6.1 परिचय

यह भारत के महान गणितीय प्रतिभाओं में से एक, एस. रामानुजन की एक कहानी है। एक बार एक अन्य प्रसिद्ध गणितज्ञ प्रो. जी.एच. हार्डी एक टैक्सी में उनसे मिलने आए जिसका नंबर 1729 था। रामानुजन से बात करते हुए, हार्डी ने इस संख्या को “एक साधारण संख्या” बताया। रामानुजन ने तुरंत बताया कि 1729 वास्तव में दिलचस्प है। उन्होंने कहा कि यह सबसे छोटी संख्या है जिसे दो अलग-अलग तरीकों से दो घनों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

$ \begin{aligned} & 1729=1728+1=12^{3}+1^{3} \\ & 1729=1000+729=10^{3}+9^{3} \end{aligned} $

1729 तब से हार्डी - रामानुजन संख्या के रूप में जानी जाती है, यद्यपि 1729 की यह विशेषता रामानुजन से 300 साल पहले से जानी जाती थी।

रामानुजन को यह कैसे पता था? खैर, वह संख्याओं से प्यार करते थे। सभी

हार्डी - रामानुजन संख्या

1729 सबसे छोटी हार्डीरामानुजन संख्या है। ऐसी अनंत संख्याएँ हैं। कुछ 4104 $(2,16 ; 9,15), 13832(18,20$; $2,24)$ हैं, कोष्ठकों में दी गई संख्याओं के साथ इसकी जाँच करें। अपने जीवन भर, उन्होंने संख्याओं के साथ प्रयोग किया। उन्होंने शायद ऐसी संख्याएँ खोजीं जो दो वर्गों के योग और दो घनों के योग के रूप में व्यक्त की गई थीं।

घनों के कई अन्य रोचक पैटर्न हैं। आइए घनों, घनमूलों और उनसे संबंधित कई अन्य रोचक तथ्यों के बारे में जानें।

6.2 घन

आप जानते हैं कि ‘घन’ शब्द ज्यामिति में प्रयोग किया जाता है। एक घन एक ठोस आकृति होती है जिसकी सभी भुजाएँ बराबर होती हैं। $1 cm$ भुजा के कितने घन मिलाकर एक $2 cm$ भुजा का घन बनाएँगे?

$1 cm$ भुजा के कितने घन मिलाकर एक $3 cm$ भुजा का घन बनाएँगे?

संख्याओं पर विचार कीजिए $1,8,27, \ldots$

हम देखते हैं कि $1=1 \times 1 \times 1=1^{3} ; 8=2 \times 2 \times 2=2^{3} ; 27=3 \times 3 \times 3=3^{3}$।

चूँकि $5^{3}=5 \times 5 \times 5=125$, इसलिए 125 एक घन संख्या है।

क्या 9 एक घन संख्या है? नहीं, क्योंकि $9=3 \times 3$ और कोई ऐसी प्राकृत संख्या नहीं है जिसे तीन बार गुणा करने पर 9 प्राप्त हो। हम यह भी देख सकते हैं कि $2 \times 2 \times 2=8$ और $3 \times 3 \times 3=27$। यह दर्शाता है कि 9 एक पूर्ण घन नहीं है।

निम्नलिखित 1 से 10 तक की संख्याओं के घन हैं।

तालिका 1

$\begin{array}{|l|l|} \hline \text{संख्याएँ 729, 1000, 1728}\\ \text{भी पूर्ण घन हैं।} \\ \hline \end{array} $

1 से 1000 तक केवल दस पूर्ण घन हैं। (इसकी जाँच कीजिए)। 1 से 100 तक कितने पूर्ण घन हैं?

सम संख्याओं के घनों को देखिए। क्या वे सभी सम हैं? सम संख्याओं के घनों के बारे में आप क्या कह सकते हैं?

निम्नलिखित 11 से 20 तक की संख्याओं के घन हैं।

तालिका 2

कुछ ऐसी संख्याओं पर विचार कीजिए जिनमें इकाई का अंक 1 है। उनमें से प्रत्येक का घन ज्ञात कीजिए। आप 1 के साथ समाप्त होने वाली किसी संख्या के घन के इकाई के अंक के बारे में क्या कह सकते हैं?

इसी प्रकार, 2, 3, 4, … आदि पर समाप्त होने वाली संख्याओं के घनों के इकाई के अंक की जाँच कीजिए।

इन्हें आज़माइए

निम्नलिखित प्रत्येक संख्या के घन का इकाई का अंक ज्ञात कीजिए।

(i) 3331 $\quad$ (ii) 8888 $\quad$ (iii) 149 (iv) 1005

(v) 1024 (vi) 77 (vii) 5022 (viii) 53

6.2.1 कुछ रोचक पैटर्न

1. क्रमागत विषम संख्याओं को जोड़ना

विषम संख्याओं के योग के निम्नलिखित पैटर्न को देखिए।

$ \begin{aligned} & \\ 3+5 & =8=2^{3} \\ 7+9+11 & =27=3^{3} \\ 13+15+17+19 & =64=4^{3} \\ 21+23+25+27+29 & =125=5^{3} \end{aligned} $

क्या यह रोचक नहीं है? $10^{3}$ प्राप्त करने के लिए कितनी क्रमागत विषम संख्याओं की आवश्यकता होगी?

इन्हें आज़माइए

उपरोक्त पैटर्न का प्रयोग कर निम्नलिखित संख्याओं को विषम संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त कीजिए।

(a) $6^{3}$ $\quad$ (b) $8^{3}$ $\quad$ (c) $7^{3}$

निम्नलिखित पैटर्न पर विचार कीजिए।

$ \begin{aligned} & 2^{3}-1^{3}=1+2 \times 1 \times 3 \\ & 3^{3}-2^{3}=1+3 \times 2 \times 3 \\ & 4^{3}-3^{3}=1+4 \times 3 \times 3 \end{aligned} $

उपरोक्त पैटर्न का प्रयोग कर निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए।

(i) (7^{3}-6^{3}) (\quad)
(ii) (12^{3}-11^{3}) (\quad)
(iii) (20^{3}-19^{3}) (\quad)
(iv) (51^{3}-50^{3})

2. घन और उनके अभाज्य गुणनखंड

संख्याओं और उनके घनों के निम्नलिखित अभाज्य गुणनफल पर विचार करें।

(\begin{array}{cc} \text{एक संख्या का अभाज्य गुणनफल} & \text{उसके घन का अभाज्य गुणनफल} \\ 4 = 2 \times 2 & 4^3 = 64 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^3 \times 2^3 \\ 6 = 2 \times 3 & 6^3=216=2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 = 2^3 \times 3^3 \\ 15 = 3 \times 5 & 15^3 = 3375 = 3 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5 \times 5 = 3^3 \times 5^3 \\ 12 = 2 \times 2 \times 3 & 12^3 = 1728 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 = 2^3 \times 2^3 \times 3^3 \end{array} )

(\begin{array}{|l|l|} \hline \text{प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड}\\ \text{उसके घन में तीन बार}\\ \text{प्रकट होता है}\\ \hline \end{array} )

क्या 729 एक पूर्ण घन है?

हाँ, 729 एक पूर्ण घन है।

ध्यान दें कि किसी संख्या का प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड उसके घन के अभाज्य गुणनफल में तीन बार प्रकट होता है।

किसी भी संख्या के अभाज्य गुणनफल में, यदि प्रत्येक गुणनखंड तीन बार प्रकट होता है, तो क्या वह संख्या एक पूर्ण घन है?

(\begin{array}{|l|l|} \hline \text{क्या आपको याद है कि}\\ a^m \times b^m = (a \times b)^m \\ \hline \end{array} )

सोचिए। क्या 216 एक पूर्ण घन है?

अभाज्य गुणनफल द्वारा, $216=2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3$

प्रत्येक गुणनखंड 3 बार आता है। $216=2^{3} \times 3^{3}=(2 \times 3)^{3}$ $=6^{3}$ जो एक पूर्ण घन है! $729=\underline{3 \times 3 \times 3} \times \underline{3 \times 3 \times 3}$

अब हम 500 की जाँच करते हैं।

500 का अभाज्य गुणनफल $2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5$ है।

इसलिए, 500 एक पूर्ण घन नहीं है।

उदाहरण 1 : क्या 243 एक पूर्ण घन है?

हल: $243=\underline{3 \times 3 \times 3} \times 3 \times 3$

$\begin{array}{|l|l|} \hline \text{गुणनफल में तीन }\\ \text{5 हैं लेकिन } \\ \text{केवल दो 2 हैं। } \\ \hline \end{array} $

उपरोक्त गुणनफल में तीन-तीन के समूह बनाने के बाद $3 \times 3$ बच जाता है। इसलिए, 243 एक पूर्ण घन नहीं है।

इन्हें आज़माएँ

निम्नलिखित में से कौन-कौन से पूर्ण घन हैं?

1. 400

2. 3375

3. 8000

4. 15625

5. 9000

6. 6859

7. 2025

8. 10648

6.2.2 सबसे छोटा गुणज जो पूर्ण घन हो

राज ने प्लास्टिसिन का एक घनाभ बनाया। घनाभ की लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः $15 cm$, $30 cm, 15 cm$ हैं।

अनु पूछती है कि उसे एक पूर्ण घन बनाने के लिए ऐसे कितने घनाभों की आवश्यकता होगी? क्या आप बता सकते हैं?

राज ने कहा, घनाभ का आयतन $15 \times 30 \times 15=3 \times 5 \times 2 \times 3 \times 5 \times 3 \times 5$ है

$ =2 \times \underline{3 \times 3 \times 3} \times \underline{5 \times 5 \times 5} $

चूँकि अभाज्य गुणनफल में केवल एक 2 है। इसलिए इसे एक पूर्ण घन बनाने के लिए हमें $2 \times 2$, अर्थात् 4 की आवश्यकता है। इसलिए, एक घन बनाने के लिए हमें ऐसे 4 घनाकार ब्लॉकों की आवश्यकता है।

उदाहरण 2 : क्या 392 एक पूर्ण घन है? यदि नहीं, तो वह सबसे छोटी प्राकृत संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 392 को गुणा किया जाए ताकि गुणनफल एक पूर्ण घन हो।

हल: $392=\underline{2 \times 2 \times 2} \times 7 \times 7$

अभाज्य गुणनखंड 7 तीन-तीन के समूह में नहीं आता। इसलिए, 392 एक पूर्ण घन नहीं है। इसे घन बनाने के लिए हमें एक और 7 की आवश्यकता है। उस स्थिति में

$ 392 \times 7=\underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{7 \times 7 \times 7}=2744 $

अतः वह सबसे छोटी प्राकृत संख्या जिससे 392 को गुणा करने पर एक पूर्ण घन प्राप्त होता है, 7 है।

उदाहरण 3 : क्या 53240 एक पूर्ण घन है? यदि नहीं, तो वह सबसे छोटी प्राकृत संख्या कौन-सी है जिससे 53240 को विभाजित करने पर भागफल एक पूर्ण घन हो?

हल: $53240=\underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{11 \times 11 \times 11} \times 5$

अभाज्य गुणनखंड 5 तीन-तीन के समूह में नहीं आता। इसलिए, 53240 एक पूर्ण घन नहीं है। गुणनफल में 5 केवल एक बार आया है। यदि हम इस संख्या को 5 से विभाजित कर दें, तो भागफल का अभाज्य गुणनफल 5 को नहीं रखेगा।

इसलिए,

$ 53240 \div 5=\underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{11 \times 11 \times 11} $

अतः वह सबसे छोटी संख्या जिससे 53240 को विभाजित करने पर एक पूर्ण घन प्राप्त होता है, 5 है।

उस स्थिति में प्राप्त पूर्ण घन $=10648$ है।

उदाहरण 4 : क्या 1188 एक पूर्ण घन है? यदि नहीं, तो 1188 को किस सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या से विभाजित किया जाए ताकि भागफल एक पूर्ण घन हो?

हल: $1188=2 \times 2 \times \underline{3 \times 3 \times 3} \times 11$

अभाज्य संख्याएँ 2 और 11 तीन-तीन के समूह में नहीं आती हैं। इसलिए, 1188 एक पूर्ण घन नहीं है। 118 के अभाज्य गुणनफल में अभाज्य 2 केवल दो बार आता है और अभाज्य 11 एक बार आता है। इसलिए, यदि हम 1188 को $2 \times 2 \times 11=44$ से विभाजित करें, तो भागफल के अभाज्य गुणनफल में 2 और 11 नहीं रहेंगे।

इसलिए सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या जिससे 1188 को विभाजित करने पर यह पूर्ण घन बनेगा, 44 है।

और परिणामी पूर्ण घन $1188 \div 44=27(=3^{3})$ है।

उदाहरण 5 : क्या 68600 एक पूर्ण घन है? यदि नहीं, तो वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 68600 को गुणा करने पर एक पूर्ण घन प्राप्त हो।

हल: हमारे पास, $68600=2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 7 \times 7 \times 7$। इस गुणनफल में हम देखते हैं कि 5 का कोई त्रिक नहीं है।

इसलिए, 68600 एक पूर्ण घन नहीं है। इसे पूर्ण घन बनाने के लिए हम इसे 5 से गुणा करते हैं। इस प्रकार,

$ \begin{aligned} 68600 \times 5 & =2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5 \times 7 \times 7 \times 7 \\ & =343000, \text{ जो एक पूर्ण घन है। } \end{aligned} $

ध्यान दीजिए कि 343 एक पूर्ण घन है। उदाहरण 5 से हम जानते हैं कि 343000 भी एक पूर्ण घन है।

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए

जाँच कीजिए कि निम्नलिखित में से कौन-कौन से पूर्ण घन हैं।

(i) 2700 $\quad$ (ii) 16000 $\quad$ (iii) 64000 $\quad$ (iv) 900

(v) 125000 $\quad$ (vi) 36000 $\quad$ (vii) 21600 $\quad$(viii) 10,000

(ix) 27000000 (x) 1000.

इन पूर्ण घनों में आप कौन-सा पैटर्न देखते हैं?

प्रश्नावली 6.1

1. निम्नलिखित में से कौन-सी संख्याएँ पूर्ण घन नहीं हैं?

(i) 216 $\quad$ (ii) 128 $\quad$ (iii) 1000 $\quad$ (iv) 100 $\quad$

(v) 46656

2. निम्नलिखित में से प्रत्येक संख्या को गुणा करने के लिए सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए ताकि एक पूर्ण घन प्राप्त हो सके।

(i) 243 $\quad$ (ii) 256 $\quad$ (iii) 72 $\quad$ (iv) 675 $\quad$

(v) 100

3. निम्नलिखित में से प्रत्येक संख्या को भाग देने के लिए सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए ताकि एक पूर्ण घन प्राप्त हो सके।

(i) 81 $\quad$ (ii) 128 $\quad$ (iii) 135 $\quad$ (iv) 192 $\quad$

(v) 704

4. परिक्षित प्लास्टिसिन से 5 सेमी, 2 सेमी, 5 सेमी भुजाओं वाला एक घनाभ बनाता है। एक घन बनाने के लिए उसे ऐसे कितने घनाभों की आवश्यकता होगी?

6.3 घन मूल

यदि एक घन का आयतन $125 cm^{3}$ है, तो उसकी भुजा की लंबाई कितनी होगी? घन की भुजा की लंबाई जानने के लिए हमें वह संख्या ज्ञात करनी होगी जिसका घन 125 है।

जैसा कि आप जानते हैं, वर्गमूल निकालना वर्ग करने का व्युत्क्रम संक्रिया है। इसी प्रकार, घनमूल निकालना घन निकालने की व्युत्क्रम संक्रिया है।

हम जानते हैं कि $2^{3}=8$; इसलिए हम कहते हैं कि 8 का घनमूल 2 है।

हम लिखते हैं $\sqrt[3]{8}=2$. प्रतीक $\sqrt[3]{ }$ ‘घनमूल’ को दर्शाता है।

निम्नलिखित पर विचार कीजिए:

6.3.1 अभाज्य गुणनफलन विधि से घनमूल

3375 पर विचार करें। हम इसका घनमूल अभाज्य गुणनफलन द्वारा निकालते हैं:

$ 3375=\underline{3 \times 3 \times 3} \times \underline{5 \times 5 \times 5}=3^{3} \times 5^{3}=(3 \times 5)^{3} $

इसलिए, 3375 का घनमूल $=\sqrt[3]{3375}=3 \times 5=15$

इसी प्रकार, $\sqrt[3]{74088}$ निकालने के लिए, हमारे पास है,

$ 74088=\underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{3 \times 3 \times 3} \times \underline{7 \times 7 \times 7}=2^{3} \times 3^{3} \times 7^{3}=(2 \times 3 \times 7)^{3} $

इसलिए, $\sqrt[3]{74088}=2 \times 3 \times 7=42$

उदाहरण 6 : 8000 का घनमूल ज्ञात कीजिए।

हल: 8000 का अभाज्य गुणनफलन $\underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{5 \times 5 \times 5}$ है

इसलिए,

$ \sqrt[3]{8000}=2 \times 2 \times 5=20 $

उदाहरण 7 : अभाज्य गुणनफलन विधि द्वारा 13824 का घनमूल ज्ञात कीजिए।

हल:

$ 13824=\underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{3 \times 3 \times 3}=2^{3} \times 2^{3} \times 2^{3} \times 3^{3} \text{. } $

इसलिए, $\sqrt[3]{13824}=2 \times 2 \times 2 \times 3=24$

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए

किसी भी पूर्णांक $m$ के लिए, $m^{2}<m^{3}$ सत्य है या असत्य? क्यों?

प्रश्नावली 6.2

1. अभाज्य गुणनफल विधि से निम्नलिखित संख्याओं का घनमूल ज्ञात कीजिए।

(i) 64 $\quad$ (ii) 512 $\quad$ (iii) 10648 $\quad$ (iv) 27000 $\quad$ (v) 15625

(vi) 13824 $\quad$ (ix) 175616 $\quad$ (x) 91125 $\quad$ (vii) 110592 $\quad$ (viii) 46656

2. सत्य या असत्य बताइए।

(i) किसी भी विषम संख्या का घन सम होता है।

(ii) एक पूर्ण घन दो शून्यों से समाप्त नहीं होता है।

(iii) यदि किसी संख्या का वर्ग 5 पर समाप्त होता है, तो उसका घन 25 पर समाप्त होता है।

(iv) कोई भी पूर्ण घन ऐसा नहीं है जो 8 पर समाप्त हो।

(v) दो अंकों की किसी संख्या का घन तीन अंकों की संख्या हो सकता है।

(vi) दो अंकों की किसी संख्या का घन सात या अधिक अंकों की संख्या हो सकता है।

(vii) एक अंक की किसी संख्या का घन एक अंक की संख्या हो सकता है।

हमने क्या चर्चा की?

1. $1729,4104,13832$ जैसी संख्याओं को हार्डी-रामानुजन संख्याएँ कहा जाता है। इन्हें दो भिन्न तरीकों से दो घनों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

2. जब कोई संख्या खुद से तीन बार गुणा की जाती है, तो प्राप्त संख्याओं को घन संख्याएँ कहा जाता है। उदाहरण के लिए $1,8,27, \ldots$ आदि।

3. यदि किसी संख्या के अभाज्य गुणनफल में प्रत्येक गुणनफल तीन बार आता है, तो वह संख्या एक पूर्ण घन है।

4. प्रतीक $\sqrt[3]{ }$ घनमूल को दर्शाता है। उदाहरण के लिए $\sqrt[3]{27}=3$।