10.1 परिचय

क्या आप जानते हैं?

पृथ्वी का द्रव्यमान 5,970,000,000,000, 000, 000, 000, $000 kg$ है। हमने पिछली कक्षा में सीखा है कि ऐसी बड़ी संख्याओं को घातांक का उपयोग करके सुविधाजनक रूप से कैसे लिखा जाए, जैसे $5.97 \times 10^{24} kg$।

हम $10^{24}$ को 10 की घात 24 पढ़ते हैं।

हम जानते हैं $\quad$ $\quad$ $ 2^{5}=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 $

और $\quad$ $\quad$ $ 2^{m}=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times \ldots \times 2 \times 2 \ldots(m \text{ बार }) $

अब आइए जानें कि $2^{-2}$ किसके बराबर है?

10.2 ऋणात्मक घातांक वाली घातें

आप जानते हैं कि,

$ \begin{aligned} & 10^{1}=10=\frac{100}{10} \\ & 10^1= 10 = \frac{100}{10} \\ & 10^{0}=1=\frac{10}{10} \\ & 10^{-1}=? \end{aligned} $

जैसे ही घातांक 1 घटता है, मान पिछले मान का दसवां भाग हो जाता है।

उपरोक्त पैटर्न को जारी रखते हुए हम पाते हैं, $10^{-1}=\frac{1}{10}$

इसी प्रकार: $ \begin{aligned} & 10^{-2}=\frac{1}{10} \div 10=\frac{1}{10} \times \frac{1}{10}=\frac{1}{100}=\frac{1}{10^{2}} \\ & 10^{-3}=\frac{1}{100} \div 10=\frac{1}{100} \times \frac{1}{10}=\frac{1}{1000}=\frac{1}{10^{3}} \end{aligned} $

$10^{-10}$ किसके बराबर है?

अब निम्नलिखित पर विचार करें।

इसलिए उपरोक्त पैटर्न को देखते हुए, हम कहते हैं

$ \begin{aligned} & 3^{-1}=1 \div 3=\frac{1}{3} \\ & 3^{-2}=\frac{1}{3} \div 3=\frac{1}{3 \times 3}=\frac{1}{3^{2}} \\ & 3^{-3}=\frac{1}{3^{2}} \div 3=\frac{1}{3^{2}} \times \frac{1}{3}=\frac{1}{3^{3}} \end{aligned} $

अब आप इसी प्रकार $2^{-2}$ का मान निकाल सकते हैं।

हमारे पास,

$ \begin{matrix} 10^{-2} & =\frac{1}{10^{2}} & \text{ या } & 10^{2} & =\frac{1}{10^{-2}} \\ 10^{-3} & =\frac{1}{10^{3}} & \text{ या } & 10^{3} & =\frac{1}{10^{-3}} \\ 3^{-2} & =\frac{1}{3^{2}} & \text{ या } & 3^{2} & =\frac{1}{3^{-2}} & \text{ आदि। } \end{matrix} $

सामान्यतः, हम कह सकते हैं कि किसी भी अशून्य पूर्णांक $a$ के लिए, $a^{-m}=\frac{1}{a^{m}}$, जहाँ $m$ एक धनात्मक पूर्णांक है। $a^{-m}$, $a^{m}$ का गुणात्मक व्युत्क्रम होता है।

इन्हें आज़माएँ

निम्नलिखित का गुणात्मक व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए।

(i) $2^{-4}$ $\quad$ (ii) $10^{-5}$ $\quad$ (iii) $7^{-2}$ $\quad$ (iv) $5^{-3}$ $\quad$ (v) $10^{-100}$

हमने सीखा कि 1425 जैसी संख्याओं को घातांक का प्रयोग कर विस्तारित रूप में $1 \times 10^{3}+4 \times 10^{2}+2 \times 10^{1}+5 \times 10^{\circ}$ के रूप में कैसे लिखा जाता है।

आइए देखें कि 1425.36 को इसी प्रकार विस्तारित रूप में कैसे व्यक्त किया जाता है।

हमारे पास $1425.36=1 \times 1000+4 \times 100+2 \times 10+5 \times 1+\frac{3}{10}+\frac{6}{100}$

$ =1 \times 10^{3}+4 \times 10^{2}+2 \times 10+5 \times 1+3 \times 10^{-1}+6 \times 10^{-2} $

$ 10^{-1} =\frac{1}{10}, 10^{-2}=\frac{1}{10^2}=\frac{1}{100} $

इन्हें आज़माएँ

निम्नलिखित संख्याओं को घातांक का प्रयोग कर विस्तारित कीजिए।

(i) 1025.63 $\quad$ (ii) 1256.249

10.3 घातांकों के नियम

हमने सीखा है कि किसी भी अशून्य पूर्णांक $a$ के लिए, $a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}$, जहाँ $m$ और $n$ प्राकृत संख्याएँ हैं। क्या यह नियम तब भी लागू होता है जब घातांक ऋणात्मक हों? आइए पता लगाएँ।

(i)

इसलिए, $2^{-3} \times 2^{-2}=\frac{1}{2^{3}} \times \frac{1}{2^{2}}=\frac{1}{2^{3} \times 2^{2}}=\frac{1}{2^{3+2}}=2^{-}$

(ii) लीजिए $(-3)^{-4} \times(-3)^{-3}$

$ \begin{aligned} (-3)^{-4} \times(-3)^{-3} & =\frac{1}{(-3)^{4}} \times \frac{1}{(-3)^{3}} \\ & =\frac{1}{(-3)^{4} \times(-3)^{3}}=\frac{1}{(-3)^{4+3}}=(-3)^{-7} \end{aligned} $

(iii) अब विचार करें $5^{-2} \times 5^{4}$

$ 5^{-2} \times 5^{4}=\frac{1}{5^{2}} \times 5^{4}=\frac{5^{4}}{5^{2}}=5^{4-2}=5^{(2)}{(-2)+4=2} $

कक्षा VII में, आपने सीखा है कि किसी भी अशून्य पूर्णांक $a$ के लिए, $\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}$, जहाँ

(iv) अब विचार करें $(-5)^{-4} \times(-5)^{2}$ $m$ और $n$ प्राकृत संख्याएँ हैं और $m>n$.

$ \begin{aligned} (-5)^{-4} \times(-5)^{2} & =\frac{1}{(-5)^{4}} \times(-5)^{2}=\frac{(-5)^{2}}{(-5)^{4}}=\frac{1}{(-5)^{4} \times(-5)^{-2}} \ & =\frac{1}{(-5)^{4-2}}=(-5)^{-(2)} \longrightarrow{\underbrace{(-4)+2=-2}} \end{aligned} $

सामान्यतः, हम कह सकते हैं कि किसी भी अशून्य पूर्णांक $a$ के लिए, $a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}$, जहाँ $m$ और $n$ पूर्णांक हैं।

इन्हें आज़माइए

सरल कीजिए और घातांकीय रूप में लिखिए।

(i) $(-2)^{-3} \times(-2)^{-4}$ $\quad$ (ii) $p^{3} \times p^{-10}$ $\quad$ (iii) $3^{2} \times 3^{-5} \times 3^{6}$

इन्हीं पंक्तियों पर आप घातांकों के निम्नलिखित नियमों को सत्यापित कर सकते हैं, जहाँ $a$ और $b$ अशून्य पूर्णांक हैं और $m, n$ कोई भी पूर्णांक हैं।

(i) $\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}$ $\quad$ (ii) $(a^{m})^{n}=a^{m n}$ $\quad$ (iii) $a^{m} \times b^{m}=(a b)^{m}$

(iv) $\frac{a^{m}}{b^{m}}=(\frac{a}{b})^{m}$ $\quad$ (v) $a^{0}=1$

आइए उपरोक्त घातांक नियमों का प्रयोग करके कुछ उदाहरण हल करें।

उदाहरण 1 : मान ज्ञात कीजिए (i) $2^{-3}$ (ii) $\frac{1}{3^{-2}}$

हल:

(i) $2^{-3}=\frac{1}{2^{3}}=\frac{1}{8}$ (ii) $\frac{1}{3^{-2}}=3^{2}=3 \times 3=9$

उदाहरण 2 : सरल कीजिए

(i) $(-4)^{5} \times(-4)^{-10}$ (ii) $2^{5} \div 2^{-6}$ $\quad$

हल:

(i) $(-4)^{5} \times(-4)^{-10}=(-4)^{(5-10)}=(-4)^{-5}=\frac{1}{(-4)^{5}} \quad(a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}, a^{-m}=\frac{1}{a^{m}})$

(ii) $2^{5} \div 2^{-6}=2^{5-(-6)}=2^{11} \quad(a^{m} \div a^{n}=a^{m-n})$

उदाहरण 3 : $4^{-3}$ को आधार 2 की घात के रूप में व्यक्त कीजिए।

हल: हमारे पास, $4=2 \times 2=2^{2}$

इसलिए, $(4)^{-3}=(2 \times 2)^{-3}=(2^{2})^{-3}=2^{2 \times(-3)}=2^{-6} \quad[(a^{m})^{n}=a^{m n}]$

उदाहरण 4 : सरल कीजिए और उत्तर को घातांकीय रूप में लिखिए।

(i) $(2^{5} \div 2^{8})^{5} \times 2^{-5}$

(iii) $\frac{1}{8} \times(3)^{-3}$ (ii) $(-4)^{-3} \times(5)^{-3} \times(-5)^{-3}$

(iv) $(-3)^{4} \times(\frac{5}{3})^{4}$

हल:

(i) $(2^{5} \div 2^{8})^{5} \times 2^{-5}=(2^{5-8})^{5} \times 2^{-5}=(2^{-3})^{5} \times 2^{-5}=2^{-15-5}=2^{-20}=\frac{1}{2^{20}}$

(ii) $(-4)^{-3} \times(5)^{-3} \times(-5)^{-3}=[(-4) \times 5 \times(-5)]^{-3}=[100]^{-3}=\frac{1}{100^{3}}$

[नियम $a^{m} \times b^{m}=(a b)^{m}, a^{-m}=\frac{1}{a^{m}}$ का प्रयोग करते हुए]

(iii) $\frac{1}{8} \times(3)^{-3}=\frac{1}{2^{3}} \times(3)^{-3}=2^{-3} \times 3^{-3}=(2 \times 3)^{-3}=6^{-3}=\frac{1}{6^{3}}$

(iv) $(-3)^{4} \times(\frac{5}{3})^{4}=(-1 \times 3)^{4} \times \frac{5^{4}}{3^{4}}=(-1)^{4} \times 3^{4} \times \frac{5^{4}}{3^{4}}$

$ =(-1)^{4} \times 5^{4}=5^{4} \quad[(-1)^{4}=1] $

उदाहरण 5 : $m$ का मान ज्ञात कीजिए ताकि $(-3)^{m+1} \times(-3)^{5}=(-3)^{7}$

हल: $(-3)^{m+1} \times(-3)^{5}=(-3)^{7}$

$ \begin{aligned} (-3)^{m+1+5} & =(-3)^{7} \ (-3)^{m+6} & =(-3)^{7} \end{aligned} $

दोनों ओर घातों का आधार समान है जो 1 और -1 से भिन्न है, इसलिए उनके घातांक समान होने चाहिए।

इसलिए, $ m+6=7 $

या: $ m=7-6=1 $

उदाहरण 6 : $(\frac{2}{3})^{-2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$a^{n}=1$ केवल तभी जब $n=0$। यह किसी भी $a$ के लिए काम करेगा। $a=1$ के लिए, $1^{1}=1^{2}=1^{3}=1^{-2}=\ldots=1$ या $(1)^{n}=$ 1 अनंत $n$ के लिए।

$a=-1$ के लिए,

$(-1)^{0}=(-1)^{2}=(-1)^{4}=(-1)^{-2}=\ldots=1$ या $(-1)^{p}=1$ किसी भी सम पूर्णांक $p$ के लिए।

हल: $(\frac{2}{3})^{-2}=\frac{2^{-2}}{3^{-2}}=\frac{3^{2}}{2^{2}}=\frac{9}{4}$

उदाहरण 7 : सरल कीजिए (i) ${(\frac{1}{3})^{-2}-(\frac{1}{2})^{-3}} \div(\frac{1}{4})^{-2}$

हल:

(i) ${(\frac{1}{3})^{-2}-(\frac{1}{2})^{-3}} \div(\frac{1}{4})^{-2}={\frac{1^{-2}}{3^{-2}}-\frac{1^{-3}}{2^{-3}}} \div \frac{1^{-2}}{4^{-2}}$

$ ={\frac{3^{2}}{1^{2}}-\frac{2^{3}}{1^{3}}} \div \frac{4^{2}}{1^{2}}={9-8} \div 16=\frac{1}{16} $

(ii) $(\frac{5}{8})^{-7} \times(\frac{8}{5})^{-5}=\frac{5^{-7}}{8^{-7}} \times \frac{8^{-5}}{5^{-5}}=\frac{5^{-7}}{5^{-5}} \times \frac{8^{-5}}{8^{-7}}=5^{(-7)-(-5)} \times 8^{(-5)-(-7)}$

$ =5^{-2} \times 8^{2}=\frac{8^{2}}{5^{2}}=\frac{64}{25} $

प्रश्नावली 10.1

1. मान निकालिए।

(i) $3^{-2}$

(ii) $(-4)^{-2}$

(iii) $(\frac{1}{2})^{-5}$

2. सरल कीजिए और परिणाम को धनात्मक घातांक के साथ घातांक संकेतन में व्यक्त कीजिए।

(i) $(-4)^{5} \div(-4)^{8}$

(ii) $(\frac{1}{2^{3}})^{2}$

(iii) $(-3)^{4} \times(\frac{5}{3})^{4}$

(iv) $(3^{-7} \div 3^{-10}) \times 3^{-5}$

(v) $2^{-3} \times(-7)^{-3}$

3. मान ज्ञात कीजिए

(i) $(3^{\circ}+4^{-1}) \times 2^{2}$

(ii) $(2^{-1} \times 4^{-1}) \div 2^{-2}$

(iii) $(\frac{1}{2})^{-2}+(\frac{1}{3})^{-2}+(\frac{1}{4})^{-2}$

(iv) $(3^{-1}+4^{-1}+5^{-1})^{0}$

4. मान निकालिए (i) $\frac{8^{-1} \times 5^{3}}{2^{-4}}$

5. m का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए $5^{m} \div 5^{-3}=5^{5}$.

6. मान निकालिए (i) ${(\frac{1}{3})^{-1}-(\frac{1}{4})^{-1}}^{-1}$ (ii) $(\frac{5}{8})^{-7} \times(\frac{8}{5})^{-4}$

7. सरल कीजिए। (i) $\frac{25 \times t^{-4}}{5^{-3} \times 10 \times t^{-8}}(t \neq 0)$ (ii) $\frac{3^{-5} \times 10^{-5} \times 125}{5^{-7} \times 6^{-5}}$

10.4 छोटी संख्याओं को मानक रूप में व्यक्त करने के लिए घातांकों का प्रयोग

निम्नलिखित तथ्यों को देखिए।

1. पृथ्वी से सूर्य की दूरी $149,600,000,000 m$ है।

2. प्रकाश की चाल $300,000,000 m / sec$ है।

3. कक्षा सात की गणित की पुस्तक की मोटाई $20 mm$ है।

4. एक लाल रक्त कोशिका का औसत व्यास $0.000007 mm$ है।

5. मानव बाल की मोटाई $0.005 cm$ से $0.01 cm$ की सीमा में होती है।

6. चंद्रमा की पृथ्वी से दूरी लगभग $384,467,000 m$ है।

7. एक पादप कोशिका का आकार $0.00001275 m$ है।

8. सूर्य की औसत त्रिज्या $695000 km$ है।

9. अंतरिक्ष शटल के ठोस रॉकेट बूस्टर में प्रोपेलेंट का द्रव्यमान $503600 kg$ है।

10. एक कागज़ के टुकड़े की मोटाई $0.0016 cm$ है।

11. एक कंप्यूटर चिप पर तार का व्यास $0.000003 m$ है।

12. माउंट एवरेस्ट की ऊंचाई $8848 m$ है।

ध्यान दीजिए कि कुछ संख्याएं ऐसी हैं जिन्हें हम पढ़ सकते हैं जैसे $2 cm$, $8848 m$, $6,95,000 km$। कुछ बड़ी संख्याएं हैं जैसे $150,000,000,000 m$ और कुछ बहुत छोटी संख्याएं हैं जैसे $0.000007 m$।

उपरोक्त तथ्यों से बहुत बड़ी और बहुत छोटी संख्याओं की पहचान कीजिए और उन्हें आसन्न सारणी में लिखिए:

हमने पिछली कक्षा में सीखा है कि बहुत बड़ी संख्याओं को मानक रूप में कैसे व्यक्त किया जाता है।

उदाहरण के लिए: $150,000,000,000 = 1.5 \times 10^{11}$

अब, आइए प्रयास करें कि $0.000007 m$ को मानक रूप में व्यक्त करें।

$ \begin{aligned} 0.000007 & = \frac{7}{1000000} = \frac{7}{10^{6}} = 7 \times 10^{-6} \ 0.000007 m & = 7 \times 10^{-6} m \end{aligned} $

इसी प्रकार, एक कागज की मोटाई पर विचार कीजिए जो $0.0016 cm$ है।

$ \begin{aligned} 0.0016 & = \frac{16}{10000} = \frac{1.6 \times 10}{10^{4}} = 1.6 \times 10 \times 10^{-4} \ & = 1.6 \times 10^{-3} \end{aligned} $

इसलिए, हम कह सकते हैं कि कागज की मोटाई $1.6 \times 10^{-3} cm$ है।

फिर से ध्यान दीजिए

0.0016 दशमलव को दाईं ओर 1233 स्थानों तक स्थानांतरित किया गया है।

इन्हें आज़माइए

1. निम्नलिखित संख्याओं को मानक रूप में लिखिए।

(i) 0.000000564

(ii) 0.0000021

(iii) 21600000

(iv) 15240000

2. सभी तथ्यों को मानक रूप में लिखिए।

10.4.1 बहुत बड़ी और बहुत छोटी संख्याओं की तुलना

सूर्य का व्यास $1.4 \times 10^{9} m$ है और पृथ्वी का व्यास $1.2756 \times 10^{7} m$ है।

मान लीजिए आप पृथ्वी के व्यास की तुलना सूर्य के व्यास से करना चाहते हैं।

सूर्य का व्यास $=1.4 \times 10^{9} m$

पृथ्वी का व्यास $=1.2756 \times 10^{7} m$

इसलिए $\frac{1.4 \times 10^{9}}{1.2756 \times 10^{7}}=\frac{1.4 \times 10^{9-7}}{1.2756}=\frac{1.4 \times 100}{1.2756}$ जो लगभग 100 है

अतः, सूर्य का व्यास पृथ्वी के व्यास से लगभग 100 गुना है।

आइए एक लाल रक्त कोशिका का आकार, जो $0.000007 m$ है, एक पादप कोशिका के आकार से तुलना करें जो $0.00001275 m$ है।

$ \begin{aligned} & \text{ लाल रक्त कोशिका का आकार }=0.000007 m=7 \times 10^{-6} m \\ & \text{ पादप कोशिका का आकार }=0.00001275=1.275 \times 10^{-5} m \end{aligned} $

इसलिए, $\frac{7 \times 10^{-6}}{1.275 \times 10^{-5}}=\frac{7 \times 10^{-6-(-5)}}{1.275}=\frac{7 \times 10^{-1}}{1.275}=\frac{0.7}{1.275}=\frac{0.7}{1.3}=\frac{1}{2}$ (लगभग)

अतः एक लाल रक्त कोशिका आकार में पादप कोशिका की आधी होती है।

पृथ्वी का द्रव्यमान $5.97 \times 10^{24} kg$ है और चंद्रमा का द्रव्यमान $7.35 \times 10^{22} kg$ है। कुल द्रव्यमान क्या है?

$ \begin{aligned} \text { कुल द्रव्यमान } & =5.97 \times 10^{24} kg+7.35 \times 10^{22} kg . \\ & =5.97 \times 100 \times 10^{22}+7.35 \times 10^{22} \\ & =597 \times 10^{22}+7.35 \times 10^{22} \\ & =(597+7.35) \times 10^{22} \\ & =604.35 \times 10^{22} kg . \end{aligned} $

$\boxed{\text{जब हमें मानक रूप में संख्याएँ जोड़नी हों, तो हम उन्हें समान घातांक वाली संख्याओं में बदलते हैं}}$

सूर्य और पृथ्वी के बीच की दूरी $1.496 \times 10^{11} m$ है और पृथ्वी और चंद्रमा के बीच की दूरी $3.84 \times 10^{8} m$ है।

सूर्य ग्रहण के दौरान चंद्रमा पृथ्वी और सूर्य के बीच आ जाता है।

उस समय चंद्रमा और सूर्य के बीच की दूरी क्या है।

$ \begin{aligned} \text { सूर्य और पृथ्वी के बीच की दूरी } & =1.496 \times 10^{11} \mathrm{~m} \\ \text { पृथ्वी और चंद्रमा के बीच की दूरी } & =3.84 \times 10^8 \mathrm{~m} \\ \text { सूर्य और चंद्रमा के बीच की दूरी } & =1.496 \times 10^{11}-3.84 \times 10^8 \\ & =1.496 \times 1000 \times 10^8-3.84 \times 10^8 \\ & =(1496-3.84) \times 10^8 \mathrm{~m}=1492.16 \times 10^8 \mathrm{~m} \end{aligned} $

उदाहरण 8 : निम्नलिखित संख्याओं को मानक रूप में व्यक्त कीजिए। (i) 0.000035 (ii) 4050000 हल: (i) $0.000035=3.5 \times 10^{-5}$ (ii) $4050000=4.05 \times 10^{6}$

उदाहरण 9 : निम्नलिखित संख्याओं को सामान्य रूप में व्यक्त कीजिए। (i) $3.52 \times 10^{5}$ (ii) $7.54 \times 10^{-4}$ (iii) $3 \times 10^{-5}$

हल:

प्रश्नावली 10.2

1. निम्नलिखित संख्याओं को मानक रूप में व्यक्त कीजिए।

(i) 0.0000000000085

(ii) 0.00000000000942

(iii) 6020000000000000

(iv) 0.00000000837

(v) 31860000000

2. निम्नलिखित संख्याओं को सामान्य रूप में व्यक्त कीजिए। (i) $3.02 \times 10^{-6}$ (ii) $4.5 \times 10^{4}$ (iii) $3 \times 10^{-8}$ (iv) $1.0001 \times 10^{9}$ (v) $5.8 \times 10^{12}$ (vi) $3.61492 \times 10^{6}$

3. निम्नलिखित कथनों में आने वाली संख्याओं को मानक रूप में व्यक्त कीजिए।

(i) 1 माइक्रॉन $\frac{1}{1000000} m$ के बराबर होता है।

(ii) एक इलेक्ट्रॉन का आवेश $0.000,000,000,000,000,000,16$ कूलॉब होता है।

(iii) एक जीवाणु का आकार $0.0000005 m$ होता है।

(iv) एक पादप कोशिका का आकार $0.00001275 m$ होता है।

(v) एक मोटे कागज की मोटाई $0.07 mm$ होती है।

4. एक ढेर में 5 पुस्तकें हैं जिनमें से प्रत्येक की मोटाई $20 mm$ है और 5 कागज की चादरें हैं जिनमें से प्रत्येक की मोटाई $0.016 mm$ है। ढेर की कुल मोटाई कितनी है?

हमने क्या चर्चा की है??

1. ऋणात्मक घातांक वाली संख्याएं निम्नलिखित घातांक नियमों का पालन करती हैं।

(a) $a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}$

(b) $a^{m} \div a^{n}=a^{m-n}$

(c) $(a^{m})^{n}=a^{m n}$

(d) $a^{m} \times b^{m}=(a b)^{m}$

(e) $a^{0}=1$

(f) $\frac{a^{m}}{b^{m}}=(\frac{a}{b})^{m}$

2. बहुत छोटी संख्याओं को ऋणात्मक घातांकों का उपयोग करके मानक रूप में व्यक्त किया जा सकता है।