1.1 परिचय

कक्षा नौ में, आपने वास्तविक संख्याओं की दुनिया का अन्वेषण शुरू किया था और अपरिमेय संख्याओं का सामना किया था। इस अध्याय में हम वास्तविक संख्याओं पर अपनी चर्चा जारी रखेंगे। हम दो बहुत महत्वपूर्ण गुणधर्मों के साथ प्रारंभ करेंगे जो सकारात्मक पूर्णांकों से संबंधित हैं, जैसा कि अनुभाग 1.2 और 1.3 में है, अर्थात् यूक्लिड का विभाजन अल्गोरिद्म और अंकगणित की मौलिक प्रमेय। यूक्लिड का विभाजन अल्गोरिद्म, जैसा कि नाम संकेत देता है, पूर्णांकों की विभाज्यता से संबंधित है। सरल शब्दों में कहा जाए तो यह कहता है कि कोई सकारात्मक पूर्ण संख्या $a$ को एक अन्य सकारात्मक पूर्ण संख्या $b$ से इस प्रकार विभाजित किया जा सकता है कि यह एक शेषफल $r$ छोड़ता है जो $b$ से छोटा हो। आपमें से अधिकांश इसे सामान्य लंबे विभाजन प्रक्रिया के रूप में पहचान सकते हैं। हालांकि यह परिणाम काफी आसानी से कहा और समझा जा सकता है, यह पूर्णांकों की विभाज्यता के गुणधर्म से संबंधित कई अनुप्रयोगों में बहुत उपयोगी है। हम उनमें से कुछ को छुएंगे, और इसका उपयोग मुख्यतः दो सकारात्मक पूर्णांकों के महत्तम समापवर्तक की गणना करने के लिए करेंगे।

यह मूलभूत प्रमेय अंकगणित की है। दूसरी ओर, इसका उपयोग किसी सकारात्मक पूर्णांक को गुणनखंड करने के लिए किया जाता है। तुम पहले से जानते हो कि हर संयुक्त संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में अद्वितीय तरीके से व्यक्त किया जा सकता है—यह मूलभूत प्रमेय अंकगणित का महत्वपूर्ण तथ्य है। फिर से, यद्यपि यह परिणाम कहना और समझना आसान है, यह गणित के इस क्षेत्र में बहुत गहरा और महत्वपूर्ण अनुप्रयोग रखता है। हम मूलभूत प्रमेय अंकगणित का उपयोग दो मुख्य अनुप्रयोगों के लिए करते हैं। पहला, हम इसका उपयोग यह सिद्ध करने के लिए करते हैं कि वे संख्याएँ जिन्हें तुमने कक्षा नौ में अध्ययन किया है, जैसे कि $\sqrt{2}, \sqrt{3}$ और $\sqrt{5}$, अपरिमेय हैं। दूसरा, हम इस प्रमेय का उपयोग यह जाँचने के लिए करते हैं कि कब एक परिमेय संख्या, मान लो $\dfrac{p}{q}(q \neq 0)$, का दशमलव विस्तार समाप्त होता है और कब यह असमाप्त आवर्ती होता है। हम ऐसा यह देख कर करते हैं कि $q$ का प्रधान गुणनखंडन क्या है। तुम देखोगे कि $q$ का प्रधान गुणनखंडन $\dfrac{p}{q}$ के दशमलव विस्तार की प्रकृति को पूरी तरह से प्रकट करेगा।

इसलिए आइए हम अपना अन्वेषण प्रारंभ करें। यह मौलिक प्रमेय अंकगणित में आपकी पहली कक्षाओं में आपने देखा होगा — कोई भी प्राकृतिक संख्या को इसके प्रधान कारकों के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, $2=2$, $4=2 \times 2$, $253=11 \times 23$, और इसी तरह। अब, आइए प्राकृतिक संख्याओं की इस प्रक्रिया को उलट कर देखें। क्या कोई भी प्राकृतिक संख्या प्रधान संख्याओं को गुणा करके प्राप्त की जा सकती है? आइए देखते हैं। लीजिए किसी प्रधान संख्याओं का समूह, मान लीजिए $2, 3, 7, 11$ और $23$। यदि हम इनमें से कुछ या सभी संख्याओं को गुणा करें, उन्हें जितनी बार चाहें दोहराकर, तो हम सकारात्मक पूर्णांकों का एक बड़ा समूह (वास्तव में अनंत) उत्पन्न कर सकते हैं। आइए कुछ उदाहरण देखें:

[ \begin{align*} 7 \times 11 \times 23 &= 1771 \ 3 \times 7 \times 11 \times 23 &= 5313 \ 2 \times 3 \times 7 \times 11 \times 23 &= 10626 \ 2^3 \times 3 \times 7^3 &= 8232 \ 2^2 \times 3 \times 7 \times 11 \times 23 &= 21252 \end{align*} ]

और इसी तरह।

अब, मान लीजिए आपका संग्रह में सभी संभव अभाज्य संख्याएँ शामिल हैं। आपका क्या अनुमान है इस संग्रह के आकार के बारे में? क्या यह केवल सीमित संख्या में पूर्णांकों को समाहित करता है, या अनंत रूप से बहुत? वास्तव में, अनंत रूप से बहुत अभाज्य संख्याएँ होती हैं। इसलिए, यदि हम इन सभी अभाज्य संख्याओं को सभी संभव तरीकों से संयोजित करें, तो हमें संख्याओं का एक अनंत संग्रह प्राप्त होगा - सभी अभाज्य संख्याएँ और सभी संभव उत्पाद अभाज्य संख्याओं के। यह प्रश्न है - क्या हम इस तरह से इन सभी संयुक्त संख्याओं को उत्पादित कर सकते हैं? आप क्या सोचते हैं? क्या आप सोचते हैं कि वहाँ कोई संयुक्त संख्या हो सकती है जो अभाज्य संख्याओं की शक्तियों के उत्पाद से नहीं है? इसका उत्तर देने से पहले, आइए सकारात्मक पूर्णांकों को गुणनखंड करें, वह है, आइए इसका विपरीत करें जो हमने अब तक किया है।

हम जा रहे हैं जिस गुणनखंड वृक्ष का उपयोग कर रहे हैं, वह आप सभी को परिचित है। आइए हम कुछ बड़ी संख्या लेते हैं, मान लीजिए, 32760, और इसे गुणनखंड करते हैं जैसा दिखाया गया है। इसलिए हमने 32760 को गुणनखंडित किया है: $2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 \times 7 \times 13$ अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में, अर्थात्, $32760=2^{3} \times 3^{2} \times 5 \times 7 \times 13$ अभाज्य संख्याओं की घातों के गुणनफल के रूप में। आइए हम एक और संख्या की कोशिश करते हैं, मान लीजिए, 123456789। यह $3^{2} \times 3803 \times 3607$ के रूप में लिखी जा सकती है। निश्चय ही, आपको यह जांचना होगा कि 3803 और 3607 अभाज्य संख्याएँ हैं! (इसे कई अन्य प्राकृतिक संख्याओं के लिए स्वयं आजमाएँ।) यह हमें एक अनुमान की ओर ले जाता है कि हर संयुक्त संख्या को अभाज्य संख्याओं की घातों के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है। वास्तव में, यह कथन सत्य है, और इसे अंकगणित का मौलिक प्रमेय कहा जाता है क्योंकि इसका पूर्णांकों के अध्ययन में बुनियादी निर्णायक महत्व है। आइए अब हम औपचारिक रूप से इस प्रमेय को कहते हैं।

प्रमेय 1.1 (मौलिक प्रमेय का अंकगणित): हर संयुक्त संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में अद्वितीय रूप से व्यक्त किया जा सकता है, बशर्ते कि गुणनखंडों का क्रम अलग हो।

समतुल्य संस्करण का प्रमेय 1.2 शायद पहला दर्ज प्रस्तावना 14 के रूप में यूक्लिड के तत्वों की पुस्तक नौ में आया था, हालांकि यह पहले से ही अंकगणित के मौलिक प्रमेय के रूप में जाना जाता था। हालांकि, इसका पहला सही प्रमाण कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने अपनी अंकगणित की खोजों में दिया था।

कार्ल फ्रेडरिक गॉस को अक्सर ‘गणित का राजकुमार’ कहा जाता है और उन्हें सभी समय के तीन सबसे महान गणितज्ञों में से एक माना जाता है, आर्किमिडीज़ और न्यूटन के साथ। उन्होंने गणित और विज्ञान दोनों में मौलिक योगदान दिया।

कार्ल फ्रेडरिक गॉस (1777-1855)

यह मूलभूत प्रमेय अंकगणित कहती है कि हर संयुक्त संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है। वास्तव में, यह और भी अधिक कहती है। यह कहती है कि दी गई कोई भी संयुक्त संख्या को प्रधान संख्याओं के गुणनफल के रूप में एक ‘अनोखे’ तरीके से गुणनखंडित किया जा सकता है, सिवाय इसके कि इन अभाज्य संख्याओं के क्रम का। इसका अर्थ है, दी गई कोई भी संयुक्त संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में एक और केवल एक ही तरीके से लिखा जा सकता है, जब तक हमें इन अभाज्य संख्याओं के क्रम की चिंता नहीं होती है। इसलिए, उदाहरण के लिए, हम $2 \times 3 \times 5 \times 7$ को $3 \times 5 \times 7 \times 2$ या इन अभाज्य संख्याओं के किसी भी अन्य संभव क्रम के रूप में समान रूप से लिख सकते हैं। इस तथ्य को निम्नलिखित रूप में भी कहा गया है: किसी प्राकृतिक संख्या का प्रधान गुणनखंडन अद्वितीय होता है, सिवाय इसके कि इसके कारकों के क्रम का।

सामान्यतः, दी गई संयुक्त संख्या (x) का गुणनखंड इस प्रकार करते हैं: (x = p_1 p_2 \ldots p_n), जहाँ (p_1, p_2, \ldots, p_n) अभाज्य संख्याएँ हैं और इन्हें आरोही क्रम में लिखा गया है, अर्थात् (p_1 \leq p_2 \leq \ldots \leq p_n). यदि हम समान अभाज्य संख्याओं को संयोजित करें, तो हमें अभाज्य संख्याओं की घातें प्राप्त होती हैं। उदाहरण के लिए, (32760 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 \times 7 \times 13 = 2^{3} \times 3^{2} \times 5 \times 7 \times 13)। एक बार जब हम तय कर लेते हैं कि यह क्रम आरोही होगा, तो यह तरीका संख्या के गुणनखंडन का अनोखा होता है। यह मौलिक प्रमेय अंकगणित की बहुत उपयोगी है, दोनों गणित के भीतर और अन्य क्षेत्रों में। आइए हम कुछ उदाहरण देखें।

उदाहरण 1: विचार करें संख्याओं (4^{n}) को, जहाँ (n) एक प्राकृतिक संख्या है। जांचें कि क्या कोई ऐसा मान है (n) का, जिसके लिए (4^{n}) शून्य अंक के साथ समाप्त होता है।

हल: यदि संख्या $4^{n}$, किसी $n$ के लिए, शून्य अंक से समाप्त होती है, तो यह 5 से विभाज्य होगी। अर्थात्, $4^{n}$ के अभाज्य गुणनखंड में 5 समाहित होगा। यह संभव नहीं है क्योंकि $4^{n}=(2)^{2n}$; इसलिए $4^{n}$ के अभाज्य गुणनखंड में केवल 2 है। इसलिए, अंकगणित की मौलिक प्रमेय की अद्वितीयता यह गारंटी देती है कि $4^{n}$ के गुणनखंड में कोई अन्य अभाज्य संख्या नहीं है। अतः, कोई प्राकृतिक संख्या $n$ नहीं है जिसके लिए $4^{n}$ शून्य अंक से समाप्त हो।

तुमने पहले ही सीखा है कि दो धनात्मक पूर्णांकों का महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य कैसे निकालना है, पहली कक्षाओं में अंकगणित की मौलिक प्रमेय का उपयोग करके, बिना इसे समझे! इस विधि को अभाज्य गुणनखंडन विधि भी कहा जाता है। आइए इस विधि को एक उदाहरण के माध्यम से याद करें।

उदाहरण 2: अभाज्य गुणनखंडन विधि द्वारा 6 और 20 का लघुत्तम समापवर्त्य और महत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए।

हल: हम जानते हैं: $6=2^{1} \times 3^{1}$ और $20=2 \times 2 \times 5=2^{2} \times 5^{1}$।

तुम देख सकते हो कि HCF(6,20)=2 और LCM(6,20)=2×2×3×5=60, जैसा कि तुमने पहले की कक्षाओं में सीखा था। ध्यान दो कि HCF(6,20)=2¹= उन सभी संख्याओं के सामान्य प्रधान गुणनखंडों की सबसे छोटी शक्तियों का गुणनफल है। LCM(6,20)=2²×3¹×5¹= उन सभी संख्याओं के प्रधान गुणनखंडों की सबसे बड़ी शक्तियों का गुणनफल है। इस उपरोक्त उदाहरण से तुमने देखा होगा कि HCF(6,20) × LCM(6,20) = 6 × 20। वास्तव में, हम सत्यापित कर सकते हैं कि किन्हीं भी दो सकारात्मक पूर्णांकों a और b के लिए, HCF(a,b) × LCM(a,b) = a × b। हम इस परिणाम का उपयोग दो सकारात्मक पूर्णांकों का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के लिए कर सकते हैं, यदि हमें पहले से उन दोनों सकारात्मक पूर्णांकों का महत्तम समापवर्तक मिल गया हो।

उदाहरण 3: प्रधान गुणनखंडन विधि द्वारा 96 और 404 का महत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए। इसलिए, उनका लघुत्तम समापवर्त्य भी ज्ञात कीजिए।

हल: 96 और 404 का प्रधान गुणनखंडन इस प्रकार है:

$96 = 2^{5} \times 3$, $404 = 2^{2} \times 101$ इसलिए, इन दो पूर्णांकों का महत्तम समापवर्तक $2^{2}=4$ है।
$\text{इसलिए,} \quad \text{लघुत्तम समापवर्त्य} (96, 404) = \dfrac{96 \times 404}{\text{महत्तम समापवर्तक} (96, 404)} = \dfrac{96 \times 404}{4} = 9696$

उदाहरण 4: 6, 72 और 120 का महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य प्रधान गुणनखंडन विधि का उपयोग करके ज्ञात कीजिए।
हल: हमें दिया गया है:
$6 = 2 \times 3$, $72 = 2^{3} \times 3^{2}$, $120 = 2^{3} \times 3 \times 5$
यहाँ, $2^{1}$ और $3^{1}$ क्रमशः 2 और 3 की सबसे छोटी घातें हैं जो सभी संख्याओं में सामान्य हैं।
इसलिए, $\text{महत्तम समापवर्तक} (6, 72, 120) = 2^{1} \times 3^{1} = 2 \times 3 = 6$
$2^{3}$, $3^{2}$ और $5^{1}$ क्रमशः 2, 3 और 5 की सबसे बड़ी घातें हैं जो इन तीनों संख्याओं में मौजूद हैं।
$\text{इसलिए,} \quad \text{लघुत्तम समापवर्त्य} (6, 72, 120) = 2^{3} \times 3^{2} \times 5^{1} = 360$

टिप्पणी: ध्यान दें, $6 \times 72 \times 120 \neq \text{HCF}(6,72,120) \times \text{LCM}(6,72,120)$। इसलिए, तीन संख्याओं का गुणनफल उनके महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य के गुणनफल के बराबर नहीं होता।
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1.3 अपरिमेय संख्याओं पर पुनर्विचार

कक्षा नौ में, आप अपरिमेय संख्याओं से परिचित हुए और उनके बहुत से गुणधर्मों का अध्ययन किया। आपने उनके अस्तित्व के बारे में पढ़ा और यह जाना कि परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ मिलकर वास्तविक संख्याएँ बनाती हैं। आपने यह भी सीखा कि संख्या रेखा पर अपरिमेय संख्याओं की स्थिति कैसे ज्ञात करते हैं। हालाँकि, हमने यह सिद्ध नहीं किया कि वे अपरिमेय हैं। इस खंड में हम सिद्ध करेंगे कि $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}$ और सामान्य रूप से $\sqrt{p}$ अपरिमेय है, जहाँ $p$ एक अभाज्य संख्या है। हमारे प्रमाण में उपयोग होने वाला एक महत्वपूर्ण प्रमेय है अंकगणित का मौलिक प्रमेय। याद रखिए, एक संख्या ’s’ को अपरिमेय कहा जाता है यदि इसे $\dfrac{p}{q}$ के रूप में नहीं लिखा जा सकता, जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$। अपरिमेय संख्याओं के कुछ उदाहरण, जिनसे आप पहले से परिचित हैं, हैं: $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{15}, \pi, -\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}, 0.10110111011110\cdots$, आदि।

पहले हम सिद्ध करेंगे कि $\sqrt{2}$ अपरिमेय है। इसके लिए हमें निम्नलिखित प्रमेय की आवश्यकता है, जिसका प्रमाण अंकगणित की मौलिक प्रमेय पर आधारित है।

प्रमेय 1.2: माना $p$ एक अभाज्य संख्या है। यदि $p$, $a^{2}$ को विभाजित करता है, तो $p$, $a$ को भी विभाजित करता है, जहाँ $a$ एक सकारात्मक पूर्ण संख्या है।

प्रमाण: माना $a$ का अभाज्य गुणनफल इस प्रकार है: $a=p_1 p_2 \ldots p_n$, जहाँ $p_1, p_2, \ldots, p_n$ अभाज्य संख्याएँ हैं, जो अनिवार्य रूप से भिन्न नहीं हैं। इसलिए, $a^{2}=(p_1 p_2 \ldots p_n)(p_1 p_2 \ldots p_n)=p_1^{2} p_2^{2} \ldots p_n^{2}$।

अब, हमें दिया गया है कि $p$, $a^{2}$ को विभाजित करता है। इसलिए, अंकगणित की मौलिक प्रमेय से यह अनुसरण होता है कि $p$, $a^{2}$ का एक अभाज्य गुणनखंड है। हालांकि, अंकगणित की मौलिक प्रमेय की अद्वितीयता के गुण का उपयोग करते हुए, हम समझते हैं कि $a^{2}$ के केवल अभाज्य गुणनखंड $p_1, p_2, \ldots, p_n$ हैं। इसलिए $p$, $p_1, p_2, \ldots, p_n$ में से एक है।

अब, चूंकि $a=p_1 p_2 \ldots p_n$, इसलिए $p$, $a$ को विभाजित करता है। हम अब $\sqrt{2}$ के अपरिमेय होने का प्रमाण देने के लिए तैयार हैं।

यह प्रमाण आधारित है एक तकनीक पर जिसे ‘प्रमाण द्वारा विरोधाभास’ कहा गया है। (यह तकनीक चर्चा की गई है परिशिष्ट 1 में कुछ विवरणों के साथ)।

प्रमेय 1.3: $\sqrt{2}$ अपरिमेय है।

प्रमाण: मान लीजिए, इसके विपरीत, कि $\sqrt{2}$ तर्कसंगत है। इसलिए, हम पा सकते हैं पूर्णांक $r$ और $s(\neq 0)$ ऐसे कि $\sqrt{2}=\dfrac{r}{s}$। मान लीजिए $r$ और $s$ का सामान्य गुणनखंड 1 है। फिर, हम विभाजित करके इस सामान्य गुणनखंड से प्राप्त करते हैं $\sqrt{2}=\dfrac{a}{b}$, जहाँ $a$ और $b$ सह-अभाज्य हैं। इसलिए, $b \sqrt{2}=a$। दोनों भुजाओं का वर्ग करके और पुनर्व्यवस्थित करके, हम प्राप्त करते हैं $2 b^{2}=a^{2}$। इसलिए, 2 विभाजित करता है $a^{2}$ को। अब, प्रमेय 1.3 द्वारा, यह अनुसरण करता है कि 2 विभाजित करता है $a$ को। इसलिए, हम लिख सकते हैं $a=2 c$ किसी पूर्ण संख्या $c$ के लिए। $a$ के लिए प्रतिस्थापन करके, हम प्राप्त करते हैं $2 b^{2}=4 c^{2}$, अर्थात्, $b^{2}=2 c^{2}$। इसका मतलब है कि 2 विभाजित करता है $b^{2}$ को, और इसलिए 2 विभाजित करता है $b$ को (फिर से प्रमेय 1.3 का उपयोग करके $p=2$ के साथ)। इसलिए, $a$ और $b$ के पास न्यूनतम 2 जैसा सामान्य गुणनखंड है।

लेकिन यह तथ्य विरोध करता है कि $a$ और $b$ का कोई सामान्य गुणनखंड नहीं है अन्य से 1। यह विरोधाभास इसलिए उत्पन्न हुआ है क्योंकि हमारी गलत पूर्वधारणा थी कि $\sqrt{2}$ तर्कसंगत है। इसलिए, हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $\sqrt{2}$ अपरिमेय है।

उदाहरण 5: सिद्ध करें कि $\sqrt{3}$ अपरिमेय है।

हल: मान लीजिए, इसके विपरीत, कि $\sqrt{3}$ तर्कसंगत है। अर्थात्, हम पूर्णांक $a$ और $b(\neq 0)$ ऐसे खोज सकते हैं कि $\sqrt{3}=\dfrac{a}{b}$। मान लीजिए $a$ और $b$ का सामान्य गुणनखंड 1 है, फिर हम इस सामान्य गुणनखंड से विभाजित कर सकते हैं, और मान लीजिए कि $a$ और $b$ सह-अभाज्य हैं। इसलिए, $b \sqrt{3}=a$। दोनों भुजाओं का वर्ग करने और पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें प्राप्त होता है $3 b^{2}=a^{2}$। इसलिए, $a^{2}$ विभाज्य है 3 से, और प्रमेय 1.3 के अनुसार, यह अनुसरण करता है कि $a$ भी विभाज्य है 3 से। इसलिए, हम लिख सकते हैं $a=3c$ किसी पूर्ण संख्या $c$ के लिए। $a$ का प्रतिस्थापन करने पर, हमें प्राप्त होता है $3 b^{2}=9 c^{2}$, अर्थात्, $b^{2}=3 c^{2}$।

इसका मतलब है कि (b^{2}) विभाज्य है 3 से, और इसलिए (b) भी विभाज्य है 3 से (प्रमेय 1.3 का उपयोग करके (p=3) के साथ)। इसलिए, (a) और (b) दोनों में कम से कम 3 जैसा सामान्य गुणनखंड है। लेकिन यह उस तथ्य का विरोध करता है कि (a) और (b) सह-अभाज्य हैं। यह विरोधाभास उत्पन्न हुआ है क्योंकि हमारी गलत पूर्वधारणा थी कि (\sqrt{3}) तर्कसंगत है। इसलिए, हम निष्कर्ष निकालते हैं कि (\sqrt{3}) अपरिमेय है। कक्षा नौ में, हमने उल्लेख किया था कि:

• योग या अंतर का एक तर्कसंगत और एक अपरिमेय संख्या अपरिमेय होता है
• गैर-शून्य तर्कसंगत और अपरिमेय संख्या का उत्पाद और भागफल अपरिमेय होता है हम यहाँ कुछ विशेष मामले सिद्ध करते हैं। उदाहरण 6: दिखाइए कि (5-\sqrt{3}) अपरिमेय है। हल: मान लीजिए, इसके विपरीत, कि (5-\sqrt{3}) तर्कसंगत है। अर्थात्, हम ऐसे सह-अभाज्य (a) और (b(b \neq 0)) खोज सकते हैं कि (5-\sqrt{3}=\dfrac{a}{b})। इसलिए, (5-\dfrac{a}{b}=\sqrt{3})। इस समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करके, हम प्राप्त करते हैं (\sqrt{3}=5-\dfrac{a}{b}=\dfrac{5b-a}{b})।

चूंकि $a$ और $b$ पूर्णांक हैं, हम प्राप्त करते हैं कि $5-\dfrac{a}{b}$ तर्कसंगत है, और इसलिए $\sqrt{3}$ तर्कसंगत है। लेकिन यह तथ्य के विरोध में है कि $\sqrt{3}$ अपरिमेय है। यह विरोधाभास इसलिए उत्पन्न हुआ है क्योंकि हमारी गलत पूर्वधारणा थी कि $5-\sqrt{3}$ तर्कसंगत है। इसलिए, हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $5-\sqrt{3}$ अपरिमेय है।

उदाहरण 7: दिखाइए कि $3 \sqrt{2}$ अपरिमेय है।

हल: मान लीजिए, इसके विपरीत, कि $3 \sqrt{2}$ तर्कसंगत है। अर्थात्, हम सह-अभाज्य $a$ और $b(b \neq 0)$ ऐसे खोज सकते हैं कि $3 \sqrt{2}=\dfrac{a}{b}$। पुनर्व्यवस्थित करने पर, हम प्राप्त करते हैं $\sqrt{2}=\dfrac{a}{3 b}$। चूंकि 3, $a$ और $b$ पूर्णांक हैं, $\dfrac{a}{3 b}$ तर्कसंगत है, और इसलिए $\sqrt{2}$ तर्कसंगत है। लेकिन यह तथ्य के विरोध में है कि $\sqrt{2}$ अपरिमेय है। इसलिए, हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $3 \sqrt{2}$ अपरिमेय है। [[Sc_marker_1]]

1.4 सारांश

इस अध्याय में, आपने निम्नलिखित बिंदुओं का अध्ययन किया है:

1. अंकगणित की मौलिक प्रमेय:

हर संयुक्त संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, और यह गुणनखंडन अद्वितीय होता है, बिना क्रम के अतिरिक्त जिसमें यह प्रधान कारक घटित होते हैं।

2. यदि $p$ एक प्रधान संख्या है और $p$, $a^{2}$ को विभाजित करता है, तो $p$, $a$ को भी विभाजित करता है, जहाँ $a$ एक सकारात्मक पूर्ण संख्या है।

3. सिद्ध करें कि $\sqrt{2}, \sqrt{3}$ अपरिमेय संख्याएँ हैं।

एक नोट पाठक के लिए: आपने देखा होगा कि $HCF(p, q, r) \times LCM(p, q, r) \neq p \times q \times r$, जहाँ $p, q, r$ सकारात्मक पूर्णांक हैं (देखें उदाहरण 8)। हालांकि, निम्नलिखित परिणाम तीन संख्याओं $p, q$ और $r$ के लिए सही है:

[ \begin{align} LCM(p, q, r) &= \frac{p \cdot q \cdot r \cdot HCF(p, q, r)}{HCF(p, q) \cdot HCF(q, r) \cdot HCF(p, r)} \ HCF(p, q, r) &= \frac{p \cdot q \cdot r \cdot LCM(p, q, r)}{LCM(p, q) \cdot LCM(q, r) \cdot LCM(p, r)} \end{align} ]