13.1 परिचय: समतल आकृतियाँ और ठोस आकृतियाँ

इस अध्याय में, आप उन आकृतियों को वर्गीकृत करेंगे जिन्हें आपने देखा है, उस आधार पर जिसे विमान कहा जाता है।

हम अपने दैनिक जीवन में कई वस्तुएँ जैसे किताबें, गेंदें, आइसक्रीम कोन आदि देखते हैं जिनकी आकृतियाँ भिन्न-भिन्न होती हैं। इन वस्तुओं में एक बात समान होती है कि इन सभी में कुछ लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई या गहराई होती है।

अर्थात्, ये सभी स्थान घेरती हैं और तीन विमाओं वाली होती हैं।

इसलिए, इन्हें त्रिविमीय आकृतियाँ कहा जाता है।

क्या आपको पिछली कक्षाओं में देखी गई कुछ त्रिविमीय आकृतियाँ (अर्थात् ठोस आकृतियाँ) याद हैं?

इन्हें आज़माएँ

प्रत्येक के समान आकार की कुछ वस्तुओं की पहचान करने का प्रयास करें।

इसी प्रकार के तर्क से, हम कह सकते हैं कि कागज़ पर खींची गई आकृतियाँ जिनमें केवल लंबाई और चौड़ाई होती हैं, उन्हें द्विविमीय (अर्थात् समतल) आकृतियाँ कहा जाता है। हमने पिछली कक्षाओं में कुछ द्विविमीय आकृतियाँ भी देखी हैं।

2-आयामी आकृतियों को नामों से मिलान करें (चित्र 13.2):

नोट: हम 2-डाइमेंशन के लिए संक्षेप में 2-D और 3-डाइमेंशन के लिए संक्षेप में 3-D लिख सकते हैं।

13.2 फलक, किनारे और शीर्ष

क्या आपको घन आकृतियों के फलक, शिराएँ और कोण याद हैं, जिन्हें आपने पहले पढ़ा था? यहाँ आप उन्हें घन के लिए देखते हैं:

घन के 8 कोने उसकी शिराएँ हैं। 12 रेखाखंड जो घन के ढाँचे को बनाते हैं, वे उसकी कोण हैं। 6 समतल वर्गाकार सतहें जो घन की बाहरी त्वचा हैं, वे उसके फलक हैं।

इसे करें

निम्नलिखित सारणी को पूरा करें:

क्या आप देख सकते हैं कि द्वि-आयामी आकृतियाँ त्रि-आयामी आकृतियों के फलक के रूप में पहचाने जा सकते हैं? उदाहरण के लिए एक बेलन के दो फलक हैं जो वृत्त हैं, और एक पिरामिड, जो इस तरह का है, के फलक त्रिभुज हैं।

अब हम यह देखने की कोशिश करेंगे कि इनमें से कुछ 3-D आकृतियों को 2-D सतह पर, अर्थात् कागज़ पर, कैसे देखा जा सकता है।

इसके लिए हम त्रि-आयामी वस्तुओं से निकटता से परिचित होना चाहेंगे। आइए इन वस्तुओं को बनाने की कोशिश करें जिन्हें जाल कहा जाता है।

13.3 3-D आकृतियाँ बनाने के लिए जाल

एक कार्डबोर्ड का डिब्बा लीजिए। किनारों को काटकर डिब्बे को चपटा कर दीजिए। अब आपके पास उस डिब्बे का जाल (net) है। एक जाल 2-D में एक प्रकार का कंकाल-रूपरेखा होता है [Fig13.4 (i)], जिसे मोड़ने पर [Fig13.4 (ii)], एक 3-D आकृति प्राप्त होती है [Fig13.4 (iii)]।

यहाँ आपने उपयुक्त रूप से किनारों को अलग करके एक जाल प्राप्त किया। क्या इसकी विपरीत प्रक्रिया संभव है?

यहाँ एक डिब्बे के लिए जाल पैटर्न है (Fig 13.5)। जाल का एक बड़ा संस्करण नक़ल करें और उपयुक्त रूप से मोड़कर और चिपकाकर डिब्बा बनाने की कोशिश करें। (आप उपयुक्त इकाइयाँ उपयोग कर सकते हैं)। डिब्बा एक ठोस है। यह एक घनाभाकार आकृति वाला 3-D वस्तु है।

इसी प्रकार, आप एक शंकु के लिए उसकी तिर्यक सतह के साथ एक चीरा लगाकर जाल प्राप्त कर सकते हैं (Fig 13.6)।

विभिन्न आकृतियों के लिए आपको विभिन्न जाल मिलते हैं। दिए गए जालों (Fig 13.7) के बड़े संस्करणों की नक़ल करें और संकेतित 3-D आकृतियाँ बनाने की कोशिश करें। (आप पेपर क्लिप से कार्डबोर्ड की पट्टियाँ जोड़कर कंकाल मॉडल भी बनाना चाहेंगे)।

हम गीज़ा (मिस्र) के महान पिरामिड जैसा एक पिरामिड बनाने के लिए जाल भी बना सकते हैं (चित्र 13.8)। उस पिरामिड का आधार वर्गाकार है और चारों ओर त्रिभुज हैं।

देखें कि क्या आप दिए गए जाल (चित्र 13.9) से इसे बना सकते हैं।

इन्हें आज़माएँ

यहाँ आपको चार जाल मिलते हैं (चित्र 13.10)। इनमें से दो सही जाल हैं जिनसे एक चतुष्फलक (टेट्राहेड्रॉन) बनाया जा सकता है। देखें कि क्या आप पता लगा सकते हैं कि कौन-से जाल चतुष्फलक बनाएँगे।

अभ्यास 13.1

1. उन जालों की पहचान करें जिनका उपयोग घन बनाने के लिए किया जा सकता है (जालों की प्रतियाँ काटकर आज़माएँ):

2. पासे ऐसे घन होते हैं जिनकी प्रत्येक फलक पर बिंदु होते हैं। एक पासे के विपरीत फलकों पर हमेशा कुल सात बिंदु होते हैं।

यहाँ पासे (घन) बनाने के लिए दो जाले दिए गए हैं; प्रत्येक वर्ग में डाली गई संख्या उस बॉक्स में बिंदुओं की संख्या दर्शाती है।

रिक्त स्थानों में उपयुक्त संख्याएँ डालें, याद रखें कि विपरीत फलकों पर संख्याओं का योग 7 होना चाहिए।

3. क्या यह एक पासे के लिए जाल हो सकता है?

अपने उत्तर की व्याख्या करें।

4. यहाँ एक घन बनाने के लिए एक अधूरा जाल दिया गया है। इसे कम से कम दो अलग-अलग तरीकों से पूरा करें। याद रखें कि एक घन के छह फलक होते हैं। यहाँ जाल में कितने फलक हैं? (दो अलग-अलग आरेख दें। यदि आप चाहें तो आसान हेरफेर के लिए आप चेक वाली शीट का उपयोग कर सकते हैं।)

5. उपयुक्त ठोसों के साथ जालों का मिलान करें:

यह खेल खेलें

आप और आपका मित्र पीठ-से-पीठ बैठें। आपमें से कोई एक 3-D आकृति बनाने के लिए एक जाला पढ़े, जबकि दूसरा उसका अनुकरण करने और वर्णित 3-D वस्तु को रेखाचित्रित या बनाने का प्रयास करे।

13.4 समतल सतह पर ठोसों का चित्रण

आपकी चित्र बनाने की सतह कागज है, जो समतल है। जब आप कोई ठोस आकृति बनाते हैं, तो छवियाँ कुछ विकृत होती हैं ताकि वे त्रि-आयामी प्रतीत हों। यह एक दृष्टि-भ्रम है। यहाँ आपको इसमें मदद करने वाली दो तकनीकें मिलेंगी।

13.4.1 तिर्यक रेखाचित्र

यहाँ एक घन की तस्वीर है (चित्र 13.11)। यह स्पष्ट विचार देती है कि घन सामने से देखने पर कैसा लगता है। आप कुछ फलक नहीं देखते हैं। बनाई गई तस्वीर में लंबाइयाँ समान नहीं हैं, जैसी घन में होनी चाहिए। फिर भी, आप इसे घन के रूप में पहचान पाते हैं। ठोस का ऐसा रेखाचित्र तिर्यक रेखाचित्र कहलाता है।

आप ऐसी रफ़ sketches कैसे बना सकते हैं? आइए इस तकनीक को सीखने का प्रयास करें।

आपको एक वर्गाकार (रेखाओं या बिंदुओं वाला) काग़ज़ चाहिए। शुरुआत में इन्हीं शीटों पर बनाना अभ्यास करना बाद में इन्हें सादे काग़ज़ पर (वर्गाकार रेखाओं या बिंदुओं की सहायता के बिना!) खींचना आसान बना देगा। आइए एक $3 \times 3 \times 3$ (प्रत्येक किनारा 3 इकाइयों का है) घन की तिरछी स्केच बनाने का प्रयास करें (आकृति 13.12)।

ऊपर दी गई तिरछी स्केच में, क्या आपने निम्नलिखित बातें नोट कीं?

(i) सामने वाले फलकों और उसके विपरीत फलकों के आकार समान हैं; और

(ii) जो किनारे घन में सभी बराबर होते हैं, वे स्केच में भी ऐसे ही प्रतीत होते हैं, यद्यपि किनारों की वास्तविक माप ऐसी नहीं ली जाती।

अब आप एक घनाभ (cuboid) की तिरछी स्केच बनाने का प्रयास कर सकते हैं (याद रखें इस स्थिति में फलके आयताकार होते हैं)

नोट: आप ऐसी स्केच बना सकते हैं जिनमें माप भी दी गई ठोस वस्तु के माप से मेल खाते हों। ऐसा करने के लिए हमें एक ऐसी शीट चाहिए जिसे सममितीय (isometric) शीट कहा जाता है। आइए प्रयास करें कि दी गई सममितीय शीट पर लंबाई $4 ~cm$, चौड़ाई $3 ~cm$ और ऊँचाई $3 ~cm$ वाला एक घनाभ बनाएँ।

13.4.2 सममितीय स्केच

क्या आपने कभी समद्विबाहु बिन्दु पत्र (isometric dot sheet) देखी है? (एक नमूना पुस्तक के अंत में दिया गया है)। ऐसी पत्रिका कागज़ को छोटे समबाहु त्रिभुजों में बाँटती है जो बिन्दुओं या रेखाओं से बने होते हैं। ऐसी स्केच बनाने के लिए जिनमें माप भी ठोस वस्तु के माप से मेल खाते हों, हम समद्विबाहु बिन्दु पत्र का उपयोग कर सकते हैं। [पिछले आवरण के अंदर (तीसरे आवरण पृष्ठ) पर दिया गया है।]

आइए एक 4 × 3 × 3 आयामों वाले घनाभ का समद्विबाहु स्केच बनाने का प्रयास करें (जिसका अर्थ है कि लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई बनाने वाले किनारे क्रमशः 4, 3, 3 इकाई हैं) (चित्र 13.13)।

ध्यान दें कि समद्विबाहु स्केच में माप वास्तविक आकार के होते हैं;

उदाहरण 1 यहाँ एक घनाभ का तिरछा स्केच दिया गया है [चित्र 13.14(i)]। इस चित्र से मेल खाता हुआ एक समद्विबाहु स्केच बनाइए।

हल

यहाँ हल दिया गया है [चित्र 13.14(ii)]। ध्यान दें कि मापों का कैसे ध्यान रखा गया है।

आपने कितनी इकाइयाँ ली हैं (i) ‘लंबाई’ में? (ii) ‘चौड़ाई’ में? (iii) ‘ऊँचाई’ में? क्या ये इकाइयाँ तिरछे स्केच में दी गई इकाइयों से मेल खाती हैं?

अभ्यास 13.2

1. सममित बिंदु कागज का प्रयोग करें और दी गई प्रत्येक आकृति के लिए एक सममित स्केच बनाएँ:

2. एक घनाभ की विमाएँ $5 ~cm, 3 ~cm$ और $2 ~cm$ हैं। इस घनाभ के तीन भिन्न सममित स्केच बनाएँ।

3. तीन घन, प्रत्येक $2 ~cm$ भुजा वाले, को एक के बाद एक रखकर एक घनाभ बनाया गया है। इस घनाभ का तिरछा या सममित स्केच बनाएँ।

4. दी गई प्रत्येक सममित आकृति के लिए एक तिरछा स्केच बनाएँ:

5. निम्नलिखित प्रत्येक के लिए (i) एक तिरछा स्केच और (ii) एक सममित स्केच दीजिए:

(a) विमाएँ $5 ~cm, 3 ~cm$ और $2 ~cm$ वाला एक घनाभ। (क्या आपका स्केच अद्वितीय है?)

(b) $4 ~cm$ भुजा वाला एक घन।

पुस्तक के अंत में एक सममित शीट संलग्न है। आप उस पर अपने मित्र द्वारा निर्दिष्ट विमाओं वाले कुछ घन या घनाभ बनाने का प्रयास कर सकते हैं।

13.4.3 ठोस वस्तुओं की कल्पना

यह कीजिए

कभी-कभी जब आप संयुक्त आकृतियों को देखते हैं, तो उनमें से कुछ आपकी दृष्टि से छिपी हो सकती हैं।

यहाँ कुछ गतिविधियाँ दी गई हैं जो आप अपने खाली समय में आज़मा सकते हैं ताकि आप कुछ ठोस वस्तुओं और उनके दिखने के तरीके की कल्पना कर सकें। कुछ घन लें और उन्हें चित्र 13.16 में दिखाए अनुसार व्यवस्थित करें।

अब अपने मित्र से पूछें कि तीर चिह्न द्वारा दिखाए गए दृष्टिकोण से देखने पर कितने घन हैं।

इन्हें आज़माएँ

निम्न व्यवस्थाओं (चित्र 13.17) में घनों की संख्या का अनुमान लगाने का प्रयास करें।

ऐसी कल्पना बहुत उपयोगी होती है। मान लीजिए आप ऐसे घनों को जोड़कर एक घनाभ बनाते हैं। आप अनुमान लगा पाएँगे कि घनाभ की लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई कितनी होगी।

उदाहरण 2 यदि $2 ~cm$ से $2 ~cm$ से $2 ~cm$ आयाम वाले दो घनों को एक के बाद एक रखा जाए, तो परिणामी घनाभ के आयाम क्या होंगे?

हल

जैसा कि आप देख सकते हैं (आकृति 13.18) जब उन्हें बगल में रखा जाता है, तो केवल लंबाई ही माप में बढ़ती है, वह $2+2=4 ~cm$ हो जाती है।

चौड़ाई $=2 ~cm$ और ऊँचाई $=2 ~cm$ है।

इन्हें आज़माइए

आकृति 13.19

1. दो पासे इस प्रकार बगल में रखे गए हैं: क्या आप बता सकते हैं कि सामने वाले फलक के विपरीत फलक पर कुल कितना होगा

(a) $5+6$

(b) $4+3$

(याद रखें कि एक पासे पर विपरीत फलकों पर संख्याओं का योग 7 होता है)

2. तीन घन जिनकी भुजा $2 ~cm$ है, को बगल में रखकर एक घनाभ बनाया गया है। कोशिश करें कि एक तिरछा रेखाचित्र बनाएँ और बताएँ कि इसकी लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्या हो सकती है।

13.5 ठोस के विभिन्न अनुप्रस्थ काटों को देखना

अब आइए देखें कि कोई वस्तु जो 3-D में है, को विभिन्न तरीकों से कैसे देखा जा सकता है।

13.5.1 किसी वस्तु को देखने का एक तरीका काटना या टुकड़े करना है टुकड़े करने का खेल

यहाँ एक ब्रेड की लोफ है (आकृति 13.20)। यह एक घनाभ की तरह है जिसका एक फलक वर्गाकार है। आप इसे चाकू से ‘काटते’ हैं।

आकृति 13.20

जब आ एक ‘ऊध्र्वाधर’ काट देते हैं, तो आपको कई टुकड़े मिलते हैं, जैसा कि आकृति 13.20 में दिखाया गया है। प्रत्येक टुकड़े का एक-एक फलक वर्गाकार होता है! हम इस फलक को पूरे ब्रेड का ‘क्रॉस-सेक्शन’ कहते हैं। इस स्थिति में क्रॉस-सेक्शन लगभग एक वर्ग है।

सावधान! यदि आपकी काट ‘ऊध्र्वाधर’ नहीं है, तो आपको एक भिन्न क्रॉस-सेक्शन मिल सकता है! इस पर सोचिए। आप जो क्रॉस-सेक्शन प्राप्त करते हैं, उसकी सीमा एक समतल वक्र होती है। क्या आपने इसे नोटिस किया?

एक रसोई-खेल

क्या आपने कुछ सब्जियों के क्रॉस-सेक्शन देखे हैं जब उन्हें रसोई में पकाने के लिए काटा जाता है? विभिन्न स्लाइसों को देखिए और उन आकृतियों से परिचित हो जाइए जो क्रॉस-सेक्शन के रूप में प्राप्त होती हैं।

इसे खेलिए

निम्न ठोसों की मिट्टी (या प्लास्टिसिन) के मॉडल बनाइए और उन पर ऊध्र्वाधर या क्षैतिज काट लगाइए।

आपको जो क्रॉस-सेक्शन मिलते हैं, उनकी अस्पष्ट रफ स्केच बनाइए। जहाँ तक संभव हो उनका नाम लिखिए।

आकृति 13.21

प्रश्नावली 13.3

1. निम्न ठोसों पर

(i) ऊध्र्वाधर काट $\qquad$ (ii) क्षैतिज काट

लगाने पर आपको कौन-से क्रॉस-सेक्शन मिलते हैं?

(a) एक ईंट $\qquad$ (b) एक गोल सेब $\qquad$ (c) एक पासा

(d) एक गोल पाइप $\qquad$ (e) एक आइसक्रीम कोन

13.5.2 एक और तरीका है छाया-क्रीड़ा से

एक छाया-क्रीड़ा

छायाएँ यह दिखाने का एक अच्छा तरीका हैं कि त्रिविमीय वस्तुओं को द्विविमीय रूप में कैसे देखा जा सकता है। क्या आपने कभी छाया-क्रीड़ा देखी है? यह मनोरंजन का एक रूप है जिसमें प्रकाशित पृष्ठभूमि के सामने ठोस, संधियुक्त आकृतियों का उपयोग कर चलती हुई

आकृति 13.22 छवियों का भ्रम पैदा किया जाता है। इसमें गणित की अवधारणाओं की परोक्ष रूप से कुछ मदद ली जाती है।

इस गतिविधि के लिए आपको प्रकाश का एक स्रोत और कुछ ठोस आकृतियों की आवश्यकता होगी। (यदि आपके पास ओवरहेड प्रोजेक्टर है, तो ठोस आकृति को लैंप के नीचे रखें और ये प्रयोग करें।)

एक टॉर्च को सीधे एक शंकु के सामने रखें। यह स्क्रीन पर किस प्रकार की

आकृति 13.23 छाया बनाता है? (आकृति 13.23)

ठोस आकृति त्रिविमीय है; छाया की विमाएँ कितनी हैं?

यदि आप शंकु के स्थान पर उपरोक्त खेल में एक घन रखें, तो आपको किस प्रकार की छाया प्राप्त होगी?

प्रकाश के स्रोत की विभिन्न स्थितियों और ठोस वस्तु की विभिन्न स्थितियों के साथ प्रयोग करें। आपको जो छायाएँ मिलती हैं, उनके आकार और आकारों पर उनके प्रभावों का अध्ययन करें।

यहाँ एक और मजेदार प्रयोग है जो आपने पहले ही कर लिया होगा: दोपहर के समय जब सूरज ठीक ऊपर हो तब एक गोल थाली को खुले में इस प्रकार रखें जैसा कि चित्र 13.24 (i) में दिखाया गया है। आपको क्या छाया प्राप्त होती है?

(i)

क्या यह समान रहेगा

सूरज की स्थिति और प्रेक्षण के समय के संबंध में छायाओं का अध्ययन करें।

अभ्यास 13.4

1. निम्नलिखित ठोस वस्तुओं के ठीक ऊपर एक बल्ब जलाया जाता है। प्रत्येक स्थिति में प्राप्त छाया का आकार बताएँ। छाया का एक मोटा-मोटा रेखाचित्र बनाने का प्रयास करें। (आप पहले प्रयोग करके फिर इन प्रश्नों के उत्तर दे सकते हैं)।

2. यहाँ कुछ 3-D वस्तुओं की छायाएँ दी गई हैं, जब उन्हें ओवरहेड प्रोजेक्टर की लैंप के नीचे देखा जाता है। प्रत्येक छाया से मेल खाने वाली ठोस वस्तु(ओं) की पहचान करें। (इनके लिए एक से अधिक उत्तर हो सकते हैं!)

3. जाँच कीजिए कि निम्न कथन सत्य हैं या नहीं:

(i) घन आयताकार आकृति की छाया डाल सकता है।

(ii) घन षट्भुजीय आकृति की छाया डाल सकता है।

13.5.3 एक तीसरा तरीका यह है कि इसे कुछ कोणों से देखा जाए ताकि भिन्न-भिन्न दृश्य मिल सकें

कोई वस्तु को उसके सामने खड़े होकर, या उसके किनारे से या ऊपर से देख सकता है। हर बार उसे एक भिन्न दृश्य मिलेगा (चित्र 13.25)।

यहाँ एक उदाहरण दिया गया है कि किसी दी गई इमारत के भिन्न-भिन्न दृश्य कैसे मिलते हैं। (चित्र 13.26)

आप यह घनों को जोड़कर बनाए गए आकृतियों के लिए कर सकते हैं।

कोशिश करें कि घनों को एक साथ रखें और फिर विभिन्न पक्षों से ऐसी रूपरेखाएँ बनाएँ।

इन्हें आज़माइए

1. प्रत्येक ठोस के लिए तीन दृश्य (1), (2), (3) दिए गए हैं। प्रत्येक ठोस के लिए संगत ऊपरी, सामने और पक्ष दृश्य पहचानिए।

2. तीर द्वारा दिखाए गई दिशा से देखने पर प्रत्येक ठोस का दृश्य बनाइए।

हमने क्या चर्चा की?

1. वृत्त, वर्ग, आयत, चतुर्भुज और त्रिभुज समतल आकृतियों के उदाहरण हैं; घन, घनाभ, गोला, बेलन, शंकु और पिरामिड ठोस आकृतियों के उदाहरण हैं।

2. समतल आकृतियाँ दो-आयामी (2-D) होती हैं और ठोस आकृतियाँ तीन-आयामी (3-D) होती हैं।

3. ठोस आकृति के कोनों को शीर्ष कहा जाता है; उसके कंकाल की रेखाखंड उसकी किनारियाँ होती हैं; और उसके समतल सतह उसके फलक होते हैं।

4. एक जाला (net) किसी ठोस आकृति का अस्थि-रूप रेखाचित्र होता है जिसे मोड़कर उस ठोस को बनाया जा सकता है। एक ही ठोस के कई प्रकार के जाले हो सकते हैं।

5. ठोस आकृतियों को समतल सतह (जैसे कागज़) पर यथार्थ रूप से खींचा जा सकता है। हम इसे 3-D ठोस का 2-D प्रतिनिधित्व कहते हैं।

6. किसी ठोस की दो प्रकार की रूपरेखाएँ संभव हैं:

(a) एक तिरछी रूपरेखा (oblique sketch) में लंबाईयाँ अनुपातिक नहीं होतीं। फिर भी यह ठोस के स्वरूप के सभी महत्वपूर्ण पहलुओं को दर्शाती है।

(b) एक सममितीय रूपरेखा (isometric sketch) सममितीय बिंदु काग़ज़ पर खींची जाती है, जिसका एक नमूना इस पुस्तक के अंत में दिया गया है। सममितीय रूपरेखा में ठोस की मापें अनुपातिक रखी जाती हैं।

7. ठोस आकृतियों की कल्पना करना एक अत्यंत उपयोगी कौशल है। आपको ठोस आकृति के ‘छिपे हुए’ भागों को देखने में सक्षम होना चाहिए।

8. किसी ठोस के विभिन्न अनुप्रस्थ काट कई तरह से देखे जा सकते हैं:

(a) एक तरीका है आकृति को काटकर या टुकड़ों में विभाजित करके देखना, जिससे ठोस का अनुप्रस्थ-काट प्राप्त होता है।

(b) दूसरा तरीका है 3-D आकृति की 2-D छाया को देखना।

(c) तीसरा तरीका है आकृति को विभिन्न कोणों से देखना; सामने से दृश्य, पार्श्व दृश्य और ऊपर से दृश्य देखे गए आकार के बारे में बहुत सी जानकारी दे सकते हैं।