अध्याय 12 सांख्यिकी
12.1 आँकड़ों का आलेखीय निरूपण
आँकड़ों के सारणीबद्ध निरूपण पर पहले ही चर्चा की जा चुकी है। अब हम आँकड़ों के एक अन्य निरूपण, अर्थात् आलेखीय निरूपण पर ध्यान देते हैं। यह कहावत ठीक ही है कि एक चित्र हज़ार शब्दों के बराबर होता है। आमतौर पर व्यक्तिगत मदों के बीच तुलना को आलेखों के माध्यम से सर्वोत्तम रूप से दर्शाया जाता है। तब यह निरूपण वास्तविक आँकड़ों की तुलना में समझने में आसान हो जाता है। हम इस अनुभाग में निम्नलिखित आलेखीय निरूपणों का अध्ययन करेंगे।
(अ) दंड आलेख
(ब) एकसमान चौड़ाई और परिवर्ती चौड़ाई वाले आयतचित्र
(स) बारंबारता बहुभुज
(अ) दंड आलेख
पिछली कक्षाओं में, आप पहले ही दंड आलेखों का अध्ययन कर चुके हैं और उनका निर्माण कर चुके हैं। यहाँ हम उन पर एक अधिक औपचारिक दृष्टिकोण के माध्यम से चर्चा करेंगे। याद रखिए कि दंड आलेख आँकड़ों का एक चित्रमय निरूपण होता है जिसमें आमतौर पर एक समान चौड़ाई वाले दंड एक अक्ष (मान लीजिए, $x$-अक्ष) पर उनके बीच समान अंतराल रखते हुए खींचे जाते हैं, जो चर को निरूपित करते हैं। चर के मान दूसरे अक्ष (मान लीजिए, $y$-अक्ष) पर दिखाए जाते हैं और दंडों की ऊँचाई चर के मानों पर निर्भर करती है।
उदाहरण 1 : कक्षा IX के एक विशेष खंड में, 40 विद्यार्थियों से उनके जन्म के महीनों के बारे में पूछा गया और प्राप्त आँकड़ों के लिए निम्नलिखित आलेख तैयार किया गया:
चित्र 12.1
ऊपर दिए गए दंड आलेख का अवलोकन कीजिए और निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए:
(i) नवंबर महीने में कितने विद्यार्थी पैदा हुए थे?
(ii) किस महीने में सबसे अधिक संख्या में विद्यार्थी पैदा हुए थे?
हल : ध्यान दीजिए कि यहाँ चर ‘जन्म का महीना’ है, और चर का मान ‘पैदा हुए विद्यार्थियों की संख्या’ है।
(i) नवंबर महीने में 4 विद्यार्थी पैदा हुए थे।
(ii) अगस्त महीने में सबसे अधिक संख्या में विद्यार्थी पैदा हुए थे।
आइए अब निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करके याद करें कि दंड आलेख कैसे बनाया जाता है।
उदाहरण 2 : ₹ 20,000 की मासिक आय वाले एक परिवार ने विभिन्न मदों के अंतर्गत प्रति माह निम्नलिखित व्यय की योजना बनाई:
सारणी 12.1
| मद | व्यय (हज़ार रुपयों में) |
|---|---|
| किराना सामान | 4 |
| किराया | 5 |
| बच्चों की शिक्षा | 5 |
| दवाई | 2 |
| ईंधन | 2 |
| मनोरंजन | 1 |
| विविध | 1 |
ऊपर दिए गए आँकड़ों के लिए एक दंड आलेख खींचिए।
हल : हम इस आँकड़े का दंड आलेख निम्नलिखित चरणों में खींचते हैं। ध्यान दीजिए कि दूसरे स्तंभ में इकाई हज़ार रुपये है। अतः, ‘किराना सामान’ के सामने ‘4’ का अर्थ ₹4000 है।
1. हम मदों (चर) को क्षैतिज अक्ष पर किसी भी मापक पर निरूपित करते हैं, क्योंकि दंड की चौड़ाई महत्वपूर्ण नहीं है। लेकिन स्पष्टता के लिए, हम सभी दंडों के लिए समान चौड़ाई लेते हैं और उनके बीच समान अंतराल बनाए रखते हैं। मान लीजिए कि एक मद को एक इकाई द्वारा निरूपित किया जाता है।
2. हम व्यय (मान) को ऊर्ध्वाधर अक्ष पर निरूपित करते हैं। चूँकि अधिकतम व्यय ₹ 5000 है, हम मापक को 1 इकाई =₹ 1000 के रूप में चुन सकते हैं।
3. हमारी पहली मद, अर्थात् किराना सामान, को निरूपित करने के लिए, हम 1 इकाई चौड़ाई और 4 इकाई ऊँचाई वाला एक आयताकार दंड खींचते हैं।
4. इसी प्रकार, अन्य मदों को दो क्रमागत दंडों के बीच 1 इकाई का अंतराल छोड़ते हुए निरूपित किया जाता है।
दंड आलेख चित्र 12.2 में खींचा गया है।
चित्र 12.2
यहाँ, आप एक नज़र में आँकड़ों की सापेक्ष विशेषताओं को आसानी से कल्पना कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, शिक्षा पर व्यय चिकित्सा व्यय से दोगुने से अधिक है। इसलिए, कुछ मायनों में यह सारणीबद्ध रूप की तुलना में आँकड़ों का एक बेहतर निरूपण प्रदान करता है।
क्रियाकलाप 1 : क्रियाकलाप 1 के समान चार समूहों को जारी रखते हुए, आँकड़ों को उपयुक्त दंड आलेखों द्वारा निरूपित कीजिए।
आइए अब देखें कि सतत वर्ग अंतरालों के लिए एक बारंबारता बंटन सारणी को आलेखीय रूप से कैसे निरूपित किया जा सकता है।
(ब) आयतचित्र
यह दंड आलेख की तरह एक निरूपण का रूप है, लेकिन इसका उपयोग सतत वर्ग अंतरालों के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, बारंबारता बंटन सारणी 12.2 पर विचार कीजिए, जो एक कक्षा के 36 विद्यार्थियों के भारों को निरूपित करती है:
सारणी 12.2
| भार (किग्रा में) | विद्यार्थियों की संख्या |
|---|---|
| $30.5-35.5$ | 9 |
| $35.5-40.5$ | 6 |
| $40.5-45.5$ | 15 |
| $45.5-50.5$ | 3 |
| $50.5-55.5$ | 1 |
| $55.5-60.5$ | 2 |
| कुल | 36 |
आइए ऊपर दिए गए आँकड़ों को आलेखीय रूप से निम्नानुसार निरूपित करें:
(i) हम भारों को एक उपयुक्त मापक पर क्षैतिज अक्ष पर निरूपित करते हैं। हम मापक को $1 \mathrm{~cm}=5 \mathrm{~kg}$ के रूप में चुन सकते हैं। साथ ही, चूँकि पहला वर्ग अंतराल 30.5 से शुरू हो रहा है और शून्य से नहीं, हम इसे आलेख पर अक्ष पर एक टेढ़ापन या विराम अंकित करके दिखाते हैं।
(ii) हम विद्यार्थियों की संख्या (बारंबारता) को एक उपयुक्त मापक पर ऊर्ध्वाधर अक्ष पर निरूपित करते हैं। चूँकि अधिकतम बारंबारता 15 है, हमें इस अधिकतम बारंबारता को समायोजित करने के लिए मापक चुनने की आवश्यकता है।
(iii) अब हम आयतों (या आयताकार दंडों) को वर्ग-माप के बराबर चौड़ाई और संगत वर्ग अंतरालों की बारंबारताओं के अनुसार लंबाई के साथ खींचते हैं। उदाहरण के लिए, वर्ग अंतराल $30.5-35.5$ के लिए आयत की चौड़ाई $1 \mathrm{~cm}$ और लंबाई $4.5 \mathrm{~cm}$ होगी।
(iv) इस प्रकार, हमें चित्र 12.3 में दिखाया गया आलेख प्राप्त होता है:
चित्र 12.3
ध्यान दीजिए कि चूँकि क्रमागत आयतों के बीच कोई अंतराल नहीं है, परिणामी आलेख एक ठोस आकृति की तरह प्रतीत होता है। इसे आयतचित्र कहा जाता है, जो सतत वर्गों वाले एक वर्गीकृत बारंबारता बंटन का आलेखीय निरूपण है। साथ ही, एक दंड आलेख के विपरीत, दंड की चौड़ाई इसके निर्माण में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है।
यहाँ, वास्तव में, खड़े किए गए आयतों के क्षेत्रफल संगत बारंबारताओं के समानुपाती होते हैं। हालाँकि, चूँकि आयतों की चौड़ाई सभी समान हैं, आयतों की लंबाई बारंबारताओं के समानुपाती होती है। इसीलिए, हम लंबाई को ऊपर (iii) के अनुसार खींचते हैं।
अब, ऊपर वाली स्थिति से भिन्न एक स्थिति पर विचार कीजिए।
उदाहरण 3 : एक शिक्षक 100 अंकों की एक गणित परीक्षा में विद्यार्थियों के दो खंडों के प्रदर्शन का विश्लेषण करना चाहती थी। उनके प्रदर्शन को देखते हुए, उसने पाया कि कुछ विद्यार्थियों को 20 से कम अंक मिले और कुछ को 70 अंक या उससे अधिक मिले। इसलिए उसने उन्हें परिवर्ती आकारों के अंतरालों में इस प्रकार समूहित करने का निर्णय लिया: $0-20,20-30, \ldots, 60-70$, 70 - 100. फिर उसने निम्नलिखित सारणी बनाई:
सारणी 12.3
| अंक | विद्यार्थियों की संख्या |
|---|---|
| $0-20$ | 7 |
| $20-30$ | 10 |
| $30-40$ | 10 |
| $40-50$ | 20 |
| $50-60$ | 20 |
| $60-70$ | 15 |
| $70-$ से ऊपर | 8 |
| कुल | 90 |
इस सारणी के लिए एक आयतचित्र एक विद्यार्थी द्वारा चित्र 12.4 में दिखाए अनुसार तैयार किया गया था।
चित्र 12.4
इस आलेखीय निरूपण का सावधानीपूर्वक परीक्षण कीजिए। क्या आपको लगता है कि यह आँकड़ों को सही ढंग से निरूपित करता है? नहीं, आलेख हमें एक भ्रामक तस्वीर दे रहा है। जैसा कि हमने पहले उल्लेख किया है, एक आयतचित्र में आयतों के क्षेत्रफल बारंबारताओं के समानुपाती होते हैं। पहले यह समस्या नहीं उठी थी, क्योंकि सभी आयतों की चौड़ाई समान थी। लेकिन यहाँ, चूँकि आयतों की चौड़ाई परिवर्ती है, ऊपर दिया गया आयतचित्र एक सही तस्वीर नहीं देता है। उदाहरण के लिए, यह अंतराल $70-100$ में, $60-70$ की तुलना में अधिक बारंबारता दिखाता है, जो कि मामला नहीं है।
इसलिए, हमें आयतों की लंबाइयों में कुछ संशोधन करने की आवश्यकता है ताकि क्षेत्रफल पुनः बारंबारताओं के समानुपाती हो जाएँ।
निम्नलिखित चरणों का पालन किया जाना है:
- न्यूनतम वर्ग-माप वाले एक वर्ग अंतराल का चयन कीजिए। ऊपर के उदाहरण में, न्यूनतम वर्ग-माप 10 है।
- फिर आयतों की लंबाइयों को वर्ग-माप 10 के समानुपाती होने के लिए संशोधित किया जाता है।
उदाहरण के लिए, जब वर्ग-माप 20 है, तो आयत की लंबाई 7 है। इसलिए जब वर्ग-माप 10 है, तो आयत की लंबाई $\frac{7}{20} \times 10=3.5$ होगी।
इसी प्रकार, इस तरीके से आगे बढ़ते हुए, हमें निम्नलिखित सारणी प्राप्त होती है:
सारणी 12.4
| अंक | बारंबारता | वर्ग की चौड़ाई | आयत की लंबाई |
|---|---|---|---|
| $0-20$ | 7 | 20 | $\frac{7}{20} \times 10=3.5$ |
| $20-30$ | 10 | 10 | $\frac{10}{10} \times 10=10$ |
| $30-40$ | 10 | 10 | $\frac{10}{10} \times 10=10$ |
| $40-50$ | 20 | 10 | $\frac{20}{10} \times 10=20$ |
| $50-60$ | 20 | 10 | $\frac{20}{10} \times 10=20$ |
| $60-70$ | 15 | 10 | $\frac{15}{10} \times 10=15$ |
| $70-100$ | 8 | 30 | $\frac{8}{30} \times 10=2.67$ |
चूँकि हमने प्रत्येक मामले में 10 अंकों के अंतराल के लिए इन लंबाइयों की गणना की है, हम इन लंबाइयों को “प्रति 10 अंक अंतराल में विद्यार्थियों का अनुपात” कह सकते हैं।
अतः, परिवर्ती चौड़ाई वाला सही आयतचित्र चित्र 12.5 में दिया गया है।
चित्र 12.5
(स) बारंबारता बहुभुज
परिमाणात्मक आँकड़ों और उनकी बारंबारताओं को निरूपित करने का एक और दृश्य तरीका है। यह एक बहुभुज है। हमारा क्या मतलब है यह देखने के लिए, चित्र 12.3 द्वारा निरूपित आयतचित्र पर विचार कीजिए। आइए हम इस आयतचित्र के आसन्न आयतों की ऊपरी भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को रेखाखंडों के माध्यम से मिलाते हैं। आइए हम इन मध्य-बिंदुओं को B, C, D, E, F और G कहते हैं। रेखाखंडों से जोड़ने पर, हमें आकृति BCDEFG प्राप्त होती है (चित्र 12.6 देखिए)। बहुभुज को पूरा करने के लिए, हम मानते हैं कि 30.5 - 35.5 से पहले और 55.5 - 60.5 के बाद शून्य बारंबारता वाला एक वर्ग अंतराल है, और उनके मध्य-बिंदु क्रमशः $\mathrm{A}$ और $\mathrm{H}$ हैं। $\mathrm{ABCDEFGH}$ चित्र 12.3 में दिखाए गए आँकड़ों के संगत बारंबारता बहुभुज है। हमने इसे चित्र 12.6 में दिखाया है।
चित्र 12.6
हालाँकि, निम्नतम वर्ग से पहले और उच्चतम वर्ग के बाद कोई वर्ग मौजूद नहीं है, शून्य बारंबारता वाले दो वर्ग अंतरालों को जोड़ने से हम बारंबारता बहुभुज के क्षेत्रफल को आयतचित्र के क्षेत्रफल के समान बना सकते हैं। ऐसा क्यों है? (संकेत : सर्वांगसम त्रिभुजों के गुणधर्मों का उपयोग कीजिए।)
अब, प्रश्न उठता है: जब पहले वर्ग से पहले कोई वर्ग नहीं है तो हम बहुभुज को कैसे पूरा करते हैं? आइए ऐसी स्थिति पर विचार करें।
उदाहरण 4 : एक परीक्षा में एक कक्षा के 51 विद्यार्थियों द्वारा प्राप्त, 100 में से, अंकों पर विचार कीजिए, जो सारणी 12.5 में दिए गए हैं।
सारणी 12.5
| अंक | विद्यार्थियों की संख्या |
|---|---|
| $0-10$ | 5 |
| $10-20$ | 10 |
| $20-30$ | 4 |
| $30-40$ | 6 |
| $40-50$ | 7 |
| $50-60$ | 3 |
| $60-70$ | 2 |
| $70-80$ | 2 |
| $80-90$ | 3 |
| $90-100$ | 9 |
| कुल | 51 |
इस बारंबारता बंटन सारणी के संगत एक बारंबारता बहुभुज खींचिए।
हल : आइए हम पहले इस आँकड़े के लिए एक आयतचित्र खींचते हैं और आयतों के शीर्षों के मध्य-बिंदुओं को क्रमशः B, C, D, E, F, G, H, I, J, K के रूप में अंकित करते हैं। यहाँ, पहला वर्ग $0-10$ है। इसलिए, $0-10$ से पहले वाले वर्ग को खोजने के लिए, हम क्षैतिज अक्ष को ऋणात्मक दिशा में विस्तारित करते हैं और काल्पनिक वर्ग-अंतराल $(-10)-0$ के मध्य-बिंदु को ज्ञात करते हैं। पहला अंत-बिंदु, अर्थात् $\mathrm{B}$, क्षैतिज अक्ष की ऋणात्मक दिशा में शून्य बारंबारता वाले इस मध्य-बिंदु से जुड़ा हुआ है। वह बिंदु जहाँ यह रेखाखंड ऊर्ध्वाधर अक्ष से मिलता है, उसे $\mathrm{A}$ के रूप में अंकित किया जाता है। मान लीजिए $\mathrm{L}$ दिए गए आँकड़ों के अंतिम वर्ग के बाद वाले वर्ग का मध्य-बिंदु है। तब OABCDEFGHIJKL बारंबारता बहुभुज है, जो चित्र 12.7 में दिखाया गया है।
चित्र 12.7
बारंबारता बहुभुज आयतचित्र खींचे बिना भी स्वतंत्र रूप से खींचे जा सकते हैं। इसके लिए, हमें आँकड़ों में प्रयुक्त वर्ग-अंतरालों के मध्य-बिंदुओं की आवश्यकता होती है। वर्ग-अंतरालों के इन मध्य-बिंदुओं को वर्ग-चिह्न कहा जाता है।
एक वर्ग अंतराल का वर्ग-चिह्न ज्ञात करने के लिए, हम एक वर्ग की उच्च सीमा और निम्न सीमा का योग ज्ञात करते हैं और इसे 2 से विभाजित करते हैं। इस प्रकार,
$$ \text { Class-mark }=\frac{\text { Upper limit }+ \text { Lower limit }}{2} $$
आइए एक उदाहरण पर विचार करें।
उदाहरण 5 : एक शहर में, जीवन-यापन सूचकांक की लागत पर एक अध्ययन में साप्ताहिक प्रेक्षण निम्नलिखित सारणी में दिए गए हैं:
सारणी 12.6
| जीवन-यापन सूचकांक | सप्ताहों की संख्या |
|---|---|
| $140-150$ | 5 |
| $150-160$ | 10 |
| $160-170$ | 20 |
| $170-180$ | 9 |
| $180-190$ | 6 |
| $190-200$ | 2 |
| कुल | 52 |
ऊपर दिए गए आँकड़ों के लिए एक बारंबारता बहुभुज खींचिए (बिना आयतचित्र बनाए)।
हल : चूँकि हम बिना आयतचित्र के एक बारंबारता बहुभुज खींचना चाहते हैं, आइए हम ऊपर दिए गए वर्गों के वर्ग-चिह्न ज्ञात करते हैं, अर्थात् $140-150,150-160, \ldots$ के।
$140-150$ के लिए, उच्च सीमा $=150$, और निम्न सीमा $=140$
अतः, वर्ग-चिह्न $=\frac{150+140}{2}=\frac{290}{2}=145$.
इसी तरह आगे बढ़ते हुए, हम अन्य वर्गों के वर्ग-चिह्न भी ज्ञात करते हैं। अतः, प्राप्त नई सारणी निम्नलिखित सारणी के रूप में है:
सारणी 12.7
| वर्ग | वर्ग-चिह्न | बारंबारता |
|---|---|---|
| $140-150$ | 145 | 5 |
| $150-160$ | 155 | 10 |
| $160-170$ | 165 | 20 |
| $170-180$ | 175 | 9 |
| $180-190$ | 185 | 6 |
| $190-200$ | 195 | 2 |
| कुल | 52 |
अब हम क्षैतिज अक्ष के साथ वर्ग-चिह्नों को, ऊर्ध्वाधर-अक्ष के साथ बारंबारताओं को आलेखित करके, और फिर बिंदुओं $\mathrm{B}(145,5), \mathrm{C}(155,10), \mathrm{D}(165,20), \mathrm{E}(175,9), \mathrm{F}(185,6)$ और $\mathrm{G}(195,2)$ को रेखाखंडों द्वारा आलेखित और जोड़कर एक बारंबारता बहुभुज खींच सकते हैं। हमें निम्नतम वर्ग 140 - 150 से ठीक पहले वाले वर्ग 130 - 140 के वर्ग-चिह्न के संगत बिंदु को शून्य बारंबारता के साथ, अर्थात् $\mathrm{A}(135,0)$, और बिंदु $\mathrm{H}(205,0)$ को $\mathrm{G}(195,2)$ के तुरंत बाद आलेखित करना नहीं भूलना चाहिए। अतः, परिणामी बारंबारता बहुभुज ABCDEFGH होगा (चित्र 12.8 देखिए)।
चित्र 12.8
बारंबारता बहुभुज का उपयोग तब किया जाता है जब आँकड़े सतत और बहुत बड़े होते हैं। यह एक ही प्रकृति के दो भिन्न आँकड़ों के समुच्चयों की तुलना करने के लिए बहुत उपयोगी है, उदाहरण के लिए, एक ही कक्षा के दो भिन्न खंडों के प्रदर्शन की तुलना करना।
12.2 सारांश
इस अध्याय में, आपने निम्नलिखित बिंदुओं का अध्ययन किया है:
1. आँकड़ों को दंड आलेखों, आयतचित्रों और बारंबारता बहुभुजों के रूप में आलेखीय रूप से कैसे प्रस्तुत किया जा सकता है।
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