6.1 परिचय

एक त्रिभुज, आपने देखा है, तीन रेखाखंडों से बना एक सरल बंद वक्र होता है। इसके तीन शीर्ष, तीन भुजाएँ और तीन कोण होते हैं। यहाँ $\triangle ABC$ है (चित्र 6.1)। इसमें

$\text{भुजाएँ}:\qquad \overline{AB}, \overline{BC}, \overline{CA}$

$\text{कोण}:\qquad \angle BAC, \angle ABC, \angle BCA$

$\text{शीर्ष}:\qquad A, B, C$

चित्र 6.1

शीर्ष A के विपरीत भुजा $BC$ है। क्या आप भुजा AB के विपरीत कोण का नाम बता सकते हैं? आप जानते हैं कि त्रिभुजों को (i) भुजाओं (ii) कोणों के आधार पर कैसे वर्गीकृत किया जाता है।

(i) भुजाओं के आधार पर: विषमबाहु, समद्विबाहु और समबाहु त्रिभुज।

(ii) कोणों के आधार पर: न्यूनकोण, अधिककोण और समकोण त्रिभुज।

उपरोक्त त्रिभुजाकार आकृतियों के कागज-कट मॉडल बनाएँ। अपने मॉडलों की तुलना अपने मित्रों के मॉडलों से करें और उनके बारे में चर्चा करें।

इन्हें आज़माएँ

1. $\triangle ABC$ के छः तत्व (अर्थात् 3 भुजाएँ और 3 कोण) लिखिए।

2. लिखिए:

(i) $\triangle PQR$ के शीर्ष $Q$ के विपरीत भुजा

(ii) $\triangle LMN$ की भुजा $LM$ के विपरीत कोण

(iii) $\triangle RST$ की भुजा RT के विपरीत शीर्ष

3. चित्र 6.2 को देखिए और प्रत्येक त्रिभुज को इसके अनुसार वर्गीकृत कीजिए

(a) भुजाएँ

(b) कोण

अब, आइए त्रिभुज के बारे में कुछ और खोजने का प्रयास करें।

6.2 त्रिभुज की माध्यिकाएँ

एक रेखाखंड दिया गया है, आप जानते हैं कि कागज़ को मोड़कर उसका लंब समद्विभाजक कैसे निकाला जाता है। एक कागज़ से एक त्रिभुज ABC काट लीजिए (चित्र 6.3)। इसके किनारों में से किसी एक को लीजिए, मान लीजिए, BC। कागज़ को मोड़कर BC का लंब समद्विभाजक ढूँढिए। मोड़ने से बनी रेखा BC को बिंदु D पर मिलती है, जो इसका मध्य-बिंदु है। AD को मिलाइए।

रेखाखंड AD, जो BC के मध्य-बिंदु को उसके विपरीत शीर्ष A से मिलाता है, त्रिभुज की एक माध्यिका कहलाता है।

किनारों AB और CA को लीजिए और त्रिभुज की दो और माध्यिकाएँ ढूँढिए।

एक माध्यिका त्रिभुज के किसी शीर्ष को विपरीत किनारे के मध्य-बिंदु से मिलाती है।

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए

1. एक त्रिभुज में कितनी माध्यिकाएँ हो सकती हैं?

2. क्या एक माध्यिका पूरी तरह त्रिभुज के अंदर ही रहती है? (यदि आपको लगता है कि यह सच नहीं है, तो ऐसा मामला दिखाने के लिए एक चित्र बनाइए)।

6.3 त्रिभुज की ऊँचाइयाँ

एक त्रिकोणाकार कार्डबोर्ड ABC बनाओ। इसे मेज़ पर सीधा खड़ा करो। त्रिकोण कितना ‘ऊँचा’ है? ऊँचाई शीर्ष A (चित्र 6.4 में) से आधार $\overline{BC}$ तक की दूरी है।

$A$ से $\overline{BC}$ तक तुम कई रेखाखंडों की कल्पना कर सकते हो (अगले चित्र 6.5 देखो)। इनमें से कौन-सा

इसकी ऊँचाई को दर्शाएगा?

ऊँचाई वह रेखाखंड है जो $A$ से शुरू होकर सीधा $\overline{BC}$ पर आता है और $\overline{BC}$ पर लंब होता है। यह रेखाखंड $\overline{AL}$ त्रिकोण की एक ऊँचाई (altitude) है।

एक ऊँचाई का एक सिरा त्रिकोण के किसी शीर्ष पर होता है और दूसरा विपरीत भुजा को समाहित करने वाली रेखा पर। चित्र 6.5 के अनुसार

प्रत्येक शीर्ष से एक ऊँचाई खींची जा सकती है।

सोचो, चर्चा करो और लिखो

1. एक त्रिकोण में कितनी ऊँचाइयाँ हो सकती हैं?

2. नीचे दिए त्रिकोणों (चित्र 6.6) के लिए A से $\overline{BC}$ तक ऊँचाइयों की रफ स्केच बनाओ:

3. क्या एक शिरोलंब हमेशा त्रिभुज के अंदर ही रहता है? यदि आप सोचते हैं कि यह सच होना आवश्यक नहीं है, तो ऐसी स्थिति दिखाने के लिए एक असंतुलित रेखाचित्र बनाइए।

4. क्या आप ऐसा त्रिभुज सोच सकते हैं जिसमें त्रिभुज के दो शिरोलंब उसकी दो भुजाएँ हों?

5. क्या किसी त्रिभुज के लिए शिरोलंब और माध्यिका एक ही हो सकते हैं?

(संकेत: प्र. सं. 4 और 5 के लिए, हर प्रकार के त्रिभुज के लिए शिरोलंब बनाकर जाँच कीजिए)।

यह कीजिए

कई कट-आउट लीजिए

(i) एक समबाहु त्रिभुज का

(ii) एक समद्विबाहु त्रिभुज का और

(iii) एक विषमबाहु त्रिभुज का।

उनके शिरोलंब और माध्यिकाएँ निकालिए। क्या आपको इनमें कुछ विशेष लगता है? इसे अपने मित्रों से चर्चा कीजिए।

प्रश्नावली 6.1

1. ΔPQR में, D बिंदु QR का मध्य-बिंदु है।

PM _____ है।

PD _____ है।

क्या QM = MR है?

2. निम्नलिखित के लिए असंतुलित रेखाचित्र बनाइए:

(a) ΔABC में, BE एक माध्यिका है।

(b) ΔPQR में, PQ और PR त्रिभुज के शिरोलंब हैं।

(c) ΔXYZ में, YL त्रिभुज के बाहर स्थित एक शिरोलंब है।

3. एक आरेख बनाकर सत्यापित कीजिए कि क्या समद्विबाहु त्रिभुज की माध्यिका और ऊँचाई एक ही हो सकती हैं।

6.4 त्रिभुज का बाह्य कोण और उसका गुणधर्म

इसे कीजिए

1. एक त्रिभुज $ABC$ बनाइए और इसकी एक भुजा, मान लीजिए BC, को इस प्रकार बढ़ाइए जैसा कि आकृति 6.7 में दिखाया गया है। बिंदु $C$ पर बने कोण ACD को देखिए। यह कोण $\triangle ABC$ के बाहर स्थित है। हम इसे $\triangle ABC$ का शीर्ष $C$ पर बना बाह्य कोण कहते हैं।

स्पष्टतः $\angle BCA$, $\angle ACD$ का संलग्न कोण है। त्रिभुज के शेष दो कोण अर्थात् $\angle A$ और

आकृति 6.7 $\angle B$ को $\angle ACD$ के दो आंतरिक विपरीत कोण या दूरस्थ आंतरिक कोण कहा जाता है। अब $\angle A$ और $\angle B$ को काटकर (या उनकी ट्रेस प्रतियाँ बनाकर) उन्हें आपस में संलग्न रखिए जैसा कि आकृति 6.8 में दिखाया गया है।

क्या ये दोनों टुकड़े मिलकर पूर्णतः $\angle ACD$ को ढकते हैं?

क्या आप कह सकते हैं कि

$m \angle ACD=m \angle A+m \angle B$ ?

2. जैसा पहले किया गया था, एक त्रिभुज $ABC$ बनाइए और एक बाह्य कोण ACD बनाइए। अब एक कोणमापक लीजिए और $\angle ACD, \angle A$ और $\angle B$ को मापिए।

$\angle A+\angle B$ का योग ज्ञात कीजिए और इसे $\angle ACD$ के माप से तुलना कीजिए। क्या आपने देखा कि $\angle ACD$ बराबर है (या माप में थोड़ी सी त्रुटि हो तो लगभग बराबर है) $\angle A+\angle B$ के?

आकृति 6.8

आप कुछ और त्रिभुजों को उनके बाह्य कोणों के साथ खींचकर उपरोक्त दो क्रियाकलापों को दोहरा सकते हैं। हर बार आप पाएंगे कि त्रिभुज का बाह्य कोण उसके दो आंतरिक विपरीत कोणों के योग के बराबर होता है।

एक तार्किक चरण-दर-चरण तर्क इस तथ्य को और पुष्ट कर सकता है। कोण।

एक त्रिभुज का बाह्य कोण उसके आंतरिक विपरीत कोणों के योग के बराबर होता है।

दिया गया है: $\triangle ABC$ पर विचार कीजिए।

$\angle ACD$ एक बाह्य कोण है।

दिखाना है: $m \angle ACD=m \angle A+m \angle B$

$C$ से $\overline{BA}$ के समांतर $\overline{CE}$ खींचिए।

आकृति 6.9

औचित्य

चरण: (a) $\angle 1=\angle x$

(b) $\angle 2=\angle y$

(c) $\angle 1+\angle 2=\angle x+\angle y$

(d) अब, $\angle x+\angle y=m \angle ACD$

इसलिए, $\angle 1+\angle 2=\angle ACD$

कारण

$\overline{BA} || \overline{CE}$ और $\overline{AC}$ एक अनुप्रस्थ रेखा है।

इसलिए, एकान्तर कोण समान होने चाहिए।

$\overline{BA} || \overline{CE}$ और $\overline{BD}$ एक अनुप्रस्थ रेखा है।

इसलिए, संगत कोण समान होने चाहिए।

आकृति 6.9 से

एक बाह्य कोण और उसके दो आंतरिक विपरीत कोणों के बीच उपरोक्त संबंध को त्रिभुज का बाह्य कोण गुणधर्म कहा जाता है।

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए

1. त्रिभुज के लिए बाह्य कोण कई प्रकार से बनाए जा सकते हैं। उनमें से तीन यहाँ दिखाए गए हैं (आकृति 6.10)

बाह्य कोण प्राप्त करने के तीन और तरीके हैं। उन रफ स्केचों को बनाने का प्रयास कीजिए।

2. क्या त्रिभुज के प्रत्येक शीर्ष पर बने बाह्य कोण समान होते हैं?

3. त्रिभुज के एक बाह्य कोण और उसके संलग्न आंतरिक कोण के योग के बारे में आप क्या कह सकते हैं?

उदाहरण 1 आकृति 6.11 में कोण $x$ ज्ञात कीजिए।

हल

आंतरिक विपरीत कोणों का योग $=$ बाह्य कोण

$ \begin{aligned} 50^{\circ}+x & =110^{\circ} \\ या \quad x & =60^{\circ} \end{aligned} $

आकृति 6.11

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए

1. आप प्रत्येक आंतरिक विपरीत कोणों के बारे में क्या कह सकते हैं, जब बाह्य कोण

(i) एक समकोण हो?

(ii) एक अधिक कोण हो?

(iii) एक न्यून कोण हो?

2. क्या किसी त्रिभुज का बाह्य कोण एक सरल कोण हो सकता है?

इन्हें आजमाइए

1. एक त्रिभुज का बाह्य कोण $70^{\circ}$ का है और इसके एक आंतरिक विपरीत कोण की माप $25^{\circ}$ है। दूसरे आंतरिक विपरीत कोण की माप ज्ञात कीजिए।

2. एक त्रिभुज के बाह्य कोण के दो आंतरिक विपरीत कोण $60^{\circ}$ और $80^{\circ}$ हैं। बाह्य कोण की माप ज्ञात कीजिए।

3. क्या इस आरेख (चित्र 6.12) में कुछ गलत है? टिप्पणी कीजिए।

चित्र 6.12

अभ्यास 6.2

1. निम्नलिखित आरेखों में अज्ञात बाह्य कोण $x$ का मान ज्ञात कीजिए:

2. निम्नलिखित आकृतियों में अज्ञात आंतरिक कोण $x$ का मान ज्ञात कीजिए:

6.5 त्रिभुज का कोण योग गुणधर्म

त्रिभुज के तीनों कोणों से जुड़ा एक उल्लेखनीय गुणधर्म है। आप इसे निम्नलिखित चार गतिविधियों के माध्यम से देखने जा रहे हैं।

1. एक त्रिभुज बनाइए। तीनों कोणों को काटिए। उन्हें चित्र 6.13 (i), (ii) में दिखाए अनुसार पुनः व्यवस्थित कीजिए। तीनों कोण अब एक कोण बनाते हैं। यह कोण एक सीधा कोण है और इसका मान $180^{\circ}$ है।

(i)

चित्र 6.13

इस प्रकार, त्रिभुज के तीनों कोणों के मापों का योग $180^{\circ}$ होता है।

2. यही तथ्य आप एक अलग तरीके से भी देख सकते हैं। किसी भी त्रिभुज, मान लीजिए $\triangle ABC$ (चित्र 6.14), की तीन प्रतियाँ लीजिए।

चित्र 6.14

इन्हें चित्र 6.15 के अनुसार व्यवस्थित कीजिए।

आप $\angle 1+\angle 2+\angle 3$ के बारे में क्या देखते हैं?

(क्या आप ‘बाह्य कोण गुणधर्म’ भी देखते हैं?)

आकृति 6.15

3. एक कागज़ का टुकड़ा लीजिए और एक त्रिभुज, मान लीजिए, $\triangle ABC$ काटिए (आकृति 6.16)।

$\triangle ABC$ को इस प्रकार मोड़िए कि यह A से होकर जाता है और ऊँचाई $AM$ बनाइए।

अब तीनों कोनों को इस प्रकार मोड़िए कि तीनों शीर्ष A, B और C बिंदु M पर मिलें।

(i)

(ii)

(iii)

आकृति 6.16

आप पाएँगे कि तीनों कोण मिलकर एक सीधा कोण बनाते हैं। यह फिर दर्शाता है कि त्रिभुज के तीनों कोणों के मापों का योग $180^{\circ}$ होता है।

4. अपनी नोटबुक में कोई भी तीन त्रिभुज बनाएँ, जैसे $\triangle ABC, \triangle PQR$ और $\triangle XYZ$।

अपने प्रोट्रैक्टर का प्रयोग करके इन त्रिभुजों के प्रत्येक कोण को मापें।

अपने परिणामों को सारणीबद्ध करें

$\Delta$ का नाम	कोणों के माप	तीनों कोणों के मापों का योग
$\triangle ABC$	$m \angle A=m \angle B=m \angle C=$	$m \angle A+m \angle B+m \angle C=$
$\Delta PQR$	$m \angle P=\quad m \angle Q=m \angle R=$	$m \angle P+m \angle Q+m \angle R=$
$\Delta XYZ$	$m \angle X=m \angle Y=m \angle Z=$	$m \angle X+m \angle Y+m \angle Z=$

मापन में सीमित त्रुटियों की अनुमति देते हुए, आप पाएंगे कि अंतिम स्तंभ हमेशा $180^{\circ}$ (या लगभग $180^{\circ}$) देता है।

जब पूर्ण सटीकता संभव होती है, तो यह भी दिखाएगा कि त्रिभुज के तीनों कोणों के मापों का योग $180^{\circ}$ होता है।

अब आप तार्किक तर्क के माध्यम से अपने दावे औपचारिक रूप से उचित ठहराने के लिए तैयार हैं।

कथन त्रिभुज के तीनों कोणों की कुल माप $180^{\circ}$ होती है।

इसे उचित ठहराने के लिए आइए त्रिभुज के बाह्य कोण गुणधर्म का प्रयोग करें।

आकृति 6.17

दिया गया है $\quad \angle 1, \angle 2, \angle 3$ त्रिभुज $\triangle ABC$ के कोण हैं (आकृति 6.17)।

$\angle 4$ बाह्य कोण है जब $BC$ को $D$ तक बढ़ाया जाता है।

औचित्य

$\quad \angle 1+\angle 2=\angle 4$ (बाह्य कोण गुणधर्म द्वारा)

$\angle 1+\angle 2+\angle 3=\angle 4+\angle 3$ (दोनों पक्षों में $\angle 3$ जोड़ने पर)

लेकिन $\angle 4$ और $\angle 3$ एक रेखीय युग्म बनाते हैं इसलिए यह $180^{\circ}$ है। इसलिए, $\angle 1+\angle 2+\angle 3=180^{\circ}$।

आइए देखें कि हम इस गुणधर्म का उपयोग कितने तरीकों से कर सकते हैं।

उदाहरण 2 दी गई आकृति (चित्र 6.18) में $m \angle$ P ज्ञात कीजिए।

हल

त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म द्वारा,

इसलिए: $ m \angle P+47^{\circ}+52^{\circ}=180^{\circ} $

$ \begin{aligned} m \angle P & =180^{\circ}-47^{\circ}-52^{\circ} \\ & =180^{\circ}-99^{\circ}=81^{\circ} \end{aligned} $

चित्र 6.18

अभ्यास 6.3

1. निम्नलिखित आरेखों में अज्ञात $x$ का मान ज्ञात कीजिए:

2. निम्नलिखित आरेखों में अज्ञात $x$ और $y$ के मान ज्ञात कीजिए:

इन्हें आज़माइए

1. एक त्रिभुज के दो कोण (30^{\circ}) और (80^{\circ}) हैं। तीसरा कोण ज्ञात कीजिए।

2. एक त्रिभुज का एक कोण (80^{\circ}) है और अन्य दो कोण समान हैं। प्रत्येक समान कोण का मान ज्ञात कीजिए।

3. एक त्रिभुज के तीनों कोण अनुपात में (1: 2: 1) हैं। त्रिभुज के सभी कोण ज्ञात कीजिए। त्रिभुज को दो भिन्न तरीकों से वर्गीकृत कीजिए।

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए

1. क्या आपके पास दो समकोण वाला त्रिभुज हो सकता है?

2. क्या आपके पास दो अधिक कोण वाला त्रिभुज हो सकता है?

3. क्या आपके पास दो न्यून कोण वाला त्रिभुज हो सकता है?

4. क्या आपके पास तीनों कोण (60^{\circ}) से अधिक वाला त्रिभुज हो सकता है?

5. क्या आपके पास तीनों कोण (60^{\circ}) के बराबर वाला त्रिभुज हो सकता है?

6. क्या आपके पास तीनों कोण (60^{\circ}) से कम वाला त्रिभुज हो सकता है?

6.6 दो विशेष त्रिभुज : समबाहु और समद्विबाहु

एक त्रिभुज जिसमें तीनों भुजाएँ समान लंबाई की हों, समबाहु त्रिभुज कहलाता है।

एक समबाहु त्रिभुज ABC की दो प्रतियाँ लीजिए (चित्र 6.19)। इनमें से एक को स्थिर रखिए। दूसरे त्रिभुज को इस पर रखिए। यह पहले वाले में ठीक-ठीक फिट हो जाता है। इसे किसी भी तरह घुमाइए, फिर भी वे एक-दूसरे में ठीक फिट बैठते हैं। क्या आप देख पा रहे हैं कि जब त्रिभुज की तीनों भुजाओं की लंबाइयाँ बराबर होती हैं तो तीनों कोण भी एक ही आकार के होते हैं?

हम निष्कर्ष निकालते हैं कि एक समबाहु त्रिभुज में:

(i) सभी भुजाओं की लंबाई समान होती है।

(ii) प्रत्येक कोण का माप $60^{\circ}$ होता है।

एक त्रिभुज जिसमें दो भुजाओं की लंबाइयाँ बराबर होती हैं, उसे समद्विबाहु त्रिभुज कहा जाता है।

चित्र 6.20

एक कागज़ के टुकड़े से एक समद्विबाहु त्रिभुज XYZ काटिए, जिसमें XY = XZ हो (चित्र 6.20)। इसे इस प्रकार मोड़िए कि $Z$, $Y$ पर आ जाए। अब $X$ से होकर जाने वाली रेखा $XM$ सममिति अक्ष बन जाती है (जिसे आप अध्याय 14 में पढ़ेंगे)। आप पाते हैं कि $\angle Y$ और $\angle Z$ एक-दूसरे पर ठीक-ठीक फिट बैठते हैं। $XY$ और $XZ$ को समान भुजाएँ कहा जाता है; $YZ$ को आधार कहा जाता है; $\angle Y$ और $\angle Z$ को आधार कोण कहा जाता है और ये भी समान होते हैं।

इस प्रकार, एक समद्विबाहु त्रिभुज में:

(i) दो भुजाओं की लंबाई समान होती है।

(ii) आधार कोण समान भुजाओं के विपरीत बराबर होते हैं।

इन्हें आज़माइए

1. प्रत्येक आकृति में कोण x ज्ञात कीजिए:

2. प्रत्येक आकृति में कोण $x$ और $y$ ज्ञात कीजिए।

6.7 त्रिभुज की दो भुजाओं की लंबाइयों का योग

1. अपने खेल के मैदान में तीन गैर-संरेखीय बिंदु A, B और C चिह्नित कीजिए। चूने के पाउडर का उपयोग करके मार्ग $AB, BC$ और $AC$ को चिह्नित कीजिए।

अपने मित्र से कहिए कि वह A से प्रारंभ करे और इन मार्गों में से एक या अधिक पर चलते हुए C तक पहुँचे। वह, उदाहरण के लिए, पहले $\overline{AB}$ के साथ चल सकती है और फिर $\overline{BC}$ के साथ C तक पहुँच सकती है; या वह सीधे $\overline{AC}$ के साथ चल सकती है। वह स्वाभाविक रूप से प्रत्यक्ष मार्ग $AC$ को प्राथमिकता देगी। यदि वह दूसरा मार्ग लेती है ($\overline{AB}$ और फिर $\overline{BC}$), तो उसे अधिक चलना होगा। दूसरे शब्दों में,

आकृति 6.21

$$ \begin{equation*} AB+BC>AC \tag{i} \end{equation*} $$

इसी प्रकार, यदि कोई $B$ से प्रारंभ कर $A$ तक जाना चाहे, तो वह मार्ग $\overline{BC}$ और $\overline{CA}$ नहीं अपनाएगा बल्कि $\overline{BA}$ को प्राथमिकता देगा। इसका कारण है

$$ \begin{equation*} BC+CA>AB \tag{ii} \end{equation*} $$

इसी प्रकार के तर्क से आप पाते हैं कि

$$ \begin{equation*} CA+AB>BC \tag{iii} \end{equation*} $$

ये प्रेक्षण सुझाते हैं कि किसी त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं की लंबाइयों का योग तीसरी भुजा से अधिक होता है।

2. पंद्रह छोटी छड़ें (या पट्टियाँ) विभिन्न लंबाइयों की, मान लीजिए, $6 cm, 7 cm, 8 cm$, $9 cm, \ldots, 20 cm$ इकट्ठा करें।

इनमें से कोई भी तीन छड़ें लीजिए और एक त्रिभुज बनाने का प्रयास कीजिए। इसे तीन छड़ों के विभिन्न संयोजन चुनकर दोहराइए।

मान लीजिए आपने पहले $6 cm$ और $12 cm$ लंबाई की दो छड़ें चुनीं। आपकी तीसरी छड़ की लंबाई $12-6=6 cm$ से अधिक और $12+6=18 cm$ से कम होनी चाहिए। इसे आजमाइए और जानिए कि ऐसा क्यों है।

त्रिभुज बनाने के लिए आपको ऐसी कोई भी तीन छड़ें चाहिए जिनमें से किन्हीं दो की लंबाइयों का योग हमेशा तीसरी छड़ की लंबाई से अधिक हो।

यह भी सुझाता है कि किसी त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं की लंबाइयों का योग तीसरी भुजा से अधिक होता है।

3. अपनी नोटबुक में कोई भी तीन त्रिभुज, मान लीजिए $\triangle ABC, \triangle PQR$ और $\triangle XYZ$ बनाइए (चित्र 6.22)।

चित्र 6.22

अपने स्केल का उपयोग करके उनकी भुजाओं की लंबाइयाँ ज्ञात कीजिए और फिर अपने परिणामों को इस प्रकार सारणीबद्ध कीजिए:

यह भी हमारे पूर्व अनुमान को मजबूत करता है। इसलिए, हम निष्कर्ष निकालते हैं कि त्रिभुज की किन्हीं भी दो भुजाओं की लंबाइयों का योग तीसरी भुजा की लंबाई से अधिक होता है।

हम यह भी पाते हैं कि त्रिभुज की किन्हीं भी दो भुजाओं की लंबाइयों के बीच का अंतर तीसरी भुजा की लंबाई से छोटा होता है।

उदाहरण 3 क्या कोई त्रिभुज है जिसकी भुजाओं की लंबाइयाँ 10.2 सेमी, 5.8 सेमी और 4.5 सेमी हैं?

हल मान लीजिए ऐसा त्रिभुज संभव है। तो किन्हीं भी दो भुजाओं की लंबाइयों का योग तीसरी भुजा की लंबाई से अधिक होगा। आइए इसकी जाँच करें।

$ \begin{matrix} \text{ क्या } 4.5+5.8>10.2 ? & \text{ हाँ } \\ \text{ क्या } 5.8+10.2>4.5 ? & \text{ हाँ } \\ \text{ क्या } 10.2+4.5>5.8 ? & \text{ हाँ } \end{matrix} $

इसलिए, त्रिभुज संभव है।

उदाहरण 4 किसी त्रिभुज की दो भुजाओं की लंबाइयाँ 6 सेमी और 8 सेमी हैं। तीसरी भुजा की लंबाई किन दो संख्याओं के बीच हो सकती है?

हल

हम जानते हैं कि त्रिभुज की दो भुजाओं का योग सदैव तीसरी भुजा से अधिक होता है।

इसलिए, तीसरी भुजा को दो भुजाओं के योग से कम होना चाहिए। तीसरी भुजा इस प्रकार 8+6=14 सेमी से कम है।

भुजा दो भुजाओं के अंतर से कम नहीं हो सकती। इस प्रकार, तीसरी भुजा को $8-6=2 cm$ से अधिक होना चाहिए।

तीसरी भुजा की लंबाई 2 से अधिक और $14 cm$ से कम कोई भी लंबाई हो सकती है।

अभ्यास 6.4

1. क्या निम्नलिखित भुजाओं वाला एक त्रिभुज संभव है? (i) $2 cm, 3 cm, 5 cm$ (ii) $3 cm, 6 cm, 7 cm$ (iii) $6 cm, 3 cm, 2 cm$

2. त्रिभुज $PQR$ के आंतरिक में कोई बिंदु $O$ लीजिए। क्या

(i) $OP+OQ>PQ$ ?

(ii) $OQ+OR>QR$ ?

(iii) $OR+OP>RP$ ?

3. $A M$ त्रिभुज $A B C$ की एक माध्यिका है।

क्या $AB+BC+CA>2 AM$ ?

(त्रिभुजों की भुजाओं पर विचार करें

$\triangle ABM$ और $\triangle AMC$.)

4. $ABCD$ एक चतुर्भुज है।

क्या $AB+BC+CD+DA>AC+BD$ ?

5. $A B C D$ एक चतुर्भुज है। क्या

$AB+BC+CD+DA<2(AC+BD)$ ?

6. एक त्रिभुज की दो भुजाओं की लंबाइयाँ 12 cm और 15 cm हैं। तीसरी भुजा की लंबाई किन दो मापों के बीच होनी चाहिए?

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए

1. क्या किसी त्रिभुज के किन्हीं दो कोणों का योग हमेशा तीसरे कोण से अधिक होता है?

6.8 समकोण त्रिभुज और पाइथागोरस गुणधर्म

पाइथागोरस, छठी शताब्दी ईसा पूर्व का एक ग्रीक दार्शनिक, जिसे त्रिभुजों के समकोण गुणधर्म का एक बहुत ही महत्वपूर्ण और उपयोगी गुणधर्म मिला, जिसे इस खंड में दिया गया है। इस गुणधर्म का नाम उसी के नाम पर रखा गया है। वास्तव में, यह गुणधर्म अन्य कई देशों के लोगों को भी ज्ञात था। भारतीय गणितज्ञ बौधायन ने भी इस गुणधर्म के समतुल्य रूप को दिया है। अब हम पाइथागोरस गुणधर्म को समझाने का प्रयास करते हैं।

एक समकोण त्रिभुज में, भुजाओं के कुछ

आकृति 6.23 विशेष नाम होते हैं। समकोण के विपरीत भुजा को कर्ण कहा जाता है; अन्य दो भुजाएँ समकोण त्रिभुज की भुजाएँ कही जाती हैं।

△ABC में (आकृति 6.23), समकोण B पर है। इसलिए, AC कर्ण है। AB और BC △ABC की भुजाएँ हैं।

आठ समान प्रतियाँ बनाओ समकोण त्रिभुज की, जिस आकार की तुम्हें पसंद हो। उदाहरण के लिए, तुम एक समकोण त्रिभुज बनाओ जिसकी कर्ण $a$ इकाई लंबी हो और भुजाएँ $b$ इकाई तथा $c$ इकाई लंबी हों (चित्र 6.24)।

एक शीट पर दो समान वर्ग बनाओ जिनकी भुजाएँ

चित्र 6.24 लंबाई $b+c$ की हों।

तुम्हें चार त्रिभुज एक वर्ग में और बाकी चार त्रिभुज दूसरे वर्ग में इस प्रकार रखने हैं जैसा निम्न आरेख में दिखाया गया है (चित्र 6.25)।

वर्ग A

वर्ग B

चित्र 6.25

वर्ग समान हैं; डाले गए आठों त्रिभुज भी समान हैं।

अतः वर्ग $A$ का अनावृत क्षेत्रफल $=$ वर्ग B का अनावृत क्षेत्रफल।

अर्थात् वर्ग $A$ के भीतर के वर्ग का क्षेत्रफल $=$ वर्ग B में दो अनावृत वर्गों का कुल क्षेत्रफल।

$ a^{2}=b^{2}+c^{2} $

यह पाइथागोरस गुण है। इसे इस प्रकार कहा जा सकता है:

एक समकोण त्रिभुज में,

कर्ण पर बने वर्ग का क्षेत्रफल = भुजाओं पर बने वर्गों के क्षेत्रफलों का योग।

पाइथागोरस गुण गणित में एक बहुत उपयोगी उपकरण है। इसे बाद की कक्षाओं में प्रमेय के रूप में औपचारिक रूप से सिद्ध किया जाता है। आपको इसके अर्थ के बारे में स्पष्ट होना चाहिए।

यह कहता है कि किसी भी समकोण त्रिभुज के लिए, कर्ण पर बने वर्ग का क्षेत्रफल भुजाओं पर बने वर्गों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होता है।

एक समकोण त्रिभुज बनाइए, वर्गाकार शीट पर बनाना बेहतर होगा, इसकी भुजाओं पर वर्ग बनाइए, इन वर्गों के क्षेत्रफल की गणना कीजिए और प्रायोगिक रूप से प्रमेय की पुष्टि कीजिए (चित्र 6.26)।

यदि आपके पास एक समकोण त्रिभुज है, तो पाइथागोरस गुण लागू होता है। यदि किसी त्रिभुज के लिए पाइथागोरस गुण लागू होता है, तो क्या वह त्रिभुज समकोण होगा? (इस प्रकार की समस्याओं को विलोम समस्याएं कहा जाता है)। हम इसका उत्तर देने का प्रयास करेंगे। अब, हम दिखाएंगे कि यदि कोई त्रिभुज ऐसा है जिसकी दो भुजाओं पर बने वर्गों का योग तीसरी भुजा पर बने वर्ग के बराबर है, तो वह अवश्य ही एक समकोण त्रिभुज होगा।

आकृति 6.26

यह कीजिए

1. 4 cm, 5 cm, 6 cm भुजाओं वाले वर्गों की कटिंग लीजिए। आकृति (आकृति 6.27) में दिखाए अनुसार वर्गों के कोनों को उपयुक्त रूप से रखकर त्रिकोणीय आकृति बनाइए। बने त्रिकोण को ट्रेस कीजिए। त्रिकोण के प्रत्येक कोण को मापिए। आप पाएंगे कि इसमें कोई समकोण नहीं है।

वास्तव में, इस स्थिति में प्रत्येक कोण न्यूनकोण होगा! ध्यान दीजिए कि 4² + 5² ≠ 6², 5² + 6² ≠ 4² और 6² + 4² ≠ 5²।

आकृति 6.27

2. उपरोक्त क्रियाकलाप को 4 cm, 5 cm और 7 cm भुजाओं वाले वर्गों से दोहराइए। आपको एक अधिककोणीय त्रिकोण मिलेगा! ध्यान दीजिए कि

4² + 5² ≠ 7² आदि।

यह दर्शाता है कि पाइथागोरस गुण तभी लागू होता है जब त्रिकोण समकोणीय हो। इसलिए हमें यह तथ्य मिलता है:

यदि पाइथागोरस गुण लागू होता है, तो त्रिकोण अवश्य समकोणीय होगा।

उदाहरण 5 निर्धारित कीजिए कि क्या 3 cm, 4 cm, 5 cm भुजाओं वाला त्रिकोण समकोणीय त्रिकोण है।

हल

$3^{2}=3 \times 3=9 ; 4^{2}=4 \times 4=16 ; 5^{2}=5 \times 5=25$

हम पाते हैं $3^{2}+4^{2}=5^{2}$।

इसलिए, त्रिभुज समकोण है।

नोट: किसी भी समकोण त्रिभुज में, कर्ण सबसे लंबा भुजा होता है। इस उदाहरण में, $5 cm$ लंबाई वाला भुजा कर्ण है।

उदाहरण 6 $\Delta ABC$ का कोण $C$ पर समकोण है। यदि $AC=5 cm$ और $BC=12 cm$ है तो $AB$ की लंबाई ज्ञात कीजिए।

हल

एक रफ आकृति हमारी मदद करेगी (चित्र 6.28)।

चित्र 6.28

पाइथागोरस गुणधर्म से,

$ \begin{aligned} AB^{2} & =AC^{2}+BC^{2} \\ & =5^{2}+12^{2}=25+144=169=13^{2} \\ AB^{2} & =13^{2} . \text{ इसलिए, } AB=13 \end{aligned} $

या: या $AB$ की लंबाई $13 cm$ है।

नोट: पूर्ण वर्गों की पहचान करने के लिए, आप अभाज्य गुणनफल तकनीक का उपयोग कर सकते हैं।

इन्हें आजमाइए

निम्नलिखित आकृतियों में अज्ञात लंबाई $x$ ज्ञात कीजिए (चित्र 6.29):

(i)

(ii)

(iii)

(iv)

(v)

(vi)

आकृति 6.29

प्रश्नावली 6.5

1. PQR एक त्रिभुज है, जो P पर समकोण है। यदि PQ = 10 cm और PR = 24 cm है, तो QR ज्ञात कीजिए।

2. ABC एक त्रिभुज है, जो C पर समकोण है। यदि AB = 25 cm और AC = 7 cm है, तो BC ज्ञात कीजिए।

3. एक 15 मीटर लंबी सीढ़ी को दीवार के सहारे इस प्रकार रखा गया कि वह जमीन से 12 मीटर ऊंची खिड़की तक पहुँच गई। यदि दीवार से दूरी a है, तो सीढ़ी के पैर की दीवार से दूरी ज्ञात कीजिए।

4. निम्नलिखित में से कौन-से एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ हो सकती हैं?

(i) 2.5 सेमी, 6.5 सेमी, 6 सेमी।

(ii) 2 सेमी, 2 सेमी, 5 सेमी।

(iii) 1.5 सेमी, 2 सेमी, 2.5 सेमी।

यदि समकोण त्रिभुज है, तो समकोण की पहचान कीजिए।

5. एक पेड़ जमीन से 5 मीटर ऊँचाई से टूट जाता है और उसका ऊपरी भाग जमीन पर पेड़ के आधार से 12 मीटर दूरी पर छूता है। पेड़ की मूल ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

6. एक त्रिभुज PQR के कोण Q और R क्रमशः 25° और 65° हैं। बताइए कि निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य है:

(i) PQ² + QR² = RP²

(ii) PQ² + RP² = QR²

(iii) RP² + QR² = PQ²

7. उस आयत का परिमाप ज्ञात कीजिए जिसकी लंबाई 40 सेमी है और विकर्ण 41 सेमी है।

8. एक समचतुर्भुज के विकर्ण 16 सेमी और 30 सेमी मापे जाते हैं। इसका परिमाप ज्ञात कीजिए।

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए

1. त्रिभुज $PQR$ में, जो कोण $P$ पर समकोण है, सबसे लंबी भुजा कौन-सी है?

2. त्रिभुज $ABC$ में, जो कोण $B$ पर समकोण है, सबसे लंबी भुजा कौन-सी है?

3. किसी समकोण त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा कौन-सी होती है?

4. ‘आयत के विकर्ण द्वारा स्वयं उत्पन्न क्षेत्रफल, उसकी लंबाई और चौड़ाई द्वारा उत्पन्न क्षेत्रफल के बराबर होता है’ — यह बौधायन प्रमेय है। इसकी तुलना पाइथागोरस गुणधर्म से कीजिए।

इसे कीजिए

समृद्धि गतिविधि

पाइथागोरस प्रमेय के कई साक्ष्य हैं, जो ‘विच्छेदन’ और ‘पुनर्व्यवस्थापन’ प्रक्रिया का उपयोग करते हैं। उनमें से कुछ को इकट्ठा करने और उन्हें समझाने वाले चार्ट बनाने का प्रयास करें।

हमने क्या चर्चा की?

1. त्रिभुज के छह अवयव इसके तीन कोण और तीन भुजाएँ होते हैं।

2. त्रिभुज के किसी शीर्ष को उसके सम्मुख भुजा के मध्य बिंदु से मिलाने वाले रेखाखंड को त्रिभुज की माध्यिका कहा जाता है। एक त्रिभुज में 3 माध्यिकाएँ होती हैं।

3. त्रिभुज के किसी शीर्ष से उसकी सम्मुख भुजा पर डाला गया लंबवत रेखाखंड त्रिभुज की ऊँचाई कहलाता है। एक त्रिभुज में 3 ऊँचाइयाँ होती हैं।

4. त्रिभुज का बाह्य कोण तब बनता है जब त्रिभुज की किसी भुजा को बढ़ाया जाता है। प्रत्येक शीर्ष पर आपके पास बाह्य कोण बनाने के दो तरीके होते हैं।

5. बाह्य कोणों का एक गुणधर्म:

त्रिभुज के किसी भी बाह्य कोण की माप, उसके आंतरिक विपरीत कोणों की मापों के योग के बराबर होती है।

6. त्रिभुज का कोण-योग गुणधर्म:

त्रिभुज के तीनों कोणों की कुल माप $180^{\circ}$ होती है।

7. एक त्रिभुज को समबाहु कहा जाता है, यदि इसकी प्रत्येक भुजा की लंबाई समान हो।

एक समबाहु त्रिभुज में, प्रत्येक कोण की माप $60^{\circ}$ होती है।

8. एक त्रिभुज को समद्विबाहु कहा जाता है, यदि इसकी कम से कम कोई दो भुजाएँ समान लंबाई की हों।

एक समद्विबाहु त्रिभुज की असमान भुजा को इसका आधार कहा जाता है; समद्विबाहु त्रिभुज के आधार कोणों की माप समान होती है।

9. एक त्रिभुज की भुजाओं की लंबाइयों का गुणधर्म:

किसी त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं की लंबाइयों का योग, तीसरी भुजा की लंबाई से अधिक होता है।

किन्हीं दो भुजाओं की लंबाइयों के बीच का अंतर, तीसरी भुजा की लंबाई से छोटा होता है।

यह गुणधर्म यह जानने में उपयोगी है कि क्या तीन भुजाओं की लंबाइयाँ दी गई हों तो एक त्रिभुज बनाना संभव है या नहीं।

10. एक समकोण त्रिभुज में, समकोण के विपरीत भुजा को कर्ण कहा जाता है और अन्य दो भुजाओं को इसकी भुजाएँ कहा जाता है।

11. पाइथागोरस गुणधर्म:

एक समकोण त्रिभुज में,

कर्ण पर बना वर्ग $=$ इसकी भुजाओं पर बने वर्गों का योग।

यदि कोई त्रिभुज समकोण नहीं है, तो यह गुणधर्म लागू नहीं होता। यह गुणधर्म यह तय करने में उपयोगी है कि दिया गया त्रिभुज समकोण है या नहीं।