11.1 परिचय

मोहन अपने लिए और अपनी बहन के लिए चाय तैयार करता है। वह $300 mL$ पानी, 2 चम्मच चीनी, 1 चम्मच चाय पत्ती और $50 mL$ दूध का उपयोग करता है। प्रत्येक वस्तु की कितनी मात्रा की आवश्यकता होगी, यदि उसे पाँच व्यक्तियों के लिए चाय बनानी हो?

यदि दो विद्यार्थी एक सभा के लिए कुर्सियाँ व्यवस्थित करने में 20 मिनट लेते हैं, तो पाँच विद्यार्थी उसी कार्य को करने में कितना समय लेंगे?

हम अपने दैनिक जीवन में ऐसी कई स्थितियों का सामना करते हैं, जहाँ हमें एक मात्रा में परिवर्तन को दूसरी मात्रा में परिवर्तन लाते हुए देखना पड़ता है।

उदाहरण के लिए:

(i) यदि खरीदे गए वस्तुओं की संख्या बढ़ती है, तो कुल लागत भी बढ़ती है।

(ii) बैंक में जितना अधिक धन जमा किया जाए, उतना अधिक ब्याज अर्जित होता है।

(iii) जैसे-जैसे किसी वाहन की गति बढ़ती है, वही दूरी तय करने में लिया गया समय घटता है।

(iv) किसी दिए गए कार्य के लिए, जितने अधिक श्रमिक होंगे, कार्य को पूरा करने में उतना ही कम समय लगेगा।

ध्यान दीजिए कि एक मात्रा में परिवर्तन दूसरी मात्रा में परिवर्तन लाता है।

ऐसी पाँच और स्थितियाँ लिखिए जहाँ एक मात्रा में परिवर्तन दूसरी मात्रा में परिवर्तन लाता है।

हम मोहन को प्रत्येक वस्तु की आवश्यक मात्रा कैसे ज्ञात करेंगे? या, पाँच विद्यार्थियों को कार्य पूरा करने में कितना समय लगेगा?

ऐसे प्रश्नों के उत्तर देने के लिए, हम अब परिवर्तन की कुछ अवधारणाओं का अध्ययन करेंगे।

11.2 प्रत्यक्ष अनुपात

यदि $1 kg$ चीनी की लागत ₹ 36 है, तो $3 kg$ चीनी की लागत क्या होगी? यह ₹ 108 है।

इसी प्रकार, हम $5 kg$ या $8 kg$ चीनी की लागत ज्ञात कर सकते हैं। निम्नलिखित सारणी का अध्ययन कीजिए।

ध्यान दीजिए कि चीनी के वज़न के बढ़ने के साथ-साथ लागत भी इस प्रकार बढ़ती है कि उनका अनुपात स्थिर बना रहता है।

एक और उदाहरण लीजिए। मान लीजिए एक कार 60 km की दूरी तय करने के लिए 4 लीटर पेट्रोल उपयोग करती है। 12 लीटर पेट्रोल उपयोग करने पर वह कितनी दूरी तय करेगी? उत्तर है 180 km। हमने इसे कैसे गणना किया? चूँकि दूसरी बार उपयोग किया गया पेट्रोल 12 लीटर है, अर्थात् 4 लीटर का तीन गुना, तय की गई दूरी भी 60 km का तीन गुना होगी। दूसरे शब्दों में, जब पेट्रोल की खपत तीन गुनी हो जाती है, तो तय की गई दूरी भी पिछली दूरी का तीन गुना हो जाती है। मान लीजिए पेट्रोल की खपत x लीटर है और संगत तय की गई दूरी y km है। अब निम्नलिखित सारणी को पूर्ण कीजिए:

हम पाते हैं कि जैसे-जैसे x का मान बढ़ता है, y का मान भी इस प्रकार बढ़ता है कि अनुपात $\frac{x}{y}$ नहीं बदलता; यह स्थिर बना रहता है (मान लीजिए k)। इस मामले में यह $\frac{1}{15}$ है (जाँच लीजिए!)।

हम कहते हैं कि x और y सीधे अनुपात में हैं, यदि $\frac{x}{y}=k$ या $x=k y$।

इस उदाहरण में, $\frac{4}{60}=\frac{12}{180}$, जहाँ 4 और 12 पेट्रोल की खपत लीटर में हैं $(x)$ और 60 और 180 दूरियाँ हैं $(y)$ किलोमीटर में। इसलिए जब $x$ और $y$ सीधे समानुपात में हों, तो हम लिख सकते हैं $\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}$। $[y_1, y_2.$ उन $y$ के मान हैं जो क्रमशः $x_1$, $x_2$ के अनुरूप हैं]

पेट्रोल की खपत और कार द्वारा तय की गई दूरी सीधे समानुपात का एक मामला है। इसी प्रकार, कुल खर्च की गई राशि और खरीदे गए वस्तुओं की संख्या भी सीधे समानुपात का एक उदाहरण है।

सीधे समानुपात के कुछ और उदाहरणों के बारे में सोचें। जाँच करें कि क्या मोहन [प्रारंभिक उदाहरण में] पाँच व्यक्तियों के लिए चाय बनाने में $750 mL$ पानी, 5 चम्मच चीनी, $2 \frac{1}{2}$ चम्मच चाय पत्ती और $125 mL$ दूध लेगा! आइए निम्नलिखित गतिविधियों के माध्यम से सीधे समानुपात की अवधारणा को और बेहतर ढंग से समझने का प्रयास करें।

करें

(i)

• एक घड़ी लें और उसकी मिनट की सुई को 12 पर लगाएँ।

• मिनट की सुई द्वारा अपनी मूल स्थिति से घूमे गए कोण और बीता हुआ समय निम्नलिखित सारणी में दर्ज करें:

आप $T$ और $A$ के बारे में क्या देखते हैं? क्या ये एक साथ बढ़ते हैं? क्या $\frac{T}{A}$ हर बार समान है?

क्या मिनट की सुई द्वारा घूमा गया कोण बीते समय के अनुसार सीधे आनुपातिक है? हाँ!

उपरोक्त सारणी से आप यह भी देख सकते हैं

$ \begin{aligned} & T_1: T_2=A_1: A_2, \text{ क्योंकि } \\ & T_1: T_2=15: 30=1: 2 \\ & A_1: A_2=90: 180=1: 2 \\ & T_2: T_3=A_2: A_3 \text{ और } T_3: T_4=A_3: A_4 \end{aligned} $

जाँचिए कि

आप यह गतिविधि अपनी मनचाही समयावधि चुनकर दोहरा सकते हैं।

(ii) अपने मित्र से निम्नलिखित सारणी भरवाइए और उसकी उम्र तथा उसकी माँ की संगत उम्र का अनुपात निकालिए।

आप क्या देखते हैं?

क्या F और $M$ एक साथ बढ़ती (या घटती) हैं? क्या $\frac{F}{M}$ हर बार समान है? नहीं!

आप यह गतिविधि अन्य मित्रों के साथ दोहरा सकते हैं और अपनी प्रेक्षणाएँ लिख सकते हैं।

इस प्रकार, एक साथ बढ़ने वाले (या घटने वाले) चर हमेशा सीधे आनुपातिक नहीं होते। उदाहरण के लिए:

(i) मानव शरीर में शारीरिक परिवर्तन समय के साथ होते हैं, परंतु ये पूर्वनिर्धारित अनुपात में नहीं होते।

(ii) व्यक्तियों के वजन और ऊँचाई में परिवर्तन किसी ज्ञात अनुपात में नहीं होते और

(iii) किसी वृक्ष की ऊँचाई और उसकी शाखाओं पर उगने वाले पत्तों की संख्या के बीच कोई सीधा संबंध या अनुपात नहीं होता। ऐसे और कुछ उदाहरण सोचिए।

इन्हें आज़माइए

1. निम्नलिखित सारणियों को देखिए और ज्ञात कीजिए कि क्या $x$ और $y$ सीधे समानुपाती हैं।

(i)

(ii)

(iii)

2. मूलधन $=₹ 1000$, दर $=8 %$ प्रति वर्ष। निम्नलिखित सारणी को भरिए और ज्ञात कीजिए कि कौन-सा ब्याज प्रकार (साधारण या चक्रवृद्धि) समय अवधि के साथ सीधे समानुपाती रूप से बदलता है।

$\Large\frac{P\times r \times t}{100}$

$ \begin{array}{|l|l|l|l|} \hline \text{समय अवधि} & 1 \text{ वर्ष} & 2 \text{ वर्ष} & 3 \text{ वर्ष} \\ \hline \text{साधारण ब्याज (₹ में)} & & \\ \hline \text{चक्रवृद्धि ब्याज (₹ में)} & & \\ \hline \end{array} $

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए

यदि हम समय अवधि और ब्याज दर को नियत रखें, तो साधारण ब्याज मूलधन के साथ समानुपाती रूप से बदलता है। क्या चक्रवृद्धि ब्याज के लिए भी ऐसा संबंध होगा? क्यों?

आइए हम कुछ हल किए गए उदाहरणों पर विचार करें जहाँ हम सीधे समानुपात की संकल्पना का उपयोग करेंगे।

उदाहरण 1 : 5 मीटर विशेष गुणवत्ता के कपड़े की लागत ₹ 210 है। उसी प्रकार के कपड़े के 2, 4, 10 और 13 मीटर की लागत सारणीबद्ध कीजिए।

हल: मान लीजिए कपड़े की लंबाई $x$ मीटर है और इसकी लागत ₹ में $y$ है।

जैसे-जैसे कपड़े की लंबाई बढ़ती है, कपड़े की लागत भी उसी अनुपात में बढ़ती है। यह सीधे अनुपात का मामला है।

हम $\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}$ प्रकार के संबंध का उपयोग करते हैं

(i) यहाँ $x_1=5, y_1=210$ और $x_2=2$

इसलिए, $\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}$ से $\frac{5}{210}=\frac{2}{y_2}$ या $5 y_2=2 \times 210$ या $y_2=\frac{2 \times 210}{5}=84$

(ii) यदि $x_3=4$, तो $\frac{5}{210}=\frac{4}{y_3}$ या $5 y_3=4 \times 210$ या $y_3=\frac{4 \times 210}{5}=168$

[क्या हम यहाँ $\frac{x_2}{y_2}=\frac{x_3}{y_3}$ का उपयोग कर सकते हैं? कोशिश करें!]

(iii) यदि $x_4=10$, तो $\frac{5}{210}=\frac{10}{y_4}$ या $y_4=\frac{10 \times 210}{5}=420$

(iv) यदि $x_5=13$, तो $\frac{5}{210}=\frac{13}{y_5}$ या $y_5=\frac{13 \times 210}{5}=546$

$[$. ध्यान दें कि यहाँ हम $\frac{5}{210}$ के स्थान पर $\frac{2}{84}$ या $\frac{4}{168}$ या $\frac{10}{420}$ का भी उपयोग कर सकते हैं।]

उदाहरण 2 : एक 14 मीटर ऊँचा बिजली का खंभा 10 मीटर की छाया डालता है। समान परिस्थितियों में 15 मीटर की छाया डालने वाले पेड़ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल: मान लीजिए पेड़ की ऊँचाई $x$ मीटर है। हम नीचे दिखाए गए अनुसार एक सारणी बनाते हैं:

ध्यान दें कि वस्तु की ऊँचाई जितनी अधिक होगी, उसकी छाया की लंबाई भी उतनी ही अधिक होगी।

अतः, यह सीधे अनुपात का मामला है। अर्थात्, $\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}$

हमारे पास $\quad \frac{14}{10}=\frac{x}{15}$ (क्यों?)

या $\quad \frac{14}{10} \times 15=x$

या $\quad \frac{14 \times 3}{2}=x$

इसलिए:
$ 21=x $

इस प्रकार, पेड़ की ऊँचाई 21 मीटर है।

वैकल्पिक रूप से, हम $\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}$ को $\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}$ लिख सकते हैं

इसलिए $x_1:x_2=y_1:y_2$

या $14:x=10:15$

अतः, $10 \times x= 15 \times 14$

$ \text{ या } \quad x=\frac{15 \times 14}{10}=21 $

उदाहरण 3 : यदि मोटे कागज़ की 12 शीटों का भार 40 ग्राम है, तो उसी कागज़ की कितनी शीटें $2 \frac{1}{2}$ किलोग्राम भार रखेंगी?

हल:

मान लीजिए $x$ वे शीटें हैं जिनका भार $2 \frac{1}{2} kg$ है। हम उपरोक्त जानकारी को नीचे दिखाए गए सारणी के रूप में रखते हैं:

$2\frac{1}{2} किलोग्राम = 2500 ग्राम$

जितनी अधिक शीटें, उतना ही अधिक भार। इसलिए, शीटों की संख्या और उनका भार एक-दूसरे के सीधे अनुपात में हैं।

इसलिए, $\frac{12}{40}=\frac{x}{2500}$

या $\frac{12 \times 2500}{40}=x$

या $750=x$

इस प्रकार, आवश्यक कागज़ की शीटों की संख्या $=750$ है।

वैकल्पिक विधि:

दो मात्राएँ $x$ और $y$ जो सीधे अनुपात में बदलती हैं, उनका सम्बन्ध $x=k y$ या $\frac{x}{y}=k$ होता है।

यहाँ,

$ k=\frac{\text{ पत्तों की संख्या }}{\text{ पत्तों का भार ग्राम में }}=\frac{12}{40}=\frac{3}{10} $

अब $x$ वह कागज़ की पत्तों की संख्या है जिसका भार $2 \frac{1}{2} kg[2500 g]$ है।

सम्बन्ध $x=k y$ का प्रयोग करने पर, $x=\frac{3}{10} \times 2500=750$

इस प्रकार, 750 पत्ते कागज़ का भार $2 \frac{1}{2} kg$ होगा।

उदाहरण 4 : एक रेलगाड़ी $75 km / hour$ की एकसमान चाल से चल रही है।

(i) यह 20 मिनट में कितनी दूरी तय करेगी?

(ii) $250 km$ की दूरी तय करने में कितना समय लगेगा?

हल: मान लीजिए 20 मिनट में तय की गई दूरी (किमी में) $x$ है और $250 km$ दूरी तय करने में लिया गया समय (मिनट में) $y$ है।

1 घंटा = 60 मिनट

चूँकि चाल एकसमान है, इसलिए तय की गई दूरी समय के साथ सीधे अनुपात में होगी।

(i) हमारे पास $\frac{75}{60}=\frac{x}{20}$

$ \begin{aligned} & \text{ या } \quad \frac{75}{60} \times 20=x \\ & \text{ या } \quad x=25 \end{aligned} $

अतः रेलगाड़ी 20 मिनट में 25 किमी की दूरी तय करेगी।

(ii) साथ ही, $\frac{75}{60}=\frac{250}{y}$

या $\quad y=\frac{250 \times 60}{75}=200$ मिनट या 3 घंटे 20 मिनट।

इसलिए, 250 किलोमीटर की दूरी तय करने में 3 घंटे 20 मिनट का समय लगेगा।

वैकल्पिक रूप से, जब $x$ ज्ञात हो, तो सम्बन्ध $\frac{x}{20}=\frac{250}{y}$ से $y$ निर्धारित किया जा सकता है।

आप जानते हैं कि एक नक्शा बहुत बड़े क्षेत्र का सूक्ष्म प्रतिनिधित्व होता है। आमतौर पर नक्शे के नीचे एक पैमाना दिया जाता है। यह पैमाना वास्तविक लंबाई और नक्शे पर दर्शाई गई लंबाई के बीच संबंध दिखाता है। इस प्रकार नक्शे का पैमाना नक्शे पर दो बिंदुओं के बीच की दूरी और वास्तविक क्षेत्र में उन दो बिंदुओं के बीच की वास्तविक दूरी का अनुपात होता है।

उदाहरण के लिए, यदि नक्शे पर $1 cm$ वास्तविक दूरी के $8 km$ को दर्शाता है [अर्थात् पैमाना $1 cm: 8 km$ या $1: 800,000$ है], तो उसी नक्शे पर $2 cm$ की दूरी $16 km$ को दर्शाएगी। इसलिए हम कह सकते हैं कि नक्शे का पैमाना सीधे समानुपात की अवधारणा पर आधारित होता है।

उदाहरण 5 : एक नक्शे का पैमाना 1:30000000 दिया गया है। नक्शे पर दो शहरों के बीच की दूरी $4 cm$ है। उनके बीच की वास्तविक दूरी ज्ञात कीजिए।

हल: माना नक्शे पर दूरी $x cm$ है और वास्तविक दूरी $y cm$ है, तब

$ \begin{aligned} & 1: 30000000=x: y \\ & \text { या } \quad \frac{1}{3 \times 10^7}=\frac{x}{y} \\ & \text { चूँकि } x=4 \text{ है, इसलिए } \quad \frac{1}{3 \times 10^7}=\frac{4}{y} \\ & \text { या } \quad y=4 \times 3 \times 10^7=12 \times 10^7 \mathrm{~cm}=1200 \mathrm{~km} \text {. } \\ & \end{aligned} $

इस प्रकार, दो शहर, जो नक्शे पर 4 cm दूर हैं, वास्तव में एक-दूसरे से 1200 km दूर हैं।

इसे करें

अपने राज्य का नक्शा लीजिए। वहाँ प्रयुक्त स्केल को नोट कीजिए। एक रूलर का प्रयोग करके किन्हीं दो शहरों के बीच की “नक्शे की दूरी” मापिए। उनके बीच की वास्तविक दूरी की गणना कीजिए।

प्रश्नावली 11.1

1. निम्नलिखित रेलवे स्टेशन के पास कार पार्किंग शुल्क हैं

जाँच कीजिए कि क्या पार्किंग शुल्क पार्किंग समय के साथ सीधे समानुपात में हैं।

2. पेंट के मिश्रण को 1 भाग लाल पिग्मेंट को 8 भाग आधार के साथ मिलाकर तैयार किया जाता है। निम्नलिखित सारणी में आधार के वे भाग ज्ञात कीजिए जो मिलाने होंगे।

3. प्रश्न 2 में, यदि 1 भाग लाल पिग्मेंट को 75 mL आधार की आवश्यकता है, तो 1800 mL आधार के साथ कितना लाल पिग्मेंट मिलाना चाहिए?

4. एक सॉफ्ट ड्रिंक फैक्ट्री की मशीन छह घंटे में 840 बोतलें भरती है। वह पाँच घंटे में कितनी बोतलें भरेगी?

5. एक बैक्टीरिया की फोटो को 50,000 गुना बड़ा करने पर यह 5 cm लंबी हो जाती है जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। बैक्टीरिया की वास्तविक लंबाई क्या है? यदि फोटो को केवल 20,000 गुना बड़ा किया जाए तो इसकी बड़ी हुई लंबाई क्या होगी?

6. एक जहाज के मॉडल में, मस्तूल 9 cm ऊँचा है, जबकि वास्तविक जहाज का मस्तूल 12 m ऊँचा है। यदि जहाज की लंबाई 28 m है, तो मॉडल जहाज कितना लंबा है?

7. मान लीजिए 2 kg चीनी में 9 × 10^{6} क्रिस्टल होते हैं।

5 kg चीनी में (i) कितने चीनी क्रिस्टल होंगे? (ii) 1.2 kg चीनी में कितने चीनी क्रिस्टल होंगे?

8. रश्मि के पास एक रोड मानचित्र है जिसमें 1 cm, 18 km को दर्शाता है। वह एक सड़क पर 72 km तक ड्राइव करती है। मानचित्र में उसके द्वारा तय की गई दूरी क्या होगी?

9. एक 5 m 60 cm ऊँचा ऊध्र्व खंभा 3 m 20 cm लंबी छाया डालता है। उसी समय (i) दूसरे 10 m 50 cm ऊँचे खंभे द्वारा डाली गई छाया की लंबाई ज्ञात कीजिए (ii) एक खंभे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए जो 5 m लंबी छाया डालता है।

10. एक लोडेड ट्रक 25 मिनट में 14 km चलता है। यदि गति समान रहे, तो यह 5 घंटे में कितनी दूर चल सकता है?

DO THIS

1. एक चौकोन कागज़ पर पाँच अलग-अलग भुजाओं वाले वर्ग बनाइए। निम्नलिखित जानकारी एक सारणी के रूप में लिखिए।

जाँच करें कि क्या भुजा की लंबाई निम्नलिखित के साथ सीधे समानुपात में है:

(a) वर्ग के परिमाप के साथ।

(b) वर्ग के क्षेत्रफल के साथ।

2. 5 व्यक्तियों के लिए हलवा बनाने के लिए निम्नलिखित सामग्री की आवश्यकता होती है:

सूजी/रवा $=250 ग्राम$, चीनी $=300 ग्राम$,

घी $=200 ग्राम$, पानी $=500 मिलीलीटर$।

अनुपात की अवधारणा का उपयोग करते हुए, अपनी कक्षा के लिए हलवा तैयार करने के लिए सामग्री की मात्रा में होने वाले परिवर्तन का अनुमान लगाएँ।

3. एक पैमाना चुनें और अपनी कक्षा का नक्शा बनाएँ, जिसमें खिड़कियाँ, दरवाजे, ब्लैकबोर्ड आदि दिखाएँ। (यहाँ एक उदाहरण दिया गया है)।

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए

‘सीधा परिवर्तन’ के अंतर्गत अब तक चर्चा किए गए कुछ प्रश्न लीजिए। क्या आपको लगता है कि उन्हें ‘इकाई विधि’ द्वारा हल किया जा सकता है?

11.3 व्युत्क्रम समानुपात

दो मात्राएँ इस प्रकार बदल सकती हैं कि यदि एक मात्रा बढ़ती है तो दूसरी मात्रा घटती है और इसके विपरीत। उदाहरण के लिए, जैसे-जैसे कार्यकर्ताओं की संख्या बढ़ती है, काम को समाप्त करने में लिया गया समय घटता है। इसी प्रकार, यदि हम चाल बढ़ाते हैं, तो किसी दी गई दूरी को तय करने में लगने वाला समय घटता है।

इसे समझने के लिए, आइए निम्नलिखित स्थिति पर ध्यान दें।

ज़हीदा अपने स्कूल चार अलग-अलग तरीकों से जा सकती है। वह पैदल चल सकती है, दौड़ सकती है, साइकिल चला सकती है या कार से जा सकती है। निम्नलिखित सारणी का अध्ययन करें।

ध्यान दें कि जैसे-जैसे चाल बढ़ती है, समान दूरी को तय करने में लगने वाला समय घटता है।

जैसे ही ज़हीदा दौड़कर अपनी चाल दोगुनी करती है, समय आधा हो जाता है। जैसे ही वह साइकिल चलाकर अपनी चाल तीन गुना बढ़ाती है, समय एक तिहाई हो जाता है। इसी प्रकार, जैसे ही वह अपनी चाल 15 गुना बढ़ाती है, समय एक पंद्रहवाँ हो जाता है। (या, दूसरे शब्दों में समय जिस अनुपात में घटता है, वह संगत चाल के बढ़ने के अनुपात का व्युत्क्रम होता है)। क्या हम कह सकते हैं कि चाल और समय व्युत्क्रम रूप से बदलते हैं?

किसी संख्या का गुणज व्युत्क्रम उसका व्युत्क्रम होता है। इस प्रकार, $\frac{1}{2}$ संख्या 2 का व्युत्क्रम है और इसके विपरीत। (ध्यान दें कि $2 \times \frac{1}{2}=\frac{1}{2} \times 2=1$ )। क्या ये समानुपात में हैं?

आइए एक और उदाहरण पर विचार करें। एक स्कूल गणित की पाठ्यपुस्तकों पर ₹ 6000 खर्च करना चाहता है। ₹ 40 प्रति पुस्तक की दर से कितनी पुस्तकें खरीदी जा सकती हैं? स्पष्ट है कि 150 पुस्तकें खरीदी जा सकती हैं। यदि पाठ्यपुस्तक की कीमत ₹ 40 से अधिक हो, तो उसी राशि से खरीदी जा सकने वाली पुस्तकों की संख्या 150 से कम होगी। निम्नलिखित सारणी को देखिए।

आप क्या देखते हैं? आप समझेंगे कि जैसे-जैसे पुस्तकों की कीमत बढ़ती है, वैसे-वैसे उसी निधि के साथ खरीदी जा सकने वाली पुस्तकों की संख्या घटती है।

जब पुस्तकों की कीमत 40 से बढ़कर 50 हो जाती है, तो कीमत में वृद्धि का अनुपात $4:5$ है, और संगत रूप से पुस्तकों की संख्या 150 से घटकर 120 हो जाती है, जिसका अनुपात $5:4$ है। इसका अर्थ है कि ये दोनों अनुपात एक-दूसरे के व्युत्क्रम हैं।

ध्यान दें कि दोनों मात्राओं के संगत मानों का गुणनफल स्थिर है; अर्थात्, $40 \times 150 = 50 \times 120 = 6000$।

यदि हम एक पुस्तक की कीमत को $x$ से और खरीदी गई पुस्तकों की संख्या को $y$ से दर्शाते हैं, तो जैसे-जैसे $x$ बढ़ता है $y$ घटता है और इसका विपरीत भी सच है। यह ध्यान देना महत्वपूर्ण है कि गुणनफल $x y$ स्थिर रहता है। हम कहते हैं कि $x$, $y$ के साथ व्युत्क्रमानुपाती परिवर्तित होता है और $y$, $x$ के साथ व्युत्क्रमानुपाती परिवर्तित होता है। इस प्रकार दो मात्राएँ $x$ और $y$ व्युत्क्रमानुपाती परिवर्तित होती हैं, यदि उनके बीच $x y=k$ प्रकार का कोई संबंध हो, जहाँ $k$ एक स्थिरांक है। यदि $y_1, y_2$, $y$ के ऐसे मान हैं जो क्रमशः $x$ के मानों $x_1, x_2$ के अनुरूप हैं, तो $x_1 y_1=x_2 y_2(=k)$, या $\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_2}{y_1}$। हम कहते हैं कि $x$ और $y$ व्युत्क्रमानुपाती हैं।

अतः इस उदाहरण में, एक पुस्तक की लागत और निश्चित राशि में खरीदी गई पुस्तकों की संख्या व्युत्क्रमानुपाती हैं। इसी प्रकार, किसी वाहन की गति और निश्चित दूरी को तय करने में लिया गया समय व्युत्क्रमानुपाती रूप से बदलते हैं।

व्युत्क्रमानुपाती परिवर्तित होने वाली मात्राओं के और अधिक ऐसे युग्मों के उदाहरण सोचिए। अब आप इस अध्याय के प्रारंभिक भाग में दिए गए फर्नीचर व्यवस्थित करने की समस्या पर एक नज़र डाल सकते हैं।

यहाँ व्युत्क्रमानुपात को बेहतर ढंग से समझने के लिए एक गतिविधि है।

इसे करें

एक वर्गाकार कागज़ लीजिए और उस पर 48 काउंटरों को नीचे दिखाए अनुसार विभिन्न पंक्तियों में व्यवस्थित कीजिए।

4 पंक्तियाँ, 12 स्तंभ

6 पंक्तियाँ, 8 स्तंभ

आप क्या देखते हैं? जैसे-जैसे $R$ बढ़ता है, $C$ घटता है।

(i) क्या $R_1: R_2=C_2: C_1$ है?

(ii) क्या $R_3: R_4=C_4: C_3$ है?

(iii) क्या $R$ और $C$ एक-दूसरे के व्युत्क्रमानुपाती हैं?

इस क्रिया को 36 काउंटरों के साथ आज़माएँ।

इन्हें आज़माएँ

निम्नलिखित सारणियों को देखें और पता लगाएँ कि चरों के कौन-से युग्म (यहाँ $x$ और $y$) व्युत्क्रमानुपाती हैं।

(i)

(ii)

(iii)

आइए कुछ उदाहरणों पर विचार करें जहाँ हम व्युत्क्रमानुपात की संकल्पना का प्रयोग करते हैं।

जब दो मात्राएँ $x$ और $y$ सीधे अनुपात में होती हैं (या सीधे परिवर्तित होती हैं) तो उन्हें $x \propto y$ भी लिखा जाता है।

जब दो राशियाँ $x$ और $y$ व्युत्क्रमानुपात में हों (या व्युत्क्रम रूप से परिवर्तित हों) तो उन्हें $x \propto \frac{1}{y}$ के रूप में भी लिखा जाता है।

उदाहरण 7 : एक टैंक को 1 घंटा 20 मिनट में भरने के लिए 6 पाइपों की आवश्यकता होती है। यदि केवल 5 समान प्रकार के पाइपों का उपयोग किया जाए तो इसमें कितना समय लगेगा?

हल:

माना टैंक को भरने के लिए अभीष्ट समय $x$ मिनट है। इस प्रकार, हमारे पास निम्नलिखित सारणी है।

पाइपों की संख्या कम होने पर टैंक को भरने में अधिक समय लगेगा। अतः यह व्युत्क्रमानुपात का एक मामला है।

इसलिए, $\quad 80 \times 6=x \times 5 \quad[x_1 y_1=x_2 y_2]$

$ \begin{aligned} & \text{ या } \quad \frac{80 \times 6}{5}=x \\ & \text{ या } \quad x=96 \end{aligned} $

इस प्रकार, 5 पाइपों द्वारा टैंक को भरने में लिया गया समय 96 मिनट या 1 घंटा 36 मिनट है।

उदाहरण 8 : एक छात्रावास में 100 छात्र हैं। उनके लिए भोजन का प्रावधान 20 दिनों के लिए है। यदि 25 और छात्र समूह में शामिल हो जाएँ तो यह प्रावधान कितने दिनों तक चलेगा?

हल: माना जब छात्रों की संख्या 125 हो तो प्रावधान $y$ दिनों तक चलता है। हमारे पास निम्नलिखित सारणी है।

ध्यान दें कि छात्रों की संख्या अधिक होने पर प्रावधान जल्दी समाप्त हो जाएगा। इसलिए, यह व्युत्क्रमानुपात का एक मामला है।

इसलिए,

$ \begin{aligned} & 100 \times 20=125 \times y \\ & \frac{100 \times 20}{125}=y \quad \text{ या } \quad 16=y \end{aligned} $

इस प्रकार, यदि 25 और विद्यार्थी छात्रावास में शामिल हो जाएँ तो राशन 16 दिनों तक चलेगा।

वैकल्पिक रूप से, हम $x_1 y_1=x_2 y_2$ को $\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_2}{y_1}$ के रूप में लिख सकते हैं।

अर्थात्,

$ x_1: x_2=y_2: y_1 $

या: $ \begin{aligned} & 100: 125=y: 20 \\ & y=\frac{100 \times 20}{125}=16 \end{aligned} $

उदाहरण 9 : यदि 15 मजदूर एक दीवार 48 घंटे में बना सकते हैं, तो उसी काम को 30 घंटे में करने के लिए कितने मजदूरों की आवश्यकता होगी?

हल:

मान लीजिए दीवार को 30 घंटे में बनाने के लिए नियोजित मजदूरों की संख्या $y$ है।

हमारे पास निम्नलिखित सारणी है।

स्पष्ट है कि जितने अधिक मजदूर होंगे, वे दीवार को उतनी ही तेजी से बनाएँगे। इसलिए, घंटों की संख्या और मजदूरों की संख्या व्युत्क्रम अनुपात में परिवर्तित होती है।

अतः: $ 48 \times 15=30 \times y $

इसलिए, $\quad \frac{48 \times 15}{30}=y \quad$ या $\quad y=24$

अर्थात्, काम को 30 घंटे में समाप्त करने के लिए 24 मजदूरों की आवश्यकता है।

प्रश्नावली 11.2

1. निम्नलिखित में से कौन-से व्युत्क्रम अनुपात में हैं?

(i) एक कार्य पर कार्यरत मजदूरों की संख्या और कार्य को पूरा करने में लगा समय।

(ii) एक समान चाल से यात्रा में लगा समय और तय की गई दूरी।

(iii) खेती की गई भूमि का क्षेत्रफल और प्राप्त फसल।

(iv) एक निश्चित यात्रा में लगा समय और वाहन की चाल।

(v) किसी देश की जनसंख्या और प्रति व्यक्ति भूमि का क्षेत्रफल।

2. एक टेलीविज़न गेम शो में, ₹ 1,00,000 का इनाम धनराशि विजेताओं के बीच समान रूप से बाँटी जानी है। निम्नलिखित तालिका को पूरा कीजिए और ज्ञात कीजिए कि क्या व्यक्तिगत विजेता को दी जाने वाली इनाम धनराशि विजेताओं की संख्या के साथ सीधे या व्युत्क्रमानुपाती है?

3. रहमान एक पहिया बना रहा है जिसमें वह समान संख्या में स्पोक्स लगाना चाहता है, इस प्रकार कि किसी भी दो क्रमागत स्पोक्स के बीच का कोण समान हो। निम्नलिखित तालिका को पूरा करके उसकी मदद कीजिए।

(i) क्या स्पोक्स की संख्या और क्रमागत स्पोक्स के बीच बने कोण व्युत्क्रमानुपाती हैं?

(ii) 15 स्पोक्स वाले पहिए पर दो क्रमागत स्पोक्स के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

(iii) यदि दो क्रमागत स्पोक्स के बीच का कोण 40° हो, तो कितने स्पोक्स की आवश्यकता होगी?

4. यदि मिठाइयों का एक डिब्बा 24 बच्चों में बाँटा जाए, तो उन्हें प्रत्येक को 5 मिठाइयाँ मिलती हैं। यदि बच्चों की संख्या को 4 कम कर दिया जाए, तो प्रत्येक को कितनी मिठाइयाँ मिलेंगी?

5. एक किसान के पास अपने मवेशियों के 20 जानवरों को 6 दिनों तक खिलाने के लिए पर्याप्त भोजन है। यदि उसके मवेशियों में 10 और जानवर और हो जाएँ, तो भोजन कितने दिनों तक चलेगा?

6. एक ठेकेदार का अनुमान है कि 3 व्यक्ति जसमिंदर के घर की री-वायरिंग 4 दिनों में कर सकते हैं। यदि वह 3 के बजाय 4 व्यक्तियों का उपयोग करता है, तो उन्हें काम पूरा करने में कितना समय लगना चाहिए?

7. बोतलों के एक बैच को 25 डिब्बों में पैक किया गया था, प्रत्येक डिब्बे में 12 बोतलें थीं। यदि उसी बैच को प्रत्येक डिब्बे में 20 बोतलें रखकर पैक किया जाए, तो कितने डिब्बे भरे जाएँगे?

8. एक कारखाने को निर्धारित संख्या में वस्तुएँ उत्पादित करने के लिए 63 दिनों में 42 मशीनों की आवश्यकता होती है। 54 दिनों में उतनी ही वस्तुएँ उत्पादित करने के लिए कितनी मशीनों की आवश्यकता होगी?

9. एक कार 60 km/h की गति से चलकर किसी गंतव्य तक पहुँचने में 2 घंटे लेती है। जब कार 80 km/h की गति से चलेगी, तो उसे कितना समय लगेगा?

10. दो व्यक्ति एक घर में नई खिड़कियाँ लगाने का काम 3 दिनों में कर सकते हैं।

(i) काम शुरू होने से पहले एक व्यक्ति बीमार पड़ गया। अब काम में कितना समय लगेगा?

(ii) एक दिन में खिड़कियाँ लगाने के लिए कितने व्यक्तियों की आवश्यकता होगी?

11. एक स्कूल में प्रतिदिन 8 पीरियड होते हैं, प्रत्येक 45 मिनट का। यदि स्कूल में प्रतिदिन 9 पीरियड हों, तो प्रत्येक पीरियड कितने समय का होगा, यह मानते हुए कि स्कूल के कुल घंटे समान हैं?

DO THIS

1. एक कागज़ का टुकड़ा लीजिए। चित्र में दिखाए अनुसार इसे मोड़िए। प्रत्येक स्थिति में भागों की संख्या और एक भाग का क्षेत्रफल गिनिए।

अपने प्रेक्षणों को सारणीबद्ध कीजिए और अपने मित्रों के साथ चर्चा कीजिए। क्या यह व्युत्क्रम अनुपात का मामला है? क्यों?

2. विभिन्न आकारों के कुछ बर्तन लीजिए जिनके आधार गोलाकार हों। प्रत्येक बर्तन में समान मात्रा में पानी भरिए। प्रत्येक बर्तन का व्यास और पानी की सतह जिस ऊँचाई पर है, उसे नोट कीजिए। अपने प्रेक्षणों को सारणीबद्ध कीजिए। क्या यह व्युत्क्रम अनुपात का मामला है?

हमने क्या चर्चा की है??

1. दो राशियाँ $x$ और $y$ सीधे अनुपात में कही जाती हैं यदि वे एक साथ बढ़ती (घटती) हैं इस प्रकार कि उनके संगत मानों का अनुपात स्थिर रहता है। अर्थात् यदि $\frac{x}{y}=k[k$ एक धनात्मक संख्या है], तो $x$ और $y$ सीधे परिवर्तित होते हैं। ऐसी स्थिति में यदि $x$ के मानों $x_1, x_2$ के अनुरूप $y$ के मान क्रमशः $y_1, y_2$ हैं, तो $\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}$।

2. दो राशियाँ $x$ और $y$ व्युत्क्रम अनुपात में कही जाती हैं यदि $x$ में वृद्धि होने पर $y$ में समानुपातिक कमी होती है (और इसके विपरीत) इस प्रकार कि उनके संगत मानों का गुणनफल स्थिर रहता है। अर्थात्, यदि $x y=k$, तो $x$ और $y$ व्युत्क्रम रूप से परिवर्तित होते हैं। इस स्थिति में यदि $x$ के मानों $x_1, x_2$ के अनुरूप $y$ के मान क्रमशः $y_1, y_2$ हैं, तो $x_1 y_1=x_2 y_2$ या $\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_2}{y_1}$।