2.1 भिन्नों का गुणा

आप जानते हैं कि आयत का क्षेत्रफल कैसे निकाला जाता है। यह लंबाई $\times$ चौड़ाई के बराबर होता है। यदि किसी आयत की लंबाई और चौड़ाई क्रमशः $7 cm$ और $4 cm$ है, तो इसका क्षेत्रफल क्या होगा? इसका क्षेत्रफल $7 \times 4=28 cm^{2}$ होगा।

यदि आयत की लंबाई और चौड़ाई क्रमशः $7 \frac{1}{2} cm$ और $3 \frac{1}{2} cm$ हों, तो इसका क्षेत्रफल क्या होगा? आप कहेंगे कि यह $7 \frac{1}{2} \times 3 \frac{1}{2}=\frac{15}{2} \times \frac{7}{2} cm^{2}$ होगा। संख्याएँ $\frac{15}{2}$

और $\frac{7}{2}$ भिन्न हैं। दिए गए आयत का क्षेत्रफल निकालने के लिए हमें यह जानना होगा कि भिन्नों का गुणा कैसे किया जाता है। हम अभी यह सीखेंगे।

2.1.1 भिन्न का पूर्ण संख्या से गुणा

आकृति 2.1

बाईं ओर की तस्वीरों को देखें (आकृति 2.1)। प्रत्येक छायांकित भाग एक वृत्त का $\frac{1}{4}$ भाग है। दो छायांकित भाग मिलकर कितना भाग दर्शाएँगे? वे $\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=2 \times \frac{1}{4}$ दर्शाएँगे।

दोनों छायांकित भागों को मिलाने पर हमें आकृति 2.2 प्राप्त होती है। आकृति 2.2 में छायांकित भाग वृत्त का कितना भाग दर्शाता है? यह वृत्त का $\frac{2}{4}$ भाग दर्शाता है।

आकृति 2.2

आकृति 2.1 में दिखाए गए छायांकित भागों को एक साथ लेने पर ये आकृति 2.2 के छायांकित भाग के समान होते हैं, अर्थात् हमें आकृति 2.3 प्राप्त होती है।

आकृति 2.3

या: $ 2 \times \frac{1}{4}=\frac{2}{4} . $

क्या अब आप बता सकते हैं यह चित्र क्या दर्शाएगा? (आकृति 2.4)

आकृति 2.4

और यह? (आकृति 2.5)

आकृति 2.5

अब हम $3 \times \frac{1}{2}$ निकालते हैं।

हमारे पास

$3 \times \frac{1}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$

हमारे पास यह भी है

$ \frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{1+1+1}{2}=\frac{3 \times 1}{2}=\frac{3}{2} $

इसलिए: $ 3 \times \frac{1}{2}=\frac{3 \times 1}{2}=\frac{3}{2} $

इसी प्रकार: $ \frac{2}{3} \times 5=\frac{2 \times 5}{3}=? $

क्या आप बता सकते हैं

$ 3 \times \frac{2}{7}=? \quad 4 \times \frac{3}{5}=? $

भिन्न जिन पर हमने अब तक विचार किया है, अर्थात् $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{2}{7}$ और $\frac{3}{5}$ सभी उचित भिन्न थीं।

अनुचित भिन्नों के लिए भी हमारे पास है,

कोशिश करें,

$ \begin{aligned} & 2 \times \frac{5}{3}=\frac{2 \times 5}{3}=\frac{10}{3} \\ & 3 \times \frac{8}{7}=? 4 \times \frac{7}{5}=? \end{aligned} $

इस प्रकार, एक पूर्ण संख्या को किसी उचित या अनुचित भिन्न से गुणा करने के लिए हम पूर्ण संख्या को भिन्न के अंश से गुणा करते हैं, हर को समान रखते हुए।

इन्हें आज़माइए

1. ज्ञात कीजिए: (a) $\frac{2}{7} \times 3$

(b) $\frac{9}{7} \times 6$

(c) $3 \times \frac{1}{8}$

(d) $\frac{13}{11} \times 6$

यदि गुणनफल एक अनुचित भिन्न है तो उसे मिश्रित भिन्न के रूप में व्यक्त कीजिए।

2. चित्र द्वारा दर्शाइए: $2 \times \frac{2}{5}=\frac{4}{5}$

इन्हें आज़माइए

ज्ञात कीजिए: (i) $5 \times 2 \frac{3}{7}$

(ii) $1 \frac{4}{9} \times 6$

एक मिश्रित भिन्न को पूर्ण संख्या से गुणा करने के लिए पहले मिश्रित भिन्न को अनुचित भिन्न में बदलें और फिर गुणा करें।

इसलिए, $\quad 3 \times 2 \frac{5}{7}=3 \times \frac{19}{7}=\frac{57}{7}=8 \frac{1}{7}$।

इसी प्रकार, $\quad 2 \times 4 \frac{2}{5}=2 \times \frac{22}{5}=$ ?

संक्रिया के रूप में भिन्न ‘का’

इन आकृतियों को देखें (चित्र 2.6)

दोनों वर्ग एकदम समान हैं।

प्रत्येक छायांकित भाग 1 का $\frac{1}{2}$ दर्शाता है।

इसलिए, दोनों छायांकित भाग मिलकर 2 का $\frac{1}{2}$ दर्शाएँगे।

2 छायांकित $\frac{1}{2}$ भागों को मिलाएँ। यह 1 को दर्शाता है।

इसलिए, हम कहते हैं 2 का $\frac{1}{2}$ है 1। हम इसे $\frac{1}{2} \times 2=1$ भी प्राप्त कर सकते हैं।

इस प्रकार, 2 का $\frac{1}{2}= \frac{1}{2} \times 2=1$

चित्र 2.6

इन समान वर्गों को भी देखें (चित्र 2.7)।

प्रत्येक छायांकित भाग 1 का $\frac{1}{2}$ दर्शाता है।

इसलिए, तीन छायांकित भाग 3 का $\frac{1}{2}$ दर्शाते हैं।

3 छायांकित भागों को मिलाएँ।

यह $1 \frac{1}{2}$ अर्थात् $\frac{3}{2}$ को दर्शाता है।

इसलिए, 3 का $\frac{1}{2}$ है $\frac{3}{2}$। साथ ही, $\frac{1}{2} \times 3=\frac{3}{2}$।

चित्र 2.7

इस प्रकार, 3 का $\frac{1}{2}= \frac{1}{2} \times 3=\frac{3}{2}$।

इसलिए हम देखते हैं कि ‘का’ गुणा को दर्शाता है।

फरिदा के पास 20 कंचे हैं। रेशमा के पास फरिदा के कंचों की संख्या का $\frac{1}{5}$ भाग है। रेशमा के पास कितने कंचे हैं? चूँकि ‘of’ गुणा को दर्शाता है, इसलिए रेशमा के पास $\frac{1}{5} \times 20=4$ कंचे हैं।

इसी प्रकार, हमारे पास 16 का $\frac{1}{2}$ है, जो $\frac{1}{2} \times 16=\frac{16}{2}=8$ है।

इन्हें आज़माइए

क्या आप बता सकते हैं कि (i) 10 का $\frac{1}{2}$ क्या है? (ii) 16 का $\frac{1}{4}$ क्या है? (iii) 25 का $\frac{2}{5}$ क्या है?

उदाहरण 1 40 विद्यार्थियों की एक कक्षा में कुल विद्यार्थियों की संख्या का $\frac{1}{5}$ भाग अंग्रेज़ी पढ़ना पसंद करता है, कुल विद्यार्थियों की संख्या का $\frac{2}{5}$ भाग गणित पढ़ना पसंद करता है और शेष विद्यार्थी विज्ञान पढ़ना पसंद करते हैं।

(i) कितने विद्यार्थी अंग्रेज़ी पढ़ना पसंद करते हैं?

(ii) कितने विद्यार्थी गणित पढ़ना पसंद करते हैं?

(iii) कुल विद्यार्थियों की संख्या का कौन-सा भाग विज्ञान पढ़ना पसंद करता है?

हल

कक्षा में कुल विद्यार्थियों की संख्या $=40$ है।

(i) इनमें से कुल विद्यार्थियों की संख्या का $\frac{1}{5}$ भाग अंग्रेज़ी पढ़ना पसंद करता है।

इस प्रकार, जो विद्यार्थी अंग्रेज़ी पढ़ना पसंद करते हैं, उनकी संख्या $=40$ का $\frac{1}{5}=\frac{1}{5} \times 40=8$ है।

(ii) स्वयं प्रयास करें।

(iii) जो विद्यार्थी अंग्रेज़ी और गणित पसंद करते हैं, उनकी संख्या $=8+16=24$ है। इस प्रकार, जो विद्यार्थी विज्ञान पसंद करते हैं, उनकी संख्या $=40-24=16$ है।

इस प्रकार, अभीष्ट भिन्न $\frac{16}{40}$ है।

अभ्यास 2.1

1. चित्रों (a) से (d) में से कौन-सा चित्र दर्शाता है:

(i) $2 \times \frac{1}{5}$

(ii) $2 \times \frac{1}{2}$

(iii) $3 \times \frac{2}{3}$

(iv) $3 \times \frac{1}{4}$

(a)

(b)

(c)

(d)

2. नीचे कुछ चित्र (a) से (c) दिए गए हैं। बताएं कि इनमें से कौन-से चित्र दर्शाते हैं:

(i) $3 \times \frac{1}{5}=\frac{3}{5}$

(ii) $2 \times \frac{1}{3}=\frac{2}{3}$

(iii) $3 \times \frac{3}{4}=2 \frac{1}{4}$

(a)

(b)

(c)

3. गुणा करें और न्यूनतम रूप में लिखें और मिश्रित भिन्न में बदलें:

(i) $7 \times \frac{3}{5}$

(ii) $4 \times \frac{1}{3}$

(iii) $2 \times \frac{6}{7}$

(iv) $5 \times \frac{2}{9}$

(v) $\frac{2}{3} \times 4$

(vi) $\frac{5}{2} \times 6$

(vii) $11 \times \frac{4}{7}$

(viii) $20 \times \frac{4}{5}$

(ix) $13 \times \frac{1}{3}$

(x) $15 \times \frac{3}{5}$

4. छायांकित करें: (i) बॉक्स (a) में वृत्तों का $\frac{1}{2}$ (ii) बॉक्स (b) में त्रिभुजों का $\frac{2}{3}$

(iii) बॉक्स (c) में वर्गों का $\frac{3}{5}$.

(a)

(b)

(c)

5. ज्ञात कीजिए:

(a) $\frac{1}{2}$ का
(i) 24 (ii) 46

(b) $\frac{2}{3}$ का
(i) 18
(ii) 27

(c) $\frac{3}{4}$ का
(i) 16
(ii) 36

(d) $\frac{4}{5}$ का
(i) 20
(ii) 35

6. गुणा कीजिए और मिश्रित भिन्न के रूप में व्यक्त कीजिए:

(a) $3 \times 5 \frac{1}{5}$

(b) $5 \times 6 \frac{3}{4}$

(c) $7 \times 2 \frac{1}{4}$

(d) $4 \times 6 \frac{1}{3}$

(e) $3 \frac{1}{4} \times 6$

(f) $3 \frac{2}{5} \times 8$

7. ज्ञात कीजिए:
(a) $\frac{1}{2}$ का
(i) $2 \frac{3}{4}$
(ii) $4 \frac{2}{9}$

(b) $\frac{5}{8}$ का
(i) $3 \frac{5}{6}$
(ii) $9 \frac{2}{3}$

8. विद्या और प्रताप पिकनिक पर गए। उनकी माँ ने उन्हें एक पानी की बोतल दी जिसमें 5 लीटर पानी था। विद्या ने पानी का $\frac{2}{5}$ भाग पिया। प्रताप ने शेष पानी पिया।

(i) विद्या ने कितना पानी पिया?

(ii) कुल पानी का कितना भाग प्रताप ने पिया?

2.1.2 भिन्न का भिन्न से गुणा

फरिदा के पास रिबन की 9 सेमी लंबी एक पट्टी थी। उसने इस पट्टी को चार बराबर भागों में काटा। उसने ऐसा कैसे किया? उसने पट्टी को दो बार मोड़ा। कुल लंबाई का प्रत्येक भाग कौन-सा अंश दर्शाएगा?

प्रत्येक भाग पट्टी का $\frac{9}{4}$ होगा। उसने एक भाग लिया और उसे एक बार मोड़कर दो बराबर भागों में बाँटा। उसमें से एक टुकड़ा कौन-सा अंश दर्शाएगा? वह $\frac{9}{4}$ का $\frac{1}{2}$ या $\frac{1}{2} \times \frac{9}{4}$ दर्शाएगा।

आइए अब देखें कि $\frac{1}{2} \times \frac{9}{4}$ जैसे दो भिन्नों का गुणा कैसे करते हैं।

चित्र 2.8

चित्र 2.9

इसके लिए हम पहले $\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}$ जैसे गुणनफल सीखते हैं।

(a) हम पूर्ण का $\frac{1}{3}$ कैसे निकालते हैं? हम पूर्ण को तीन बराबर भागों में बाँटते हैं। तीनों भागों में से प्रत्येक पूर्ण का $\frac{1}{3}$ दर्शाता है। इन तीन भागों में से एक भाग लीजिए और चित्र 2.8 के अनुसार उसे छायांकित कीजिए।

(b) आप इस छायांकित भाग का $\frac{1}{2}$ कैसे निकालेंगे? इस एक-तिहाई $(\frac{1}{3})$ छायांकित भाग को दो बराबर भागों में बाँटिए। इन दोनों भागों में से प्रत्येक $\frac{1}{3}$ का $\frac{1}{2}$ दर्शाता है, अर्थात् $\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}$ (चित्र 2.9)।

इन दो भागों में से 1 भाग निकालिए और उसे ‘A’ नाम दीजिए। ‘A’ $\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}$ दर्शाता है।

(c) ‘A’ पूरे का कौन-सा भाग है? इसके लिए, शेष बचे प्रत्येक $\frac{1}{3}$ भाग को भी दो बराबर भागों में बाँटिए। अब आपके पास ऐसे कितने बराबर भाग हैं?

ऐसे छह बराबर भाग हैं। ‘A’ इन भागों में से एक है।

अतः, ’ $A$ ’ पूरे का $\frac{1}{6}$ है। इस प्रकार, $\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}=\frac{1}{6}$।

हमने यह कैसे तय किया कि ’ $A$ ’ पूरे का $\frac{1}{6}$ था? पूरे को $6=2 \times 3$ भागों में बाँटा गया और उसमें से $1=1 \times 1$ भाग निकाला गया।

इस प्रकार,

$ \begin{aligned} & \frac{1}{2} \times \frac{1}{3}=\frac{1}{6}=\frac{1 \times 1}{2 \times 3} \ & \frac{1}{2} \times \frac{1}{3}=\frac{1 \times 1}{2 \times 3} \end{aligned} $

$\frac{1}{3} \times \frac{1}{2}$ का मान इसी प्रकार निकाला जा सकता है। पूरे को दो बराबर भागों में बाँटिए और फिर इनमें से एक भाग को तीन बराबर भागों में बाँटिए। इनमें से एक भाग लीजिए। यह $\frac{1}{3} \times \frac{1}{2}$ अर्थात् $\frac{1}{6}$ दर्शाएगा।

अतः: $ \frac{1}{3} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{6}=\frac{1 \times 1}{3 \times 2} \text{ जैसा पहले चर्चा किया गया है। } $

इसलिए: $ \frac{1}{2} \times \frac{1}{3}=\frac{1}{3} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{6} $

$\frac{1}{3} \times \frac{1}{4}$ और $\frac{1}{4} \times \frac{1}{3}$ ज्ञात कीजिए; $\frac{1}{2} \times \frac{1}{5}$ और $\frac{1}{5} \times \frac{1}{2}$ ज्ञात कीजिए और जाँच कीजिए कि क्या आपको

$ \frac{1}{3} \times \frac{1}{4}=\frac{1}{4} \times \frac{1}{3} ; \frac{1}{2} \times \frac{1}{5}=\frac{1}{5} \times \frac{1}{2} $

मिलता है।

इन्हें आज़माइए

इन बॉक्सों को भरिए: (i) $\frac{1}{2} \times \frac{1}{7}=\frac{1 \times 1}{2 \times 7}=\square \qquad$ (ii) $\frac{1}{5} \times \frac{1}{7}=\square=\square$

(iii) $\frac{1}{7} \times \frac{1}{2}=\square=\square \qquad$ (iv) $\frac{1}{7} \times \frac{1}{5}=\square=\square$

उदाहरण 2 सुशांत 1 घंटे में एक किताब का $\frac{1}{3}$ भाग पढ़ता है। वह $2 \frac{1}{5}$ घंटे में किताब का कितना भाग पढ़ लेगा?

हल

सुशांत द्वारा 1 घंटे में पढ़ा गया किताब का भाग $=\frac{1}{3}$।

अतः, उसके द्वारा $2 \frac{1}{5}$ घंटे में पढ़ा गया किताब का भाग $=2 \frac{1}{5} \times \frac{1}{3}$

$ =\frac{11}{5} \times \frac{1}{3}=\frac{11 \times 1}{5 \times 3}=\frac{11}{15} $

अब हम $\frac{1}{2} \times \frac{5}{3}$ ज्ञात करते हैं। हम जानते हैं कि $\frac{5}{3}=\frac{1}{3} \times 5$।

$ \text{ इसलिए, } \frac{1}{2} \times \frac{5}{3}=\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times 5=\frac{1}{6} \quad 5=\frac{5}{6} $

साथ ही, $\frac{5}{6}=\frac{1 \times 5}{2 \times 3}$। इस प्रकार, $\frac{1}{2} \times \frac{5}{3}=\frac{1 \times 5}{2 \times 3}=\frac{5}{6}$।

यह नीचे खींची गई आकृतियों से भी दिखाया गया है। ये पाँचों समान आकृतियाँ (चित्र 2.10) पाँच समान वृत्तों के भाग हैं। ऐसी ही एक आकृति लीजिए। इस आकृति को प्राप्त करने के लिए हम पहले एक वृत्त को तीन समान भागों में बाँटते हैं। फिर इन तीनों भागों में से प्रत्येक को दो समान भागों में बाँटते हैं। इनमें से एक भाग वह आकृति है जिस पर हमने विचार किया। यह क्या दर्शाएगी?

यह दर्शाएगी $\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}=\frac{1}{6}$। ऐसे भागों का कुल योग होगा $5 \times \frac{1}{6}=\frac{5}{6}$।

इन्हें आज़माएँ

ज्ञात कीजिए: $\frac{1}{3} \times \frac{4}{5} ; \frac{2}{3} \times \frac{1}{5}$

इसी प्रकार: $ \quad \frac{3}{5} \times \frac{1}{7}=\frac{3 \times 1}{5 \times 7}=\frac{3}{35} . $

इस प्रकार हम $\frac{2}{3} \times \frac{7}{5}$ को इस प्रकार ज्ञात कर सकते हैं $\frac{2}{3} \times \frac{7}{5}=\frac{2 \times 7}{3 \times 5}=\frac{14}{15}$।

इसलिए, हम पाते हैं कि हम दो भिन्नों को इस प्रकार गुणा करते हैं $\frac{\text{ अंशों का गुणनफल }}{\text{ हरों का गुणनफल }}$।

इन्हें आज़माएँ

ज्ञात कीजिए: $\frac{8}{3} \times \frac{4}{7} ; \frac{3}{4} \times \frac{2}{3}$।

गुणनफल का मान

आपने देखा है कि दो पूर्ण संख्याओं का गुणनफल उन दोनों पूर्ण संख्याओं से बड़ा होता है। उदाहरण के लिए, $3 \times 4=12$ और $12>4,12>3$। गुणनफल का मान क्या होता है जब हम दो भिन्नों को गुणा करते हैं?

आइए पहले दो उचित भिन्नों के गुणनफल पर विचार करें।

हमारे पास है,

$\frac{2}{3} \times \frac{4}{5}=\frac{8}{15}$	$\frac{8}{15}<\frac{2}{3}, \frac{8}{15}<\frac{4}{5}$	गुणनफल प्रत्येक भिन्न से कम है
$\frac{1}{5} \times \frac{2}{7}=—-$	—,—	——
$\frac{3}{5} \times \frac{\square}{8}=—$	—,—	——
$\frac{2}{\square} \times \frac{4}{9}=\frac{8}{45}$	—,—	——

आप पाएँगे कि जब दो उचित भिन्नों को गुणा किया जाता है, तो गुणनफल प्रत्येक भिन्न से कम होता है। या, हम कहते हैं कि दो उचित भिन्नों के गुणनफल का मान दोनों भिन्नों से छोटा होता है।

इसे पाँच और उदाहरण बनाकर जाँचिए।

अब हम दो अनुचित भिन्नों को गुणा करते हैं।

$\frac{7}{3} \times \frac{5}{2}=\frac{35}{6}$	$\frac{35}{6}>\frac{7}{3}, \frac{35}{6}>\frac{5}{2}$	गुणनफल प्रत्येक भिन्न से अधिक है
$\frac{6}{5} \times \frac{\square}{3}=\frac{24}{15}$	—,—	——
$\frac{9}{2} \times \frac{7}{\square}=\frac{63}{8}$	—,—	——
$\frac{3}{\square} \times \frac{8}{7}=\frac{24}{14}$	—,—	——

हम पाते हैं कि दो अनुचित भिन्नों का गुणनफल दोनों भिन्नों से अधिक होता है।

या, दो अनुचित भिन्नों के गुणनफल का मान दोनों भिन्नों से अधिक होता है।

अपने लिए पाँच और उदाहरण बनाइए और उपरोक्त कथन को सत्यापित कीजिए।

अब हम एक उचित और एक अनुचित भिन्न को गुणा करते हैं, मान लीजिए $\frac{2}{3}$ और $\frac{7}{5}$।

हमारे पास $\quad \frac{2}{3} \times \frac{7}{5}=\frac{14}{15}$ है। यहाँ, $\frac{14}{15}<\frac{7}{5}$ और $\frac{14}{15}>\frac{2}{3}$

प्राप्त गुणनफल अनुचित भिन्न से कम और गुणा में शामिल उचित भिन्न से अधिक है।

इसे $\frac{6}{5} \times \frac{2}{8}, \frac{8}{3} \times \frac{4}{5}$ के लिए जाँचिए।

व्यायाम 2.2

1. ज्ञात कीजिए:

(i) $\frac{1}{4}$ का $\quad$(a) $\frac{1}{4}$ $\quad$ (b) $\frac{3}{5}$(c) $\quad$ $\frac{4}{3}$

(ii) $\frac{1}{7}$ का $\quad$ (a) $\frac{2}{9}$ $\quad$ (b) $\frac{6}{5}$ $\quad$ (c) $\frac{3}{10}$

2. गुणा कीजिए और न्यूनतम रूप में लिखिए (यदि संभव हो):

(i) $\frac{2}{3} \times 2 \frac{2}{3}$

(ii) $\frac{2}{7} \times \frac{7}{9}$

(iii) $\frac{3}{8} \times \frac{6}{4}$

(iv) $\frac{9}{5} \times \frac{3}{5}$

(v) $\frac{1}{3} \times \frac{15}{8}$

(vi) $\frac{11}{2} \times \frac{3}{10}$

(vii) $\frac{4}{5} \times \frac{12}{7}$

3. निम्नलिखित भिन्नों को गुणा कीजिए:

(i) $\frac{2}{5} \times 5 \frac{1}{4}$

(ii) $6 \frac{2}{5} \times \frac{7}{9}$

(iii) $\frac{3}{2} \times 5 \frac{1}{3}$

(iv) $\frac{5}{6} \times 2 \frac{3}{7}$

(v) $3 \frac{2}{5} \times \frac{4}{7}$

(vi) $2 \frac{3}{5} \times 3$

(vii) $3 \frac{4}{7} \times \frac{3}{5}$

4. कौन अधिक है:

(i) $\frac{2}{7}$ का $\frac{3}{4}$ या $\frac{3}{5}$ का $\frac{5}{8}$

(ii) $\frac{1}{2}$ का $\frac{6}{7}$ या $\frac{2}{3}$ का $\frac{3}{7}$

5. सैली अपने बगीचे में 4 पौधे एक पंक्ति में लगाती है। दो आसन्न पौधों के बीच की दूरी $\frac{3}{4} m$ है। पहले और आखिरी पौधे के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

6. लिपिका रोज़ $1 \frac{3}{4}$ घंटे किताब पढ़ती है। वह पूरी किताब 6 दिनों में पढ़ लेती है। किताब पढ़ने में उसके द्वारा कुल कितने घंटे लगे?

7. एक कार 1 लीटर पेट्रोल में $16 km$ चलती है। $2 \frac{3}{4}$ लीटर पेट्रोल में वह कितनी दूरी तय करेगी?

8. (a) (i) बॉक्स $\square$ में वह संख्या दीजिए, ताकि $\frac{2}{3} \times \square=\frac{10}{30}$ हो।

(ii) $\square$ में प्राप्त संख्या का सरलतम रूप है

(b) (i) बॉक्स $\square$ में वह संख्या दीजिए, ताकि $\frac{3}{5} \times \square=\frac{24}{75}$ हो।

(ii) $\square$ में प्राप्त संख्या का सरलतम रूप है

2.2 भिन्नों का भाग

जॉन के पास $6 cm$ लंबी एक कागज़ की पट्टी है। वह इस पट्टी को $2 cm$ लंबी छोटी-छोटी पट्टियों में काटता है। आप जानते हैं कि उसे $6 \div 2=3$ पट्टियाँ मिलेंगी।

जॉन एक और $6 cm$ लंबी पट्टी को $\frac{3}{2} cm$ लंबी छोटी-छोटी पट्टियों में काटता है। अब उसे कितनी पट्टियाँ मिलेंगी? उसे $6 \div \frac{3}{2}$ पट्टियाँ मिलेंगी।

$\frac{15}{2} cm$ लंबी कागज़ की पट्टी को $\frac{3}{2} cm$ लंबी छोटी-छोटी पट्टियों में काटने पर $\frac{15}{2} \div \frac{3}{2}$ टुकड़े मिलते हैं।

इसलिए, हमें एक पूर्ण संख्या को एक भिन्न से या एक भिन्न को दूसरी भिन्न से भाग देना है। आइए देखें कि यह कैसे करते हैं।

2.2.1 पूर्ण संख्या का भिन्न से भाग

आइए हम $1 \div \frac{1}{2}$ निकालते हैं।

हम एक पूर्ण को इतने बराबर भागों में बाँटते हैं कि प्रत्येक भाग पूर्ण का आधा हो।

ऐसे आधे $(\frac{1}{2}.)$ भागों की संख्या $1 \div \frac{1}{2}$ होगी। आकृति (चित्र 2.11) को देखो। तुम कितने आधे भाग देखते हो?

दो आधे भाग हैं।

इसलिए, $\quad 1 \div \frac{1}{2}=2$. साथ ही, $1 \times \frac{2}{1}=1 \times 2=2$।

इस प्रकार, $1 \div \frac{1}{2}=1 \times \frac{2}{1}(\frac{1}{2} \quad \frac{1}{2})$

चित्र 2.11

इसी प्रकार, $3 \div \frac{1}{4}=$ उन $\frac{1}{4}$ भागों की संख्या जो प्रत्येक 3 पूर्ण को $\frac{1}{4}$ बराबर भागों में बाँटने पर प्राप्त होते हैं $=12$ (चित्र 2.12 से)

चित्र 2.12

इसे भी देखो कि, $3 \times \frac{4}{1}=3 \times 4=12$. इस प्रकार, $3 \div \frac{1}{4}=3 \times \frac{4}{1}=12$।

इसी तरह से, $3 \div \frac{1}{2}$ और $3 \times \frac{2}{1}$ निकालो।

भिन्न का व्युत्क्रम

संख्या $\frac{2}{1}$ को $\frac{1}{2}$ के अंश और हर को आपस में बदलने या $\frac{1}{2}$ को उल्टा करने पर प्राप्त किया जा सकता है। इसी प्रकार, $\frac{3}{1}$ को $\frac{1}{3}$ को उल्टा करने पर प्राप्त किया जाता है।

आइए पहले ऐसी संख्याओं के उल्टे करने के बारे में देखें।

इन गुणनफलों को देखो और रिक्त स्थान भरो :

$7 \times \frac{1}{7}=1$	$\frac{5}{4} \times \frac{4}{5}=——$
$\frac{1}{9} \times 9=—–$	$\frac{2}{7} \times—–=1$
$\frac{2}{3} \times \frac{3}{2}=\frac{2 \times 3}{3 \times 2}=\frac{6}{6}=1$	—– $\times \frac{5}{9}=1$

ऐसे और पाँच जोड़े गुणा करो।

वे अशून्य संख्याएँ जिनका परस्पर गुणा 1 होता है, एक-दूसरे की पारस्परिक (reciprocal) कहलाती हैं।

इसलिए $\frac{5}{9}$ का पारस्परिक $\frac{9}{5}$ है और $\frac{9}{5}$ का पारस्परिक $\frac{5}{9}$ है। $\frac{1}{9}$ का पारस्परिक क्या है? $\frac{2}{7}$ का?

तुम देखोगे कि $\frac{2}{3}$ का पारस्परिक उसे उलट कर प्राप्त होता है। तुम्हें $\frac{3}{2}$ मिलता है।

सोचो, चर्चा करो और लिखो

(i) क्या किसी उचित भिन्न का पारस्परिक फिर से उचित भिन्न होगा?

(ii) क्या किसी अनुचित भिन्न का पारस्परिक फिर से अनुचित भिन्न होगा? इसलिए हम कह सकते हैं कि

$ \begin{aligned} & 1 \div \frac{1}{2}=1 \times \frac{2}{1}=1 \times \text{ पारस्परिक of } \frac{1}{2} \\ & 3 \div \frac{1}{4}=3 \times \frac{4}{1}=3 \times \text{ पारस्परिक of } \frac{1}{4} \\ & 3 \div \frac{1}{2}=—-=—- \end{aligned} $

इसलिए, $2 \div \frac{3}{4}=2 \times$ पारस्परिक of $\frac{3}{4}=2 \times \frac{4}{3}$।

$ 5 \div \frac{2}{9}=5 \times \text{————— }=5 \times $

इस प्रकार, किसी पूर्ण संख्या को किसी भिन्न से भाग देने के लिए उस पूर्ण संख्या को उस भिन्न के पारस्परिक से गुणा करो।

इन्हें आज़माओ

ज्ञात करो: (i) $7 \div \frac{2}{5}\quad$(ii) $6 \div \frac{4}{7}\quad$(iii) $2 \div \frac{8}{9}$

• जब किसी पूर्ण संख्या को मिश्रित भिन्न से विभाजित करें, तो पहले मिश्रित भिन्न को अनुचित भिन्न में बदलें और फिर हल करें।

इस प्रकार, $4 \div 2 \frac{2}{5}=4 \div \frac{12}{5}=? \quad$ साथ ही, $5 \div 3 \frac{1}{3}=3 \div \frac{10}{3}=$ ?

इन्हें आज़माएँ

ज्ञात कीजिए: (i) $6 \div 5 \frac{1}{3}\quad$(ii) $7 \div 2 \frac{4}{7}$

2.2.2 किसी भिन्न को पूर्ण संख्या से विभाजित करना

• $\frac{3}{4} \div 3$ क्या होगा?

हमारी पिछली टिप्पणियों के आधार पर हमारे पास है: $\frac{3}{4} \div 3=\frac{3}{4} \div \frac{3}{1}=\frac{3}{4} \times \frac{1}{3}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$

इसलिए, $\frac{2}{3} \div 7=\frac{2}{3} \times \frac{1}{7}=\quad$ ? $\frac{5}{7} \div 6, \frac{2}{7} \div 8$ क्या है?

• जब मिश्रित भिन्न को पूर्ण संख्या से विभाजित करें, तो मिश्रित भिन्न को अनुचित भिन्न में बदलें। अर्थात्,

$ 2 \frac{2}{3} \div 5=\frac{8}{3} \div 5=—–\quad 4 \frac{2}{5} \div 3=—-=—-; 2 \frac{3}{5} \div 2=—–= $

2.2.3 किसी भिन्न को दूसरी भिन्न से विभाजित करना

हम अब $\frac{1}{3} \div \frac{6}{5}$ ज्ञात कर सकते हैं।

$ \frac{1}{3} \div \frac{6}{5}=\frac{1}{3} \times \text{ व्युत्क्रम } \frac{6}{5}=\frac{1}{3} \times \frac{5}{6}=\frac{5}{18} $

इसी प्रकार, $\frac{8}{5} \div \frac{2}{3}=\frac{8}{5} \times$ व्युत्क्रम $\frac{2}{3}=$ ?

और, $\frac{1}{2} \div \frac{3}{4}=$ ?

इन्हें आज़माएँ

ज्ञात कीजिए: (i) $\frac{3}{5} \div \frac{1}{2}$

(ii) $\frac{1}{2} \div \frac{3}{5}$

(iii) $2 \frac{1}{2} \div \frac{3}{5}$

(iv) $5 \frac{1}{6} \div \frac{9}{2}$

अभ्यास 2.3

1. ज्ञात कीजिए:

(i) $12 \div \frac{3}{4}$

(ii) $14 \div \frac{5}{6}$

(iii) $8 \div \frac{7}{3}$

(iv) $4 \div \frac{8}{3}$

(v) $3 \div 2 \frac{1}{3}$

(vi) $5 \div 3 \frac{4}{7}$

2. निम्नलिखित भिन्नों में से प्रत्येक का व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए। व्युत्क्रमों को उचित भिन्न, अनुचित भिन्न और पूर्ण संख्याओं के रूप में वर्गीकृत कीजिए।

(i) $\frac{3}{7}$

(ii) $\frac{5}{8}$

(iii) $\frac{9}{7}$

(iv) $\frac{6}{5}$

(v) $\frac{12}{7}$

(vi) $\frac{1}{8}$

(vii) $\frac{1}{11}$

3. ज्ञात कीजिए:

(i) $\frac{7}{3} \div 2$

(ii) $\frac{4}{9} \div 5$

(iii) $\frac{6}{13} \div 7$

(iv) $4 \frac{1}{3} \div 3$

(v) $3 \frac{1}{2} \div 4$

(vi) $4 \frac{3}{7} \div 7$

4. ज्ञात कीजिए:

(i) $\frac{2}{5} \div \frac{1}{2}$

(ii) $\frac{4}{9} \div \frac{2}{3}$

(iii) $\frac{3}{7} \div \frac{8}{7}$

(iv) $2 \frac{1}{3} \div \frac{3}{5}$

(v) $3 \frac{1}{2} \div \frac{8}{3}$

(vi) $\frac{2}{5} \div 1 \frac{1}{2}$

(vii) $3 \frac{1}{5} \div 1 \frac{2}{3}$

(viii) $2 \frac{1}{5} \div 1 \frac{1}{5}$

2.3 दशमलव संख्याओं का गुणा

रेशमा ने ₹ $8.50 प्रति kg$ की दर से $1.5 kg$ सब्जी खरीदी। उसे कितना पैसा देना चाहिए? निश्चित रूप से यह $₹(8.50 \times 1.50)$ होगा। 8.5 और 1.5 दोनों दशमलव संख्याएँ हैं। इसलिए, हम एक ऐसी स्थिति में आए हैं जहाँ हमें यह जानने की आवश्यकता है कि दो दशमलवों को कैसे गुणा किया जाता है। आइए अब हम दो दशमलव संख्याओं का गुणा सीखते हैं।

पहले हम $0.1 \times 0.1$ ज्ञात करते हैं।

अब, $0.1=\frac{1}{10}$। इसलिए, $0.1 \times 0.1=\frac{1}{10} \times \frac{1}{10}=$ $\frac{1 \times 1}{10 \times 10}=\frac{1}{100}=0.01$।

आइए देखें इसकी चित्रात्मक प्रस्तुति (चित्र 2.13) भिन्न $\frac{1}{10}$ 10 समान भागों में से 1 भाग को दर्शाती है।

चित्र 2.13

चित्र में छायांकित भाग $\frac{1}{10}$ को दर्शाता है।

हम जानते हैं कि,

$\frac{1}{10} \times \frac{1}{10}$ का अर्थ है $\frac{1}{10}$ का $\frac{1}{10}$। इसलिए, इस $\frac{1}{10}$ वें भाग को 10 समान भागों में विभाजित करें और उसमें से एक भाग लें।

इस प्रकार, हमारे पास है, (चित्र 2.14)।

बिंदित वर्ग $\frac{1}{10}$ वें भाग के 10 भागों में से एक भाग है। अर्थात्, यह $\frac{1}{10} \times \frac{1}{10}$ या $0.1 \times 0.1$ को दर्शाता है।

क्या बिंदित वर्ग को किसी अन्य तरीके से दर्शाया जा सकता है?

चित्र 2.14 में आपको कितने छोटे वर्ग दिखाई देते हैं?

वहाँ 100 छोटे वर्ग हैं। इसलिए बिंदित वर्ग 100 में से एक या 0.01 को दर्शाता है।

अतः, $0.1 \times 0.1=0.01$।

ध्यान दें कि 0.1 गुणनफल में दो बार आता है। 0.1 में दशमलव बिंदु के दाईं ओर एक अंक होता है। 0.01 में दो अंक होते हैं (अर्थात् $1+1$) दशमलव बिंदु के दाईं ओर।

आइए अब $0.2 \times 0.3$ ज्ञात करें।

हमारे पास, $0.2 \times 0.3=\frac{2}{10} \times \frac{3}{10}$

जैसा हमने $\frac{1}{10} \times \frac{1}{10}$ के लिए किया था, आइए वर्ग को 10 समान भागों में विभाजित करें और उसमें से तीन भाग लें, ताकि $\frac{3}{10}$ प्राप्त हो। फिर से प्रत्येक

आकृति 2.15 इन तीन समान भागों को 10 समान भागों में विभाजित करें और प्रत्येक से दो भाग लें। हमें $\frac{2}{10} \times \frac{3}{10}$ मिलता है।

बिंदीदार वर्ग $\frac{2}{10} \times \frac{3}{10}$ या $0.2 \times 0.3$ को दर्शाते हैं। (आकृति 2.15)

चूँकि 100 में से 6 बिंदीदार वर्ग हैं, इसलिए वे 0.06 को भी दर्शाते हैं। इस प्रकार, $0.2 \times 0.3=0.06$।

ध्यान दें कि $2 \times 3=6$ और 0.06 में दशमलव बिंदु के दाईं ओर अंकों की संख्या $2(=1+1)$ है।

जाँच करें कि क्या यह $0.1 \times 0.1$ पर भी लागू होता है।

इन प्रेक्षणों को लागू करके $0.2 \times 0.4$ ज्ञात करें।

$0.1 \times 0.1$ और $0.2 \times 0.3$ ज्ञात करते समय आपने देखा होगा कि पहले हमने उन्हें पूर्ण संख्याओं की तरह गुणा किया, दशमलव बिंदु को नज़रअंदाज़ करते हुए। $0.1 \times 0.1$ में, हमने $01 \times 01$ या $1 \times 1$ ज्ञात किया। इसी प्रकार $0.2 \times 0.3$ में हमने $02 \times 03$ या $2 \times 3$ ज्ञात किया।

फिर, हमने दायीं ओर से सबसे अंतिम अंक से शुरू करते हुए बायीं ओर बढ़ते हुए अंकों की गिनती की। फिर हमने वहाँ दशमलव बिंदु लगाया। गिने जाने वाले अंकों की संख्या उन दशमलव संख्याओं में दशमलव बिंदु के दायीं ओर मौजूद अंकों की संख्या को जोड़ने से प्राप्त होती है जिन्हें गुणा किया जा रहा है।

आइए अब $1.2 \times 2.5$ ज्ञात करें।

12 और 25 को गुणा करें। हमें 300 मिलता है। 1.2 और 2.5 दोनों में दशमलव बिंदु के दायीं ओर 1 अंक है। इसलिए, 300 में दायीं ओर से सबसे अंतिम अंक से $1+1=2$ अंक गिनें और बायीं ओर बढ़ें। हमें 3.00 या 3 मिलता है।

इसी प्रकार $1.5 \times 1.6, 2.4 \times 4.2$ ज्ञात करें।

2.5 और 1.25 को गुणा करते समय, आप पहले 25 और 125 को गुणा करेंगे। प्राप्त गुणनफल में दशमलव लगाने के लिए, आप $1+2=3$ (क्यों?) अंक गिनेंगे दायीं ओर से सबसे अंतिम अंक से शुरू करके। इस प्रकार, $2.5 \times 1.25=3.225$

$2.7 \times 1.35$ ज्ञात करें।

इन्हें आज़माइए

1. ज्ञात कीजिए: (i) $2.7 \times 4\quad$ (ii) $1.8 \times 1.2\quad$ (iii) $2.3 \times 4.35$

2. (1) में प्राप्त गुणनफलों को अवरोही क्रम में व्यवस्थित कीजिए

इसलिए, प्रत्येक भुजा की लंबाई $=3.5 cm$

इस प्रकार, परिमाप $=3 \times 3.5 cm=10.5 cm$

उदाहरण 4 एक आयत की लंबाई $7.1 cm$ है और इसकी चौड़ाई $2.5 cm$ है। आयत का क्षेत्रफल क्या है?

हल आयत की लंबाई $=7.1 cm$

आयत की चौड़ाई $=2.5 cm$

इसलिए, आयत का क्षेत्रफल $=7.1 \times 2.5 cm^{2}=17.75 cm^{2}$

2.3.1 दशमलव संख्याओं का $1 0, 100$ और $1 0 0 0$ से गुणा

रेशमा ने देखा कि $2.3=\frac{23}{10}$ जबकि $2.35=\frac{235}{100}$। इस प्रकार, उसने पाया कि दशमलव बिंदु की स्थिति के आधार पर दशमलव संख्या को 10 या 100 के हर वाले भिन्न में बदला जा सकता है। उसने सोचा कि क्या होगा यदि किसी दशमलव संख्या को 10 या 100 या 1000 से गुणा किया जाए।

आइए देखें कि क्या हम संख्याओं को 10 या 100 या 1000 से गुणा करने का कोई पैटर्न खोज सकते हैं।

नीचे दी गई तालिका को देखें और रिक्त स्थानों को भरें:

$1.76 \times 10=\frac{176}{100} \times 10=17.6$	$2.35 \times 10=…$	$12.356 \times 10=…$
$1.76 \times 100=\frac{176}{100} \times 100=176$ या 176.0	$2.35 \times 100=…$	$12.356 \times 100=…$
$1.76 \times 1000=\frac{176}{100} \times 1000=1760$ या	$2.35 \times 1000=…$	$12.356 \times 1000=…$
1760.0
$0.5 \times 10=\frac{5}{10} \times 10=5 ; \quad 0.5 \times 100=\ldots \quad 0.5 \times 1000=…$

सारणी में गुणनफलों के दशमलव बिंदु के स्थानांतरण को देखिए। यहाँ संख्याओं को 10, 100 और 1000 से गुणा किया गया है। $1.76 \times 10=17.6$ में, अंक समान हैं अर्थात् 1, 7 और 6। क्या आपने इसे अन्य गुणनफलों में भी देखा? 1.76 और 17.6 को देखिए। दशमलव बिंदु किस ओर स्थानांतरित हुआ है, दाएँ या बाएँ? दशमलव बिंदु एक स्थान दाएँ स्थानांतरित हुआ है। ध्यान दें कि 10 में 1 के ऊपर एक शून्य है।

$1.76 \times 100=176.0$ में, 1.76 और 176.0 को देखिए। दशमलव बिंदु किस ओर और कितने अंकों से स्थानांतरित हुआ है? दशमलव बिंदु दो स्थान दाएँ स्थानांतरित हुआ है।

ध्यान दें कि 100 में एक के ऊपर दो शून्य हैं।

क्या आपने अन्य गुणनफलों में भी दशमलव बिंदु का इसी प्रकार स्थानांतरण देखा?

इसलिए हम कहते हैं, जब किसी दशमलव संख्या को 10, 100 या 1000 से गुणा किया जाता है, तो गुणनफल में अंक वही रहते हैं जो दशमलव संख्या में होते हैं, लेकिन गुणनफल में दशमलव बिंदु उतने ही स्थान दाएँ स्थानांतरित हो जाता है जितने शून्य एक के ऊपर होते हैं।

इन्हें आज़माइए

ज्ञात कीजिए: (i) $0.3 \times 10$

(ii) $1.2 \times 100$

(iii) $56.3 \times 1000$

इन प्रेक्षणों के आधार पर हम अब कह सकते हैं

$ 0.07 \times 10=0.7,0.07 \times 100=7 \text{ और } 0.07 \times 1000=70 \text{। } $

क्या आप अब बता सकते हैं $2.97 \times 10=? \quad 2.97 \times 100=? \quad 2.97 \times 1000=$ ?

क्या आप अब रेशमा की मदद कर सकते हैं कुल राशि ज्ञात करने में अर्थात् ₹ $8.50 \times$ 150 , जो उसे देनी है?

प्रश्नावली 2.4

1. ज्ञात कीजिए:

(i) $0.2 \times 6$

(ii) $8 \times 4.6$

(v) $0.05 \times 7$

(vi) $211.02 \times 4$

(iii) $2.71 \times 5$

(iv) $20.1 \times 4$

2. उस आयत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी लंबाई $5.7 cm$ और चौड़ाई $3 cm$ है।

3. ज्ञात कीजिए:

(i) $1.3 \times 10$

(ii) $36.8 \times 10$

(iii) $153.7 \times 10$

(iv) $168.07 \times 10$

(v) $31.1 \times 100$

(vi) $156.1 \times 100$

(vii) $3.62 \times 100$

(viii) $43.07 \times 100$

(ix) $0.5 \times 10$

(x) $0.08 \times 10$

(xi) $0.9 \times 100$

(xii) $0.03 \times 1000$

4. एक दोपहिया वाहन एक लीटर पेट्रोल में $55.3 km$ की दूरी तय करता है। 10 लीटर पेट्रोल में वह कितनी दूरी तय करेगा?

5. ज्ञात कीजिए:

(i) $2.5 \times 0.3$

(ii) $0.1 \times 51.7$

(iii) $0.2 \times 316.8$

(iv) $1.3 \times 3.1$

(v) $0.5 \times 0.05$

(vi) $11.2 \times 0.15$

(vii) $1.07 \times 0.02$

(viii) $10.05 \times 1.05$

(ix) $101.01 \times 0.01$

(x) $100.01 \times 1.1$

2.4 दशमलव संख्याओं का विभाजन

सविता अपनी कक्षा को सजाने के लिए एक डिज़ाइन तैयार कर रही थी। उसे $1.9 cm$ लंबाई के कुछ रंगीन कागज़ के टुकड़ों की ज़रूरत थी। उसके पास $9.5 cm$ लंबाई का एक रंगीन कागज़ का टुकड़ा था। इस टुकड़े से उसे कितने आवश्यक लंबाई के टुकड़े मिलेंगे? उसने सोचा कि यह $\frac{9.5}{1.9} cm$ होगा। क्या वह सही है?

9.5 और 1.9 दोनों दशमलव संख्याएँ हैं। इसलिए हमें दशमलव संख्याओं का विभाजन भी जानना होगा!

2.4.1 10, 100 और 1000 से विभाजन

आइए एक दशमलव संख्या को 10, 100 और 1000 से विभाजित करना जानें।

$31.5 \div 10$ पर विचार करें।

$ 31.5 \div 10=\frac{315}{10} \times \frac{1}{10}=\frac{315}{100}=3.15 $

इसी प्रकार, $31.5 \div 100=\frac{315}{10} \times \frac{1}{100}=\frac{315}{1000}=0.315$

आइए देखें कि क्या हम 10, 100 या 1000 से संख्याओं को विभाजित करने के लिए कोई नियम खोज सकते हैं। यह हमें 10, 100 या 1000 से संख्याओं को विभाजित करने का एक छोटा तरीका दे सकता है।

$31.5 \div 10=3.15$	$231.5 \div 10=…$	$1.5 \div 10=…$	$29.36 \div 10=…$
$31.5 \div 100=0.315$	$231.5 \div 10=…$	$1.5 \div 100=…$	$29.36 \div 100=…$
$31.5 \div 1000=0.0315$	$231.5 \div 1000=…$	$1.5 \div 1000=…$	$29.36 \div 1000=..$

ले लीजिए $31.5 \div 10=3.15$। 31.5 और 3.15 में अंक समान हैं, अर्थात् 3, 1 और 5, लेकिन दशमलव बिंदु भागफल में स्थानांतरित हो गया है। किस ओर और कितने अंकों से? दशमलव बिंदु एक स्थान बाईं ओर स्थानांतरित हो गया है। ध्यान दें कि 10 में 1 के ऊपर एक शून्य है।

अब विचार कीजिए $31.5 \div 100=0.315$। 31.5 और 0.315 में अंक समान हैं, लेकिन भागफल में दशमलव बिंदु क्या हुआ है?

इन्हें आजमाइए

यह दो स्थानों से बाईं ओर स्थानांतरित हो गया है। ध्यान दें कि 100 में 1 के ऊपर दो

ज्ञात कीजिए:

(i) $235.4 \div 10$

(ii) $235.4 \div 100$

(iii) $235.4 \div 1000$ शून्य हैं।

इसलिए हम कह सकते हैं कि जब हम किसी संख्या को 10, 100 या 1000 से विभाजित करते हैं, तो संख्या और भागफल के अंक समान रहते हैं, लेकिन भागफल में दशमलव बिंदु बाईं ओर इतने स्थानों से स्थानांतरित हो जाता है जितने शून्य 1 के ऊपर होते हैं। इस अवलोकन का उपयोग करके अब हम शीघ्रता से ज्ञात करते हैं: $\quad 2.38 \div 10=0.238,2.38 \div 100=0.0238,2.38 \div 1000=0.00238$

2.4.2 एक दशमलव संख्या का एक पूर्ण संख्या से विभाजन

आइए हम $\frac{6.4}{2}$ निकालते हैं। याद रखें हम इसे $6.4 \div 2$ भी लिखते हैं।

इन्हें आज़माइए

इसलिए, $6.4 \div 2=\frac{64}{10} \div 2=\frac{64}{10} \times \frac{1}{2}$ जैसा कि भिन्नों में सीखा गया है।

(i) $35.7 \div 3=?$;

(ii) $25.5 \div 3=$ ?

$ =\frac{64 \times 1}{10 \times 2}=\frac{1 \times 64}{10 \times 2}=\frac{1}{10} \times \frac{64}{2}=\frac{1}{10} \times 32=\frac{32}{10}=3.2 $

या, आइए पहले 64 को 2 से विभाजित करें। हमें 32 मिलता है। 6.4 में दशमलव बिंदु के दाईं ओर एक अंक है। 32 में दशमलव इस प्रकार लगाएं कि उसके दाईं ओर एक अंक हो। हमें फिर से 3.2 मिलता है।

$19.5 \div 5$ निकालने के लिए, पहले $195 \div 5$ निकालें। हमें 39 मिलता है। 19.5 में दशमलव बिंदु के दाईं ओर एक अंक है। 39 में दशमलव बिंदु इस प्रकार लगाएं कि उसके दाईं ओर एक अंक हो। आपको 3.9 मिलेगा।

इन्हें आज़माइए

(i) $43.15 \div 5=$ ?;

(ii) $82.44 \div 6=$ ?

इन्हें आज़माइए

निकालें:

(i) $15.5 \div 5$

(ii) $126.35 \div 7$ अब, $12.96 \div 4=\frac{1296}{100} \div 4=\frac{1296}{100} \times \frac{1}{4}=\frac{1}{100} \times \frac{1296}{4}=\frac{1}{100} \times 324=3.24$

या, 1296 को 4 से विभाजित करें। आपको 324 मिलता है। 12.96 में दशमलव के दाईं ओर दो अंक हैं। 324 में दशमलव इसी प्रकार लगाकर, आपको 3.24 मिलेगा।

ध्यान दें कि यहाँ और अगले खण्ड में हमने केवल उन भागफलों पर विचार किया है जिनमें दशमलव को नज़रअंदाज़ करने पर संख्या पूरी तरह दूसरी संख्या से विभाजित होकर शेषफल शून्य देती है। जैसे, $19.5 \div 5$ में संख्या 195 को 5 से विभाजित करने पर शेषफल शून्य आता है।

तथापि, ऐसी स्थितियाँ भी होती हैं जिनमें संख्या पूरी तरह दूसरी संख्या से विभाजित नहीं होती, अर्थात् हमें शेषफल शून्य नहीं मिलता। उदाहरण के लिए, $195 \div 7$। ऐसी स्थितियों से हम बाद की कक्षाओं में निपटेंगे।

उदाहरण 5 4.2, 3.8 और 7.6 का औसत निकालिए।

हल

4.2, 3.8 और 7.6 का औसत $\frac{4.2+3.8+7.6}{3}=\quad=5.2$ है।

2.4.3 एक दशमलव संख्या का दूसरी दशमलव संख्या से भाग

आइए $\frac{25.5}{0.5}$ अर्थात् $25.5 \div 0.5$ निकालें।

हमारे पास $25.5 \div 0.5=\frac{255}{10} \div \frac{5}{10}=\frac{255}{10} \times \frac{10}{5}=51$। इस प्रकार, $25.5 \div 0.5=51$

आप क्या देखते हैं? $\frac{25.5}{0.5}$ के लिए हम पाते हैं कि 0.5 में दशमलव के दाईं ओर एक अंक है। इसे 10 से भाग देकर पूर्ण संख्या में बदला जा सकता है। तदनुसार 25.5 को भी 10 से भाग देकर भिन्न में बदला गया।

या, हम कह सकते हैं कि 0.5 में दशमलव बिंदु को एक स्थान दाईं ओर सरकाकर इसे 5 बनाया गया। इसलिए 25.5 में भी दशमलव बिंदु को एक स्थान दाईं ओर सरकाकर इसे 255 बनाया गया।

इस प्रकार, $\quad 22.5 \div 1.5=\frac{22.5}{1.5}=\frac{225}{15}=15$ इनको आज़माइए

$\quad \frac{20.3}{0.7}$ और $\frac{15.2}{0.8}$ इसी तरह से ज्ञात कीजिए।
ज्ञात कीजिए: (i) $\frac{7.75}{0.25}$ (ii) $\frac{42.8}{0.02}$ (iii) $\frac{5.6}{1.4}$

आइए अब ज्ञात करें $20.55 \div 1.5$।

हम इसे $205.5 \div 15$ के रूप में लिख सकते हैं, जैसा कि ऊपर चर्चा की गई है। हमें 13.7 प्राप्त होता है।
$\frac{3.96}{0.4}, \frac{2.31}{0.3}$ ज्ञात कीजिए।

अब विचार कीजिए, $\frac{33.725}{0.25}$। हम इसे $\frac{3372.5}{25}$ (कैसे?) के रूप में लिख सकते हैं और हमें भागफल 134.9 प्राप्त होता है।
आप $\frac{27}{0.03}$ कैसे ज्ञात करेंगे? हम जानते हैं कि 27 को 27.00 के रूप में लिखा जा सकता है।

इसलिए, $\quad \frac{27}{0.03}=\frac{27.00}{0.03}=\frac{2700}{3}=900$

उदाहरण 6 एक नियमित बहुभुज की प्रत्येक भुजा की लंबाई $2.5 cm$ है। बहुभुज का परिमाप $12.5 cm$ है। बहुभुज में कितनी भुजाएँ हैं?

हल

एक नियमित बहुभुज का परिमाप उसकी सभी समान भुजाओं की लंबाइयों का योग होता है $=12.5 cm$।

प्रत्येक भुजा की लंबाई $=2.5 cm$। इस प्रकार, भुजाओं की संख्या $=\frac{12.5}{2.5}=\frac{125}{25}=5$

बहुभुज में 5 भुजाएँ हैं।

उदाहरण 7 एक कार 2.2 घंटे में $89.1 km$ की दूरी तय करती है। 1 घंटे में इसके द्वारा तय की गई औसत दूरी क्या है?

हल

कार द्वारा तय की गई दूरी $=89.1 km$।

इस दूरी को तय करने में लगा समय $=2.2$ घंटे।

इसलिए 1 घंटे में तय की गई दूरी $=\frac{89.1}{2.2}=\frac{891}{22}=40.5 km$।

अभ्यास 2.5

1. ज्ञात कीजिए:

(i) $0.4 \div 2$

(ii) $0.35 \div 5$

(iii) $2.48 \div 4$

(iv) $65.4 \div 6$

(v) $651.2 \div 4$

(vi) $14.49 \div 7$

(vii) $3.96 \div 4$

(viii) $0.80 \div 5$

2. ज्ञात कीजिए:

(i) $4.8 \div 10$

(ii) $52.5 \div 10$

(iii) $0.7 \div 10$

(v) $272.23 \div 10$

(vi) $0.56 \div 10$

(vii) $3.97 \div 10$

3. ज्ञात कीजिए:

(i) $2.7 \div 100$

(ii) $0.3 \div 100$

(iii) $0.78 \div 100$

(iv) $432.6 \div 100$

(v) $23.6 \div 100$

(vi) $98.53 \div 100$

4. ज्ञात कीजिए:

(i) $7.9 \div 1000$

(ii) $26.3 \div 1000$

(iii) $38.53 \div 1000$

(iv) $128.9 \div 1000$

(v) $0.5 \div 1000$

(iv) $33.1 \div 10$

5. ज्ञात कीजिए:

(i) $7 \div 3.5$

(ii) $36 \div 0.2$

(v) $0.5 \div 0.25$

(vi) $7.75 \div 0.25$

(iii) $3.25 \div 0.5$

(iv) $30.94 \div 0.7$

(ix) $2.73 \div 1.3$

(vii) $76.5 \div 0.15$

(viii) $37.8 \div 1.4$

6. एक वाहन 2.4 लीटर पेट्रोल में 43.2 km की दूरी तय करता है। एक लीटर पेट्रोल में यह कितनी दूरी तय करेगा?

हमने क्या चर्चा की?

1. हमने सीखा है कि भिन्नों का गुणा कैसे किया जाता है। दो भिन्नों का गुणा उनके अंशों और हरों को अलग-अलग गुणा करके और गुणनफल को $\frac{\text{ अंशों का गुणनफल }}{\text{ हरों का गुणनफल }}$ के रूप में लिखकर किया जाता है। उदाहरण के लिए, $\frac{2}{3} \times \frac{5}{7}=\frac{2 \times 5}{3 \times 7}=\frac{10}{21}$।

2. एक भिन्न ‘का’ के रूप में संक्रिया करता है। उदाहरण के लिए, 2 का $\frac{1}{2}$ माना जाता है $\frac{1}{2} \times 2=1$।

3. (a) दो उचित भिन्नों का गुणनफल गुणा की गई प्रत्येक भिन्न से कम होता है।

(b) एक उचित और एक अनुचित भिन्न का गुणनफल अनुचित भिन्न से कम और उचित भिन्न से अधिक होता है।

(c) दो अनुचित भिन्नों का गुणनफल उन दोनों भिन्नों से बड़ा होता है।

4. किसी भिन्न का व्युत्क्रम उसे उल्टा करके प्राप्त किया जाता है।

5. हमने देखा है कि दो भिन्नों को कैसे विभाजित किया जाता है।

(a) जब कोई पूर्ण संख्या किसी भिन्न से विभाजित की जाती है, तो हम उस पूर्ण संख्या को उस भिन्न के व्युत्क्रम से गुणा करते हैं।

उदाहरण के लिए, $2 \div \frac{3}{5}=2 \times \frac{5}{3}=\frac{10}{3}$

(b) जब कोई भिन्न किसी पूर्ण संख्या से विभाजित की जाती है, तो हम उस भिन्न को पूर्ण संख्या के व्युत्क्रम से गुणा करते हैं।

उदाहरण के लिए, $\frac{2}{3} \div 7=\frac{2}{3} \times \frac{1}{7}=\frac{2}{21}$

(c) जब एक भिन्न को दूसरी भिन्न से विभाजित किया जाता है, तो हम पहली भिन्न को दूसरी भिन्न के व्युत्क्रम से गुणा करते हैं। इसलिए, $\frac{2}{3} \div \frac{5}{7}=\frac{2}{3} \times \frac{7}{5}=\frac{14}{15}$।

6. हमने यह भी सीखा कि दो दशमलव संख्याओं को कैसे गुणा किया जाता है। दो दशमलव संख्याओं को गुणा करते समय, पहले उन्हें पूर्ण संख्याओं की तरह गुणा करें। दोनों दशमलव संख्याओं में दशमलव बिंदु के दाईं ओर अंकों की संख्या गिनें। गिने गए अंकों की संख्या को जोड़ें। गुणनफल में दशमलव बिंदु उसके सबसे दाईं ओर से अंकों की गिनती करके लगाएं। गिनती पहले प्राप्त योग के बराबर होनी चाहिए।

उदाहरण के लिए, $0.5 \times 0.7=0.35$

7. किसी दशमलव संख्या को 10, 100 या 1000 से गुणा करने के लिए, हम संख्या में दशमलव बिंदु को उतने स्थानों पर दाईं ओर खिसका देते हैं जितने 1 के ऊपर शून्य हों।

इस प्रकार $0.53 \times 10=5.3, \quad 0.53 \times 100=53, \quad 0.53 \times 1000=530$

8. हमने देखा है कि दशमलव संख्याओं को कैसे विभाजित किया जाता है।

(a) एक दशमलव संख्या को एक पूर्ण संख्या से विभाजित करने के लिए, हम पहले उन्हें पूर्ण संख्याओं की तरह विभाजित करते हैं। फिर भागफल में दशमलव बिंदु उसी प्रकार रखते हैं जैसा कि दशमलव संख्या में होता है।

उदाहरण के लिए, $8.4 \div 4=2.1$

ध्यान दें कि यहाँ हम केवल उन भागों पर विचार करते हैं जिनमें शेषफल शून्य होता है।

(b) एक दशमलव संख्या को 10, 100 या 1000 से विभाजित करने के लिए, दशमलव संख्या के अंकों को बाईं ओर उतने स्थानों तक खिसका दें, जितने शून्य 1 के ऊपर हों, भागफल प्राप्त करने के लिए।

इसलिए, $23.9 \div 10=2.39,23.9 \div 100=0.239,23.9 \div 1000=0.0239$

(c) दो दशमलव संख्याओं को विभाजित करते समय, पहले दशमलव बिंदु को दोनों में समान संख्या में स्थानों के लिए दाईं ओर खिसका दें, ताकि भाजक एक पूर्ण संख्या बन जाए। फिर विभाजित करें। इस प्रकार, $2.4 \div 0.2=24 \div 2=12$।