5.1 परिचय

आप पहले से ही जानते हैं कि किसी दिए गए आकृति में विभिन्न रेखाओं, रेखाखंडों और कोणों को कैसे पहचाना जाता है। क्या आप निम्न आकृतियों में बने विभिन्न रेखाखंडों और कोणों को पहचान सकते हैं? (आकृति 5.1)

क्या आप यह भी पहचान सकते हैं कि बने हुए कोण न्यून, अधिक या समकोण हैं?

याद कीजिए कि एक रेखाखंड के दो अंत बिंदु होते हैं। यदि हम इन दोनों अंत बिंदुओं को किसी भी दिशा में अनंत तक बढ़ाएं, तो हमें एक रेखा प्राप्त होती है। इस प्रकार, हम कह सकते हैं कि एक रेखा के कोई अंत बिंदु नहीं होते। दूसरी ओर, याद कीजिए कि एक किरण का एक अंत बिंदु होता है (अर्थात् इसका प्रारंभिक बिंदु)। उदाहरण के लिए, नीचे दी गई आकृतियों को देखें:

यहाँ, आकृति 5.2 (i) एक रेखाखंड दिखाती है, आकृति 5.2 (ii) एक रेखा दिखाती है और आकृति 5.2 (iii) एक किरण है। एक रेखाखंड $PQ$ को आमतौर पर प्रतीक $\overline{PQ}$ द्वारा दर्शाया जाता है, एक रेखा $AB$ को प्रतीक $\overrightarrow{{}AB}$ द्वारा दर्शाया जाता है और किरण OP को $\stackrel{\text{ UP }}{OP}$ द्वारा दर्शाया जाता है। अपने दैनिक जीवन से रेखाखंडों और किरणों के कुछ उदाहरण दीजिए और उन्हें अपने मित्रों के साथ चर्चा कीजिए।

फिर से याद कीजिए कि कोण बनता है जब रेखाएँ या रेखाखंड मिलते हैं। आकृति 5.1 में, कोनों को देखिए। ये कोने बनते हैं जब दो रेखाएँ या रेखाखंड किसी बिंदु पर काटते हैं। उदाहरण के लिए, नीचे दी गई आकृतियों को देखिए:

आकृति 5.3 (i) में रेखाखंड $AB$ और $BC$ बिंदु $B$ पर काटते हैं और कोण $ABC$ बनाते हैं, और फिर रेखाखंड $BC$ और $AC$ बिंदु $C$ पर काटते हैं और कोण $ACB$ बनाते हैं और इसी तरह। जबकि, आकृति 5.3 (ii) में रेखाएँ $PQ$ और $RS$ बिंदु $O$ पर काटती हैं और चार कोण POS, SOQ, QOR और ROP बनाती हैं। कोण ABC को प्रतीक $\angle ABC$ द्वारा दर्शाया जाता है। इस प्रकार, आकृति 5.3 (i) में बने तीन कोण हैं $\angle ABC, \angle BCA$ और $\angle BAC$, और आकृति 5.3 (ii) में बने चार कोण हैं $\angle POS, \angle SOQ, \angle QOR$ और $\angle POR$। आपने पहले ही

इन्हें आज़माइए

अपने चारों ओर दस आकृतियाँ गिनिए और उनमें पाए जाने वाले न्यून, अधिक और समकोणों की पहचान कीजिए। सीखा है कि कोणों को न्यून, अधिक या समकोण के रूप में कैसे वर्गीकृत किया जाता है।

नोट: जब हम कोण $ABC$ की माप का उल्लेख करते हैं, तो हम $m \angle ABC$ को सरलतापूर्वक $\angle ABC$ लिखेंगे। संदर्भ स्पष्ट कर देगा कि हम कोण की बात कर रहे हैं या उसकी माप की।

5.2 संबंधित कोण

5.2.1 पूरक कोण

जब दो कोणों के मापों का योग $90^{\circ}$ होता है, तो उन कोणों को पूरक कोण कहा जाता है।

क्या ये दो कोण पूरक हैं?

चित्र 5.4

नहीं:
जब भी दो कोण पूरक होते हैं, तो प्रत्येक कोण को दूसरे कोण का पूरक कहा जाता है। उपरोक्त आरेख (चित्र 5.4) में, ‘$30^{\circ}$ कोण’ ‘$60^{\circ}$ कोण’ का पूरक है और इसका विपरीत भी सत्य है।

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए

1. क्या दो न्यून कोण एक-दूसरे के पूरक हो सकते हैं?

2. क्या दो अधिक कोण एक-दूसरे के पूरक हो सकते हैं?

3. क्या दो समकोण एक-दूसरे के पूरक हो सकते हैं?

इन्हें आज़माइए

1. निम्नलिखित कोणों में से कौन-से युग्म पूरक हैं? (चित्र 5.5)

2. निम्नलिखित प्रत्येक कोण का पूरक कोण कितने माप का होगा?

(i) $45^{\circ}$

(ii) $65^{\circ}$

(iii) $41^{\circ}$

(iv) $54^{\circ}$

3. दो पूरक कोणों की मापों का अंतर $12^{\circ}$ है। कोणों की माप ज्ञात कीजिए।

5.2.2 संपूरक कोण

अब हम निम्नलिखित कोण युग्मों को देखते हैं (चित्र 5.6):

क्या आपने देखा कि उपरोक्त प्रत्येक युग्म (आकृति 5.6) में कोणों के मापों का योग $180^{\circ}$ आता है? ऐसे कोणों के युग्मों को संपूरक कोण कहा जाता है। जब दो कोण संपूरक होते हैं, तो प्रत्येक कोण को दूसरे का संपूरक कहा जाता है।

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए

1. क्या दो अधिक कोण संपूरक हो सकते हैं?

2. क्या दो न्यून कोण संपूरक हो सकते हैं?

3. क्या दो समकोण संपूरक हो सकते हैं?

इन्हें आज़माइए

1. आकृति 5.7 में संपूरक कोणों के युग्म ज्ञात कीजिए:

2. निम्नलिखित प्रत्येक कोणों के संपूरक की माप क्या होगी?

(i) $100^{\circ}$

(ii) $90^{\circ}$

(iii) $55^{\circ}$

(iv) $125^{\circ}$

3. दो संपूरक कोणों में बड़े कोण की माप छोटे कोण की माप से $44^{\circ}$ अधिक है। उनकी माप ज्ञात कीजिए।

अभ्यास 5.1

1. निम्नलिखित में से प्रत्येक कोण का पूरक (complement) ज्ञात कीजिए:

2. निम्नलिखित में से प्रत्येक कोण का संपूरक (supplement) ज्ञात कीजिए:

(iii)

3. निम्नलिखित कोणों के युग्मों में से कौन-से पूरक हैं और कौन-से संपूरक, पहचानिए।

(i) $65^{\circ}, 115^{\circ}$

(ii) $63^{\circ}, 27^{\circ}$

(iii) $112^{\circ}, 68^{\circ}$

(iv) $130^{\circ}, 50^{\circ}$

(v) $45^{\circ}, 45^{\circ}$

(vi) $80^{\circ}, 10^{\circ}$

4. वह कोण ज्ञात कीजिए जो अपने पूरक के बराबर हो।

5. वह कोण ज्ञात कीजिए जो अपने संपूरक के बराबर हो।

6. दी गई आकृति में, $\angle 1$ और $\angle 2$ संपूरक कोण हैं।

यदि $\angle 1$ घटाया जाए, तो $\angle 2$ में क्या परिवर्तन होना चाहिए ताकि दोनों कोण अभी भी संपूरक बने रहें।

7. क्या दो कोण संपूरक हो सकते हैं यदि दोनों:

(i) न्यूनकोण (acute) हों?

(ii) अधिककोण (obtuse) हों?

(iii) समकोण (right) हों?

8. एक कोण (45^{\circ}) से अधिक है। क्या इसका पूरक कोण (45^{\circ}) से अधिक है या (45^{\circ}) के बराबर है या (45^{\circ}) से कम है?

9. रिक्त स्थान भरें:

(i) यदि दो कोण पूरक हैं, तो उनके मापों का योग _______ होता है।

(ii) यदि दो कोण संपूरक हैं, तो उनके मापों का योग _______ होता है।

(iii) यदि दो संलग्न कोण संपूरक हैं, तो वे एक _______ बनाते हैं।

10. संलग्न आकृति में, निम्नलिखित कोणों के युग्मों के नाम बताएं।

(i) अधिक कोण वाले उभयनिष्ठ विपरीत कोण

(ii) संलग्न पूरक कोण

(iii) समान संपूरक कोण

(iv) असमान संपूरक कोण

(v) संलग्न कोण जो रैखिक युग्म नहीं बनाते

5.3 रेखाओं के युग्म

5.3.1 प्रतिच्छेदी रेखाएं

आकृति 5.8

स्टैंड पर लगा ब्लैकबोर्ड, रेखाखंडों से बना अक्षर Y और खिड़की की ग्रिल-दरवाजा (आकृति 5.8), इन सभी में समान क्या है? ये सभी प्रतिच्छेदी रेखाओं के उदाहरण हैं।

दो रेखाएँ $l$ और $m$ प्रतिच्छेद करती हैं यदि उनमें एक उभयनिष्ठ बिंदु हो। यह उभयनिष्ठ बिंदु $O$ उनका प्रतिच्छेदन बिंदु होता है।

सोचिए, विचार कीजिए और लिखिए

चित्र 5.9 में, $AC$ और $BE$ बिंदु $P$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।

$AC$ और $BC$ बिंदु $C$ पर प्रतिच्छेद करती हैं, $AC$ और $EC$ बिंदु $C$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।

कोशिश कीजिए कि रेखाखंडों के और दस युग्म खोजें जो प्रतिच्छेद करते हों।

क्या कोई भी दो रेखाएँ या रेखाखंड अनिवार्यतः प्रतिच्छेद करते हैं? क्या आप चित्र में दो ऐसे युग्म खोज सकते हैं जो प्रतिच्छेद नहीं करते?

क्या दो रेखाएँ एक से अधिक बिंदुओं पर प्रतिच्छेद कर सकती हैं? इसके बारे में सोचिए।

चित्र 5.9

इन्हें आज़माइए

1. अपने आस-पास से ऐसे उदाहरण खोजिए जहाँ रेखाएँ समकोण पर प्रतिच्छेद करती हों।

2. एक समबाहु त्रिभुज के शीर्षों पर प्रतिच्छेद करती रेखाओं द्वारा बने कोणों के माप ज्ञात कीजिए।

3. कोई आयत बनाइए और प्रतिच्छेद करती रेखाओं द्वारा चारों शीर्षों पर बने कोणों के माप ज्ञात कीजिए।

4. यदि दो रेखाएँ प्रतिच्छेद करें, तो क्या वे सदैव समकोण पर प्रतिच्छेद करती हैं?

5.3.2 तिर्यक रेखा

आपने कभी न कभी एक सड़क को दो या अधिक सड़कों को काटते हुए या एक रेलवे लाइन को कई अन्य लाइनों को काटते हुए देखा होगा (चित्र 5.10)। ये एक तिर्यक रेखा की संकल्पना देते हैं।

एक रेखा जो दो या दो से अधिक रेखाओं को विभिन्न बिंदुओं पर काटती है, उसे तिर्यक रेखा (transversal) कहा जाता है।

चित्र 5.11 में, $p$ रेखा $l$ और $m$ रेखाओं के लिए एक तिर्यक रेखा है।

चित्र 5.12 में रेखा $p$ एक तिर्यक रेखा नहीं है, यद्यपि यह दो रेखाओं $l$ और $m$ को काटती है। क्या आप बता सकते हैं, ‘क्यों’?

5.3.3. तिर्यक रेखा द्वारा बनाए गए कोण

चित्र 5.13 में, आप देखते हैं कि रेखाएँ $l$ और $m$ तिर्यक रेखा $p$ द्वारा काटी गई हैं। 1 से 8 तक चिह्नित आठ कोणों के विशेष नाम हैं:

चित्र 5.13

इन्हें आज़माएँ

1. मान लीजिए दो रेखाएँ दी गई हैं। आप इन रेखाओं के लिए कितनी अनुप्रस्थ रेखाएँ खींच सकते हैं?

2. यदि एक रेखा तीन रेखाओं के लिए अनुप्रस्थ रेखा है, तो प्रतिच्छेदन बिंदुओं की संख्या कितनी है?

3. अपने आस-पास कुछ अनुप्रस्थ रेखाओं की पहचान करने का प्रयास करें।

नोट: संगत कोण (जैसे आकृति 5.14 में $\angle 1$ और $\angle 5$)

(i) भिन्न शीर्ष बिंदु रखते हैं

(ii) अनुप्रस्थ रेखा के एक ही ओर होते हैं और

(iii) दोनों रेखाओं के सापेक्ष ‘संगत’ स्थितियों (ऊपर या नीचे, बाएँ या दाएँ) में होते हैं।

वैकल्पिक आंतरिक कोण (जैसे आकृति 5.15 में $\angle 3$ और $\angle 6$)

(i) भिन्न शीर्ष बिंदु रखते हैं

(ii) अनुप्रस्थ रेखा के विपरीत ओर होते हैं और

(iii) दोनों रेखाओं के ‘बीच’ स्थित होते हैं।

आकृति 5.15

इन्हें आज़माएँ

प्रत्येक आकृति में कोणों के युग्मों के नाम बताइए:

5.3.4 समांतर रेखाओं का तिर्यक रेखा

क्या आपको याद है समांतर रेखाएँ क्या होती हैं? वे समतल पर ऐसी रेखाएँ होती हैं जो कहीं भी मिलती नहीं हैं। क्या आप निम्न आकृतियों में समांतर रेखाएँ पहचान सकते हैं? (आकृति 5.16)

समांतर रेखाओं की तिर्यक रेखाएँ काफी रोचक परिणाम देती हैं।

इसे करें

एक रूल वाली कागज़ की शीट लें। गाढ़े रंग में दो समांतर रेखाएँ $l$ और $m$ खींचें।

रेखाओं $l$ और $m$ पर एक तिर्यक रेखा $t$ खींचें। चित्रानुसार $\angle 1$ और $\angle 2$ को लेबल करें [आकृति 5.17(i)]। खींची गई आकृति पर एक ट्रेसिंग पेपर रखें। रेखाओं $l$, $m$ और $t$ को ट्रेस करें।

ट्रेसिंग पेपर को $t$ के साथ-साथ सरकाएँ, जब तक कि $l$, $m$ के संपाती न हो जाए।

आप पाएँगे कि ट्रेस की गई आकृति का $\angle 1$ मूल आकृति के $\angle 2$ के संपाती हो जाता है।

वास्तव में, आप इसी प्रकार के ट्रेसिंग और स्लाइडिंग कार्य से निम्नलिखित सभी परिणाम देख सकते हैं।

(i) $\angle 1=\angle 2\quad$ (ii) $\angle 3=\angle 4$

(iii) $\angle 5=\angle 6\quad$ (iv) $\angle 7=\angle 8$

यह गतिविधि निम्नलिखित तथ्य को दर्शाती है:

यदि दो समांतर रेखाओं को एक तिर्यक रेखा काटती है, तो प्रत्येक संगत कोणों का युग्म समान माप का होता है।

हम इस परिणाम का उपयोग करके एक और रोचक परिणाम प्राप्त करते हैं। आकृति 5.18 को देखिए।

जब $t$ समांतर रेखाओं $l, m$ को काटती है, तो हमें प्राप्त होता है, $\angle 3=\angle 7$ (शीर्षाभिमुख कोण)।

परंतु $\angle 7=\angle 8$ (संगत कोण)। इसलिए, $\angle 3=\angle 8$

आप इसी प्रकार दिखा सकते हैं कि $\angle 1=\angle 6$। इस प्रकार, हमें निम्नलिखित परिणाम प्राप्त होता है:

यदि दो समांतर रेखाओं को एक तिर्यक रेखा काटती है, तो प्रत्येक वैकल्पिक अंतःस्थ कोणों का युग्म समान होता है।

यह दूसरा परिणाम एक और रोचक गुणधर्म की ओर ले जाता है। पुनः, आकृति 5.18 से।

$\angle 3+\angle 1=180^{\circ}$ ($\angle 3$ और $\angle 1$ एक रेखीय युग्म बनाते हैं)

परंतु $\angle 1=\angle 6$ (एक वैकल्पिक अंतःस्थ कोणों का युग्म)

इसलिए, हम कह सकते हैं कि $\angle 3+\angle 6=180^{\circ}$।

इसी प्रकार, $\angle 1+\angle 8=180^{\circ}$। इस प्रकार, हम निम्नलिखित परिणाम प्राप्त करते हैं:

यदि दो समांतर रेखाओं को एक तिर्यक रेखा द्वारा काटा जाता है, तो तिर्यक रेखा के एक ही ओर स्थित प्रत्येक आंतरिक कोण युग्म पूरक होते हैं।

यदि आप प्रासंगिक ‘आकृतियों’ को देख सकें, तो आप इन परिणामों को बहुत आसानी से याद रख सकते हैं।

इसे करें

एक युग्म समांतर रेखाएं और एक तिर्यक रेखा खींचें। कोणों को वास्तव में मापकर उपरोक्त तीन कथनों की पुष्टि करें।

इन्हें आजमाएं

5.4 समांतर रेखाओं की जांच

यदि दो रेखाएं समांतर हैं, तो आप जानते हैं कि एक तिर्यक रेखा समान संगत कोणों के युग्म, समान वैकल्पिक आंतरिक कोण और तिर्यक रेखा के एक ही ओर स्थित आंतरिक कोणों को पूरक बनाती है।

जब दो रेखाएं दी गई हों, तो क्या कोई विधि है जिससे यह जांचा जा सके कि वे समांतर हैं या नहीं? आपको यह कौशल कई जीवन-उन्मुख स्थितियों में चाहिए होता है।

एक ड्राफ्ट्समैन कारपेंटर का स्क्वायर और एक सीधे किनारे वाले स्केल (रूलर) का उपयोग करके इन रेखाखंडों को खींचता है (चित्र 5.19)। वह दावा करता है कि वे समांतर हैं। कैसे?

क्या आप देख पा रहे हैं कि उसने संगत कोणों को समान रखा है? (यहां तिर्यक रेखा क्या है?)

इस प्रकार, जब एक ट्रांसवर्सल दो रेखाओं को काटता है, ताकि संगत कोणों के युग्म समान हों, तो रेखाएँ समानांतर होनी चाहिए।

अक्षर Z(Fig 5.20) को देखें। यहाँ क्षैतिज खंड समानांतर हैं, क्योंकि एकांतर कोण समान हैं।

जब एक ट्रांसवर्सल दो रेखाओं को काटता है, ताकि एकांतर आंतरिक कोणों के युग्म समान हों, तो रेखाएँ समानांतर होनी चाहिए।

Fig 5.19

Fig 5.20

एक रेखा $l$ खींचें (Fig 5.21)।

एक रेखा $m$ खींचें, जो $l$ पर लंब हो। पुनः एक रेखा $p$ खींचें, ताकि $p$, $m$ पर लंब हो।

इस प्रकार, $p$, $l$ की लंब पर लंब है।

आप पाते हैं $p | l$। कैसे? ऐसा इसलिए है क्योंकि आप $p$ इस प्रकार खींचते हैं कि $\angle 1+\angle 2=180^{\circ}$।

Fig 5.21

इस प्रकार, जब एक ट्रांसवर्सल दो रेखाओं को काटता है, ताकि ट्रांसवर्सल के एक ही ओर स्थित आंतरिक कोणों के युग्म पूरक हों, तो रेखाएँ समानांतर होनी चाहिए।

इन्हें आज़माएँ

प्रश्नावली 5.2

1. निम्नलिखित कथनों में प्रयुक्त गुणधर्म को बताइए?

(i) यदि $a || b$, तो $\angle 1=\angle 5$.

(ii) यदि $\angle 4=\angle 6$, तो $a \ || b$.

(iii) यदि $\angle 4+\angle 5=180^{\circ}$, तो $a \ || b$.

2. संलग्न आकृति में पहचानिए

(i) संगत कोणों के युग्म.

(ii) वैकल्पिक आंतरिक कोणों के युग्म.

(iii) ट्रांसवर्सल की एक ही ओर स्थित आंतरिक कोणों के युग्म.

(iv) शीर्षाभिमुख कोण.

3. संलग्न आकृति में, $p || q$। अज्ञात कोण ज्ञात कीजिए।

4. निम्नलिखित प्रत्येक आकृति में $x$ का मान ज्ञात कीजिए यदि $l || m$ है।

5. दी गई आकृति में, दो कोणों की भुजाएँ समांतर हैं।

यदि $\angle ABC=70^{\circ}$ है, तो ज्ञात कीजिए

(i) $\angle DGC$

(ii) $\angle DEF$

6. नीचे दी गई आकृतियों में निर्णय कीजिए कि क्या $l$, $m$ के समांतर है।

हमने क्या चर्चा की?

1. हम याद करते हैं कि (i) एक रेखा-खंड के दो अंत बिंदु होते हैं।

(ii) एक किरण का केवल एक अंत बिंदु होता है (इसका प्रारंभिक बिंदु); और

(iii) एक रेखा के किसी भी ओर कोई अंत बिंदु नहीं होता।

2. जब दो रेखाएँ $l$ और $m$ मिलती हैं, तो हम कहते हैं कि वे प्रतिच्छेद करती हैं; मिलने वाले बिंदु को प्रतिच्छेद बिंदु कहा जाता है।

जब कागज़ पर खींची गई रेखाएँ चाहे जितनी आगे बढ़ा दी जाएँ, मिलती नहीं, तो हम उन्हें समांतर रेखाएँ कहते हैं।