12.1 परिचय

सममिति एक महत्वपूर्ण ज्यामितीय अवधारणा है, जो प्रायः प्रकृति में प्रदर्शित होती है और लगभग हर गतिविधि के क्षेत्र में प्रयोग की जाती है। कलाकार, पेशेवर, वस्त्र या आभूषण के डिज़ाइनर, कार निर्माता, वास्तुकार और कई अन्य सममिति के विचार का उपयोग करते हैं। छत्ते, फूल, पत्तियाँ, धार्मिक प्रतीक, दरी और रूमाल—हर जगह आप सममित डिज़ाइन पाएँगे।

आपने पिछली कक्षा में रेखा सममिति की भावना पहले ही अनुभव की है।

एक आकृति में रेखा सममिति होती है, यदि कोई ऐसी रेखा हो जिसके बारे में आकृति को मोड़ा जाए तो आकृति के दो भाग एक-दूसरे से मेल खा जाएँ।

आप इन विचारों को याद करना चाहेंगे। यहाँ कुछ गतिविधियाँ दी गई हैं जो आपकी मदद करेंगी।

आपके द्वारा एकत्र किए गए डिज़ाइनों में सममिति की रेखाओं (जिन्हें अक्ष भी कहा जाता है) की पहचान करने का आनंद लें।

आइए अब सममिति के विचारों को और मज़बूत करें। नीचे दी गई आकृतियों का अध्ययन करें, जिनमें सममिति की रेखाएँ बिंदित रेखाओं से चिह्नित की गई हैं। [आकृति 12.1 (i) से (iv)]

12.2 नियमित बहुभुजों के लिए सममिति की रेखाएँ

आप जानते हैं कि बहुभुज एक बंद आकृति होती है जो कई रेखाखंडों से बनी होती है। सबसे कम रेखाखंडों से बना बहुभुज त्रिभुज होता है। (क्या कोई ऐसा बहुभुज हो सकता है जिसे आप और भी कम रेखाखंडों से बना सकें? इस पर विचार कीजिए)।

एक बहुभुज को नियमित कहा जाता है यदि इसकी सभी भुजाएँ समान लंबाई की हों और इसके सभी कोण समान माप के हों। इस प्रकार, एक समबाहु त्रिभुज तीन भुजाओं वाला एक नियमित बहुभुज होता है। क्या आप चार भुजाओं वाले नियमित बहुभुज का नाम बता सकते हैं?

एक समबाहु त्रिभुज नियमित होता है क्योंकि इसकी प्रत्येक भुजा की लंबाई समान होती है और इसके प्रत्येक कोण की माप $60^{\circ}$ होती है (चित्र 12.2)।

चित्र 12.2

एक वर्ग भी नियमित होता है क्योंकि इसकी सभी भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं और इसके प्रत्येक कोण समकोण (अर्थात् $90^{\circ}$) होता है। इसके विकर्ण एक-दूसरे के लंबवत् समद्विभाजक होते हैं (चित्र 12.3)।

आकृति 12.3

यदि एक पंचभुज नियमित है, तो स्वाभाविक रूप से इसकी भुजाओं की लंबाई बराबर होनी चाहिए। आप बाद में सीखेंगे कि इसके प्रत्येक कोण का माप $108^{\circ}$ है (आकृति 12.4)।

आकृति 12.4

आकृति 12.5

एक नियमित षट्भुज की सभी भुजाएं बराबर होती हैं और इसके प्रत्येक कोण का माप $120^{\circ}$ होता है। आप इन आकृतियों के बारे में और अधिक बाद में सीखेंगे (आकृति 12.5)।

नियमित बहुभुज सममित आकृतियाँ होती हैं और इसलिए उनकी सममिति रेखाएँ काफी रोचक होती हैं।

प्रत्येक नियमित बहुभुज के पास सममिति रेखाएँ उतनी ही होती हैं जितनी इसकी भुजाएँ होती हैं [आकृति 12.6 (i) - (iv)]। हम कहते हैं, उनमें बहु-रेखीय सममिति होती है।

शायद, आप इसे कागज़ को मोड़कर जाँचना चाहें। आगे बढ़िए!

रेखीय सममिति की अवधारणा दर्पण परावर्तन से निकटता से जुड़ी है। कोई आकृति तब रेखीय सममिति रखती है जब उसका एक आधा भाग दूसरे आधे का दर्पण प्रतिबिंब हो (चित्र 12.7)। इस प्रकार एक दर्पण रेखा, सममिति की रेखा को कल्पना करने में मदद करती है (चित्र 12.8)।

आकृति वही है, पर उल्टी दिशा में!

इस पंचिंग खेल को खेलिए!

मोड़ सममिति की रेखा (या अक्ष) है। मुड़े हुए कागज़ पर विभिन्न स्थानों पर पंच करने और संगत सममिति रेखाओं का अध्ययन करें (चित्र 12.10)।

प्रश्नावली 12.1

1. छिद्रित छेदों वाली आकृतियों की प्रतिलिपि बनाइए और निम्नलिखित के लिए सममिति अक्ष ज्ञात कीजिए:

2. दी गई रेखा(ओं) को सममिति रेखा मानकर, अन्य छिद्र(ओं) को खोजिए:

3. निम्नलिखित आकृतियों में, दर्पण रेखा (अर्थात् सममिति रेखा) बिंदित रेखा के रूप में दी गई है। प्रत्येक आकृति को बिंदित (दर्पण) रेखा में परावर्तन करके पूरा कीजिए। (शायद आप बिंदित रेखा के साथ एक दर्पण रखकर उसमें छवि देख सकते हैं)। क्या आप उस आकृति का नाम याद कर पा रहे हैं जिसे आपने पूरा किया है?

4. निम्नलिखित आकृतियों में एक से अधिक सममिति रेखाएँ हैं। ऐसी आकृतियों को बहु-सममिति रेखाओं वाली आकृतियाँ कहा जाता है।

निम्नलिखित प्रत्येक आकृति में, यदि हों, तो बहु-सममिति रेखाओं की पहचान कीजिए:

5. यहाँ दी गई आकृति को कॉपी करो।

किसी एक विकर्ण को सममिति रेखा मानकर कुछ और वर्गों को छायांकित करो ताकि आकृति विकर्ण के सापेक्ष सममित हो। क्या इसे करने के एक से अधिक तरीके हैं? क्या आकृति दोनों विकर्णों के सापेक्ष सममित होगी?

6. आरेख को कॉपी करो और प्रत्येक आकृति को दर्पण रेखा(रेखाओं) के सापेक्ष सममित बनाने के लिए पूरा करो:

7. निम्नलिखित आकृतियों के लिए सममिति रेखाओं की संख्या बताओ:

(a) एक समबाहु त्रिभुज

(b) एक समद्विबाहु त्रिभुज

(c) एक विषमबाहु त्रिभुज

(d) एक वर्ग

(e) एक आयत

(f) एक समचतुर्भुज

(g) एक समांतर चतुर्भुज

(h) एक चतुर्भुज

(i) एक नियमित षट्भुज

(j) एक वृत्त

8. अंग्रेज़ी वर्णमाला के किन अक्षरों में परावर्तन सममिति (अर्थात् दर्पण परावर्तन से सम्बन्धित सममिति) होती है

(a) एक ऊध्र्वाधर दर्पण के सम्बन्ध में

(b) एक क्षैतिज दर्पण के सम्बन्ध में

(c) क्षैतिज तथा ऊध्र्वाधर दोनों दर्पणों के सम्बन्ध में

9. ऐसी आकृतियों के तीन उदाहरण दीजिए जिनमें कोई सममिति रेखा न हो।

10. आप निम्न की सममिति रेखा को और क्या नाम दे सकते हैं?

(a) एक समद्विबाहु त्रिभुज की?

(b) एक वृत्त की?

12.3 घूर्णन सममिति

जब घड़ी की सुइयाँ चक्कर लगाती हैं तो आप क्या कहते हैं?

आप कहते हैं कि वे घूर्णन करती हैं। घड़ी की सुइयाँ केवल एक ही दिशा में, एक स्थिर बिन्दु—घड़ी के मुख्य के केन्द्र—के परितः घूर्णन करती हैं।

घड़ी की सुइयों की तरह घूर्णन को दक्षिणावर्त घूर्णन कहा जाता है; अन्यथा इसे वामावर्त घूर्णन कहा जाता है।

छत के पंखे की पंखुड़ियों के घूर्णन के बारे में आप क्या कह सकते हैं? क्या वे दक्षिणावर्त घूर्णन करती हैं या वामावर्त? या वे दोनों तरह से घूर्णन करती हैं?

यदि आप साइकिल का पहिया घुमाते हैं, तो वह घूर्णन करता है। यह दोनों तरह से घूर्णन कर सकता है: दक्षिणावर्त तथा वामावर्त दोनों। (i) दक्षिणावर्त घूर्णन तथा (ii) वामावर्त घूर्णन के लिए तीन-तीन उदाहरण दीजिए।

जब कोई वस्तु घूमती है, तो उसका आकार और आकार नहीं बदलता। घूर्णन एक वस्तु को एक निश्चित बिंदु के चारों ओर घुमाता है। यह निश्चित बिंदु घूर्णन का केंद्र होता है। घड़ी की सुइयों का घूर्णन केंद्र क्या है? इसके बारे में सोचें।

चित्र 12.11

घूर्णन के दौरान मोड़ने का कोण घूर्णन कोण कहलाता है। एक पूरा चक्कर, आप जानते हैं, का मतलब है $360^{\circ}$ का घूर्णन। (i) आधे चक्कर के लिए घूर्णन कोण की डिग्री माप क्या है? (ii) एक चौथाई चक्कर के लिए?

आधा चक्कर का मतलब है $180^{\circ}$ तक घूर्णन; एक चौथाई चक्कर $90^{\circ}$ का घूर्णन है।

जब 12 बजे होते हैं, तो घड़ी की सुइयाँ एक साथ होती हैं। 3 बजे तक, मिनट की सुई तीन पूरे चक्कर लगा चुकी होगी; लेकिन घंटे की सुई ने केवल एक चौथाई चक्कर लगाया होगा। 6 बजे उनकी स्थितियों के बारे में आप क्या कह सकते हैं?

क्या आपने कभी कागज का पंखा बनाया है? चित्र में कागज का पंखा सममित दिखता है (चित्र 12.11); लेकिन आपको कोई सममित रेखा नहीं मिलती। कोई भी मोड़ आपकी मदद नहीं कर सकता ताकि मेल खाते हुए आधे हिस्से मिल सकें। हालाँकि यदि आप इसे निश्चित बिंदु के चारों ओर $90^{\circ}$ घुमाते हैं, तो पंखा बिल्कुल वैसा ही दिखेगा। हम कहते हैं कि पंखे में घूर्णन सममिति है।

आकृति 12.12

एक पूर्ण चक्कर में, ठीक चार स्थितियाँ होती हैं (क्रमशः $90^{\circ}$, $180^{\circ}$, $270^{\circ}$ और $360^{\circ}$ के कोणों पर घूर्णन करने पर) जब पवनचक्की बिल्कुल वैसी ही दिखती है। इस कारण, हम कहते हैं कि इसकी घूर्णन सममिति का क्रम 4 है।

यहाँ घूर्णन सममिति का एक और उदाहरण है।

एक वर्ग पर विचार करें जिसका एक कोना $P$ है (आकृति 12.13)।

आइए वर्ग के केंद्र, जिसे $\mathbf{x}$ से चिह्नित किया गया है, के परितः चौथाई-चक्कर लगाएँ।

आकृति 12.13 (i) प्रारंभिक स्थिति है। केंद्र के परितः $90^{\circ}$ घूर्णन से आकृति 12.13 (ii) प्राप्त होती है। अब $P$ की स्थिति पर ध्यान दें। फिर से $90^{\circ}$ घूर्णन करने पर आपको आकृति 12.13 (iii) मिलती है। इस प्रकार, जब आप चार चौथाई-चक्कर पूरे करते हैं, वर्ग अपनी प्रारंभिक स्थिति पर लौट आता है। यह अब आकृति 12.13 (i) के समान दिखता है। यह $P$ द्वारा ग्रहण की गई स्थितियों की सहायता से देखा जा सकता है।

इस प्रकार एक वर्ग का अपने केंद्र के परितः घूर्णन सममिति का क्रम $\mathbf{4}$ होता है। ध्यान दें कि इस स्थिति में,

(i) घूर्णन का केंद्र वर्ग का केंद्र होता है।

(ii) घूर्णन का कोण $90^{\circ}$ है।

(iii) घूर्णन की दिशा घड़ी की सुई की दिशा में है।

(iv) घूर्णन सममिति की कोटि 4 है।

इन्हें आज़माइए

1. (a) क्या आप अब बता सकते हैं कि समबाहु त्रिभुज की घूर्णन सममिति की कोटि क्या है? (चित्र 12.14)

(b) जब त्रिभुज को उसके केंद्र के चारों ओर $120^{\circ}$ घुमाया जाता है, तो ऐसी कितनी स्थितियाँ हैं जिनमें त्रिभुज बिल्कुल वैसा ही दिखता है?

2. निम्नलिखित में से कौन-सी आकृतियाँ (चित्र 12.15) चिह्नित बिंदु के परितः घूर्णन सममिति रखती हैं?

इसे कीजिए

कागज़ पर एक समान समानांतर चतुर्भुज ABCD और पारदर्शी शीट पर दूसरा समान समानांतर चतुर्भुज A’ B’ C’ D’ खींचिए। उनके विकर्णों के प्रतिच्छेद बिंदुओं को क्रमशः $O$ और $O^{\prime}$ से चिह्नित कीजिए (चित्र 12.16)। $O$ पर।

समानांतर चतुर्भुजों को इस प्रकार रखिए कि $A^{\prime}$, A पर आ जाए, $B^{\prime}$, B पर आ जाए और इसी प्रकार आगे। तब $O^{\prime}$ गिरता है

चित्र 12.16

आकृतियों में बिंदु $O$ पर एक पिन गाड़ें।

अब पारदर्शी आकृति को घड़ी की सुई की दिशा में घुमाएँ।

एक पूर्ण चक्कर में आकृतियाँ कितनी बार मेल खाती हैं?

घूर्णन सममिति का क्रम क्या है?

जहाँ हमने पिन लगाया है, वह बिंदु घूर्णन का केंद्र है। यह इस स्थिति में विकर्णों का प्रतिच्छेदी बिंदु है।

प्रत्येक वस्तु की घूर्णन सममिति का क्रम 1 होता है, क्योंकि यह $360^{\circ}$ के घूर्णन (अर्थात् एक पूर्ण परिक्रमा) के बाद भी वही स्थान घेरती है। ऐसे मामलों में हमारी कोई रुचि नहीं है।

आपके आस-पास कई ऐसी आकृतियाँ हैं जिनमें घूर्णन सममिति होती है (चित्र 12.17)।

उदाहरण के लिए, जब आप कुछ फलों को काटते हैं, तो उनके अनुप्रस्थ-चित्त घूर्णन सममिति वाली आकृतियाँ होती हैं। जब आप इन्हें देखेंगे तो आपको आश्चर्य हो सकता है [चित्र 12.17(i)]।

इसके अलावा कई सड़क-चिन्ह भी घूर्णन सममिति दिखाते हैं। अगली बार जब आप किसी व्यस्त सड़क पर चलें, तो ऐसे सड़क-चिन्हों को पहचानने की कोशिश करें और घूर्णन सममिति के क्रम का पता लगाएँ [चित्र 12.17(ii)]।

घूर्णन सममिति के कुछ और उदाहरण सोचिए। प्रत्येक स्थिति में चर्चा कीजिए:

(i) घूर्णन का केंद्र (ii) घूर्णन का कोण

(iii) जिस दिशा में घूर्णन किया जाता है और

(iv) घूर्णन सममिति का क्रम।

TRY THESE

दिए गए आकृतियों में बिंदु $\times$ (चित्र 12.17) के परितः घूर्णन सममिति की कोटि बताइए।

प्रश्नावली 12.2

1. निम्नलिखित में से कौन-सी आकृतियाँ 1 से अधिक कोटि की घूर्णन सममिति रखती हैं:

2. प्रत्येक आकृति के लिए घूर्णन सममिति की कोटि बताइए:

12.4 रेखा सममिति और घूर्णन सममिति

आपने अब तक अनेक आकृतियों और उनकी सममितियों को देखा है। अब तक आप समझ गए होंगे कि कुछ आकृतियों में केवल रेखा सममिति होती है, कुछ में केवल घूर्णन सममिति होती है और कुछ में रेखा सममिति और घूर्णन सममिति दोनों होती हैं।

उदाहरण के लिए, वर्गाकार आकृति (चित्र 12.19) पर विचार कीजिए।

इसमें कितनी सममिति रेखाएँ हैं?

क्या इसमें कोई घूर्णन सममिति है?

यदि ‘हाँ’, तो घूर्णन सममिति की कोटि क्या है?

इसके बारे में सोचिए।

आकृति 12.19

वृत्त सबसे पूर्ण सममितीय आकृति है, क्योंकि इसे अपने केंद्र के चारों ओर किसी भी कोण से घुमाया जा सकता है और साथ ही इसके असीमित संख्या में सममितीय रेखाएँ होती हैं। कोई भी वृत्तीय पैटर्न देखिए। केंद्र से गुजरने वाली प्रत्येक रेखा (अर्थात प्रत्येक व्यास) एक (प्रतिबिंब) सममितीय रेखा बनाती है और इसे केंद्र के चारों ओर प्रत्येक कोण के लिए घूर्णन सममिति प्राप्त है।

इसे करो

अंग्रेज़ी वर्णमाला के कुछ अक्षरों में आकर्षक सममितीय संरचनाएँ होती हैं। कौन-से बड़े अक्षरों में केवल एक सममितीय रेखा होती है (जैसे $\mathbf{E}$)? कौन-से बड़े अक्षरों में घूर्णन सममिति क्रम 2 होता है (जैसे I)?

इसी प्रकार की सोचने का प्रयास करने पर, आप निम्नलिखित सारणी को भर सकेंगे:

अभ्यास 12.3

1. दो ऐसी आकृतियों के नाम बताइए जिनमें रेखा सममिति और घूर्णन सममिति दोनों हों।

2. जहाँ संभव हो, एक अस्पष्ट रेखाचित्र बनाइए

(i) एक त्रिभुज जिसमें रेखा और घूर्णन दोनों सममितियाँ 1 से अधिक क्रम की हों।

(ii) एक त्रिभुज जिसमें केवल रेखा सममिति हो और 1 से अधिक क्रम की कोई घूर्णन सममिति न हो।

(iii) एक चतुर्भुज जिसमें 1 से अधिक क्रम की घूर्णन सममिति हो पर रेखा सममिति न हो।

(iv) एक चतुर्भुज जिसमें रेखा सममिति हो पर 1 से अधिक क्रम की घूर्णन सममिति न हो।

3. यदि किसी आकृति में दो या अधिक रेखा सममितियाँ हों, तो क्या उसमें 1 से अधिक क्रम की घूर्णन सममिति होनी चाहिए?

4. रिक्त स्थान भरिए:

5. उन चतुर्भुजों के नाम बताइए जिनमें रेखा और 1 से अधिक क्रम की घूर्णन सममिति दोनों हों।

6. किसी केंद्र के परितः $60^{\circ}$ घुमाने के बाद एक आकृति अपनी मूल स्थिति के ठीक समान प्रतीत होती है। इस आकृति के लिए यह और किन कोणों पर होगा?

7. क्या हमारे पास 1 से अधिक क्रम की घूर्णन सममिति हो सकती है जिसका घूर्णन कोण

(i) $45^{\circ}$ है?

(ii) $17^{\circ}$ है?

हमने क्या चर्चा की है?

1. एक आकृति में रेखा सममिति होती है, यदि कोई ऐसी रेखा हो जिसके परितः आकृति को मोड़ने पर आकृति के दो भाग एक-दूसरे के ठीक ऊपर आ जाएँ।

2. नियमित बहुभुजों की भुजाएँ और कोण बराबर होते हैं। उनमें एक से अधिक रेखा सममितियाँ होती हैं।

3. प्रत्येक नियमित बहुभुज में उतनी ही रेखा सममितियाँ होती हैं जितनी उसकी भुजाएँ होती हैं।

4. दर्पण परावर्तन सममिति की ओर ले जाता है, जिसके अंतर्गत बाएँ-दाएँ अभिविन्यास का ध्यान रखना पड़ता है।

5. घूर्णन किसी वस्तु को एक स्थिर बिंदु के परितः घुमाता है।

यह स्थिर बिंदु घूर्णन का केंद्र होता है।

जिस कोण से वस्तु घूमती है वह घूर्णन कोण होता है।

आधा-चक्र का अर्थ है $180^{\circ}$ से घूर्णन; एक-चौथाई चक्र का अर्थ है $90^{\circ}$ से घूर्णन। घूर्णन दक्षिणावर्त या वामावर्त हो सकता है।

6. यदि किसी घूर्णन के बाद कोई वस्तु ठीक वैसी ही प्रतीत होती है, तो हम कहते हैं कि उसमें घूर्णन सममिति है।

7. एक पूर्ण चक्कर ($360^{\circ}$) में, जितनी बार कोई वस्तु बिल्कुल वैसी ही दिखती है, उसे घूर्णन सममिति की कोटि कहा जाता है। उदाहरण के लिए, एक वर्ग की सममिति की कोटि 4 है, जबकि एक समबाहु त्रिभुज की यह कोटि 3 है।

8. कुछ आकृतियों में केवल एक सममिति रेखा होती है, जैसे अक्षर E; कुछ में केवल घूर्णन सममिति होती है, जैसे अक्षर $S$; और कुछ में दोनों प्रकार की सममितियाँ होती हैं, जैसे अक्षर H।

सममिति का अध्ययन महत्वपूर्ण है क्योंकि इसका दिन-प्रतिदिन के जीवन में बार-बार उपयोग होता है और इससे भी अधिक इसलिए कि यह हमें सुंदर डिज़ाइन प्रदान कर सकती है।