12.1 परिचय

12.1.1 प्राकृतिक संख्याओं के गुणनखंड

आपको याद होगा कि आपने कक्षा छठी में गुणनखंडों के बारे में क्या सीखा था। आइए कोई प्राकृतिक संख्या लें, मान लीजिए 30, और इसे अन्य प्राकृतिक संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखें, मान लीजिए

$ \begin{aligned} 30 & =2 \times 15 \\ & =3 \times 10=5 \times 6 \end{aligned} $

इस प्रकार, 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 और 30, 30 के गुणनखंड हैं। इनमें से 2, 3 और 5, 30 के अभाज्य गुणनखंड हैं (क्यों?)

किसी संख्या को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में लिखा जाता है तो उसे अभाज्य गुणनखंड रूप में कहा जाता है; उदाहरण के लिए, 30 को $2 \times 3 \times 5$ के रूप में लिखा गया है जो अभाज्य गुणनखंड रूप में है।

हम जानते हैं कि 30 को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है

$ 30=1 \times 30 $

इस प्रकार, 1 और 30 भी 30 के गुणनखंड हैं। आप देखेंगे कि 1 किसी भी संख्या का गुणनखंड होता है। उदाहरण के लिए, $101=1 \times 101$। हालांकि, जब हम किसी संख्या को गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में लिखते हैं, तो हम 1 को गुणनखंड के रूप में नहीं लिखेंगे, जब तक कि विशेष रूप से आवश्यक न हो।

70 का अभाज्य गुणनखंड रूप $2 \times 5 \times 7$ है।

90 का अभाज्य गुणनखंड रूप $2 \times 3 \times 3 \times 5$ है, और इसी तरह।

इसी प्रकार, हम बीजीय व्यंजकों को उनके गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। यही हम इस अध्याय में सीखेंगे।

12.1.2 बीजीय व्यंजकों के गुणनखंड

हमने कक्षा सातवीं में देखा है कि बीजीय व्यंजकों में, पद गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में बनते हैं। उदाहरण के लिए, बीजीय व्यंजक $5 x y+3 x$ में पद $5 x y$ गुणनखंडों $5, x$ और $y$ द्वारा बना है, अर्थात्

$ 5 x y=5 \times x \times y $

ध्यान दीजिए कि 5, $x$ और $y$ जो कि $5 x y$ के गुणनखंड हैं, इन्हें आगे गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता। हम कह सकते हैं कि 5, $x$ और $y$ ये $5 x y$ के ‘अभाज्य’ गुणनखंड हैं। बीजगणितीय व्यंजकों में हम ‘अभाज्य’ के स्थान पर ‘अपरिवर्तनीय’ शब्द का प्रयोग करते हैं। हम कहते हैं कि $5 \times x \times y$ यह $5 x y$ का अपरिवर्तनीय रूप है। ध्यान दीजिए $5 \times(x y)$ यह $5 x y$ का अपरिवर्तनीय रूप नहीं है, क्योंकि गुणनखंड $x y$ को आगे

ध्यान दीजिए 1, $5 x y$ का एक गुणनखंड है, क्योंकि

$ 5 x y=1 \times 5 \times x \times y $

वास्तव में, 1 हर पद का गुणनखंड होता है। जैसा कि प्राकृत संख्याओं के मामले में होता है, जब तक विशेष रूप से आवश्यक न हो, हम किसी भी पद के अलग गुणनखंड के रूप में 1 को नहीं दिखाते। $x$ और $y$ के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, अर्थात् $x y=x \times y$।

अगले, व्यंजक $3 x(x+2)$ पर विचार कीजिए। इसे गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है। $3, x$ और $(x+2)$

$ 3 x(x+2)=3 \times x \times(x+2) $

गुणनखंड $3, x$ और $(x+2)$ ये $3 x(x+2)$ के अपरिवर्तनीय गुणनखंड हैं।

इसी प्रकार, व्यंजक $10 x(x+2)(y+3)$ को इसके अपरिवर्तनीय गुणनखंड रूप में इस प्रकार व्यक्त किया गया है $10 x(x+2)(y+3)=2 \times 5 \times x \times(x+2) \times(y+3)$।

12.2 गुणनफलन क्या है?

जब हम किसी बीजगणितीय व्यंजक का गुणनफलन करते हैं, तो हम उसे गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में लिखते हैं। ये गुणनखंड संख्याएँ, बीजगणितीय चर या बीजगणितीय व्यंजक हो सकते हैं।

व्यंजक जैसे $3 x y, 5 x^{2} y, 2 x(y+2), 5(y+1)(x+2)$ पहले से ही गुणनफल रूप में हैं। इनके गुणनखंडों को इनसे सीधे पढ़ा जा सकता है, जैसा कि हम पहले से जानते हैं।

दूसरी ओर व्यंजक जैसे $2 x+4, 3 x+3 y, x^{2}+5 x, x^{2}+5 x+6$ पर विचार करें। यह स्पष्ट नहीं है कि इनके गुणनखंड क्या हैं। हमें इन व्यंजकों को गुणनखंडित करने की, अर्थात् उनके गुणनखंड ज्ञात करने की, व्यवस्थित विधियाँ विकसित करनी होंगी। यही हम अब करेंगे।

12.2.1 उभयनिष्ठ गुणनखंडों की विधि

• हम एक सरल उदाहरण से प्रारंभ करते हैं: $2 x+4$ का गुणनखंडन कीजिए।

हम प्रत्येक पद को अविभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में लिखेंगे;

$ \begin{aligned} 2 x & =2 \times x \ 4 & =2 \times 2 \ 2 x+4 & =(2 \times x)+(2 \times 2) \end{aligned} $

अतः: ध्यान दीजिए कि गुणनखंड 2 दोनों पदों में उभयनिष्ठ है।

देखिए, वितरण नियम से

$ 2 \times(x+2)=(2 \times x)+(2 \times 2) $

इसलिए, हम लिख सकते हैं

$ 2 x+4=2 \times(x+2)=2(x+2) $

इस प्रकार, व्यंजक $2 x+4$ व्यंजक $2(x+2)$ के समान है। अब हम इसके गुणनखंड पढ़ सकते हैं: वे 2 और $(x+2)$ हैं। ये गुणनखंड अविभाज्य हैं।

अगला, $5 x y+10 x$ का गुणनखंडन कीजिए।

$5 x y$ और $10 x$ के अविभाज्य गुणनखंड रूप क्रमशः निम्नलिखित हैं,

$ \begin{aligned} & 5 x y=5 \times x \times y \ & 10 x=2 \times 5 \times x \end{aligned} $

ध्यान दीजिए कि दोनों पदों में 5 और $x$ उभयनिष्ठ गुणनखंड हैं। अब,

$ \begin{aligned} 5 x y+10 x & =(5 \times x \times y)+(5 \times x \times 2) \ & =(5 x \times y)+(5 x \times 2) \end{aligned} $

हम दोनों पदों को वितरण नियम का प्रयोग करके संयोजित करते हैं,

$ (5 x \times y)+(5 x \times 2)=5 x \times(y+2) $

इसलिए, $5 x y+10 x=5 x(y+2)$। (यही वांछित गुणनखंड रूप है।)

उदाहरण 1 : $12 a^{2} b+15 a b^{2}$ का गुणनखंडन कीजिए

हल: हमारे पास $12 a^{2} b=2 \times 2 \times 3 \times a \times a \times b$

$ 15 a b^{2}=3 \times 5 \times a \times b \times b $

दोनों पदों में उभयनिष्ठ गुणनफल $3, a$ और $b$ हैं।

इसलिए,

$ \begin{aligned} 12 a^{2} b+15 a b^{2} & =(3 \times a \times b \times 2 \times 2 \times a)+(3 \times a \times b \times 5 \times b) \ & =3 \times a \times b \times[(2 \times 2 \times a)+(5 \times b)] \quad \text{ (पदों को संयोजित करते हुए) } \ & =3 a b \times(4 a+5 b) \ & =3 a b(4 a+5 b) \quad \text{ (अभीष्ट गुणनफल रूप) } \end{aligned} $

उदाहरण 2 : $10 x^{2}-18 x^{3}+14 x^{4}$ का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

हल:

$ \begin{aligned} 10 x^{2} & =2 \times 5 \times x \times x \ 18 x^{3} & =2 \times 3 \times 3 \times x \times x \times x \ 14 x^{4} & =2 \times 7 \times x \times x \times x \times x \end{aligned} $

तीनों पदों के उभयनिष्ठ गुणनफल $2, x$ और $x$ हैं।

इसलिए, $10 x^{2}-18 x^{3}+14 x^{4}=(2 \times x \times x \times 5)-(2 \times x \times x \times 3 \times 3 \times x)$

$ \begin{aligned} & +(2 \times x \times x \times 7 \times x \times x) \ = & 2 \times x \times x \times[(5-(3 \times 3 \times x)+(7 \times x \times x)] \ = & 2 x^{2} \times(5-9 x+7 x^{2})=2 x^{2}(7 x^{2}-9 x+5) \end{aligned} $

$ =2 \times x \times x \times[(5-(3 \times 3 \times x)+(7 \times x \times x)] \text{ (तीनों पदों को संयोजित करते हुए) } $

क्या आपने देखा कि किसी व्यंजक का गुणनफल रूप केवल एक ही पद का होता है?

इन्हें कीजिए

गुणनफल ज्ञात कीजिए:

(i) $12 x+36$

(ii) $22 y-33 z$

(iii) $14 p q+35 p q r$

12.2.2 पदों को पुनः समूहीकरण द्वारा गुणनखंडन

व्यंजक $2 x y+2 y+3 x+3$ को देखिए। आप देखेंगे कि पहले दो पदों में 2 और $y$ उभयनिष्ठ गुणनखंड हैं और अंतिम दो पदों में 3 उभयनिष्ठ गुणनखंड है। लेकिन सभी पदों में कोई एक उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है। हम आगे कैसे बढ़ें?

आइए $(2 x y+2 y)$ को गुणनफल रूप में लिखें:

इसी प्रकार,

$ \begin{aligned} 2 x y+2 y & =(2 \times x \times y)+(2 \times y) \ & =(2 \times y \times x)+(2 \times y \times 1) \ & =(2 y \times x)+(2 y \times 1)=2 y(x+1) \ 3 x+3 & =(3 \times x)+(3 \times 1) \ & =3 \times(x+1)=3(x+1) \end{aligned} $

इसलिए,

$ 2 x y+2 y+3 x+3=2 y(x+1)+3(x+1) $

ध्यान दीजिए, अब हमारे पास दायीं ओर के दोनों पदों में $(x+1)$ उभयनिष्ठ गुणनखंड है। दोनों पदों को मिलाकर,

$ 2 x y+2 y+3 x+3=2 y(x+1)+3(x+1)=(x+1)(2 y+3) $

व्यंजक $2 x y+2 y+3 x+3$ अब गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में है। इसके गुणनखंड $(x+1)$ और $(2 y+3)$ हैं। ध्यान दें, ये गुणनखंड अविभाज्य हैं।

पुनः समूहीकरण क्या है?

मान लीजिए, उपरोक्त व्यंजक को $2 x y+3+2 y+3 x$ के रूप में दिया गया हो; तब गुणनखंडन देखना आसान नहीं होगा। व्यंजक को पुनः व्यवस्थित करना, जैसे $2 x y+2 y+3 x+3$, हमें समूह $(2 x y+2 y)$ और $(3 x+3)$ बनाने की अनुमति देता है जो गुणनखंडन की ओर ले जाता है। यही पुनः समूहीकरण है।

पुनः समूहीकरण एक से अधिक तरीकों से संभव हो सकता है। मान लीजिए, हम व्यंजक को इस प्रकार पुनः समूहीकृत करते हैं: $2 x y+3 x+2 y+3$. यह भी गुणनखंडों की ओर ले जाएगा। आइए प्रयास करें:

$ \begin{aligned} 2 x y+3 x+2 y+3 & =2 \times x \times y+3 \times x+2 \times y+3 \ & =x \times(2 y+3)+1 \times(2 y+3) \ & =(2 y+3)(x+1) \end{aligned} $

गुणनखण्ड समान हैं (जैसा कि होना चाहिए), यद्यपि वे भिन्न क्रम में प्रकट होते हैं।

उदाहरण 3 : गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए $6 x y-4 y+6-9 x$।

हल:

चरण 1 जाँचिए कि सभी पदों में कोई उभयनिष्ठ गुणनखण्ड है या नहीं। कोई नहीं है।

चरण 2 समूहन के बारे में सोचिए। ध्यान दीजिए कि पहले दो पदों में उभयनिष्ठ गुणनखण्ड $2 y$ है;

$$ \begin{equation*} 6 x y-4 y=2 y(3 x-2) \tag{a} \end{equation*} $$

अंतिम दो पदों का क्या? उन्हें देखिए। यदि आप उनका क्रम बदलकर $-9 x+6$ कर दें, तो गुणनखण्ड $(3 x-2)$ निकल आएगा;

$$ \begin{align*} -9 x+6 & =-3(3 x)+3(2) \ & =-3(3 x-2) \tag{b} \end{align*} $$

चरण 3 (a) और (b) को एक साथ रखने पर,

$ \begin{aligned} 6 x y-4 y+6-9 x & =6 x y-4 y-9 x+6 \ & =2 y(3 x-2)-3(3 x-2) \ & =(3 x-2)(2 y-3) \end{aligned} $

$(6 x y-4 y+6-9 x)$ के गुणनखण्ड $(3 x-2)$ और $(2 y-3)$ हैं।

प्रश्नावली 12.1

1. दिए गए पदों के उभयनिष्ठ गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए।

(i) $12 x, 36$ $\quad$ (ii) $2 y, 22 x y$ $\quad$ (iii) $14 p q, 28 p^{2} q^{2}$

(iv) $2 x, 3 x^{2}, 4$ $\quad$ (v) $6 a b c, 24 a b^{2}, 12 a^{2} b$ $\quad$ (vi) $16 x^{3},-4 x^{2}, 32 x$

(vii) $10 p q, 20 q r, 30 r p$ $\quad$ (viii) $3 x^{2} y^{3}, 10 x^{3} y^{2}, 6 x^{2} y^{2} z$

2. निम्नलिखित व्यंजकों का गुणनखण्ड कीजिए।
(i) $7 x-42$ $\quad$ (ii) $6 p-12 q$ $\quad$ (iii) $7 a^{2}+14 a$

(iv) $-16 z+20 z^{3}$ $\quad$
(v) $20 l^{2} m+30 a l m$ $\quad$
(vi) $5 x^{2} y-15 x y^{2}$

(vii) $10 a^{2}-15 b^{2}+20 c^{2}$ $\quad$
(viii) $-4 a^{2}+4 a b-4 c a$ $\quad$
(ix) $x^{2} y z+x y^{2} z+x y z^{2}$

(x) $a x^{2} y+b x y^{2}+c x y z$

3. गुणनफल निकालें।
(i) $x^{2}+x y+8 x+8 y$ $\quad$
(ii) $15 x y-6 x+5 y-2$ $\quad$
(iii) $a x+b x-a y-b y$

(iv) $15 p q+15+9 q+25 p$ $\quad$
(v) $z-7+7 x y-x y z$

12.2.3 सर्वसमिकाओं का उपयोग कर गुणनफल निकालना

हम जानते हैं कि

$$ \begin{align*} (a+b)^{2} & =a^{2}+2 a b+b^{2} \tag{I}\\ (a-b)^{2} & =a^{2}-2 a b+b^{2} \tag{II}\\ (a+b)(a-b) & =a^{2}-b^{2} \tag{III} \end{align*} $$

निम्न हल किए गए उदाहरण दिखाते हैं कि गुणनफल निकालने के लिए इन सर्वसमिकाओं का उपयोग कैसे किया जाता है। हम जो करते हैं वह यह है कि दिए गए व्यंजक को देखते हैं। यदि उसका रूप किसी सर्वसमिका के दाहिने पक्ष से मेल खाता है, तो सर्वसमिका के बाएँ पक्ष से संगत व्यंजक वांछित गुणनफल देता है।

उदाहरण 4 : $x^{2}+8 x+16$ का गुणनफल निकालें

हल: व्यंजक को देखें; इसमें तीन पद हैं। इसलिए यह सर्वसमिका III से मेल नहीं खाता। साथ ही, इसका पहला और तीसरा पद पूर्ण वर्ग हैं तथा मध्य पद के पहले धन चिह्न है। अतः यह $a^{2}+2 a b+b^{2}$ के रूप का है जहाँ $a=x$ और $b=4$

इस प्रकार

$ \begin{aligned} a^{2}+2 a b+b^{2} & =x^{2}+2(x)(4)+4^{2} \\ & =x^{2}+8 x+16 \end{aligned} $

चूँकि:
$ a^{2}+2 a b+b^{2}=(a+b)^{2}, $

तुलना करने पर $x^{2}+8 x+16=(x+4)^{2}$

(अभीष्ट गुणनफल)

उदाहरण 5 : गुणनफल के रूप में व्यक्त करें $4 y^{2}-12 y+9$

हल: देखिए $4 y^{2}=(2 y)^{2}, 9=3^{2}$ और $12 y=2 \times 3 \times(2 y)$

इसलिए,

$ \begin{aligned} 4 y^{2}-12 y+9 & =(2 y)^{2}-2 \times 3 \times(2 y)+(3)^{2} \ & =(2 y-3)^{2} \quad \text{ (अभीष्ट गुणनफल) } \end{aligned} $

उदाहरण 6 : गुणनफल के रूप में व्यक्त करें $49 p^{2}-36$

हल: दो पद हैं; दोनों वर्ग हैं और दूसरा ऋणात्मक है। व्यंजक $(a^{2}-b^{2})$ के रूप का है। पहचान III यहाँ लागू होती है;

$ \begin{aligned} 49 p^{2}-36 & =(7 p)^{2}-(6)^{2} \ & =(7 p-6)(7 p+6)(\text{ अभीष्ट गुणनफल) } \end{aligned} $

उदाहरण 7 : गुणनफल के रूप में व्यक्त करें $a^{2}-2 a b+b^{2}-c^{2}$

हल: दिए गए व्यंजक के पहले तीन पद $(a-b)^{2}$ बनाते हैं। चौथा पद एक वर्ग है। इसलिए व्यंजक को दो वर्गों के अंतर में घटाया जा सकता है।

इस प्रकार, $\quad a^{2}-2 a b+b^{2}-c^{2}=(a-b)^{2}-c^{2}$

(पहचान II लागू करने पर)

$ =[(a-b)-c)((a-b)+c)] $

$ =(a-b-c)(a-b+c) \quad \text{ (अभीष्ट गुणनफल) } $

ध्यान दीजिए, हमने एक के बाद एक दो पहचानें लागू कर आवश्यक गुणनफल प्राप्त किया।

उदाहरण 8 : गुणनफल के रूप में व्यक्त करें $m^{4}-256$

हल: हम देखते हैं

$ m^{4}=(m^{2})^{2} \text{ और } 256=(16)^{2} $

इस प्रकार, दिया गया व्यंजक पहचान III में फिट बैठता है।

इसलिए,

$ \begin{aligned} m^{4}-256 & =(m^{2})^{2}-(16)^{2} \ & =(m^{2}-16)(m^{2}+16) \quad[(\text{ पहचान (III) का प्रयोग कर }] \end{aligned} $

अब, $(m^{2}+16)$ को आगे गुणनफल के रूप में नहीं लिखा जा सकता, लेकिन $(m^{2}-16)$ को पहचान III के अनुसार पुनः गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

इसलिए,

$ \begin{aligned} m^{2}-16 & =m^{2}-4^{2} \ & =(m-4)(m+4) \ m^{4}-256 & =(m-4)(m+4)(m^{2}+16) \end{aligned} $

12.2.4 $(x+a)(x+b)$ रूप के गुणनखंड

अब हम चर्चा करते हैं कि एक चर वाले व्यंजकों, जैसे $x^{2}+5 x+6$, $y^{2}-7 y+12, z^{2}-4 z-12,3 m^{2}+9 m+6$, आदि को कैसे गुणनफल के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। इन व्यंजकों पर ध्यान दीजिए, ये $(a+b)^{2}$ या $(a-b)^{2}$ के प्रकार के नहीं हैं, अर्थात् ये पूर्ण वर्ग नहीं हैं। उदाहरण के लिए, $x^{2}+5 x+6$ में पद 6 पूर्ण वर्ग नहीं है। ये व्यंजक स्पष्ट रूप से $(a^{2}-b^{2})$ प्रकार के भी नहीं हैं।

ये, हालांकि, $x^{2}+(a+b) x+a b$ प्रकार के प्रतीत होते हैं। इसलिए हम इन व्यंजकों को गुणनफल के रूप में व्यक्त करने के लिए पिछले अध्याय में अध्ययन की गई पहचान IV का प्रयास कर सकते हैं:

$$ \begin{equation*} (x+a)(x+b)=x^{2}+(a+b) x+a b \tag{IV} \end{equation*} $$

इसके लिए हमें $x$ के गुणांकों और अचर पद को देखना होगा। आइए देखें कि निम्न उदाहरण में यह कैसे किया जाता है।

उदाहरण 9 : $x^{2}+5 x+6$ का गुणनफल रूप ज्ञात कीजिए।

हल: यदि हम पहचान (IV) के दायें पक्ष की तुलना $x^{2}+5 x+6$ से करें, तो हम पाते हैं $a b=6$, और $a+b=5$। इससे, हमें $a$ और $b$ प्राप्त करने होंगे। गुणनखंड तब $(x+a)$ और $(x+b)$ होंगे।

यदि $a b=6$, इसका अर्थ है कि $a$ और $b$, 6 के गुणनखंड हैं। आइए प्रयास करें $a=6, b=1$। इन मानों के लिए $a+b=7$, और 5 नहीं, इसलिए यह चयन सही नहीं है।

आइए प्रयास करें $a=2, b=3$। इसके लिए $a+b=5$ बिल्कुल आवश्यकतानुसार है।

इस दिए गए व्यंजक का गुणनखंड रूप है $(x+2)(x+3)$।

सामान्यतः, $x^{2}+p x+q$ प्रकार के बीजीय व्यंजक का गुणनखंड करने के लिए हम $q$ (अर्थात् अचर पद) के दो गुणनखंड $a$ और $b$ इस प्रकार खोजते हैं कि

$ a b=q \quad \text{ और } \quad a+b=p $

तब, व्यंजक बन जाता है $\quad x^{2}+(a+b) x+a b$

या: $x^{2}+a x+b x+a b$

या: $x(x+a)+b(x+a)$

या: $(x+a)(x+b) \quad$ जो अभीष्ट गुणनखंड हैं।

उदाहरण 10 : $y^{2}-7 y+12$ के गुणनखंड ज्ञात कीजिए।

हल: हम देखते हैं $12=3 \times 4$ और $3+4=7$. इसलिए,

$ \begin{aligned} y^{2}-7 y+12 & =y^{2}-3 y-4 y+12 \\ & =y(y-3)-4(y-3)=(y-3)(y-4) \end{aligned} $

ध्यान दीजिए, इस बार हमने व्यंजक की तुलना सर्वसमिका (IV) से $a$ और $b$ को पहचानने के लिए नहीं की। पर्याप्त अभ्यास के बाद आपको दिए गए व्यंजकों की तुलस सर्वसमिकाओं में दिए व्यंजकों से करने की आवश्यकता नहीं पड़ेगी; बल्कि आप सीधे उपरोक्त विधि से कार्य कर सकेंगे।

उदाहरण 11 : $z^{2}-4 z-12$ के गुणनखंड प्राप्त कीजिए।

हल: यहाँ $a b=-12$; इसका अर्थ है $a$ और $b$ में से एक ऋणात्मक है। आगे, $a+b=-4$, इसका अर्थ है जिसका संख्यात्मक मान बड़ा है वह ऋणात्मक है। हम $a=-4, b=3$ आजमाते हैं; परंतु यह काम नहीं करेगा, क्योंकि $a+b=-1$ है। अगले संभावित मान हैं $a=-6, b=2$, ताकि $a+b=-4$ आवश्यकतानुसार हो।

अतः,

$ \begin{aligned} z^{2}-4 z-12 & =z^{2}-6 z+2 z-12 \\ & =z(z-6)+2(z-6) \\ & =(z-6)(z+2) \end{aligned} $

उदाहरण 12 : $3 m^{2}+9 m+6$ के गुणनखंड ज्ञात कीजिए।

हल: हम देखते हैं कि सभी पदों में 3 उभयनिष्ठ गुणनफल है।

इसलिए,

$$ \begin{align*} 3 m^{2}+9 m+6 & =3(m^{2}+3 m+2) \ m^{2}+3 m+2 & =m^{2}+m+2 m+2 \ & =m(m+1)+2(m+1) \ & =(m+1)(m+2) \end{align*} $$

अब,

इसलिए,

$ 3 m^{2}+9 m+6=3(m+1)(m+2) $

प्रश्नावली 12.2

1. निम्नलिखित व्यंजकों का गुणनफल खंडों में कीजिए।

(i) $a^{2}+8 a+16$ $\quad$ (ii) $p^{2}-10 p+25$ $\quad$ (iii) $25 m^{2}+30 m+9$

(iv) $49 y^{2}+84 y z+36 z^{2}$ $\quad$ (v) $4 x^{2}-8 x+4$ $\quad$ (vi) $121 b^{2}-88 b c+16 c^{2}$

(vii) $(l+m)^{2}-4 l m$ $\quad$ (संकेत: $(l+m)^{2}$ को पहले विस्तार से लिखिए) $\quad$ (viii) $a^{4}+2 a^{2} b^{2}+b^{4}$

2. गुणनफल खंडों में कीजिए।

(i) $4 p^{2}-9 q^{2}$ $\quad$ (ii) $63 a^{2}-112 b^{2}$ $\quad$ (iii) $49 x^{2}-36$

(iv) $16 x^{5}-144 x^{3}$ $\quad$ (v) $(l+m)^{2}-(l-m)^{2}$ $\quad$ (vi) $9 x^{2} y^{2}-16$

(vii) $(x^{2}-2 x y+y^{2})-z^{2}$ $\quad$ (viii) $25 a^{2}-4 b^{2}+28 b c-49 c^{2}$

3. व्यंजकों का गुणनफल खंडों में कीजिए।

(i) $a x^{2}+b x$ $\quad$ (ii) $7 p^{2}+21 q^{2}$ $\quad$ (iii) $2 x^{3}+2 x y^{2}+2 x z^{2}$

(iv) $a m^{2}+b m^{2}+b n^{2}+a n^{2}$ $\quad$ (v) $(l m+l)+m+1$ $\quad$ (vi) $y(y+z)+9(y+z)$

(vii) $5 y^{2}-20 y-8 z+2 y z$ $\quad$ (viii) $10 a b+4 a+5 b+2$ $\quad$ (ix) $6 x y-4 y+6-9 x$

4. गुणनफल खंडों में कीजिए।

(i) $a^{4}-b^{4}$ $\quad$ (iv) $x^{4}-(x-z)^{4}$ $\quad$ (ii) $p^{4}-81$

(v) $a^{4}-2 a^{2} b^{2}+b^{4}$ $\quad$ (iii) $x^{4}-(y+z)^{4}$

5. निम्नलिखित व्यंजकों का गुणनफल खंडों में कीजिए।

(i) (p^{2}+6 p+8) (\quad) (ii) (q^{2}-10 q+21) (\quad) (iii) (p^{2}+6 p-16)

12.3 बीजीय व्यंजकों का विभाजन

हमने सीखा है कि बीजीय व्यंजकों को कैसे जोड़ा और घटाया जाता है। हम यह भी जानते हैं कि दो व्यंजकों को कैसे गुणा किया जाता है। हालांकि, हमने एक बीजीय व्यंजक को दूसरे व्यंजक से विभाजित करना नहीं देखा है। यही वह है जिसे हम इस खंड में करना चाहते हैं।

हम याद करते हैं कि विभाजन गुणन का व्युत्क्रम संक्रिया है। इस प्रकार, (7 \times 8=56) देता है (56 \div 8=7) या (56 \div 7=8)।

हम इसी प्रकार बीजीय व्यंजकों के विभाजन का अनुसरण कर सकते हैं। उदाहरण के लिए,

(i)

[ \begin{aligned} 2 x \times 3 x^{2} & =6 x^{3} \ 6 x^{3} \div 2 x & =3 x^{2} \ 6 x^{3} \div 3 x^{2} & =2 x \end{aligned} ]

इसलिए,

और साथ ही,

(ii)

[ 5 x(x+4)=5 x^{2}+20 x ]

इसलिए, ((5 x^{2}+20 x) \div 5 x=x+4)

और साथ ही

[ (5 x^{2}+20 x) \div(x+4)=5 x ]

अब हम इस बात पर ध्यान से नज़र डालेंगे कि एक व्यंजक को दूसरे व्यंजक से विभाजित कैसे किया जा सकता है। शुरुआत के लिए हम एक एकपदी को दूसरे एकपदी से विभाजित करने पर विचार करेंगे।

12.3.1 एक एकपदी को दूसरे एकपदी से विभाजित करना

(6 x^{3} \div 2 x) पर विचार करें

हम (2 x) और (6 x^{3}) को अपरिवर्तनीय गुणनफल रूप में लिख सकते हैं,

[ \begin{aligned} 2 x & =2 \times x \ 6 x^{3} & =2 \times 3 \times x \times x \times x \end{aligned} ]

अब हम (6 x^{3}) के गुणनफलों को (2 x) को अलग करने के लिए समूहित करते हैं,

इसलिए,

[ 6 x^{3}=2 \times x \times(3 \times x \times x)=(2 x) \times(3 x^{2}) ]

[ 6 x^{3} \div 2 x=3 x^{2} ]

सामान्य गुणनखंडों की रद्दीकरण को दर्शाने का एक संक्षिप्त तरीका वैसा ही है जैसा हम संख्याओं की भाग में करते हैं:

इसी प्रकार,

$ \begin{aligned} 77 \div 7=\frac{77}{7} & =\frac{7 \times 11}{7}=11 \ 6 x^{3} \div 2 x & =\frac{6 x^{3}}{2 x} \ & =\frac{2 \times 3 \times x \times x \times x}{2 \times x}=3 \times x \times x=3 x^{2} \end{aligned} $

उदाहरण 13 : निम्नलिखित भाग करें। (i) $-20 x^{4} \div 10 x^{2}$ (ii) $7 x^{2} y^{2} z^{2} \div 14 x y z$

हल:

(i) $-20 x^{4}=-2 \times 2 \times 5 \times x \times x \times x \times x$

$10 x^{2}=2 \times 5 \times x \times x$

इसलिए, $\quad(-20 x^{4}) \div 10 x^{2}=\frac{-2 \times 2 \times 5 \times x \times x \times x \times x}{2 \times 5 \times x \times x}=-2 \times x \times x=-2 x^{2}$

(ii) $7 x^{2} y^{2} z^{2} \div 14 x y z$

$ \begin{aligned} & =\frac{7 \times x \times x \times y \times y \times z \times z}{2 \times 7 \times x \times y \times z} \ & =\frac{x \times y \times z}{2}=\frac{1}{2} x y z \end{aligned} $

इन्हें आज़माइए

भाग करें। (i) $24 x y^{2} z^{3}$ by $6 y z^{2}$ (ii) $63 a^{2} b^{4} c^{6}$ by $7 a^{2} b^{2} c^{3}$

12.3.2 एक बहुपद का एक एकपद से भाग

आइए त्रिपद $4 y^{3}+5 y^{2}+6 y$ के एकपद $2 y$ से भाग पर विचार करें।

$ 4 y^{3}+5 y^{2}+6 y=(2 \times 2 \times y \times y \times y)+(5 \times y \times y)+(2 \times 3 \times y) $

(यहाँ हमने बहुपद के प्रत्येक पद को गुणनफल के रूप में व्यक्त किया है) हम पाते हैं कि प्रत्येक पद में $2 x y$ उभयनिष्ठ है। इसलिए, प्रत्येक पद से $2 x y$ को अलग करने पर हमें प्राप्त होता है

$ \begin{aligned} 4 y^{3}+5 y^{2}+6 y & =2 \times y \times(2 \times y \times y)+2 \times y \times(\frac{5}{2} \times y)+2 \times y \times 3 \ & =2 y(2 y^{2})+2 y(\frac{5}{2} y)+2 y(3) \ & =2 y(2 y^{2}+\frac{5}{2} y+3) \text{ (उभयनिष्ठ गुणनफल } 2 y \text{ को अलग से दिखाया गया है।} \end{aligned} $

इसलिए, $(4 y^{3}+5 y^{2}+6 y) \div 2 y$

$ =\frac{4 y^{3}+5 y^{2}+6 y}{2 y}=\frac{2 y(2 y^{2}+\frac{5}{2} y+3)}{2 y}=2 y^{2}+\frac{5}{2} y+3 $

वैकल्पिक रूप से, हम त्रिपद के प्रत्येक पद को एकपद द्वारा रद्द करने की विधि का प्रयोग करके विभाजित कर सकते हैं।

$ \begin{aligned} (4 y^{3}+5 y^{2}+6 y) \div 2 y & =\frac{4 y^{3}+5 y^{2}+6 y}{2 y} \ & =\frac{4 y^{3}}{2 y}+\frac{5 y^{2}}{2 y}+\frac{6 y}{2 y}=2 y^{2}+\frac{5}{2} y+3 \end{aligned} $

$ \text{ वैकल्पिक रूप से, } \begin{aligned} 24(x^{2} y z+x y^{2} z+x y z^{2}) \div 8 x y z & =\frac{24 x^{2} y z}{8 x y z}+\frac{24 x y^{2} z}{8 x y z}+\frac{24 x y z^{2}}{8 x y z} \ & =3 x+3 y+3 z=3(x+y+z) \end{aligned} $

12.4 बीजीय व्यंजकों का विभाजन जारी (बहुपद $\div$ बहुपद)

• $(7 x^{2}+14 x) \div(x+2)$ पर विचार कीजिए

हम पहले $(7 x^{2}+14 x)$ का गुणनफल ज्ञात करेंगे ताकि इसे हर के साथ मिलान किया जा सके:

$\boxed{\text{क्या यहाँ अंश के पदों को हर के द्विपद से विभाजित करने से मदद मिलेगी?}}$

$ \begin{aligned} 7 x^{2}+14 x & =(7 \times x \times x)+(2 \times 7 \times x) \ & =7 \times x \times(x+2)=7 x(x+2) \ (7 x^{2}+14 x) \div(x+2) & =\frac{7 x^{2}+14 x}{x+2} \ & =\frac{7 x(x+2)}{x+2}=7 x \quad(\text{ कारक }(x+2) \text{ रद्द करने पर}) \end{aligned} $

उदाहरण 15 : $44(x^{4}-5 x^{3}-24 x^{2})$ को $11 x(x-8)$ से विभाजित कीजिए।

हल: $44(x^{4}-5 x^{3}-24 x^{2})$ का गुणनफल निकालने पर, हमें प्राप्त होता है

$ 44(x^{4}-5 x^{3}-24 x^{2})=2 \times 2 \times 11 \times x^{2}(x^{2}-5 x-24) $

(कोष्ठक से उभयनिष्ठ गुणनफल $x^{2}$ निकालने पर)

$ \begin{aligned} & =2 \times 2 \times 11 \times x^{2}(x^{2}-8 x+3 x-24) \ & =2 \times 2 \times 11 \times x^{2}[x(x-8)+3(x-8)] \ & =2 \times 2 \times 11 \times x^{2}(x+3)(x-8) \end{aligned} $

इसलिए, $44(x^{4}-5 x^{3}-24 x^{2}) \div 11 x(x-8)$

$ \begin{aligned} & =\frac{2 \times 2 \times 11 \times x \times x \times(x+3) \times(x-8)}{11 \times x \times(x-8)} \ & =2 \times 2 \times x(x+3)=4 x(x+3) \end{aligned} $

हम 11, $x$ और $(x-8)$ कारकों को अंश और हर दोनों में से रद्द कर देते हैं।

[समीकरण का प्रयोग करते हुए

$ .a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)] $

इस प्रकार,

$ z(5 z^{2}-80) \div 5 z(z+4)=\frac{5 z(z-4)(z+4)}{5 z(z+4)}=(z-4) $

अभ्यास 12.3

1. निम्नलिखित विभाजनों को कीजिए।

(i) $28 x^{4} \div 56 x$ $\quad$ (ii) $-36 y^{3} \div 9 y^{2}$ $\quad$ (iii) $66 p q^{2} r^{3} \div 11 q r^{2}$

(iv) $34 x^{3} y^{3} z^{3} \div 51 x y^{2} z^{3}$ $\quad$ (v) $12 a^{8} b^{8} \div(-6 a^{6} b^{4})$

2. दिए गए बहुपद को दिए गए एकपद से भाग दीजिए।

(i) $(5 x^{2}-6 x) \div 3 x$ $\quad$ (ii) $(3 y^{8}-4 y^{6}+5 y^{4}) \div y^{4}$ $\quad$ (iii) $8(x^{3} y^{2} z^{2}+x^{2} y^{3} z^{2}+x^{2} y^{2} z^{3}) \div 4 x^{2} y^{2} z^{2}$

(iv) $(x^{3}+2 x^{2}+3 x) \div 2 x$ $\quad$ (v) $(p^{3} q^{6}-p^{6} q^{3}) \div p^{3} q^{3}$

3. निम्नलिखित भागफल निकालिए।

(i) $(10 x-25) \div 5$ $\quad$ (ii) $(10 x-25) \div(2 x-5)$ $\quad$ (iii) $10 y(6 y+21) \div 5(2 y+7)$

(iv) $9 x^{2} y^{2}(3 z-24) \div 27 x y(z-8)$ $\quad$ (v) $96 a b c(3 a-12)(5 b-30) \div 144(a-4)(b-6)$

4. निर्देशानुसार भाग दीजिए।

(i) $5(2 x+1)(3 x+5) \div(2 x+1)$ $\quad$ (ii) $26 x y(x+5)(y-4) \div 13 x(y-4)$ $\quad$ (iii) $52 p q r(p+q)(q+r)(r+p) \div 104 p q(q+r)(r+p)$

(iv) $20(y+4)(y^{2}+5 y+3) \div 5(y+4)$ $\quad$ (v) $x(x+1)(x+2)(x+3) \div x(x+1)$

5. व्यंजकों का गुणनखंडन कीजिए और निर्देशानुसार भाग दीजिए।

(i) $(y^{2}+7 y+10) \div(y+5)$ $\quad$ (ii) $(m^{2}-14 m-32) \div(m+2)$ $\quad$ (iii) $(5 p^{2}-25 p+20) \div(p-1)$

(v) $5 p q(p^{2}-q^{2}) \div 2 p(p+q)$ $\quad$ (iv) $4 y z(z^{2}+6 z-16) \div 2 y(z+8)$ $\quad$ (vi) $12 x y(9 x^{2}-16 y^{2}) \div 4 x y(3 x+4 y)$

(vii) $39 y^{3}(50 y^{2}-98) \div 26 y^{2}(5 y+7)$

हमने क्या चर्चा की है?

1. जब हम किसी व्यंजक का गुणनखंडन करते हैं, तो हम उसे गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में लिखते हैं। ये गुणनखंड संख्याएँ, बीजीय चर या बीजीय व्यंजक हो सकते हैं।

2. एक अपरिमेय गुणनफल वह गुणनफल होता है जिसे आगे गुणनफलों के गुणनफल के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता।

3. किसी व्यंजक का गुणनफल निकालने की एक व्यवस्थित विधि उभयनिष्ठ गुणनफल विधि है। इसमें तीन चरण होते हैं: (i) व्यंजक के प्रत्येक पद को अपरिमेय गुणनफलों के गुणनफल के रूप में लिखें (ii) उभयनिष्ठ गुणनफलों की खोज करें और उन्हें अलग करें और (iii) प्रत्येक पद में शेष गुणनफलों को वितरण नियम के अनुसार संयोजित करें।

4. कभी-कभी, किसी दिए गए व्यंजक के सभी पदों में कोई उभयनिष्ठ गुणनफल नहीं होता; लेकिन पदों को इस प्रकार समूहीकृत किया जा सकता है कि प्रत्येक समूह के सभी पदों में एक उभयनिष्ठ गुणनफल हो। जब हम ऐसा करते हैं, तो सभी समूहों में एक उभयनिष्ठ गुणनफल उभरता है जो व्यंजक के अभीष्ट गुणनफलन की ओर ले जाता है। यह पुनःसमूहीकरण की विधि है।

5. पुनःसमूहीकरण द्वारा गुणनफलन में, हमें याद रखना चाहिए कि दिए गए व्यंजक में पदों के किसी भी पुनःसमूहीकरण (अर्थात् पुनःव्यवस्थापन) से गुणनफलन नहीं हो सकता। हमें व्यंजक का अवलोकन करना चाहिए और प्रयास और त्रुटि द्वारा वांछित पुनःसमूहीकरण निकालना चाहिए।

6. गुणनफलन के लिए कई व्यंजक इस रूप में होते हैं या इस रूप में लाए जा सकते हैं: $a^{2}+2 a b+b^{2}$, $a^{2}-2 a b+b^{2}, a^{2}-b^{2}$ और $x^{2}+(a+b)+a b$। इन व्यंजकों को सरलता से सर्वसमिकाएँ I, II, III और IV का प्रयोग करके गुणनफलित किया जा सकता है।

$ \begin{aligned} a^{2}+2 a b+b^{2} & =(a+b)^{2} \ a^{2}-2 a b+b^{2} & =(a-b)^{2} \ a^{2}-b^{2} & =(a+b)(a-b) \ x^{2}+(a+b) x+a b & =(x+a)(x+b) \end{aligned} $

7. उन व्यंजकों में जिनमें $(x+a)(x+b)$ प्रकार के गुणनखंड हों, याद रखें कि संख्यात्मक पद $ab$ देता है। इसके गुणनखंड, $a$ और $b$, इस प्रकार चुने जाने चाहिए कि उनका योग, चिन्हों को ध्यान में रखते हुए, $x$ का गुणांक हो।

8. हम जानते हैं कि संख्याओं के मामले में भाग गुणा का व्युत्क्रम होता है। यह विचार बीजगणितीय व्यंजकों के भाग पर भी लागू होता है।

9. जब हम किसी बहुपद को एक एकपदी से भाग करते हैं, तो हम या तो बहुपद के प्रत्येक पद को एकपदी से भाग करके या सामान्य गुणनखंड विधि से भाग कर सकते हैं।

10. जब हम किसी बहुपद को किसी अन्य बहुपद से भाग करते हैं, तो हम भाज्य बहुपद के प्रत्येक पद को भाजक बहुपद से भाग करके आगे नहीं बढ़ सकते। इसके बजाय, हम दोनों बहुपदों का गुणनफल निकालते हैं और उनके सामान्य गुणनखंडों को रद्द कर देते हैं।

11. इस अध्याय में जिन बीजगणितीय व्यंजकों के भाग का हमने अध्ययन किया है, उनमें हमारे पास भाज्य $=$ भाजक $\times$ भागफल होता है।

सामान्य रूप में, हालांकि, संबंध है

भाज्य $=$ भाजक $\times$ भागफल + शेष

इस प्रकार, हमने वर्तमान अध्याय में केवल उन भागों पर विचार किया है जिनमें शेष शून्य होता है।

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📖 अगले चरण

1. अभ्यास प्रश्न: अभ्यास परीक्षणों के साथ अपनी समझ का परीक्षण करें
2. अध्ययन सामग्री: व्यापक अध्ययन संसाधनों का अन्वेषण करें
3. पिछले प्रश्नपत्र: परीक्षा पत्रों की समीक्षा करें
4. दैनिक प्रश्नोत्तरी: आज का प्रश्नोत्तरी लें