3.1 परिचय

आप जानते हैं कि कागज एक समतल सतह का मॉडल है। जब आप कागज से पेंसिल उठाए बिना कई बिंदुओं को जोड़ते हैं (और चित्र के किसी भी भाग को दोबारा खींचे बिना, सिवाय एकल बिंदुओं के), तो आपको एक समतल वक्र प्राप्त होता है।

3.1.1 उत्तल और अवतल बहुभुज

एक सरल बंद वक्र जो केवल रेखा खंडों से बना हो, बहुभुज कहलाता है।

वक्र जो बहुभुज हैं $\hspace{30 mm}$ वक्र जो बहुभुज नहीं हैं

यहाँ कुछ उत्तल बहुभुज और कुछ अवतल बहुभुज दिए गए हैं। (चित्र 3.1)

उत्तल बहुभुज $\hspace{40 mm}$ अवतल बहुभुज

क्या आप पा सकते हैं कि ये बहुभुज एक-दूसरे से किस प्रकार भिन्न हैं? उत्तल बहुभुजों के किसी विकर्ण का कोई भाग उनके बाहर नहीं होता, न ही कोई रेखाखंड जो किन्हीं दो भिन्न बिंदुओं को मिलाता है, बहुभुज के आंतरिक भाग में पूरी तरह से अंदर ही रहता है। क्या यह बात अवतल बहुभुजों के साथ सच है? दी गई आकृतियों का अध्ययन कीजिए। फिर अपने शब्दों में वर्णन करने का प्रयास कीजिए कि हम उत्तल बहुभुज से क्या तात्पर्य रखते हैं और अवतल बहुभुज से क्या तात्पर्य रखते हैं। प्रत्येक प्रकार की दो अस्पष्ट रूपरेखाएँ बनाइए।

इस कक्षा में हमारे कार्य में हम केवल उत्तल बहुभुजों से संबंधित रहेंगे।

3.1.2 नियमित और अनियमित बहुभुज

एक नियमित बहुभुज ‘समकोणीय’ और ‘समभुज’ दोनों होता है। उदाहरण के लिए, एक वर्ग की भुजाएँ समान लंबाई की और कोण समान माप के होते हैं। इसलिए यह एक नियमित बहुभुज है। एक आयत समकोणीय होता है परंतु समभुज नहीं। क्या एक आयत एक नियमित बहुभुज है? क्या एक समबाहु त्रिभुज एक नियमित बहुभुज है? क्यों?

नियमित बहुभुज $\hspace{40 mm}$ बहुभुज जो नियमित नहीं हैं

[नोट: $\wedge \neq$ या $\not$ का प्रयोग बराबर लंबाई वाले रेखाखंडों को दर्शाता है]।

क्या पिछली कक्षाओं में आपने किसी ऐसे चतुर्भुज का सामना किया है जो समभुज है लेकिन समकोणीय नहीं है? पिछली कक्षाओं में देखे गए चतुर्भुज आकृतियों को याद कीजिए—आयत, वर्ग, समचतुर्भुज आदि।

क्या कोई ऐसा त्रिभुज है जो समभुज है लेकिन समकोणीय नहीं है?

प्रश्नावली 3.1

1. यहाँ कुछ आकृतियाँ दी गई हैं।

(1)$\hspace{20 mm}$(2)$\hspace{20 mm}$(3)$\hspace{20 mm}$(4)

(5) $\hspace{20 mm}$ (6)$\hspace{20 mm}$(7)$\hspace{20 mm}$(8)

इनमें से प्रत्येक को निम्नलिखित के आधार पर वर्गीकृत कीजिए।

(a) सरल वक्र $\quad$ (b) सरल बंद वक्र $\quad$ (c) बहुभुज

(d) उत्तल बहुभुज $\quad$ (e) अवतल बहुभुज

2. नियमित बहुभुज क्या होता है?

निम्नलिखित नियमित बहुभुजों के नाम बताइए

(i) 3 भुजाएँ $\quad$ (ii) 4 भुजाएँ $\quad$ (iii) 6 भुजाएँ

3.2 किसी बहुभुज के बाह्य कोणों के मापों का योग

कई अवसरों पर बाह्य कोणों का ज्ञान आंतरिक कोणों और भुजाओं की प्रकृति को समझने में सहायक होता है।

इसे कीजिए

फर्श पर चाक की टुकड़े से एक बहुभुज बनाइए। (चित्र में एक पंचभुज ABCDE दिखाया गया है) (चित्र 3.2)।

हमें कोणों के कुल माप जानना है, अर्थात् m∠1 + m∠2 + m∠3 + m∠4 + m∠5। A से प्रारंभ कीजिए। $\overline{AB}$ के साथ चलिए। B पर पहुँचने पर आपको m∠1 के कोण से मुड़ना होगा, ताकि $\overline{BC}$ के साथ चल सकें। जब आप C पर पहुँचते हैं, तो $\overline{CD}$ के साथ चलने के लिए m∠2 के कोण से मुड़ना होता है। इसी प्रकार चलते रहिए, जब तक आप पुनः भुजा AB पर न लौट आएँ। वास्तव में आपने एक पूर्ण चक्कर लगा लिया है।

चित्र 3.2

इसलिए, m∠1 + m∠2 + m∠3 + m∠4 + m∠5 = 360°।

यह सत्य बहुभुज में भुजाओं की संख्या चाहे जो भी हो, लागू होता है।

अतः किसी भी बहुभुज के बाह्य कोणों के मापों का योग 360° होता है।

उदाहरण 1 : चित्र 3.3 में माप (x) ज्ञात कीजिए।

हल:

$ \begin{aligned}x+90^{\circ}+50^{\circ}+110^{\circ} & =360^{\circ} \quad( क्यों?) \\ x+250^{\circ} & =360^{\circ} \\ x & =110^{\circ}\end{aligned} $

इन्हें आज़माइए

एक नियमित षट्भुज चित्र 3.4 लीजिए।

1. इसके बाह्य कोणों (x, y, z, p, q, r) के मापों का योग क्या है?

2. क्या (x=y=z=p=q=r) है? क्यों?

3. प्रत्येक की माप क्या है?

(i) बाह्य कोण

(ii) आंतरिक कोण

4. इस गतिविधि को निम्नलिखित स्थितियों के लिए दोहराइए

(i) एक नियमित अष्टभुज

(ii) एक नियमित 20-भुज

चित्र 3.4

उदाहरण 2 : एक नियमित बहुभुज की भुजाओं की संख्या ज्ञात कीजिए जिसके प्रत्येक बाह्य कोण की माप (45^{\circ}) है।

हल सभी बाह्य कोणों की कुल माप (=360^{\circ})

प्रत्येक बाह्य कोण की माप (=45^{\circ})

इसलिए, बाह्य कोणों की संख्या (=\frac{360}{45}=8)

बहुभुज में 8 भुजाएँ हैं।

प्रश्नावली 3.2

1. निम्नलिखित आकृतियों में (x) ज्ञात कीजिए।

2. 9 भुजाओं वाले एक सम बहुभुज के प्रत्येक बाह्य कोण का माप ज्ञात कीजिए
(i) 9 भुजाएँ
(ii) 15 भुजाएँ

3. यदि किसी सम बहुभुज का एक बाह्य कोण 24° है, तो उसमें कितनी भुजाएँ हैं?

4. यदि किसी सम बहुभुज का प्रत्येक अंतःकोण 165° है, तो उसमें कितनी भुजाएँ हैं?

5. (a) क्या प्रत्येक बाह्य कोण 22° वाला कोई सम बहुभुज संभव है?

(b) क्या यह किसी सम बहुभुज का अंतःकोण हो सकता है? क्यों?

6. (a) किसी सम बहुभुज का न्यूनतम अंतःकोण कितना हो सकता है? क्यों?

(b) किसी सम बहुभुज का अधिकतम बाह्य कोण कितना हो सकता है?

3.3 चतुर्भुजों के प्रकार

चतुर्भुज की भुजाओं या कोणों की प्रकृति के आधार पर इसे विशेष नाम मिलते हैं।

3.3.1 समलंब चतुर्भुज

समलंब चतुर्भुज एक ऐसा चतुर्भुज होता है जिसकी एक युगल समानांतर भुजाएँ होती हैं।

ये ट्रैपेज़ियम हैं $\hspace{20 mm}$ ये ट्रैपेज़ियम नहीं हैं

उपरोक्त आकृतियों का अध्ययन करें और अपने मित्रों के साथ चर्चा करें कि इनमें से कुछ ट्रैपेज़ियम क्यों हैं जबकि कुछ नहीं हैं। (नोट: \to चिह्न समांतर रेखाओं को दर्शाते हैं)।

यह कीजिए

1. 3 cm, 4 cm, 5 cm भुजाओं वाले सर्वांगसम त्रिभुजों की समान कटिंग्स लीजिए। इन्हें दिखाए अनुसार व्यवस्थित कीजिए (चित्र 3.5)।

चित्र 3.5

आपको एक ट्रैपेज़ियम मिलता है। (जाँचिए!) यहाँ कौन-सी भुजाएँ समांतर हैं? क्या असमांतर भुजाओं के बराबर होने की आवश्यकता है?

आप इन्हीं त्रिभुजों का उपयोग करके दो और ट्रैपेज़ियम बना सकते हैं। उन्हें खोजिए और उनके आकारों पर चर्चा कीजिए।

2. अपने और अपने मित्र के इंस्ट्रुमेंट बॉक्स से चार सेट-स्क्वेयर लीजिए। इनमें से भिन्न संख्या में स्क्वेयरों को पास-पास रखकर भिन्न ट्रैपेज़ियम बनाइए।

यदि किसी ट्रैपेज़ियम की असमानांतर भुजाएँ समान लंबाई की हों, तो हम उसे समद्विबाहु ट्रैपेज़ियम कहते हैं। क्या आपको उपरोक्त किसी भी जाँच में समद्विबाहु ट्रैपेज़ियम मिला?

3.3.2 पतंग

पतंग एक विशेष प्रकार का चतुर्भुज होता है। प्रत्येक आकृति में समान चिह्नित भुजाएँ समान होती हैं। उदाहरण के लिए $AB=AD$ और $BC=CD$।

ये पतंग हैं $\hspace{30 mm}$ ये पतंग नहीं हैं

इन आकृतियों का अध्ययन करें और यह वर्णन करने का प्रयास करें कि पतंग क्या होता है। ध्यान दें कि

(i) पतंग में 4 भुजाएँ होती हैं (यह एक चतुर्भुज है)।

(ii) इसमें ठीक-ठीक दो भिन्न क्रमागत युग्म ऐसे होते हैं जिनकी भुजाएँ समान लंबाई की हों।

जाँच करें कि क्या वर्ग एक पतंग है।

इसे कीजिए

एक मोटी सफेद शीट लीजिए।

कागज़ को एक बार मोड़िए।

चित्र 3.6 में दिखाए अनुसार दो भिन्न लंबाई की रेखाखंड खींचिए।

रेखाखंडों के साथ काटिए और खोल दीजिए।

आपके पास पतंग का आकार है (चित्र 3.6)।

क्या पतंग में कोई रेखीय सममिति है?

आकृति 3.6

पतंग की दोनों विकर्णों को मोड़ो। सेट-स्क्वायर का उपयोग करके जाँचो कि क्या वे समकोण पर काटते हैं। क्या विकर्ण लंबाई में समान हैं?

कागज मोड़कर या मापकर सत्यापित करो कि क्या विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।

पतंग के एक कोण को उसके विपरीत कोण पर मोड़कर समान माप के कोणों की जाँच करो।

विकर्ण मोड़ों को देखो; क्या वे किसी विकर्ण को कोण समद्विभाजक बताते हैं?

अपने निष्कर्षों को दूसरों के साथ साझा करो और उन्हें सूचीबद्ध करो। इन परिणामों का सारांश इस अध्याय में कहीं और आपके संदर्भ के लिए दिया गया है।

दिखाओ कि (\triangle ABC) और (\triangle ADC) सर्वांगसम हैं। हम इससे क्या निष्कर्ष निकालते हैं?

आकृति 3.7

3.3.3 समांतर चतुर्भुज

समांतर चतुर्भुज एक चतुर्भुज है। जैसा नाम से स्पष्ट होता है, इसका संबंध समांतर रेखाओं से है।

$\overline{QP} | \overline{SR}$ $\overline{QS} | \overline{PR}$

ये समांतर चतुर्भुज हैं $\hspace{20 mm}$ ये समांतर चतुर्भुज नहीं हैं

इन आकृतियों का अध्ययन करें और अपने शब्दों में वर्णन करने का प्रयास करें कि हम समांतर चतुर्भुज से क्या अभिप्राय रखते हैं। अपनी प्रेक्षणों को अपने मित्रों के साथ साझा करें।

जाँचें कि क्या एक आयत भी समांतर चतुर्भुज होता है।

इसे करें

दो भिन्न चौड़ाई वाली आयताकार कार्डबोर्ड पट्टियाँ लें (चित्र 3.8)।

पट्टी 1 $\hspace{40 mm}$ पट्टी 2

एक पट्टी को क्षैतिज रखें और चित्र में दिखाए अनुसार इसकी किनारे के साथ रेखाएँ खींचें (चित्र 3.9)।

अब दूसरी पट्टी को झुकी हुई स्थिति में खींची गई रेखाओं के ऊपर रखें और इसका उपयोग करके दो और रेखाएँ खींचें जैसा दिखाया गया है (चित्र 3.10)।

चित्र 3.9

ये चार रेखाएँ एक चतुर्भुज को घेरती हैं। यह दो समानांतर रेखाओं के जोड़ों से बना है (चित्र 3.11)।

चित्र 3.10 $\hspace{40 mm}$ चित्र 3.11

यह एक समांतर चतुर्भुज है।

समांतर चतुर्भुज एक ऐसा चतुर्भुज होता है जिसकी विपरीत भुजाएँ समांतर होती हैं।

3.3.4 समांतर चतुर्भुज के तत्व

समांतर चतुर्भुज में चार भुजाएँ और चार कोण होते हैं। इनमें से कुछ समान होते हैं। इन तत्वों से जुड़े कुछ शब्द हैं जिन्हें आपको याद रखना होगा।

एक समांतर चतुर्भुज $ABCD$ दिया गया है (चित्र 3.12)।

चित्र 3.12

$\overline{AB}$ और $\overline{DC}$ विपरीत भुजाएँ हैं। $\overline{AD}$ और $\overline{BC}$ एक अन्य जोड़ी विपरीत भुजाओं की बनाते हैं।

$\angle A$ और $\angle C$ विपरीत कोणों की एक जोड़ी हैं; विपरीत कोणों की एक अन्य जोड़ी $\angle B$ और $\angle D$ होंगे।

$\overline{AB}$ और $\overline{BC}$ संलग्न भुजाएँ हैं। इसका अर्थ है, एक भुजा वहीं से प्रारंभ होती है जहाँ दूसरी समाप्त होती है। क्या $\overline{BC}$ और $\overline{CD}$ भी संलग्न भुजाएँ हैं? संलग्न भुजाओं की दो और जोड़ियाँ खोजने का प्रयास करें।

$\angle A$ और $\angle B$ संलग्न कोण हैं। वे एक ही भुजा के सिरों पर हैं। $\angle B$ और $\angle C$ भी संलग्न हैं। समांतर चतुर्भुज के संलग्न कोणों की अन्य जोड़ियाँ पहचानिए।

इसे करें

दो समरूप समांतर चतुर्भुजों, मान लीजिए $A B C D$ और $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ (चित्र 3.13) के कटआउट लीजिए।

यहाँ $\overline{AB}$ नाम के अतिरिक्त $\overline{A^{\prime} B^{\prime}}$ के समान है। इसी प्रकार अन्य संगत भुजाएँ भी समान हैं।

$\overline{A^{\prime} B^{\prime}}$ को $\overline{DC}$ के ऊपर रखें। क्या वे मेल खाते हैं? अब आप $\overline{AB}$ और $\overline{DC}$ की लंबाइयों के बारे में क्या कह सकते हैं?

इसी प्रकार $\overline{AD}$ और $\overline{BC}$ की लंबाइयों की जाँच करें। आपको क्या मिलता है?

आप $\overline{AB}$ और $\overline{DC}$ को माप कर भी इस परिणाम पर पहुँच सकते हैं।

गुण: समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं।

इन्हें आज़माएँ

दो समान 30°-60°-90° कोणों वाले सेट स्क्वेयर लें और उन्हें आसन्न रखकर चित्र 3.14 के अनुसार एक समांतर चतुर्भुज बनाएँ। क्या इससे आप उपरोक्त गुण को सत्यापित करने में मदद पाते हैं?

आप इस विचार को तार्किक तर्क द्वारा और भी मज़बूत कर सकते हैं।

एक समांतर चतुर्भुज ABCD लीजिए (चित्र 3.15)। कोई एक विकर्ण खींचिए, मान लीजिए $\overline{AC}$।

चित्र 3.15

चित्र 3.14

कोणों को देखें,

$ \angle 1=\angle 2 \quad \text{ और } \quad \angle 3=\angle 4 \text{ (क्यों?) } $

चूँकि त्रिभुजों ABC और ADC में, $\angle 1=\angle 2, \angle 3=\angle 4$

और $\overline{AC}$ उभयनिष्ठ है, इसलिए ASA सर्वांगसमता की शर्त से,

$\triangle ABC \cong \triangle CDA$ (ASA यहाँ कैसे प्रयुक्त हुआ है?)

इससे मिलता है

$ AB=DC \text{ और } BC=AD \text{। } $

उदाहरण 3 : समांतर चतुर्भुज PQRS की परिधि ज्ञात कीजिए (आकृति 3.16)।

हल समांतर चतुर्भुज में, विपरीत भुजाओं की लंबाई समान होती है।

इसलिए, $PQ=SR=12 सेमी$ और $QR=PS=7 सेमी$

अतः, परिधि $=PQ+QR+RS+SP$

$ =12 सेमी+7 सेमी+12 सेमी+7 सेमी=38 सेमी $

3.3.5 समांतर चतुर्भुज के कोण

आकृति 3.16

हमने समांतर चतुर्भुजों के संबंध में (विपरीत) भुजाओं की एक संपत्ति का अध्ययन किया। कोणों के बारे में हम क्या कह सकते हैं?

इसे कीजिए

मान लीजिए $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है (आकृति 3.17)। इसे ट्रेसिंग शीट पर प्रतिलिपि बनाइए। इस प्रतिलिपि का नाम $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ रखिए। $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ को $A B C D$ पर रखिए। इन्हें उस बिंदु पर साथ में पिन कीजिए जहाँ विकर्ण मिलते हैं। पारदर्शी शीट को $180^{\circ}$ घुमाइए। समांतर चतुर्भुज अभी भी मेल खाते हैं; लेकिन अब आप पाते हैं कि $A^{\prime}$ ठीक $C$ पर स्थित है और इसका विपरीत भी; इसी प्रकार $B^{\prime}$ $D$ पर स्थित है और इसका विपरीत भी।

चित्र 3.17

क्या यह आपको कोण A और C के माप के बारे में कुछ बताता है? कोण B और D के लिए भी यही जाँचिए। अपने निष्कर्ष लिखिए।

गुण: समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोणों की माप बराबर होती है।

इन्हें आज़माइए

दो समान 30°-60°-90° के सेट-स्क्वायर लीजिए और पहले की तरह एक समांतर चतुर्भुज बनाइए। क्या प्राप्त आकृति उपरोक्त गुण की पुष्टि करने में आपकी सहायता करती है?

आप इस विचार को तार्किक तर्कों से और भी सही ठहरा सकते हैं।

यदि (\overline{AC}) और (\overline{BD}) समांतर चतुर्भुज के विकर्ण हों (चित्र 3.18), तो आप पाते हैं कि

[ \angle 1=\angle 2 \quad \text{और} \quad \angle 3=\angle 4 \quad \text{(क्यों?)} ]

चित्र 3.18

(\triangle ABC) और (\triangle ADC) (चित्र 3.19) को अलग-अलग अध्ययन करने से आप यह देख पाएँगे कि ASA सर्वांगसमता की शर्त से,

[ \Delta ABC \cong \Delta CDA \text{ (कैसे?)} ]

आकृति 3.19

इससे पता चलता है कि $\angle B$ और $\angle D$ की माप समान है। इसी प्रकार आप $m \angle A=m \angle C$ प्राप्त कर सकते हैं।

वैकल्पिक रूप से, $\angle 1=\angle 2$ और $\angle 3=\angle 4$, हमारे पास है, $m \angle A=\angle 1+\angle 4=\angle 2+\angle C m \angle C$

उदाहरण 4 : आकृति 3.20 में, BEST एक समांतर चतुर्भुज है। $x, y$ और $z$ के मान ज्ञात कीजिए।

हल $S$, $B$ के विपरीत है।

इसलिए,

$ \begin{aligned} & x=100^{\circ}(\text{ विपरीत कोण गुणधर्म) } \\ & y=100^{\circ} \quad(\text{ कोण } \angle x \text{ के संगत कोण की माप }) \\ & z=80^{\circ} \quad(\text{ चूंकि } \angle y, \angle z \text{ एक रैखिक युग्म है) } \end{aligned} $

अब हम समांतर चतुर्भुज के संलग्न कोणों पर ध्यान देते हैं। समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में, (आकृति 3.21)।

$\angle A$ और $\angle D$ पूरक हैं चूंकि $\overline{DC} | \overline{AB}$ और तिर्यक रेखा $\overline{DA}$ के साथ, ये दोनों कोण आंतरिक विपरीत हैं।

$\angle A$ और $\angle B$ भी पूरक हैं। क्या आप बता सकते हैं ‘क्यों’?

आकृति 3.21

$\overline{AD} | \overline{BC}$ और $\overline{BA}$ एक अनुप्रस्थ रेखा है, जिससे $\angle A$ और $\angle B$ आंतरिक विपरीत कोण बनते हैं।

आकृति से दो और युगल सम्पूरक कोणों की पहचान कीजिए।

गुण: समांतर चतुर्भुज में संलग्न कोण सम्पूरक होते हैं।

उदाहरण 5 : एक समांतर चतुर्भुज RING में, (चित्र 3.22) यदि $m \angle R=70^{\circ}$ है, तो सभी अन्य कोण ज्ञात कीजिए।

हल दिया गया है $m \angle R=70^{\circ}$

तब:
$ m \angle N=70^{\circ} $

क्योंकि $\angle R$ और $\angle N$ समांतर चतुर्भुज के विपरीत कोण हैं।

चूँकि $\angle R$ और $\angle I$ सम्पूरक हैं,

$ m \angle I=180^{\circ}-70^{\circ}=110^{\circ} $

चित्र 3.22

साथ ही, $m \angle G=110^{\circ}$ क्योंकि $\angle G$, $\angle I$ का विपरीत कोण है

इस प्रकार, $m \angle R=m \angle N=70^{\circ}$ और $m \angle I=m \angle G=110^{\circ}$

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए

$m \angle R=m \angle N=70^{\circ}$ दिखाने के बाद, क्या आप किसी अन्य विधि से $m \angle I$ और $m \angle G$ ज्ञात कर सकते हैं?

3.3.6 समांतर चतुर्भुज के विकर्ण

समांतर चतुर्भुज के विकर्ण, सामान्यतः, समान लंबाई के नहीं होते हैं। (क्या आपने इसे अपनी पिछली गतिविधि में जाँचा था?) हालाँकि, समांतर चतुर्भुज के विकर्णों का एक रोचक गुण होता है।

इसे कीजिए

एक समांतर चतुर्भुज का कटआउट लीजिए, मान लीजिए, $ABCD$ (चित्र 3.23)। इसके विकर्ण $\overline{AC}$ और $\overline{DB}$ को $O$ पर मिलने दीजिए। चित्र $\mathbf{3 . 2 3}$

$\overline{AC}$ का मध्यबिंदु मोड़कर निकालिए, $C$ को $A$ पर रखते हुए। क्या मध्यबिंदु $O$ के समान है?

क्या यह दिखाता है कि विकर्ण $\overline{DB}$ विकर्ण $\overline{AC}$ को बिंदु $O$ पर समद्विभाजित करता है? इसे अपने दोस्तों के साथ चर्चा कीजिए। यह गतिविधि दोहराइए ताकि पता लग सके कि $\overline{DB}$ का मध्यबिंदु कहाँ हो सकता है।

गुण: समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं (अपने प्रतिच्छेदन बिंदु पर, निश्चित ही!)

इस गुण को तर्क देकर और औचित्य देना बहुत कठिन नहीं है। चित्र 3.24 से, ASA मानदंड लागू करते हुए, यह देखना आसान है कि

$\triangle AOB \cong \triangle COD$ (यहाँ ASA का उपयोग कैसे किया गया है?)

चित्र 3.24

इससे मिलता है $\quad AO=CO$ और $BO=DO$

उदाहरण 6: चित्र 3.25 में HELP एक समांतर चतुर्भुज है। (लंबाई सेंटीमीटर में है)। दिया गया है कि $OE=4$ और $HL$, PE से 5 अधिक है? $OH$ ज्ञात कीजिए।

हल: यदि $OE=4$ तो $OP$ भी 4 है (क्यों?)

इसलिए: $PE=8$,

इसलिए:
$HL=8+5=13$

अतः:
$OH=\frac{1}{2} \times 13=6.5(cms)$

(क्यों?)

आकृति 3.25

प्रश्नावली 3.3

1. एक समांतर चतुर्भुज $ABCD$ दिया गया है। प्रत्येक कथन को परिभाषा या गुणधर्म के साथ पूरा कीजिए।
(i) $AD=$
(ii) $\angle DCB=$
(iii) $OC=$
(iv) $m \angle DAB+m \angle CDA=$

2. निम्नलिखित समांतर चतुर्भुजों पर विचार कीजिए। अज्ञातों $x, y, z$ के मान ज्ञात कीजिए।

3. क्या एक चतुर्भुज $ABCD$ समांतर चतुर्भुज हो सकता है यदि (i) $\angle D+\angle B=180^{\circ}$ ? (ii) $AB=DC=8 cm, AD=4 cm$ और $BC=4.4 cm$ ? (iii) $\angle A=70^{\circ}$ और $\angle C=65^{\circ}$ ?

4. एक चतुर्भुज का एक असंतुलित चित्र बनाइए जो समांतर चतुर्भुज न हो लेकिन इसके ठीक-ठीक दो विपरीत कोण बराबर माप के हों।

5. एक समांतर चतुर्भुज के दो संलग्न कोणों की माप अनुपात में $3: 2$ हैं। समांतर चतुर्भुज के प्रत्येक कोण की माप ज्ञात कीजिए।

6. एक समांतर चतुर्भुज के दो संलग्न कोणों की माप समान है। समांतर चतुर्भुज के प्रत्येक कोण की माप ज्ञात कीजिए।

7. आकृति में दिखाया गया HOPE एक समांतर चतुर्भुज है। कोणों के माप $x, y$ और $z$ ज्ञात कीजिए। उन गुणधर्मों को लिखिए जिनका आपने उपयोग किया।

8. नीचे दी गई आकृतियाँ GUNS और RUNS समांतर चतुर्भुज हैं। $x$ और $y$ ज्ञात कीजिए। (लंबाई $cm$ में है)

9.

उपरोक्त आकृति में RISK और CLUE दोनों समांतर चतुर्भुज हैं। $x$ का मान ज्ञात कीजिए।

10. समझाइए कि यह आकृति एक समलंब चतुर्भुज कैसे है। इसकी कौन-सी दो भुजाएँ समांतर हैं? (आकृति 3.26)

11. आकृति 3.27 में $m \angle C$ ज्ञात कीजिए यदि $\overline{AB} | \overline{DC}$ है।

12. आकृति 3.28 में $\angle P$ और $\angle S$ का मान ज्ञात कीजिए यदि $\overline{SP} | \overline{RQ}$ है। (यदि आप $m \angle R$ ज्ञात कर लेते हैं, तो क्या $m \angle P$ ज्ञात करने के लिए एक से अधिक तरीके हैं?)

3.4 कुछ विशेष समांतर चतुर्भुज

3.4.1 समचतुर्भुज

हम एक समचतुर्भुज (जो, आप देखेंगे, एक समांतर चतुर्भुज है) को पतंग (जो समांतर चतुर्भुज नहीं है) के एक विशेष प्रकार के रूप में प्राप्त करते हैं।

यह कीजिए

पहले बनाई गई कागज़-कट पतंग को याद कीजिए।

पतंग-कट

रॉम्बस-कट

जब आपने $ABC$ के साथ काटा और खोला, तो आपको एक पतंग मिली। यहाँ लंबाइयाँ $AB$ और $BC$ भिन्न थीं। यदि आप $AB=BC$ खींचें, तो जो पतंग आप प्राप्त करते हैं उसे समचतुर्भुज कहा जाता है।

ध्यान दें कि समचतुर्भुज की सभी भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं; ऐसा पतंग के साथ नहीं होता।

एक समचतुर्भुज एक चतुर्भुज होता है जिसकी भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं।

चूँकि समचतुर्भुज की विपरीत भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं, यह एक समांतर चतुर्भुज भी है। इसलिए, एक समचतुर्भुज में समांतर चतुर्भुज और पतंग दोनों के सभी गुण होते हैं। इन्हें सूचीबद्ध करने का प्रयास करें। फिर आप अपनी सूची पुस्तक में कहीं और दी गई संक्षिप्त सूची से सत्यापित कर सकते हैं।

पतंग:

समचतुर्भुज: समचतुर्भुज का सबसे उपयोगी गुण इसके विकर्णों का होता है।

गुण: समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे के लंब समद्विभाजक होते हैं।

इसे करें

एक समचतुर्भुज की प्रति लें। कागज़ को मोड़कर जाँचें कि क्या प्रतिच्छेदन बिंदु प्रत्येक विकर्ण का मध्य-बिंदु है। आप एक सेट-स्क्वायर के कोने से यह भी देख सकते हैं कि क्या वे समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं।

यहाँ इस गुणधर्म को तार्किक चरणों से सिद्ध करने की रूपरेखा दी गई है।

$ABCD$ एक समचतुर्भुज है (चित्र 3.29)। इसलिए यह एक समांतर चतुर्भुज भी है।

चूँकि विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं, $OA=OC$ और $OB=OD$।

हमें दिखाना है कि $m \angle AOD=m \angle COD=90^{\circ}$

यह देखा जा सकता है कि SSS सर्वांगसमता मानदंड से

चित्र 3.29

$ \Delta AOD \cong \Delta COD $

इसलिए,

$ m \angle AOD=m \angle COD $

चूँकि $\angle AOD$ और $\angle COD$ एक रेखीय युग्म हैं,

$ m \angle AOD=m \angle COD=90^{\circ} $

चूँकि $AO=CO$ (क्यों?)

$ AD=CD \quad \text{ (क्यों?) } $

$OD=OD$

उदाहरण 7 :

RICE एक समचतुर्भुज है (चित्र 3.30)। $x, y, z$ ज्ञात कीजिए। अपने उत्तर का औचित्य बताइए।

हल:

$ \begin{aligned} & x=OE \\ & y=OR \\ & =OI \text{ (विकर्ण समद्विभाजित करते हैं) } \\ & =OC(\text{ विकर्ण समद्विभाजित करते हैं })=13 \text{ (सभी भुजाएँ बराबर हैं) } \\ & =5 \\ & =12 \end{aligned} $

आकृति 3.30

3.4.2 आयत

आयत एक समांतर चतुर्भुज है जिसके सभी कोण बराबर होते हैं (आकृति 3.31)।

इस परिभाषा का पूरा अर्थ क्या है? अपने मित्रों से चर्चा कीजिए।

यदि आयत समकोणीय होना है, तो प्रत्येक कोण का मान क्या हो सकता है?

आकृति 3.31

मान लीजिए प्रत्येक कोण का मान $x^{\circ}$ है।

तब: $ \begin{aligned} 4 x^{\circ} & =360^{\circ} \quad \text{ (क्यों) } ? \\ x^{\circ} & =90^{\circ} \end{aligned} $

इस प्रकार आयत का प्रत्येक कोण समकोण होता है।

अतः आयत एक समांतर चतुर्भुज है जिसमें प्रत्येक कोण समकोण होता है।

एक समांतर चतुर्भुज होने के नाते, आयत की विपरीत भुजाएँ बराबर लंबाई की होती हैं और इसके विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।

एक समांतर चतुर्भुज में, विकर्ण भिन्न लंबाई के हो सकते हैं। (इसकी जाँच कीजिए); लेकिन आश्चर्यजनक रूप से आयत (एक विशेष स्थिति होने के नाते) के विकर्ण बराबर लंबाई के होते हैं।

गुण: आयत के विकर्ण बराबर लंबाई के होते हैं।

आकृति 3.32

आकृति 3.33

आकृति 3.34