7.1 अनुपात और प्रतिशतों की याद दिलाना

हम जानते हैं, अनुपात का अर्थ है दो मात्राओं की तुलना करना।

एक टोकरी में दो प्रकार के फल हैं, मान लीजिए, 20 सेब और 5 संतरे।

तब, संतरों की संख्या का सेबों की संख्या से अनुपात $=5: 20$।

तुलना भिन्नों का उपयोग करके की जा सकती है, $\frac{5}{20}=\frac{1}{4}$

संतरों की संख्या सेबों की संख्या की $\frac{1}{4}$ है। अनुपात की दृष्टि से, यह $1: 4$ है, जिसे पढ़ा जाता है, “1 is to 4”

$ \text{ या } $

सेबों की संख्या का संतरों की संख्या से अनुपात $=\frac{20}{5}=\frac{4}{1}$ जिसका अर्थ है, सेबों की संख्या संतरों की संख्या से 4 गुना है। यह तुलना प्रतिशतों का उपयोग करके भी की जा सकती है।

25 फलों में से 5 संतरे हैं। इसलिए संतरों का प्रतिशत है

$ \frac{5}{25} \times \frac{4}{4}=\frac{20}{100}=20 \% $

[हर को 100 बनाया गया]। इकाई विधि द्वारा: 25 फलों में से, संतरों की संख्या 5 है। इसलिए 100 फलों में से, संतरों की संख्या

$ =\frac{5}{25} \times 100=20 \text{। } $

चूंकि टोकरी में केवल सेब और संतरे हैं,

इसलिए, $\quad$ सेबों का प्रतिशत + संतरों का प्रतिशत $=100$

या सेबों का प्रतिशत $+20=100$

या $\quad$ सेबों का प्रतिशत $=100-20=80$

इस प्रकार टोकरी में $20 \%$ संतरे और $80 \%$ सेब हैं।

उदाहरण 1: एक विद्यालय में कक्षा VII के लिए एक पिकनिक की योजना बनाई जा रही है। लड़कियां कुल विद्यार्थियों की $60 \%$ हैं और संख्या में 18 हैं।

पिकनिक स्थल विद्यालय से $55 km$ दूर है और परिवहन कंपनी ₹ 12 प्रति km की दर से शुल्क ले रही है। रिफ्रेशमेंट की कुल लागत ₹ 4280 होगी।

क्या आप बता सकते हैं।

1. कक्षा में लड़कियों की संख्या का लड़कों की संख्या से अनुपात क्या है?

2. यदि दो शिक्षक भी कक्षा के साथ जा रहे हैं, तो प्रति व्यक्ति लागत क्या होगी?

3. यदि उनका पहला पड़ाव स्कूल से 22 km दूर एक स्थान पर है, तो यह कुल 55 km की दूरी का कितना प्रतिशत है? कितनी दूरी बाकी है?

हल:

1. लड़कियों का लड़कों से अनुपात निकालने के लिए।

अशीमा और जॉन ने निम्नलिखित उत्तर दिए।

उन्हें लड़कों की संख्या और कुल विद्यार्थियों की संख्या जाननी थी।

अशीमा ने ऐसा किया

मान लीजिए कुल विद्यार्थियों की संख्या
x है। x का 60% लड़कियाँ हैं।
इसलिए, x का 60% = 18
(\frac{60}{100} \times x = 18)
या, (x = \frac{18 \times 100}{60} = 30)
विद्यार्थियों की संख्या = 30।

जॉन ने एकात्मक विधि का प्रयोग किया

100 विद्यार्थियों में 60 लड़कियाँ हैं।

(\frac{100}{60}) विद्यार्थियों में एक लड़की है।

तो, 18 लड़कियाँ कितने विद्यार्थियों में हैं?

विद्यार्थियों की संख्या = (\frac{100}{60} \times 18)

[ = 30 ]

इसलिए, लड़कों की संख्या = 30 − 18 = 12।

अतः लड़कियों का लड़कों से अनुपात 18 : 12 या (\frac{18}{12} = \frac{3}{2}) है। (\frac{3}{2}) को 3 : 2 लिखा जाता है और पढ़ा जाता है 3 is to 2।

2. प्रति व्यक्ति लागत निकालने के लिए।

परिवहन शुल्क = दोनों ओर की दूरी × दर

[ \begin{aligned} & = ₹(55 \times 2) \times 12 \ & = ₹ 110 \times 12 = ₹ 1320 \end{aligned} ]

कुल खर्च = रिफ्रेशमेंट शुल्क + परिवहन शुल्क

[ = ₹ 4280 + ₹ 1320 ]

[ = ₹ 5600 ]

कुल व्यक्तियों की संख्या $=18$ लड़कियाँ +12 लड़के +2 अध्यापक

$ =32 \text{ व्यक्ति } $

अशिमा और जॉन ने फिर प्रति व्यक्ति लागत ज्ञात करने के लिए एकात्मक विधि का प्रयोग किया।

32 व्यक्तियों के लिए, खर्च की गई राशि ₹ 5600 होगी।

1 व्यक्ति के लिए खर्च की गई राशि $=₹ \frac{5600}{32}=₹ 175$।

3. वह स्थान जहाँ पहला ठहराव किया गया, की दूरी $=22 km$ है।

दूरी का प्रतिशत ज्ञात करने के लिए:

अशिमा ने यह विधि प्रयोग की:

$\frac{22}{55} = \frac{22}{55} \times \frac{100}{100} = 40 \% $

वह अनुपात को
से गुणा कर प्रतिशत में बदल रही है।

या

जॉन ने एकात्मक विधि प्रयोग की:
55 km में से, 22 km की यात्रा की गई।
1 km में से, $\frac{22}{55}$ km की यात्रा की गई
100 km में से, $\frac{22}{55} \times 100$ km की यात्रा की गई।
अर्थात् कुल दूरी का 40 % भाग तय किया गया।

दोनों ने एक ही उत्तर निकाला कि विद्यालय से उस स्थान की दूरी, जहाँ उन्होंने ठहराव किया, कुल तय की जाने वाली दूरी का $40 \%$ थी।

इसलिए, शेष यात्रा के लिए बची दूरी का प्रतिशत $=100 \%-40 \%=60 \%$ है।

इन्हें आज़माएँ

एक प्राथमिक विद्यालय में, अभिभावकों से पूछा गया कि वे प्रतिदिन अपने बच्चों को गृहकार्य कराने में कितने घंटे सहायता करते हैं। 90 अभिभावक ऐसे थे जो $\frac{1}{2}$ घंटे से $1 \frac{1}{2}$ घंटे तक सहायता करते थे। अभिभावकों का वितरण, समय के अनुसार, जिसके लिए उन्होंने सहायता करने की बात कही, संलग्न आकृति में दिया गया है; $20 \%$ अभिभावक प्रतिदिन $1 \frac{1}{2}$ घंटे से अधिक समय सहायता करते हैं;

$30 \%$ ने $\frac{1}{2}$ घंटे से $1 \frac{1}{2}$ घंटे तक मदद की; $50 \%$ ने बिल्कुल भी मदद नहीं की।

इसका प्रयोग कर निम्नलिखित का उत्तर दीजिए:

(i) कितने अभिभावकों का सर्वेक्षण किया गया?

(ii) कितनों ने कहा कि उन्होंने मदद नहीं की?

(iii) कितनों ने कहा कि उन्होंने $1 \frac{1}{2}$ घंटे से अधिक समय तक मदद की?

प्रश्नावली 7.1

1. निम्नलिखित का अनुपात ज्ञात कीजिए।

(a) एक साइकिल की चाल $15 km$ प्रति घंटे से स्कूटर की चाल $30 km$ प्रति घंटे तक।

(b) $5 m$ से $10 km$ तक

(c) 50 पैसे से ₹ 5 तक

2. निम्नलिखित अनुपातों को प्रतिशत में बदलिए। (a) $3: 4$ (b) $2: 3$

3. 25 विद्यार्थियों में से $72 \%$ गणित में रुचि रखते हैं। कितने विद्यार्थी गणित में रुचि नहीं रखते हैं?

4. एक फुटबॉल टीम ने कुल खेले गए मैचों में से 10 मैच जीते। यदि उनकी जीत का प्रतिशत 40 था, तो उन्होंने कुल कितने मैच खेले?

5. यदि चमेली ने अपने धन का $75 \%$ खर्च करने के बाद ₹ 600 बचाए, तो शुरुआत में उसके पास कितने रुपये थे?

6. यदि एक शहर में $60 \%$ लोग क्रिकेट पसंद करते हैं, $30 \%$ फुटबॉल पसंद करते हैं और शेष अन्य खेल पसंद करते हैं, तो कितने प्रतिशत लोग अन्य खेल पसंद करते हैं? यदि कुल लोगों की संख्या 50 लाख है, तो प्रत्येक प्रकार के खेल को पसंद करने वालों की सही संख्या ज्ञात कीजिए।

7.2 छूट ज्ञात करना

छूट किसी वस्तु के अंकित मूल्य (MP) पर दी गई कमी होती है।

यह आमतौर पर ग्राहकों को वस्तु खरीदने के लिए आकर्षित करने या वस्तुओं की बिक्री बढ़ावा देने के लिए दी जाती है। आप छूट उसके अंकित मूल्य से विक्रय मूल्य घटाकर निकाल सकते हैं।

अतः, छूट $=$ अंकित मूल्य - विक्रय मूल्य

उदाहरण 2 : एक वस्तु जिसका अंकित मूल्य ₹ 840 है, को ₹ 714 में बेचा गया। छूट और

छूट $ \% $ क्या है?

हल:

छूट $=$ अंकित मूल्य - विक्रय मूल्य

$ \begin{aligned} & =₹ 840-₹ 714 \\ & =₹ 126 \end{aligned} $

चूँकि छूट अंकित मूल्य पर दी जाती है, हमें आधार के रूप में अंकित मूल्य लेना होगा।

₹ 840 के अंकित मूल्य पर, छूट ₹ 126 है।

₹ 100 के अंकित मूल्य पर, छूट कितनी होगी?

$ \text{ छूट }=\frac{126}{840} \times 100 \%=15 \% $

आप छूट तब भी निकाल सकते हैं जब छूट $%$ दी गई हो।

उदाहरण 3 : एक फ्रॉक का सूची मूल्य ₹ 220 है। बिक्री पर $20 \%$ की छूट घोषित की गई है। इस पर छूट की राशि और इसका विक्रय मूल्य क्या है?

हल: अंकित मूल्य सूची मूल्य के समान होता है।

$20 \%$ छूट का अर्थ है कि ₹ 100 (अंकित मूल्य) पर, छूट ₹ 20 है।

इकाई विधि से, ₹ 1 पर छूट होगी $₹ \frac{20}{100}$।

₹ 220 पर, छूट $=₹ \frac{20}{100} \times 220=₹ 44$

विक्रय मूल्य $=(₹ 220-₹ 44)$ या ₹ 176

रहाना ने विक्रय मूल्य इस प्रकार निकाला -

$20 \%$ की छूट का अर्थ है ₹ 100 के अंकित मूल्य पर ₹ 20 की छूट। इसलिए विक्रय मूल्य ₹ 80 है। इकाई विधि का प्रयोग करते हुए, जब अंकित मूल्य ₹ 100 है, तो विक्रय मूल्य ₹ 80 है;

जब अंकित मूल्य ₹ 1 है, तो विक्रय मूल्य ₹ $\frac{80}{100}$ है।

इसलिए जब अंकित मूल्य ₹ 220 है, तो विक्रय मूल्य $=₹ \frac{80}{100} \times 220=₹ 176$।

यद्यपि छूट सीधे नहीं निकाली गई, मैं विक्रय मूल्य सीधे निकाल सकी।

इन्हें आजमाइए

1. एक दुकान $20 \%$ छूट देती है। इनमें से प्रत्येक का विक्रय मूल्य क्या होगा?

(a) ₹ 120 अंकित एक पोशाक

(b) ₹ 750 अंकित एक जोड़ी जूते

(c) ₹ 250 अंकित एक बैग

2. ₹ 15,000 अंकित एक मेज ₹ 14,400 में उपलब्ध है। दी गई छूट और छूट प्रतिशत ज्ञात कीजिए।

3. एक अलमारी $5 \%$ छूट देने के बाद ₹ 5,225 में बेची गई। इसका अंकित मूल्य ज्ञात कीजिए।

7.2.1 प्रतिशतों में आकलन

आपकी एक दुकान में बिल ₹ 577.80 है और दुकानदार $15 \%$ छूट देता है, तो आप भुगतान की जाने वाली राशि का आकलन कैसे करेंगे?

(i) बिल को ₹ 577.80 के निकटतम दहाई तक पूर्ण करें, अर्थात् ₹ 580 तक।

(ii) इसका $10 \%$ निकालें, अर्थात् ₹ $\frac{10}{100} \times 580=₹ 58$।

(iii) इसका आधा निकालें, अर्थात् $\frac{1}{2} \times 58=₹ 29$।

(iv) (ii) और (iii) की राशियों को जोड़ें तो ₹ 87 प्राप्त होता है।

आप अपने बिल की राशि को ₹ 87 या लगभग ₹ 85 तक घटा सकते हैं, जो लगभग ₹ 495 होगी।

1. उसी बिल राशि का $20 \%$ आकलन करने का प्रयास करें। 2 . ₹ 375 का $15 \%$ निकालने का प्रयास करें।

7.3 बिक्री कर/मूल्य वर्धित कर/वस्तु एवं सेवा कर

शिक्षक ने कक्षा में एक बिल दिखाया जिसमें निम्नलिखित शीर्षक लिखे थे।

$\begin{array}{|l|l|} \hline \text{बिक्री कर (ST) सरकार द्वारा किसी वस्तु की बिक्री पर लगाया जाता है। यह दुकानदार द्वारा}\\ \text{ग्राहक से वसूल किया जाता है और सरकार को दिया जाता है। यह इसलिए हमेशा किसी वस्तु}\\ \text{के विक्रय मूल्य पर लगाया जाता है और बिल के मूल्य में जोड़ा जाता है। एक अन्य प्रकार का कर}\\ \text{है जिसे मूल्य वर्धित कर (VAT) कहा जाता है और यह कीमतों में सम्मिलित होता है।} \\ \hline \end{array} $

$\begin{array}{|l|l|} \hline \text{1 जुलाई 2017 से, भारत सरकार ने GST प्रस्तुत किया जिसका अर्थ है वस्तु एवं सेवा कर}\\ \text{जो वस्तुओं या सेवाओं या दोनों की आपूर्ति पर लगाया जाता है।} \\ \hline \end{array} $

उदाहरण 4 : (बिक्री कर ज्ञात करना) एक दुकान में रोलर स्केट्स की एक जोड़ी की लागत ₹ 450 थी। बिक्री कर $5 \%$ लगाया गया। बिल राशि ज्ञात कीजिए।

हल: ₹ 100 पर, कर ₹ 5 देय था।

₹ 450 पर, कर देय होगा $=₹ \frac{5}{100} \times 450$

$ =₹ 22.50 $

बिल राशि $=$ वस्तु की लागत + बिक्री कर $=₹ 450+₹ 22.50=₹ 472.50$.

उदाहरण 5 : (मूल्य वर्धित कर (VAT)) वहीदा ने एक एयर कूलर ₹ 3300 में खरीदा जिसमें 10% कर शामिल था। VAT जोड़े जाने से पहले एयर कूलर की कीमत ज्ञात कीजिए।

हल: कीमत में VAT शामिल है, अर्थात् मूल्य वर्धित कर। इस प्रकार, 10% VAT का अर्थ है कि यदि VAT रहित कीमत ₹ 100 है तो VAT सहित कीमत ₹ 110 होगी।

अब, जब VAT सहित कीमत ₹ 110 है, तो मूल कीमत ₹ 100 है।

अतः जब कर सहित कीमत ₹ 3300 है, तो मूल कीमत = ₹ (\frac{100}{110} \times 3300 = ₹ 3000)।

उदाहरण 6 : सलीम ने एक वस्तु ₹ 784 में खरीदी जिसमें 12% GST शामिल था। GST जोड़े जाने से पहले वस्तु की कीमत क्या है?

हल: मान लीजिए वस्तु की मूल कीमत ₹ 100 है। GST = 12%।

GST शामिल होने के बाद कीमत = ₹(100 + 12) = ₹ 112

जब विक्रय मूल्य ₹ 112 है तो मूल कीमत = ₹ 100।

जब विक्रय मूल्य ₹ 784 है, तो मूल कीमत = ₹ (\frac{100}{112} \times 784 = ₹ 700)

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए

1. एक संख्या का दोगुना होना उस संख्या में 100% वृद्धि है। यदि हम संख्या का आधा लें तो प्रतिशत में कितनी कमी होगी?

2. ₹ 2,000, ₹ 2,400 से कितने प्रतिशत कम है? क्या यह वही प्रतिशत है जिससे ₹ 2,400, ₹ 2,000 से अधिक है?

प्रश्नावली 7.2

1. एक सेल के दौरान, एक दुकान ने सभी वस्तुओं के अंकित मूल्यों पर 10% की छूट की पेशकश की। एक ग्राहक को ₹ 1450 अंकित कीमत वाली एक जोड़ी जींस और ₹ 850 प्रति शर्ट अंकित कीमत वाली दो शर्टों के लिए कितना भुगतान करना होगा?

2. एक टीवी की कीमत ₹ 13,000 है। इस पर 12% की दर से सेल्स टैक्स लगाया जाता है। वह राशि ज्ञात कीजिए जो विनोद को चुकानी होगी यदि वह इसे खरीदता है।

3. अरुण ने एक जोड़ी स्केट्स सेल पर खरीदी जहाँ 20% की छूट दी गई थी। यदि वह जो राशि चुकाता है वह ₹ 1,600 है, तो अंकित मूल्य ज्ञात कीजिए।

4. मैंने एक हेयर-ड्रायर ₹ 5,400 में खरीदा जिसमें 8% VAT शामिल था। VAT जोड़ने से पहले कीमत ज्ञात कीजिए।

5. एक वस्तु ₹ 1239 में खरीदी गई जिसमें 18% GST शामिल था। वस्तु की वह कीमत ज्ञात कीजिए जो GST जोड़ने से पहले थी?

7.4 चक्रवृद्धि ब्याज

आपने कभी न कभी ऐसे बयान जरूर सुने होंगे जैसे “बैंक में एफडी (स्थायी जमा) के लिए एक वर्ष का ब्याज @ 9% प्रति वर्ष” या ‘5% प्रति वर्ष ब्याज के साथ बचत खाता’।

ब्याज वह अतिरिक्त धन है जो बैंकों या डाकघरों जैसी संस्थाएँ जमा (रखे गए) धन पर देती हैं। ब्याज तब भी देना पड़ता है जब लोग धन उधार लेते हैं। हम पहले से ही साधारण ब्याज की गणना करना जानते हैं।

उदाहरण 7 : ₹ 10,000 की राशि 15% प्रति वर्ष की ब्याज दर से 2 वर्षों के लिए उधार ली गई। इस राशि पर साधारण ब्याज और 2 वर्षों के अंत में चुकाई जाने वाली राशि ज्ञात कीजिए।

हल: ₹ 100 पर 1 वर्ष का ब्याज ₹ 15 है।

इसलिए ₹ 10,000 पर ब्याज = (\frac{15}{100} \times 10000) = ₹ 1500

[ \text{2 वर्षों का ब्याज} = ₹ 1500 \times 2 = ₹ 3000 ]

2 वर्षों के अंत में चुकाई जाने वाली राशि = मूलधन + ब्याज

[ = ₹ 10000 + ₹ 3000 = ₹ 13000 ]

इन्हें आजमाइए

₹ 15000 पर 2 वर्षों के बाद 5% प्रतिवर्ष की दर से ब्याज और देय राशि ज्ञात कीजिए।

मेरे पिता ने कुछ धन डाकघर में 3 वर्षों के लिए रखा है। हर वर्ष धन पिछले वर्ष से अधिक बढ़ता है।

हमारे पास बैंक में कुछ धन है। हर वर्ष उसमें कुछ ब्याज जुड़ता है, जो पासबुक में दिखाया जाता है। यह ब्याज एक समान नहीं होता, हर वर्ष बढ़ता है।

सामान्यतः, दिया गया या लिया गया ब्याज कभी साधारण नहीं होता। ब्याज पिछले वर्ष की राशि पर गणना किया जाता है। इसे चक्रवृद्धि ब्याज (C.I.) कहा जाता है।

आइए एक उदाहरण लें और वर्ष-दर-वर्ष ब्याज ज्ञात करें। हर वर्ष हमारी मूलधन राशि बदलती है।

चक्रवृद्धि ब्याज की गणना

हीना ने ₹ 20,000 की राशि 2 वर्षों के लिए 8% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज पर उधार ली। चक्रवृद्धि ब्याज (C.I.) और 2 वर्षों के अंत में देय राशि ज्ञात कीजिए।

असलम ने शिक्षक से पूछा कि क्या इसका अर्थ है कि उन्हें वर्ष-दर-वर्ष ब्याज ज्ञात करना चाहिए। शिक्षक ने कहा ‘हाँ’, और उसे निम्नलिखित चरणों का उपयोग करने को कहा:

1. एक वर्ष के लिए साधारण ब्याज (S.I.) ज्ञात कीजिए।

पहले वर्ष के लिए मूलधन को P₁ मानें। यहाँ, P₁ = ₹ 20,000

$ SI_1 = 1^{st} वर्ष के लिए 8% प्रतिवर्ष SI = ₹ \frac{20000 \times 8}{100} = ₹ 1600 $

2. फिर वह राशि ज्ञात कीजिए जो दी या प्राप्त की जाएगी। यह अगले वर्ष के लिए मूलधन बन जाती है।

1^{st} वर्ष के अंत में राशि = P₁ + SI₁ = ₹ 20000 + ₹ 1600

$ = ₹ 21600 = P₂ (2^{nd} वर्ष के लिए मूलधन) $

3. फिर से इस राशि पर एक और वर्ष के लिए ब्याज निकालें।

$ \begin{aligned} SI_2=SI \text{ at } 8 \% \text{ p.a.for 2nd year } & =₹ \frac{21600 \times 8}{100} \\ & =₹ 1728 \end{aligned} $

4. दूसरे वर्ष के अंत में वह राशि ज्ञात कीजिए जो देनी या प्राप्त करनी है।

$ \begin{aligned} \text{ Amount at the end of 2nd year } & =P_2+SI_2 \\ & =₹ 21600+₹ 1728 \\ & =₹ 23328 \\ \text{ Total interest given } & =₹ 1600+₹ 1728 \\ & =₹ 3328 \end{aligned} $

रीता ने पूछा कि क्या साधारण ब्याज के लिए राशि अलग होगी। शिक्षिका ने उसे दो वर्षों के लिए ब्याज निकालने और स्वयं देखने को कहा।

$ \text{ SI for } 2 \text{ years }=₹ \frac{20000 \times 8 \times 2}{100}=₹ 3200 $

रीता ने कहा कि जब चक्रवृद्धि ब्याज प्रयोग किया गया तो हीना ₹ 128 अधिक देगी।

आइए साधारण ब्याज और चक्रवृद्धि ब्याज के बीच के अंतर को देखें। हम ₹ 100 से शुरू करते हैं। चार्ट को पूरा करने का प्रयास करें।

ध्यान दें कि 3 वर्षों में,

साधारण ब्याज द्वारा अर्जित ब्याज $=₹(130-100)=₹ 30$, जबकि,

चक्रवृद्धि ब्याज द्वारा अर्जित ब्याज $=₹(133.10-100)=₹ 33.10$

यह भी ध्यान दें कि साधारण ब्याज के अंतर्गत मूलधन समान रहता है, जबकि चक्रवृद्धि ब्याज के अंतर्गत वह वर्ष दर वर्ष बदलता है।

7.5 चक्रवृद्धि ब्याज के लिए सूत्र निकालना

ज़ुबेदा ने अपनी शिक्षिका से पूछा, ‘क्या चक्रवृद्धि ब्याज निकालने का कोई आसान तरीका है?’ शिक्षिका ने कहा ‘चक्रवृद्धि ब्याज निकालने का एक छोटा तरीका है। आइए हम उसे खोजने का प्रयास करें।’

मान लीजिए $P_1$ वह राशि है जिस पर $R \%$ प्रति वर्ष की दर से वार्षिक रूप से ब्याज संयोजित किया जाता है।

मान लीजिए $P_1=₹ 5000$ और $R=5$। तब उपरोक्त उल्लिखित चरणों द्वारा

1.

$ \begin{matrix} & SI_1=₹ \frac{5000 \times 5 \times 1}{100} & या & SI_1=₹ \frac{P_1 \times R \times 1}{100} \\ \\ इसलिए, & A_1=₹ 5000+\frac{5000 \times 5 \times 1}{100} & या & A_1=P_1+S_1=P_1+\frac{P_1 R}{100} \\ \\ & =₹ 5000(1+\frac{5}{100})=P_2 & & =P_1(1+\frac{R}{100})=P_2 \end{matrix} $

2.

$ \begin{matrix} & SI_2=₹ 5000(1+\frac{5}{100}) \times \frac{5 \times 1}{100} & या & SI_2=₹ \frac{P_2 \times R \times 1}{100} \\ \\ & =₹ \frac{5000 \times 5}{100}(1+\frac{5}{100}) & या & =P_1(1+\frac{R}{100}) \times \frac{R}{100} \\ \\ & & &=\frac{P_1 R}{100}(1+\frac{R}{100}) \end{matrix} $

$ \begin{aligned} A_2 & =₹ 5000(1+\frac{5}{100})+₹ \frac{5000 \times 5}{100}(1+\frac{5}{100}) & A_2 & =P_2+SI_2 \\ & =₹ 5000(1+\frac{5}{100})(1+\frac{5}{100}) & & =P_1(1+\frac{1}{1}). \\ & =₹ 5000(1+\frac{5}{100})^{2}=P_3 & & =P_1(1+\frac{1}{1}). \end{aligned} $

$ \begin{aligned} SI_2 & =\frac{P_2 \times R \times 1}{100} \\ \\ & =\frac{P_1 R}{100}(1+\frac{R}{100}) \\ A_2 & =P_2+SI_2 \\ & =P_1(1+\frac{R}{100})+P_1 \frac{R}{100}(1+\frac{R}{100}) \\ & =P_1(1+\frac{R}{100})(1+\frac{R}{100}) \\ & =P_1(1+\frac{R}{100})^{2}=P_3 \end{aligned} $

इस तरह आगे बढ़ते हुए (n) वर्षों के अंत में राशि होगी

$ A_n=P_1(1+\frac{R}{100})^{n} $

या, हम कह सकते हैं

$ A=P(1+\frac{R}{100})^{n} $

तो, ज़ुबैदा ने कहा, लेकिन इसका उपयोग करके हमें केवल (n) वर्षों के अंत में देय राशि का सूत्र मिलता है, और चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र नहीं मिलता।

अरुणा ने तुरंत कहा कि हम जानते हैं $CI=A-P$, इसलिए हम चक्रवृद्धि ब्याज भी आसानी से निकाल सकते हैं।

उदाहरण 8 : ₹ 12600 पर 2 वर्षों के लिए $10 \%$ प्रति वर्ष की दर से चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात कीजिए, जबकि ब्याज वार्षिक रूप से संयोजित होता है।
हल: हमारे पास, $A=P(1+\frac{R}{100})^{n}$, जहाँ मूलधन $(P)=₹ 12600$, दर $(R)=10$,
वर्षों की संख्या $(n)=2$

$ =₹ 12600(1+\frac{10}{100})^{2}=₹ 12600(\frac{11}{10})^{2} $

$ \begin{aligned} & =₹ 12600 \times \frac{11}{10} \times \frac{11}{10}=₹ 15246 \\ CI=A-P & =₹ 15246-₹ 12600=₹ 2646 \end{aligned} $

इन्हें आजमाइए

1. ₹ 8000 की राशि पर 2 वर्षों के लिए $5 \%$ प्रति वर्ष की दर से चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात कीजिए, जबकि ब्याज वार्षिक रूप से संयोजित होता है।

7.6 चक्रवृद्धि ब्याज सूत्र के अनुप्रयोग

कुछ स्थितियाँ होती हैं जहाँ हम CI में राशि की गणना के लिए सूत्र का उपयोग कर सकते हैं। यहाँ कुछ उदाहरण दिए गए हैं।

(i) जनसंख्या में वृद्धि (या कमी)।

(ii) बैक्टीरिया की वृद्धि, यदि वृद्धि की दर ज्ञात हो।

(iii) किसी वस्तु का मूल्य, यदि इसका मूल्य मध्यवर्ती वर्षों में बढ़ता या घटता है।

उदाहरण 9 : एक शहर की जनसंख्या वर्ष 1997 में 20,000 थी। यह $5 \%$ प्रति वर्ष की दर से बढ़ी। वर्ष 2000 के अंत में जनसंख्या ज्ञात कीजिए।

हल: हर वर्ष जनसंख्या में 5% की वृद्धि होती है, इसलिए हर नए वर्ष में नई जनसंख्या होती है। इस प्रकार, हम कह सकते हैं कि यह चक्रवृद्धि रूप से बढ़ रही है।

1998 की शुरुआत में जनसंख्या = 20000 (हम इसे पहले वर्ष के लिए मूलधन मानते हैं)

$ \text{ 5 \% की वृद्धि }=\frac{5}{100} \times 20000=1000 $ $\quad$ $\quad$ 2000 में जनसंख्या = 21000 + 1050

$ =22050 $

इसे मानें

$ \text{ 5 \% की वृद्धि }=\frac{5}{100} \times 22050 $ $\quad$

तीसरे वर्ष के लिए मूलधन।

$ =1102.5 $

वर्ष 2000 के अंत में जनसंख्या $=22050+1102.5=23152.5$

या, $\quad$ वर्ष 2000 के अंत में जनसंख्या $=20000(1+\frac{5}{100})^{3}$

$ \begin{aligned} & =20000 \times \frac{21}{20} \times \frac{21}{20} \times \frac{21}{20} \\ & =23152.5 \end{aligned} $

अतः अनुमानित जनसंख्या $=23153$।

अरुणा ने पूछा कि यदि कमी हो तो क्या किया जाए। शिक्षिका ने तब निम्नलिखित उदाहरण पर विचार किया।

उदाहरण 10 : एक टीवी ₹ 21,000 कीमत पर खरीदा गया। एक वर्ष बाद टीवी का मूल्य 5% से अवमूल्यित हो गया (अवमूल्यन का अर्थ है उपयोग और वस्तु की आयु के कारण मूल्य में कमी)। एक वर्ष बाद टीवी का मूल्य ज्ञात कीजिए।

हल:

$ \begin{aligned} \text{ मूलधन } & =₹ 21,000 \\ \text{ कमी } & =₹ 21000 \text{ का } 5 \% \text{ प्रति वर्ष } \\ & =₹ \frac{21000 \times 5 \times 1}{100}=₹ 1050 \end{aligned} $

1 वर्ष के अंत में मूल्य $=₹ 21000-₹ 1050=₹ 19,950$

वैकल्पिक रूप से, हम इसे सीधे इस प्रकार पा सकते हैं:

1 वर्ष के अंत में मूल्य $=₹ 21000(1-\frac{5}{100})$

$ =₹ 21000 \times \frac{19}{20}=₹ 19,950 $

इन्हें आजमाइए

1. ₹ 10,500 मूल्य की एक मशीन 5 \% से अवमूल्यित हुई। एक वर्ष बाद इसका मूल्य ज्ञात कीजिए।

2. एक शहर की वर्तमान जनसंख्या 12 लाख है, यदि वृद्धि की दर 4 \% हो तो 2 वर्ष बाद जनसंख्या ज्ञात कीजिए।

प्रश्नावली 7.3

1. एक स्थान की जनसंख्या 2003 में 54,000 हो गई जो कि 5 \% प्रति वर्ष की दर से बढ़ी

(i) 2001 की जनसंख्या ज्ञात कीजिए।

(ii) 2005 में इसकी जनसंख्या क्या होगी?

2. एक प्रयोगशाला में, किसी प्रयोग में जीवाणुओं की संख्या प्रति घंटे 2.5% की दर से बढ़ रही थी। यदि प्रारंभ में संख्या 5,06,000 थी, तो 2 घंटे बाद जीवाणुओं की संख्या ज्ञात कीजिए।

3. एक स्कूटर ₹42,000 में खरीदा गया। इसका मूल्य प्रति वर्ष 8% की दर से घट रहा था। एक वर्ष बाद इसका मूल्य ज्ञात कीजिए।

हमने क्या चर्चा की है?

1. छूट अंकित मूल्य पर दी गई कमी होती है।
छूट = अंकित मूल्य - विक्रय मूल्य।

2. जब छूट प्रतिशत दिया गया हो, तो छूट की गणना की जा सकती है।
छूट = छूट% × अंकित मूल्य

3. कोई वस्तु खरीदने के बाद किए गए अतिरिक्त व्यय क्रय मूल्य में शामिल किए जाते हैं और इन्हीं व्यय को अप्रत्यक्ष व्यय कहा जाता है।
क्रय मूल्य = खरीद मूल्य + अप्रत्यक्ष व्यय

4. बिक्री कर सरकार द्वारा किसी वस्तु की बिक्री पर लगाया जाता है और इसे बिल राशि में जोड़ा जाता है।
बिक्री कर = कर% × बिल राशि

5. जीएसटी का अर्थ है वस्तु एवं सेवा कर और यह वस्तुओं या सेवाओं या दोनों की आपूर्ति पर लगाया जाता है।

6. चक्रवृद्धि ब्याज पिछले वर्ष की राशि पर गणना किया गया ब्याज होता है (A = P + I)