अध्याय 01 परिमेय संख्याएँ
1.1 परिचय
गणित में हमें प्रायः सरल समीकरण हल करने को मिलते हैं। उदाहरण के लिए, समीकरण
$$ \begin{equation*} x+2=13 \tag{1} \end{equation*} $$
का हल तब मिलता है जब $x=11$, क्योंकि $x$ का यह मान दी गई समीकरण को संतुष्ट करता है। हल 11 एक प्राकृत संख्या है। दूसरी ओर, समीकरण
$$ \begin{equation*} x+5=5 \tag{2} \end{equation*} $$
के लिए हल पूर्ण संख्या 0 (शून्य) देता है। यदि हम केवल प्राकृत संख्याओं पर विचार करें, तो समीकरण (2) को हल नहीं किया जा सकता। ऐसी समीकरणों (2) को हल करने के लिए, हमने प्राकृत संख्याओं के समूह में शून्य को जोड़ा और पूर्ण संख्याएँ प्राप्त कीं। यहाँ तक कि पूर्ण संख्याएँ भी
$$ \begin{equation*} x+18=5 \tag{3} \end{equation*} $$
प्रकार की समीकरणों को हल करने के लिए पर्याप्त नहीं होंगी। क्या आप देख पा रहे हैं ‘क्यों’? हमें -13 संख्या की आवश्यकता है जो कि पूर्ण संख्या नहीं है। इसने हमें पूर्णांकों (धनात्मक और ऋणात्मक) के बारे में सोचने पर मजबूर किया। ध्यान दें कि धनात्मक पूर्णांक प्राकृत संख्याओं के अनुरूप होते हैं। कोई यह सोच सकता है कि हमारे पास सभी सरल समीकरणों को हल करने के लिए पर्याप्त संख्याएँ हैं जो कि उपलब्ध पूर्णांकों की सूची के साथ हैं। अब समीकरणों पर विचार करें
$$ \begin{matrix} 2 x=3 \\ 5 x+7=0 \tag{5} \end{matrix} $$
जिनके लिए हम पूर्णांकों से हल नहीं खोज सकते। (इसकी जाँच करें) समीकरण (4) को हल करने के लिए हमें $\frac{3}{2}$ संख्या की आवश्यकता है और समीकरण (5) को हल करने के लिए $\frac{-7}{5}$ की। यह हमें परिमेय संख्याओं के समूह तक ले जाता है।
हमने पहले ही परिमेय संख्याओं पर आधारित संक्रियाओं को देखा है। अब हम अब तक देखी गई विभिन्न प्रकार की संख्याओं पर संक्रियाओं के कुछ गुणों को जानने का प्रयास करते हैं।
1.2 परिमेय संख्याओं के गुण
1.2.1 बंदिता
(i) पूर्ण संख्याएँ
आइए पूर्ण संख्याओं पर सभी संक्रियाओं के लिए बंदिता के गुण को संक्षेप में फिर से देखें।
| संक्रिया | संख्याएँ | टिप्पणियाँ |
|---|---|---|
| योग | $0+5=5$, एक पूर्ण संख्या $4+7=\ldots$. क्या यह पूर्ण संख्या है? सामान्यतः, कोई भी दो पूर्ण संख्याएँ $a$ और $b$ हों, तो $a+b$ एक पूर्ण संख्या होती है। |
पूर्ण संख्याएँ योग के सापेक्ष बंद होती हैं। |
| व्यवकलन | $5-7=-2$, जो पूर्ण संख्या नहीं है। | पूर्ण संख्याएँ व्यवकलन के सापेक्ष बंद नहीं होती हैं। |
| गुणा | $3 \times 3=0$, पूर्ण संख्या सामान्यतः, यदि $a$ और $b$ कोई भी दो पूर्ण संख्याएँ हों, तो उनका गुणनफल $a b$ एक पूर्ण संख्या होती है। |
पूर्ण संख्याएँ गुणा के सापेक्ष बंद होती हैं। |
| भाग | $5 \div 8=\frac{5}{8}$, जो पूर्ण संख्या नहीं है। | पूर्ण संख्याएँ भाग के सापेक्ष बंद नहीं होती हैं। |
प्राकृत संख्याओं के लिए सभी चार संक्रियाओं के अंतर्गत बंदिता के गुण की जाँच करें।
**(ii) पूर्णांक
अब हम वे संक्रियाएँ याद करते हैं जिनके सापेक्ष पूर्णांक बंद होते हैं।
| संक्रिया | संख्याएँ | टिप्पणियाँ |
|---|---|---|
| योग | $-6+5=-1$, एक पूर्णांक | पूर्णांक योग के अंतर्गत बंद होते हैं |
| क्या $-7+(-5)$ एक पूर्णांक है? क्या $8+5$ एक पूर्णांक है? सामान्यतः, $a+b$ एक पूर्णांक है किन्हीं दो पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए। |
||
| व्यवकलन | $7-5=2$, एक पूर्णांक क्या $5-7$ एक पूर्णांक है? $-6-8=-14$, एक पूर्णांक |
पूर्णांक व्यवकलन के अंतर्गत बंद होते हैं। |
| $-6-(-8)=2$, एक पूर्णांक क्या $8-(-6)$ एक पूर्णांक है? सामान्यतः, किन्हीं दो पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए, $a-b$ पुनः एक पूर्णांक है। जाँच कीजिए कि क्या $b-a$ भी एक पूर्णांक है। |
||
| गुणा | $5 \times 8=40$, एक पूर्णांक क्या $-5 \times 8$ एक पूर्णांक है? $-5 \times(-8)=40$, एक पूर्णांक सामान्यतः, किन्हीं दो पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए, $a \times b$ भी एक पूर्णांक है। |
पूर्णांक गुणा के अंतर्गत बंद होते हैं। |
| भाग | $5 \div 8=\frac{5}{8}$, जो एक पूर्णांक नहीं है। |
पूर्णांक भाग के अंतर्गत बंद नहीं होते। |
आपने देखा है कि पूर्ण संख्याएँ योग और गुणा के अंतर्गत बंद होती हैं परंतु व्यवकलन और भाग के अंतर्गत नहीं। तथापि, पूर्णांक योग, व्यवकलन और गुणा के अंतर्गत बंद होते हैं परंतु भाग के अंतर्गत नहीं।
(iii) परिमेय संख्याएँ
याद कीजिए कि एक संख्या जिसे $\frac{p}{q}$ के रूप में लिखा जा सके, जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$, एक परिमेय संख्या कहलाती है। उदाहरण के लिए, $-\frac{2}{3}, \frac{6}{7}, \frac{9}{-5}$ सभी परिमेय संख्याएँ हैं। चूँकि संख्याएँ $0,-2,4$ को $\frac{p}{q}$ के रूप में लिखा जा सकता है, वे भी परिमेय संख्याएँ हैं। (जाँच कर लो!)
(a) आप जानते हैं कि दो परिमेय संख्याओं को कैसे जोड़ा जाता है। आइए कुछ युग्मों को जोड़ें।
$ \begin{aligned} \frac{3}{8}+\frac{(-5)}{7} & =\frac{21+(-40)}{56}=\frac{-19}{56} \quad \quad \text{(एक परिमेय संख्या)}\\ \frac{-3}{8}+\frac{(-4)}{5} & =\frac{-15+(-32)}{40}= \ldots \quad\quad \text{क्या यह एक परिमेय संख्या है?} \\ \frac{4}{7}+\frac{6}{11} & = \ldots\quad \quad\quad\quad \text{क्या यह एक परिमेय संख्या है?} \end{aligned} $
हम पाते हैं कि दो परिमेय संख्याओं का योग फिर से एक परिमेय संख्या होती है। कुछ और युग्मों के लिए इसे जाँचिए।
हम कहते हैं कि परिमेय संख्याएँ योग के सापेक्ष बंद हैं। अर्थात्, किन्हीं दो परिमेय संख्याओं $a$ और $b$ के लिए, $a+b$ भी एक परिमेय संख्या होती है।
(b) क्या दो परिमेय संख्याओं का अंतर फिर से एक परिमेय संख्या होगा?
हमारे पास,
$ \frac{-5}{7}-\frac{2}{3}=\frac{-5 \times 3-2 \times 7}{21}=\frac{-29}{21} \quad \text{ (एक परिमेय संख्या) } $
$ \begin{aligned} \frac{5}{8}-\frac{4}{5}=\frac{25-32}{40} & =\ldots \quad \text{क्या यह एक परिमेय संख्या है? }\\ \frac{3}{7}-(\frac{-8}{5}) & =\ldots \quad \text{क्या यह एक परिमेय संख्या है? } \end{aligned} $
इसे कुछ और युग्मों पर आज़माएँ। हम पाते हैं कि परिमेय संख्याएँ घटाव के लिए बंद होती हैं। अर्थात्, किन्हीं भी दो परिमेय संख्याओं $a$ और $b$ के लिए, $a-b$ भी एक परिमेय संख्या होती है।
(c) अब हम दो परिमेय संख्याओं का गुणनफल देखते हैं।
$ \begin{matrix} \frac{-2}{3} \times \frac{4}{5} & =\frac{-8}{15} ; \frac{3}{7} \times \frac{2}{5}=\frac{6}{35} & \text{ (दोनों गुणनफल परिमेय संख्याएँ हैं) } \\ -\frac{4}{5} \times \frac{-6}{11} & =\ldots & \text{ क्या यह एक परिमेय संख्या है? } \end{matrix} $
कुछ और परिमेय संख्या युग्म लीजिए और जाँचिए कि उनका गुणनफल फिर से एक परिमेय संख्या है।
हम कहते हैं कि परिमेय संख्याएँ गुणा के लिए बंद होती हैं। अर्थात्, किन्हीं भी दो परिमेय संख्याओं $a$ और $b$ के लिए, $a \times b$ भी एक परिमेय संख्या होती है।
(d) हम देखते हैं कि $\frac{-5}{3} \div \frac{2}{5}=\frac{-25}{6}$
(एक परिमेय संख्या)
$\frac{2}{7} \div \frac{5}{3}=\ldots$. क्या यह एक परिमेय संख्या है? $\frac{-3}{8} \div \frac{-2}{9}=\ldots$. क्या यह एक परिमेय संख्या है?
क्या आप कह सकते हैं कि परिमेय संख्याएँ भाग के लिए बंद होती हैं?
हम पाते हैं कि किसी भी परिमेय संख्या $a$ के लिए, $a \div 0$ परिभाषित नहीं होता।
इसलिए परिमेय संख्याएँ भाग के लिए बंद नहीं होती हैं।
हालाँकि, यदि हम शून्य को छोड़ दें तो शेष सभी परिमेय संख्याओं का संग्रह भाग के लिए बंद होता है।
इन्हें आज़माएँ
निम्नलिखित सारणी में रिक्त स्थान भरिए।
| संख्याएँ | संक्रिया के अंतर्गत बंद हैं | |||
|---|---|---|---|---|
| योग | व्यवकलन | गुणा | भाग | |
| परिमेय संख्याएँ | हाँ | हाँ | $\ldots$ | नहीं |
| पूर्णांक | $\ldots$ | हाँ | $\ldots$ | नहीं |
| पूर्ण संख्याएँ | $\ldots$ | $\ldots$ | हाँ | $\ldots$ |
| प्राकृत संख्याएँ | $\ldots$ | नहीं | $\ldots$ | $\ldots$ |
1.2.2 क्रमविनिमेयता
(i) पूर्ण संख्याएँ
विभिन्न संक्रियाओं की पूर्ण संख्याओं के लिए क्रमविनिमेयता को निम्न सारणी भरकर पुनः स्मरण करें।
| संक्रिया | संख्याएँ | टिप्पणियाँ |
|---|---|---|
| योग | $0+7=7+0=7$ $2+3=\ldots+\ldots=\ldots$. किन्हीं दो पूर्ण संख्याओं $a$ और $b$ के लिए, $a+b=b+a$ |
योग क्रमविनिमेय है। |
| व्यवकलन | $\ldots \ldots . .$. | |
| गुणा | $\ldots \ldots .$. | व्यवकलन क्रमविनिमेय नहीं है। |
| भाग | $\ldots \ldots . .$. | भाग क्रमविनिमेय नहीं है। |
जाँच करें कि क्या संक्रियाओं की क्रमविनिमेयता प्राकृत संख्याओं के लिए भी लागू होती है।
(ii) पूर्णांक
निम्न सारणी भरें और पूर्णांकों के लिए विभिन्न संक्रियाओं की क्रमविनिमेयता की जाँच करें:
| संक्रिया | संख्याएँ | टिप्पणियाँ |
|---|---|---|
| योग | $\ldots \ldots .$. | योग क्रमविनिमेय है। |
| व्यवकलन | क्या $5-(-3)=-3-5$ है? | व्यवकलन क्रमविनिमेय नहीं है। |
| गुणा | $\ldots \ldots .$. | गुणा क्रमविनिमेय है। |
| भाग | $\ldots . . .$. | भाग क्रमविनिमेय नहीं है। |
**(iii) परिमेय संख्याएँ
(a) योग
आप जानते हैं कि दो परिमेय संख्याओं को कैसे जोड़ा जाता है। आइये यहाँ कुछ युगल जोड़ें।
$ \begin{aligned} & \quad \frac{-2}{3}+\frac{5}{7}=\frac{1}{21} \text{ और } \frac{5}{7}+(\frac{-2}{3})=\frac{1}{21} \\ & \text{ इसलिए, } \frac{-2}{3}+\frac{5}{7}=\frac{5}{7}+(\frac{-2}{3}) \\ & \text{ साथ ही, } \frac{-6}{5}+(\frac{-8}{3})=\ldots \text{ और } \frac{-8}{3}+(\frac{-6}{5})=\ldots \\ & \text{ क्या } \quad \frac{-6}{5}+(\frac{-8}{3})=(\frac{-8}{3})+(\frac{-6}{5}) ? \end{aligned} $
क्या $\quad \frac{-3}{8}+\frac{1}{7}=\frac{1}{7}+(\frac{-3}{8})$ ?
आप पाते हैं कि दो परिमेय संख्याओं को किसी भी क्रम में जोड़ा जा सकता है। हम कहते हैं कि परिमेय संख्याओं के लिए जोड़ क्रमविनिमय (कम्यूटेटिव) है। अर्थात्, किन्हीं दो परिमेय संख्याओं $a$ और $b$ के लिए, $a+b=b+a$।
(b) घटाव
क्या $\quad \frac{2}{3}-\frac{5}{4}=\frac{5}{4}-\frac{2}{3}$ ?
क्या $\quad \frac{1}{2}-\frac{3}{5}=\frac{3}{5}-\frac{1}{2}$ ?
आप पाएँगे कि परिमेय संख्याओं के लिए घटाव क्रमविनिमय नहीं है।
ध्यान दीजिए कि पूर्णांकों के लिए भी घटाव क्रमविनिमय नहीं है और पूर्णांक भी परिमेय संख्याएँ होती हैं। इसलिए परिमेय संख्याओं के लिए भी घटाव क्रमविनिमय नहीं होगा।
(c) गुणा
हमारे पास, $\quad \frac{-7}{3} \times \frac{6}{5}=\frac{-42}{15}=\frac{6}{5} \times(\frac{-7}{3})$
क्या: $ \frac{-8}{9} \times(\frac{-4}{7})=\frac{-4}{7} \times(\frac{-8}{9}) ? $
कुछ और ऐसे गुणनफलों की जाँच कीजिए।
आप पाएँगे कि परिमेय संख्याओं के लिए गुणा क्रमविनिमय है।
सामान्यतः, किन्हीं दो परिमेय संख्याओं $a$ और $b$ के लिए, $a \times b=b \times a$।
(d) भाग
क्या है:
$
\frac{-5}{4} \div \frac{3}{7}=\frac{3}{7} \div(\frac{-5}{4}) ?
$
आप पाएँगे कि दोनों ओर के व्यंजक बराबर नहीं हैं।
इसलिए भाग करना परिमेय संख्याओं के लिए क्रमवाचनीय नहीं है।
इन्हें आज़माइए
निम्नलिखित सारणी को पूरा कीजिए:
| संख्याएँ | क्रमवाचनीयता के लिए | |||
|---|---|---|---|---|
| योग | घटाव | गुणा | भाग | |
| परिमेय संख्याएँ | हाँ | $\ldots$ | $\ldots$ | $\ldots$ |
| पूर्णांक | $\ldots$ | नहीं | $\ldots$ | $\ldots$ |
| पूर्ण संख्याएँ | $\ldots$ | $\ldots$ | हाँ | $\ldots$ |
| प्राकृत संख्याएँ | $\ldots$ | $\ldots$ | $\ldots$ | नहीं |
1.2.3 साहचर्य
(i) पूर्ण संख्याएँ
इस सारणी के माध्यम से पूर्ण संख्याओं के लिए चारों संक्रियाओं की साहचर्यता को याद कीजिए:
| संक्रिया | संख्याएँ | टिप्पणी |
|---|---|---|
| योग | $\ldots \ldots .$. | योग साहचर्य है |
| घटाव | $\ldots \ldots \ldots$ | घटाव साहचर्य नहीं है |
| गुणा | क्या $7 \times(2 \times 5)=(7 \times 2) \times 5 ?$ क्या $4 \times(6 \times 0)=(4 \times 6) \times 0 ?$ किन्हीं तीन पूर्ण संख्याओं $a, b$ और $c$ के लिए $a \times(b \times c)=(a \times b) \times c$ |
गुणा साहचर्य है |
| भाग | $\ldots \ldots \ldots .$. | भाग साहचर्य नहीं है |
इस सारणी को भरिए और अंतिम स्तंभ में दी गई टिप्पणियों की पुष्टि कीजिए।
प्राकृत संख्याओं के लिए विभिन्न संक्रियाओं की साहचर्यता स्वयं जाँचिए।
(ii) पूर्णांक
पूर्णांकों के लिए चारों संक्रियाओं की सहसंयोजकता इस सारणी से देखी जा सकती है
| संक्रिया | संख्याएँ | टिप्पणियाँ |
|---|---|---|
| योग | क्या $(-2)+[3+(-4)]$ $=[(-2)+3)]+(-4) ?$ क्या $(-6)+[(-4)+(-5)]$ $=[(-6)+(-4)]+(-5) ?$ किन्हीं तीन पूर्णांकों $a, b$ और $c$ के लिए $a+(b+c)=(a+b)+c$ |
|
| व्यवकलन | क्या $5-(7-3)=(5-7)-3 ?$ | व्यवकलन सहसंयोजक नहीं है |
| गुणा | क्या $5 \times[(-7) \times(-8)$ $=[5 \times(-7)] \times(-8) ?$ क्या $(-4) \times[(-8) \times(-5)]$ $=[(-4) \times(-8)] \times(-5) ?$ किन्हीं तीन पूर्णांकों $a, b$ और $c$ के लिए $a \times(b \times c)=(a \times b) \times c$ |
गुणा सहसंयोजक है |
| क्या $[(-10) \div 2] \div(-5)$ $=(-10) \div[2 \div(-5)]$ |
भाग सहसंयोजक नहीं है | |
| भाग |
(iii) परिमेय संख्याएँ
(a)
योग:
हमने देखा $\frac{-2}{3}+[\frac{3}{5}+(\frac{-5}{6})]=\frac{-2}{3}+(\frac{-7}{30})=\frac{-27}{30}=\frac{-9}{10}$
$ [\frac{-2}{3}+\frac{3}{5}]+(\frac{-5}{6})=\frac{-1}{15}+(\frac{-5}{6})=\frac{-27}{30}=\frac{-9}{10} $
इसलिए, $\quad \frac{-2}{3}+[\frac{3}{5}+(\frac{-5}{6})]=[\frac{-2}{3}+\frac{3}{5}]+(\frac{-5}{6})$
$\frac{-1}{2}+[\frac{3}{7}+(\frac{-4}{3})]$ और $[\frac{-1}{2}+\frac{3}{7}]+(\frac{-4}{3})$ ज्ञात कीजिए। क्या दोनों योग बराबर हैं?
कुछ और परिमेय संख्याएँ लीजिए, उन्हें उपर्युक्त प्रकार से जोड़िए और देखिए कि क्या दोनों योग बराबर हैं। हम पाते हैं कि परिमेय संख्याओं के लिए योग सहसंयोजक है। अर्थात् किन्हीं तीन परिमेय संख्याओं $a, b$ और $c$ के लिए, $a+(b+c)=(a+b)+c$।
(b) घटाव
आप पहले से जानते हैं कि पूर्णांकों के लिए घटाव साहचर्य होता नहीं है, तो क्या परिमेय संख्याओं के लिए ऐसा है?
क्या $\quad \frac{-2}{3}-[\frac{-4}{5}-\frac{1}{2}]=[\frac{2}{3}-(\frac{-4}{5})]-\frac{1}{2} ?$
खुद जाँच करें।
परिमेय संख्याओं के लिए घटाव साहचर्य नहीं होता है।
(c) गुणा
आइए गुणा के लिए साहचर्यता की जाँच करें।
$ \frac{-7}{3} \times(\frac{5}{4} \times \frac{2}{9})=\frac{-7}{3} \times \frac{10}{36}=\frac{-70}{108}=\frac{-35}{54} $
$ (\frac{-7}{3} \times \frac{5}{4}) \times \frac{2}{9}=\ldots $
हम पाते हैं कि $\quad \frac{-7}{3} \times(\frac{5}{4} \times \frac{2}{9})=(\frac{-7}{3} \times \frac{5}{4}) \times \frac{2}{9}$
क्या: $ \frac{2}{3} \times(\frac{-6}{7} \times \frac{4}{5})=(\frac{2}{3} \times \frac{-6}{7}) \times \frac{4}{5} ? $
कुछ और परिमेय संख्याएँ लेकर खुद जाँच करें।
हम देखते हैं कि परिमेय संख्याओं के लिए गुणा साहचर्य होता है। अर्थात् किन्हीं तीन परिमेय संख्याओं $a, b$ और $c$ के लिए, $a \times(b \times c)=(a \times b) \times c$।
(d) भाग
याद कीजिए कि पूर्णांकों के लिए भाग साहचर्य नहीं होता है, तो क्या परिमेय संख्याओं के लिए ऐसा है?
आइए देखें कि क्या $\frac{1}{2} \div[\frac{-1}{3} \div \frac{2}{5}]=[\frac{1}{2} \div(\frac{-1}{3})] \div \frac{2}{5}$
हमारे पास, LHS $=\frac{1}{2} \div(\frac{-1}{3} \div \frac{2}{5})=\frac{1}{2} \div(\frac{-1}{3} \times \frac{5}{2}) \quad(.$ $\frac{2}{5}$ का व्युत्क्रम $\frac{5}{2}$ है $)$
$ \begin{aligned} & =\frac{1}{2} \div(-\frac{5}{6})=\ldots \ \text{ RHS } & =[\frac{1}{2} \div(\frac{-1}{3})] \div \frac{2}{5} \ & =(\frac{1}{2} \times \frac{-3}{1}) \div \frac{2}{5}=\frac{-3}{2} \div \frac{2}{5}=\ldots \end{aligned} $
क्या LHS = RHS है? स्वयं जाँच करें। आप पाएँगे कि परिमेय संख्याओं के लिए भाग साहचर्य नहीं होता।
इन्हें आज़माएँ
निम्नलिखित सारणी को पूर्ण कीजिए:
| संख्याएँ | साहचर्य के लिए | |||
|---|---|---|---|---|
| जोड़ | घटाव | गुणा | भाग | |
| परिमेय संख्याएँ | $\ldots$ | $\ldots$ | $\ldots$ | नहीं |
| पूर्णांक | $\ldots$ | $\ldots$ | हाँ | $\ldots$ |
| पूर्ण संख्याएँ | हाँ | $\ldots$ | $\ldots$ | $\ldots$ |
| प्राकृत संख्याएँ | $\ldots$ | नहीं | $\ldots$ | $\ldots$ |
उदाहरण 1 : $\frac{3}{7}+(\frac{-6}{11})+(\frac{-8}{21})+(\frac{5}{22})$ ज्ञात कीजिए
हल: $\frac{3}{7}+(\frac{-6}{11})+(\frac{-8}{21})+(\frac{5}{22})$
$=\frac{198}{462}+(\frac{-252}{462})+(\frac{-176}{462})+(\frac{105}{462})$ (ध्यान दें कि 462, 7, 11, 21 और 22 का लघुत्तम समापवर्त्य है)
$=\frac{198-252-176+105}{462}=\frac{-125}{462}$
हम इसे इस प्रकार भी हल कर सकते हैं।
$ \begin{aligned} & \frac{3}{7}+(\frac{-6}{11})+(\frac{-8}{21})+\frac{5}{22} \\ & =[\frac{3}{7}+(\frac{-8}{21})]+[\frac{-6}{11}+\frac{5}{22}] \quad \text{ (क्रमविनिमेयता और साहचर्यता के प्रयोग से) } \\ & =[\frac{9+(-8)}{21}]+[\frac{-12+5}{22}] \quad \text{ (7 और 21 का ल.स. 21 है; 11 और 22 का ल.स. 22 है) } \\ & =\frac{1}{21}+(\frac{-7}{22})=\frac{22-147}{462}=\frac{-125}{462} \end{aligned} $
क्या आपको लगता है कि क्रमविनिमेयता और साहचर्यता के गुणों ने गणना को आसान बनाया?
उदाहरण 2 : $\frac{-4}{5} \times \frac{3}{7} \times \frac{15}{16} \times(\frac{-14}{9})$ ज्ञात कीजिए।
हल: हमारे पास
$ \begin{aligned} \frac{-4}{5} & \times \frac{3}{7} \times \frac{15}{16} \times(\frac{-14}{9}) \\ & =(-\frac{4 \times 3}{5 \times 7}) \times(\frac{15 \times(-14)}{16 \times 9}) \\ & =\frac{-12}{35} \times(\frac{-35}{24})=\frac{-12 \times(-35)}{35 \times 24}=\frac{1}{2} \end{aligned} $
हम इसे इस प्रकार भी कर सकते हैं।
$ \begin{aligned} \frac{-4}{5} & \times \frac{3}{7} \times \frac{15}{16} \times(\frac{-14}{9}) \\ & =(\frac{-4}{5} \times \frac{15}{16}) \times[\frac{3}{7} \times(\frac{-14}{9})] \text{ (क्रमविनिमेयता और साहचर्यता का प्रयोग करते हुए) } \\ & =\frac{-3}{4} \times(\frac{-2}{3})=\frac{1}{2} \end{aligned} $
1.2.4 शून्य (0) की भूमिका
निम्नलिखित को देखिए।
$ \begin{aligned} 2+0 & =0+2=2 \\ -5+0 & =\ldots+\ldots=-5 \\ \frac{-2}{7}+\ldots & =0+(\frac{-2}{7})=\frac{-2}{7} \end{aligned} $
(पूर्ण संख्या में 0 जोड़ना) (पूर्णाक में 0 जोड़ना)
(परिमेय संख्या में 0 जोड़ना)
आपने ऐसे योग पहले भी किए हैं। कुछ और ऐसे योग कीजिए।
आप क्या देखते हैं? आप पाएँगे कि जब आप किसी पूर्ण संख्या में 0 जोड़ते हैं, तो योग फिर वही पूर्ण संख्या होती है। ऐसा पूर्णाकों और परिमेय संख्याओं के साथ भी होता है।
सामान्यतया,
$ \begin{matrix} a+0 & =0+a=a, & \text{ जहाँ } a \text{ एक पूर्ण संख्या है } \\ b+0 & =0+b=b, & \text{ जहाँ } b \text{ एक पूर्णाक है } \\ c+0 & =0+c=c, & \text{ जहाँ } c \text{ एक परिमेय संख्या है } \end{matrix} $
शून्य को परिमेय संख्याओं के योग की तत्समक कहा जाता है। यह पूर्णाकों और पूर्ण संख्याओं के लिए भी योज्य तत्समक है।
1.2.5 1 की भूमिका
हमारे पास है,
$ \begin{aligned} & 5 \times 1=5=1 \times 5 \quad \text{ (पूर्ण संख्या से } 1 \text{ का गुणा) } \\ & \frac{-2}{7} \times 1=\ldots \times \ldots=\frac{-2}{7} \\ & \frac{3}{8} \times \ldots=1 \times \frac{3}{8}=\frac{3}{8} \end{aligned} $
आप क्या पाते हैं?
आप पाएँगे कि जब आप किसी भी परिमेय संख्या को 1 से गुणा करते हैं, तो आपको गुणनफल के रूप में वही परिमेय संख्या वापस मिलती है। इसे कुछ और परिमेय संख्याओं के लिए जाँचिए। आप पाएँगे कि, $a \times 1=1 \times a=a$ किसी भी परिमेय संख्या $a$ के लिए।
हम कहते हैं कि 1 परिमेय संख्याओं का गुणात्मक तत्समक है।
क्या 1 पूर्णाकों का गुणात्मक तत्समक है? क्या यह पूर्ण संख्याओं के लिए है?
सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए
यदि परिमेय संख्याओं के लिए कोई गुण सत्य है, तो क्या वह गुण पूर्णांकों के लिए भी सत्य होगा? पूर्ण संख्याओं के लिए? कौन-से गुण सत्य होंगे? कौन-से नहीं?
1.2.6 परिमेय संख्याओं में योग पर गुणा का वितरण
इसे समझने के लिए, परिमेय संख्याओं $\frac{-3}{4}, \frac{2}{3}$ और $\frac{-5}{6}$ पर विचार करें।
$ \begin{aligned} \frac{-3}{4} \times{\frac{2}{3}+(\frac{-5}{6})} & =\frac{-3}{4} \times{\frac{(4)+(-5)}{6}} \ & =\frac{-3}{4} \times(\frac{-1}{6})=\frac{3}{24}=\frac{1}{8} \end{aligned} $
साथ ही: $ \frac{-3}{4} \times \frac{2}{3}=\frac{-3 \times 2}{4 \times 3}=\frac{-6}{12}=\frac{-1}{2} $
और: $ \frac{-3}{4} \times \frac{-5}{6}=\frac{5}{8} $
इसलिए $(\frac{-3}{4} \times \frac{2}{3})+(\frac{-3}{4} \times \frac{-5}{6})=\frac{-1}{2}+\frac{5}{8}=\frac{1}{8}$
इस प्रकार,
$ \frac{-3}{4} \times{\frac{2}{3}+\frac{-5}{6}}=(\frac{-3}{4} \times \frac{2}{3})+(\frac{-3}{4} \times \frac{-5}{6}) $
योग और घटाव पर गुणा का वितरण।
सभी परिमेय संख्याओं $a, b$ और $c$ के लिए, $a(b+c)=a b+a c$ $a(b-c)=a b-a c$
इन्हें आज़माइए
वितरण का प्रयोग करके ज्ञात कीजिए। (i) ${\frac{7}{5} \times(\frac{-3}{12})}+{\frac{7}{5} \times \frac{5}{12}}$
(ii) ${\frac{9}{16} \times \frac{4}{12}}+{\frac{9}{16} \times \frac{-3}{9}}$
उदाहरण 3 : $\frac{2}{5} \times \frac{-3}{7}-\frac{1}{14}-\frac{3}{7} \times \frac{3}{5}$ ज्ञात कीजिए
हल: $\quad \frac{2}{5} \times \frac{-3}{7}-\frac{1}{14}-\frac{3}{7} \times \frac{3}{5}=\frac{2}{5} \times \frac{-3}{7}-\frac{3}{7} \times \frac{3}{5}-\frac{1}{14}$ (क्रमविनिमयता से)
$ \begin{aligned} & =\frac{2}{5} \times \frac{-3}{7}+(\frac{-3}{7}) \times \frac{3}{5}-\frac{1}{14} \\ & =\frac{-3}{7}(\frac{2}{5}+\frac{3}{5})-\frac{1}{14} \quad \text{ (वितरणता से) } \\ & =\frac{-3}{7} \times 1-\frac{1}{14}=\frac{-6-1}{14}=\frac{-1}{2} \end{aligned} $
प्रश्नावली 1.1
1. निम्नलिखित में से प्रत्येक में गुणा के अन्तर्गत प्रयुक्त गुणधर्म का नाम लिखिए। (i) $\frac{-4}{5} \times 1=1 \times \frac{-4}{5}=-\frac{4}{5}$ (ii) $-\frac{13}{17} \times \frac{-2}{7}=\frac{-2}{7} \times \frac{-13}{17}$ (iii) $\frac{-19}{29} \times \frac{29}{-19}=1$
2. वह कौन-सा गुणधर्म है जो आपको $\frac{1}{3} \times(6 \times \frac{4}{3})$ को $(\frac{1}{3} \times 6) \times \frac{4}{3}$ के रूप में परिकलन करने देता है।
3. दो परिमेय संख्याओं का गुणनफल सदैव एक
हमने क्या चर्चा की?
1. परिमेय संख्याएँ योग, व्यवकलन और गुणा संक्रियाओं के अन्तर्गत संवृत हैं।
2. संक्रियाएँ योग और गुणा
(i) परिमेय संख्याओं के लिए क्रमविनिमय हैं।
(ii) परिमेय संख्याओं के लिए साहचर्य हैं।
3. परिमेय संख्या 0 परिमेय संख्याओं के लिए योज्य तत्समक है।
4. परिमेय संख्या 1 परिमेय संख्याओं के लिए गुणात्मक तत्समक है।
5. परिमेय संख्याओं का वितरण गुण: सभी परिमेय संख्याओं $a, b$ और $c$ के लिए, $a(b+c)=a b+a c$ और $a(b-c)=a b-a c$
6. किन्हीं दो दी गई परिमेय संख्याओं के बीच अनगिनत परिमेय संख्याएँ होती हैं। औसत की अवधारणा हमें दो परिमेय संख्याओं के बीच परिमेय संख्याएँ खोजने में मदद करती है।
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