अध्याय 04 डेटा हैंडलिंग
4.1 सूचना की तलाश
आपके दैनंदिन जीवन में आप ऐसी सूचनाओं से रू-ब-रू होते होंगे, जैसे:
(a) किसी बल्लेबाज़ ने पिछले 10 टेस्ट मैचों में बनाए रन।
(b) किसी गेंदबाज़ ने पिछले 10 वनडे मैचों में लिए विकेटों की संख्या।
(c) आपकी कक्षा के विद्यार्थियों ने गणित की इकाई परीक्षा में प्राप्त किए अंक।
(d) आपके प्रत्येक मित्र ने पढ़ी गई कहानी पुस्तकों की संख्या आदि।
इन सभी स्थितियों में एकत्र की गई सूचना को आँकड़ा (डेटा) कहा जाता है। आँकड़ा सामान्यतः किसी ऐसी परिस्थिति के संदर्भ में एकत्र किया जाता है जिसे हम अध्ययन करना चाहते हैं। उदाहरण के लिए, एक शिक्षिका अपनी कक्षा के विद्यार्थियों की औसत ऊँचाई जानना चाह सकती है। यह जानने के लिए वह सभी विद्यार्थियों की ऊँचाइयाँ लिखेगी, आँकड़ों को एक व्यवस्थित तरीके से संगठित करेगी और फिर उसकी व्याख्या करेगी।
कभी-कभी आँकड़ों को चित्रात्मक रूप में प्रस्तुत किया जाता है ताकि यह स्पष्ट हो सके कि वे क्या दर्शाते हैं। क्या आपको पिछली कक्षाओं में सीखे गए विभिन्न प्रकार के आलेख (ग्राफ़) याद हैं?
1. चित्रलेख (पिक्टोग्राफ़): प्रतीकों का प्रयोग कर आँकड़ों की चित्रात्मक प्रस्तुति।
(i) जुलाई माह में कितनी कारों का उत्पादन हुआ?
(ii) किस माह में सर्वाधिक कारों का उत्पादन हुआ?
2. एक दंड आलेख: समान चौड़ाई की पट्टियों का उपयोग कर सूचना का प्रदर्शन, उनकी ऊँचाइयाँ क्रमशः मानों के अनुपात में होती हैं।
(i) दंड आलेख द्वारा दी गई सूचना क्या है?
(ii) किस वर्ष विद्यार्थियों की संख्या में अधिकतम वृद्धि हुई है?
(iii) किस वर्ष विद्यार्थियों की संख्या अधिकतम है?
(iv) सत्य या असत्य बताइए:
‘वर्ष 2005-06 के दौरान विद्यार्थियों की संख्या 2003-04 की दोगुनी है।’
3. द्वि-दंड आलेख: एक दंड आलेख जो एक साथ दो डेटा समूह दिखाता है। यह डेटा की तुलना के लिए उपयोगी है।
(i) द्वि-दंड आलेख द्वारा दी गई सूचना क्या है?
(ii) किस विषय में प्रदर्शन सबसे अधिक सुधरा है?
(iii) किस विषय में प्रदर्शन बिगड़ा है?
(iv) किस विषय में प्रदर्शन समान है?
सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए
यदि हम दंड आलेख की किसी भी पट्टी की स्थिति बदल दें, तो क्या इससे दी जा रही सूचना बदल जाएगी? क्यों?
इन्हें आज़माइए
दी गई सूचना को दर्शाने के लिए उपयुक्त आलेख बनाइए।
| महीना | जुलाई | अगस्त | सितंबर | अक्टूबर | नवंबर | दिसंबर |
|---|---|---|---|---|---|---|
| बेची गई घड़ियों की संख्या |
1000 | 1500 | 1500 | 2000 | 2500 | 1500 |
2.
| बच्चे जो पसंद करते हैं | स्कूल A | स्कूल B | स्कूल C |
|---|---|---|---|
| पैदल चलना | 40 | 55 | 15 |
| साइकिल चलाना | 45 | 25 | 35 |
3. 8 शीर्ष क्रिकेट टीमों द्वारा ODI में जीत प्रतिशत।
| टीमें | चैंपियंस ट्रॉफी से विश्व कप-06 तक |
07 में अंतिम 10 ODI |
|---|---|---|
| साउथ अफ्रीका | $75 %$ | $78 %$ |
| ऑस्ट्रेलिया | $61 %$ | $40 %$ |
| श्री लंका | $54 %$ | $38 %$ |
| न्यूज़ीलैंड | $47 %$ | $50 %$ |
| इंग्लैंड | $46 %$ | $50 %$ |
| पाकिस्तान | $45 %$ | $44 %$ |
| वेस्ट इंडीज़ | $44 %$ | $30 %$ |
| भारत | $43 %$ | $56 %$ |
4.2 वृत्त ग्राफ या पाई चार्ट
क्या आपने कभी आँकड़ों को वृत्ताकार रूप में प्रस्तुत हुआ देखा है जैसा कि दिखाया गया है (चित्र 4.1)?
एक बच्चे द्वारा दिनभर में बिताया गया समय एक कस्बे में लोगों की आयु वर्ग
(i) चित्र 4.1
(ii)
इन्हें वृत्त ग्राफ कहा जाता है। एक वृत्त ग्राफ पूरे और उसके भागों के बीच संबंध दिखाता है। यहाँ, पूरे वृत्त को सेक्टरों में बाँटा गया है। प्रत्येक सेक्टर का आकार उस गतिविधि या सूचना के अनुपात में होता है जिसे वह दर्शाता है।
उदाहरण के लिए, ऊपर दिए गए ग्राफ में, नींद में बिताए गए घंटों के लिए सेक्टर का अनुपात
$ =\frac{\text{ नींद के घंटों की संख्या }}{\text{ पूरा दिन }}=\frac{8 \text{ घंटे }}{24 \text{ घंटे }}=\frac{1}{3} $
इसलिए इस सेक्टर को वृत्त का $\frac{1}{3}$ भाग के रूप में खींचा गया है। इसी तरह, स्कूल में बिताए गए घंटों के लिए सेक्टर का अनुपात $=\frac{\text{ स्कूल के घंटों की संख्या }}{\text{ पूरा दिन }}=\frac{6 \text{ घंटे }}{24 \text{ घंटे }}=\frac{1}{4}$
इसलिए इस सेक्टर को वृत्त का $\frac{1}{4}$ भाग के रूप में खींचा गया है। इसी तरह, अन्य सेक्टरों का आकार भी निकाला जा सकता है।
सभी गतिविधियों के लिए भिन्नों को जोड़ें। क्या आपको कुल एक प्राप्त होता है?
एक वृत्त ग्राफ को पाई चार्ट भी कहा जाता है।
इन्हें आजमाइए
1. निम्नलिखित प्रत्येक पाई चार्ट (चित्र 4.2) आपको आपकी कक्षा के बारे में एक भिन्न सूचना देता है। प्रत्येक सूचना के लिए वृत्त का भिन्न भाग ज्ञात कीजिए।
(i)
(ii)
(iii)
लड़कियाँ या लड़के $\hspace{13 mm}$ स्कूल आने के साधन $\hspace{10 mm}$ गणित पसंद/नापसंद
चित्र 4.2
2. दिए गए पाई चार्ट (चित्र 4.3) के आधार पर निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए।
(i) किस प्रकार के कार्यक्रम सबसे अधिक देखे जाते हैं?
(ii) किन दो प्रकार के कार्यक्रमों के दर्शकों की संख्या खेल चैनल देखने वालों के बराबर है?
4.2.1 पाई चार्ट बनाना
एक स्कूल के विद्यार्थियों के लिए आइसक्रीम के पसंदीदा स्वाद निम्नलिखित प्रतिशतों के रूप में दिए गए हैं।
दर्शक टीवी पर विभिन्न प्रकार के चैनल देख रहे हैं।
चित्र 4.3
| स्वाद | छात्रों का प्रतिशत स्वाद पसंद करने वाले |
|---|---|
| चॉकलेट | $50 %$ |
| वेनिला | $25 %$ |
| अन्य स्वाद | $25 %$ |
आइए इस डेटा को एक पाई चार्ट में दर्शाएं।
एक वृत्त के केंद्र पर कुल कोण $360^{\circ}$ होता है। सectors का केंद्रीय कोण $360^{\circ}$ का एक अंश होगा। हम sectors के केंद्रीय कोण ज्ञात करने के लिए एक सारणी बनाते हैं (सारणी 4.1)।
सारणी 4.1
| स्वाद | छात्रों का प्रतिशत स्वाद पसंद करने वाले |
भिन्न के रूप में | $\mathbf{3 6 0}^{\circ}$ का अंश |
|---|---|---|---|
| चॉकलेट | $50 %$ | $\frac{50}{100}=\frac{1}{2}$ | $360^{\circ}$ का $\frac{1}{2}=180^{\circ}$ |
| वेनिला | $25 %$ | $\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$ | $360^{\circ}$ का $\frac{1}{4}=90^{\circ}$ |
| अन्य स्वाद | $25 %$ | $\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$ | $360^{\circ}$ का $\frac{1}{4}=90^{\circ}$ |
1. किसी भी सुविधाजनक त्रिज्या के साथ एक वृत्त खींचें। इसका केंद्र $(O)$ और एक त्रिज्या $(OA)$ चिह्नित करें।
2. चॉकलेट के लिए sector का कोण $180^{\circ}$ है। प्रोट्रैक्टर का उपयोग कर $\angle AOB=180^{\circ}$ खींचें।
3. शेष सेक्टरों को चिह्नित करना जारी रखें।
उदाहरण 1 : संलग्न पाई चार्ट (चित्र 4.4) एक परिवार के एक महीने के विभिन्न मदों पर व्यय और बचत (प्रतिशत में) को दर्शाता है।
(i) किस मद पर व्यय अधिकतम था?
(ii) किस मद पर व्यय परिवार की कुल बचत के बराबर है?
(iii) यदि परिवार की मासिक बचत ₹ 3000 है, तो कपड़ों पर मासिक व्यय क्या है?
हल:
(i) व्यय अधिकतम भोजन पर है।
(ii) बच्चों की शिक्षा पर व्यय उतना ही है (अर्थात् $15 %$ ) जितना परिवार की बचत है।
चित्र 4.4 (iii) $15 %$ का प्रतिनिधित्व ₹ 3000 करता है
इसलिए, $10 %$ का प्रतिनिधित्व ₹ $\frac{3000}{15} \times 10=₹ 2000$ करता है
उदाहरण 2 : एक विशेष दिन पर, एक बेकर की दुकान के विभिन्न वस्तुओं की बिक्री (रुपयों में) नीचे दी गई है।
$ \begin{array}{|l|l|} \hline \hspace{3.3 mm} \text{साधारण ब्रेड} : 320 \\ \hspace{9.7 mm} \text{फल ब्रेड} : 80 \\ \text{केक और पेस्ट्री} : 160 \\ \hspace{14.3 mm} \text{बिस्कुट} : 160 \\ \hspace{18.3 mm} \text{अन्य} : 40 \\ \hline \hspace{18.3 mm}\text{कुल}: 720 \\ \hline \end{array} $
इस डेटा के लिए एक पाई चार्ट बनाएं।
हल: हम प्रत्येक सेक्टर का केंद्रीय कोण खोजते हैं। यहां कुल बिक्री $=₹ 720$। इस प्रकार हमारे पास यह सारणी है।
| वस्तु | बिक्री (₹ में) | भिन्न में | केंद्रीय कोण |
|---|---|---|---|
| साधारण ब्रेड | 320 | $\frac{320}{720}=\frac{4}{9}$ | $\frac{4}{9} \times 360^{\circ}=160^{\circ}$ |
| बिस्कुट | 120 | $\frac{120}{720}=\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{6} \times 360^{\circ}=60^{\circ}$ |
| केक और पेस्ट्री | 160 | $\frac{160}{720}=\frac{2}{9}$ | $\frac{2}{9} \times 360^{\circ}=80^{\circ}$ |
| फल ब्रेड | 80 | $\frac{80}{720}=\frac{1}{9}$ | $\frac{1}{9} \times 360^{\circ}=40^{\circ}$ |
| अन्य | 40 | $\frac{40}{720}=\frac{1}{18}$ | $\frac{1}{18} \times 360^{\circ}=20^{\circ}$ |
अब, हम पाई चार्ट बनाते हैं (Fig 4.5):
इन्हें आजमाएं
नीचे दी गई डेटा का पाई चार्ट बनाएं।
एक बच्चे द्वारा दिनभर में बिताया गया समय।
$ \begin{matrix} \text{ नींद }-8 \text{ घंटे } \\ \text{ स्कूल }-6 \text{ घंटे } \\ \text{ होमवर्क }-4 \text{ घंटे } \\ \text{ खेल }-4 \text{ घंटे } \\ \text{ अन्य }-2 \text{ घंटे } \end{matrix} $
सोचो, चर्चा करो और लिखो
निम्नलिखित आँकड़ों को प्रदर्शित करने के लिए किस प्रकार का ग्राफ उपयुक्त होगा।
1. एक राज्य के खाद्यान्नों का उत्पादन।
| वर्ष | 2001 | 2002 | 2003 | 2004 | 2005 | 2006 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| उत्पादन (लाख टन में) |
60 | 50 | 70 | 55 | 80 | 85 |
2. लोगों के एक समूह के लिए भोजन की पसंद।
| पसंदीदा भोजन | लोगों की संख्या |
|---|---|
| उत्तर भारतीय | 30 |
| दक्षिण भारतीय | 40 |
| चीनी | 25 |
| अन्य | 25 |
| कुल | $\mathbf{1 2 0}$ |
3. एक कारखाने के श्रमिकों के समूह की दैनिक आय।
| दैनिक आय (रुपयों में) |
श्रमिकों की संख्या (एक कारखाने में) |
|---|---|
| $75-100$ | 45 |
| $100-125$ | 35 |
| $125-150$ | 55 |
| $150-175$ | 30 |
| $175-200$ | 50 |
| $200-225$ | 125 |
| $225-250$ | 140 |
| कुल | $\mathbf{4 8 0}$ |
अभ्यास 4.1
1. एक शहर में युवाओं के एक निश्चित समूह द्वारा पसंद किए जाने वाले संगीत के प्रकार का पता लगाने के लिए एक सर्वेक्षण किया गया। संलग्न पाई चार्ट इस सर्वेक्षण के निष्कर्षों को दर्शाता है।
इस पाई चार्ट से निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए:
(i) यदि 20 लोगों को शास्त्रीय संगीत पसंद है, तो कितने युवाओं का सर्वेक्षण किया गया?
(ii) किस प्रकार का संगीत अधिकतम संख्या में लोगों को पसंद है?
(iii) यदि एक कैसेट कंपनी 1000 सीडी बनाने जा रही हो, तो वे प्रत्येक प्रकार की कितनी-कितनी बनाएँगे?
2. 360 लोगों के एक समूह से तीन मौसमों—वर्षा, सर्दी और गर्मी—में से अपना पसंदीदा मौसम चुनने के लिए कहा गया।
(i) किस मौसम को सबसे अधिक वोट मिले?
(ii) प्रत्येक सेक्टर का केंद्रीय कोण ज्ञात कीजिए।
(iii) इस सूचना को दर्शाने के लिए एक पाई चार्ट बनाइए।
3. निम्नलिखित सूचना दर्शाता हुआ एक पाई चार्ट बनाइए। तालिका में एक समूह के लोगों द्वारा पसंद किए गए रंग दिए गए हैं।
| रंग | लोगों की संख्या |
|---|---|
| नीला | 18 |
| हरा | 9 |
| लाल | 6 |
| पीला | 3 |
| योग | $\mathbf{3 6}$ |
4. संलग्न पाई चार्ट एक छात्र द्वारा हिंदी, अंग्रेज़ी, गणित, सामाजिक विज्ञान और विज्ञान विषयों में परीक्षा में प्राप्त किए गए अंकों को दर्शाता है। यदि छात्र द्वारा प्राप्त कुल अंक 540 हों, तो निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए।
(i) छात्र ने किस विषय में 105 अंक प्राप्त किए?
(संकेत: 540 अंकों के लिए केंद्रीय कोण $=360^{\circ}$। इसलिए 105 अंकों के लिए केंद्रीय कोण क्या होगा?)
(ii) विद्यार्थी ने गणित में हिंदी की तुलना में कितने अधिक अंक प्राप्त किए?
(iii) क्या सामाजिक विज्ञान और गणित में प्राप्त अंकों का योग विज्ञान और हिंदी में प्राप्त अंकों से अधिक है, जाँचिए।
(संकेत: केवल केंद्रीय कोणों का अध्ययन कीजिए)।
5. एक छात्रावास में विभिन्न भाषाएँ बोलने वाले छात्रों की संख्या नीचे दी गई है। आँकड़ों को पाई चार्ट में दिखाइए।
| भाषा | हिंदी | अंग्रेज़ी | मराठी | तमिल | बंगाली | कुल |
|---|---|---|---|---|---|---|
| छात्रों की संख्या |
40 | 12 | 9 | 7 | 4 | 72 |
4.3 संयोग और प्रायिकता
कभी-कभी वर्षा ऋतु के दौरान ऐसा होता है कि आप हर दिन रेनकोट ले जाते हैं और कई दिनों तक बारिश नहीं होती। हालाँकि, संयोगवश एक दिन आप रेनकोट ले जाना भूल जाते हैं और उस दिन ज़ोरदार बारिश होती है।
कभी-कभी ऐसा होता है कि एक विद्यार्थी 5 में से 4 अध्याय बहुत अच्छी तरह तैयार करता है परीक्षा के लिए। लेकिन एक बड़ा प्रश्न उसी अध्याय से पूछा जाता है जिसे उसने छोड़ दिया था।
सभी जानते हैं कि एक विशेष ट्रेन समय पर चलती है, लेकिन जिस दिन आप समय से पहुँचते हैं वह दिन वह देर से चलती है!
आप ऐसी कई स्थितियों का सामना करते हैं जहाँ आप मौका लेते हैं और वह आपके मनचाहे ढंग से नहीं जाता। क्या आप कुछ और उदाहरण दे सकते हैं? ये उदाहरण ऐसे हैं जहाँ किसी विशेष चीज़ के घटित होने या न होने की संभावनाएँ बराबर नहीं होतीं। ट्रेन के समय पर आने या देर से आने की संभावनाएँ समान नहीं होतीं। जब आप प्रतीक्षा-सूची वाला टिकट खरीदते हैं, तो आप मौका लेते हैं। आप आशा करते हैं कि यात्रा के समय तक वह पुष्ट हो जाएगा।
हम यहाँ कुछ ऐसे प्रयोगों पर विचार करते हैं जिनके परिणामों की घटित होने की संभावना बराबर होती है।
4.3.1 परिणाम प्राप्त करना
आपने देखा होगा कि क्रिकेट मैच शुरू होने से पहले दोनों टीमों के कप्तान बल्लेबाज़ी का निर्णय लेने के लिए सिक्का उछालने जाते हैं।
जब सिक्का उछाला जाता है तो आपको कौन-से संभावित परिणाम मिलते हैं? निश्चित ही, चित्त या पट्ट।
कल्पना कीजिए कि आप एक टीम के कप्तान हैं और आपका मित्र दूसरी टीम का कप्तान है। आप सिक्का उछालते हैं और अपने मित्र से कॉल करने को कहते हैं। क्या आप टॉस के परिणाम को नियंत्रित कर सकते हैं? क्या आप चाहें तो चित्त ला सकते हैं? या चाहें तो पट्ट? नहीं, यह संभव नहीं है। ऐसे प्रयोग को यादृच्छिक प्रयोग कहा जाता है। चित्त या पट्ट इस प्रयोग के दो परिणाम हैं।
इन्हें आज़माइए
1. यदि आप स्कूटर स्टार्ट करने का प्रयास करें, तो क्या-क्या संभावित परिणाम हो सकते हैं?
2. जब एक पासा फेंका जाता है, तो छह संभावित परिणाम क्या-क्या होते हैं?
3. जब आप दिखाए गए पहिए को घुमाते हैं, तो क्या-क्या संभावित परिणाम होते हैं? (आकृति 4.6) उन्हें सूचीबद्ध कीजिए।
(यहाँ परिणाम का अर्थ है वह क्षेत्र जहाँ सूचक रुकता है)।
चित्र 4.6
चित्र 4.7
4. आपके पास पाँच समरूप गेंदें हैं जिनमें अलग-अलग रंग हैं और आपको बिना देखे एक गेंद निकालनी है; उन परिणामों की सूची बनाइए जो आपको प्राप्त होंगे (चित्र 4.7)।
सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए
एक पासा फेंकने में:
- क्या पहले खिलाड़ी को छह आने की अधिक संभावना होती है?
- क्या उसके बाद खेलने वाले खिलाड़ी को छह आने की कम संभावना होगी?
- मान लीजिए दूसरे खिलाड़ी को छह आ गया। क्या इसका अर्थ यह है कि तीसरे खिलाड़ी को छह आने की कोई संभावना नहीं होगी?
4.3.2 सम संभावित परिणाम:
एक सिक्के को कई बार उछाला जाता है और यह दर्ज किया जाता है कि कितनी बार हमें चित्त या पट्ट प्राप्त हुआ। आइए परिणाम-पत्रक को देखें जहाँ हम उछालों की संख्या बढ़ाते जाते हैं:
| सिक्कों की संख्या | टैली चिह्न (H) | सिरों की संख्या | टैली चिह्न (T) | पूंछों की संख्या |
|---|---|---|---|---|
| 50 |  |
27 |  |
23 |
| 60 |  |
28 |  |
32 |
| 70 | $\ldots$ | 33 | … | 37 |
| 80 | $\ldots$ | 38 | $\ldots$ | 42 |
| 90 | $\ldots$ | 44 | $\ldots$ | 46 |
| 100 | $\ldots$ | 48 | $\ldots$ | 52 |
ध्यान दीजिए कि जैसे-जैसे आप सिक्कों की संख्या को और अधिक बढ़ाते हैं, सिरों की संख्या और पूंछों की संख्या एक-दूसरे के और अधिक निकट आती जाती हैं।
यह काम एक पासे के साथ भी किया जा सकता है, जब उसे बड़ी संख्या में उछाला जाता है। छहों में से प्रत्येक परिणाम की संख्या एक-दूसरे के लगभग बराबर हो जाती है।
ऐसे मामलों में, हम कह सकते हैं कि प्रयोग के विभिन्न परिणाम समान रूप से संभावित हैं। इसका अर्थ है कि प्रत्येक परिणाम के घटित होने की समान संभावना है।
4.3.3 संभावनाओं को प्रायिकता से जोड़ना
एक बार सिक्का उछालने के प्रयोग पर विचार करें। परिणाम क्या हैं? केवल दो परिणाम हैं - चित्त या पट्ट। दोनों परिणाम समान रूप से संभावित हैं। चित्त आने की संभावना दो परिणामों में से एक है, अर्थात् $\frac{1}{2}$। दूसरे शब्दों में, हम कहते हैं कि चित्त आने की प्रायिकता $=\frac{1}{2}$ है। पट्ट आने की प्रायिकता क्या है?
अब एक पासे को उछालने के उदाहरण को लीजिए जिसके फलकों पर 1, 2, 3, 4, 5, 6 अंक अंकित हैं (एक फलक पर एक अंक)। यदि आप इसे एक बार उछालते हैं, तो परिणाम क्या हैं?
परिणाम हैं: $1,2,3,4,5,6$। इस प्रकार, छह समान रूप से संभावित परिणाम हैं।
परिणाम ‘2’ आने की प्रायिकता क्या है?
यह $\frac{1}{6} \to$ 2 देने वाले परिणामों की संख्या
संख्या 5 आने की प्रायिकता क्या है? संख्या 7 आने की प्रायिकता क्या है? संख्या 1 से 6 तक कोई भी संख्या आने की प्रायिकता क्या है?
4.3.4 परिणामों को घटनाएँ
प्रयोग का प्रत्येक परिणाम या परिणामों का एक समूह एक घटना बनाता है।
उदाहरण के लिए सिक्का उछालने के प्रयोग में, चित्त आना एक घटना है और पट्ट आना भी एक घटना है।
पासा उछालने के मामले में, प्रत्येक परिणाम $1,2,3,4,5$ या 6 आना एक घटना है।
क्या सम संख्या आना एक घटना है? चूँकि सम संख्या 2, 4 या 6 हो सकती है, इसलिए सम संख्या आना भी एक घटना है। सम संख्या आने की प्रायिकता क्या होगी?
यह $\frac{3}{6} \to$ घटना बनाने वाले परिणामों की संख्या है
उदाहरण 3 : एक थैले में 4 लाल गेंदें और 2 पीली गेंदें हैं। (गेंदें रंग के अलावा सभी प्रकार से समान हैं)। थैले से बिना देखे एक गेंद निकाली जाती है। लाल गेंद आने की प्रायिकता क्या है? क्या यह पीली गेंद आने से अधिक है या कम?
हल: इस घटना के कुल $(4+2=) 6$ परिणाम हैं। लाल गेंद आने के 4 परिणाम हैं। (क्यों?)
इसलिए, लाल गेंद आने की प्रायिकता $\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$ है। इसी प्रकार पीली गेंद आने की प्रायिकता $=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$ है (क्यों?)। इसलिए, लाल गेंद आने की प्रायिकता पीली गेंद आने की प्रायिकता से अधिक है।
इन्हें आज़माइए
मान लीजिए आप पहिया घुमाते हैं
1. (i) इस पहिये (चित्र 4.8) पर हरा सेक्टर आने और न आने के परिणामों की सूची बनाइए।
(ii) हरा सेक्टर आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
(iii) हरा सेक्टर न आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
चित्र 4.8
4.3.5 वास्तविक जीवन से संबंधित संयोग और प्रायिकता
हमने इस बात की चर्चा की कि क्या संभावना है कि वर्षा होगी ठीक उस दिन जब हम रेनकोट नहीं ले जाते।
आप इस संभावना के बारे में प्रायिकता के संदर्भ में क्या कह सकते हैं? क्या यह वर्षा ऋतु के दौरान 10 दिनों में एक बार हो सकती है? तब वर्षा होने की प्रायिकता $\frac{1}{10}$ है। वर्षा न होने की प्रायिकता $=\frac{9}{10}$। (यह मानते हुए कि किसी दिन वर्षा होना या न होना समान रूप से संभव है) प्रायिकता का उपयोग वास्तविक जीवन में विभिन्न स्थितियों में किया जाता है।
1. किसी बड़े समूह के लक्षणों को जानने के लिए उसके एक छोटे भाग का उपयोग करना।
उदाहरण के लिए, चुनावों के दौरान ‘एक्ज़िट पोल’ लिया जाता है। इसमें लोगों से पूछा जाता है कि उन्होंने किसे वोट दिया है, जब वे मतदान केंद्रों से बाहर आते हैं जो यादृच्छिक रूप से चुने जाते हैं और पूरे क्षेत्र में फैले होते हैं। इससे प्रत्येक उम्मीदवार की जीत की संभावना का अंदाजा लगाया जाता है और इसके आधार पर भविष्यवाणियाँ की जाती हैं।
2. मौसम विभाग पिछले कई वर्षों के आँकड़ों में प्रवृत्तियों को देखकर मौसम की भविष्यवाणी करता है।
अभ्यास 4.2
1. इन प्रयोगों में आप कौन-कौन से परिणाम देख सकते हैं?
(a) एक पहिया घुमाना
(b) दो सिक्कों को एक साथ उछालना
2. जब एक पासा फेंका जाता है, तो इस घटना के परिणामों की सूची बनाएं कि प्राप्त होता है
(i) (a) एक अभाज्य संख्या
(b) एक अभाज्य संख्या नहीं।
(ii) (a) 5 से बड़ी संख्या
(b) 5 से बड़ी संख्या नहीं।
3. ज्ञात कीजिए।
(a) सूचक (pointer) के प्रश्न 1-(a) में D पर रुकने की प्रायिकता?
(b) 52 पत्तों की अच्छी तरह फेंटी गई ताश की गड्डी से एक इक्का (ace) प्राप्त करने की प्रायिकता?
(c) एक लाल सेब प्राप्त करने की प्रायिकता। (नीचे दी गई आकृति देखें)
4. संख्याएँ 1 से 10 तक दस अलग-अलग पर्चियों पर (एक पर्ची पर एक संख्या) लिखी गई हैं, जिन्हें एक डिब्बे में रखकर अच्छी तरह मिलाया गया है। बिना देखे डिब्बे से एक पर्ची निकाली जाती है। प्रायिकता क्या है
(i) संख्या 6 प्राप्त करने की?
(ii) 6 से छोटी संख्या प्राप्त करने की?
(iii) 6 से बड़ी संख्या प्राप्त करने की?
(iv) एक अंकीय संख्या प्राप्त करने की?
5. यदि आपके पास एक घूर्णन पहिया है जिसमें 3 हरे क्षेत्र, 1 नीला क्षेत्र और 1 लाल क्षेत्र है, तो हरा क्षेत्र प्राप्त करने की प्रायिकता क्या है? नीला नहीं क्षेत्र प्राप्त करने की प्रायिकता क्या है?
6. प्रश्न 2 में दी गई घटनाओं की प्रायिकताएँ ज्ञात कीजिए।
हमने क्या चर्चा की?
1. किसी भी आँकड़े से सार्थक निष्कर्ष निकालने के लिए हमें आँकड़े को व्यवस्थित रूप से संगठित करने की आवश्यकता होती है।
2. आँकड़ों को वृत्त चित्र या पाई चार्ट का प्रयोग करके भी प्रस्तुत किया जा सकता है। एक वृत्त चित्र पूरे और उसके भागों के बीच संबंध दिखाता है।
3. कुछ प्रयोग ऐसे होते हैं जिनके परिणामों के घटित होने की समान संभावना होती है।
4. एक यादृच्छिक प्रयोग वह होता है जिसका परिणाम पहले से ठीक-ठीक नहीं बताया जा सकता।
5. किसी प्रयोग के परिणाम तब समप्रायिक होते हैं जब प्रत्येक के घटित होने की समान संभावना हो।
6. किसी घटना की प्रायिकता $=\frac{\text{ परिणामों की संख्या जो घटना बनाते हैं }}{\text{ प्रयोग के कुल परिणामों की संख्या }}$, जब परिणाम समप्रायिक हों।
7. प्रयोग के एक या अधिक परिणाम एक घटना बनाते हैं।
8. संभावनाएँ और प्रायिकता वास्तविक जीवन से संबंधित होते हैं।
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