3.1 प्रतिनिधि मान

आप ‘औसत’ शब्द से परिचित होंगे और अपने दैनंदिन जीवन में ‘औसत’ शब्द वाले कथनों के साथ आए होंगे:

• ईशा अपनी पढ़ाई के लिए औसतन लगभग 5 घंटे रोज़ाना खर्च करती है।
• वर्ष के इस समय औसत तापमान लगभग 40 डिग्री सेल्सियस होता है।
• मेरी कक्षा में विद्यार्थियों की औसत आयु 12 वर्ष है।
• एक स्कूल में अंतिम परीक्षा के दौरान विद्यार्थियों की औसत उपस्थिति 98 प्रतिशत थी।

ऐसे और भी कई कथन हो सकते हैं। ऊपर दिए गए कथनों के बारे में सोचिए।

क्या आपको लगता है कि पहले कथन में बच्चा ठीक-ठीक 5 घंटे रोज़ाना पढ़ाई करता है?

या, क्या उस स्थान का तापमान उस विशेष समय पर हमेशा 40 डिग्री होता है?

या, क्या उस कक्षा में प्रत्येक विद्यार्थी की आयु 12 वर्ष है? स्पष्ट रूप से नहीं।

तो ये कथन आपको क्या बताते हैं?

औसत से हम यह समझते हैं कि ईशा सामान्यतः 5 घंटे पढ़ाई करती है। कुछ दिनों में वह कम घंटे पढ़ सकती है और अन्य दिनों में अधिक समय पढ़ सकती है।

इसी प्रकार, 40 डिग्री सेल्सियस का औसत तापमान यह दर्शाता है कि वर्ष के इस समय अक्सर तापमान लगभग 40 डिग्री सेल्सियस के आसपास रहता है। कभी-कभी यह 40 डिग्री सेल्सियस से कम हो सकता है और अन्य समय में यह $40^{\circ} C$ से अधिक हो सकता है।

इस प्रकार, हम समझते हैं कि औसत एक ऐसी संख्या है जो प्रेक्षणों या आँकड़ों के समूह की केंद्रीय प्रवृत्ति को दर्शाती है। चूँकि औसत दिए गए आँकड़ों के उच्चतम और न्यूनतम मान के बीच स्थित होता है, इसलिए हम कहते हैं कि औसत आँकड़ों के समूह की केंद्रीय प्रवृत्ति का एक माप है। विभिन्न प्रकार के आँकड़ों को वर्णित करने के लिए विभिन्न प्रकार के प्रतिनिधि या केंद्रीय मान की आवश्यकता होती है। इन प्रतिनिधि मानों में से एक “अंकगणितीय माध्य” है। अन्य प्रतिनिधि मानों के बारे में आप इस अध्याय के बाद के भाग में सीखेंगे।

3.2 अंकगणितीय माध्य

किसी आँकड़ों के समूह का सबसे सामान्य प्रतिनिधि मान अंकगणितीय माध्य या माध्य होता है। इसे बेहतर तरीके से समझने के लिए आइए निम्नलिखित उदाहरण को देखें:

दो बर्तनों में क्रमशः 20 लीटर और 60 लीटर दूध है। यदि दोनों बर्तन दूध को समान रूप से बाँट लें तो प्रत्येक बर्तन में कितनी मात्रा होगी? जब हम यह प्रश्न पूछते हैं, तब हम अंकगणितीय माध्य की तलाश कर रहे होते हैं।

उपरोक्त स्थिति में, औसत या अंकगणितीय माध्य होगा

$ \frac{\text{ दूध की कुल मात्रा }}{\text{ बर्तनों की संख्या }}=\frac{20+60}{2} \text{ लीटर }=40 \text{ लीटर। } $

इस प्रकार, प्रत्येक बर्तन में 40 लीटर दूध होगा।

औसत या अंकगणितीय माध्य (A.M.) या सरल माध्य को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$ \text{ माध्य }=\frac{\text{ सभी प्रेक्षणों का योग }}{\text{ प्रेक्षणों की संख्या }} $

इन उदाहरणों पर विचार कीजिए।

उदाहरण 1 आशीष लगातार तीन दिनों में क्रमशः 4 घंटे, 5 घंटे और 3 घंटे पढ़ाई करता है। वह औसतन प्रतिदिन कितने घंटे पढ़ाई करता है?

हल

आशीष का औसत अध्ययन समय होगा

$ \frac{\text{ कुल अध्ययन घंटों की संख्या }}{\text{ जिन दिनों उसने पढ़ाई की, उनकी संख्या }}=\frac{4+5+3}{3} \text{ घंटे }=4 \text{ घंटे प्रतिदिन } $

इस प्रकार, हम कह सकते हैं कि आशीष औसतन प्रतिदिन 4 घंटे पढ़ाई करता है।

उदाहरण 2 एक बल्लेबाज ने छह पारियों में निम्नलिखित रन बनाए:

$ 36,35,50,46,60,55 $

गणना कीजिए कि उसने एक पारी में औसत रन कितने बनाए।

हल

कुल रन $=36+35+50+46+60+55=282$।

माध्य निकालने के लिए, हम सभी प्रेक्षणों का योग निकालते हैं और उसे प्रेक्षणों की संख्या से विभाजित करते हैं।

इसलिए, इस स्थिति में, माध्य $=\frac{282}{6}=47$। इस प्रकार, एक पारी में औसत रन 47 हैं।

माध्य कहाँ स्थित होता है

इन्हें आज़माइए

आप पूरे सप्ताह अपने अध्ययन घंटों का औसत कैसे निकालेंगे?

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए

ऊपर दिए गए उदाहरणों के आँकड़ों पर विचार कीजिए और निम्नलिखित पर सोचिए:

• क्या माध्य प्रत्येक प्रेक्षण से बड़ा है?
• क्या यह प्रत्येक प्रेक्षण से छोटा है?

अपने मित्रों से चर्चा कीजिए। इस प्रकार का एक और उदाहरण बनाइए और उन्हीं प्रश्नों के उत्तर दीजिए।

आप पाएँगे कि माध्य सबसे बड़े और सबसे छोटे प्रेक्षणों के बीच में स्थित होता है।

विशेष रूप से, दो संख्याओं का माध्य हमेशा उन दोनों संख्याओं के बीच में होता है। उदाहरण के लिए 5 और 11 का माध्य $\frac{5+11}{2}=8$ है, जो 5 और 11 के बीच में आता है।

क्या आप इस विचार का उपयोग यह दिखाने के लिए कर सकते हैं कि किन्हीं दो भिन्न संख्याओं के बीच आप चाहें तो इतनी भिन्न संख्याएँ पा सकते हैं जितनी चाहें। उदाहरण के लिए $\frac{1}{2}$ और $\frac{1}{4}$ के बीच उनका औसत $\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}}{2}=\frac{3}{8}$ है और फिर $\frac{1}{2}$ और $\frac{3}{8}$ के बीच उनका औसत $\frac{7}{16}$ है और इसी तरह आगे।

इन्हें आज़माइए

1. एक सप्ताह के दौरान अपनी नींद के घंटों का माध्य निकालिए।

2. $\frac{1}{2}$ और $\frac{1}{3}$ के बीच कम-से-कम 5 संख्याएँ खोजिए।

3.2.1 परास (Range)

उच्चतम और न्यूनतम प्रेक्षण के बीच का अंतर हमें प्रेक्षणों के फैलाव का एक अनुमान देता है। इसे उच्चतम प्रेक्षण में से न्यूनतम प्रेक्षण घटाकर प्राप्त किया जा सकता है। हम इस परिणाम को प्रेक्षण की परास कहते हैं। निम्नलिखित उदाहरण को देखिए:

उदाहरण 3 एक विद्यालय के 10 शिक्षकों की आयु वर्षों में इस प्रकार है:

$ 32,41,28,54,35,26,23,33,38,40 $

(i) सबसे बड़े उम्र के शिक्षक और सबसे कम उम्र के शिक्षक की आयु क्या है?

(ii) शिक्षकों की आयु की परास क्या है?

(iii) इन शिक्षकों की औसत आयु क्या है?

हल

(i) आयु को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर हमें प्राप्त होता है:

$23,26,28,32,33,35,38,40,41,54$

हम पाते हैं कि सबसे बड़े उम्र के शिक्षक की आयु 54 वर्ष है और सबसे कम उम्र के शिक्षक की आयु 23 वर्ष है।

(ii) शिक्षकों की आयु का परास = (54-23) वर्ष = 31 वर्ष

(iii) शिक्षकों की औसत आयु

= (23+26+28+32+33+35+38+40+41+10) वर्ष

= (350/10) वर्ष = 35 वर्ष

अभ्यास 3.1

1. अपनी कक्षा के किन्हीं दस विद्यार्थियों की ऊँचाइयों का परास ज्ञात कीजिए।

2. निम्नलिखित अंकों को कक्षा मूल्यांकन में सारणीबद्ध रूप में व्यवस्थित कीजिए।

4,6,7,5,3,5,4,5,2,6,2,5,1,9,6,5,8,4,6,7

(i) कौन-सी संख्या सबसे अधिक है?

(ii) कौन-सी संख्या सबसे कम है?

(iii) आँकड़ों का परास क्या है?

(iv) समांतर माध्य ज्ञात कीजिए।

3. प्रथम पाँच पूर्ण संख्याओं का माध्य ज्ञात कीजिए।

4. एक क्रिकेटर आठ पारियों में निम्नलिखित रन बनाता है:

58,76,40,35,46,45,0,100.

औसत स्कोर ज्ञात कीजिए।

5. निम्नलिखित सारणी प्रत्येक खिलाड़ी द्वारा चार खेलों में बनाए गए अंक दर्शाती है:

खिलाड़ी	खेल 1	खेल 2	खेल 3	खेल 4
A	14	16	10	10
B	0	8	6	4
C	8	11	खेला नहीं	13

अब निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए:

(i) A द्वारा प्रति खेल औसतन बनाए गए अंकों का माध्य ज्ञात कीजिए।

(ii) C के प्रति खेल औसत अंक ज्ञात करने के लिए क्या आप कुल अंकों को 3 से या 4 से भाग देंगे? क्यों?

(iii) B ने सभी चार खेल खेले। आप माध्य कैसे ज्ञात करेंगे?

(iv) सर्वश्रेष्ठ प्रदर्शनकर्ता कौन है?

6. एक विज्ञान परीक्षा में छात्रों के एक समूह द्वारा प्राप्त किए गए अंक (100 में से) 85, 76, $90,85,39,48,56,95,81$ और 75 हैं। ज्ञात कीजिए:

(i) छात्रों द्वारा प्राप्त सर्वाधिक और न्यूनतम अंक।

(ii) प्राप्त अंकों की विस्तार (Range)।

(iii) समूह द्वारा प्राप्त औसत (Mean) अंक।

7. एक विद्यालय में छः क्रमागत वर्षों में नामांकन इस प्रकार रहा:

$1555,1670,1750,2013,2540,2820$

इस अवधि के लिए विद्यालय का औसत नामांकन ज्ञात कीजिए।

8. एक निश्चित सप्ताह के 7 दिनों में किसी शहर में वर्षा (मिलीमीटर में) इस प्रकार दर्ज की गई:

दिन	सोम	मंगल	बुध	गुरु	शुक्र	शनि	रवि
वर्षा (मिमी में)	0.0	12.2	2.1	0.0	20.5	5.5	1.0

(i) उपरोक्त आँकड़ों में वर्षा की विस्तार ज्ञात कीजिए।

(ii) सप्ताह की औसत वर्षा ज्ञात कीजिए।

(iii) कितने दिनों में वर्षा औसत वर्षा से कम रही।

9. 10 लड़कियों की ऊँचाई सेंटीमीटर में मापी गई और परिणाम इस प्रकार हैं: 135, 150, 139, 128, 151, 132, 146, 149, 143, 141.

(i) सबसे लंबी लड़की की ऊँचाई कितनी है?

(ii) सबसे छोटी लड़की की ऊँचाई कितनी है?

(iii) आँकड़ों की विस्तार क्या है?

(iv) लड़कियों की औसत ऊँचाई क्या है?

(v) कितनी लड़कियों की ऊँचाई औसत ऊँचाई से अधिक है?

3.3 बहुलक (MODE)

जैसा कि हमने कहा है, माध्य (Mean) केंद्रीय प्रवृत्ति का एकमात्र माप या एकमात्र प्रतिनिधि मान नहीं है। आँकड़ों से विभिन्न आवश्यकताओं के लिए, केंद्रीय प्रवृत्तियों के अन्य मापों का उपयोग किया जाता है।

निम्नलिखित उदाहरण को देखिए

विभिन्न साइज़ की कमीज़ों की साप्ताहिक मांग जानने के लिए, एक दुकानदार ने $90 ~cm, 95 ~cm, 100 ~cm, 105 ~cm, 110 ~cm$ साइज़ों की बिक्री का रिकॉर्ड रखा। एक सप्ताह का रिकॉर्द इस प्रकार है:

Size (in inches)	$90 ~cm$	$95 ~cm$	$100 ~cm$	$105 ~cm$	$110 ~cm$	Total
Number of Shirts Sold	8	22	32	37	6	$\mathbf{1 0 5}$

यदि वह बेची गई कमीज़ों की माध्य संख्या निकाले, तो क्या आपको लगता है कि वह यह तय कर पाएगा कि किस साइज़ की कमीज़ स्टॉक में रखनी है?

$ \text{ कुल बेची गई कमीज़ों का माध्य }=\frac{\text{ बेची गई कमीज़ों की कुल संख्या }}{\text{ कमीज़ों के विभिन्न साइज़ों की संख्या }}=\frac{105}{5}=21 $

क्या उसे प्रत्येक साइज़ की 21 कमीज़ें लेनी चाहिए? यदि वह ऐसा करता है, तो क्या वह ग्राहकों की ज़रूरतों को पूरा कर पाएगा?

दुकानदार रिकॉर्द देखकर यह तय करता है कि वह $95 ~cm$, $100 ~cm, 105 ~cm$ साइज़ की कमीज़ें मंगवाए। उसने अन्य साइज़ों की कमीज़ें कम खरीदार होने के कारण अभी मंगवाने का निर्णय टाल दिया।

एक अन्य उदाहरण को देखिए

एक रेडीमेड कपड़ों की दुकान की मालकिन कहती है, “मैं जो सबसे अधिक बिकने वाली ड्रेस बेचती हूं, वह $90 ~cm$ साइज़ की है।

ध्यान दीजिए कि यहाँ भी मालकिन विभिन्न साइज़ों की बेची गई कमीज़ों की संख्या के बारे में चिंतित है। वह हालाँकि उस कमीज़ के साइज़ को देख रही है जो सबसे अधिक बिका है। यह आँकड़ों का एक अन्य प्रतिनिधित्व मूल्य है। सबसे अधिक घटित होने वाली घटना $90 ~cm$ साइज़ की बिक्री है। इस प्रतिनिधित्व मूल्य को आँकड़ों की बहुलक (mode) कहा जाता है।

एक प्रेक्षण-समुच्चय की मोड वह प्रेक्षण होता है जो सबसे अधिक बार आता है।

उदाहरण 4 दिए गए संख्या-समुच्चय का मोड ज्ञात कीजिए: 1, 1, 2, 4, 3, 2, 1, 2, 2, 4

हल

संख्याओं को समान मानों के साथ एक साथ रखने पर हमें प्राप्त होता है

$ 1,1,1,2,2,2,2,3,4,4 $

इस आँकड़े का मोड 2 है क्योंकि यह अन्य प्रेक्षणों की तुलना में अधिक बार आया है।

3.3.1 बड़े आँकड़ों का मोड

यदि प्रेक्षणों की संख्या बड़ी हो तो समान प्रेक्षणों को एक साथ रखना और गिनना आसान नहीं होता। ऐसी स्थितियों में हम आँकड़ों को सारणीबद्ध करते हैं। सारणीबद्ध करना यह करके शुरू किया जा सकता है कि आप टैली चिह्न लगाएँ और बारंबारता ज्ञात करें, जैसा कि आपने पिछली कक्षा में किया था। निम्नलिखित उदाहरण को देखिए:

उदाहरण 5 एक लीग के फुटबॉल मैचों में विजय के अंतर निम्नलिखित हैं।

$ \begin{aligned} & 1,3,2,5,1,4,6,2,5,2,2,2,4,1,2,3,1,1,2,3,2 \\ & 6,4,3,2,1,1,4,2,1,5,3,3,2,3,2,4,2,1,2 \end{aligned} $

इस आँकड़े का मोड ज्ञात कीजिए।

हल

आइए आँकड़ों को सारणीबद्ध रूप में रखें:

विजय का अंतर	टैली बार	मैचों की संख्या
$\theta$	IIIII IIII	9
2	IIII IIII IIII	14
3	IIIII II	7
4	IIIII	5
5	III	3
6	II	2
	कुल	40

सारणी को देखकर हम तुरंत कह सकते हैं कि 2 ‘मोड’ है क्योंकि 2 सबसे अधिक बार आया है। इस प्रकार अधिकांश मैच 2 गोल के विजय अंतर से जीते गए हैं।

इन्हें आप भी कीजिए

मोड ज्ञात कीजिए

(i) $2,6,5,3,0,3,4,3,2,4,5$, 2,4

(ii) $2,14,16,12,14,14,16$, $14,10,14,18,14$

सोचो, चर्चा करो और लिखो

क्या किसी संख्याओं के समूह में एक से अधिक बहुलक हो सकते हैं?

उदाहरण 6 संख्याओं 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 8 का बहुलक ज्ञात कीजिए।

हल

यहाँ 2 और 5 दोनों तीन-तीन बार आ रहे हैं। इसलिए ये दोनों आँकड़ों के बहुलक हैं।

इसे करो

1. अपने सभी सहपाठियों की आयु वर्षों में दर्ज करो। आँकड़ों को सारणीबद्ध करो और बहुलक ज्ञात करो।

2. अपने सहपाठियों की ऊँचाई सेंटीमीटर में दर्ज करो और बहुलक ज्ञात करो।

इन्हें आज़माओ

1. निम्नलिखित आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए:

$12,14,12,16,15,13,14,18,19,12,14,15,16,15,16,16,15$,

$17,13,16,16,15,15,13,15,17,15,14,15,13,15,14$

2. 25 बच्चों की ऊँचाइयाँ (सेंटीमीटर में) नीचे दी गई हैं:

$168,165,163,160,163,161,162,164,163,162,164,163,160,163,160$,

$165,163,162,163,164,163,160,165,163,162$

उनकी ऊँचाइयों का बहुलक क्या है? हम यहाँ बहुलक से क्या समझते हैं?

जहाँ माध्य हमें आँकड़ों के सभी प्रेक्षणों का औसत देता है, वहीं बहुलक वह प्रेक्षण देता है जो आँकड़ों में सबसे अधिक बार आता है।

आइए निम्नलिखित उदाहरणों पर विचार करें:

(a) आपको एक दावत के लिए बुलाए गए 25 लोगों के लिए चपातियों की संख्या तय करनी है।

(b) एक दुकानदार जो कमीज़ बेचती है, उसने अपना स्टॉक फिर से भरने का निर्णय लिया है।

(c) हमें अपने घर के लिए चाहिए दरवाज़े की ऊँचाई ज्ञात करनी है।

(d) पिकनिक पर जाते समय, यदि सभी के लिए केवल एक ही फल खरीदा जा सकता है, तो वह कौन-सा फल होगा जो हम लेंगे?

इनमें से किन स्थितियों में हम बहुलक को एक अच्छा अनुमान मानकर उपयोग कर सकते हैं?

पहले कथन पर विचार कीजिए। मान लीजिए प्रत्येक व्यक्ति को जितनी चप्पतियों की आवश्यकता है, वे इस प्रकार हैं:
$2,3,2,3,2,1,2,3,2,2,4,2,2,3,2,4,4,2,3,2,4,2,4,3,5$

इस आँकड़े का बहुलक 2 चप्पतियाँ है। यदि हम इस आँकड़े के प्रतिनिधित्व मूल्य के रूप में बहुलक का उपयोग करें, तो हमें केवल 50 चप्पतियों की आवश्यकता होगी, 25 व्यक्तियों में से प्रत्येक के लिए 2 चप्पतियाँ। हालाँकि, यह कुल संख्या स्पष्ट रूप से अपर्याप्त होगी। क्या माध्य एक उपयुक्त प्रतिनिधित्व मूल्य होगा?

तीसरे कथन के लिए, दरवाजे की ऊँचाई उन व्यक्तियों की ऊँचाई से संबंधित है जो उस दरवाजे का उपयोग करते हैं। मान लीजिए 5 बच्चे और 4 वयस्क दरवाजे का उपयोग करते हैं और प्रत्येक 5 बच्चों की ऊँचाई लगभग 135 $~cm$ है। ऊँचाइयों का बहुलक $135 ~cm$ है। क्या हमें एक ऐसा दरवाजा लगवाना चाहिए जिसकी ऊँचाई $144 ~cm$ हो? क्या सभी वयस्क उस दरवाजे से गुजर पाएंगे? यह स्पष्ट है कि बहुलक इस आँकड़े के लिए उपयुक्त प्रतिनिधित्व मूल्य नहीं है। क्या यहाँ माध्य एक उपयुक्त प्रतिनिधित्व मूल्य होगा?

क्यों नहीं? दरवाजे की ऊँचाई तय करने के लिए ऊँचाई का कौन-सा प्रतिनिधित्व मूल्य उपयोग किया जाना चाहिए?

इसी प्रकार बाकी कथनों का विश्लेषण कीजिए और उस मुद्दे के लिए उपयोगी प्रतिनिधित्व मूल्य खोजिए।

इन्हें आज़माइए

अपने मित्रों से चर्चा कीजिए और दीजिए

(a) दो ऐसी स्थितियाँ जहाँ माध्य एक उपयुक्त प्रतिनिधित्व मूल्य होगा, और

(b) दो ऐसी स्थितियाँ जहाँ बहुलक एक उपयुक्त प्रतिनिधित्व मूल्य होगा।

3.4 माध्यिका

हमने देखा है कि कुछ परिस्थितियों में समांतर माध्य केंद्रीय प्रवृत्ति का उपयुक्त माप होता है जबकि कुछ अन्य परिस्थितियों में बहुलक केंद्रीय प्रवृत्ति का उपयुक्त माप होता है।

आइए अब एक और उदाहरण देखें। 17 विद्यार्थियों के एक समूह पर विचार करें जिनकी ऊँचाइयाँ (से.मी. में) इस प्रकार हैं: 106, 110, 123, 125, 117, 120, 112, 115, 110, 120, 115, 102, 115, 115, 109, 115, 101।

खेल शिक्षिका कक्षा को दो समूहों में बाँटना चाहती है ताकि प्रत्येक समूह में समान संख्या में विद्यार्थी हों, एक समूह में उस विशेष ऊँचाई से कम ऊँचाई वाले विद्यार्थी हों और दूसरे समूह में उस विशेष ऊँचाई से अधिक ऊँचाई वाले विद्यार्थी हों। वह ऐसा कैसे करेगी?

आइए देखें कि उसके पास कौन-कौन से विकल्प हैं:

(i) वह माध्य निकाल सकती है। माध्य है

$ \begin{aligned} & \frac{106+110+123+125+117+120+112+115+110+120+115+102+115+115+109+115+101}{17} \\ & =\frac{1930}{17}=113.5 \end{aligned} $

इसलिए, यदि शिक्षिका इस माध्य ऊँचाई के आधार पर विद्यार्थियों को दो समूहों में बाँटती है, जिससे एक समूह में माध्य ऊँचाई से कम ऊँचाई वाले विद्यार्थी हों और दूसरे समूह में माध्य ऊँचाई से अधिक ऊँचाई वाले विद्यार्थी हों, तो समूह असमान आकार के होंगे। उनमें क्रमशः 7 और 10 सदस्य होंगे।

(ii) उसके लिए दूसरा विकल्प बहुलक निकालना है। सर्वाधिक बार आने वाला प्रेक्षण $115 ~cm$ है, जिसे बहुलक माना जाएगा।

बहुलक से नीचे 7 बच्चे हैं और बहुलक तथा बहुलक से ऊपर कुल मिलाकर 10 बच्चे हैं। इसलिए हम समूह को समान भागों में नहीं बाँट सकते।

आइए इसलिए एक वैकल्पिक प्रतिनिधि मान या केंद्रीय प्रवृत्ति की माप के बारे में सोचें। ऐसा करने के लिए हम फिर से दिए गए छात्रों की ऊँचाइयों (सेमी में) को देखते हैं और उन्हें बढ़ते क्रम में व्यवस्थित करते हैं। हमारे पास निम्नलिखित प्रेक्षण हैं:

$101,102,106,109,110,110,112,115,115,115,115,115,117,120,120,123,125$

इस आँकड़े में मध्य मान 115 है क्योंकि यह मान

इन्हें आज़माइए

आपके मित्र ने दिए गए आँकड़ों का माध्यिका और बहुलक निकाला। यदि कोई त्रुटि हो तो उसे बताइए और सुधारिए:

$35,32,35,42,38,32,34$

माध्यिका $=42$, बहुलक $=32$ छात्रों को दो समान समूहों में बाँटता है जिसमें प्रत्येक समूह में 8 छात्र हैं। इस मान को माध्यिका कहा जाता है। माध्यिका वह मान होता है जो आँकड़ों के बीच में स्थित होता है (जब उन्हें बढ़ते या घटते क्रम में व्यवस्थित किया जाता है) जिसके आधे प्रेक्षण ऊपर होते हैं और आधे नीचे। खेल शिक्षक खेल में बीच का छात्र रेफरी बनाने का निर्णय लेते हैं।

यहाँ हम केवल उन स्थितियों पर विचार करते हैं जहाँ प्रेक्षणों की संख्या विषम होती है।

इस प्रकार, दिए गए आँकड़ों को बढ़ते या घटते क्रम में व्यवस्थित करने पर, माध्यिका हमें मध्य प्रेक्षण देती है।

ध्यान दें कि सामान्यतः, हमें माध्यिका और बहुलक के लिए समान मान नहीं मिलता है।

इस प्रकार हम समझते हैं कि माध्य, बहुलक और माध्यिका वे संख्याएँ हैं जो प्रेक्षणों या आँकड़ों के समूह के प्रतिनिधि मान होते हैं। ये आँकड़ों के न्यूनतम और अधिकतम मानों के बीच में स्थित होते हैं। इन्हें केंद्रीय प्रवृत्ति की माप भी कहा जाता है।

उदाहरण 7 आँकड़ों: 24, 36, 46, 17, 18, 25, 35 का माध्यिका ज्ञात कीजिए।

हल

हम आँकड़ों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करते हैं, हमें 17, 18, 24, 25, 35, 36, 46 मिलता है।

माध्यिका मध्य वाली प्रेक्षण होती है। इसलिए 25 माध्यिका है।

अभ्यास 3.2

1. 15 विद्यार्थियों की गणित परीक्षा में प्राप्त अंक (25 में से) इस प्रकार हैं:

$ 19,25,23,20,9,20,15,10,5,16,25,20,24,12,20 $

इस आँकड़े का बहुलक और माध्यिका ज्ञात कीजिए। क्या ये समान हैं?

2. 11 खिलाड़ियों द्वारा एक क्रिकेट मैच में बनाए गए रन इस प्रकार हैं:

$ 6,15,120,50,100,80,10,15,8,10,15 $

इस आँकड़े का माध्य, बहुलक और माध्यिका ज्ञात कीजिए। क्या ये तीनों समान हैं?

3. एक कक्षा के 15 विद्यार्थियों का भार (किग्रा. में) इस प्रकार है:

$ 38,42,35,37,45,50,32,43,43,40,36,38,43,38,47 $

(i) इस आँकड़े का बहुलक और माध्यिका ज्ञात कीजिए।

(ii) क्या इसमें एक से अधिक बहुलक हैं?

4. आँकड़े: $13,16,12,14,19,12,14,13,14$ का बहुलक और माध्यिका ज्ञात कीजिए।

5. बताइए कि कथन सत्य है या असत्य:

(i) बहुलक हमेशा आँकड़े में मौजूद संख्याओं में से एक होती है।

(ii) माध्य आँकड़े में मौजूद संख्याओं में से एक होता है।

(iii) माध्यिका हमेशा आँकड़े में मौजूद संख्याओं में से एक होती है।

(iv) आँकड़ा 6, 4, 3, 8, 9, 12, 13, 9 का माध्य 9 है।

3.5 किसी अन्य उद्देश्य के साथ दंड आलेख का प्रयोग

हमने पिछले वर्ष देखा था कि एकत्र की गई सूचना को पहले बारंबारता बंटन सारणी में व्यवस्थित किया जा सकता है और फिर इस सूचना को चित्रात्मक रूप में चित्रलेख या दंड आलेख के रूप में दर्शाया जा सकता है। आप दंड आलेख को देखकर आँकड़ों के बारे में निष्कर्ष निकाल सकते हैं। आप इन दंड आलेखों के आधार पर सूचना भी प्राप्त कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, आप कह सकते हैं कि बहुलक सबसे लंबा दंड है यदि दंड बारंबारता को दर्शाता है।

3.5.1 स्केल चुनना

हम जानते हैं कि दंड आलेख एक समान चौड़ाई के दंडों का उपयोग कर संख्याओं का प्रतिनिधित्व है और दंडों की लंबाइयाँ बारंबारता और आपके द्वारा चुने गए स्केल पर निर्भर करती हैं। उदाहरण के लिए, एक दंड आलेख में जहाँ इकाइयों में संख्याएँ दिखानी हैं, आलेख एक इकाई लंबाई को एक प्रेक्षण के लिए दर्शाता है और यदि दस या सैकड़ों में संख्याएँ दिखानी हैं, तो एक इकाई लंबाई 10 या 100 प्रेक्षणों को दर्शा सकती है। निम्नलिखित उदाहरणों पर विचार करें:

उदाहरण 8 छठी और सातवीं कक्षाओं के दो सौ विद्यार्थियों से उनकी पसंदीदा रंग का नाम पूछा गया ताकि यह तय किया जा सके कि उनकी स्कूल इमारत का रंग क्या होना चाहिए। परिणाम निम्नलिखित सारणी में दिखाए गए हैं। दिए गए आँकड़ों को दंड आलेख पर दर्शाइए।

पसंदीदा रंग	लाल	हरा	नीला	पीला	नारंगी
विद्यार्थियों की संख्या	43	19	55	49	34

दंड आलेख की सहायता से निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए:

(i) सबसे अधिक पसंद किया गया रंग कौन-सा है और सबसे कम पसंद किया गया रंग कौन-सा है?

(ii) कुल कितने रंग हैं? वे कौन-कौन से हैं?

हल

एक उपयुक्त स्केल इस प्रकार चुनें:

स्केल 0 से प्रारंभ करें। आँकड़ों में सबसे बड़ा मान 55 है, इसलिए स्केल को 55 से अधिक, जैसे 60 तक समाप्त करें। अक्षों पर समान विभाजन प्रयोग करें, जैसे 10 की वृद्धि। आप

(ii) हरा सबसे कम पसंद किया जाने वाला रंग है। (क्योंकि हरे रंग का बार सबसे छोटा है)।

(iii) पाँच रंग हैं। वे हैं लाल, हरा, नीला, पीला और नारंगी। (ये क्षैतिज रेखा पर देखे गए हैं)

उदाहरण 9 निम्नलिखित आँकड़े एक विशेष कक्षा के छह बच्चों द्वारा प्राप्त कुल अंक (600 में से) देते हैं। आँकड़ों को एक दंड आरेख पर दर्शाएँ।

विद्यार्थी	अजय	बाली	दीप्ति	फैयाज़	गीतिका	हरी
प्राप्त अंक	450	500	300	360	400	540

हल

(i) एक उपयुक्त स्केल चुनने के लिए हम 100 की वृद्धि लेते हुए समान विभाजन बनाते हैं। इस प्रकार 1 इकाई 100 अंक दर्शाएगी। (यदि हम एक इकाई को 10 अंक दर्शाने के लिए चुनें तो क्या कठिनाई होगी?)

(ii) अब आँकड़ों को दंड आरेख पर दर्शाएँ।

द्वि-बार ग्राफ बनाना

निम्नलिखित दो आँकड़ों के संग्रह पर विचार करें जो वर्ष के सभी बारह महीनों के लिए दो शहरों अबरडीन और मार्गेट में औसत दैनिक धूप के घंटे दे रहे हैं। ये शहर दक्षिण ध्रुव के निकट हैं और इसलिए इनमें प्रतिदिन केवल कुछ ही घंटे धूप होती है।

मार्गेट में
	जन.	फर.	मार्च	अप्रैल	मई	जून	जुलाई	अग.	सित.	अक्तू.	नव.	दिस.
औसत धूप के घंटे	2	$3 \frac{1}{4}$	4	4	$7 \frac{3}{4}$	8	$7 \frac{1}{2}$	7	$6 \frac{1}{4}$	6	4	2
अबरडीन में
औसत धूप के घंटे	$1 \frac{1}{2}$	3	$3 \frac{1}{2}$	6	$5 \frac{1}{2}$	$6 \frac{1}{2}$	$5 \frac{1}{2}$	5	$4 \frac{1}{2}$	4	3	$1 \frac{3}{4}$

व्यक्तिगत बार ग्राफ बनाकर आप ऐसे प्रश्नों के उत्तर दे सकते हैं

(i) किस महीने में प्रत्येक शहर को अधिकतम धूप मिलती है? या

(ii) किस महीने में प्रत्येक शहर को न्यूनतम धूप मिलती है?

हालांकि, “किसी विशेष महीने में किस शहर में अधिक धूप के घंटे होते हैं” जैसे प्रश्नों का उत्तर देने के लिए हमें दोनों शहरों की औसत धूप के घंटों की तुलना करनी होगी। ऐसा करने के लिए हम सीखेंगे कि द्वि-पट्ट आलेख (double bar graph) कैसे बनाया जाता है, जिसमें दोनों शहरों की जानकारी एक साथ दी जाती है।

यह पट्ट आलेख (चित्र 3.1) दोनों शहरों की औसत धूप दिखाता है।

चित्र 3.1

प्रत्येक महीने के लिए हमारे पास दो पट्ट हैं, जिनकी ऊँचाई प्रत्येक शहर में औसत धूप के घंटों को दर्शाती है। इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि अप्रैल के महीने को छोड़कर, हमेशा मार्गेट में अबरडीन की तुलना में अधिक धूप होती है। आप अपने क्षेत्र या शहर के लिए भी ऐसा ही पट्ट आलेख बना सकते हैं।

आइए एक और उदाहरण देखें जो हमसे अधिक संबंधित है।

उदाहरण 10 एक गणित की अध्यापिका यह देखना चाहती है कि त्रैमासिक परीक्षा के बाद उसने जो नई शिक्षण तकनीक अपनाई है, वह प्रभावी है या नहीं। वह त्रैमासिक परीक्षा (25 में से) और अर्धवार्षिक परीक्षा (25 में से) में सबसे कमज़ोर 5 बच्चों के अंक लेती है:

विद्यार्थी	आशीष	अरुण	काविश	माया	रीता
त्रैमासिक	10	15	12	20	9
अर्धवार्षिक	15	18	16	21	15

हल

वह संलग्न द्वि-दंड आरेख खींचती है और अधिकांश विद्यार्थियों में उल्लेखनीय सुधार पाती है; शिक्षिका निर्णय लेती है कि उसे पढ़ाने की नई तकनीक जारी रखनी चाहिए।

क्या आप कुछ और ऐसी स्थितियाँ सोच सकते हैं जहाँ आप द्वि-दंड आरेख का उपयोग कर सकें?

इन्हें आज़माइए

1. दंड आरेख (आकृति 3.2) विभिन्न कंपनियों द्वारा बनाई गईं जल-प्रतिरोधी घड़ियों के एक सर्वेक्षण का परिणाम दिखाता है।

इन सभी कंपनियों ने दावा किया था कि उनकी घड़ियाँ जल-प्रतिरोधी हैं। परीक्षण के बाद उपरोक्त परिणाम सामने आए।

कंपनियाँ: आकृति 3.2 (a) क्या आप प्रत्येक कंपनी के लिए परीक्षित घड़ियों की संख्या से रिसने वाली घड़ियों की संख्या का एक अंश निकाल सकते हैं?

(b) क्या आप इस आधार पर बता सकते हैं कि किस कंपनी की घड़ियाँ बेहतर हैं?

2. वर्ष 1995, 1996, 1997 और 1998 में अंग्रेज़ी और हिन्दी पुस्तकों की बिक्री नीचे दी गई है:

वर्ष	$\mathbf{1995}$	$\mathbf{1996}$	$\mathbf{1997}$	$\mathbf{1998}$
अंग्रेज़ी	350	400	450	620
हिन्दी	500	525	600	650

एक द्वार-स्तंभ आलेख बनाइए और निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए:

(a) किस वर्ष दोनों भाषाओं की पुस्तकों की बिक्री में अंतर न्यूनतम था?

(b) क्या आप कह सकते हैं कि अंग्रेज़ी पुस्तकों की माँग तेज़ी से बढ़ी है? औचित्य दीजिए।

प्रश्नावली 3.3

1. स्तंभ आलेख (आकृति 3.3) का प्रयोग कर निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए। (a) सबसे लोकप्रिय पालतू जानवर कौन-सा है? (b) कितने विद्यार्थियों के पास कुत्ता पालतू जानवर के रूप में है?

आकृति 3.3

आकृति 3.4

2. स्तंभ आलेख (आकृति 3.4) को पढ़िए जो लगातार पाँच वर्षों के दौरान एक पुस्तक-केंद्र द्वारा बेची गई पुस्तकों की संख्या दर्शाता है और निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए:

(i) लगभग कितनी पुस्तकें 1989 में बेची गईं? 1990 में? 1992 में?

(ii) किस वर्ष लगभग 475 पुस्तकें बेची गईं? लगभग 225 पुस्तकें किस वर्ष बेची गईं?

(iii) किन वर्षों में 250 से कम पुस्तकें बेची गईं?

(iv) क्या आप बता सकते हैं कि आप 1989 में बिकी पुस्तकों की संख्या का अनुमान कैसे लगाएँगे?

3. छः विभिन्न कक्षाओं में बच्चों की संख्या नीचे दी गई है। आँकड़ों को एक दंड आलेख (बार ग्राफ) पर दर्शाइए।

कक्षा	पाँचवीं	छठवीं	सातवीं	आठवीं	नवीं	दसवीं
बच्चों की संख्या	135	120	95	100	90	80

(a) आप पैमाना कैसे चुनेंगे?

(b) निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए:

(i) किस कक्षा में बच्चों की संख्या अधिकतम है और न्यूनतम है?

(ii) छठवीं कक्षा के विद्यार्थियों की संख्या का आठवीं कक्षा के विद्यार्थियों की संख्या से अनुपात ज्ञात कीजिए।

4. एक विद्यार्थी के प्रथम सत्र और द्वितीय सत्र के प्रदर्शन को दिया गया है। उपयुक्त पैमाना चुनते हुए एक द्वैत दंड आलेख (डबल बार ग्राफ) बनाइए और निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए:

विषय	अंग्रेज़ी	हिन्दी	गणित	विज्ञान	सामाजिक विज्ञान
$\mathbf{1}^{\text{st }}$ सत्र (अधिकतम अंक 100)	67	72	88	81	73
$2^{\text{nd }}$ सत्र (अधिकतम अंक 100)	70	65	95	85	75

(i) किस विषय में बच्चे ने अपना प्रदर्शन सबसे अधिक सुधारा है?

(ii) किस विषय में सुधार सबसे कम है?

(iii) क्या किसी विषय में प्रदर्शन घटा है?

5. एक कॉलोनी के सर्वे से एकत्रित यह आँकड़ा विचार कीजिए।

प्रिय खेल	क्रिकेट	बास्केट बॉल	तैराकी	हॉकी	एथलेटिक्स
देखना	1240	470	510	430	250
भाग लेना	620	320	320	250	105

(i) एक उचित स्केल चुनते हुए एक द्वि-दंड आरेख बनाइए।

आप दंड आरेख से क्या निष्कर्ष निकालते हैं?

(ii) सबसे अधिक लोकप्रिय खेल कौन-सा है?

(iii) खेलों को देखना अधिक पसंद किया जाता है या उनमें भाग लेना?

6. इस अध्याय के प्रारंभ में दी गई विभिन्न नगरों की न्यूनतम और अधिकतम तापमान संबंधी आँकड़े (तालिका 3.1) लीजिए। आँकड़ों का उपयोग कर एक द्वि-दंड आरेख बनाइए और निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए:

(i) किस नगर में दिए गए दिनांक पर न्यूनतम और अधिकतम तापमान का अंतर सबसे अधिक है?

(ii) सबसे गर्म नगर कौन-सा है और सबसे ठंडा नगर कौन-सा है?

(iii) दो ऐसे नगरों के नाम बताइए जिनमें से एक का अधिकतम तापमान दूसरे के न्यूनतम तापमान से कम था।

(iv) उस नगर का नाम बताइए जिसके न्यूनतम और अधिकतम तापमान के बीच सबसे कम अंतर है।

हमने क्या चर्चा की है?

1. औसत एक ऐसी संख्या है जो प्रेक्षणों या आँकड़ों के समूह की केंद्रीय प्रवृत्ति को दर्शाती है।

2. समांतर माध्य आँकड़ों के प्रतिनिधि मानों में से एक है।

3. बहुलक केंद्रीय प्रवृत्ति या प्रतिनिधि मान का एक अन्य रूप है। प्रेक्षणों के समूह का बहुलक वह प्रेक्षण होता है जो सबसे अधिक बार आता है।

4. माध्यिका भी प्रतिनिधि मान का एक रूप है। यह उस मान को संदर्भित करता है जो आँकड़ों के बीच में स्थित होता है, जिसके ऊपर आधे प्रेक्षण और नीचे आधे प्रेक्षण होते हैं।

5. दंड आरेख एक समान चौड़ाई के दंडों का उपयोग कर संख्याओं का चित्रण होता है।

6. द्वि-दंड आरेख दो आँकड़ों के समूहों की तुलना एक ही नज़र में करने में सहायक होते हैं।