9.1 परिचय

हमने सीखा है कि किसी बंद समतल आकृति के लिए परिमाप उसकी सीमा के चारों ओर की दूरी होती है और क्षेत्रफल वह क्षेत्र होता है जिसे वह ढकती है। हमने विभिन्न समतल आकृतियों जैसे त्रिभुज, आयत, वृत्त आदि का क्षेत्रफल और परिमाप ज्ञात किया है। हमने आयताकार आकृतियों में पथ या सीमाओं का क्षेत्रफल निकालना भी सीखा है।

इस अध्याय में हम अन्य समतल बंद आकृतियों जैसे चतुर्भुजों के परिमाप और क्षेत्रफल से संबंधित समस्याओं को हल करने का प्रयास करेंगे।

हम घन, घनाभ और बेलन जैसे ठोसों के पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन के बारे में भी सीखेंगे।

9.2 बहुभुज का क्षेत्रफल

हम एक चतुर्भुज को त्रिभुजों में विभाजित कर उसका क्षेत्रफल निकालते हैं। बहुभुज का क्षेत्रफल निकालने के लिए भी इसी प्रकार की विधियों का उपयोग किया जा सकता है। एक पंचभुज के लिए निम्नलिखित को देखें: (चित्र 9.1, 9.2)

चित्र 9.1

दो विकर्णों $AC$ और $AD$ को बनाकर पंचभुज $A B C D E$ को तीन भागों में विभाजित किया गया है। इसलिए, क्षेत्रफल $ABCDE = \triangle ABC$ का क्षेत्रफल $+ \triangle ACD$ का क्षेत्रफल $+ \triangle ADE$ का क्षेत्रफल

चित्र 9.1

एक विकर्ण $AD$ और उस पर दो लंब $BF$ और $CG$ बनाकर पंचभुज $ABCDE$ को चार भागों में बाँटा गया है। इसलिए, $ABCDE$ का क्षेत्रफल = समकोण त्रिभुज $AFB$ का क्षेत्रफल + समलंब चतुर्भुज $BFGC$ का क्षेत्रफल + समकोण त्रिभुज $CGD$ का क्षेत्रफल + त्रिभुज $AED$ का क्षेत्रफल। (समलंब चतुर्भुज $BFGC$ की समानांतर भुजाओं की पहचान करें।)

इन्हें आज़माइए

(i) नीचे दिए गए बहुभुजों (चित्र 9.3) को भागों (त्रिभुज और समलंब चतुर्भुज) में बाँटकर उनका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

(ii) बहुभुज $ABCDE$ को नीचे दिखाए अनुसार भागों में बाँटा गया है (चित्र 9.4)। यदि $AD=8 सेमी, AH=6 सेमी, AG=4 सेमी, AF=3 सेमी$ और लंब $BF=2 सेमी$, $CH=3 सेमी, FG=2.5 सेमी$ है, तो इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

बहुभुज $ABCDE$ का क्षेत्रफल = त्रिभुज $AFB$ का क्षेत्रफल + …

त्रिभुज $AFB$ का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times AF \times BF = \frac{1}{2} \times 3 \times 2 = \ldots$

समलंब चतुर्भुज $FBCH$ का क्षेत्रफल = $FH \times \frac{(BF+CH)}{2}$

$ =3 \times \frac{(2+3)}{2} \quad [FH = AH - AF] $

चित्र 9.4

त्रिभुज CHD का क्षेत्रफल = 1/2 × HD × CH = …; त्रिभुज ADE का क्षेत्रफल = 1/2 × AD × GE =
इसलिए बहुभुज ABCDE का क्षेत्रफल = …

(iii) बहुभुज MNOPQR (चित्र 9.5) का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि MP = 9 cm, MD = 7 cm, MC = 6 cm, MB = 4 cm, MA = 2 cm

NA, OC, QD और RB, विकर्ण MP पर लंब हैं।

चित्र 9.5

उदाहरण 1: एक समलंबाकार खेत का क्षेत्रफल 480 m² है, दो समानांतर भुजाओं के बीच की दूरी 15 m है और एक समानांतर भुजा 20 m है। दूसरी समानांतर भुजा ज्ञात कीजिए।

हल: समलंबाकार की एक समानांतर भुजा a = 20 m है, माना दूसरी समानांतर भुजा b है, ऊँचाई h = 15 m है।

दिया गया समलंबाकार का क्षेत्रफल = 480 m²।

[ \begin{alignedat} \text{समलंबाकार का क्षेत्रफल} & = \frac{1}{2} h(a + b) \ \text{इसलिए } 480 & = \frac{1}{2} \times 15 \times (20 + b) \quad \text{या} \quad \frac{480 \times 2}{15} = 20 + b \ \text{या } 64 & = 20 + b \text{ या } b = 44 \text{ m} \end{aligned} ]

अतः समलंबाकार की दूसरी समानांतर भुजा 44 m है।

उदाहरण 2 : एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल $240 cm^{2}$ है और इसके एक विकर्ण की लंबाई $16 cm$ है। दूसरे विकर्ण की लंबाई ज्ञात कीजिए।

माना एक विकर्ण की लंबाई $d_1=16 cm$

और $\quad\quad$ दूसरे विकर्ण की लंबाई $=d_2$

$\quad\quad$ समचतुर्भुज का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2} d_1 \cdot d_2=240$

इसलिए, $ \begin{alignedat} \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot d_2 & =240 \\ d_2 & =30 cm \end{aligned} $

अतः दूसरे विकर्ण की लंबाई $30 cm$ है।

एक षट्भुज MNOPQR है जिसकी भुजा $5\ cm$ है (चित्र 9.6)। अमन और रिधिमा ने इसे दो अलग-अलग तरीकों से विभाजित किया है (चित्र 9.7)।

इस षट्भुज का क्षेत्रफल दोनों तरीकों से ज्ञात कीजिए।

हल: अमन की विधि:

चित्र 9.7

चूंकि यह एक नियमित षट्भुज है, NQ इस षट्भुज को दो सर्वांगसम समलंबों में विभाजित करता है। आप इसे कागज को मोड़कर सत्यापित कर सकते हैं (चित्र 9.8)।

अब समलंब MNQR का क्षेत्रफल $= \frac{(11+5)}{2} \times 4 = 2 \times 16 = 32 cm^{2}$ है।

चित्र 9.9 इसलिए षट्भुज MNOPQR का क्षेत्रफल $=2 \times 32=64\ cm^{2}$ है।

रिधिमा की विधि:

$\Delta MNO$ और $\Delta RPQ$ सर्वांगसम त्रिभुज हैं जिनकी संगत ऊँचाइयाँ $3 cm$ हैं (आकृति 9.9)।

आप इन दोनों त्रिभुजों को काटकर एक दूसरे पर रखकर इसकी पुष्टि कर सकते हैं।

$ \text{ } \Delta MNO \text{ का क्षेत्रफल }=\frac{1}{2} \times 8 \times 3=12 cm^{2}=\text{ } \Delta RPQ \text{ का क्षेत्रफल } $

आयत MOPR का क्षेत्रफल $=8 \times 5=40 cm^{2}$।

अब, षट्भुज MNOPQR का क्षेत्रफल $=40+12+12=64\ cm^{2}$।

प्रश्नावली 9.1

1. एक मेज़ की ऊपरी सतह का आकार एक समलंब है। यदि इसकी समानांतर भुजाएँ $1 m$ और $1.2 m$ हों और उनके बीच की लंबवत दूरी $0.8 m$ हो, तो इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

एक समलंब का क्षेत्रफल $34 , \text{cm}^{2}$ है और इसकी एक समानांतर भुजा की लंबाई

$10 cm$ है और इसकी ऊँचाई $4 cm$ है। दूसरी समानांतर भुजा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

3. एक समलंब आकार के खेत $A B C D$ की बाड़ की लंबाई $120 m$ है। यदि $B C=48 m, C D=17 m$ और $A D=40 m$ हों, तो इस खेत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। भुजा $AB$ समानांतर भुजाओं $AD$ और $BC$ के लंबवत है।

4. एक चतुर्भुज आकार के मैदान का विकर्ण $24 m$ है और शेष विपरीत शीर्षों से इस पर डाले गए लंब $8 m$ और $13 m$ हैं। मैदान का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

5. एक समचतुर्भुज के विकर्ण $7.5 cm$ और $12 cm$ हैं। इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

6. एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी भुजा $5 cm$ है और जिसकी ऊँचाई $4.8 cm$ है। यदि इसका एक विकर्ण $8 cm$ लंबा है, तो दूसरे विकर्ण की लंबाई ज्ञात कीजिए।

7. एक इमारत की फर्श 3000 टाइलों से बनी है जो समचतुर्भुज आकार की हैं और प्रत्येक के विकर्ण क्रमशः $45 cm$ और $30 cm$ लंबे हैं। फर्श को पॉलिश करने की कुल लागत ज्ञात कीजिए, यदि प्रति $m^{2}$ की लागत ₹ 4 है।

8. मोहन एक समलंब आकार का मैदान खरीदना चाहता है। इसकी नदी के किनारे वाली भुजा सड़क के किनारे वाली भुजा के समानांतर और उसकी दोगुनी है। यदि इस मैदान का क्षेत्रफल $10500 m^{2}$ है और दोनों समानांतर भुजाओं के बीच की लंब दूरी

$100\ \text{m}$ है, तो नदी के किनारे वाली भुजा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

9. एक उठे हुए मंच की ऊपरी सतह आकृति में दिखाए अनुसार एक नियमित अष्टभुज (अष्टकोण) के आकार की है। अष्टकोणीय सतह का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

10. आकृति में दिखाए अनुसार एक पंचभुजीय आकार का उद्यान है।

इसके क्षेत्रफल को ज्ञात करने के लिए ज्योति और कविता ने इसे दो भिन्न-भिन्न तरीकों से विभाजित किया।

इस उद्यान का क्षेत्रफल दोनों तरीकों से ज्ञात कीजिए। क्या आप इसके क्षेत्रफल को ज्ञात करने का कोई अन्य तरीका सुझा सकते हैं?

11. संलग्न चित्र के फ्रेम का आरेख बाहरी माप = 24 cm × 28 cm और आंतरिक माप 16 cm × 20 cm है। फ्रेम के प्रत्येक खंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि प्रत्येक खंड की चौड़ाई समान है।

9.3 ठोस आकृतियाँ

अपनी पिछली कक्षाओं में आपने अध्ययन किया है कि द्विविमीय आकृतियाँ त्रिविमीय आकृतियों के फलकों के रूप में पहचानी जा सकती हैं। उन ठोसों का अवलोकन कीजिए जिन पर हमने अब तक चर्चा की है (आकृति 9.10)।

आकृति 9.10

ध्यान दीजिए कि कुछ आकृतियों के दो या दो से अधिक समान (सर्वांगसम) फलक होते हैं। उनके नाम बताइए। किस ठोस के सभी फलक सर्वांगसम हैं?

इसे कीजिए

साबुन, खिलौने, पेस्ट, नाश्ते आदि अक्सर घनाभाकार, घनाकार या बेलनाकार डिब्बों में पैक आते हैं। ऐसे डिब्बे इकट्ठा कीजिए (आकृति 9.11)।

$$\hspace{90 mm} \begin{array}{|r|} \hline \text{सभी छः फलक} \\ \text{चतुर्भुज हैं} \ \text{और सर्वांगसम हैं} \\ \hline \end{array} $$

अब एक समय में एक प्रकार के डिब्बे को लीजिए। इसकी सभी सतहों को काटकर अलग कर दीजिए। प्रत्येक सतह के आकार को देखिए और उन्हें एक-दूसरे के ऊपर रखकर यह पता लगाइए कि डिब्बे की कितनी सतहें एक-दूसरे के समान हैं। अपनी प्रेक्षणों को लिखिए।

आकृति 9.12

(यह एक लंब वृत्तीय बेलन है)

क्या आपने निम्नलिखित बात को ध्यान से देखा:

बेलन में संपूर्ण वृत्तीय सतहें होती हैं जो एक-दूसरे के समानांतर होती हैं (आकृति 9.12)। ध्यान दीजिए कि वृत्तीय सतहों के केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा खंड आधार पर लंबवत होती है। ऐसे बेलनों को लंब वृत्तीय बेलन कहा जाता है। हम केवल इस प्रकार के बेलनों का अध्ययन करने वाले हैं, यद्यपि अन्य प्रकार के बेलन भी होते हैं (आकृति 9.13)।

आकृति 9.13

(यह एक सम वृत्तीय बेलन नहीं है)

सोचो, चर्चा करो और लिखो

यहाँ दिखाए गए ठोस को बेलन कहना गलत क्यों है?

9.4 घन, घनाभ और बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल

इमरान, मोनिका और जसपाल क्रमशः एक घनाभाकार, घनाकार और बेलनाकार डिब्बे को एक समान ऊँचाई के साथ रंग रहे हैं (आकृति 9.4)।

वे यह पता लगाने की कोशिश करते हैं कि किसने अधिक क्षेत्रफल रंगा है। हरि ने सुझाव दिया कि प्रत्येक डिब्बे का पृष्ठीय क्षेत्रफल निकालने से उन्हें यह पता लगाने में मदद मिलेगी।

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, प्रत्येक फलक का क्षेत्रफल ज्ञात करें और फिर उन्हें जोड़ें। किसी ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल उसके फलकों के क्षेत्रफलों का योग होता है। इसे और स्पष्ट करने के लिए, हम प्रत्येक आकृति को एक-एक करके लेते हैं।

9.4.1 घनाभ

मान लीजिए आप एक घनाभाकार डिब्बे को काटकर खोलते हैं और उसे समतल पर फैलाते हैं (आकृति 9.15)। हम नीचे दिखाए गए जाल को देख सकते हैं (आकृति 9.16)।

प्रत्येक भुजा की विमा लिखिए। आप जानते हैं कि एक घनाभ के तीन जोड़े समान फलकों के होते हैं। प्रत्येक फलका का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए आप कौन-सा व्यंजक प्रयोग कर सकते हैं?

सभी फलकों का कुल क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

चित्र 9.16 डिब्बे का। हम देखते हैं कि घनाभ का कुल पृष्ठ क्षेत्रफल क्षेत्रफल I + क्षेत्रफल II + क्षेत्रफल III + क्षेत्रफल IV + क्षेत्रफल V + क्षेत्रफल VI है

$ =h \times l + b \times l + b \times h + l \times h + b \times h + l \times b $

इसलिए कुल पृष्ठ क्षेत्रफल $=2(h \times l+b \times h+b \times l)=2(l b+b h+h l)$ जहाँ $h, l$ और $b$ क्रमशः घनाभ की ऊँचाई, लंबाई और चौड़ाई हैं।

मान लीजिए ऊपर दिखाए गए डिब्बे की ऊँचाई, लंबाई और चौड़ाई क्रमशः $20 सेमी, 15 सेमी$ और $10 सेमी$ हैं।

$ \begin{alignedat} \text{ तब कुल पृष्ठ क्षेत्रफल } & =2(20 \times 15+20 \times 10+10 \times 15) \\ & = 2(300 + 200 + 150) = 1300 , \text{मी}^{2} . \end{aligned} $

इन्हें आज़माइए

निम्नलिखित घनाभों का कुल पृष्ठ क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (चित्र 9.17):

चित्र 9.17

• पार्श्व भित्तियाँ (ऊपर और नीचे के फलकों को छोड़कर) घनाभ की पार्श्व सतह क्षेत्रफल बनाती हैं। उदाहरण के लिए, जिस घनाभाकार कमरे में आप बैठे हैं, उसकी चारों दीवारों का कुल क्षेत्रफल इस कमरे का पार्श्व सतह क्षेत्रफल है (चित्र 9.18)। इसलिए, घनाभ का पार्श्व सतह क्षेत्रफल $2(h \times l + h \times b)$ या $2 h(l + b)$ द्वारा दिया जाता है।

करो

(i) एक घनाभाकार डस्टर (जो आपके शिक्षक कक्षा में उपयोग करते हैं) की पार्श्व सतह को ब्राउन पेपर की पट्टी से इस प्रकार ढकें कि वह सतह के चारों ओर ठीक-ठीक फिट हो जाए। पेपर को हटा लें। पेपर का क्षेत्रफल मापें। क्या यह डस्टर का पार्श्व सतह क्षेत्रफल है?

(ii) अपनी कक्षा की लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई मापें और गणना करें

(a) कमरे का कुल सतह क्षेत्रफल, खिड़कियों और दरवाजों के क्षेत्रफल को नजरअंदाज करते हुए।

(b) इस कमरे का पार्श्व सतह क्षेत्रफल।

(c) कमरे का वह कुल क्षेत्रफल जिसे सफेद किया जाना है।

सोचो, चर्चा करो और लिखो

1. क्या हम कह सकते हैं कि घनाभ का कुल सतह क्षेत्रफल = पार्श्व सतह क्षेत्रफल $+2 \times$ आधार का क्षेत्रफल?

2. यदि हम घनाभ के आधार की लंबाई और ऊंचाई को आपस में बदल दें (चित्र 9.19(i)) ताकि एक अन्य घनाभ प्राप्त हो (चित्र 9.19(ii)), क्या इसका पार्श्व सतह क्षेत्रफल बदल जाएगा?

(i)

9.4.2 घन

करो

एक चौकोनी कागज़ पर दिखाए गए नमूने को खींचो और काटो [चित्र 9.20(i)]। (तुम जानते हो कि यह नमूना घन का जाल है। इसे रेखाओं के साथ मोड़ो [चित्र 9.20(ii)] और किनारों को टेप लगाकर एक घन बनाओ [चित्र 9.20(iii)]।

चित्र 9.20

(i)

चित्र 9.21

(a) घन की लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई क्या है? देखो कि घन के सभी फलक वर्गाकार आकार के होते हैं। इससे घन की लंबाई, ऊंचाई और चौड़ाई बराबर होती है (चित्र 9.21(i))।

(b) प्रत्येक फलक का क्षेत्रफल लिखो। क्या वे बराबर हैं?

(c) इस घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल लिखिए।

(d) यदि घन की प्रत्येक भुजा $l$ है, तो प्रत्येक फलक का क्षेत्रफल क्या होगा? (चित्र 9.21(ii))। क्या हम कह सकते हैं कि भुजा $l$ वाले घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $6 l^{2}$ है?

इन्हें आज़माइए

घन A का पृष्ठीय क्षेत्रफल और घन B का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (चित्र 9.22)।

चित्र 9.22

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए

(i) दो घन जिनकी प्रत्येक भुजा $b$ है, को मिलाकर एक घनाभ बनाया गया है (चित्र 9.23)। इस घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या है? क्या यह $6 b^{2}$ है? क्या तीन ऐसे घनों को मिलाकर बने घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल $14 b^{2}$ है? क्यों?

चित्र 9.23

(ii) 12 समान लंबाई वाले घनों को किस प्रकार व्यवस्थित करके सबसे कम पृष्ठीय क्षेत्रफल वाला घनाभ बनाया जा सकता है?

(iii) एक घन के पृष्ठीय क्षेत्रफल को रंगने के बाद, उसे 64 समान आयामों के छोटे घनों में काटा गया है (चित्र 9.24)।

कितने घन ऐसे हैं जिनका कोई फलक रंगा नहीं है? 1 फलक रंगा है? 2 फलक रंगे हैं? 3 फलक रंगे हैं?

चित्र 9.24

9.4.3 बेलन (सिलेंडर)

अधिकांश बेलन जो हम देखते हैं, वे लंब वृत्तीय बेलन होते हैं। उदाहरण के लिए, एक टिन, गोल खंभे, ट्यूबलाइट, पानी के पाइप आदि।

इसे कीजिए

(i) एक बेलनाकार डिब्बा या डिब्बा लीजिए और उसके आधार को ग्राफ पेपर पर ट्रेस कीजिए और उसे काट लीजिए [चित्र 9.25(i)]। एक और ग्राफ पेपर लीजिए इस प्रकार कि उसकी चौड़ाई डिब्बे की ऊँचाई के बराबर हो। पट्टी को डिब्बे के चारों ओर इस प्रकार लपेटिए कि वह ठीक-ठीक डिब्बे के चारों ओर फिट हो जाए (अतिरिक्त कागज को हटा दीजिए) [चित्र 9.25(ii)]।

टुकड़ों को टेप से चिपकाकर एक बेलन बनाइए [चित्र 9.25(iii)] एक साथ जोड़िए [चित्र 9.25(iv)]। डिब्बे के चारों ओर जो कागज जाता है, उसका आकार क्या है?

बेशक यह आकार में आयताकार है। जब आप इस बेलन के भागों को टेप से चिपकाते हैं, तो आयताकार पट्टी की लंबाई वृत्त की परिधि के बराबर होती है। वृत्ताकार आधार की त्रिज्या $(r)$, आयताकार पट्टी की लंबाई $(l)$ और चौड़ाई $(h)$ दर्ज करें। क्या $2 \pi r=$ पट्टी की लंबाई है। जांचें कि आयताकार पट्टी का क्षेत्रफल $2 \pi r h$ है या नहीं। गिनें कि बेलन बनाने के लिए वर्गाकार कागज के कितने वर्ग इकाई उपयोग किए गए हैं।

जांचें कि यह गिनती लगभग $2 \pi r(r+h)$ के बराबर है या नहीं।

(ii) हम $2 \pi r(r+h)$ संबंध को बेलन के पृष्ठीय क्षेत्रफल के रूप में दूसरे तरीके से भी निकाल सकते हैं। एक बेलन को नीचे दिखाए अनुसार काटने की कल्पना करें (चित्र 9.26)।

चित्र 9.26

नोट: हम $\pi$ को $\frac{22}{7}$ मानते हैं जब तक कि अन्यथा न कहा गया हो।

बेलन का पार्श्व (या वक्र) पृष्ठीय क्षेत्रफल $2 \pi r h$ होता है।

बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $=\pi r^{2}+2 \pi r h$

$ =2 \pi r^{2}+2 \pi r h \text{ या } 2 \pi r(r+h) $

इन्हें आजमाएँ

निम्नलिखित बेलनों का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करें (चित्र 9.27)

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए

ध्यान दीजिए कि बेलन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल आधार की परिधि $\times$ बेलन की ऊँचाई होता है। क्या हम घनाभ का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल आधार की परिमाप $\times$ घनाभ की ऊँचाई के रूप में लिख सकते हैं?

उदाहरण 4 : एक मछलीघर घनाभ के रूप में है जिसकी बाहरी माप $80 cm \times 30 cm \times 40 cm$ है। आधार, पार्श्व सतहें और पिछला पृष्ठ रंगीन कागज़ से ढकने हैं। कागज़ के लिए आवश्यक क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए?

हल: मछलीघर की लंबाई $=l=80 cm$

मछलीघर की चौड़ाई $=b=30 cm$

मछलीघर की ऊँचाई $=h=40 cm$

आधार का क्षेत्रफल $=l \times b=80 \times 30=2400 cm^{2}$

पार्श्व सतह का क्षेत्रफल $=b \times h=30 \times 40=1200 cm^{2}$

पिछले पृष्ठ का क्षेत्रफल $=l \times h=80 \times 40=3200 cm^{2}$

आवश्यक क्षेत्रफल $=$ आधार का क्षेत्रफल + पार्श्व सतह का क्षेत्रफल

$ \begin{alignedat} & +(2 \times \text{ एक पार्श्व सतह का क्षेत्रफल }) \\ = & 2400+3200+(2 \times 1200)=8000 cm^{2} \end{aligned} $

अतः आवश्यक रंगीन कागज़ का क्षेत्रफल $8000 cm^{2}$ है।

उदाहरण 5 : एक घनाभाकार कमरे की आंतरिक माप $12 m \times 8 m \times 4 m$ है। कमरे की चारों दीवारों को सफेद करने का कुल व्यय ज्ञात कीजिए, यदि सफेदी का व्यय ₹ 5 प्रति $m^{2}$ है। यदि कमरे की छत को भी सफेद किया जाए तो सफेदी का व्यय क्या होगा?

मान लीजिए कमरे की लंबाई $=l=12\ \text{m}$

कमरे की चौड़ाई $=b=8 m$

कमरे की ऊँचाई $=h=4 m$

कमरे की चारों दीवारों का क्षेत्रफल $=$ आधार की परिमाप $\times$ कमरे की ऊँचाई

$ \begin{alignedat} & =2(l+b) \times h=2(12+8) \times 4 \\ & =2 \times 20 \times 4=160 m^{2} \end{aligned} $

प्रति $m^{2}$ सफेदी करने की लागत = ₹5

इसलिए कमरे की चार दीवारों की सफेदी करने की कुल लागत = ₹(160 × 5) = ₹800

छत का क्षेत्रफल = 12 × 8 = 96 m^{2}

छत की सफेदी करने की लागत = ₹(96 × 5) = ₹480

इसलिए सफेदी करने की कुल लागत = ₹(800 + 480) = ₹1280

उदाहरण 6 : एक इमारत में 24 बेलनाकार खंभे हैं। प्रत्येक खंभे की त्रिज्या 28 cm और ऊँचाई 4 m है। सभी खंभों के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल को ₹8 प्रति m^{2} की दर से पेंट करने की कुल लागत ज्ञात कीजिए।

हल: बेलनाकार खंभे की त्रिज्या, r = 28 cm = 0.28 m

$ \text{ ऊँचाई, } h=4 m $

बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh

एक खंभे का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 × (22/7) × 0.28 × 4 = 7.04 m^{2}

24 ऐसे खंभों का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 7.04 × 24 = 168.96 m^{2}

1 m^{2} क्षेत्रफल को पेंट करने की लागत = ₹8

इसलिए 168.96 m^{2} को पेंट करने की लागत = 168.96 × 8 = ₹1351.68

उदाहरण 7 : एक बेलन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए जिसकी त्रिज्या 7 cm है और आयतन दिया गया है। कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 968 cm^{2} है।

माना बेलन की ऊँचाई = h, त्रिज्या = r = 7 cm

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr(h + r) अर्थात्,

$ \begin{alignedat} 2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times(7+h) & =968 \\ h & =15 cm \end{aligned} $

इसलिए बेलन की ऊँचाई 15 cm है।

अभ्यास 9.2

1. आकृति में दिखाए गए दो घनाभाकार डिब्बे हैं। इनमें से किस डिब्बे को बनाने के लिए कम सामग्री की आवश्यकता होगी?

2. एक सूटकेस जिसकी माप $80 cm \times$ $48 cm \times 24 cm$ है, को

(a)

(b) एक तिरपाल के कपड़े से ढकना है। 100 ऐसे सूटकेसों को ढकने के लिए 96 cm चौड़ाई की कितने मीटर तिरपाल की आवश्यकता होगी?

3. एक घन की भुजा ज्ञात कीजिए जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल $600 cm^{2}$ है।

4. रुखसार ने $1 m \times 2 m \times 1.5 m$ माप के अलमारी के बाहर हिस्से को पेंट किया। उसने

अलमारी के नीचे के हिस्से को छोड़कर बाकी सभी हिस्सों को पेंट किया तो उसने कितना पृष्ठीय क्षेत्रफल ढका?

5. डैनियल एक घनाकार हॉल की दीवारों और छत को पेंट कर रहा है, जिसकी लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई क्रमशः $15 m, 10 m$ और $7 m$ है। प्रत्येक पेंट की कैन से $100 m^{2}$ क्षेत्रफल पेंट किया जाता है।

उसे कमरे को पेंट करने के लिए कितनी पेंट की कैनों की आवश्यकता होगी?

6. वर्णन कीजिए कि दाईं ओर दो आकृतियाँ किस प्रकार समान हैं और किस प्रकार भिन्न हैं। किस डिब्बे की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल अधिक है?

7. $7 m$ त्रिज्या और $3 m$ ऊंचाई का एक बंद बेलनाकार टैंक धातु की चादर से बनाया गया है। कितनी धातु की चादर की आवश्यकता होगी?

8. एक खोखले बेलन की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल $4224 cm^{2}$ है। इसे इसकी ऊंचाई के अनुदर्ग काटा गया और $33 cm$ चौड़ाई की एक आयताकार चादर बनाई गई। आयताकार चादर का परिमाप ज्ञात कीजिए?

9. एक रोड रोलर एक सड़क को समतल करने के लिए 750 पूर्ण चक्कर लेता है। सड़क का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि रोड रोलर का व्यास $84 cm$ और लंबाई $1 m$ है।

10. एक कंपनी अपने दूध के पाउडर को बेलनाकार डिब्बों में पैक करती है जिसके आधार का व्यास $14 cm$ और ऊँचाई $20 cm$ है। कंपनी डिब्बे की सतह के चारों ओर एक लेबल चिपकाती है (जैसा कि चित्र में दिखाया गया है)। यदि लेबल ऊपर और नीचे से $2 cm$ की दूरी पर लगाया जाता है, तो लेबल का क्षेत्रफल क्या है?

9.5 घन, घनाभ और बेलन का आयतन

किसी त्रिविमीय वस्तु द्वारा घिरे गए स्थान की मात्रा को उसका आयतन कहा जाता है। अपने आस-पास की वस्तुओं के आयतनों की तुलना करने का प्रयास करें। उदाहरण के लिए, एक कमरे का आयतन उसमें रखी अलमारी के आयतन से अधिक होता है। इसी प्रकार, आपकी पेंसिल बॉक्स का आयतन उसमें रखी पेन और रबड़ के आयतन से अधिक होता है।

क्या आप इनमें से किसी वस्तु का आयतन माप सकते हैं?

याद रखें, हम किसी क्षेत्र का क्षेत्रफल निकालने के लिए वर्ग इकाइयों का उपयोग करते हैं। यहाँ हम ठोस का आयतन निकालने के लिए घन इकाइयों का उपयोग करेंगे, क्योंकि घन सबसे सुविधाजनक ठोस आकृति है (जैसे क्षेत्रफल निकालने के लिए वर्ग सबसे सुविधाजनक आकृति होती है)।

क्षेत्रफल निकालने के लिए हम क्षेत्र को वर्ग इकाइयों में बाँटते हैं, इसी प्रकार, किसी ठोस का आयतन ज्ञात करने के लिए हमें उसे घन इकाइयों में बाँटना होगा।

ध्यान दें कि संलग्न ठोसों में से प्रत्येक का आयतन 8 घन इकाई है (चित्र 9.28)।

हम कह सकते हैं कि एक ठोस का आयतन इस बात से निर्धारित होता है कि उसमें कितनी इकाई घन हैं।

चित्र 9.28 उसमें मौजूद इकाई घनों की संख्या गिनकर। घन इकाइयाँ, जिन्हें हम आमतौर पर आयतन मापने के लिए उपयोग करते हैं, हैं

$ \begin{aligned} 1 \text{ घन } cm & =1 cm \times 1 cm \times 1 cm=1 cm^{3} \ & =10 mm \times 10 mm \times 10 mm =\ldots \ldots \ldots \ldots . mm^{3} \ 1 \text{ घन } m & =1 m \times 1 m \times 1 m=1 m^{3} \ & =\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots cm^{3} \ 1 \text{ घन mm } & =1 mm \times 1 mm \times 1 mm=1 mm^{3} \ & =0.1 cm \times 0.1 cm \times 0.1 cm=0.001\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . . . cm^{3} \end{aligned} $

अब हम घनाभ, घन और बेलन के आयतन की गणना करने के कुछ सूत्र देखते हैं। आइए प्रत्येक ठोस को एक-एक करके विचार करें।

9.5.1 घनाभ

समान आकार के 36 घन लीजिए (अर्थात् प्रत्येक घन की लंबाई समान है)। उन्हें घनाभ बनाने के लिए व्यवस्थित कीजिए। आप उन्हें कई तरह से व्यवस्थित कर सकते हैं। निम्नलिखित सारणी को देखिए और रिक्त स्थान भरिए।

आप क्या देखते हैं?

चूँकि हमने इन घनाभों को बनाने के लिए 36 घनों का प्रयोग किया है, इसलिए प्रत्येक घनाभ का आयतन 36 घन इकाई है। साथ ही, प्रत्येक घनाभ का आयतन घनाभ की लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई के गुणनफल के बराबर है। उपरोक्त उदाहरण से हम कह सकते हैं कि घनाभ का आयतन $=l \times b \times h$। चूँकि $l \times b$ इसके आधार का क्षेत्रफल है, हम यह भी कह सकते हैं कि,

घनाभ का आयतन $=$ आधार का क्षेत्रफल $\times$ ऊँचाई

यह कीजिए

एक कागज की शीट लीजिए। इसका क्षेत्रफल मापिए। समान आकार की ऐसी कागज की शीटों को ऊपर-नीचे रखकर एक घनाभ बनाइए (चित्र 9.29)। इस ढेर की ऊँचाई मापिए। कागज की शीट के क्षेत्रफल और शीटों के इस ढेर की ऊँचाई का गुणनफल निकालकर घनाभ का आयतन ज्ञात कीजिए।

यह गतिविधि इस विचार को दर्शाती है कि किसी ठोस का आयतन इस विधि से भी निकाला जा सकता है (यदि ठोस का आधार और शीर्ष संपूरक और एक-दूसरे के समानांतर हों और इसकी भुजाएँ आधार पर लंबवत हों)। क्या आप ऐसी वस्तुओं के बारे में सोच सकते हैं जिनका आयतन इस विधि से निकाला जा सकता है?

इन्हें आजमाइए

निम्नलिखित घनाभों का आयतन ज्ञात कीजिए (चित्र 9.30)।

(i)

आकृति 9.29

9.5.2 घन

घन एक घनाभ का विशेष प्रकार है, जहाँ $l=b=h$।

इसलिए, घन का आयतन $=l \times l \times l=l^{3}$

इन्हें आज़माइए

निम्नलिखित घनों का आयतन ज्ञात कीजिए
(a) जिसकी भुजा 4 cm है
(b) जिसकी भुजा $1.5\ \text{m}$ है

इसे कीजिए

64 समान आकार के घनों को जितने तरीकों से हो सके घनाभ बनाने के लिए व्यवस्थित कीजिए। प्रत्येक व्यवस्था का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। क्या समान आयतन वाले ठोस आकारों का पृष्ठीय क्षेत्रफल भी समान हो सकता है?

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए

एक कंपनी बिस्कुट बेचती है। पैकिंग के लिए वे घनाभीय डिब्बों का उपयोग कर रहे हैं: डिब्बा A → 3 cm × 8 cm × 20 cm, डिब्बा B → 4 cm × 12 cm × 10 cm। कंपनी के लिए किस आकार का डिब्बा किफायती होगा? क्यों? क्या आप कोई अन्य आकार (माप) सुझा सकते हैं जिसका आयतन समान हो लेकिन यह इनसे अधिक किफायती हो?

9.5.3 बेलन

हम जानते हैं कि घनाभ का आयतन आधार के क्षेत्रफल और ऊँचाई के गुणनफल से निकाला जा सकता है। क्या हम बेलन का आयतन भी इसी तरह से निकाल सकते हैं?

ठीक घनाभ की तरह, बेलन के भी ऊपर और नीचे समान और समानांतर आधार होते हैं। इसकी पार्श्व सतह भी आधार के लंबवत् होती है, जैसे घनाभ।

इसलिए
घनाभ का आयतन = आधार का क्षेत्रफल × ऊँचाई

$=l \times b \times h=l b h$

बेलन का आयतन $=$ आधार का क्षेत्रफल $\times$ ऊँचाई

$ =\pi r^{2} \times h=\pi r^{2} h $

इन्हें आज़माइए

निम्नलिखित बेलनों का आयतन ज्ञात कीजिए।

9.6 आयतन और धारिता

इन दो शब्दों में ज़्यादा अंतर नहीं होता।

(a) आयतन किसी वस्तु द्वारा घेरे गए स्थान की मात्रा को दर्शाता है।

(b) धारिता उस मात्रा को दर्शाती है जो एक बर्तन में समा सकती है।

नोट: यदि एक पानी की टिन $100 cm^{3}$ पानी रखती है तो उस टिन की धारिता $100 cm^{3}$ है।

धारिता को लीटर में भी मापा जाता है। लीटर और $cm^{3}$ का संबंध इस प्रकार है, $1 mL=1 cm^{3}, 1 L=1000 cm^{3}$। इस प्रकार, $1 m^{3}=1000000 cm^{3}=1000 L$।

उदाहरण 8 : एक घनाभ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए जिसका आयतन $275 cm^{3}$ है और आधार का क्षेत्रफल $25 cm^{2}$ है।

हल: $\quad$ घनाभ का आयतन $=$ आधार का क्षेत्रफल $\times$ ऊँचाई

$ \begin{alignedat} \text{ अतः घनाभ की ऊँचाई } & =\frac{\text{ घनाभ का आयतन }}{\text{ आधार का क्षेत्रफल }} \\ & =\frac{275}{25}=11 cm \end{aligned} $

घनाभ की ऊँचाई $11 cm$ है।

उदाहरण 9 : एक गोडाउन एक घनाभ के रूप में है जिसकी माप $60 m \times 40 m \times 30 m$ है। इसमें कितने घनाभीय डिब्बे संग्रहित किए जा सकते हैं यदि एक डिब्बे का आयतन $0.8 m^{3}$ है?

हल: $\quad$ एक डिब्बे का आयतन $=0.8 m^{3}$

$ \text{ गोडाउन का आयतन }=60 \times 40 \times 30=72000 m^{3} $

गोडाउन में संग्रहित किए जा सकने वाले डिब्बों की संख्या $=\frac{\text{ गोडाउन का आयतन }}{\text{ एक डिब्बे का आयतन }}$

$ =\frac{60 \times 40 \times 30}{0.8}=90,000 $

अतः गोडाउन में संग्रहित किए जा सकने वाले घनाभीय डिब्बों की संख्या 90,000 है।

एक आयताकार कागज जिसकी चौड़ाई $14 cm$ है, को इसकी लंबाई के साथ लपेटा जाता है और एक बेलन जिसकी त्रिज्या $20 cm$ है, बनता है। बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए (चित्र 9.31)। ($\pi$ के लिए $\frac{22}{7}$ लीजिए)

एक आयत को इसकी लंबाई के चारों ओर लपेटकर एक बेलन बनाया जाता है। अतः कागज की चौड़ाई बेलन की ऊंचाई बन जाती है और बेलन की त्रिज्या $20 cm$ है।

चित्र 9.31

बेलन की ऊंचाई $=h=14 cm$

त्रिज्या $=r=20 cm$

बेलन का आयतन $=V=\pi r^{2} h$

$ =\frac{22}{7} \times 20 \times 20 \times 14=17600 cm^{3} $

अतः बेलन का आयतन $17600 cm^{3}$ है।

उदाहरण 11 : कागज़ का एक आयताकार टुकड़ा $11 cm \times 4 cm$ को बिना ओवरलैपिंग के मोड़कर $4 cm$ ऊँचाई का एक बेलन बनाया गया। बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए।

कागज़ की लंबाई बेलन के आधार की परिधि बन जाती है और चौड़ाई ऊँचाई बन जाती है।

माना बेलन की त्रिज्या $=r$ और ऊँचाई $=h$

बेलन के आधार की परिधि $=2 \pi r=11$

या: $ \begin{alignedat} 2 \times \frac{22}{7} \times r & =11 \ r & =\frac{7}{4} cm \end{aligned} $

बेलन का आयतन $=V=\pi r^{2} h$

अतः बेलन का आयतन $38.5\ cm^{3}$ है।

$ =\frac{22}{7} \times \frac{7}{4} \times \frac{7}{4} \times 4 cm^{3}=38.5 cm^{3} $

अभ्यास 9.3

1. एक बेलनाकर टैंक दिया गया है, आप किस स्थिति में पृष्ठीय क्षेत्रफल और किस स्थिति में आयतन ज्ञात करेंगे।

(a) यह जानने के लिए कि यह कितना धारण कर सकता है।

(b) प्लास्टरिंग के लिए आवश्यक सीमेंट की बोरियों की संख्या।

(c) यह जानने के लिए कि इससे कितने छोटे टैंक पानी से भरे जा सकते हैं।

2. बेलन A का व्यास 7 cm है और ऊँचाई 14 cm है। बेलन B का व्यास 14 cm है और ऊँचाई 7 cm है। बिना कोई गणना किए क्या आप बता सकते हैं किसका आयतन अधिक है? दोनों बेलनों का आयतन निकालकर इसकी पुष्टि करें। क्या बेलन जिसका आयतन अधिक है, उसका पृष्ठीय क्षेत्रफल भी अधिक है?

3. एक घनाभ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए जिसका आधार क्षेत्रफल 180 cm² है और आयतन 900 cm³ है?

4. एक घनाभ की विमाएँ 60 cm × 54 cm × 30 cm हैं। 6 cm भुजा वाले कितने छोटे घन इस घनाभ में रखे जा सकते हैं?

5. एक बेलन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए जिसका आयतन 1.54 m³ है और आधार का व्यास 1.4 m है?

6. एक दूध का टैंक बेलन के आकार का है जिसकी त्रिज्या 1.5 m है और लंबाई 7 m है। टैंक में कितने लीटर दूध संग्रहित किया जा सकता है?

7. यदि एक घन की प्रत्येक भुजा दोगुनी कर दी जाए,

(i) इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल कितनी बार बढ़ेगा?

(ii) इसका आयतन कितनी बार बढ़ेगा?

8. एक घनाभाकार जलाशय में पानी 60 लीटर प्रति मिनट की दर से डाला जा रहा है। यदि जलाशय का आयतन (108 m^{3}) है, तो जलाशय को भरने में कितने घंटे लगेंगे, ज्ञात कीजिए।

हमने क्या चर्चा की है??

1. एक ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल उसके फलकों के क्षेत्रफलों का योग होता है।

2. किसी वस्तु का पृष्ठीय क्षेत्रफल

एक घनाभ (=2(lb + bh + hl))

एक घन (=6 l^{2})

एक बेलन (=2 \pi r^2 + 2 \pi r h)

3. किसी ठोस द्वारा घिरा गया क्षेत्रफल उसके आयतन कहलाता है।

4. किसी पदार्थ का आयतन

एक घनाभ (=l \times b \times h)

एक घन (=l^{3})

एक बेलन (=\pi r^{2} h)

5. (i) (1 cm^{3}=1 mL)

(ii) (1 L=1000 cm^{3})

(iii) (1 m^{3}=1000000 cm^{3}=1000 L)