10.1 परिचय

हम पहले ही सरल बीजीय व्यंजकों जैसे $x+3, y-5,4 x+5$, $10 y-5$ आदि से परिचित हो चुके हैं। कक्षा छठी में हमने देखा है कि ये व्यंजक पहेलियों और समस्याओं को बनाने में कितने उपयोगी होते हैं। हमने सरल समीकरणों वाले अध्याय में भी कई व्यंजकों के उदाहरण देखे हैं।

व्यंजक बीजगणित की एक केंद्रीय अवधारणा हैं। यह अध्याय बीजीय व्यंजकों को समर्पित है। जब आप इस अध्याय का अध्ययन कर लेंगे, तो आप जान जाएंगे कि बीजीय व्यंजक कैसे बनाए जाते हैं, उन्हें कैसे संयोजित किया जा सकता है, उनके मान कैसे ज्ञात किए जाते हैं और उनका उपयोग कैसे किया जा सकता है।

10.2 व्यंजक कैसे बनाए जाते हैं?

अब हम बहुत अच्छी तरह जानते हैं कि चर क्या होता है। हम चरों को दर्शाने के लिए अक्षर $x, y, l, m, \ldots$ आदि का प्रयोग करते हैं। एक चर विभिन्न मान ले सकता है। इसका मान निश्चित नहीं होता है। दूसरी ओर, एक नियतांक का मान निश्चित होता है। नियतांकों के उदाहरण हैं: 4, 100,-17 आदि।

हम चरों और नियतांकों को मिलाकर बीजीय व्यंजक बनाते हैं। इसके लिए हम जोड़, घटाव, गुणा और भाग की संक्रियाओं का प्रयोग करते हैं। हम पहले ही $4 x+5,10 y-20$ जैसे व्यंजकों से मिल चुके हैं। व्यंजक $4 x+5$ चर $x$ से इस प्रकार प्राप्त होता है: पहले $x$ को नियतांक 4 से गुणा किया जाता है और फिर गुणनफल में नियतांक 5 जोड़ा जाता है। इसी प्रकार, $10 y-20$ पहले $y$ को 10 से गुणा करके और फिर गुणनफल से 20 घटाकर प्राप्त किया जाता है।

उपरोक्त व्यंजक चरों को अचरों के साथ मिलाकर प्राप्त किए गए थे। हम चरों को स्वयं के साथ या अन्य चरों के साथ मिलाकर भी व्यंजक प्राप्त कर सकते हैं।

देखिए निम्नलिखित व्यंजक कैसे प्राप्त किए जाते हैं:

$ x^{2}, 2 y^{2}, 3 x^{2}-5, x y, 4 x y+7 $

(i) व्यंजक $x^{2}$ चर $x$ को स्वयं से गुणा करके प्राप्त किया जाता है;

$ x \times x=x^{2} $

जैसे $4 \times 4$ को $4^{2}$ लिखा जाता है, वैसे ही हम $x \times x=x^{2}$ लिखते हैं। इसे सामान्यतः $x$ वर्ग पढ़ा जाता है।

(बाद में, जब आप अध्याय ‘घातांक और घात’ पढ़ेंगे तो आप समझेंगे कि $x^{2}$ को $x$ घात 2 भी पढ़ा जा सकता है)।

इसी प्रकार, हम लिख सकते हैं $\quad x \times x \times x=x^{3}$

सामान्यतः, $x^{3}$ को ‘$x$ घन’ पढ़ा जाता है। बाद में, आप समझेंगे कि $x^{3}$ को $x$ घात 3 भी पढ़ा जा सकता है।

$x, x^{2}, x^{3}, \ldots$ सभी बीजीय व्यंजक हैं जो $x$ से प्राप्त किए गए हैं।

(ii) व्यंजक $2 y^{2}$ को $y$ से प्राप्त किया गया है: $2 y^{2}=2 \times y \times y$

यहाँ $y$ को $y$ से गुणा करके हमें $y^{2}$ प्राप्त होता है और फिर हम $y^{2}$ को अचर 2 से गुणा करते हैं।

(iii) $(3 x^{2}-5)$ में हम पहले $x^{2}$ प्राप्त करते हैं, और उसे 3 से गुणा करके $3 x^{2}$ प्राप्त करते हैं।

$3 x^{2}$ से, हम 5 घटाकर अंततः $3 x^{2}-5$ प्राप्त करते हैं।

(iv) $x y$ में, हम चर $x$ को दूसरे चर $y$ से गुणा करते हैं। इस प्रकार, $x \times y=x y$।

(v) $4 x y+7$ में, हम पहले $x y$ प्राप्त करते हैं, उसे 4 से गुणा करके $4 x y$ प्राप्त करते हैं और फिर $4 x y$ में 7 जोड़कर व्यंजक प्राप्त करते हैं।

इन्हें आजमाइए

वर्णन कीजिए कि निम्नलिखित व्यंजक कैसे प्राप्त किए जाते हैं:

$7 x y+5, x^{2} y, 4 x^{2}-5 x$

10.3 व्यंजक की पदावली

अब हम ऊपर सीखी बातों को एक व्यवस्थित रूप में प्रस्तुत करेंगे कि व्यंजक कैसे बनते हैं। इसके लिए हमें यह समझना होगा कि व्यंजक के पद और उनके गुणनखंड क्या होते हैं।

व्यंजक $(4 x+5)$ पर विचार कीजिए। इस व्यंजक को बनाने में हमने पहले $4 x$ को 4 और $x$ के गुणनफल के रूप में अलग से बनाया और फिर उसमें 5 जोड़ा। इसी प्रकार व्यंजक $(3 x^{2}+7 y)$ पर विचार कीजिए। यहाँ हमने पहले $3 x^{2}$ को 3, $x$ और $x$ के गुणनफल के रूप में अलग से बनाया। फिर हमने $7 y$ को 7 और $y$ के गुणनफल के रूप में अलग से बनाया। $3 x^{2}$ और $7 y$ को अलग-अलग बनाने के बाद हमने उन्हें जोड़कर व्यंजक प्राप्त किया।

आप पाएँगे कि जिन व्यंजकों से हम संबंधित हैं, उन्हें हमेशा इस प्रकार देखा जा सकता है। उनके भाग होते हैं जो पहले अलग-अलग बनते हैं और फिर जोड़े जाते हैं। व्यंजक के ऐसे भाग जो पहले अलग-अलग बनते हैं और फिर जोड़े जाते हैं, पद कहलाते हैं। व्यंजक $(4 x^{2}-3 x y)$ को देखिए। हम कहते हैं कि इसमें दो पद हैं, $4 x^{2}$ और $-3 x y$। पद $4 x^{2}$ गुणनफल है 4, $x$ और $x$ का, और पद $(-3xy)$ गुणनफल है $(-3)$, $x$ और $y$ का।

पदों को जोड़कर व्यंजक बनते हैं। जैसे पद $4 x$ और 5 को जोड़कर व्यंजक $(4 x+5)$ बनता है, वैसे ही पद $4 x^{2}$ और $(-3 x y)$ को जोड़कर व्यंजक $(4 x^{2}-3 x y)$ प्राप्त होता है। ऐसा इसलिए क्योंकि $4 x^{2}+(-3 x y)=4 x^{2}-3 x y$।

ध्यान दें, ऋण चिह्न (-) पद में सम्मिलित होता है। व्यंजक $4 x^{2}-3 x y$ में हमने पद को $(-3 x y)$ लिया और न कि (3xy)। इसीलिए हमें यह नहीं कहना पड़ता कि व्यंजक बनाने के लिए पदों को ‘जोड़ा या घटाया’ जाता है; केवल ‘जोड़ा’ ही कहना पर्याप्त है।

पद के गुणनखंड

हमने ऊपर देखा कि व्यंजक $(4 x^{2}-3 x y)$ में दो पद $4 x^{2}$ और $-3 x y$ होते हैं। पद $4 x^{2}$ गुणनफल है 4, $x$ और $x$ का; हम कहते हैं कि 4, $x$ और $x$ पद $4 x^{2}$ के गुणनखंड हैं। एक पद अपने गुणनखंडों का गुणनफल होता है। पद $-3 x y$ गुणनफल है गुणनखंडों $-3, x$ और $y$ का।

हम किसी व्यंजक के पदों और उनके गुणनखंडों को सुविधाजनक और सुंदर तरीके से वृक्ष आरेख द्वारा दर्शा सकते हैं। व्यंजक $(4 x^{2}-3 x y)$ के लिए वृक्ष आरेख निकटवर्ती चित्र में दिखाया गया है।

ध्यान दें, वृक्ष आरेख में हमने गुणनखंडों के लिए बिंदीदार रेखाएँ और पदों के लिए सतत रेखाएँ प्रयोग की हैं। इससे इनका आपस में मिश्रण नहीं होता।

आइए व्यंजक $5 x y+10$ के लिए वृक्ष आरेख बनाएँ।

गुणनखंड ऐसे होते हैं कि उन्हें आगे और नहीं गुणनखंडित किया जा सकता। इसलिए हम $5 x y$ को $5 \times x y$ नहीं लिखते, क्योंकि $x y$ को आगे गुणनखंडित किया जा सकता है। इसी तरह, यदि $x^{3}$ एक पद होता, तो उसे $x \times x \times x$ लिखा जाता, न कि $x^{2} \times x$। साथ ही, याद रखें कि 1 को अलग गुणनखंड नहीं माना जाता।

इन्हें आजमाएँ

1. निम्नलिखित व्यंजकों में पद कौन-से हैं?

दिखाइए कि पद कैसे बने हैं। प्रत्येक व्यंजक के लिए एक वृक्ष आरेख बनाइए:

$8 y+3 x^{2}, 7 m n-4,2 x^{2} y$.

2. ऐसे तीन व्यंजक लिखिए जिनमें प्रत्येक में 4 पद हों।

गुणांक

हमने सीखा है कि किसी पद को गुणनखंडों के गुणफल के रूप में कैसे लिखा जाता है। इन गुणनखंडों में से एक संख्यात्मक हो सकता है और बाकी बीजगणितीय (अर्थात् उनमें चर होते हैं)। संख्यात्मक गुणनखंड को संख्यात्मक गुणांक या सरलतः पद का गुणांक कहा जाता है। यह शेष पद (जो स्पष्टतः पद के बीजगणितीय गुणनखंडों का गुणफल है) का भी गुणांक कहलाता है। इस प्रकार $5 x y$ में, 5 पद का गुणांक है। यह $x y$ का भी गुणांक है। पद $10 x y z$ में, 10, $x y z$ का गुणांक है; पद $-7 x^{2} y^{2}$ में, $-7$, $x^{2} y^{2}$ का गुणांक है।

जब किसी पद का गुणांक +1 होता है, तो उसे प्रायः छोड़ दिया जाता है। उदाहरण के लिए, $1 x$ को $x$ लिखा जाता है; $1 x^{2} y^{2}$ को $x^{2} y^{2}$ लिखा जाता है, आदि। इसी प्रकार, गुणांक ( -1 ) को केवल ऋण चिह्न से दर्शाया जाता है। इस प्रकार $(-1) x$ को $-x$ लिखा जाता है; $(-1) x^{2} y^{2}$ को $-x^{2} y^{2}$ लिखा जाता है, आदि।

इन्हें आजमाएँ

निम्नलिखित व्यंजकों के पदों के गुणांक पहचानिए:

$4 x-3 y, a+b+5,2 y+5,2 x y$

कभी-कभी ‘गुणांक’ शब्द का प्रयोग अधिक सामान्य तरीके से किया जाता है। इस प्रकार हम कहते हैं कि पद $5 x y$ में, 5 गुणांक है $x y$ का, $x$ गुणांक है $5 y$ का और $y$ गुणांक है $5 x$ का। $10 x y^{2}$ में, 10 गुणांक है $x y^{2}$ का, $x$ गुणांक है $10 y^{2}$ का और $y^{2}$ गुणांक है $10 x$ का। इस प्रकार, इस अधिक सामान्य तरीके से, एक गुणांक या तो एक संख्यात्मक गुणनखंड हो सकता है या एक बीजीय गुणनखंड या दो या अधिक गुणनखंडों का गुणनफल। इसे शेष गुणनखंडों के गुणनफल का गुणांक कहा जाता है।

उदाहरण 1 निम्नलिखित व्यंजकों में वे पद पहचानिए जो स्थिरांक नहीं हैं। उनके संख्यात्मक गुणांक दीजिए:

$ x y+4,13-y^{2}, 13-y+5 y^{2}, 4 p^{2} q-3 p q^{2}+5 $

हल

उदाहरण 2

(a) निम्नलिखित व्यंजकों में $x$ के गुणांक क्या हैं?

$ 4 x-3 y, 8-x+y, y^{2} x-y, 2 z-5 x z $

(b) निम्नलिखित व्यंजकों में $y$ के गुणांक क्या हैं?

$ 4 x-3 y, 8+y z, y z^{2}+5, m y+m $

हल

(a) प्रत्येक व्यंजक में हम (x) को गुणनखंड के रूप में रखने वाले पद की तलाश करते हैं। उस पद का शेष भाग (x) का गुणांक होता है।

(b) विधि ऊपर (a) के समान है।

10.4 समान और असमान पद

जब पदों के बीजगणितीय गुणनखंड समान होते हैं, तो वे समान पद कहलाते हैं। जब पदों के बीजगणितीय गुणनखंड भिन्न होते हैं, तो वे असमान पद कहलाते हैं। उदाहरण के लिए, व्यंजक (2 x y-3 x+5 x y-4) में पदों (2 x y) और (5 x y) को देखिए। (2 x y) के गुणनखंड 2, (x) और (y) हैं। (5 x y) के गुणनखंड 5, (x) और (y) हैं। इस प्रकार उनके बीजगणितीय (अर्थात् चर युक्त) गुणनखंड समान हैं और

इन्हें आज़माइए

निम्नलिखित में से समान पदों को एक साथ समूहित कीजिए:

$12 x, 12,-25 x,-25,-25 y, 1, x, 12 y, y$ इसलिए वे समपद हैं। दूसरी ओर पद $2 x y$ और $-3 x$ के भिन्न बीजगणितीय गुणनखंड हैं। वे असमपद हैं। इसी प्रकार, पद $2 x y$ और 4 असमपद हैं। साथ ही, पद $-3 x$ और 4 असमपद हैं।

10.5 एकपदी, द्विपदी, त्रिपदी और बहुपद

एक ऐसा व्यंजक जिसमें केवल एक पद हो एकपदी कहलाता है; उदाहरण के लिए, $7 x y,-5 m$, $3 z^{2}, 4$ आदि।

इन्हें आज़माएँ

निम्नलिखित व्यंजकों को एकपदी, द्विपदी या त्रिपदी के रूप में वर्गीकृत करें: $a$, $a+b, a b+a+b, a b+a$ $+b-5, x y, x y+5$, $5 x^{2}-x+2,4 p q-3 q+5 p$, $7,4 m-7 n+10,4 m n+7$।

एक ऐसा व्यंजक जिसमें दो असमान पद हों द्विपदी कहलाता है; उदाहरण के लिए, $x+y, m-5, m n+4 m, a^{2}-b^{2}$ द्विपद हैं। व्यंजक $10 p q$ द्विपदी नहीं है; यह एकपदी है। व्यंजक $(a+b+5)$ द्विपदी नहीं है। इसमें तीन पद हैं।

एक ऐसा व्यंजक जिसमें तीन पद हों त्रिपदी कहलाता है; उदाहरण के लिए, व्यंजक $x+y+7, a b+a+b$, $3 x^{2}-5 x+2, m+n+10$ त्रिपद हैं। व्यंजक $a b+a+b+5$ त्रिपदी नहीं है; इसमें चार पद हैं, तीन नहीं। व्यंजक $x+y+5 x$ त्रिपदी नहीं है क्योंकि पद $x$ और $5 x$ समपद हैं।

सामान्यतः, एक ऐसा व्यंजक जिसमें एक या अधिक पद हों बहुपद कहलाता है। इस प्रकार एक एकपदी, एक द्विपदी और एक त्रिपदी सभी बहुपद हैं।

उदाहरण 3 कारण सहित बताइए कि निम्नलिखित पदों के युग्म समपद हैं या असमपद:

(i) $7 x, 12 y$

(ii) $15 x,-21 x$

(iii) $-4 a b, 7 b a$

(iv) $3 x y, 3 x$

(v) $6 x y^{2}, 9 x^{2} y$

(vi) $p q^{2},-4 p q^{2}$

(vii) $m n^{2}, 10 m n$

हल

निम्नलिखित सरम कदम आपको यह तय करने में मदद करेंगे कि दिए गए पद समान हैं या असमान पद:

(i) संख्यात्मक गुणांकों को नज़रअंदाज़ करें। पदों के बीजगणितीय भाग पर ध्यान दें।

(ii) पदों में चरों की जाँच करें। उन्हें समान होना चाहिए।

(iii) अगर, पदों में प्रत्येक चर की घातों की जाँच करें। उन्हें समान होना चाहिए।

ध्यान दें कि समान पद तय करते समय दो बातें मायने नहीं रखतीं (1) पदों के संख्यात्मक गुणांक और (2) पदों में चरों को गुणा करने का क्रम।

प्रश्नावली 10.1

1. निम्नलिखित स्थितियों में चर, अचर और अंकगणितीय संक्रियाओं का प्रयोग कर बीजगणितीय व्यंजक बनाएँ।

(i) $z$ को $y$ में से घटाना।

(ii) संख्याओं $x$ और $y$ के योग का आधा।

(iii) संख्या $z$ को स्वयं से गुणा करना।

(iv) संख्याओं $p$ और $q$ के गुणनफल का एक-चौथाई।

(v) संख्याओं $x$ और $y$ दोनों का वर्ग करना और जोड़ना।

(vi) संख्या 5 को संख्याओं $m$ और $n$ के गुणनफल के तीन गुने में जोड़ना।

(vii) संख्याओं $y$ और $z$ के गुणनफल को 10 में से घटाना।

(viii) संख्याओं $a$ और $b$ के योग को उनके गुणनफल में से घटाना।

2. (i) निम्नलिखित व्यंजकों में पदों और उनके गुणनखंडों की पहचान करें। पदों और गुणनखंडों को वृक्ष आरेखों द्वारा दिखाएँ।

(a) $x-3$

(b) $1+x+x^{2}$

(c) $y-y^{3}$

(d) $5 x y^{2}+7 x^{2} y$

(e) $-a b+2 b^{2}-3 a^{2}$

(ii) नीचे दिए गए व्यंजकों में पदों और गुणनखंडों की पहचान करें:

(a) $-4 x+5$

(b) $-4 x+5 y$

(c) $5 y+3 y^{2}$

(d) $x y+2 x^{2} y^{2}$

(e) $p q+q$

(f) $1.2 a b-2.4 b+3.6 a$

(g) $\frac{3}{4} x+\frac{1}{4}$

(h) $0.1 p^{2}+0.2 q^{2}$

3. निम्नलिखित व्यंजकों में पदों (अचरों को छोड़कर) के संख्यात्मक गुणांक पहचानिए:

(i) $5-3 t^{2}$

(ii) $1+t+t^{2}+t^{3}$

(iii) $x+2 x y+3 y$

(iv) $100 m+1000 n$

(v) $-p^{2} q^{2}+7 p q$

(vi) $1.2 a+0.8 b$

(vii) $3.14 r^{2}$

(viii) $2(l+b)$

(ix) $0.1 y+0.01 y^{2}$

4. (a) उन पदों को पहचानिए जिनमें $x$ है और $x$ का गुणांक दीजिए।

(i) $y^{2} x+y$

(ii) $13 y^{2}-8 y x$

(iii) $x+y+2$

(iv) $5+z+z x$

(v) $1+x+x y$

(vi) $12 x y^{2}+25$

(vii) $7 x+x y^{2}$

(b) उन पदों को पहचानिए जिनमें $y^{2}$ है और $y^{2}$ का गुणांक दीजिए।

(i) $8-x y^{2}$

(ii) $5 y^{2}+7 x$

(iii) $2 x^{2} y-15 x y^{2}+7 y^{2}$

5. इनको एकपदी, द्विपदी और त्रिपदी में वर्गीकृत कीजिए।

(i) $4 y-7 z$

(ii) $y^{2}$

(iii) $x+y-x y$

(iv) 100

(v) $a b-a-b$

(vi) $5-3 t$

(vii) $4 p^{2} q-4 p q^{2}$

(viii) $7 m n$

(ix) $z^{2}-3 z+8$

(x) $a^{2}+b^{2}$

(xi) $z^{2}+z$

(xii) $1+x+x^{2}$

6. बताइए कि दिया गया पद युग्म समान पदों का है या असमान पदों का।

(i) 1,100

(ii) $-7 x, \frac{5}{2} x$

(iii) $-29 x,-29 y$

(iv) $14 x y, 42 y x$

(v) $4 m^{2} p, 4 m p^{2}$

(vi) $12 x z, 12 x^{2} z^{2}$

7. निम्नलिखित में समान पदों को पहचानिए:

(a) $-x y^{2},-4 y x^{2}, 8 x^{2}, 2 x y^{2}, 7 y,-11 x^{2},-100 x,-11 y x, 20 x^{2} y$, $-6 x^{2}, y, 2 x y, 3 x$

(b) $10 p q, 7 p, 8 q,-p^{2} q^{2},-7 q p,-100 q,-23,12 q^{2} p^{2},-5 p^{2}, 41,2405 p, 78 q p$, $13 p^{2} q, q p^{2}, 701 p^{2}$

10.6 व्यंजक का मान ज्ञात करना

हम जानते हैं कि एक बीजीय व्यंजक का मान उन चरों के मानों पर निर्भर करता है जो उस व्यंजक को बनाते हैं। ऐसी कई स्थितियाँ हैं जब हमें किसी व्यंजक का मान ज्ञात करने की आवश्यकता होती है, जैसे कि जब हम यह जांचना चाहते हैं कि किसी चर का विशेष मान दिए गए समीकरण को संतुष्ट करता है या नहीं।

हम व्यंजकों के मान तब भी ज्ञात करते हैं जब हम ज्यामिति और दैनिक गणित के सूत्रों का उपयोग करते हैं। उदाहरण के लिए, एक वर्ग का क्षेत्रफल $l^{2}$ होता है, जहाँ $l$ वर्ग की भुजा की लंबाई है। यदि $l=5 cm$ है, तो क्षेत्रफल $5^{2} cm^{2}$ या $25 cm^{2}$ होता है; यदि भुजा $10 cm$ है, तो क्षेत्रफल $10^{2} cm^{2}$ या $100 cm^{2}$ होता है और इसी तरह। हम अगले खंड में ऐसे और उदाहरण देखेंगे।

उदाहरण 4 निम्नलिखित व्यंजकों के मान ज्ञात कीजिए जब $x=2$ है।

(i) $x+4$

(ii) $4 x-3$

(iii) $19-5 x^{2}$

(iv) $100-10 x^{3}$

हल

$x=2$ रखने पर

(i) $x+4$ में, हमें $x+4$ का मान प्राप्त होता है, अर्थात्,

$x+4=2+4=6$

(ii) $4 x-3$ में, हमें प्राप्त होता है

$4 x-3=(4 \times 2)-3=8-3=5$

(iii) $19-5 x^{2}$ में, हमें प्राप्त होता है

$ 19-5 x^{2}=19-(5 \times 2^{2})=19-(5 \times 4)=19-20=-1 $

(iv) $100-10 x^{3}$ में, हमें प्राप्त होता है

$ \begin{aligned} & 100-10 x^{3}=100-(10 \times 2^{3})=100-(10 \times 8)(\text{ध्यान दें } 2^{3}=8) \\ & =100-80=20 \end{aligned} $

उदाहरण 5 निम्नलिखित व्यंजकों के मान ज्ञात कीजिए जब $n=-2$ है।

(i) $5 n-2$

(ii) $5 n^{2}+5 n-2$

(iii) $n^{3}+5 n^{2}+5 n-2$

हल

(i) $n=-2$ का मान रखने पर, $5 n-2$ में, हमें प्राप्त होता है,

$ 5(-2)-2=-10-2=-12 $

(ii) $5 n^{2}+5 n-2$ में, हमें प्राप्त होता है,

$n=-2$ के लिए, $5 n-2=-12$

और $5 n^{2}=5 \times(-2)^{2}=5 \times 4=20 \quad$ [क्योंकि $(-2)^{2}=4$]

मिलाकर,

$ 5 n^{2}+5 n-2=20-12=8 $

(iii) अब, $n=-2$ के लिए,

$ \begin{aligned} & 5 n^{2}+5 n-2=8 \text{ और } \ & n^{3}=(-2)^{3}=(-2) \times(-2) \times(-2)=-8 \end{aligned} $

मिलाकर,

$ n^{3}+5 n^{2}+5 n-2=-8+8=0 $

अब हम दो चरों के व्यंजकों पर विचार करेंगे, उदाहरण के लिए, $x+y, x y$। दो चरों के व्यंजक का संख्यात्मक मान निकालने के लिए हमें दोनों चरों के मान देने होंगे। उदाहरण के लिए, $(x+y)$ का मान, $x=3$ और $y=5$ के लिए, $3+5=8$ है।

उदाहरण 6 निम्न व्यंजकों का मान ज्ञात कीजिए जब $a=3, b=2$।

(i) $a+b$

(ii) $7 a-4 b$

(iii) $a^{2}+2 a b+b^{2}$

(iv) $a^{3}-b^{3}$

हल

$a=3$ और $b=2$ रखने पर

(i) $a+b$, हमें प्राप्त होता है

$a+b=3+2=5$

(ii) $7 a-4 b$, हमें प्राप्त होता है

$7 a-4 b=7 \times 3-4 \times 2=21-8=13$।

(iii) $a^{2}+2 a b+b^{2}$, हमें प्राप्त होता है

$a^{2}+2 a b+b^{2}=3^{2}+2 \times 3 \times 2+2^{2}=9+2 \times 6+4=9+12+4=25$

(iv) $a^{3}-b^{3}$, हमें प्राप्त होता है

$a^{3}-b^{3}=3^{3}-2^{3}=3 \times 3 \times 3-2 \times 2 \times 2=9 \times 3-4 \times 2=27-8=19$

प्रश्नावली 10.2

1. यदि $m=2$ हो, तो मान ज्ञात कीजिए:

(i) $m-2$

(ii) $3 m-5$

(iii) $9-5 m$

(iv) $3 m^{2}-2 m-7$

(v) $\frac{5 m}{2} 4$

2. यदि $p=-2$ हो, तो मान ज्ञात कीजिए:

(i) $4 p+7$

(ii) $-3 p^{2}+4 p+7$

(iii) $-2 p^{3}-3 p^{2}+4 p+7$

3. निम्न व्यंजकों का मान ज्ञात कीजिए, जब $x=-1$ :

(i) $2 x-7$

(ii) $-x+2$

(iii) $x^{2}+2 x+1$

(iv) $2 x^{2}-x-2$

4. यदि (a=2, b=-2) है, तो मान ज्ञात कीजिए:

(i) (a^{2}+b^{2})

(ii) (a^{2}+a b+b^{2})

(iii) (a^{2}-b^{2})

5. जब (a=0, b=-1) है, तो दिए गए व्यंजकों का मान ज्ञात कीजिए:

(i) (2 a+2 b)

(ii) (2 a^{2}+b^{2}+1)

(iii) (2 a^{2} b+2 a b^{2}+a b)

(iv) (a^{2}+a b+2)

6. व्यंजकों को सरल कीजिए और मान ज्ञात कीजिए यदि (x) का मान 2 है

(i) (x+7+4(x-5))

(ii) (3(x+2)+5 x-7)

(iii) (6 x+5(x-2))

(iv) (4(2 x-1)+3 x+11)

7. इन व्यंजकों को सरल कीजिए और उनके मान ज्ञात कीजिए यदि (x=3, a=-1, b=-2) है।

(i) (3 x-5-x+9)

(ii) (2-8 x+4 x+4)

(iii) (3 a+5-8 a+1)

(iv) (10-3 b-4-5 b)

(v) (2 a-2 b-4-5+a)

8. (i) यदि (z=10) है, तो (z^{3}-3(z-10)) का मान ज्ञात कीजिए।

(ii) यदि (p=-10) है, तो (p^{2}-2 p-100) का मान ज्ञात कीजिए

9. (a) का मान क्या होना चाहिए यदि (2 x^{2}+x-a) का मान 5 के बराबर है, जब
(x=0) ?

10. व्यंजक को सरल कीजिए और उसका मान ज्ञात कीजिए जब (a=5) और (b=-3) है।

( 2(a^{2}+a b)+3-a b )

हमने क्या चर्चा की है?

1. बीजीय व्यंजक चरों और अचरों से बनते हैं। हम चरों और अचरों पर जोड़, घटाव, गुणा और भाग की संक्रियाओं का प्रयोग कर व्यंजक बनाते हैं। उदाहरण के लिए, व्यंजक (4 x y+7) चरों (x) और (y) तथा अचरों 4 और 7 से बना है। अचर 4 और चरों (x) और (y) को गुणा करके गुणनफल (4 x y) प्राप्त किया जाता है और इस गुणनफल में अचर 7 को जोड़कर व्यंजक प्राप्त किया जाता है।

2. व्यंजक पदों से बने होते हैं। व्यंजक बनाने के लिए पदों को जोड़ा जाता है। उदाहरण के लिए, पदों $4xy$ और 7 को जोड़ने से व्यंजक $4xy + 7$ प्राप्त होता है।

3. एक पद गुणनखंडों का गुणनफल होता है। व्यंजक $4xy + 7$ में पद $4xy$ गुणनखंडों $x$, $y$ और 4 का गुणनफल है। चर युक्त गुणनखंडों को बीजीय गुणनखंड कहा जाता है।

4. गुणांक पद में संख्यात्मक गुणनखंड होता है। कभी-कभी पद के किसी एक गुणनखंड को पद के शेष भाग का गुणांक कहा जाता है।

5. एक या अधिक पदों वाले किसी भी व्यंजक को बहुपद कहा जाता है। विशेष रूप से, एक पद वाले व्यंजक को एकपदी; दो पदों वाले व्यंजक को द्विपदी; और तीन पदों वाले व्यंजक को त्रिपदी कहा जाता है।

6. जिन पदों के बीजीय गुणनखंड समान होते हैं, वे समान पद कहलाते हैं। जिन पदों के बीजीय गुणनखंड भिन्न होते हैं, वे असमान पद कहलाते हैं। इस प्रकार, पद $4xy$ और $-3xy$ समान पद हैं; लेकिन पद $4xy$ और $-3x$ समान पद नहीं हैं।

7. समीकरण हल करने और सूत्र का उपयोग करने जैसी स्थितियों में, हमें किसी व्यंजक का मान ज्ञात करना होता है। व्यंजक का मान उस चर के मान पर निर्भर करता है जिससे व्यंजक बनाया गया है। इस प्रकार, $x = 5$ के लिए व्यंजक $7x - 3$ का मान 32 है, क्योंकि $7(5) - 3 = 35 - 3 = 32$।