8.1 परिचय

आपने संख्याओं का अध्ययन आपके आस-पास की वस्तुओं को गिनकर शुरू किया था। इस उद्देश्य के लिए प्रयोग की जाने वाली संख्याओं को गिनती संख्याएँ या प्राकृत संख्याएँ कहा जाता था। वे $1,2,3,4, \ldots$ हैं। प्राकृत संख्याओं में 0 को शामिल करके, हमें पूर्ण संख्याएँ मिलीं, अर्थात् $0,1,2,3, \ldots$ प्राकृत संख्याओं के ऋणात्मक मानों को फिर पूर्ण संख्याओं के साथ मिलाकर पूर्णांक बनाए गए। पूर्णांक $\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3, \ldots$ हैं। हमने इस प्रकार संख्या प्रणाली का विस्तार किया, प्राकृत संख्याओं से पूर्ण संख्याओं तक और पूर्ण संख्याओं से पूर्णांकों तक।

आपको भिन्नों से भी परिचय कराया गया था। ये संख्याएँ $\frac{\text{ अंश }}{\text{ हर }}$ के रूप की होती हैं, जहाँ अंश या तो 0 होता है या एक धनात्मक पूर्णांक और हर एक धनात्मक पूर्णांक होता है। आपने दो भिन्नों की तुलना की, उनके तुल्य रूप खोजे और उन पर योग, व्यवकलन, गुणा और भाग ये चारों बुनियादी संक्रियाएँ सीखीं।

इस अध्याय में, हम संख्या प्रणाली को और आगे बढ़ाएँगे। हम परिमेय संख्याओं की संकल्पना का परिचय उनकी योग, व्यवकलन, गुणा और भाग संक्रियाओं के साथ करेंगे।

8.2 परिमेय संख्याओं की आवश्यकता

पहले, हमने देखा है कि किस प्रकार पूर्णांकों का प्रयोग संख्याओं से संबंधित विपरीत परिस्थितियों को दर्शाने के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि किसी स्थान के दाईं ओर $3 km$ की दूरी को 3 से दर्शाया गया, तो उसी स्थान के बाईं ओर $5 km$ की दूरी को -5 से दर्शाया जा सकता है। यदि ₹ 150 का लाभ 150 से दर्शाया गया, तो ₹ 100 की हानि को -100 लिखा जा सकता है।

ऐसी कई स्थितियाँ हैं जो उपरोक्त स्थितियों के समान भिन्न संख्याओं से संबंधित हैं। आप समुद्र तल से 750 m की दूरी को $\frac{3}{4}$ km के रूप में दर्शा सकते हैं। क्या हम 750 m की दूरी समुद्र तल से नीचे km में दर्शा सकते हैं? क्या हम समुद्र तल से $\frac{3}{4}$ km नीचे की दूरी को $\frac{-3}{4}$ द्वारा दर्शा सकते हैं? हम देख सकते हैं कि $\frac{-3}{4}$ न तो कोई पूर्णांक है और न ही कोई भिन्न संख्या। हमें ऐसी संख्याओं को शामिल करने के लिए अपनी संख्या प्रणाली का विस्तार करना होगा।

8.3 परिमेय संख्याएँ क्या होती हैं?

शब्द ‘rational’ शब्द ‘ratio’ से उत्पन्न होता है। आप जानते हैं कि 3:2 जैसा अनुपात $\frac{3}{2}$ के रूप में भी लिखा जा सकता है। यहाँ 3 और 2 प्राकृत संख्याएँ हैं।

इसी प्रकार, दो पूर्णांकों $p$ और $q(q \neq 0)$ का अनुपात, अर्थात् $p:q$ को $\frac{p}{q}$ के रूप में लिखा जा सकता है। यही वह रूप है जिसमें परिमेय संख्याएँ व्यक्त की जाती हैं।

एक परिमेय संख्या को एक ऐसी संख्या के रूप में परिभाषित किया गया है जिसे $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$।

इस प्रकार, $\frac{4}{5}$ एक परिमेय संख्या है। यहाँ $p=4$ और $q=5$ है।

क्या $\frac{-3}{4}$ भी एक परिमेय संख्या है? हाँ, क्योंकि $p=-3$ और $q=4$ पूर्णांक हैं।

• आपने $\frac{3}{8}, \frac{4}{8}, 1\frac{2}{3}$ आदि कई भिन्न देखे हैं। सभी भिन्न परिमेय संख्याएँ होती हैं। क्या आप बता सकते हैं क्यों?

क्या दशमलव संख्याएँ जैसे 0.5, 2.3 आदि? इनमें से प्रत्येक संख्या को एक सामान्य भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है और, इसलिए, ये परिमेय संख्याएँ हैं। उदाहरण के लिए, $0.5=\frac{5}{10}$, $0.333=\frac{333}{1000}$ आदि।

इन्हें आज़माइए

1. क्या संख्या $\frac{2}{-3}$ परिमेय है? इसके बारे में सोचो।

2. दस परिमेय संख्याओं की सूची बनाओ।

अंश और हर

$\frac{p}{q}$ में, पूर्णांक $p$ अंश होता है, और पूर्णांक $q(\neq 0)$ हर होता है।

इस प्रकार, $\frac{-3}{7}$ में, अंश -3 है और हर 7 है।

पाँच परिमेय संख्याएँ बताओ जिनमें से प्रत्येक का

(a) अंश एक ऋणात्मक पूर्णांक हो और हर एक धनात्मक पूर्णांक हो।

(b) अंश एक धनात्मक पूर्णांक हो और हर एक ऋणात्मक पूर्णांक हो।

(c) अंश और हर दोनों ही ऋणात्मक पूर्णांक हों।

(d) अंश और हर दोनों ही धनात्मक पूर्णांक हों।

• क्या पूर्णांक भी परिमेय संख्याएँ होती हैं?

कोई भी पूर्णांक परिमेय संख्या के रूप में सोचा जा सकता है। उदाहरण के लिए, पूर्णांक -5 एक परिमेय संख्या है, क्योंकि आप इसे $\frac{-5}{1}$ के रूप में लिख सकते हैं। पूर्णांक 0 को भी $0=\frac{0}{2}$ या $\frac{0}{7}$ आदि के रूप में लिखा जा सकता है। इसलिए, यह भी एक परिमेय संख्या है।

इस प्रकार, परिमेय संख्याओं में पूर्णांक और भिन्न दोनों शामिल होते हैं।

समतुल्य परिमेय संख्याएँ

एक परिमेय संख्या को विभिन्न अंशों और हरों के साथ लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, परिमेय संख्या $\frac{-2}{3}$ पर विचार करो।

$ \begin{aligned} & \frac{-2}{3}=\frac{-2 \times 2}{3 \times 2}=\frac{-4}{6} \text{। हम देखते हैं कि } \frac{-2}{3} \text{ वही है जो } \frac{-4}{6} \text{ है} \ & \frac{-2}{3}=\frac{(-2) \times(-5)}{3 \times(-5)}=\frac{10}{-15} \text{। इसलिए, } \frac{-2}{3} \text{ वही है जो } \frac{10}{-15} \text{ है} \end{aligned} $

इस प्रकार, $\frac{-2}{3}=\frac{-4}{6}=\frac{10}{-15}$। ऐसे परिमेय संख्याएँ जो एक-दूसरे के बराबर होती हैं, उन्हें एक-दूसरे के तुल्य कहा जाता है।

$ \text{ फिर, } \quad \frac{10}{-15}=\frac{-10}{15} \text{ (कैसे?) } $

इन्हें आज़माइए

खाली बक्सों को भरिए:

(i) $\frac{5}{4}=\frac{\square}{16}=\frac{25}{\square}=\frac{-15}{\square}$

(ii) $\frac{-3}{7}=\frac{\square}{14}=\frac{9}{\square}=\frac{-6}{\square}$

किसी परिमेय संख्या के अंश और हर को किसी एक ही अशून्य पूर्णांक से गुणा करने पर, हमें एक अन्य परिमेय संख्या प्राप्त होती है जो दी गई परिमेय संख्या के तुल्य होती है। यह ठीक तुल्य भिन्न प्राप्त करने जैसा है।

जैसे गुणा, वैसे ही अंश और हर को किसी एक ही अशून्य पूर्णांक से भाग देने पर भी तुल्य परिमेय संख्याएँ प्राप्त होती हैं। उदाहरण के लिए,

$ \begin{gathered} \frac{10}{-15}=\frac{10 \div(-5)}{-15 \div(-5)}=\frac{-2}{3}, \quad \frac{-12}{24}=\frac{-12 \div 12}{24 \div 12}=\frac{-1}{2} \ \text{ हम } \frac{-2}{3} \text{ को }-\frac{2}{3}, \frac{-10}{15} \text{ को }-\frac{10}{15}, \text{ आदि लिखते हैं। } \end{gathered} $

8.4 धनात्मक और ऋणात्मक परिमेय संख्याएँ

परिमेय संख्या $\frac{2}{3}$ पर विचार कीजिए। इस संख्या के अंश और हर दोनों धनात्मक पूर्णांक हैं। ऐसी परिमेय संख्या को धनात्मक परिमेय संख्या कहा जाता है। इसलिए, $\frac{3}{8}, \frac{5}{7}, \frac{2}{9}$

इन्हें आज़माइए

1. क्या 5 एक धनात्मक परिमेय संख्या है?

2. पाँच और धनात्मक परिमेय संख्याएँ गिनाइए। आदि धनात्मक परिमेय संख्याएँ हैं।

$\frac{-3}{5}$ का अंश (numerator) एक ऋणात्मक पूर्णांक है, जबकि हर (denominator) एक धनात्मक पूर्णांक है। ऐसी परिमेय संख्या को ऋणात्मक परिमेय संख्या कहा जाता है। इसलिए, $\frac{-5}{7}, \frac{-3}{8}, \frac{-9}{5}$ आदि ऋणात्मक परिमेय संख्याएँ हैं।

• क्या $\frac{8}{-3}$ एक ऋणात्मक परिमेय संख्या है? हम जानते हैं कि $\frac{8}{-3}=\frac{8 \times-1}{-3 \times-1}=\frac{-8}{3}$, और $\frac{-8}{3}$ एक ऋणात्मक परिमेय संख्या है। इसलिए, $\frac{8}{-3}$ एक ऋणात्मक परिमेय संख्या है।

इसी प्रकार, $\frac{5}{-7}, \frac{6}{-5}, \frac{2}{-9}$ आदि सभी ऋणात्मक परिमेय संख्याएँ हैं। ध्यान दें कि इनके अंश धनात्मक और हर ऋणात्मक हैं।

• संख्या 0 न तो धनात्मक और न ही ऋणात्मक परिमेय संख्या है।
• $\frac{-3}{-5}$ के बारे में क्या?

आप देखेंगे कि $\frac{-3}{-5}=\frac{-3 \times(-1)}{-5 \times(-1)}=\frac{3}{5}$। इसलिए, $\frac{-3}{-5}$ एक धनात्मक परिमेय संख्या है। इस प्रकार, $\frac{-2}{-5}, \frac{-5}{-3}$ आदि धनात्मक परिमेय संख्याएँ हैं।

इन्हें आजमाइए

इनमें से कौन-सी ऋणात्मक परिमेय संख्याएँ हैं?

(i) $\frac{-2}{3}$

(ii) $\frac{5}{7}$

(iii) $\frac{3}{-5}$

(iv) 0

(v) $\frac{6}{11}$

(vi) $\frac{-2}{-9}$

8.5 संख्या रेखा पर परिमेय संख्याएँ

आप जानते हैं कि पूर्णांकों को संख्या रेखा पर कैसे दर्शाया जाता है। आइए एक ऐसी संख्या रेखा खींचें।

0 के दाईं ओर के बिंदुओं को + चिह्न द्वारा दर्शाया जाता है और ये धनात्मक पूर्णांक होते हैं। 0 के बाईं ओर के बिंदुओं को - चिह्न द्वारा दर्शाया जाता है और ये ऋणात्मक पूर्णांक होते हैं।

संख्या रेखा पर भिन्नों का निरूपण भी आपको ज्ञात है।

आइए देखें कि परिमेय संख्याओं को संख्या रेखा पर कैसे निरूपित किया जा सकता है।

आइए संख्या $-\frac{1}{2}$ को संख्या रेखा पर निरूपित करें।

जैसा कि धनात्मक पूर्णांकों के मामले में किया गया है, धनात्मक परिमेय संख्याओं को 0 के दाईं ओर अंकित किया जाएगा और ऋणात्मक परिमेय संख्याओं को 0 के बाईं ओर अंकित किया जाएगा।

आप $-\frac{1}{2}$ को 0 के किस ओर अंकित करेंगे? यह एक ऋणात्मक परिमेय संख्या होने के कारण, इसे 0 के बाईं ओर अंकित किया जाएगा।

आप जानते हैं कि संख्या रेखा पर पूर्णांकों को अंकित करते समय, क्रमिक पूर्णांक समान अंतराल पर अंकित किए जाते हैं। साथ ही, 0 से, युग्म 1 और -1 समान दूरी पर हैं। इसी प्रकार युग्म 2 और $-2,3$ और -3 भी हैं।

उसी प्रकार, परिमेय संख्याएँ $\frac{1}{2}$ और $-\frac{1}{2}$ भी 0 से समान दूरी पर होंगी। हम जानते हैं कि परिमेय संख्या $\frac{1}{2}$ को कैसे अंकित किया जाता है। इसे उस बिंदु पर अंकित किया जाता है जो 0 और 1 के बीच की दूरी का आधा है। इसलिए, $-\frac{1}{2}$ को उस बिंदु पर अंकित किया जाएगा जो 0 और -1 के बीच की दूरी का आधा है।

हम जानते हैं कि संख्या रेखा पर $\frac{3}{2}$ को कैसे चिह्नित किया जाता है। यह 0 के दाईं ओर चिह्नित किया जाता है और 1 तथा 2 के ठीक बीच में स्थित होता है। आइए अब संख्या रेखा पर $\frac{-3}{2}$ को चिह्नित करें। यह 0 के बाईं ओर स्थित होता है और 0 से $\frac{3}{2}$ के समान दूरी पर है।

घटते क्रम में हमारे पास है, $\frac{-1}{2}, \frac{-2}{2}(=-1), \frac{-3}{2}, \frac{-4}{2}(=-2)$। यह दर्शाता है कि $\frac{-3}{2}$ -1 और -2 के बीच में स्थित होता है। इस प्रकार, $\frac{-3}{2}$ -1 और -2 के ठीक बीच में स्थित होता है।

इसी प्रकार $\frac{-5}{2}$ और $\frac{-7}{2}$ को चिह्नित करें।

इसी प्रकार, $-\frac{1}{3}$ शून्य के बाईं ओर है और शून्य से उतनी ही दूरी पर है जितनी दूरी पर $\frac{1}{3}$ दाईं ओर है। इसलिए जैसे ऊपर किया गया है, $-\frac{1}{3}$ को संख्या रेखा पर दर्शाया जा सकता है। एक बार जब हम जान जाते हैं कि $-\frac{1}{3}$ को संख्या रेखा पर कैसे दर्शाया जाता है, तो हम $-\frac{2}{3},-\frac{4}{3},-\frac{5}{3}$ और आगे को भी दर्शा सकते हैं।

8.6 मानक रूप में परिमेय संख्याएँ

परिमेय संख्याओं $\frac{3}{5}, \frac{-5}{8}, \frac{2}{7}, \frac{-7}{11}$ को देखिए।

इन परिमेय संख्याओं के हर धनात्मक पूर्णांक हैं और अंश तथा हर के बीच केवल 1 ही उभयनिष्ठ गुणनखंड है। आगे, ऋणात्मक चिह्न केवल अंश में आता है।

ऐसी परिमेय संख्याओं को मानक रूप में कहा जाता है।

एक परिमेय संख्या को मानक रूप में कहा जाता है यदि इसका हर एक धनात्मक पूर्णांक हो और अंश तथा हर में 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड न हो।

यदि एक परिमेय संख्या मानक रूप में न हो, तो उसे मानक रूप में लाया जा सकता है।

याद कीजिए कि भिन्नों को उनके न्यूनतम रूप में लाने के लिए हम भिन्न के अंश और हर को किसी एक ही अशून्य धनात्मक पूर्णांक से विभाजित करते थे। परिमेय संख्याओं को उनके मानक रूप में लाने के लिए भी हम वही विधि प्रयोग करेंगे।

उदाहरण 1 $\frac{-45}{30}$ को मानक रूप में लिखिए।

हल

हमारे पास, $\frac{-45}{30}=\frac{-45 \div 3}{30 \div 3}=\frac{-15}{10}=\frac{-15 \div 5}{10 \div 5}=\frac{-3}{2}$

हमें दो बार विभाजित करना पड़ा। पहली बार 3 से और फिर 5 से। यह इस प्रकार भी किया जा सकता था

$ \frac{-45}{30}=\frac{-45 \div 15}{30 \div 15}=\frac{-3}{2} $

इस उदाहरण में ध्यान दीजिए कि 15, 45 और 30 का महत्तम समापवर्तक (HCF) है।

इस प्रकार, किसी परिमेय संख्या को उसके मानक रूप में लाने के लिए हम उसके अंश और हर को उनके HCF से विभाजित करते हैं, ऋणात्मक चिह्न (यदि हो) को नज़रअंदाज़ करते हुए। (ऋणात्मक चिह्न को नज़रअंदाज़ करने का कारण उच्च कक्षाओं में पढ़ाया जाएगा)

यदि हर में ऋणात्मक चिह्न हो, तो ‘$-HCF$’ से विभाजित कीजिए।

उदाहरण 2 मानक रूप में लिखिए:

(i) $\frac{36}{-24}$

(ii) $\frac{-3}{-15}$

हल

(i) 36 और 24 का HCF 12 है।

इस प्रकार, इसका मानक रूप -12 से विभाजित करके प्राप्त होगा।

$ \frac{36}{-24}=\frac{36 \div(-12)}{-24 \div(-12)}=\frac{-3}{2} $

(ii) 3 और 15 का HCF 3 है।

इस प्रकार, $\frac{-3}{-15}=\frac{-3 \div(-2)}{-15 \div(-3)}=\frac{1}{5}$

इन्हें आज़माइए

मानक रूप ज्ञात कीजिए

(i) $\frac{-18}{45}$

(ii) $\frac{-12}{18}$

8.7 परिमेय संख्याओं की तुलना

हम जानते हैं कि दो पूर्णांकों या दो भिन्नों की तुलना कैसे करनी है और यह बताना कि इनमें से कौन-सी छोटी है या कौन-सी बड़ी है। अब देखते हैं कि हम दो परिमेय संख्याओं की तुलना कैसे कर सकते हैं।

• दो धनात्मक परिमेय संख्याओं, जैसे $\frac{2}{3}$ और $\frac{5}{7}$ की तुलना हम पहले भिन्नों के संदर्भ में पढ़ चुके हैं।
• मेरी ने दो ऋणात्मक परिमेय संख्याओं $-\frac{1}{2}$ और $-\frac{1}{5}$ की तुलना संख्या रेखा का उपयोग कर की। वह जानती थी कि जो पूर्णांक दूसरे पूर्णांक के दायीं ओर होता है, वह बड़ा पूर्णांक होता है।

उदाहरण के लिए, 5 संख्या रेखा पर 2 के दायीं ओर है और $5>2$। पूर्णांक -2 संख्या रेखा पर -5 के दायीं ओर है और $-2>-5$।

उसने यह विधि परिमेय संख्याओं के लिए भी प्रयोग की। वह जानती थी कि परिमेय संख्याओं को संख्या रेखा पर कैसे चिह्नित किया जाता है। उसने $-\frac{1}{2}$ और $-\frac{1}{5}$ को इस प्रकार चिह्नित किया:

क्या उसने दोनों बिंदुओं को सही रूप से चिह्नित किया है? उसने (-\frac{1}{2}) को (-\frac{5}{10}) और (-\frac{1}{5}) को (-\frac{2}{10}) में कैसे और क्यों बदला? उसने पाया कि (-\frac{1}{5}), (-\frac{1}{2}) के दाईं ओर है। इस प्रकार, (-\frac{1}{5}>-\frac{1}{2}) या (-\frac{1}{2}<-\frac{1}{5})। क्या आप (-\frac{3}{4}) और (-\frac{2}{3}) की तुलना कर सकते हैं? (-\frac{1}{3}) और (-\frac{1}{5}) की?

हम भिन्नों के अध्ययन से जानते हैं कि (\frac{1}{5}<\frac{1}{2})। और मैरी ने (-\frac{1}{2}) और (-\frac{1}{5}) के लिए क्या प्राप्त किया? क्या यह ठीक उल्टा नहीं था?

आप पाएंगे कि, (\frac{1}{2}>\frac{1}{5}) लेकिन (-\frac{1}{2}<-\frac{1}{5})।

क्या आप (-\frac{3}{4},-\frac{2}{3}) और (-\frac{1}{3},-\frac{1}{5}) के लिए भी यही देखते हैं?

मैरी को याद आया कि पूर्णांकों में उसने पढ़ा था (4>3) लेकिन (-4<-3), (5>2) लेकिन (-5<-2) आदि।

• ऋणात्मक परिमेय संख्याओं के युग्मों का मामला भी समान है। दो ऋणात्मक परिमेय संख्याओं की तुलना करने के लिए, हम उनकी ऋणात्मक चिह्नों को अनदेखा करके तुलना करते हैं और फिर क्रम को उलट देते हैं।

उदाहरण के लिए, (-\frac{7}{5}) और (-\frac{5}{3}) की तुलना करने के लिए, हम पहले (\frac{7}{5}) और (\frac{5}{3}) की तुलना करते हैं।

हमें (\frac{7}{5}<\frac{5}{3}) मिलता है और निष्कर्ष निकालते हैं कि (\frac{-7}{5}>\frac{-5}{3})।

ऐसे पांच और युग्म लीजिए और उनकी तुलना कीजिए।

कौन बड़ा है $-\frac{3}{8}$ या $-\frac{2}{7} ? ;-\frac{4}{3}$ या $-\frac{3}{2}$ ?

• एक ऋणात्मक और एक धनात्मक परिमेय संख्या की तुलना स्पष्ट होती है। एक ऋणात्मक परिमेय संख्या शून्य के बाईं ओर होती है जबकि एक धनात्मक परिमेय संख्या संख्या रेखा पर शून्य के दाईं ओर होती है। इसलिए, एक ऋणात्मक परिमेय संख्या हमेशा एक धनात्मक परिमेय संख्या से छोटी होगी।

इस प्रकार, $-\frac{2}{7}<\frac{1}{2}$।

• परिमेय संख्याओं $\frac{-3}{-5}$ और $\frac{-2}{-7}$ की तुलना करने के लिए उन्हें उनके मानक रूपों में लाएं और फिर उनकी तुलना करें।

उदाहरण 3 क्या $\frac{4}{-9}$ और $\frac{-16}{36}$ एक ही परिमेय संख्या को दर्शाते हैं?

हल

हाँ, क्योंकि $\frac{4}{-9}=\frac{4 \times(-4)}{9 \times(-4)}=\frac{-16}{36}$ या $\frac{-16}{36}=\frac{-16+-4}{35 \div-4}=\frac{-4}{-9}$।

8.8 दो परिमेय संख्याओं के बीच परिमेय संख्याएँ

रेशमा 3 और 10 के बीच पूर्ण संख्याओं को गिनना चाहती थी। अपनी पिछली कक्षाओं से, वह जानती थी कि 3 और 10 के बीच ठीक 6 पूर्ण संख्याएँ होंगी। इसी तरह, वह -3 और 3 के बीच पूर्णांकों की कुल संख्या जानना चाहती थी। -3 और 3 के बीच पूर्णांक हैं $-2,-1,0,1,2$। इस प्रकार, -3 और 3 के बीच ठीक 5 पूर्णांक हैं।

क्या -3 और -2 के बीच कोई पूर्णांक है? नहीं, -3 और -2 के बीच कोई पूर्णांक नहीं है। दो क्रमागत पूर्णांकों के बीच पूर्णांकों की संख्या 0 होती है।

इस प्रकार, हम पाते हैं कि दो पूर्णांकों के बीच पूर्णांकों की संख्या सीमित (समाप्त) होती है।

क्या वही परिमेय संख्याओं के मामले में भी होगा?

रेशमा ने दो परिमेय संख्याएँ $\frac{-3}{5}$ और $\frac{-1}{3}$ लीं।

उसने उन्हें समान हर वाली परिमेय संख्याओं में बदला।

इसलिए:
$ \frac{-3}{5}=\frac{-9}{15} \text{ और } \frac{-1}{3}=\frac{-5}{15} $

हमारे पास $\quad \frac{-9}{15}<\frac{-8}{15}<\frac{-7}{15}<\frac{-6}{15}<\frac{-5}{15}$ या $\frac{-3}{5}<\frac{-8}{15}<\frac{-7}{15}<\frac{-6}{15}<\frac{-1}{3}$

वह $\frac{-3}{5}$ और $\frac{-1}{3}$ के बीच परिमेय संख्याएँ $\frac{-8}{15}<\frac{-7}{15}<\frac{-6}{15}$ खोज सकी।

क्या संख्याएँ $\frac{-8}{15}, \frac{-7}{15}, \frac{-6}{15}$ ही एकमात्र परिमेय संख्याएँ हैं $-\frac{3}{5}$ और $-\frac{1}{3}$ के बीच?

हमारे पास $\quad \frac{-3}{5}<\frac{-18}{30}$ और $\frac{-8}{15}<\frac{-16}{30}$

और:
इसलिए:
$ \frac{-18}{30}<\frac{-17}{30}<\frac{-16}{30} \text{। अर्थात्, } \frac{-3}{5}<\frac{-17}{30}<\frac{-8}{15} $

$ \frac{-3}{5}<\frac{-17}{30}<\frac{-8}{15}<\frac{-7}{15}<\frac{-6}{15}<\frac{-1}{3} $

इस प्रकार, हम $\frac{-3}{5}$ और $\frac{-1}{3}$ के बीच एक और परिमेय संख्या खोज सके।

इस विधि का उपयोग करके, आप दो भिन्न परिमेय संख्याओं के बीच जितनी चाहें उतनी परिमेय संख्याएँ डाल सकते हैं।

इन्हें आज़माएँ

$\frac{-5}{7}$ और $\frac{-3}{8}$ के बीच पाँच परिमेय संख्याएँ खोजें।
उदाहरण के लिए, $\quad \frac{-3}{5}=\frac{-3 \times 30}{5 \times 30}=\frac{-90}{150}$ और $\frac{-1}{3}=\frac{-1 \times 50}{3 \times 50}=\frac{-50}{150}$

हमें $\frac{-90}{150}$ और $\frac{-50}{150}$ अर्थात् $\frac{-3}{5}$ और $\frac{-1}{3}$ के बीच 39 परिमेय संख्याएँ $(\frac{-89}{150}, \ldots, \frac{-51}{150})$ मिलती हैं। आप पाएँगे कि यह सूची अनंत है।

क्या आप $\frac{-5}{3}$ और $\frac{-8}{7}$ के बीच पाँच परिमेय संख्याएँ सूचीबद्ध कर सकते हैं?

हम किन्हीं दो परिमेय संख्याओं के बीच असीमित संख्या में परिमेय संख्याएँ खोज सकते हैं।

उदाहरण 4 -2 और -1 के बीच तीन परिमेय संख्याएँ सूचीबद्ध कीजिए।

हल

आइए हम -1 और -2 को 5 हर वाली परिमेय संख्याओं के रूप में लिखें। (क्यों?)

हमारे पास, $-1=\frac{-5}{5}$ और $-2=\frac{-10}{5}$

अतः, $\quad \frac{-10}{5}<\frac{-9}{5}<\frac{-8}{5}<\frac{-7}{5}<\frac{-6}{5}<\frac{-5}{5}$ या $-2<\frac{-9}{5}<\frac{-8}{5}<\frac{-7}{5}<\frac{-6}{5}<-1$

-2 और -1 के बीच की तीन परिमेय संख्याएँ होंगी, $\frac{-9}{5}, \frac{-8}{5}, \frac{-7}{5}$

(आप $\frac{-9}{5}, \frac{-8}{5}, \frac{-7}{5}, \frac{-6}{5}$ में से कोई भी तीन ले सकते हैं)

उदाहरण 5 निम्नलिखित प्रतिरूप में चार और संख्याएँ लिखिए:

$ \frac{-1}{3}, \frac{-2}{6}, \frac{-3}{9}, \frac{-4}{12}, \ldots $

हल

हमारे पास,

$ \begin{aligned} & \frac{-2}{6}=\frac{-1 \times 2}{3 \times 2}, \frac{-3}{9}=\frac{-1 \times 3}{3 \times 3}, \frac{-4}{12}=\frac{-1 \times 4}{3 \times 4} \\ & \frac{-1 \times 1}{3 \times 1}=\frac{-1}{3}, \frac{-1 \times 2}{3 \times 2}=\frac{-2}{6}, \frac{-1 \times 3}{3 \times 3}=\frac{-3}{9}, \frac{-1 \times 4}{3 \times 4}=\frac{-4}{12} \end{aligned} $

या: $ \text{ इन संख्याओं में एक प्रतिरूप है। } $

अन्य संख्याएँ होंगी $\frac{-1 \times 5}{3 \times 5}=\frac{-5}{15}, \frac{-1 \times 6}{3 \times 6}=\frac{-6}{18}, \frac{-1 \times 7}{3 \times 7}=\frac{-7}{21}$।

प्रश्नावली 8.1

1. निम्नलिखित के बीच पाँच परिमेय संख्याएँ सूचीबद्ध कीजिए:

(i) -1 और 0

(ii) -2 और -1

(iii) $\frac{-4}{5}$ और $\frac{-2}{3}$

(iv) $-\frac{1}{2}$ और $\frac{2}{3}$

2. निम्नलिखित प्रत्येक पैटर्न में चार और परिमेय संख्याएँ लिखिए:

(i) $\frac{-3}{5}, \frac{-6}{10}, \frac{-9}{15}, \frac{-12}{20}, \ldots$।

(ii) $\frac{-1}{4}, \frac{-2}{8}, \frac{-3}{12}, \ldots$।

(iii) $\frac{-1}{6}, \frac{2}{-12}, \frac{3}{-18}, \frac{4}{-24}, \ldots .$।

(iv) $\frac{-2}{3}, \frac{2}{-3}, \frac{4}{-6}, \frac{6}{-9}, \ldots$।

3. निम्नलिखित के समतुल्य चार परिमेय संख्याएँ दीजिए:

(i) $\frac{-2}{7}$

(ii) $\frac{5}{-3}$

(iii) $\frac{4}{9}$

4. संख्या रेखा खींचिए और निम्नलिखित परिमेय संख्याओं को उस पर दर्शाइए:

(i) $\frac{3}{4}$

(ii) $\frac{-5}{8}$

(iii) $\frac{-7}{4}$

(iv) $\frac{7}{8}$

5. संख्या रेखा पर बिंदु $P, Q, R, S, T, U, A$ और $B$ इस प्रकार हैं कि, $TR=RS=SU$ और $AP=PQ=QB$। $P, Q, R$ और $S$ द्वारा दर्शाई गई परिमेय संख्याओं के नाम लिखिए।

6. निम्नलिखित में से कौन-से युग्म समान परिमेय संख्या को दर्शाते हैं?

(i) $\frac{-7}{21}$ और $\frac{3}{9}$

(ii) $\frac{-16}{20}$ और $\frac{20}{-25}$

(iii) $\frac{-2}{-3}$ और $\frac{2}{3}$

(iv) $\frac{-3}{5}$ और $\frac{-12}{20}$

(v) $\frac{8}{-5}$ और $\frac{-24}{15}$

(vi) $\frac{1}{3}$ और $\frac{-1}{9}$

(vii) $\frac{-5}{-9}$ और $\frac{5}{-9}$

7. निम्नलिखित परिमेय संख्याओं को सरलतम रूप में लिखिए:

(i) $\frac{-8}{6}$

(ii) $\frac{25}{45}$

(iii) $\frac{-44}{72}$

(iv) $\frac{-8}{10}$

8. बॉक्सों में $>,<$, और $=$ में से सही प्रतीक भरिए।

(i) $\frac{-5}{7} \square \frac{2}{3}$

(ii) $\frac{-4}{5} \square \frac{-5}{7}$

(iii) $\frac{-7}{8} \square \frac{14}{-16}$

(iv) $\frac{-8}{5} \square \frac{-7}{4}$

(v) $\frac{1}{-3} \square \frac{-1}{4}$

(vi) $\frac{5}{-11} \square \frac{-5}{11}$

(vii) $0 \square \frac{-7}{6}$

9. निम्नलिखित में से प्रत्येक में कौन बड़ा है:

(i) $\frac{2}{3}, \frac{5}{2}$

(ii) $\frac{-5}{6}, \frac{-4}{3}$

(iii) $\frac{-3}{4}, \frac{2}{-3}$

(iv) $\frac{-1}{4}, \frac{1}{4}$

(v) $-3 \frac{2}{7},-3 \frac{4}{5}$

10. निम्नलिखित परिमेय संख्याओं को आरोही क्रम में लिखिए:

(i) $\frac{-3}{5}, \frac{-2}{5}, \frac{-1}{5}$

(ii) $\frac{-1}{3}, \frac{-2}{9}, \frac{-4}{3}$

(iii) $\frac{-3}{7}, \frac{-3}{2}, \frac{-3}{4}$

8.9 परिमेय संख्याओं पर संक्रियाएँ

आप जानते हैं कि पूर्णांकों और भिन्नों को कैसे जोड़ा, घटाया, गुणा और विभाजित किया जाता है। आइए अब परिमेय संख्याओं पर इन मूलभूत संक्रियाओं का अध्ययन करें।

8.9.1 योग

• आइए दो परिमेय संख्याओं को समान हरों के साथ जोड़ते हैं, मान लीजिए $\frac{7}{3}$ और $\frac{-5}{3}$।

हम $\frac{7}{3}+(\frac{-5}{3})$ ज्ञात करते हैं

संख्या रेखा पर, हमारे पास है:

दो क्रमागत बिंदुओं के बीच की दूरी $\frac{1}{3}$ है। इसलिए $\frac{7}{3}$ में $\frac{-5}{3}$ जोड़ने का अर्थ होगा, $\frac{7}{3}$ के बाईं ओर जाना, 5 छलांगें लगाना। हम कहाँ पहुँचते हैं? हम $\frac{2}{3}$ पर पहुँचते हैं।

इसलिए, $\quad \frac{7}{3}+(\frac{-5}{3})=\frac{2}{3}$।

आइए अब इस तरह से प्रयास करें:

$ \frac{7}{3}+\frac{(-5)}{3}=\frac{7+(-5)}{3}=\frac{2}{3} $

हमें वही उत्तर मिलता है।

$\frac{6}{5}+\frac{(-2)}{5}, \frac{3}{7}+\frac{(-5}{7})$ दोनों तरीकों से ज्ञात कीजिए और जांचिए कि क्या आपको वही उत्तर मिलते हैं।

आपको क्या मिलता है?

साथ ही, $\quad \frac{-7}{8}+\frac{5}{8}=\frac{-7+5}{8}=$ ? क्या दोनों मान समान हैं?

इन्हें आजमाइए

ज्ञात कीजिए: $\frac{-13}{7}+\frac{6}{7}, \frac{19}{5}+(\frac{-7}{5})$

इसलिए, हम पाते हैं कि समान हरों वाले परिमेय संख्याओं को जोड़ते समय हम हरों को वैसा ही रखते हुए अंशों को जोड़ते हैं।

इस प्रकार,

$ \frac{-11}{5}+\frac{7}{5}=\frac{-11+7}{5}=\frac{-4}{5} $

• हम भिन्न-भिन्न हरों वाली परिमेय संख्याओं को कैसे जोड़ते हैं? भिन्नों के समान, हम पहले दोनों हरों का ल.स.प. निकालते हैं। फिर, हम दी गई परिमेय संख्याओं के समतुल्य ऐसी परिमेय संख्याएँ निकालते हैं जिनका हर यह ल.स.प. हो। फिर, दोनों परिमेय संख्याओं को जोड़ते हैं।

उदाहरण के लिए, आइए $\frac{-7}{5}$ और $\frac{-2}{3}$ को जोड़ें।

5 और 3 का ल.स.प. 15 है।

इसलिए, $\frac{-7}{5}=\frac{-21}{15}$ और $\frac{-2}{3}=\frac{-10}{15}$

इस प्रकार, $\frac{-7}{5}+\frac{(-2)}{3}=\frac{-21}{15}+\frac{(-10)}{15}=\frac{-31}{15}$

इन्हें आज़माइए

ज्ञात कीजिए:

(i) $\frac{-3}{7}+\frac{2}{3}$

योज्य प्रतिलोम

(ii) $\frac{-5}{6}+\frac{-3}{11}$

$\frac{-4}{7}+\frac{4}{7}=?$ क्या होगा?

$ \frac{-4}{7}+\frac{4}{7}=\frac{-4+4}{7}=0 \text{। साथ ही, } \frac{4}{7}+(\frac{-4}{7})=0 \text{। } $

इसी प्रकार, $\frac{-2}{3}+\frac{2}{3}=0=\frac{2}{3}+(\frac{-2}{3})$।

$\frac{4}{7}$ का योज्य प्रतिलोम $\frac{-4}{7}$ है और $\frac{-4}{7}$ का योज्य प्रतिलोम $\frac{4}{7}$ है। इसी प्रकार,

$\frac{2}{3}$ का योज्य प्रतिलोम $\frac{-2}{3}$ है और $\frac{-2}{3}$ का योज्य प्रतिलोम $\frac{2}{3}$ है।

इन्हें आज़माइए

$\frac{-3}{9}$, $\frac{-9}{11}$, $\frac{5}{7}$ का योज्य प्रतिलोम क्या होगा?

उदाहरण 6 सतपाल स्थान P से $\frac{2}{3}$ किमी पूर्व की ओर चलता है और फिर वहाँ से

$1 \frac{5}{7}$ किमी पश्चिम की ओर चलता है। वह अब P से कहाँ होगा?

हल

आइए पूर्व की ओर तय की गई दूरी को धनात्मक चिह्न द्वारा दर्शाते हैं। इसलिए पश्चिम की ओर की दूरी को ऋणात्मक चिहन द्वारा दर्शाया जाएगा।

इस प्रकार, बिंदु P से सतपाल की दूरी होगी

$ \begin{gathered} \frac{2}{3}+(-1 \frac{5}{7})=\frac{2}{3}+\frac{(-12)}{7}=\frac{2 \times 7}{3 \times 7}+\frac{(-12) \times 3}{7 \times 3} \ =\frac{14-36}{21}=\frac{-22}{21}=-1 \frac{1}{21} \end{gathered} $

चूँकि यह ऋणात्मक है, इसका अर्थ है सतपाल P से $1 \frac{1}{21}$ किमी पश्चिम की ओर है।

8.9.2 घटाव

सविता ने दो परिमेय संख्याओं $\frac{5}{7}$ और $\frac{3}{8}$ का अंतर इस प्रकार निकाला:

$ \frac{5}{7}-\frac{3}{8}=\frac{40-21}{56}=\frac{19}{56} $

फरिदा जानती थी कि दो पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए वह $a-b=a+(-b)$ लिख सकती है

उसने यह परिमेय संख्याओं पर भी आजमाया और पाया, $\frac{5}{7}-\frac{3}{8}=\frac{5}{7}+\frac{(-3)}{8}=\frac{19}{56}$।

दोनों को एक ही अंतर प्राप्त हुआ।

$\frac{7}{8}-\frac{5}{9}, \frac{3}{11}-\frac{8}{7}$ दोनों तरीकों से निकालने की कोशिश करो। क्या तुम्हें एक ही उत्तर मिला?

इसलिए, हम कहते हैं कि दो परिमेय संख्याओं को घटाते समय हम उस परिमेय संख्या का योज्य प्रतिलोम, जिसे घटाया जा रहा है, दूसरी परिमेय संख्या में जोड़ते हैं।

इस प्रकार, $\quad 1 \frac{2}{3}-2 \frac{4}{5}=\frac{5}{3}-\frac{14}{5}=\frac{5}{3}+$ योज्य प्रतिलोम of $\frac{14}{5}=\frac{5}{3}+\frac{(-14)}{5}$

$ =\frac{-17}{15}=-1 \frac{2}{15} \text{।} $

इन्हें आजमाओ

निकालो:

$\frac{2}{7}-(\frac{-5}{6})$ क्या होगा?

(i) $\frac{7}{9}-\frac{2}{5}$

(ii) $2 \frac{1}{5}-\frac{(-1)}{3}$

$ \frac{2}{7}-(\frac{-5}{6})=\frac{2}{7}+\text{ योज्य प्रतिलोम of }(\frac{-5}{6})=\frac{2}{7}+\frac{5}{6}=\frac{47}{42}=1 \frac{5}{42} $

8.9.3 गुणा

आइए परिमेय संख्या $\frac{-3}{5}$ को 2 से गुणा करें, अर्थात हम $\frac{-3}{5} \times 2$ निकालते हैं।

संख्या रेखा पर, इसका अर्थ होगा $\frac{3}{5}$ के दो कूद बाईं ओर।

हम कहाँ पहुँचते हैं? हम $\frac{-6}{5}$ पर पहुँचते हैं। आइए इसे वैसे ही खोजें जैसे हमने भिन्नों में किया था।

$ \frac{-3}{5} \times 2=\frac{-3 \times 2}{5}=\frac{-6}{5} $

हम एक ही परिमेय संख्या पर पहुँचते हैं।

दोनों तरीकों से $\frac{-4}{7} \times 3, \frac{-6}{5} \times 4$ ज्ञात कीजिए। आप क्या देखते हैं?

इसलिए, हम पाते हैं कि जब हम किसी परिमेय संख्या को किसी धनात्मक पूर्णांक से गुणा करते हैं, तो हम अंश को उस पूर्णांक से गुणा करते हैं, हर को अपरिवर्तित रखते हैं।

आइए अब किसी परिमेय संख्या को किसी ऋणात्मक पूर्णांक से गुणा करें,

$ \frac{-2}{9} \times(-5)=\frac{-2 \times(-5)}{9}=\frac{10}{9} $

याद रखें, -5 को $\frac{-5}{1}$ के रूप में लिखा जा सकता है।

इसलिए, $\quad \frac{-2}{9} \times \frac{-5}{1}=\frac{10}{9}=\frac{-2 \times(-5)}{9 \times 1}$

इसी प्रकार, $\frac{3}{11} \times(-2)=\frac{3 \times(-2)}{11 \times 1}=\frac{-6}{11}$

इसलिए, जैसा कि हमने भिन्नों के मामले में किया, हम दो परिमेय संख्याओं को निम्नलिखित तरीके से गुणा करते हैं:

चरण 1 दोनों परिमेय संख्याओं के अंशों को गुणा कीजिए।

चरण 2 दोनों परिमेय संख्याओं के हरों को गुणा कीजिए।

चरण 3 गुणनफल को $\frac{\text{चरण 1 का परिणाम}}{\text{चरण 2 का परिणाम}}$ के रूप में लिखिए।

इस प्रकार, $\quad \frac{-3}{5} \times \frac{2}{7}=\frac{-3 \times 2}{5 \times 7}=\frac{-6}{35}$।

साथ ही, $\quad \frac{-5}{8} \times \frac{-9}{7}=\frac{-5 \times(-9)}{8 \times 7}=\frac{45}{56}$

इन्हें आज़माएँ

(i) $\frac{-3}{5} \times 7$ ?

(ii) $\frac{-6}{5} \times(-2)$ ?

इन्हें आज़माएँ

ज्ञात कीजिए:

(i) $\frac{-3}{4} \times \frac{1}{7}$

(ii) $\frac{2}{3} \times \frac{-5}{9}$

8.9.4 भाग

हमने पहले भिन्नों के व्युत्क्रम का अध्ययन किया है। $\frac{2}{7}$ का व्युत्क्रम क्या है? वह होगा

$\frac{7}{2}$। हम यह व्युत्क्रम की अवधारणा शून्येतर परिमेय संख्याओं पर भी विस्तारित करते हैं।

$\frac{-2}{7}$ का व्युत्क्रम $\frac{7}{-2}$ अर्थात् $\frac{-7}{2}$ होगा; $\frac{-3}{5}$ का व्युत्क्रम $\frac{-5}{3}$ होगा।

इन्हें आज़माएँ

$\frac{-6}{11}$ का व्युत्क्रम क्या होगा? और $\frac{-8}{5}$ का?

व्युत्क्रमों का गुणनफल

किसी परिमेय संख्या का उसके व्युत्क्रम से गुणनफल सदैव 1 होता है।

उदाहरण के लिए, $\quad \frac{-4}{9} \times($ $\frac{-4}{9}$ का व्युत्क्रम $)$

$ =\frac{-4}{9} \times \frac{-9}{4}=1 $

इसी प्रकार, $\frac{-6}{13} \times \frac{-13}{6}=1$

कुछ और उदाहरण आज़माइए और यह प्रेक्षण पुष्ट कीजिए।

सविता ने एक परिमेय संख्या $\frac{4}{9}$ को दूसरी परिमेय संख्या $\frac{-5}{7}$ से इस प्रकार विभाजित किया,

$ \frac{4}{9} \div \frac{-5}{7}=\frac{4}{9} \times \frac{7}{-5}=\frac{-28}{45} $

उसने भिन्नों की तरह व्युत्क्रम की अवधारणा का प्रयोग किया।

अर्पित ने पहले

$ \frac{4}{9} \text{ को } \frac{5}{7} \text{ से विभाजित किया और } \frac{28}{45} \text{ प्राप्त किया। } $

उसने अंततः कहा $\frac{4}{9} \div \frac{-5}{7}=\frac{-28}{45}$। उसे वह कैसे मिला?

उसने उन्हें भिन्नों की तरह विभाजित किया, ऋणात्मक चिह्न को अनदेखा कर दिया और फन प्राप्त मान में ऋणात्मक चिह्न लगा दिया।

दोनों को समान मान $\frac{-28}{45}$ मिला। $\frac{2}{3}$ को $\frac{-5}{7}$ से दोनों तरीकों से भाग करके देखें कि क्या आपको समान उत्तर मिलता है।

इससे दिखता है कि एक परिमेय संख्या को दूसरी अशून्य परिमेय संख्या से भाग करने के लिए हम उस परिमेय संख्या को दूसरी संख्या के व्युत्क्रम से गुणा करते हैं।

इस प्रकार,

$ \frac{-6}{5} \div \frac{-2}{3}=\frac{6}{-5} \times \text{ व्युत्क्रम of }(\frac{-2}{3})=\frac{6}{-5} \times \frac{3}{-2}=\frac{18}{10} $

इन्हें आज़माएँ

ज्ञात कीजिए: (i) $\frac{2}{3} \times \frac{-7}{8}$

(ii) $\frac{-6}{7} \times \frac{5}{7}$

प्रश्नावली 8.2

1. योग ज्ञात कीजिए:

(i) $\frac{5}{4}+(\frac{-11}{4})$

(ii) $\frac{5}{3}+\frac{3}{5}$

(iii) $\frac{-9}{10}+\frac{22}{15}$

(iv) $\frac{-3}{-11}+\frac{5}{9}$

(v) $\frac{-8}{19}+\frac{(-2)}{57}$

(vi) $\frac{-2}{3}+0$

(vii) $-2 \frac{1}{3}+4 \frac{3}{5}$

2. ज्ञात कीजिए

(i) $\frac{7}{24}-\frac{17}{36}$

(ii) $\frac{5}{63}-(\frac{-6}{21})$

(iii) $\frac{-6}{13}-(\frac{-7}{15})$

(iv) $\frac{-3}{8}-\frac{7}{11}$

(v) $-2 \frac{1}{9}-6$

3. गुणनफल ज्ञात कीजिए:

(i) $\frac{9}{2} \times(\frac{-7}{4})$

(ii) $\frac{3}{10} \times(-9)$

(iii) $\frac{-6}{5} \times \frac{9}{11}$

(iv) $\frac{3}{7} \times(\frac{-2}{5})$

(v) $\frac{3}{11} \times \frac{2}{5}$

(vi) $\frac{3}{-5} \times \frac{-5}{3}$

4. मान ज्ञात कीजिए:

(i) $(-4) \div \frac{2}{3}$

(ii) $\frac{-3}{5} \div 2$

(iii) $\frac{-4}{5} \div(-3)$

(iv) $\frac{-1}{8} \div \frac{3}{4}$

(v) $\frac{-2}{13} \div \frac{1}{7}$

(vi) $\frac{-7}{12} \div(\frac{-2}{13})$

(vii) $\frac{3}{13} \div(\frac{-4}{65})$

हमने क्या चर्चा की है?

1. एक संख्या जिसे $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सके, जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$, तर्कसंगत संख्या कहलाती है। संख्याएँ $\frac{-2}{7}, \frac{3}{8}, 3$ आदि तर्कसंगत संख्याएँ हैं।

2. सभी पूर्णांक और भिन्न तर्कसंगत संख्याएँ होती हैं।

3. यदि किसी तर्कसंगत संख्या के अंश और हर को किसी अशून्य पूर्णांक से गुणा या विभाजित किया जाए, तो हमें एक तर्कसंगत संख्या प्राप्त होती है जिसे दी गई तर्कसंगत संख्या के समतुल्य कहा जाता है। उदाहरण के लिए $\frac{-3}{7}=\frac{-3 \times 2}{7 \times 2}=\frac{-6}{14}$। इसलिए, हम कहते हैं कि $\frac{-6}{14}$, $\frac{-3}{7}$ का समतुल्य रूप है। यह भी ध्यान दें कि $\frac{-6}{14}=\frac{-6 \div 2}{14 \div 2}=\frac{-3}{7}$।

4. तर्कसंगत संख्याओं को धनात्मक और ऋणात्मक तर्कसंगत संख्याओं में वर्गीकृत किया जाता है। जब अंश और हर दोनों धनात्मक पूर्णांक होते हैं, तो यह एक धनात्मक तर्कसंगत संख्या होती है। जब या तो अंश या हर एक ऋणात्मक पूर्णांक होता है, तो यह एक ऋणात्मक तर्कसंगत संख्या होती है। उदाहरण के लिए, $\frac{3}{8}$ एक धनात्मक तर्कसंगत संख्या है जबकि $\frac{-8}{9}$ एक ऋणात्मक तर्कसंगत संख्या है।

5. संख्या 0 न तो धनात्मक और न ही ऋणात्मक तर्कसंगत संख्या है।

6. एक तर्कसंगत संख्या को मानक रूप में कहा जाता है यदि इसका हर एक धनात्मक पूर्णांक है और अंश और हर में 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है।

संख्याएँ $\frac{-1}{3}, \frac{2}{7}$ आदि मानक रूप में हैं।

7. दो परिमेय संख्याओं के बीच असीमित संख्या में परिमेय संख्याएँ होती हैं।

8. समान हर वाली दो परिमेय संख्याओं को उनके अंशों को जोड़कर, हर को वही रखते हुए जोड़ा जा सकता है। भिन्न-भिन्न हर वाली दो परिमेय संख्याओं को जोड़ने के लिए पहले दोनों हरों का लघुतम समापवर्त्य (LCM) लिया जाता है और फिर दोनों परिमेय संख्याओं को समान हर वाले समतुल्य रूप में बदला जाता है। उदाहरण के लिए, $\frac{-2}{3}+\frac{3}{8}=\frac{-16}{24}+\frac{9}{24}=\frac{-16+9}{24}=\frac{-7}{24}$। यहाँ 3 और 8 का LCM 24 है।

9. दो परिमेय संख्याओं को घटाते समय, हम उस परिमेय संख्या का योज्य प्रतिलोम (additive inverse) दूसरी परिमेय संख्या में जोड़ते हैं।

इस प्रकार, $\frac{7}{8}-\frac{2}{3}=\frac{7}{8}+$ योज्य प्रतिलोम of $\frac{2}{3}=\frac{7}{8}+\frac{(-2)}{3}=\frac{21+(-16)}{24}=\frac{5}{24}$।

10. दो परिमेय संख्याओं को गुणा करने के लिए, हम उनके अंशों और हरों को अलग-अलग गुणा करते हैं और गुणनफल को $\frac{\text{ अंशों का गुणनफल }}{\text{ हरों का गुणनफल }}$ के रूप में लिखते हैं।

11. एक परिमेय संख्या को दूसरी अशून्य परिमेय संख्या से भाग देने के लिए, हम उस परिमेय संख्या को दूसरी का व्युत्क्रम (reciprocal) से गुणा करते हैं। इस प्रकार,

$ \frac{-7}{2} \div \frac{4}{3}=\frac{-7}{2} \times(\text{ व्युत्क्रम of } \frac{4}{3})=\frac{-7}{2} \times \frac{3}{4}=\frac{-21}{8} $