अध्याय 9 परिधि और क्षेत्रफल
9.1 समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल
हम वर्गों और आयतों के अलावा कई अन्य आकृतियों के बारे में जानते हैं।
आप एक ऐसी भूमि का क्षेत्रफल कैसे निकालेंगे जिसकी आकृति समांतर चतुर्भुज है?
आइए समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल निकालने की एक विधि खोजें।
क्या कोई समांतर चतुर्भुज समान क्षेत्रफल वाले आयत में बदला जा सकता है?
एक ग्राफ पेपर पर चित्र 9.1(i) के अनुसार एक समांतर चतुर्भुज बनाइए। समांतर चतुर्भुज को काट लीजिए। समांतर चतुर्भुज के एक शीर्ष से विपरीत भुजा पर लंब खींचिए [चित्र 9.1(ii)]। त्रिभुज को काट लीजिए। त्रिभुज को समांतर चतुर्भुज के दूसरी ओर ले जाइए।
आपको कौन-सी आकृति मिलती है? आपको एक आयत मिलता है।
क्या समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल बने हुए आयत के क्षेत्रफल के बराबर है?
हाँ, समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $=$ बने हुए आयत का क्षेत्रफल
आयत की लंबाई और चौड़ाई क्या हैं?
चित्र 9.2
हम पाते हैं कि बने हुए आयत की लंबाई समांतर चतुर्भुज के आधार के बराबर है और आयत की चौड़ाई समांतर चतुर्भुज की ऊँचाई के बराबर है (चित्र 9.2)।
अब,
$ \begin{aligned} \text{ समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल } & =\text{ आयत का क्षेत्रफल } \\ & =\text{ लंबाई } \times \text{ चौड़ाई }=l \times b \end{aligned} $
लेकिन आयत की लंबाई $l$ और चौड़ाई $b$ क्रमशः समांतर चतुर्भुज के आधार $b$ और ऊँचाई $h$ के बराबर हैं।
इस प्रकार, समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $=$ आधार $\times$ ऊँचाई $=b \times h$।
समांतर चतुर्भुज की कोई भी भुजा को उसका आधार चुना जा सकता है। विपरीत शीर्ष से उस भुजा पर गिराया गया लंब ऊँचाई (ऊँचाई) कहलाता है। समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में, $DE$
c लंब है $A B$ पर। यहाँ $A B$ आधार है और $DE$ समांतर चतुर्भुज की ऊँचाई है।
इस समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में, $BF$ विपरीत भुजा $AD$ पर लंब है। यहाँ $AD$ आधार है और $BF$ ऊँचाई है।
निम्नलिखित समांतर चतुर्भुजों पर विचार करें (चित्र 9.2)।
चित्र 9.3
समानांतर चतुर्भुजों का क्षेत्रफल उन आकृतियों के भीतर घिरे वर्गों को गिनकर ज्ञात कीजिए और भुजाओं को मापकर परिमाप भी ज्ञात कीजिए।
निम्नलिखित सारणी को पूरा कीजिए:
| समानांतर चतुर्भुज | आधार | ऊँचाई | क्षेत्रफल | परिमाप |
|---|---|---|---|---|
| (a) | 5 इकाई | 3 इकाई | 15 वर्ग इकाई | |
| (b) | ||||
| (c) | ||||
| (d) | ||||
| $(e)$ | ||||
| $(f)$ | ||||
| $(g)$ |
आप पाएँगे कि इन सभी समानांतर चतुर्भुजों के क्षेत्रफल बराबर हैं लेकिन परिमाप भिन्न हैं। अब, निम्नलिखित समानांतर चतुर्भुजों पर विचार कीजिए जिनकी भुजाएँ $7 ~cm$ और $5 ~cm$ हैं (चित्र 9.4)।
चित्र 9.4
इन प्रत्येक समानांतर चतुर्भुजों का परिमाप और क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। अपने परिणामों का विश्लेषण कीजिए।
आप पाएँगे कि इन समानांतर चतुर्भुजों के क्षेत्रफल भिन्न हैं लेकिन परिमाप बराबर हैं।
किसी समानांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए आपको केवल आधार और समानांतर चतुर्भुज की संगत ऊँचाई जानने की आवश्यकता होती है।
इन्हें आज़माइए
निम्नलिखित समानांतर चतुर्भुजों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:
(i)
(ii)
(iii) एक समांतर चतुर्भुज ABCD में, AB = 7.2 सेमी और C से AB पर डाला गया लंब 4.5 सेमी है।
9.2 त्रिभुज का क्षेत्रफल
एक माली एक त्रिकोणीय बगीचे को पूरी तरह घास से ढकने की लागत जानना चाहता है।
इस स्थिति में हमें त्रिकोणीय क्षेत्र का क्षेत्रफल जानना होगा।
आइए त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालने की एक विधि खोजें।
एक कागज़ पर एक विषमबाहु त्रिभुज बनाएं। त्रिभुज को काट लें। इस त्रिभुज को दूसरे कागज़ पर रखें और उसी आकार का एक और त्रिभुज काट लें।
तो अब आपके पास एक ही आकार के दो विषमबाहु त्रिभुज हैं।
क्या दोनों त्रिभुज सर्वांगसम हैं?
एक त्रिभुज को दूसरे पर इस प्रकार रखें कि वे मिल जाएं। आपको दोनों त्रिभुजों में से एक को घुमाना पड़ सकता है।
अब दोनों त्रिभुजों को इस प्रकार रखें कि उनकी संगत भुजाओं की एक जोड़ी मिल जाए जैसा कि आकृति 9.5 में दिखाया गया है।
क्या इस प्रकार बनी आकृति एक समांतर चतुर्भुज है?
प्रत्येक त्रिभुज के क्षेत्रफल की तुलना समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल से करें।
त्रिभुजों के आधार और ऊंचाई की तुलना समांतर चतुर्भुज के आधार और ऊंचाई से करें।
आप पाएंगे कि दोनों त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का योग समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर है। त्रिभुज का आधार और ऊंचाई क्रमशः समांतर चतुर्भुज के आधार और ऊंचाई के समान हैं।
प्रत्येक त्रिभुज का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2}($ समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $)$
$ \begin{aligned} & =\frac{1}{2}(\text{ आधार } \times \text{ ऊँचाई })(\text{ चूँकि समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल }=\text{ आधार } \times \text{ ऊँचाई }) \\ & =\frac{1}{2}(b \times h)(\text{ या } \frac{1}{2} b h, \text{ संक्षेप में }) \end{aligned} $
इन्हें आज़माइए
1. उपरोक्त क्रियाकलाप को विभिन्न प्रकार के त्रिभुजों के साथ आज़माइए।
2. विभिन्न समांतर चतुर्भुज लीजिए। प्रत्येक समांतर चतुर्भुज को उसके किसी विकर्ण के साथ काटकर दो त्रिभुजों में विभाजित कीजिए। क्या त्रिभुज सर्वांगसम हैं?
आकृति (Fig 9.6) में सभी त्रिभुज आधार $AB=6 ~cm$ पर हैं।
आप आधार $AB$ के संगत प्रत्येक त्रिभुज की ऊँचाई के बारे में क्या कह सकते हैं?
क्या हम कह सकते हैं कि सभी त्रिभुज क्षेत्रफल में समान हैं? हाँ।
क्या त्रिभुज सर्वांगसम भी हैं? नहीं।
हम निष्कर्ष निकालते हैं कि सभी सर्वांगसम त्रिभुज क्षेत्रफल में समान होते हैं लेकिन क्षेत्रफल में समान त्रिभुजों का सर्वांगसम होना आवश्यक नहीं है।
Fig 9.6
आकृति 9.7
आधार 6 सेमी वाले अधिक कोण त्रिभुज ABC पर विचार करें (आकृति 9.7)।
इसकी ऊँचाई AD, जो शीर्ष A से लंबवत् है, त्रिभुज के बाहर है।
क्या आप त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं?
उदाहरण 1 समांतर चतुर्भुज की एक भुजा और संगत ऊँचाई क्रमशः 4 सेमी और 3 सेमी हैं। समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (आकृति 9.8)।
हल
दिया गया है कि आधार की लंबाई (b) = 4 सेमी, ऊँचाई (h) = 3 सेमी
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = b × h
$ = 4 सेमी × 3 सेमी = 12 सेमी² $
उदाहरण 2 यदि समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल 24 सेमी² है और आधार 4 सेमी है, तो ऊँचाई ‘x’ ज्ञात कीजिए।
आकृति 9.8
आकृति 9.9
हल
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = b × h
इसलिए, 24 = 4 × x (आकृति 9.9)
$ \text{ या } \quad \frac{24}{4}=x \text{ या } \quad x=6 ~cm $
इसलिए, समांतर चतुर्भुज की ऊँचाई $6 ~cm$ है।
उदाहरण 3 समांतर चतुर्भुज $ABCD$ की दो भुजाएँ $6 ~cm$ और $4 ~cm$ हैं। आधार $CD$ से संगत ऊँचाई $3 ~cm$ है (चित्र 9.10)। ज्ञात कीजिए (i) समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल। (ii) आधार $AD$ से संगत ऊँचाई।
हल
(i) समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $=b \times h$
$ =6 ~cm \times 3 ~cm=18 ~cm^{2} $
(ii)
$ \text{ आधार }(b)=4 ~cm \text{, ऊँचाई }=x \text{ (मान लीजिए), } $
$ \text{ क्षेत्रफल }=18 ~cm^{2} $
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $=b \times x$
$ \begin{aligned} & 18=4 \times x \ & \frac{18}{4}=x \end{aligned} $
इसलिए,
$ x=4.5 ~cm $
इस प्रकार, आधार $AD$ से संगत ऊँचाई $4.5 ~cm$ है।
चित्र 9.10
उदाहरण 4 निम्नलिखित त्रिभुजों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (चित्र 9.11)।
(i) चित्र 9.11
(ii)
हल
(i) त्रिभुज का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2} b h=\frac{1}{2} \times QR \times PS$
$ =\frac{1}{2} \times 4 ~cm \times 2 ~cm=4 ~cm^{2} $
(ii) त्रिभुज का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2} b h=\frac{1}{2} \times MN \times LO$
$ =\frac{1}{2} \times 3 ~cm \times 2 ~cm=3 ~cm^{2} $
उदाहरण 5 $BC$ ज्ञात कीजिए, यदि त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल $36 ~cm^{2}$ है और ऊँचाई $A D$ 3 cm है (Fig 9.12).
हल
ऊँचाई $=3 ~cm$, क्षेत्रफल $=36 ~cm^{2}$
या: त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2} b h$
Fig 9.12
इसलिए,
$ 36=\frac{1}{2} \times b \times 3 \text{ अर्थात् } \quad b=\frac{36 \times 2}{3}=24 ~cm $
उदाहरण 6 $\triangle PQR$ में, $PR=8 ~cm, QR=4$ $~cm$ और $PL=5 ~cm$ (Fig 9.13) है। ज्ञात कीजिए:
(i) $\triangle PQR$ का क्षेत्रफल
(ii) $QM$
हल
(i) $QR=$ आधार $=4 ~cm, PL=$ ऊँचाई $=5 ~cm$
आकृति 9.13
त्रिभुज $PQR$ का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2} b h$
$ =\frac{1}{2} \times 4 ~cm \times 5 ~cm=10 ~cm^{2} $
(ii) $PR=$ आधार $=8 ~cm$
$ QM=\text{ ऊँचाई }=? $
क्षेत्रफल $=10 ~cm^{2}$
$ \begin{matrix} \text{ त्रिभुज का क्षेत्रफल } & =\frac{1}{2} \times b \times h & \text{ अर्थात् } & & 10 & =\frac{1}{2} \times 8 \times h \\ h & =\frac{10}{4}=\frac{5}{2}=2.5 . & \text{ इसलिए, } & QM & =2.5 ~cm \end{matrix} $
प्रश्नावली 9.1
1. निम्नलिखित प्रत्येक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:
2. निम्नलिखित प्रत्येक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:
3. लुप्त मान ज्ञात कीजिए:
| क्र.सं. | आधार | ऊँचाई | समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल |
|---|---|---|---|
| a. | $20 ~cm$ | $246 ~cm^{2}$ | |
| b. | $15 ~cm$ | $154.5 ~cm^{2}$ | |
| c. | $8.4 ~cm$ | $48.72 ~cm^{2}$ | |
| d. | $15.6 ~cm$ | $16.38 ~cm^{2}$ |
4. लापता मानों को ज्ञात कीजिए:
| आधार | ऊँचाई | त्रिभुज का क्षेत्रफल |
|---|---|---|
| $15 ~cm$ | $87 ~cm^{2}$ | |
| $31.4 mm$ | $1256 mm^{2}$ | |
| $22 ~cm$ | $170.5 ~cm^{2}$ |
आकृति 9.14
5. $PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है (आकृति 9.14)। QM, Q से SR तक की ऊँचाई है और QN, Q से $P S$ तक की ऊँचाई है। यदि $S R=12 ~cm$ और $Q M=7.6 ~cm$ है। ज्ञात कीजिए:
(a) समांतर चतुर्भुज $PQRS$ का क्षेत्रफल
(b) $QN$, यदि $PS=8 ~cm$
6. $DL$ और $BM$ समांतर चतुर्भुज $ABCD$ की भुजाओं $AB$ और $AD$ पर क्रमशः ऊँचाइयाँ हैं (आकृति 9.15)। यदि
आकृति 9.15 समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $1470 ~cm^{2}$, $AB=35 ~cm$ और $AD=$ $49 ~cm$ है, तो BM और DL की लंबाई ज्ञात कीजिए।
7. $\triangle ABC$ कोण A पर समकोण है (आकृति 9.16)। $AD$, BC पर लंब है। यदि $AB=5 ~cm$, $B C=13 ~cm$ और $A C=12 ~cm$ है, तो $\triangle A B C$ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। साथ ही $AD$ की लंबाई भी ज्ञात कीजिए।
आकृति 9.16
आकृति 9.17
8. $\triangle ABC$ समद्विबाहु है जिसमें $AB=AC=7.5 ~cm$ और $BC=9 ~cm$ है (आकृति 9.17)। शीर्ष $A$ से $BC$ तक की ऊँचाई $AD$, $6 ~cm$ है। $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। $AB$ से $C$ तक की ऊँचाई अर्थात् $CE$ क्या होगी?
9.3 वृत्त
एक दौड़ का मैदान दोनों सिरों पर अर्धवृत्ताकार है (आकृति 9.18)।
क्या आप बता सकते हैं कि यदि कोई एथलीट दौड़ के मैदान के दो चक्कर लगाता है तो वह कितनी दूरी तय करता है? हमें एक विधि खोजनी होगी जिससे वृत्ताकार आकृति के चारों ओर की दूरी ज्ञात की जा सके।
आकृति 9.18
9.3.1 वृत्त की परिधि
तान्या ने कार्डबोर्ड से विभिन्न वक्र आकृतियों के कार्ड काटे। वह इन कार्डों को सजाने के लिए इनके चारों ओर लेस लगाना चाहती है। प्रत्येक के लिए उसे लेस की कितनी लंबाई चाहिए होगी? (आकृति 9.19)
आप इन वक्रों को रूलर की सहायता से माप नहीं सकते, क्योंकि ये आकृतियाँ “सीधी” नहीं हैं।
चित्र 9.20 आप क्या कर सकते हैं?
यहाँ एक तरीका है चित्र 9.19(a) में दिखाई गई आकृति के लिए आवश्यक लेस की लंबाई ज्ञात करने का। कार्ड के किनारे पर एक बिंदु चिह्नित करें और कार्ड को टेबल पर रखें। टेबल पर भी उस बिंदु की स्थिति चिह्नित करें (चित्र 9.20)।
अब वृत्ताकार कार्ड को टेबल पर एक सीधी रेखा के साथ इस तरह घुमाएँ जब तक कि चिह्नित बिंदु फिर से टेबल को न छू ले। रेखा के साथ दूरी को मापें
चित्र 9.21। यह आवश्यक लेस की लंबाई है (चित्र 9.21)। यह कार्ड के किनारे के साथ चिह्नित बिंदु से वापस चिह्नित बिंदु तक की दूरी भी है।
आप यह दूरी वृत्ताकार वस्तु के किनारे पर एक डोरी रखकर और उसे चारों ओर घुमाकर भी ज्ञात कर सकते हैं।
किसी वृत्ताकार क्षेत्र के चारों ओर की दूरी को उसकी परिधि कहा जाता है।
इसे करके देखें
एक बोतल की ढक्कन, चूड़ी या कोई अन्य वृत्ताकार वस्तु लें और उसकी परिधि ज्ञात करें।
क्या आप इस विधि से एथलीट द्वारा ट्रैक पर तय की गई दूरी ज्ञात कर सकते हैं?
फिर भी, डोरी से ट्रैक या किसी अन्य वृत्ताकार वस्तु के चारों ओर की दूरी ज्ञात करना बहुत कठिन होगा। इसके अतिरिक्त, माप सटीक नहीं होगा।
इसलिए, हमें इसके लिए कोई सूत्र चाहिए, जैसा कि हमारे पास सीधी रेखाओं वाले आकृतियों या आकृतियों के लिए होता है।
आइए देखें कि क्या वृत्तों के व्यास और परिधि के बीच कोई संबंध है।
निम्नलिखित तालिका पर विचार करें: छह भिन्न-भिन्न त्रिज्याओं के वृत्त बनाएं और डोरी का उपयोग करके उनकी परिधि ज्ञात करें। साथ ही परिधि और व्यास का अनुपात भी ज्ञात करें।
| वृत्त | त्रिज्या | व्यास | परिधि | परिधि का व्यास से अनुपात |
|---|---|---|---|---|
| 1. | $3.5 ~cm$ | $7.0 ~cm$ | $22.0 ~cm$ | $\frac{22}{7}=3.14$ |
| 2. | $7.0 ~cm$ | $14.0 ~cm$ | $44.0 ~cm$ | $\frac{44}{14}=3.14$ |
| 3. | $10.5 ~cm$ | $21.0 ~cm$ | $66.0 ~cm$ | $\frac{66}{21}=3.14$ |
| 4. | $21.0 ~cm$ | $42.0 ~cm$ | $132.0 ~cm$ | $\frac{132}{42}=3.14$ |
| 5. | $5.0 ~cm$ | $10.0 ~cm$ | $32.0 ~cm$ | $\frac{32}{10}=3.2$ |
| 6. | $15.0 ~cm$ | $30.0 ~cm$ | $94.0 ~cm$ | $\frac{94}{30}=3.13$ |
आप उपरोक्त तालिका से क्या निष्कर्ष निकालते हैं? क्या यह अनुपात लगभग समान है? हाँ।
क्या आप कह सकते हैं कि किसी वृत्त की परिधि हमेशा उसके व्यास से तीन गुनी से अधिक होती है? हाँ।
यह अनुपात एक स्थिरांक है और इसे $\pi$ (पाई) द्वारा दर्शाया जाता है। इसका सन्निकट मान $\frac{22}{7}$ या 3.14 है।
इसलिए, हम कह सकते हैं कि $\frac{C}{d}=\pi$, जहाँ ‘$C$’ वृत्त की परिधि को और ‘$d$’ उसके व्यास को दर्शाता है।
या: $ C=\pi d $
हम जानते हैं कि किसी वृत्त का व्यास $(d)$ त्रिज्या $(r)$ का दोगुना होता है, अर्थात् $d=2 r$
इसलिए, $\quad C=\pi d=\pi \times 2 r \quad$ या $\quad C=2 \pi r$।
इन्हें आज़माइए
चित्र 9.22 में,
(a) किस वर्ग की परिधि अधिक है?
(b) छोटे वर्ग की परिधि और वृत्त की परिधि में से कौन-सी अधिक है?
चित्र 9.22
इसे कीजिए
एक-एक चौथाई थाली और आधी थाली लीजिए। इन्हें एक बार मेज़ के ऊपर घुमाइए। एक पूर्ण चक्कर में कौन-सी थाली अधिक दूरी तय करती है? मेज़ की लंबाई तय करने में कौन-सी थाली कम चक्कर लगाएगी?
उदाहरण 7 व्यास $10 ~cm$ वाले वृत्त की परिधि क्या है ($\pi=3.14$ लीजिए)?
हल
वृत्त का व्यास $(d)=10 ~cm$
वृत्त की परिधि $=\pi d$
$ =3.14 \times 10 ~cm=31.4 ~cm $
इसलिए, $10 ~cm$ व्यास वाले वृत्त की परिधि $31.4 ~cm$ है।
उदाहरण 8 एक वृत्ताकार डिस्क जिसकी त्रिज्या $14 ~cm$ है, उसकी परिधि क्या होगी?
$ (\pi=\frac{22}{7} \text{ का प्रयोग करें}) $
हल
वृत्ताकार डिस्क की त्रिज्या $(r)=14 ~cm$
डिस्क की परिधि $=2 \pi r$
$ =2 \times \frac{22}{7} \times 14 ~cm=88 ~cm $
इसलिए, वृत्ताकार डिस्क की परिधि $88 ~cm$ है।
उदाहरण 9 एक वृत्ताकार पाइप की त्रिज्या $10 ~cm$ है। पाइप के चारों ओर एक बार लपेटने के लिए टेप की कितनी लंबाई की आवश्यकता होगी $(\pi=3.14)$ ?
हल
पाइप की त्रिज्या $(r)=10 ~cm$
टेप की आवश्यक लंबाई पाइप की परिधि के बराबर होती है।
पाइप की परिधि $=2 \pi r$
$ \begin{aligned} & =2 \times 3.14 \times 10 ~cm \\ & =62.8 ~cm \end{aligned} $
इसलिए, पाइप के चारों ओर एक बार लपेटने के लिए आवश्यक टेप की लंबाई $62.8 ~cm$ है।
उदाहरण 10 दिए गए आकृति (Fig 9.23) का परिमाप ज्ञात कीजिए ($\pi=\frac{22}{7}$ लीजिए)।
हल
इस आकृति में हमें वर्ग के प्रत्येक ओर अर्धवृत्तों की परिधि ज्ञात करनी होगी। क्या आपको वर्ग का परिमाप भी ज्ञात करना होगा? नहीं। इस आकृति की बाहरी सीमा अर्धवृत्तों से बनी है। प्रत्येक अर्धवृत्त का व्यास $14 ~cm$ है।
हम जानते हैं कि:
वृत्त की परिधि $=\pi d$
अर्धवृत्त की परिधि $=\frac{1}{2} \pi d$
$ =\frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 14 ~cm=22 ~cm $
प्रत्येक अर्धवृत्त की परिधि $22 ~cm$ है
इसलिए, दी गई आकृति का परिमाप $=4 \times 22 ~cm=88 ~cm$
आकृति 9.23
उदाहरण 11 सुधांशु एक वृत्ताकार डिस्क जिसकी त्रिज्या $7 ~cm$ है, को दो बराबर भागों में बाँटता है।
प्रत्येक अर्धवृत्ताकार डिस्क का परिमाप क्या है? (मान लीजिए $\pi=\frac{22}{7}$)
हल
अर्धवृत्ताकार डिस्क (आकृति 9.24) का परिमाप ज्ञात करने के लिए हमें ज्ञात करना होगा
(i) अर्धवृत्ताकार आकृति की परिधि
(ii) व्यास
दिया गया है कि त्रिज्या $(r)=7 ~cm$। हम जानते हैं कि वृत्त की परिधि $=2 \pi r$
इसलिए, अर्धवृत्त की परिधि$=\frac{1}{2}\times 2 \pi r=\pi r$
$=\frac{22}{7}\times 7 ~cm=22 ~cm$
इसलिए, वृत्त का व्यास = $2r = 2 \times 7 ~cm = 14 ~cm$
इस प्रकार, प्रत्येक अर्धवृत्ताकार डिस्क का परिमाप $=22 ~cm+14 ~cm=36 ~cm$
9.3.2 वृत्त का क्षेत्रफल
निम्नलिखित पर विचार कीजिए:
- एक किसान ने खेत के बीचों-बीच 7 m त्रिज्या का एक फूलों का बेड खोदा। उसे खाद खरीदनी है। यदि 1 वर्ग मीटर क्षेत्रफल के लिए 1 kg खाद की आवश्यकता होती है, तो उसे कितनी खाद खरीदनी चाहिए?
- 2 m त्रिज्या वाले गोल टेबल-टॉप को ₹ 10 प्रति वर्ग मीटर की दर से पॉलिश कराने की लागत क्या होगी?
क्या आप बता सकते हैं कि ऐसे मामलों में हमें क्या निकालना होता है, क्षेत्रफल या परिमाप? ऐसे मामलों में हमें वृत्ताकार क्षेत्र का क्षेत्रफल निकालना होता है। आइए ग्राफ पेपर का उपयोग करके वृत्त का क्षेत्रफल निकालते हैं।
आकृति 9.25
ग्राफ पेपर पर 4 cm त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए (आकृति 9.25)। घिरे हुए वर्गों की संख्या गिनकर क्षेत्रफल निकालिए।
चूँकि किनारे सीधे नहीं होते, इस विधि से हमें वृत्त के क्षेत्रफल का एक अनुमानित मान मिलता है। वृत्त का क्षेत्रफल निकालने का एक और तरीका है।
एक वृत्त खींचिए और उसका आधा भाग छायांकित कीजिए [आकृति 9.26(i)]। अब वृत्त को आठ भागों में मोड़िए और मोड़ों के साथ-साथ काटिए [आकृति 9.26(ii)]।
(i)
(ii)
चित्र 9.26
चित्र 9.27
अलग-अलग टुकड़ों को चित्र 9.27 में दिखाए अनुसार व्यवस्थित करें, जो लगभग एक समांतर चतुर्भुज है।
जितने अधिक सेक्टर हमारे पास होंगे, उतना ही हम एक उपयुक्त समांतर चतुर्भुज के निकट पहुँचेंगे।
जैसा ऊपर किया गया है यदि हम वृत्त को 64 सेक्टरों में विभाजित करें, और इन सेक्टरों को व्यवस्थित करें। यह लगभग एक आयत देता है (चित्र 9.28)।
चित्र 9.28
इस आयत की चौड़ाई क्या है? इस आयत की चौड़ाई वृत्त की त्रिज्या है, अर्थात् ’ $r$ ‘।
चूँकि संपूर्ण वृत्त को 64 सेक्टरों में विभाजित किया गया है और प्रत्येक ओर हमारे पास 32 सेक्टर हैं, आयत की लंबाई 32 सेक्टरों की लंबाई है, जो परिधि की आधी है। (चित्र 9.28)
वृत्त का क्षेत्रफल $=$ इस प्रकार बने आयत का क्षेत्रफल $=l \times b$
$=($ अर्ध परिधि $) \times$ त्रिज्या $=(\frac{1}{2} \times 2 \pi r) \times r=\pi r^{2}$
इसलिए, वृत्त का क्षेत्रफल $=\pi r^{2}$
इन्हें आज़माइए
ग्राफ पेपर पर विभिन्न त्रिज्याओं के वृत्त बनाइए। वर्गों की संख्या गिनकर क्षेत्रफल निकालिए। साथ ही सूत्र का प्रयोग करके भी क्षेत्रफल निकालिए। दोनों उत्तरों की तुलना कीजिए।
उदाहरण 12 त्रिज्या $30 ~cm$ वाले वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए ($\pi=3.14$ का प्रयोग कीजिए)।
हल
त्रिज्या, $r=30 ~cm$
वृत्त का क्षेत्रफल $=\pi r^{2}=3.14 \times 30^{2}=2,826 ~cm^{2}$
उदाहरण 13 एक वृत्ताकार बगीचे का व्यास $9.8 m$ है। इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल
व्यास, $d=9.8 m$। इसलिए त्रिज्या $r=9.8 \div 2=4.9 m$
वृत्त का क्षेत्रफल $=\pi r^{2}=\frac{22}{7} \times(4.9)^{2} m^{2}=\frac{22}{7} \times 4.9 \times 4.9 m^{2}=75.46 m^{2}$
उदाहरण 14 संलग्न आकृति में समान केंद्र वाले दो वृत्त दिखाए गए हैं। बड़े वृत्त की त्रिज्या $10 ~cm$ है और छोटे वृत्त की त्रिज्या $4 ~cm$ है।
ज्ञात कीजिए: (a) बड़े वृत्त का क्षेत्रफल
(b) छोटे वृत्त का क्षेत्रफल
(c) दोनों वृत्तों के बीच की छायांकित क्षेत्रफल। $(\pi=3.14)$
हल
(a) बड़े वृत्त की त्रिज्या $=10 ~cm$
इसलिए, बड़े वृत्त का क्षेत्रफल $=\pi r^{2}$
$ =3.14 \times 10 \times 10=314 ~cm^{2} $
(b) छोटे वृत्त की त्रिज्या $=4 ~cm$
छोटे वृत्त का क्षेत्रफल $=\pi r^{2}$
$ =3.14 \times 4 \times 4=50.24 ~cm^{2} $
(c) छायांकित भाग का क्षेत्रफल $=(314-50.24) ~cm^{2}=263.76 ~cm^{2}$
अभ्यास 9.2
1. निम्न त्रिज्याओं वाले वृत्तों की परिधि ज्ञात कीजिए: ( $\pi=\frac{22}{7}$ लीजिए)
(a) $14 ~cm$
(b) $28 ~mm$
(c) $21 ~cm$
2. निम्न वृत्तों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यह दिया गया है कि:
(a) त्रिज्या $=14 ~mm$ ( $\pi=\frac{22}{7}$ लीजिए)
(b) व्यास $=49 ~m$
(c) त्रिज्या $=5 ~cm$
3. यदि एक वृत्ताकार चादर की परिधि $154 m$ है, तो इसकी त्रिज्या ज्ञात कीजिए। साथ ही चादर का क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए। ( $\pi=\frac{22}{7}$ लीजिए)
4. एक माली व्यास $21 m$ वाले वृत्ताकार बगीचे को बाड़ लगाना चाहता है। यदि वह 2 चक्कर बाड़ लगाता है, तो उसे कितनी लंबाई की रस्सी खरीदनी होगी, ज्ञात कीजिए। साथ ही रस्सी की लागत भी ज्ञात कीजिए, यदि यह ₹ 4 प्रति मीटर पड़ती है। ( $\pi=\frac{22}{7}$ लीजिए)
5. त्रिज्या $4 ~cm$ वाली वृत्ताकार चादर से त्रिज्या $3 ~cm$ वाला वृत्त हटा दिया जाता है। शेष चादर का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। ( $\pi=3.14$ लीजिए)
6. सैमा व्यास $1.5 m$ वाले वृत्ताकार टेबल कवर के किनारे पर लेस लगाना चाहती है। आवश्यक लेस की लंबाई ज्ञात कीजिए और साथ ही इसकी लागत भी ज्ञात कीजिए यदि एक मीटर लेस की कीमत
₹ 15 है। ( $\pi=3.14$ लीजिए)
7. संलग्न आकृति, जो एक अर्धवृत्त है जिसमें उसका व्यास भी शामिल है, का परिमाप ज्ञात कीजिए।
8. एक वृत्ताकार टेबल-टॉप जिसका व्यास 1.6 m है, की पॉलिशिंग का व्यय ज्ञात कीजिए यदि पॉलिशिंग की दर ₹ 15 / m² है। (π = 3.14 लीजिए)
9. शज़ली ने 44 cm लंबाई की एक तार ली और उसे वृत्त के आकार में मोड़ दिया। उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए। साथ ही उसका क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए। यदि उसी तार को वर्ग के आकार में मोड़ा जाए तो उसकी प्रत्येक भुजा की लंबाई क्या होगी? कौन-सी आकृति अधिक क्षेत्रफल घेरती है, वृत्त या वर्ग? (π = 22/7 लीजिए)
10. 14 cm त्रिज्या वाली एक वृत्ताकार कार्ड शीट से, 3.5 cm त्रिज्या के दो वृत्त और 3 cm लंबाई तथा 1 cm चौड़ाई का एक आयत निकाला गया है (जैसा कि संलग्न आकृति में दिखाया गया है)। शेष शीट का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 22/7 लीजिए)
11. 6 cm भुजा वाले एल्युमिनियम शीट के वर्ग टुकड़े से 2 cm त्रिज्या का एक वृत्त काटा गया है। शेष बचे एल्युमिनियम शीट का क्षेत्रफल क्या है? (π = 3.14 लीजिए)
12. एक वृत्त की परिधि (31.4 ~cm) है। वृत्त की त्रिज्या और क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए? ((\pi=3.14) लीजिए)
13. एक वृत्ताकार फूलों की क्यारी चारों ओर 4 m चौड़े रास्ते से घिरी हुई है। फूलों की क्यारी का व्यास 66 m है। इस रास्ते का क्षेत्रफल कितना है? ((\pi=3.14))
14. एक वृत्ताकार फूलों का बगीचा जिसका क्षेत्रफल (314 m^{2}) है। बगीचे के केंद्र में स्थित एक स्प्रिंक्लर 12 m त्रिज्या वाले क्षेत्र को पानी दे सकता है। क्या स्प्रिंक्लर पूरे बगीचे को पानी देगा? ((\pi=3.14) लीजिए)
15. संलग्न आकृति में दिखाए गए आंतरिक और बाहरी वृत्तों की परिधि ज्ञात कीजिए? ((\pi=3.14) लीजिए)
16. 28 cm त्रिज्या वाला पहिया 352 m जाने के लिए कितनी बार घूमना चाहिए? ((\pi=\frac{22}{7}) लीजिए)
17. एक गोल घड़ी की मिनट की सुई 15 cm लंबी है। मिनट की सुई का सिरा 1 घंटे में कितनी दूरी तय करता है? ((\pi=3.14) लीजिए)
हमने क्या चर्चा की?
1. समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल (=) आधार (\times) ऊँचाई
2. त्रिभुज का क्षेत्रफल (=\frac{1}{2}) (उससे बने समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल)
$ =\frac{1}{2} \times \text{ आधार } \times \text{ ऊँचाई } $
3. किसी वृत्तीय क्षेत्र के चारों ओर की दूरी को उसकी परिधि कहा जाता है।
एक वृत्त की परिधि $=\pi d$, जहाँ $d$ वृत्त का व्यास है और $\pi=\frac{22}{7}$ या 3.14 (लगभग)।
4. वृत्त का क्षेत्रफल $=\pi r^{2}$, जहाँ $r$ वृत्त की त्रिज्या है।
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