5.1 भूमिका

‘ज्यामिति’ शब्द ग्रीक शब्दों ‘जियो’ (अर्थात ‘पृथ्वी’) और ‘मेट्रिन’ (अर्थात ‘मापना’) से बना है। ऐसा प्रतीत होता है कि ज्यामिति की उत्पत्ति भूमि को मापने की आवश्यकता से हुई थी। गणित की इस शाखा का अध्ययन प्रत्येक प्राचीन सभ्यता, चाहे वह मिस्र, बेबीलोन, चीन, भारत, ग्रीस, इंका आदि में विभिन्न रूपों में किया गया था। इन सभ्यताओं के लोगों को कई व्यावहारिक समस्याओं का सामना करना पड़ा, जिनके लिए ज्यामिति का विभिन्न तरीकों से विकास आवश्यक था।

उदाहरण के लिए, जब भी नील नदी उफनती थी, तो वह विभिन्न भूमि मालिकों के आसपास के खेतों के बीच की सीमाओं को मिटा देती थी। ऐसी बाढ़ के बाद, इन सीमाओं को फिर से खींचना पड़ता था। इस उद्देश्य के लिए, मिस्रवासियों ने सरल क्षेत्रफलों की गणना करने और सरल रचनाएँ करने के लिए कई ज्यामितीय तकनीकों और नियमों का विकास किया। ज्यामिति के ज्ञान का उपयोग उनके द्वारा अन्नागारों के आयतन की गणना करने और नहरों तथा पिरामिडों के निर्माण के लिए भी किया जाता था। वे एक छिन्नक पिरामिड (देखिए चित्र 5.1) का आयतन ज्ञात करने का सही सूत्र भी जानते थे। आप जानते हैं कि पिरामिड एक ठोस आकृति होती है, जिसका आधार एक त्रिभुज, या वर्ग, या कोई अन्य बहुभुज होता है, और इसके पार्श्व फलक त्रिभुज होते हैं जो शीर्ष पर एक बिंदु पर मिलते हैं।

चित्र 5.1 : एक छिन्नक पिरामिड

भारतीय उपमहाद्वीप में, हड़प्पा और मोहनजोदड़ो आदि की खुदाइयाँ दर्शाती हैं कि सिंधु घाटी सभ्यता (लगभग 3000 ईसा पूर्व) ने ज्यामिति का व्यापक उपयोग किया था। यह एक अत्यधिक संगठित समाज था। शहर अत्यधिक विकसित और बहुत अच्छी तरह से योजनाबद्ध थे। उदाहरण के लिए, सड़कें एक दूसरे के समानांतर थीं और एक भूमिगत जल निकासी प्रणाली थी। घरों में विभिन्न प्रकार के कई कमरे थे। इससे पता चलता है कि नगर निवासी क्षेत्रमिति और व्यावहारिक अंकगणित में कुशल थे। निर्माण के लिए उपयोग की जाने वाली ईंटें भट्ठे में पकाई गई थीं और ईंटों की लंबाई : चौड़ाई : मोटाई का अनुपात $4: 2: 1$ पाया गया था।

प्राचीन भारत में, शुल्बसूत्र ($800 \mathrm{BCE}$ से $500 \mathrm{BCE}$) ज्यामितीय रचनाओं के मैनुअल थे। वैदिक काल की ज्यामिति वैदिक अनुष्ठानों को करने के लिए वेदियों (या वेदियों) और अग्निकुंडों के निर्माण के साथ शुरू हुई। पवित्र अग्नियों का स्थान उनके आकारों और क्षेत्रफलों के बारे में स्पष्ट रूप से निर्धारित निर्देशों के अनुसार होना चाहिए था, यदि उन्हें प्रभावी साधन बनना था। वर्गाकार और वृत्ताकार वेदियों का उपयोग घरेलू अनुष्ठानों के लिए किया जाता था, जबकि आयतों, त्रिभुजों और समलंबों के संयोजन वाली वेदियों की आवश्यकता सार्वजनिक पूजा के लिए थी। श्रीयंत्र (अथर्ववेद में दिया गया) में नौ अंतर्गुंथित समद्विबाहु त्रिभुज होते हैं। ये त्रिभुज इस तरह व्यवस्थित हैं कि वे 43 सहायक त्रिभुज बनाते हैं। हालाँकि वेदियों के निर्माण के लिए सटीक ज्यामितीय विधियों का उपयोग किया गया था, लेकिन उनके पीछे के सिद्धांतों पर चर्चा नहीं की गई थी।

ये उदाहरण दर्शाते हैं कि ज्यामिति का विकास और अनुप्रयोग दुनिया भर में हो रहा था। लेकिन यह एक अव्यवस्थित तरीके से हो रहा था। प्राचीन दुनिया में ज्यामिति के इन विकासों के बारे में जो बात दिलचस्प है, वह यह है कि इन्हें एक पीढ़ी से दूसरी पीढ़ी तक, या तो मौखिक रूप से या ताड़ के पत्तों के संदेशों के माध्यम से, या अन्य तरीकों से पहुँचाया गया था। साथ ही, हम पाते हैं कि कुछ सभ्यताओं जैसे बेबीलोन में, ज्यामिति एक बहुत ही व्यावहारिक उन्मुख विषय बनी रही, जैसा कि भारत और रोम में था। मिस्रवासियों द्वारा विकसित ज्यामिति में मुख्य रूप से परिणामों के कथन शामिल थे। प्रक्रिया के कोई सामान्य नियम नहीं थे। वास्तव में, बेबीलोनियों और मिस्रवासियों ने ज्यामिति का उपयोग ज्यादातर व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए किया और इसे एक व्यवस्थित विज्ञान के रूप में विकसित करने के लिए बहुत कम किया। लेकिन ग्रीस जैसी सभ्यताओं में, जोर इस बात पर था कि कुछ निर्माण क्यों काम करते हैं। ग्रीक लोग निगमनात्मक तर्क (परिशिष्ट 1 देखें) का उपयोग करके खोजे गए कथनों की सत्यता स्थापित करने में रुचि रखते थे। एक ग्रीक गणितज्ञ, थेल्स को पहला ज्ञात प्रमाण देने का श्रेय दिया जाता है। यह प्रमाण इस कथन का था कि एक वृत्त उसके व्यास द्वारा द्विभाजित (अर्थात दो बराबर भागों में काटा जाता) होता है। थेल्स के सबसे प्रसिद्ध शिष्यों में से एक पाइथागोरस (572 ईसा पूर्व) थे, जिनके बारे में आपने सुना है। पाइथागोरस और उनके समूह ने कई ज्यामितीय गुणों की खोज की और ज्यामिति के सिद्धांत को बहुत हद तक विकसित किया। यह प्रक्रिया $300 \mathrm{BCE}$ तक जारी रही। उस समय, मिस्र के अलेक्जेंड्रिया में गणित के एक शिक्षक यूक्लिड ने सभी ज्ञात कार्यों को एकत्र किया और अपने प्रसिद्ध ग्रंथ में व्यवस्थित किया,

थेल्स (640 ईसा पूर्व - 546 ईसा पूर्व)

इस अध्याय में, हम ज्यामिति के लिए यूक्लिड के दृष्टिकोण पर चर्चा करेंगे और इसे वर्तमान समय की ज्यामिति से जोड़ने का प्रयास करेंगे।

यूक्लिड (325 ईसा पूर्व - 265 ईसा पूर्व)

चित्र 5.3

5.2 यूक्लिड की परिभाषाएँ, अभिगृहीत और अभिधारणाएँ

यूक्लिड के समय के ग्रीक गणितज्ञ ज्यामिति को उस दुनिया का एक अमूर्त मॉडल मानते थे जिसमें वे रहते थे। बिंदु, रेखा, तल (या पृष्ठ) आदि की धारणाएँ उनके आसपास जो देखा गया था, उससे ली गई थीं। उनके आसपास के स्थान और ठोसों के अध्ययन से, एक ठोस वस्तु की एक अमूर्त ज्यामितीय धारणा विकसित की गई। एक ठोस का आकार, आकार, स्थिति होती है, और इसे एक स्थान से दूसरे स्थान पर ले जाया जा सकता है। इसकी सीमाओं को पृष्ठ कहा जाता है। वे स्थान के एक भाग को दूसरे से अलग करते हैं, और कहा जाता है कि उनकी कोई मोटाई नहीं होती है। पृष्ठों की सीमाएँ वक्र या सीधी रेखाएँ होती हैं। ये रेखाएँ बिंदुओं पर समाप्त होती हैं।

ठोसों से बिंदुओं तक के तीन चरणों (ठोस-पृष्ठ-रेखाएँ-बिंदु) पर विचार करें। प्रत्येक चरण में हम एक विस्तार खो देते हैं, जिसे आयाम भी कहा जाता है। इसलिए, एक ठोस के तीन आयाम होते हैं, एक पृष्ठ के दो, एक रेखा के एक और एक बिंदु के कोई नहीं होता। यूक्लिड ने इन कथनों को परिभाषाओं के रूप में संक्षेप में प्रस्तुत किया। उन्होंने ‘एलिमेंट्स’ की पुस्तक 1 में 23 परिभाषाओं की सूची बनाकर अपना प्रतिपादन शुरू किया। उनमें से कुछ नीचे दी गई हैं:

1. एक बिंदु वह है जिसका कोई भाग नहीं है।
2. एक रेखा बिना चौड़ाई की लंबाई है।
3. एक रेखा के सिरे बिंदु होते हैं।
4. एक सीधी रेखा वह रेखा है जो स्वयं पर स्थित बिंदुओं के साथ समतल रूप से स्थित होती है।
5. एक पृष्ठ वह है जिसकी केवल लंबाई और चौड़ाई होती है।
6. एक पृष्ठ के किनारे रेखाएँ होती हैं।
7. एक समतल पृष्ठ वह पृष्ठ है जो स्वयं पर स्थित सीधी रेखाओं के साथ समतल रूप से स्थित होता है।

यदि आप इन परिभाषाओं का ध्यानपूर्वक अध्ययन करते हैं, तो आप पाते हैं कि कुछ शब्दों जैसे भाग, चौड़ाई, लंबाई, समतल रूप से, आदि को स्पष्ट रूप से समझाने की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, एक बिंदु की उनकी परिभाषा पर विचार करें। इस परिभाषा में, ‘एक भाग’ को परिभाषित करने की आवश्यकता है। मान लीजिए कि यदि आप ‘एक भाग’ को उस रूप में परिभाषित करते हैं जो ‘क्षेत्रफल’ घेरता है, तो फिर से ‘एक क्षेत्रफल’ को परिभाषित करने की आवश्यकता है। इसलिए, एक चीज को परिभाषित करने के लिए, आपको कई अन्य चीजों को परिभाषित करने की आवश्यकता होती है, और आपको बिना किसी अंत के परिभाषाओं की एक लंबी श्रृंखला मिल सकती है। ऐसे कारणों से, गणितज्ञ कुछ ज्यामितीय शब्दों को अपरिभाषित छोड़ने पर सहमत होते हैं। हालाँकि, हमारे पास एक बिंदु की ज्यामितीय अवधारणा के लिए एक सहज ज्ञान है, जो ऊपर दी गई ‘परिभाषा’ से अधिक है। इसलिए, हम एक बिंदु को एक बिंदी के रूप में दर्शाते हैं, भले ही एक बिंदी का कुछ आयाम होता है।

ऊपर दी गई परिभाषा 2 में एक समान समस्या उत्पन्न होती है, क्योंकि यह चौड़ाई और लंबाई को संदर्भित करती है, जिनमें से किसी को भी परिभाषित नहीं किया गया है। इसके कारण, किसी भी अध्ययन पाठ्यक्रम को विकसित करते समय कुछ शब्दों को अपरिभाषित रखा जाता है। इसलिए, ज्यामिति में, हम एक बिंदु, एक रेखा और एक तल (यूक्लिड के शब्दों में एक समतल पृष्ठ) को अपरिभाषित पदों के रूप में लेते हैं। केवल इतना ही है कि हम उन्हें सहज रूप से प्रस्तुत कर सकते हैं, या ‘भौतिक मॉडल’ की सहायता से उन्हें समझा सकते हैं।

अपनी परिभाषाओं से शुरू करते हुए, यूक्लिड ने कुछ गुणों को मान लिया, जिन्हें सिद्ध नहीं किया जाना था। ये मान्यताएँ वास्तव में ‘स्पष्ट सार्वभौमिक सत्य’ हैं। उन्होंने उन्हें दो प्रकारों में विभाजित किया: अभिगृहीत और अभिधारणाएँ। उन्होंने ‘अभिधारणा’ शब्द का उपयोग उन मान्यताओं के लिए किया जो विशेष रूप से ज्यामिति से संबंधित थीं। दूसरी ओर, सामान्य धारणाएँ (जिन्हें अक्सर अभिगृहीत कहा जाता है), पूरे गणित में उपयोग की जाने वाली मान्यताएँ थीं और विशेष रूप से ज्यामिति से जुड़ी नहीं थीं। अभिगृहीत और अभिधारणाओं के विवरण के लिए, परिशिष्ट 1 देखें। यूक्लिड के कुछ अभिगृहीत, उनके क्रम में नहीं, नीचे दिए गए हैं:

(1) वे चीजें जो एक ही चीज के बराबर होती हैं, एक दूसरे के बराबर होती हैं। (2) यदि बराबर में बराबर जोड़े जाएँ, तो पूर्ण बराबर होते हैं। (3) यदि बराबर में से बराबर घटाए जाएँ, तो शेष बराबर होते हैं। (4) वे चीजें जो एक दूसरे के साथ संपाती होती हैं, एक दूसरे के बराबर होती हैं। (5) पूर्ण, भाग से बड़ा होता है। (6) वे चीजें जो एक ही चीज के दोगुने होती हैं, एक दूसरे के बराबर होती हैं। (7) वे चीजें जो एक ही चीज की आधी होती हैं, एक दूसरे के बराबर होती हैं।

ये ‘सामान्य धारणाएँ’ किसी प्रकार के परिमाणों को संदर्भित करती हैं। पहली सामान्य धारणा समतल आकृतियों पर लागू की जा सकती है। उदाहरण के लिए, यदि एक त्रिभुज का क्षेत्रफल एक आयत के क्षेत्रफल के बराबर है और आयत का क्षेत्रफल एक वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर है, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल भी वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर है।

एक ही प्रकार के परिमाणों की तुलना और जोड़ा जा सकता है, लेकिन विभिन्न प्रकार के परिमाणों की तुलना नहीं की जा सकती। उदाहरण के लिए, एक रेखा की तुलना एक आयत से नहीं की जा सकती, न ही एक कोण की तुलना एक पंचभुज से की जा सकती है।

ऊपर दिया गया चौथा अभिगृहीत यह कहता प्रतीत होता है कि यदि दो चीजें समान हैं (अर्थात, वे एक ही हैं), तो वे बराबर हैं। दूसरे शब्दों में, प्रत्येक चीज स्वयं के बराबर होती है। यह अध्यारोपण के सिद्धांत का औचित्य है। अभिगृहीत (5) हमें ‘से बड़ा’ की परिभाषा देता है। उदाहरण के लिए, यदि एक राशि B दूसरी राशि A का एक भाग है, तो A को B और कुछ तीसरी राशि C के योग के रूप में लिखा जा सकता है। प्रतीकात्मक रूप से, A > B का अर्थ है कि कोई $\mathrm{C}$ ऐसा है कि $\mathrm{A}=\mathrm{B}+\mathrm{C}$।

अब हम यूक्लिड की पाँच अभिधारणाओं पर चर्चा करते हैं। वे हैं:

अभिधारणा 1 : किसी एक बिंदु से किसी अन्य बिंदु तक एक सीधी रेखा खींची जा सकती है।

ध्यान दें कि यह अभिधारणा हमें बताती है कि दो भिन्न बिंदुओं से होकर कम से कम एक सीधी रेखा गुजरती है, लेकिन यह नहीं कहती कि ऐसी एक से अधिक रेखा नहीं हो सकती। हालाँकि, अपने कार्य में, यूक्लिड ने बार-बार, बिना उल्लेख किए, यह मान लिया है कि दो भिन्न बिंदुओं को मिलाने वाली एक अद्वितीय रेखा होती है। हम इस परिणाम को एक अभिगृहीत के रूप में इस प्रकार कहते हैं:

अभिगृहीत 5.1 : दो भिन्न बिंदु दिए जाने पर, उनसे होकर गुजरने वाली एक अद्वितीय रेखा होती है।

$P$ से होकर गुजरने वाली कितनी रेखाएँ $Q$ से भी होकर गुजरती हैं (देखिए चित्र 5.4)? केवल एक, अर्थात् रेखा $P Q$। $Q$ से होकर गुजरने वाली कितनी रेखाएँ $P$ से भी होकर गुजरती हैं? केवल एक, अर्थात् रेखा PQ। इस प्रकार, उपरोक्त कथन स्वतः स्पष्ट है, और इसलिए इसे एक अभिगृहीत के रूप में लिया जाता है।

चित्र 5.4

अभिधारणा 2 : एक सीमांत रेखा को अनिश्चित काल तक बढ़ाया जा सकता है।

ध्यान दें कि आजकल जिसे हम एक रेखाखंड कहते हैं, वही यूक्लिड ने एक सीमांत रेखा कहा था। इसलिए, वर्तमान समय के शब्दों के अनुसार, दूसरी अभिधारणा कहती है कि एक रेखाखंड को दोनों ओर बढ़ाकर एक रेखा बनाया जा सकता है (देखिए चित्र 5.5)।

चित्र 5.5

अभिधारणा 3 : किसी भी केंद्र और किसी भी त्रिज्या से एक वृत्त खींचा जा सकता है।

अभिधारणा 4 : सभी समकोण एक दूसरे के बराबर होते हैं।

अभिधारणा 5 : यदि एक सीधी रेखा दो सीधी रेखाओं पर गिरती है और उसके एक ही ओर के अंतः कोणों का योग दो समकोणों से कम होता है, तो दोनों सीधी रेखाएँ, यदि अनिश्चित काल तक बढ़ाई जाएँ, तो उस ओर मिलती हैं जिस ओर कोणों का योग दो समकोणों से कम है।

उदाहरण के लिए, चित्र 5.6 में रेखा PQ, रेखाओं $\mathrm{AB}$ और $\mathrm{CD}$ पर इस प्रकार गिरती है कि अंतः कोण 1 और 2 का योग PQ के बाईं ओर $180^{\circ}$ से कम है। इसलिए, रेखाएँ $\mathrm{AB}$ और ⟦16⟅ अंततः PQ के बाईं ओर प्रतिच्छेद करेंगी।

चित्र 5.6

पाँच अभिधारणाओं पर एक संक्षिप्त दृष्टि डालने पर आपको ध्यान आता है कि अभिधारणा 5 किसी भी अन्य अभिधारणा की तुलना में कहीं अधिक जटिल है। दूसरी ओर, अभिधारणा 1 से 4 इतनी सरल और स्पष्ट हैं कि इन्हें ‘स्वतः स्पष्ट सत्य’ के रूप में लिया जाता है। हालाँकि, उन्हें सिद्ध करना संभव नहीं है। इसलिए, इन कथनों को बिना किसी प्रमाण के स्वीकार किया जाता है (परिशिष्ट 1 देखें)। इसकी जटिलता के कारण, अगले भाग में पाँचवीं अभिधारणा पर अधिक ध्यान दिया जाएगा।

आजकल, ‘अभिधारणा’ और ‘अभिगृहीत’ शब्दों का परस्पर और एक ही अर्थ में उपयोग किया जाता है। ‘अभिधारणा’ वास्तव में एक क्रिया है। जब हम कहते हैं “आइए अभिधारणा करें”, हमारा मतलब है, “आइए ब्रह्मांड में देखे गए घटना के आधार पर कुछ कथन बनाएं”। इसकी सत्यता/वैधता बाद में जाँची जाती है। यदि यह सत्य है, तो इसे एक ‘अभिधारणा’ के रूप में स्वीकार किया जाता है।

अभिगृहीतों की एक प्रणाली को संगत कहा जाता है (परिशिष्ट 1 देखें), यदि इन अभिगृहीतों से ऐसा कथन निकालना असंभव है जो किसी अभिगृहीत या पहले से सिद्ध कथन का खंडन करता हो। इसलिए, जब कोई अभिगृहीत प्रणाली दी जाती है, तो यह सुनिश्चित करने की आवश्यकता होती है कि प्रणाली संगत है।

यूक्लिड ने अपनी अभिधारणाओं और अभिगृहीतों को बताने के बाद, उनका उपयोग अन्य परिणामों को सिद्ध करने के लिए किया। फिर इन परिणामों का उपयोग करके, उन्होंने निगमनात्मक तर्क लागू करके कुछ और परिणाम सिद्ध किए। जो कथन सिद्ध किए गए थे उन्हें प्रतिज्ञप्ति या प्रमेय कहा जाता है। यूक्लिड ने अपने अभिगृहीतों, अभिधारणाओं, परिभाषाओं और श्रृंखला में पहले सिद्ध प्रमेयों का उपयोग करके एक तार्किक श्रृंखला में 465 प्रतिज्ञप्तियाँ निकालीं। ज्यामिति पर आगामी कुछ अध्यायों में, आप कुछ प्रमेयों को सिद्ध करने के लिए इन अभिगृहीतों का उपयोग करेंगे।

अब, आइए निम्नलिखित उदाहरणों में देखें कि यूक्लिड ने कुछ परिणामों को सिद्ध करने के लिए अपने अभिगृहीतों और अभिधारणाओं का उपयोग कैसे किया:

उदाहरण 1 : यदि $\mathrm{A}, \mathrm{B}$, $\mathrm{C}$ और $\mathrm{B}$ एक रेखा पर तीन बिंदु हैं, और $\mathrm{A}$, $\mathrm{C}$ और $\mathrm{AB}+\mathrm{BC}=\mathrm{AC}$ के बीच स्थित है (देखिए चित्र 5.7), तो सिद्ध कीजिए कि $\mathrm{AC}$।

चित्र 5.7

हल : ऊपर दिए गए चित्र में, $\mathrm{AB}+\mathrm{BC}$, $\mathrm{AB}+\mathrm{BC}=\mathrm{AC}$ के साथ संपाती है।

साथ ही, यूक्लिड का अभिगृहीत (4) कहता है कि वे चीजें जो एक दूसरे के साथ संपाती होती हैं, एक दूसरे के बराबर होती हैं। इसलिए, यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि

$A$

ध्यान दें कि इस हल में, यह माना गया है कि दो बिंदुओं से होकर गुजरने वाली एक अद्वितीय रेखा होती है।

उदाहरण 2 : सिद्ध कीजिए कि किसी दिए गए रेखाखंड पर एक समबाहु त्रिभुज की रचना की जा सकती है।

हल : उपरोक्त कथन में, किसी लंबाई का एक रेखाखंड दिया गया है, मान लीजिए AB [देखिए चित्र 5.8(i)]।

चित्र 5.8

यहाँ, आपको कुछ रचना करने की आवश्यकता है। यूक्लिड की अभिधारणा 3 का उपयोग करके, आप बिंदु $A B$ को केंद्र और $\mathrm{B}$ को त्रिज्या मानकर एक वृत्त खींच सकते हैं [देखिए चित्र 5.8(ii)]। इसी तरह, बिंदु $\mathrm{BA}$ को केंद्र और $\mathrm{C}$ को त्रिज्या मानकर एक अन्य वृत्त खींचें। दोनों वृत्त एक बिंदु पर मिलते हैं, मान लीजिए $\mathrm{AC}$। अब, रेखाखंड $\mathrm{BC}$ और ⟦33⟅ खींचकर $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=\mathrm{BC}$ बनाएँ [देखिए चित्र 5.8 (iii)]।

इसलिए, आपको यह सिद्ध करना है कि यह त्रिभुज समबाहु है, अर्थात् $\quad \mathrm{AB}=\mathrm{AC}$।

अब, $A B=B C \quad$, क्योंकि वे एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ हैं

इसी प्रकार, $\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{AC}$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)

इन दो तथ्यों से, और यूक्लिड के अभिगृहीत कि वे चीजें जो एक ही चीज के बराबर होती हैं, एक दूसरे के बराबर हो