}{5} \times \dfrac{15}{10} km=66 km . $

इस प्रकार, मोटरबाइक 1.5 लीटर पेट्रोल में $66 km$ की दूरी तय कर सकती है।

उदाहरण 13 : यदि एक दर्जन साबुन की लागत ₹ 153.60 है, तो 15 ऐसे साबुनों की लागत क्या होगी?

हल : हम जानते हैं कि 1 दर्जन $=12$

चूंकि, 12 साबुनों की लागत =₹ $153.60$

इसलिए, 1 साबुन की लागत $=\dfrac{153.60}{12}$=₹ $12.80$

इसलिए, 15 साबुनों की लागत $=₹ 12.80 \times 15$=₹ $192$

इस प्रकार, 15 साबुनों की लागत ₹ 192 है।

उदाहरण 14 : 105 लिफाफों की लागत ₹ 350 है। ₹ 100 के लिए कितने लिफाफे खरीदे जा सकते हैं?

हल : ₹ 350 में, जितने लिफाफे खरीदे जा सकते हैं $=105$

इसलिए, ₹ 1 में, जितने लिफाफे खरीदे जा सकते हैं $=\dfrac{105}{350}$

इसलिए, ₹ 100 में, जितने लिफाफे खरीदे जा सकते हैं $=\dfrac{105}{350} \times 100=30$

इस प्रकार, ₹ 100 के लिए 30 लिफाफे खरीदे जा सकते हैं।]

उदाहरण 15 : एक कार $2 \dfrac{1}{2}$ घंटे में $90 km$ चलती है।

(a) उसी चाल से $30 km$ तय करने में कितना समय लगेगा?
(b) उसी चाल से 2 घंटे में तय की गई दूरी ज्ञात कीजिए।

हल : (a) इस स्थिति में, समय अज्ञात है और दूरी ज्ञात है। इसलिए, हम इस प्रकार आगे बढ़ते हैं :

$2 \dfrac{1}{2}$ घंटे $=\dfrac{5}{2}$ घंटे $=\dfrac{5}{2} \times 60$ मिनट $=150$ मिनट।

$90 km$ 150 मिनट में तय की जाती है

इसलिए, $1 km$ $\dfrac{150}{90}$ मिनट में तय की जा सकती है

इसलिए, $30 km$ $\dfrac{150}{90} \times 30$ मिनट में तय की जा सकती है अर्थात् 50 मिनट

इस प्रकार, $30 km$ 50 मिनट में तय की जा सकती है।

(b) इस स्थिति में, दूरी अज्ञात है और समय ज्ञात है। इसलिए, हम इस प्रकार आगे बढ़ते हैं :

दूरी जो $2 \dfrac{1}{2}$ घंटे (अर्थात् $\dfrac{5}{2}$ घंटे) में तय की जाती है $=90 km$

इसलिए, 1 घंटे में तय की गई दूरी $=90 \div \dfrac{5}{2} km=90 \times \dfrac{2}{5}=36 km$

इसलिए, 2 घंटे में तय की गई दूरी $=36 \times 2=72 km$।

इस प्रकार, 2 घंटे में तय की गई दूरी $72 km$ है।

अभ्यास 12.3

1. यदि $7 m$ कपड़े की कीमत ₹ 1470 है, तो $5 m$ कपड़े की कीमत ज्ञात कीजिए।

2. एकता 10 दिनों में ₹ 3000 कमाती है। वह 30 दिनों में कितना कमाएगी?

3. यदि पिछले 3 दिनों में $276 mm$ वर्षा हुई है, तो एक पूर्ण सप्ताह (7 दिनों) में कितने $cm$ वर्षा होगी? मान लीजिए कि वर्षा समान दर से होती रहती है।

4. $5 kg$ गेहूं की कीमत ₹ 91.50 है।

(a) $8 kg$ गेहूं की कीमत क्या होगी?
(b) ₹ 183 में कितनी मात्रा का गेहूं खरीदा जा सकता है?

5. तापमान पिछले 30 दिनों में 15 डिग्री सेल्सियस गिरा है। यदि तापमान गिरने की दर समान रहे, तो अगले दस दिनों में तापमान कितने डिग्री गिरेगा?

6. शाइना 3 महीनों के किराए के रूप में ₹ 15000 देती है। उसे पूरे एक वर्ष के लिए कितना किराया देना होगा, यदि प्रति माह किराया समान रहे?

7. 4 दर्जन केलों की कीमत ₹ 180 है। ₹ 90 में कितने केले खरीदे जा सकते हैं?

8. 72 पुस्तकों का वजन $9 kg$ है। ऐसी 40 पुस्तकों का वजन क्या होगा?

9. एक ट्रक को $594 km$ की दूरी तय करने के लिए 108 लीटर डीजल की आवश्यकता होती है। $1650 km$ की दूरी तय करने के लिए ट्रक को कितना डीजल चाहिए?

10. राजू ₹ 150 में 10 पेन खरीदता है और मनीष ₹ 84 में 7 पेन खरीदता है। क्या आप बता सकते हैं कि किसे पेन सस्ते मिले?

11. अनीष ने 6 ओवरों में 42 रन बनाए और अनूप ने 7 ओवरों में 63 रन बनाए। प्रति ओवर किसने अधिक रन बनाए?

हमने क्या चर्चा की?

1. एक ही प्रकार की मात्राओं की तुलना करने के लिए हम आमतौर पर उन मात्राओं के बीच अंतर निकालने की विधि का प्रयोग करते हैं।

2. कई स्थितियों में मात्राओं की अधिक सार्थक तुलना विभाजन द्वारा की जाती है, अर्थात् यह देखकर कि एक मात्रा दूसरी मात्रा की कितनी गुनी है। इस विधि को अनुपात द्वारा तुलना कहा जाता है।

उदाहरण के लिए, ईशा का वजन $25 kg$ है और उसके पिता का वजन $75 kg$ है। हम कहते हैं कि ईशा के पिता का वजन और ईशा का वजन अनुपात $3: 1$ में है।

3. अनुपात द्वारा तुलना के लिए दोनों मात्राएँ एक ही इकाई में होनी चाहिए। यदि वे एक ही इकाई में नहीं हैं, तो अनुपात लेने से पहले उन्हें एक ही इकाई में व्यक्त करना चाहिए।

4. एक ही अनुपात विभिन्न स्थितियों में हो सकता है।

5. ध्यान दें कि अनुपात $3: 2$ अलग है $2: 3$ से। इस प्रकार, अनुपात व्यक्त करते समय मात्राओं को लेने का क्रम महत्वपूर्ण होता है।

6. एक अनुपात को भिन्न के रूप में भी लिया जा सकता है, इस प्रकार अनुपात $10: 3$ को $\dfrac{10}{3}$ के रूप में लिया जा सकता है।

7. दो अनुपात तुल्य होते हैं, यदि उनसे संबंधित भिन्न तुल्य हों। इस प्रकार, $3: 2$ तुल्य है $6: 4$ या $12: 8$ के।

8. एक अनुपात को उसके न्यूनतम रूप में व्यक्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, अनुपात $50: 15$ को $\dfrac{50}{15}$ के रूप में लिया जाता है; इसका न्यूनतम रूप $\dfrac{50}{15}=\dfrac{10}{3}$ है। इसलिए, अनुपात $50: 15$ का न्यूनतम रूप $10: 3$ है।

9. चार मात्राओं को समानुपात में कहा जाता है, यदि पहली और दूसरी मात्राओं का अनुपात तीसरी और चौथी मात्राओं के अनुपात के बराबर हो। इस प्रकार, 3, 10, 15, 50 समानुपात में हैं, क्योंकि $\dfrac{3}{10}=\dfrac{15}{50}$। हम इस समानुपात को $3: 10:: 15: 50$ द्वारा दर्शाते हैं, इसे 3 का 10 से वैसा ही है जैसा 15 का 50 से पढ़ा जाता है। उपरोक्त समानुपात में, 3 और 50 चरम पद हैं और 10 और 15 मध्य पद हैं।

10. समानुपात में पदों का क्रम महत्वपूर्ण है। 3, 10, 15 और 50 समानुपात में हैं, लेकिन $3,10,50$ और 15 नहीं हैं, क्योंकि $\dfrac{3}{10}$ और $\dfrac{50}{15}$ बराबर नहीं हैं।

11. वह विधि जिसमें हम पहले एक इकाई का मान निकालते हैं और फिर आवश्यक संख्या की इकाइयों का मान निकालते हैं, एकात्मक विधि कहलाती है। मान लीजिए 6 डिब्बों की लागत ₹ 210 है। 4 डिब्बों की लागत ज्ञात करने के लिए, एकात्मक विधि का उपयोग करते हुए, हम पहले 1 डिब्बे की लागत निकालते हैं। यह $₹ \dfrac{210}{6}$ या $₹ 35$ है। इससे, हम 4 डिब्बों की कीमत $₹ 35 \times$ 4 या ₹ 140 निकालते हैं।