8.1 बीजीय व्यंजकों का योग और व्यवकलन

पिछली कक्षाओं में हम पहले ही जान चुके हैं कि बीजीय व्यंजक (या सिर्फ़ व्यंजक) क्या होते हैं। व्यंजकों के उदाहरण हैं:

$ x+3,2 y-5,3 x^{2}, 4 x y+7 \text{ आदि } $

पिछली कक्षाओं में हम यह भी सीख चुके हैं कि बीजीय व्यंजकों को कैसे जोड़ा और घटाया जाता है। उदाहरण के लिए, $7 x^{2}-4 x+5$ और $9 x-10$ को जोड़ने के लिए हम करते हैं

$ \begin{matrix} 7 x^{2}-4 x+5 \\ +\quad 9 x-10 \\ \hline 7 x^{2}+5 x-5 \end{matrix} $

ध्यान दीजिए कि हम योग कैसे करते हैं। हम प्रत्येक व्यंजक को जोड़ने के लिए अलग-अलग पंक्ति में लिखते हैं। ऐसा करते समय हम समान पदों को एक के नीचे एक लिखते हैं और उन्हें जोड़ते हैं, जैसा दिखाया गया है। इस प्रकार $5+(-10)=5-10=-5$। इसी प्रकार, $-4 x+9 x=(-4+9) x=5 x$। आइए कुछ और उदाहरण लें।

उदाहरण 1 : जोड़िए: $7 x y+5 y z-3 z x, 4 y z+9 z x-4 y,-3 x z+5 x-2 x y$.

हल: तीनों व्यंजकों को अलग-अलग पंक्तियों में लिखते हैं, समान पदों को एक के नीचे एक रखकर, हम पाते हैं

$ \begin{matrix}& 7xy + 5yz –3zx \\ + & \hspace{18 mm} 4yz + 9zx – 4y \\ + & –2xy \hspace{18 mm} – 3zx + 5x & \text{(ध्यान दें xz और zx समान हैं)} \\ \hline \\ & 5xy + 9yz +3zx + 5x – 4y \end{matrix} $

उदाहरण 2 : $7 x^{2}-4 x y+8 y^{2}+5 x-3 y$ में से $5 x^{2}-4 y^{2}+6 y-3$ घटाइए।

हल:

$ \begin{matrix}& 7x^2 - 4xy + 8y^2 + 5x -3y \\ & 5x^2 - 4y^2 \hspace{6 mm} y+ 6y-3 \\ \hline \\ & (-) \hspace{6 mm} (+)\hspace{6 mm}(-) \hspace{6 mm} (+) \\ & 2x^2-4xy+12y^2+5x-9y+3 \end{matrix} $

ध्यान दें कि किसी संख्या का घटाना उसके योज्य प्रतिलोम का योग करने के समान है। इस प्रकार, -3 को घटाना +3 जोड़ने के समान है। इसी प्रकार, $6y$ को घटाना $-6y$ जोड़ने के समान है; $-4y^{2}$ को घटाना $4y^{2}$ जोड़ने के समान है और आगे भी। दूसरी पंक्ति में प्रत्येक पद के नीचे लिखी गई तीसरी पंक्ति के चिह्न हमें यह बताने में सहायक होते हैं कि कौन-सी संक्रिया करनी है।

प्रश्नावली 8.1

1. निम्नलिखित को जोड़िए।

(i) $ab - bc,\ bc - ca,\ ca - ab$ $\quad$ (ii) $a - b + ab,\ b - c + bc,\ c - a + ac$

(iii) $2p^{2}q^{2} - 3pq + 4,\ 5 + 7pq - 3p^{2}q^{2}$ $\quad$ (iv) $l^{2} + m^{2},\ m^{2} + n^{2},\ n^{2} + l^{2},\ 2lm + 2mn + 2nl$

2. (a) $12a - 9ab + 5b - 3$ से $4a - 7ab + 3b + 12$ घटाइए।

(b) $5xy - 2yz - 2zx + 10xyz$ से $3xy + 5yz - 7zx$ घटाइए।

(c) $18 - 3p - 11q + 5pq - 2pq^{2} + 5p^{2}q$ से $4p^{2}q - 3pq + 5pq^{2} - 8p + 7q - 10$ घटाइए।

8.2 बीजीय व्यंजकों का गुणा: प्रस्तावना

(i) नीचे दिए गए बिंदुओं के नमूनों को देखिए।

(ii) क्या अब तुम ऐसी और स्थितियाँ सोच सकते हो जिनमें दो बीजीय व्यंजकों को गुणा करना पड़े?

अमीना उठ खड़ी होती है। वह कहती है, “हम आयत के क्षेत्रफल के बारे में सोच सकते हैं।” आयत का क्षेत्रफल $l \times b$ होता है, जहाँ $l$ लम्बाई है और $b$ चौड़ाई है। यदि आयत की लम्बाई 5 इकाई बढ़ा दी जाए, अर्थात् $(l+5)$ और

चौड़ाई 3 इकाई घटा दी जाए, अर्थात् $(b-3)$ इकाई, तो नए आयत का क्षेत्रफल $(l+5) \times(b-3)$ होगा।

(iii) क्या तुम आयतन के बारे में सोच सकते हो? (एक आयताकार डिब्बे का आयतन उसकी लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई के गुणनफल से दिया जाता है)।

(iv) सरिता बताती है कि जब हम चीज़ें खरीदते हैं, तो हमें गुणा करना पड़ता है। उदाहरण के लिए, यदि

$ \text{ केले का दर प्रति दर्जन }=₹ p $

और स्कूल पिकनिक के लिए केले चाहिए $=z$ दर्जन,

$ \text{ तो हमें भुगतान करना होगा }=₹ p \times z $

मान लीजिए, प्रति दर्जन कीमत ₹2 कम थी और केले 4 दर्जन कम चाहिए थे।

तब, $\quad$ केले का दर प्रति दर्जन $=₹(p-2)$

और $\quad$ केले चाहिए $=(z-4)$ दर्जन,

इसलिए, हमें भुगतान करना होगा $\quad=₹(p-2) \times(z-4)$

इन्हें आज़माइए

क्या तुम ऐसी दो और स्थितियाँ सोच सकते हो, जहाँ हमें बीजीय व्यंजकों को गुणा करने की आवश्यकता पड़े?

[संकेत: $\bullet$ चाल और समय के बारे में सोचो;

• ब्याज देने की बात सोचिए, मूलधन और साधारण ब्याज की दर; आदि।

उपरोक्त सभी उदाहरणों में हमें दो या अधिक राशियों का गुणा करना पड़ा। यदि राशियाँ बीजीय व्यंजकों द्वारा दी गई हों, तो हमें उनका गुणनफल निकालना होगा। इसका अर्थ है कि हमें यह जानना चाहिए कि यह गुणनफल कैसे प्राप्त करें। आइए इसे क्रमबद्ध तरीके से करें। प्रारंभ करने के लिए हम दो एकपदी व्यंजकों के गुणा को देखेंगे।

8.3 एक एकपदी को एकपदी से गुणा करना

व्यंजक जिसमें केवल एक पद होता है, उसे एकपदी कहा जाता है।

8.3.1 दो एकपदियों का गुणा

हम प्रारंभ करते हैं

इसी प्रकार, $4 \times(3 x)=3 x+3 x+3 x+3 x=12 x$

अब, निम्नलिखित गुणनफलों को देखिए।

(i) $ x \times 3 y=x \times 3 \times y=3 \times x \times y=3 x y $

(ii) $ 5 x \times 3 y=5 \times x \times 3 \times y=5 \times 3 \times x \times y=15 x y $

(iii) $5 x \times(-3 y)=5 \times x \times(-3) \times y$

$ =5 \times(-3) \times x \times y=-15 x y $

कुछ और उपयोगी उदाहरण नीचे दिए गए हैं।

$ \text{ (iv) } \quad \begin{aligned} 5 x \times 4 x^{2} & =(5 \times 4) \times(x \times x^{2}) \\ & =20 \times x^{3}=20 x^{3} \end{aligned} $

(v) $5 x \times(-4 x y z)=(5 \times-4) \times(x \times x y z)$

$ =-20 \times(x \times x \times y z)=-20 x^{2} y z $

देखिए कि हम दोनों एकपदियों के बीजीय भागों में विभिन्न चरों की घातों को कैसे इकट्ठा करते हैं। ऐसा करते समय हम घातांक और घातों के नियमों का प्रयोग करते हैं।

ध्यान दीजिए कि $5 \times 4=20$

अर्थात्, गुणनफल का गुणांक = पहले एकपदी का गुणांक × दूसरे एकपदी का गुणांक;

तथा $\quad x \times x^{2}=x^{3}$

अर्थात्, गुणनफल का बीजीय गुणनखंड = पहले एकपदी का बीजीय गुणनखंड × दूसरे एकपदी का बीजीय गुणनखंड।

8.3.2 तीन या अधिक एकपदीयों का गुणा

निम्नलिखित उदाहरणों को देखिए।

$ \begin{aligned} & 2 x \times 5 y \times 7 z=(2 x \times 5 y) \times 7 z=10 x y \times 7 z=70 x y z \\ & \text{ (ii) } 4 x y \times 5 x^{2} y^{2} \times 6 x^{3} y^{3}=(4 x y \times 5 x^{2} y^{2}) \times 6 x^{3} y^{3}=20 x^{3} y^{3} \times 6 x^{3} y^{3}=120 x^{3} y^{3} \times x^{3} y^{3} \\ & =120(x^{3} \times x^{3}) \times(y^{3} \times y^{3})=120 x^{6} \times y^{6}=120 x^{6} y^{6} \end{aligned} $

यह स्पष्ट है कि हम पहले पहले दो एकपदीयों को गुणा करते हैं और फिर प्राप्त एकपदी को तीसरे एकपदी से गुणा करते हैं। यह विधि किसी भी संख्या के एकपदीयों के गुणनफल तक बढ़ाई जा सकती है।

इन्हें आजमाइए

$4 x \times 5 y \times 7 z$ ज्ञात कीजिए।

पहले $4 x \times 5 y$ ज्ञात कीजिए और उसे $7 z$ से गुणा कीजिए; या पहले $5 y \times 7 z$ ज्ञात कीजिए और उसे $4 x$ से गुणा कीजिए। क्या परिणाम समान है? आप क्या देखते हैं?

क्या गुणा करने के क्रम से कोई फर्क पड़ता है?

उदाहरण 3 : दी गई लंबाई और चौड़ाई के आयत के क्षेत्रफल के लिए सारणी को पूर्ण कीजिए।

हल:

लंबाई	चौड़ाई	क्षेत्रफल
$3 x$	$5 y$	$3 x \times 5 y=15 x y$
$9 y$	$4 y^{2}$	$\ldots \ldots \ldots \ldots$.
$4 a b$	$5 b c$	$\ldots \ldots \ldots \ldots .$.
$2 l^{2} m$	$3 l m^{2}$	$\ldots \ldots \ldots \ldots .$.

उदाहरण 4 : प्रत्येक आयताकार डिब्बे की लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई दी गई है, उनका आयतन ज्ञात कीजिए।

	लंबाई	चौड़ाई	ऊँचाई
(i)	$2 a x$	$3 b y$	$5 c z$
(ii)	$m^{2} n$	$n^{2} p$	$p^{2} m$
(iii)	$2 q$	$4 q^{2}$	$8 q^{3}$

हल: आयतन $=$ लंबाई $\times$ चौड़ाई $\times$ ऊँचाई

इसलिए,

(i) आयतन $=(2 a x) \times(3 b y) \times(5 c z)$

$ =2 \times 3 \times 5 \times(a x) \times(b y) \times(c z)=30 a b c x y z $

(ii) आयतन $=m^{2} n \times n^{2} p \times p^{2} m$

$ =(m^{2} \times m) \times(n \times n^{2}) \times(p \times p^{2})=m^{3} n^{3} p^{3} $

(iii) आयतन $=2 q \times 4 q^{2} \times 8 q^{3}$

$ =2 \times 4 \times 8 \times q \times q^{2} \times q^{3}=64 q^{6} $

प्रश्नावली 8.2

1. निम्नलिखित एकपदी युग्मों का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

(i) $4,7 p$ $\quad$ (ii) $-4 p, 7 p$ $\quad$ (iii) $-4 p, 7 p q$ $\quad$ (iv) $4 p^{3},-3 p$ $\quad$ (v) $4 p, 0$

2. निम्नलिखित एकपदी युग्मों को क्रमशः लंबाई और चौड़ाई मानकर आयतों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

$(p, q) ;(10 m, 5 n) ;(20 x^{2}, 5 y^{2}) ;(4 x, 3 x^{2}) ;(3 m n, 4 n p)$

3. गुणनफल की सारणी को पूर्ण कीजिए।

$\frac{\text{ पहला एकपद } \to}{\text{ दूसरा एकपद } \downarrow}$	$2 x$	$-5 y$	$3 x^{2}$	$-4 x y$	$7 x^{2} y$	$-9 x^{2} y^{2}$
$2 x$	$4 x^{2}$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$
$-5 y$	$\cdots$	$\cdots$	$-15 x^{2} y$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$
$3 x^{2}$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$
$-4 x y$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$
$7 x^{2} y$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$
$-9 x^{2} y^{2}$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$

4. निम्नलिखित लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई वाले आयताकार डिब्बों का आयतन प्राप्त करें।

(i) $5 a, 3 a^{2}, 7 a^{4}$ $\quad$ (ii) $2 p, 4 q, 8 r$ $\quad$ (iii) $x y, 2 x^{2} y, 2 x y^{2}$ $\quad$ (iv) $a, 2 b, 3 c$

5. गुणनफल प्राप्त करें

(i) $x y, y z, z x$ $\quad$ (ii) $a,-a^{2}, a^{3}$ $\quad$ (iii) $2,4 y, 8 y^{2}, 16 y^{3}$ $\quad$ (iv) $a, 2 b, 3 c, 6 a b c$ $\quad$ (v) $m,-m n, m n p$

8.4 एकपद को बहुपद से गुणा करना

व्यंजक जिसमें दो पद होते हैं उसे द्विपद कहा जाता है। एक व्यंजक जिसमें तीन पद होते हैं वह त्रिपद है और इसी तरह आगे। सामान्यतः, एक व्यंजक जिसमें एक या अधिक पद हों जिनके गुणांक शून्येतर हों (चरों के घातक ऋणात्मकेतर पूर्णांक हों) उसे बहुपद कहा जाता है।

8.4.1 एक एकपदी को द्विपद से गुणा करना

आइए एकपदी $3 x$ को द्विपद $5 y+2$ से गुणा करें, अर्थात् $3 x \times(5 y+2)=$ ? ज्ञात करें।

याद कीजिए कि $3 x$ और $(5 y+2)$ संख्याओं को दर्शाते हैं। इसलिए, वितरण नियम का प्रयोग करते हुए,

$(5 y+2)=(3 x \times 5 y)+(3 x \times 2)=15 x y+6 x$

हम सामान्यतः अपनी गणनाओं में वितरण नियम का प्रयोग करते हैं। उदाहरण के लिए:

$$ \begin{aligned} 7 \times 106 & =7 \times(100+6) \\ & =7 \times 100+7 \times 6 & \text{(यहाँ, हमने वितरण नियम का प्रयोग किया)} \\ & =700+42=742\\ 7 \times 38 & =7 \times(40-2) \\ & =7 \times 40-7 \times 2 & \text{(यहाँ, हमने वितरण नियम का प्रयोग किया)} \\ & =280-14=266 \end{aligned} $$

इसी प्रकार, $(-3 x) \times(-5 y+2)=(-3 x) \times(-5 y)+(-3 x) \times(2)=15 x y-6 x$

तथा: $5 x y \times(y^{2}+3)=(5 x y \times y^{2})+(5 x y \times 3)=5 x y^{3}+15 x y$।

द्विपद $\times$ एकपदी के बारे में क्या? उदाहरण के लिए, $(5 y+2) \times 3 x=$ ?

हम क्रमांतर नियम का प्रयोग कर सकते हैं : $7 \times 3=3 \times 7$; या सामान्यतः $a \times b=b \times a$

इसी प्रकार, $(5 y+2) \times 3 x=3 x \times(5 y+2)=15 x y+6 x$ जैसा पहले।

इन्हें आजमाइए

गुणनफल ज्ञात कीजिए

(i) $2 x(3 x+5 x y)$

(ii) $a^{2}(2 a b-5 c)$

8.4.2 एक एकपदी को त्रिपद से गुणा करना

विचार कीजिए $3 p \times(4 p^{2}+5 p+7)$। पिछले मामले की भाँति, हम वितरण नियम का प्रयोग करते हैं;

$ \begin{aligned} 3 p \times(4 p^{2}+5 p+7) & =(3 p \times 4 p^{2})+(3 p \times 5 p)+(3 p \times 7) \\ & =12 p^{3}+15 p^{2}+21 p \end{aligned} $

त्रिपद के प्रत्येक पद को एकपद से गुणा करें और गुणनफलों को जोड़ें।

ध्यान दें, वितरण नियम का प्रयोग करके हम पद-दर-पद गुणा कर सकते हैं।

इन्हें आज़माएँ

गुणनफल ज्ञात कीजिए:

$(4 p^{2}+5 p+7) \times 3 p$

उदाहरण 5 : व्यंजकों को सरल कीजिए और निर्देशानुसार मान ज्ञात कीजिए: (i) $x(x-3)+2$ जबकि $x=1$, (ii) $3 y(2 y-7)-3(y-4)-63$ जबकि $y=-2$

हल:

(i) $x(x-3)+2=x^{2}-3 x+2$

$ \text{ जब } \quad \begin{aligned} x=1, x^{2}-3 x+2 & =(1)^{2}-3(1)+2 \ & =1-3+2=3-3=0 \end{aligned} $

(ii) $3 y(2 y-7)-3(y-4)-63=6 y^{2}-21 y-3 y+12-63$

$ =6 y^{2}-24 y-51 $

जब $y=-2,6 y^{2}-24 y-51=6(-2)^{2}-24(-2)-51$

$ \begin{aligned} & =6 \times 4+24 \times 2-51 \ & =24+48-51=72-51=21 \end{aligned} $

उदाहरण 6 : जोड़ें

(i) $5 m(3-m)$ और $6 m^{2}-13 m$ (ii) $4 y(3 y^{2}+5 y-7)$ और $2(y^{3}-4 y^{2}+5)$

हल:

(i) पहला व्यंजक $=5 m(3-m)=(5 m \times 3)-(5 m \times m)=15 m-5 m^{2}$

अब इसमें दूसरा व्यंजक जोड़ने पर, $15 m-5 m^{2}+6 m^{2}-13 m=m^{2}+2 m$

(ii) पहला व्यंजक $=4 y(3 y^{2}+5 y-7)=(4 y \times 3 y^{2})+(4 y \times 5 y)+(4 y \times(-7))$

$ =12 y^{3}+20 y^{2}-28 y $

दूसरा व्यंजक $=2(y^{3}-4 y^{2}+5)=2 y^{3}+2 \times(-4 y^{2})+2 \times 5$

$ =2 y^{3}-8 y^{2}+10 $

दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर,

$ \begin{matrix} 12 y^{3} & +20 y^{2}-28 y & \ +\quad 2 y^{3} & -8 y^{2} & +10 \ \hline 14 y^{3} & +12 y^{2}-28 y & +10 \end{matrix} $

उदाहरण 7 : $2 p q(p+q)$ में से $3 p q(p-q)$ घटाइए।

हल: हमारे पास है $\quad 3 p q(p-q)=3 p^{2} q-3 p q^{2}$ और

घटाते हुए,

$ 2 p q(p+q)=2 p^{2} q+2 p q^{2} $

$ \begin{aligned} 2 p^{2} q & +2 p q^{2} \\ 3 p^{2} q & -3 p q^{2} \\ - & + \\hline-p^{2} q & +5 p q^{2} \end{aligned} $

प्रश्नावली 8.3

1. निम्नलिखित प्रत्येक युग्मों में व्यंजकों का गुणा कीजिए। (i) $4 p, q+r$ (ii) $a b, a-b$ (iii) $a+b, 7 a^{2} b^{2}$ (iv) $a^{2}-9,4 a$ (v) $p q+q r+r p, 0$

2. तालिका को पूरा कीजिए।

	प्रथम व्यंजक	द्वितीय व्यंजक	गुणनफल
(i)	$a$	$b+c+d$	$\ldots$
(ii)	$x+y-5$	$5 x y$	$\ldots$
(iii)	$p$	$6 p^{2}-7 p+5$	$\ldots$
(iv)	$4 p^{2} q^{2}$	$p^{2}-q^{2}$	$\ldots$
(v)	$a+b+c$	$a b c$	$\ldots$

3. गुणनफल ज्ञात कीजिए।

(i) $(a^{2}) \times(2 a^{22}) \times(4 a^{26})$

(ii) $(\frac{2}{3} x y) \times(\frac{-9}{10} x^{2} y^{2})$

(iii) $(-\frac{10}{3} p q^{3}) \times(\frac{6}{5} p^{3} q)$

(iv) $x \times x^{2} \times x^{3} \times x^{4}$

4. (a) $3 x(4 x-5)+3$ को सरल कीजिए और इसका मान ज्ञात कीजिए (i) $x=3$ के लिए (ii) $x=\frac{1}{2}$ के लिए।

(b) $a(a^{2}+a+1)+5$ को सरल कीजिए और इसका मान ज्ञात कीजिए (i) $a=0$ के लिए, (ii) $a=1$ के लिए

(iii) $a=-1$ के लिए।

5. (a) जोड़ें: $p(p-q), q(q-r)$ और $r(r-p)$

(b) जोड़ें: $2 x(z-x-y)$ और $2 y(z-y-x)$

(c) घटाएं: $3 l(l-4 m+5 n)$ को $4 l(10 n-3 m+2 l)$ से

(d) घटाएं: $3 a(a+b+c)-2 b(a-b+c)$ को $4 c(-a+b+c)$ से

8.5 एक बहुपद से दूसरे बहुपद का गुणा

8.5.1 द्विपद को द्विपद से गुणा करना

आइए एक द्विपद $(2 a+3 b)$ को दूसरे द्विपद, मान लीजिए $(3 a+4 b)$ से गुणा करें। हम यह कदम-दर-कदम करते हैं, जैसे हमने पहले के मामलों में किया था, गुणन के वितरण नियम का पालन करते हुए,

$ (3 a+4 b) \times(2 a+3 b)=3 a \times(2 a+3 b)+4 b \times(2 a+3 b) $

$ \begin{array}{|l|} \hline \text{ध्यान दीजिए, एक द्विपद का} \\ \text{प्रत्येक पद दूसरे द्विपद के} \\ \text{प्रत्येक पद से गुणा होता है।} \\ \hline \end{array} $ $\to$ $ \begin{aligned} &= (3a × 2a) + (3a × 3b) + (4b × 2a) + (4b × 3b) \\ &= 6a^2 + 9ab + 8ba + 12b^2 \\ &= 6a^2 + 17ab + 12b^2 & (\text{चूँकि } ba=ab) \end{aligned} $

जब हम पद-दर-पद गुणन करते हैं, तो हम उम्मीद करते हैं कि $2 \times 2=4$ पद मौजूद होंगे। लेकिन इनमें से दो समान पद होते हैं, जिन्हें संयोक्त किया जाता है, और इसलिए हमें 3 पद मिलते हैं। बहुपदों के बहुपदों से गुणन में, हमें हमेशा समान पदों की तलाश करनी चाहिए, यदि कोई हों, और उन्हें संयोक्त करना चाहिए।

उदाहरण 8 : गुणा कीजिए

(i) $(x-4)$ और $(2 x+3)$ $\quad$ (ii) $\quad(x-y)$ और $(3 x+5 y)$

हल:

(i) $(x-4) \times(2 x+3)=x \times(2 x+3)-4 \times(2 x+3)$

$ \begin{aligned} & =(x \times 2 x)+(x \times 3)-(4 \times 2 x)-(4 \times 3)=2 x^{2}+3 x-8 x-12 \\ & =2 x^{2}-5 x-12 \quad \text{ (समान पदों को जोड़ने पर) } \end{aligned} $

(ii) $(x-y) \times(3 x+5 y)=x \times(3 x+5 y)-y \times(3 x+5 y)$

$ \begin{aligned} & =(x \times 3 x)+(x \times 5 y)-(y \times 3 x)-(y \times 5 y) \\ & =3 x^{2}+5 x y-3 y x-5 y^{2}=3 x^{2}+2 x y-5 y^{2} \quad(\text{समान पदों को जोड़ने पर}) \end{aligned} $

उदाहरण 9 : गुणा कीजिए

(i) $(a+7)$ और $(b-5)$ $\quad$ (ii) $(a^{2}+2 b^{2})$ और $(5 a-3 b)$

हल:

(i) $(a+7) \times(b-5)=a \times(b-5)+7 \times(b-5)$

$ =a b-5 a+7 b-35 $

ध्यान दीजिए कि इस गुणा में कोई समान पद शामिल नहीं हैं।

(ii) $(a^{2}+2 b^{2}) \times(5 a-3 b)=a^{2}(5 a-3 b)+2 b^{2} \times(5 a-3 b)$

$ =5 a^{3}-3 a^{2} b+10 a b^{2}-6 b^{3} $

8.5.2 द्विपद से त्रिपद का गुणा

इस गुणा में, हमें त्रिपद के तीनों पदों को द्विपद के दोनों पदों से गुणा करना होगा। हमें कुल $3 \times 2=6$ पद प्राप्त होंगे, जो 5 या उससे कम हो सकते हैं, यदि पद-दर-पद गुणा समान पदों में परिणित होता है। विचार कीजिए

$ \begin{aligned} & \underbrace{(a+7)} _{\text{द्विपद }} \times \underbrace{(a^{2}+3 a+5)} _{\text{त्रिपद }}=a \times(a^{2}+3 a+5)+7 \times(a^{2}+3 a+5) \\ &=a^{3}+3 a^{2}+5 a+7 a^{2}+21 a+35 \\ &=a^{3}+(3 a^{2}+7 a^{2})+(5 a+21 a)+35 \\ &=a^{3}+10 a^{2}+26 a+35 \quad \text{ (अंतिम परिणाम में केवल 4 पद क्यों हैं?) } \end{aligned} $

उदाहरण 10 : सरल कीजिए $(a+b)(2 a-3 b+c)-(2 a-3 b) c$.

हल: हमारे पास

$ \begin{aligned} (a+b)(2 a-3 b+c) & =a(2 a-3 b+c)+b(2 a-3 b+c) \\ & =2 a^{2}-3 a b+a c+2 a b-3 b^{2}+b c \\ & =2 a^{2}-a b-3 b^{2}+b c+a c \end{aligned} $

(ध्यान दें, $-3 a b$ और $2 a b$ समान पद हैं)

और $\quad(2 a-3 b) c=2 a c-3 b c$

इसलिए,

$ \begin{aligned} (a+b)(2 a-3 b+c)-(2 a-3 b) c & =2 a^{2}-a b-3 b^{2}+b c+a c-(2 a c-3 b c) \\ & =2 a^{2}-a b-3 b^{2}+b c+a c-2 a c+3 b c \\ & =2 a^{2}-a b-3 b^{2}+(b c+3 b c)+(a c-2 a c) \\ & =2 a^{2}-3 b^{2}-a b+4 b c-a c \end{aligned} $

प्रश्नावली 8.4

1. द्विपदों का गुणा कीजिए।

(i) $(2 x+5)$ और $(4 x-3)$ $\quad$ (ii) $(y-8)$ और $(3 y-4)$ $\quad$ (iii) $(2.5 l-0.5 m)$ और $(2.5 l+0.5 m)$ $\quad$ (v) $(2 p q+3 q^{2})$ और $(3 p q-2 q^{2})$

(iv) $(a+3 b)$ और $(x+5)$ $\quad$ (vi) $(\frac{3}{4} a^{2}+3 b^{2})$ और $4(a^{2}-\frac{2}{3} b^{2})$

2. गुणनफल ज्ञात कीजिए।

(i) $(5-2 x)(3+x)$ $\quad$ (ii) $(x+7 y)(7 x-y)$ $\quad$ (iii) $(a^{2}+b)(a+b^{2})$ $\quad$ (iv) $(p^{2}-q^{2})(2 p+q)$

3. सरल कीजिए।

(i) $(x^{2}-5)(x+5)+25$ $\quad$ (ii) $(a^{2}+5)(b^{3}+3)+5$ $\quad$

(iii) $(t+s^{2})(t^{2}-s)$ $\quad$ (iv) $(a+b)(c-d)+(a-b)(c+d)+2(a c+b d)$

(v) $(x+y)(2 x+y)+(x+2 y)(x-y) \quad$ (vi) $\quad(x+y)(x^{2}-x y+y^{2})$ $\quad$

(vii) $(1.5 x-4 y)(1.5 x+4 y+3)-4.5 x+12 y$ $\quad$ (viii) $(a+b+c)(a+b-c)$

हमने क्या चर्चा की है??

1. व्यंजक चरों और अचरों से बनते हैं।

2. व्यंजक बनाने के लिए पदों को जोड़ा जाता है। पद स्वयं गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में बनते हैं।

3. वे व्यंजक जिनमें ठीक एक, दो और तीन पद होते हैं, क्रमशः एकपदी (monomials), द्विपदी (binomials) और त्रिपदी (trinomials) कहलाते हैं। सामान्यतः, कोई भी व्यंजक जिसमें एक या अधिक पद हों जिनके गुणांक शून्येतर हों (और चरों के घातांक ऋणेतर पूर्णांक हों) बहुपद (polynomial) कहलाता है।

4. समान पद (Like terms) उन चरों से बनते हैं जो एक ही हों और उन चरों की घातें भी समान हों। समान पदों के गुणांक समान होने आवश्यक नहीं हैं।

5. बहुपदों को जोड़ते (या घटाते) समय पहले समान पदों को खोजें और उन्हें जोड़ें (या घटाएँ); फिर असमान पदों को संभालें।

6. कई परिस्थितियाँ ऐसी होती हैं जिनमें हमें बीजीय व्यंजकों का गुणा करना पड़ता है: उदाहरण के लिए, किसी आयत का क्षेत्रफल निकालने में जिसकी भुजाएँ व्यंजकों के रूप में दी गई हों।

7. एक एकपदी का दूसरे एकपदी से गुणा करने पर सदैव एकपदी ही प्राप्त होता है।

8. जब हम किसी बहुपद को एकपदी से गुणा करते हैं, तो बहुपद के प्रत्येक पद को एकपदी से गुणा करते हैं।

9. किसी बहुपद को द्विपदी (या त्रिपदी) से गुणा करते समय हम पद-दर-पद गुणा करते हैं, अर्थात् बहुपद का प्रत्येक पद द्विपदी (या त्रिपदी) के प्रत्येक पद से गुणा किया जाता है। ध्यान दें कि ऐसे गुणन में हमें उत्पाद में समान पद मिल सकते हैं जिन्हें मिलाकर लिखना पड़ता है।