2.1 परिचय

पिछली कक्षाओं में आप कई बीजीय व्यंजकों और समीकरणों से मिल चुके हैं।

कुछ व्यंजकों के उदाहरण जिनसे हमने अब तक काम किया है, ये हैं:

$ 5 x, 2 x-3,3 x+y, 2 x y+5, x y z+x+y+z, x^{2}+1, y+y^{2} $

कुछ समीकरणों के उदाहरण हैं: $5 x=25,2 x-3=9,2 y+\frac{5}{2}=\frac{37}{2}, 6 z+10=-2$

आपको याद होगा कि समीकरणों में समानता (=) चिह्न होता है; यह व्यंजकों में नहीं होता।

इन दिए गए व्यंजकों में से कई में एक से अधिक चर होते हैं। उदाहरण के लिए, $2 x y+5$ में दो चर हैं। हालाँकि, जब हम समीकरण बनाते हैं तो हम केवल एक चर वाले व्यंजकों तक सीमित रहते हैं। इसके अतिरिक्त, वे व्यंजक जिनका उपयोग हम समीकरण बनाने में करते हैं, रैखिक होते हैं। इसका अर्थ है कि व्यंजक में उपस्थित चर की उच्चतम घात 1 होती है।

ये रैखिक व्यंजक हैं:

$ 2 x, 2 x+1,3 y-7,12-5 z, \frac{5}{4}(x-4)+10 $

ये रैखिक व्यंजक नहीं हैं:

$ x^{2}+1, y+y^{2}, 1+z+z^{2}+z^{3} \quad(\text{चूँकि चर की उच्चतम घात }>1) $

यहाँ हम केवल एक चर वाले रैखिक व्यंजकों वाले समीकरणों से निपटेंगे। ऐसे समीकरणों को एक चर वाले रैखिक समीकरण कहा जाता है। पिछली कक्षाओं में आपने जो सरल समीकरण पढ़े थे, वे सभी इसी प्रकार के थे।

आइए संक्षे में वह सब दोहरा लें जो हम जानते हैं:

(a) एक बीजीय समीकरण चरों वाली समानता होती है। इसमें समानता चिह्न होता है। समानता चिह्न के बाईं ओर का व्यंजक बायाँ पक्ष (LHS) कहलाता है। समानता चिह्न के दाईं ओर का व्यंजक दायाँ पक्ष (RHS) कहलाता है।

(b) एक समीकरण में LHS और RHS के व्यंजकों के मान बराबर होते हैं। यह केवल चर के कुछ निश्चित मानों के लिए सत्य होता है। ये मान समीकरण के हल होते हैं।

(c) समीकरण का हल कैसे खोजें?

हम मान लेते हैं कि समीकरण की दोनों ओर संतुलन है। हम समीकरण की दोनों ओर समान गणितीय संक्रियाएँ करते हैं, ताकि संतुलन बिगड़े नहीं। ऐसे कुछ चरण हल देते हैं। $x=5$ समीकरण

$2 x-3=7$ का हल है। $x=5$ के लिए,

LHS $=2 \times 5-3=7=$ RHS

दूसरी ओर $x=10$ समीकरण का हल नहीं है। $x=10$ के लिए, LHS $=2 \times 10-3=17$। यह RHS के बराबर नहीं है

2.2 चर दोनों ओर वाले समीकरणों को हल करना

एक समीकरण दो व्यंजकों के मानों की समानता होती है। समीकरण $2 x-3=7$ में, दो व्यंजक $2 x-3$ और 7 हैं। अधिकांश उदाहरणों में जिनसे हम अब तक मिले हैं, RHS केवल एक संख्या होती है। लेकिन यह हमेशा ऐसा नहीं होना चाहिए; दोनों ओर चर वाले व्यंजक हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, समीकरण $2 x-3=x+2$ में चर वाले व्यंजक दोनों ओर हैं; LHS पर व्यंजक $(2 x-3)$ है और RHS पर व्यंजक $(x+2)$ है।

• अब हम ऐसे समीकरणों को हल करने की विधि पर चर्चा करेंगे जिनमें चर दोनों पक्षों में व्यंजकों के रूप में होता है।

उदाहरण 1 : हल कीजिए $2 x-3=x+2$

हल: हमारे पास

$$ \begin{align*}2 x & =x+2+3 \\ \text{या } \hspace{10 mm} 2 x & =x+5 \\ \text{या } \hspace{10 mm} 2 x-x & =x+5-x \quad \text{ दोनों पक्षों से } x \text{ घटाने पर } \\ \text{या } \hspace{10 mm} x & =5 \tag{हल} \end{align*} $$

यहाँ हमने समीकरण के दोनों पक्षों से कोई संख्या (अचर) नहीं, बल्कि चर से संबंधित पद घटाया है। हम ऐसा कर सकते हैं क्योंकि चर भी संख्याएँ होती हैं। साथ ही, ध्यान दीजिए कि दोनों पक्षों से $x$ घटाना, $x$ को LHS में स्थानांतरित करने के समान है।

उदाहरण 2 : हल कीजिए $5 x+\frac{7}{2}=\frac{3}{2} x-14$

हल: समीकरण के दोनों पक्षों को 2 से गुणा कीजिए। हमें प्राप्त होता है

$ 2 \times(5 x+\frac{7}{2})=2 \times(\frac{3}{2} x-14) $

$ (2 \times 5 x)+(2 \times \frac{7}{2})=(2 \times \frac{3}{2} x)-(2 \times 14) $

या: $ \hspace{10 mm}10 x+7=3 x-28 $

या: $ \hspace{10 mm}10 x-3 x+7=-28 \quad(3 x \text{ को LHS में स्थानांतरित करने पर) } $

या: $ \hspace{10 mm}7 x+7=-28 $

$ \begin{aligned} \text{या }\hspace{10 mm}& 7 x=-28-7 \\ \text{या }\hspace{10 mm}& 7 x=-35 \end{aligned} $

या $\quad x=\frac{-35}{7}$

या $\quad x=-5 $

प्रश्नावली 2.1

निम्नलिखित समीकरणों को हल कीजिए और अपने परिणामों की जाँच कीजिए।

1. $3 x=2 x+18$

2. $5 t-3=3 t-5$

3. $5 x+9=5+3 x$

4. $4 z+3=6+2 z$

5. $2 x-1=14-x$

6. $8 x+4=3(x-1)+7$

7. $x=\frac{4}{5}(x+10)$

8. $\frac{2 x}{3}+1=\frac{7 x}{15}+3$

9. $2 y+\frac{5}{3}=\frac{26}{3}-y$

10. $3 m=5 m-\frac{8}{5}$

2.3 समीकरणों को सरल रूप में लाना

उदाहरण 16 : हल कीजिए $\frac{6 x+1}{3}+1=\frac{x-3}{6}$

हल: समीकरण के दोनों पक्षों को 6 से गुणा करने पर,

$\boxed{\text{6 क्यों? क्योंकि यह दिए गए हरों का सबसे छोटा गुणज (या ल.स.प.) है।}} $ या

$ \begin{gathered} & \frac{6(6 x+1)}{3}+6 \times 1 = \frac{6(x-3)}{6} \\ \text{या } & 2(6 x+1)+6 = x-3 \\ \end{gathered} $

$ \begin{gathered} \text{या } & 12 x+2+6 = x-3 \quad \text{ (कोष्ठक खोलने पर) } \\ \text{या } & 12 x+8 = x-3 \\ \text{या } & 12 x-x+8 = -3 \\ \text{या } & 11 x+8 = -3 \\ \text{या } & 11 x = -3-8 \\ \text{या } & 11 x = -11 \\ & x = -1 \quad \text{ (अभीष्ट हल) } \end{gathered} $

जाँच: $बायाँ पक्ष=\frac{6(-1)+1}{3}+1=\frac{-6+1}{3}+1=\frac{-5}{3}+\frac{3}{3}=\frac{-5+3}{3}=\frac{-2}{3}$

$ \begin{aligned} & \text{ दायाँ पक्ष }=\frac{(-1)-3}{6}=\frac{-4}{6}=\frac{-2}{3} \\ & \text{ बायाँ पक्ष }=\text{ दायाँ पक्ष. } \quad \text{ (जैसा अभीष्ट था) } \end{aligned} $

उदाहरण 17 : हल कीजिए $5 x-2(2 x-7)=2(3 x-1)+\frac{7}{2}$

हल: आइए कोष्ठक खोलें,

$ \begin{array}{ll} \text{ LHS }=5 x-4 x+14=x+14 \ RHS=6 x-2+\frac{7}{2}=6 x-\frac{4}{2}+\frac{7}{2}=6 x+\frac{3}{2} \ \text{ समीकरण है } & x+14=6 x+\frac{3}{2} \ \text{ या } & 14=6 x-x+\frac{3}{2} \ \text{ या } & 14=5 x+\frac{3}{2} \ & 14-\frac{3}{2}=5 x & (\text{स्थानांतरित करने पर } \frac{3}{2})\ & \frac{28-3}{2}=5 x \ & \frac{25}{2}=5 x \ & x=\frac{25}{2} \times \frac{1}{5}=\frac{5 \times 5}{2 \times 5}=\frac{5}{2} \end{array} $

इसलिए, अभीष्ट हल है $x=\frac{5}{2}$.

$ \begin{array}{|l|} \hline \text{क्या तुमने देखा कि हमने} \\ \text{दिए गए समीकरण के रूप को} \\ \text{कैसे सरल किया? यहाँ, हमें} \\ \text{समीकरण के दोनों पक्षों को} \\ \text{समीकरण के पदों के हरों के} \\ \text{ल.स.प. से गुणा करना पड़ा}\\ \hline \end{array}$

जाँच $:$ LHS $=5 \times \frac{5}{2}-2(\frac{5}{2} \times 2-7)$

$ \begin{aligned} & \quad=\frac{25}{2}-2(5-7)=\frac{25}{2}-2(-2)=\frac{25}{2}+4=\frac{25+8}{2}=\frac{33}{2} \ & \text{ RHS }=2(\frac{5}{2} \times 3-1)+\frac{7}{2}=2(\frac{15}{2}-\frac{2}{2})+\frac{7}{2}=\frac{2 \times 13}{2}+\frac{7}{2} \ &=\frac{26+7}{2}=\frac{33}{2}=\text{ LHS. (जैसा अभीष्ट था) } \end{aligned} $

$ \begin{array}{|l|} \hline \text{ध्यान दो, इस उदाहरण में हमने} \\ \text{समीकरण को एक सरल रूप में} \\ \text{लाया है कोष्ठक खोलकर और} \\ \text{समीकरण के दोनों पक्षों पर} \\ \text{समान पदों को संयोजित करके।}\\ \hline \end{array}$

व्यायाम 2.2

निम्नलिखित रैखिक समीकरणों को हल कीजिए।

1. $\frac{x}{2}-\frac{1}{5}=\frac{x}{3}+\frac{1}{4}$

2. $\frac{n}{2}-\frac{3 n}{4}+\frac{5 n}{6}=21$

3. $x+7-\frac{8 x}{3}=\frac{17}{6}-\frac{5 x}{2}$

4. $\frac{x-5}{3}=\frac{x-3}{5}$

5. $\frac{3 t-2}{4}-\frac{2 t+3}{3}=\frac{2}{3}-t$

6. $m-\frac{m-1}{2}=1-\frac{m-2}{3}$

निम्नलिखित रैखिक समीकरणों को सरल कीजिए और हल कीजिए।

7. $3(t-3)=5(2 t+1)$

8. $15(y-4)-2(y-9)+5(y+6)=0$

9. $3(5 z-7)-2(9 z-11)=4(8 z-13)-17$

10. $0.25(4 f-3)=0.05(10 f-9)$

हमने क्या चर्चा की है?

1. एक बीजगणितीय समीकरण चरों वाली समानता होती है। यह कहता है कि समानता चिह्न के एक ओर व्यंजक का मान दूसरी ओर व्यंजक के मान के बराबर होता है।

2. वे समीकरण जिन्हें हम कक्षा VI, VII और VIII में पढ़ते हैं, एक चर वाले रैखिक समीकरण होते हैं। ऐसे समीकरणों में, व्यंजक जो समीकरण बनाते हैं, में केवल एक चर होता है। इसके अतिरिक्त, समीकरण रैखिक होते हैं, अर्थात् समीकरण में आने वाले चर की उच्चतम घात 1 होती है।

3. एक समीकरण में दोनों ओर रैखिक व्यंजक हो सकते हैं। वे समीकरण जिन्हें हमने कक्षा VI और VII में पढ़ा था, समीकरण के एक ओर केवल एक संख्या होती थी।

4. जैसे संख्याएं, चरों को भी समीकरण की एक ओर से दूसरी ओर स्थानांतरित किया जा सकता है।

5. कभी-कभी, समीकरण बनाने वाले व्यंजकों को सरल करना पड़ता है इससे पहले कि हम उन्हें सामान्य विधियों से हल कर सकें। कुछ समीकरण शुरू में रैखिक भी नहीं हो सकते, लेकिन उन्हें समीकरण के दोनों पक्षों को एक उपयुक्त व्यंजक से गुणा करके रैखिक रूप में लाया जा सकता है।

6. रैखिक समीकरणों की उपयोगिता उनके विविध अनुप्रयोगों में है; संख्याओं, आयु, परिधि, मुद्रा नोटों के संयोजन आदि पर विभिन्न समस्याओं को रैखिक समीकरणों का उपयोग करके हल किया जा सकता है।