अध्याय 13 ग्राफ़ का परिचय
13.1 परिचय
क्या आपने अखबारों, टेलीविज़न, पत्रिकाओं, पुस्तकों आदि में ग्राफ देखे हैं? ग्राफ का उद्देश्य संख्यात्मक तथ्यों को दृश्य रूप में दिखाना है ताकि उन्हें जल्दी, आसानी से और स्पष्ट रूप से समझा जा सके। इस प्रकार ग्राफ एकत्र किए गए डेटा की दृश्य प्रस्तुति होते हैं। डेटा को सारणी के रूप में भी प्रस्तुत किया जा सकता है; हालांकि ग्राफीय प्रस्तुति को समझना आसान होता है। यह विशेष रूप से तब सत्य है जब कोई प्रवृत्ति या तुलना दिखानी हो।
हम पहले ही कुछ प्रकार के ग्राफ देख चुके हैं। आइए हम उन्हें यहाँ शीघ्रता से याद करें।
13.1.1 एक रेखा ग्राफ
एक रेखा ग्राफ ऐसे डेटा को प्रदर्शित करता है जो समय की अवधि में लगातार बदलता रहता है।
जब रेनू बीमार पड़ी, तो उसके डॉक्टर ने उसके शरीर के तापमान का प्रत्येक चार घंटे पर रिकॉर्ड रखा। यह एक ग्राफ के रूप में था (जो कि आकृति 13.1 और आकृति 13.2 में दिखाया गया है)।
हम इसे “समय-तापमान ग्राफ” कह सकते हैं।
यह निम्नलिखित डेटा, जो सारणीबद्ध रूप में दिया गया है, की चित्रात्मक प्रस्तुति है।
| समय | 6 पूर्वाह्न | 10 पूर्वाह्न | 2 अपराह्न | 6 अपराह्न |
|---|---|---|---|---|
| तापमान $({ }^{\circ} \mathbf{C})$ | 37 | 40 | 38 | 35 |
क्षैतिज रेखा (जिसे सामान्यतः $x$-अक्ष कहा जाता है) उन समयों को दर्शाती है जिन पर तापमान रिकॉर्ड किए गए थे। ऊर्ध्वाधर रेखा (जिसे सामान्यतः $y$-अक्ष कहा जाता है) पर क्या अंकित है?
आकृति 13.1
प्रत्येक आँकड़े को वर्गाकार जाली पर एक बिंदु द्वारा दिखाया गया है।
समय $arrow$
आकृति 13.1
फिर बिंदुओं को रेखाखंडों से जोड़ा जाता है। परिणाम रेखा ग्राफ होता है।
यह ग्राफ आपको क्या-क्या बताता है? उदाहरण के लिए आप तापमान का प्रतिरूप देख सकते हैं; सुबह 10 बजे अधिक (देखें आकृति 13.3) और फिर शाम 6 बजे तक घटता जाता है। ध्यान दें कि सुबह 6 बजे से सुबह 10 बजे की अवधि में तापमान $3^{\circ} C(=40^{\circ} C-37^{\circ} C)$ बढ़ा।
सुबह 8 बजे तापमान का कोई अभिलेख नहीं था, फिर भी ग्राफ सुझाव देता है कि यह $37^{\circ} C$ से अधिक था (कैसे?)।
उदाहरण 1 : (“प्रदर्शन” पर एक ग्राफ)
दिया गया ग्राफ (आकृति 13.3) वर्ष 2007 में दस भिन्न-भिन्न मैचों में दो बल्लेबाजों A और B द्वारा प्रत्येक मैच में बनाए गए कुल रनों को दर्शाता है। ग्राफ का अध्ययन कीजिए और निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए।
(i) दोनों अक्षों पर कौन-सी सूचना दी गई है?
(ii) कौन-सी रेखा बल्लेबाज A द्वारा बनाए गए रनों को दर्शाती है?
(iii) क्या वर्ष 2007 में किसी मैच में उनके द्वारा बनाए गए रन समान थे? यदि हाँ, तो किस मैच में?
(iii) दोनों बल्लेबाजों में से कौन अधिक स्थिर है? आप इसे कैसे आंकते हैं?
हल:
(i) क्षैतिज अक्ष (या $x$-अक्ष) वर्ष 2007 के दौरान खेले गए मैचों को दर्शाता है। ऊध्र्वाधर अक्ष (या $y$-अक्ष) प्रत्येक मैच में बनाए गए कुल रनों को दिखाता है।
(ii) बिंदीदार रेखा बल्लेबाज A द्वारा बनाए गए रनों को दर्शाती है। (यह ग्राफ के शीर्ष पर पहले ही दर्शाया गया है)। (iii) चौथे मैच के दौरान, दोनों ने समान 60 रन बनाए। (यह उस बिंदु पर दर्शाया गया है जहाँ दोनों ग्राफ मिलते हैं)।
(iv) बल्लेबाज A के पास एक बड़ा “शिखर” है लेकिन कई गहरी “घाटियाँ” भी। वह निरंतर प्रतीत नहीं होता। B ने दूसरी ओर कभी भी 40 रन से कम कुल स्कोर नहीं बनाया, यद्यपि उसका उच्चतम स्कोर A के 115 की तुलना में केवल 100 है। साथ ही A ने दो मैचों में शून्य रन बनाए हैं और कुल 5 मैचों में उसने 40 से कम रन बनाए हैं। चूंकि A में बहुत उतार-चढ़ाव हैं, $B$ अधिक स्थिर और भरोसेमंद बल्लेबाज है।
उदाहरण 2 : दिया गया ग्राफ (आकृति 13.4) एक कार की विभिन्न समयों पर शहर P से दूरी को दर्शाता है जब वह शहर P से शहर Q की ओर यात्रा कर रही है, जो कि 350 किमी दूर हैं। ग्राफ का अध्ययन कीजिए और निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए:
(i) दोनों अक्षों पर क्या जानकारी दी गई है?
(ii) कार ने कहाँ से और कब अपनी यात्रा प्रारंभ की?
(iii) पहले घंटे में कार कितनी दूर गई?
आकृति 13.3
(iv) कार ने (i) दूसरे घंटे में (ii) तीसरे घंटे में कितनी दूरी तय की?
(v) क्या पहले तीन घंटों के दौरान गति समान रही? आपको यह कैसे पता चला?
(vi) क्या कार किसी स्थान पर कुछ समय के लिए रुकी? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
(vii) कार कब शहर Q पहुँची?
आकृति 13.4
हल:
(i) क्षैतिज $(x)$ अक्ष समय दिखाता है। ऊर्ध्वाधर $(y)$ अक्ष कार की शहर $P$ से दूरी दिखाता है।
(ii) कार सुबह 8 बजे शहर P से चली।
(iii) कार ने पहले घंटे में $50 km$ की दूरी तय की। [यह इस प्रकार देखा जा सकता है। सुबह 8 बजे यह शहर P से चली। सुबह 9 बजे यह 50वें km पर थी (ग्राफ से देखा गया)। इसलिए सुबह 8 बजे और 9 बजे के बीच एक घंटे के समय में कार ने $50 km$ की दूरी तय की]।
(iv) कार द्वारा तय की गई दूरी
(a) दूसरे घंटे (अर्थात् सुबह 9 बजे से सुबह $10 बजे)$ के दौरान $100 km,(150-50)$ है।
(b) तीसरे घंटे (अर्थात् सुबह $10 बजे$ से सुबह $11 बजे)$ के दौरान $50 km(200-150)$ है।
(v) प्रश्न (iii) और (iv) के उत्तरों से हम पाते हैं कि कार की चाल हर समय समान नहीं थी। (वास्तव में ग्राफ दिखाता है कि चाल कैसे बदली)।
(vi) हम पाते हैं कि कार शहर P से 200 km दूर 11 a.m. पर और 12 noon पर भी थी। इससे पता चलता है कि कार ने 11 a.m. से 12 noon के अंतराल में यात्रा नहीं की। इस अवधि के दौरान “यात्रा” को दर्शाने वाला क्षैतिज रेखाखंड इस तथ्य को स्पष्ट करता है।
(vii) कार शहर Q पर 2 p.m. पर पहुँची।
अभ्यास 13.1
1. निम्नलिखित ग्राफ एक अस्पताल में मरीज़ के शरीर का तापमान दिखाता है, जिसे हर घंटे दर्ज किया गया।
(a) 1 p.m. को मरीज़ का तापमान कितना था?
(b) मरीज़ का तापमान 38.5°C कब था?
समय $arrow$ (c) दी गई अवधि में मरीज़ का तापमान दो बार समान था। ये दो समय कौन-से थे?
(d) 1.30 p.m. पर तापमान कितना था? आपने अपना उत्तर कैसे निकाला?
(e) किन अवधियों में मरीज़ के तापमान में वृद्धि की प्रवृत्ति दिखी?
2. निम्नलिखित रेखा ग्राफ एक विनिर्माण कंपनी की वार्षिक बिक्री के आँकड़े दिखाता है।
(a) बिक्री कितनी थी (i) 2002 में (ii) 2006 में?
(b) बिक्री कितनी थी (i) 2003 में
(ii) 2005 में?
(c) 2002 और 2006 की बिक्री के बीच का अंतर निकालिए।
(d) किस वर्ष अपने पिछले वर्ष की तुलना में बिक्री में सबसे अधिक अंतर था?
3. वनस्पति विज्ञान में एक प्रयोग के लिए, दो अलग-अलग पौधे, पौधा $A$ और पौधा $B$ को समान प्रयोगशाला परिस्थितियों में उगाया गया। उनकी ऊँचाई को प्रत्येक सप्ताह के अंत में 3 सप्ताह तक मापा गया। परिणाम निम्नलिखित ग्राफ द्वारा दिखाए गए हैं।
(a) पौधा A की ऊँचाई कितनी थी (i) 2 सप्ताह के बाद (ii) 3 सप्ताह के बाद?
(b) पौधा B की ऊँचाई कितनी थी (i) 2 सप्ताह के बाद (ii) 3 सप्ताह के बाद?
(c) पौधा A ने तीसरे सप्ताह के दौरान कितनी वृद्धि की?
(d) पौधा B ने दूसरे सप्ताह के अंत से तीसरे सप्ताह के अंत तक कितनी वृद्धि की?
(e) किस सप्ताह के दौरान पौधा A ने सबसे अधिक वृद्धि की?
(f) किस सप्ताह के दौरान पौधा B ने सबसे कम वृद्धि की?
(g) क्या दोनों पौधों की ऊँचाई यहाँ दिखाए गए किसी सप्ताह के दौरान समान थी? निर्दिष्ट कीजिए।
4. निम्नलिखित ग्राफ एक सप्ताह के प्रत्येक दिन के लिए तापमान पूर्वानुमान और वास्तविक तापमान को दर्शाता है।
(a) किन दिनों पर पूर्वानुमानित तापमान वास्तविक तापमान के समान था?
(b) सप्ताह के दौरान अधिकतम पूर्वानुमानित तापमान क्या था?
(c) सप्ताह के दौरान न्यूनतम वास्तविक तापमान क्या था?
(d) किस दिन वास्तविक तापमान पूर्वानुमानित तापमान से सबसे अधिक भिन्न था?
5. नीचे दी गई सारणियों का उपयोग कर रेखीय आलेख बनाइए।
(a) एक पहाड़ी शहर में विभिन्न वर्षों में बर्फ गिरने के दिनों की संख्या।
| वर्ष | 2003 | 2004 | 2005 | 2006 |
|---|---|---|---|---|
| दिन | 8 | 10 | 5 | 12 |
(b) एक गाँव में विभिन्न वर्षों में पुरुषों और महिलाओं की जनसंख्या (हजारों में)।
| वर्ष | 2003 | 2004 | 2005 | 2006 | 2007 |
|---|---|---|---|---|---|
| पुरुषों की संख्या | 12 | 12.5 | 13 | 13.2 | 13.5 |
| महिलाओं की संख्या | 11.3 | 11.9 | 13 | 13.6 | 12.8 |
6. एक कूरियर-व्यक्ति एक कस्बे से पड़ोसी उपनगरीय क्षेत्र में एक व्यापारी को पार्सल देने के लिए साइकिल चलाता है। विभिन्न समयों पर कस्बे से उसकी दूरी निम्नलिखित आलेख द्वारा दर्शाई गई है।
(a) समय अक्ष के लिए कौन-सा मापक लिया गया है?
(b) यात्रा करने में व्यक्ति ने कितना समय लिया?
(c) व्यापारी का स्थान कस्बे से कितनी दूर है?
(d) क्या व्यक्ति ने रास्ते में रुकावट की? समझाइए।
(e) उसने किस अवधि के दौरान सबसे तेज़ साइकिल चलाई?
7. क्या निम्नलिखित में से कोई समय-तापमान ग्राफ हो सकता है? अपने उत्तर का औचित्य बताइए।
13.2 कुछ अनुप्रयोग
दैनंदिन जीवन में आपने देखा होगा कि जितना अधिक आप किसी सुविधा का उपयोग करते हैं, उतना ही अधिक आपको उसके लिए भुगतान करना पड़ता है। यदि अधिक बिजली खपत होती है, तो बिल अवश्य अधिक आएगा। यदि कम बिजली उपयोग में लाई जाती है, तो बिल आसानी से संभाला जा सकता है। यह एक ऐसा उदाहरण है जहाँ एक मात्रा दूसरे को प्रभावित करती है। बिजली के बिल की राशि उपयोग की गई बिजली की मात्रा पर निर्भर करती है। हम कहते हैं कि बिजली की मात्रा एक स्वतंत्र चर (या कभी-कभी नियंत्रण चर) है और बिजली के बिल की राशि आश्रित चर है। ऐसे चरों के बीच संबंध एक ग्राफ के माध्यम से दिखाया जा सकता है।
सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए
कार का पेट्रोल टैंक भरने के लिए आप जितने लीटर पेट्रोल खरीदते हैं, उससे यह तय होगा कि आपको कितनी राशि चुकानी पड़ेगी। यहाँ स्वतंत्र चर कौन-सा है? इसके बारे में सोचिए।
उदाहरण 3 : (मात्रा और लागत)
निम्नलिखित सारणी पेट्रोल की मात्रा और उसकी लागत देती है।
| पेट्रोल के लीटर की संख्या | 10 | 15 | 20 | 25 |
|---|---|---|---|---|
| पेट्रोल की लागत ₹ में | 500 | 750 | 1000 | 1250 |
डेटा दिखाने के लिए एक ग्राफ़ बनाएं।
हल: (i) आइए दोनों अक्षों पर एक उपयुक्त स्केल लें (आकृति 13.5)।
आकृति 13.5 (ii) क्षैतिज अक्ष पर लीटर की संख्या अंकित करें।
(iii) ऊर्ध्वाधर अक्ष पर पेट्रोल की लागत अंकित करें।
(iv) बिंदुओं को प्लॉट करें: $(10,500),(15,750),(20,1000),(25,1250)$।
(v) बिंदुओं को जोड़ें।
हम पाते हैं कि ग्राफ़ एक रेखा है। (यह एक रैखिक ग्राफ़ है)। यह ग्राफ़ मूल बिंदु से क्यों गुज़रता है? इसके बारे में सोचें।
यह ग्राफ़ हमें कुछ चीज़ों का अनुमान लगाने में मदद कर सकता है। मान लीजिए हम 12 लीटर पेट्रोल खरीदने के लिए आवश्यक राशि ज्ञात करना चाहते हैं। क्षैतिज अक्ष पर 12 का स्थान निर्धारित करें।
12 से गुज़रने वाली ऊर्ध्वाधर रेखा का अनुसरण करें जब तक आप ग्राफ़ पर $P$ (मान लीजिए) से न मिलें।
$P$ से एक क्षैतिज रेखा खींचें जो ऊर्ध्वाधर अक्ष से मिले। यह मिलन बिंदु उत्तर प्रदान करता है।
यह उस स्थिति का ग्राफ़ है जिसमें दो मात्राएँ सीधे परिवर्तन में हैं। (कैसे?)।
ऐसी स्थितियों में ग्राफ़ हमेशा रैखिक होंगे।
इसे आज़माएँ
उपरोक्त उदाहरण में, ग्राफ़ का उपयोग करके बताएँ कि ₹ 800 में कितना पेट्रोल खरीदा जा सकता है।
उदाहरण 4: (मूलधन और साधारण ब्याज)
एक बैंक वरिष्ठ नागरिकों की जमा राशि पर $10 %$ साधारण ब्याज (S.I.) देता है। जमा राशि और साधारण ब्याज के बीच संबंध को दर्शाने के लिए एक ग्राफ खींचें। अपने ग्राफ से ज्ञात कीजिए
(a) ₹ 250 के निवेश पर वार्षिक ब्याज।
(b) ₹ 70 वार्षिक साधारण ब्याज पाने के लिए आवश्यक निवेश।
हल:
| जमा राशि | एक वर्ष का साधारण ब्याज |
|---|---|
| $₹ 100$ | $₹ \frac{100 \times 1 \times 10}{100}=₹ 10$ |
| $₹ 200$ | $₹ \frac{200 \times 1 \times 10}{100}=₹ 20$ |
| $₹ 300$ | $₹ \frac{300 \times 1 \times 10}{100}=₹ 30$ |
| 500 | $₹ \frac{500 \times 1 \times 10}{100}=₹ 50$ |
| $₹ 1000$ | $₹ 100$ |
अनुसरण करने के चरण:
1. उन मात्राओं को ज्ञात करें जिन्हें जमा और साधारण ब्याज के रूप में प्लॉट किया जाना है।
2. यह तय करें कि $x$-अक्ष और $y$-अक्ष पर कौन-सी मात्राएँ ली जाएँगी।
3. एक स्केल चुनें।
4. बिंदुओं को प्लॉट करें।
5. बिंदुओं को जोड़ें।
हमें मानों की एक सारणी मिलती है।
| जमा (₹ में) | 100 | 200 | 300 | 500 | 1000 |
|---|---|---|---|---|---|
| वार्षिक साधारण ब्याज (₹ में) | 10 | 20 | 30 | 50 | 100 |
(i) स्केल : क्षैतिज अक्ष पर 1 इकाई $=₹ 100$; ऊर्ध्वाधर अक्ष पर 1 इकाई $=₹ 10$।
(ii) क्षैतिज अक्ष पर जमा को चिह्नित करें।
(iii) ऊर्ध्वाधर अक्ष पर साधारण ब्याज को चिह्नित करें।
(iv) बिंदुओं को प्लॉट करें : $(100,10),(200,20),(300,30),(500,50)$ आदि।
(v) बिंदुओं को जोड़ें। हमें एक रेखा ग्राफ मिलता है (आकृति 13.6)।
(a) क्षैतिज अक्ष पर ₹ 250 के अनुरूप, हमें ऊर्ध्वाधर अक्ष पर ब्याज ₹ 25 प्राप्त होता है।
इन्हें आज़माएँ
क्या उदाहरण 4, सीधे परिवर्तन का एक मामला है?
(b) ऊर्ध्वाधर अक्ष पर ₹ 70 के अनुरूप, हम क्षैतिज अक्ष पर योग ₹ 700 प्राप्त करते हैं।
आकृति 13.6
उदाहरण 5 : (समय और दूरी)
अजीत एक स्कूटर को लगातार 30 किमी/घंटा की गति से चला सकता है। इस स्थिति के लिए एक समय-दूरी ग्राफ खींचिए। इसका उपयोग करके ज्ञात कीजिए
(i) 75 किमी की सवारी करने में अजीत द्वारा लिया गया समय। (ii) 3½ घंटे में अजीत द्वारा तय की गई दूरी।
हल:
| सवारी के घंटे | तय की गई दूरी |
|---|---|
| 1 घंटा | 30 किमी |
| 2 घंटे | 2 × 30 किमी = 60 किमी |
| 3 घंटे | 3 × 30 किमी = 90 किमी |
| 4 घंटे | 4 × 30 किमी = 120 किमी और आगे भी। |
हमें मानों की एक सारणी मिलती है।
| समय (घंटों में) | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| तय की गई दूरी (किमी में) | 30 | 60 | 90 | 120 |
(i) स्केल: (आकृति 13.7)
क्षैतिज: 2 इकाई = 1 घंटा
ऊर्ध्वाधर: 1 इकाई = 10 किमी
(ii) क्षैतिज अक्ष पर समय अंकित कीजिए।
(iii) ऊर्ध्वाधर अक्ष पर दूरी अंकित कीजिए।
(iv) बिंदुओं को आलेखित कीजिए: (1,30), (2,60), (3,90), (4,120)।
आकृति 13.7
(v) बिंदुओं को मिलाएँ। हमें एक रेखीय ग्राफ प्राप्त होता है।
(a) ऊर्ध्वाधर अक्ष पर 75 km के अनुरूप, हमें क्षैतिज अक्ष पर समय 2.5 घंटे प्राप्त होता है। इस प्रकार 75 km की दूरी तय करने के लिए 2.5 घंटे आवश्यक हैं।
(b) क्षैतिज अक्ष पर 3½ घंटे के अनुरूप, ऊर्ध्वाधर अक्ष पर तय की गई दूरी 105 km है।
अभ्यास 13.2
1. निम्न मानों की सारणियों के लिए उपयुक्त पैमानों के साथ अक्षों पर ग्राफ खींचिए।
(a) सेब की लागत
| सेबों की संख्या | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| लागत (₹ में) | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 |
(b) एक कार द्वारा तय की गई दूरी
| समय (घंटों में) | 6 a.m. | 7 a.m. | 8 a.m. | 9 a.m. |
|---|---|---|---|---|
| दूरी (km में) | 40 | 80 | 120 | 160 |
(i) कार ने 7.30 a.m. से 8 a.m. की अवधि के दौरान कितनी दूरी तय की?
(ii) कार ने प्रारंभ होने के बाद कितने समय पर 100 km की दूरी तय की थी?
(c) एक वर्ष के लिए जमा पर ब्याज
| जमा (₹ में) | 1000 | 2000 | 3000 | 4000 | 5000 |
|---|---|---|---|---|---|
| साधारण ब्याज (₹ में) | 80 | 160 | 240 | 320 | 400 |
(i) क्या ग्राफ मूल बिंदु से होकर जाता है?
(ii) ग्राफ का उपयोग करके एक वर्ष के लिए ₹ 2500 पर ब्याज ज्ञात कीजिए।
(iii) ₹ 280 प्रति वर्ष ब्याज पाने के लिए कितनी राशि जमा करनी चाहिए?
2. निम्न के लिए एक ग्राफ खींचिए।
(i)
| वर्ग की भुजा (सेमी में) | 2 | 3 | 3.5 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|
| परिमाप (सेमी में) | 8 | 12 | 14 | 20 | 24 |
क्या यह एक रेखीय ग्राफ है? (ii)
| वर्ग की भुजा (सेमी में) | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|
| क्षेत्रफल ($\mathbf{cm}^{2}$ में) | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 |
क्या यह एक रेखीय ग्राफ है?
हमने क्या चर्चा की है?
1. आंकड़ों की ग्राफीय प्रस्तुति को समझना आसान होता है।
2. एक रेखा ग्राफ ऐसे आंकड़े प्रदर्शित करता है जो समय के साथ लगातार बदलते हैं।
3. एक रेखा ग्राफ जो पूरी तरह से अनbroken रेखा होती है, उसे रेखीय ग्राफ कहा जाता है।
4. ग्राफ शीट पर एक बिंदु को निर्धारित करने के लिए हमें $x$-निर्देशांक और $y$-निर्देशांक की आवश्यकता होती है।
5. आश्रित चर और स्वतंत्र चर के बीच संबंध को ग्राफ के माध्यम से दर्शाया जाता है।
BETA
