# # 2.1 परिचय

कक्षा नौ में, आपने बहुपदों का अध्ययन किया था - एक चर वाले बहुपद और उनकी डिग्री। याद कीजिए कि यदि (p(x)), (x) में एक बहुपद है, तो (x) की सबसे ऊँची घात जो (p(x)) में उपस्थित है, उसे इस बहुपद (p(x)) की डिग्री कहा जाता है।

उदाहरण के लिए, (4x + 2) चर (x) का एक बहुपद है जिसकी डिग्री 1 है, (2y^2 - 3y + 4) चर (y) का एक बहुपद है जिसकी डिग्री 2 है, (5x^3 - 4x^2 + x - \sqrt{2}) चर (x) का एक बहुपद है जिसकी डिग्री 3 है, और (7u^6 - \dfrac{3}{2}u^4 + 4u^2 + u - 8) चर (u) का एक बहुपद है जिसकी डिग्री 6 है।

अभिव्यक्तियाँ जैसे (\dfrac{1}{x-1}), (\sqrt{x} + 2), (\dfrac{1}{x^2 + 2x + 3}) आदि बहुपद नहीं हैं।

एक बहुपद जिसकी डिग्री 1 हो, उसे रैखिक बहुपद कहा जाता है। उदाहरण के लिए, (2x - 3), (\sqrt{3}x + 5), (y + \sqrt{2}), (x - \dfrac{2}{11}), (3z + 4), (\dfrac{2}{3}u + 1) आदि सभी रैखिक बहुपद हैं।

बहुपद जैसे (2x + 5 - x^2), (x^3 + 1) आदि रैखिक बहुपद नहीं हैं।

एक बहुपद जिसकी डिग्री 2 हो, द्विघात बहुपद कहलाता है। यह नाम ‘द्विघात’ शब्द ‘चतुर्भुज’ से प्राप्त हुआ है, जिसका अर्थ ‘वर्ग’ होता है। $2 x^{2}+3 x-\dfrac{2}{5}$, $y^{2}-2$, $2-x^{2}+\sqrt{3} x$, $\dfrac{u}{3}-2 u^{2}+5$, $\sqrt{5} v^{2}-\dfrac{2}{3} v$, $4 z^{2}+\dfrac{1}{7}$ ये कुछ द्विघात बहुपदों के उदाहरण हैं (जिनके गुणांक वास्तविक संख्याएँ हैं)। अधिक सामान्य रूप से, कोई द्विघात बहुपद $x$ में इस रूप का होता है $a x^{2}+b x+c$, जहाँ $a, b, c$ वास्तविक संख्याएँ होती हैं और $a \neq 0$।

एक बहुपद जिसकी डिग्री 3 हो, घन बहुपद कहलाता है। कुछ घन बहुपदों के उदाहरण हैं $2-x^{3}$, $x^{3}$, $\sqrt{2} x^{3}$, $3-x^{2}+x^{3}$, $3 x^{3}-2 x^{2}+x-1$। वास्तव में, घन बहुपद का सबसे सामान्य रूप $a x^{3}+b x^{2}+c x+d$ होता है, जहाँ $a, b, c, d$ वास्तविक संख्याएँ होती हैं और $a \neq 0$।

अब विचार करें इस बहुपद को $p(x)=x^{2}-3 x-4$। फिर, इस बहुपद में $x=2$ रखने पर, हम प्राप्त करते हैं $p(2)=2^{2}-3 \times 2-4=-6$। यह मान ‘-6’, $x$ के स्थान पर 2 प्रतिस्थापित करने से प्राप्त होता है, यह मान है $x^{2}-3 x-4$ का $x=2$ पर। इसी प्रकार, $p(0)$ है $p(x)$ का मान $x=0$ पर, जो है -4। यदि $p(x)$ एक बहुपद है $x$ में, और यदि $k$ कोई वास्तविक संख्या है, तो यह मान $x$ के स्थान पर $k$ प्रतिस्थापित करने से प्राप्त होता है, यह मान है $\boldsymbol{{}p}(\boldsymbol{{}x})$ का $\boldsymbol{{}x}=\boldsymbol{{}k}$ पर, और इसे दर्शाया जाता है $p(k)$ द्वारा। क्या है $p(x)=x^{2}-3 x-4$ का मान $x=-1$ पर? हम पाते हैं: $p(-1)=(-1)^{2}-3 \times (-1)-4=0$। यह भी ध्यान दें कि $p(4)=4^{2}-(3 \times 4)-4=0$। चूँकि $p(-1)=0$ और $p(4)=0$, -1 और 4 कहलाते हैं इस द्विघात बहुपद $x^{2}-3 x-4$ के शून्य। अधिक आमतौर पर, एक वास्तविक संख्या $k$ कहलाती है एक बहुपद $\boldsymbol{{}p}(\boldsymbol{{}x})$ का शून्य, यदि $p(k)=0$।

क्या आपने पहले से ही कक्षा नौ में अध्ययन किया है कि रैखिक बहुपद का शून्य कैसे खोजा जाता है? उदाहरण के लिए, यदि (k) बहुपद (p(x)=2x+3) का एक शून्य है, तो (p(k)=0) हमें (2k+3=0) देता है, अर्थात् (k=-\dfrac{3}{2})। सामान्यतः, यदि (k) बहुपद (p(x)=ax+b) का एक शून्य है, तो (p(k)=ak+b=0), अर्थात् (k=\dfrac{-b}{a})। इसलिए, रैखिक बहुपद (ax+b) का शून्य (\dfrac{-b}{a}=\dfrac{-(\text{स्थिरांक पद})}{x\text{ का गुणांक}}) है। क्या यह रैखिक बहुपद के गुणांकों से संबंधित होता है? क्या यह बात अन्य बहुपदों के लिए भी सच है? उदाहरण के लिए, क्या द्विघात बहुपद के शून्य भी इसके गुणांकों से संबंधित होते हैं? इस अध्याय में हम इन प्रश्नों के उत्तर खोजने का प्रयास करेंगे। हम बहुपदों के लिए विभाजन एल्गोरिद्म का भी अध्ययन करेंगे।

2.2 बहुपद के शून्य का ज्यामितीय अर्थ

तुम्हें पता है कि वास्तविक संख्या (k) बहुपद (p(x)) का शून्य है यदि (p(k)=0)। लेकिन क्यों है यह बहुपद का शून्य इतना महत्वपूर्ण? उत्तर यह है कि पहले हमें रैखिक और द्विघात बहुपदों के ज्यामितीय प्रतिनिधित्व और उनके शून्यों के ज्यामितीय अर्थ को देखना होगा। पहले एक रैखिक बहुपद (ax+b, a \neq 0) पर विचार करें। तुमने कक्षा नौ में पढ़ा है कि (y=ax+b) का ग्राफ एक सीधी रेखा होती है। उदाहरण के लिए, (y=2x+3) का ग्राफ एक सीधी रेखा है जो बिंदुओं ((-2,-1)) और ((2,7)) से होकर गुजरती है। चित्र 2.1 से तुम देख सकते हो कि (y=2x+3) का ग्राफ (x)-अक्ष को (x=-1) और (x=-2) के बीच में बिंदु ((-\dfrac{3}{2}, 0)) पर काटता है। तुम्हें यह भी पता है कि (2x+3) का शून्य (-\dfrac{3}{2}) है। इस प्रकार, बहुपद (2x+3) का शून्य वह (x)-निर्देशांक है जहाँ ग्राफ (y=2x+3) को (x)-अक्ष काटता है।

अंजीर 2.1 में सामान्यतः, एक रैखिक बहुपद (ax + b), (a \neq 0), का ग्राफ (y = ax + b) एक सीधी रेखा होती है जो (x)-अक्ष को बिल्कुल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है, अर्थात् ((\dfrac{-b}{a}, 0))। इसलिए, यह रैखिक बहुपद (ax + b), (a \neq 0), का बिल्कुल एक शून्य होता है, अर्थात् यह वह (x)-निर्देशांक है जहाँ ग्राफ (y = ax + b), (x)-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है। अब, आइए देखें कि किसी द्विघात बहुपद के शून्य का ज्यामितीय अर्थ क्या होता है। विचार करें द्विघात बहुपद (x^{2} - 3x - 4) को। आइए देखें कि इसका ग्राफ (y = x^{2} - 3x - 4) कैसा दिखता है। आइए सूचीबद्ध करें (y = x^{2} - 3x - 4) के कुछ मान, (x) के कुछ मानों के अनुरूप, जैसा कि Table 2.1 में दिया गया है। Table 2.1

| $x$ | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | | $y=x^{2}-3 x-4$ | 6 | 0 | -4 | -6 | -6 | -4 | 0 | 6 |

यदि हम उपरोक्त बिंदुओं को ग्राफ पेपर पर चिह्नित करें और ग्राफ बनाएँ, तो यह वास्तव में अंजीर 2.2 में दी गई आकृति के समान दिखेगा। तथ्यतः, किसी भी द्विघात बहुपद $a x^{2}+b x+c, a \neq 0$ के लिए, समीकरण $y=a x^{2}+b x+c$ का ग्राफ दो आकृतियों में से एक होता है - या तो ऊपर की ओर खुला $\bigcup$ या नीचे की ओर खुला $\bigcap$, यह इस बात पर निर्भर करता है कि $a>0$ है या $a<0$। (इन वक्रों को परवलय कहा जाता है।)

तालिका 2.1 से आप देख सकते हैं कि -1 और 4 द्विघात बहुपद के शून्य हैं। अंजीर 2.2 से भी ध्यान दें कि -1 और 4 उन बिंदुओं के x-निर्देशांक हैं जहाँ ग्राफ $y=x^{2}-3 x-4$ x-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है। इस प्रकार, द्विघात बहुपद $x^{2}-3 x-4$ के शून्य वे x-निर्देशांक हैं जहाँ ग्राफ $y=x^{2}-3 x-4$ x-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।

अंजीर 2.2 यह तथ्य सत्य है किसी भी द्विघात बहुपद के लिए, अर्थात् यदि द्विघात बहुपद (ax^{2}+bx+c), (a \neq 0) है, तो यह शून्य का सटीक रूप से वह (x)-निर्देशांक है जहाँ परवलय (y=ax^{2}+bx+c) का ग्राफ (x)-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है। हमारे पहले के प्रेक्षण से यह आकृति के ग्राफ (y=ax^{2}+bx+c) के लिए निम्नलिखित तीन मामले हो सकते हैं:

Case (i): यहाँ ग्राफ (x)-अक्ष को दो विशिष्ट बिंदुओं A और A’ पर काटता है। A और A’ के (x)-निर्देशांक द्विघात बहुपद (ax^{2}+bx+c) के दो शून्य होते हैं (देखिए अंजीर 2.3)।

Case (i): यहाँ यह ग्राफ x-अक्ष को बिल्कुल एक बिंदु पर, अर्थात् दो संपाती बिंदुओं पर काटता है। इसलिए यहाँ दो बिंदु A और A′ वाले Case (i) का संयोग होता है, जो एक बिंदु A बन जाता है (देखिए अंजीर. 2.4)। अंजीर. 2.4 इस द्विघात बहुपद ax²+bx+c के लिए यह x-निर्देशांक A है जो केवल शून्य है। Case (iii): यहाँ यह ग्राफ पूरी तरह x-अक्ष के ऊपर या पूरी तरह x-अक्ष के नीचे है। इसलिए यह x-अक्ष को किसी बिंदु पर नहीं काटता (देखिए अंजीर. 2.5)। अंजीर. 2.5 इसलिए इस द्विघात बहुपद ax²+bx+c के लिए यह case में कोई शून्य नहीं है।

इसलिए, तुम देख सकते हो कि ज्यामितीय रूप से एक द्विघात बहुपद के दो विशिष्ट शून्य हो सकते हैं या दो बराबर शून्य (अर्थात् एक शून्य), या कोई शून्य नहीं। इसका यह भी मतलब है कि बहुपद की डिग्री 2 है परंतु शून्यों की संख्या अधिकतम दो हो सकती है। अब, तुम क्या उम्मीद करोगे कि घन बहुपद के शून्यों का ज्यामितीय अर्थ क्या होगा? आइए खोजते हैं। विचार करें इस घन बहुपद $x^{3}-4 x$ को। देखने के लिए कि $y=x^{3}-4 x$ का ग्राफ कैसा दिखता है, आइए तालिका 2.2 में दिखाए अनुसार $x$ के कुछ मानों के संगत $y$ के मानों की सूची बनाते हैं।

तालिका 2.2

इस तालिका के बिंदुओं को ग्राफ पेपर पर स्थापित करके ग्राफ बनाने पर हम देखते हैं कि $y=x^{3}-4 x$ का ग्राफ वास्तव में चित्र 2.6 में दिखाए गए अनुसार दिखता है।

ऊपर दी गई टेबल से हम देखते हैं कि -2, 0 और 2 बहुपद x³ - 4x के शून्य हैं। निरीक्षण करने पर पता चलता है कि -2, 0 और 2 वे बिंदु हैं जहाँ ग्राफ y = x³ - 4x, x-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है। चूँकि यह वक्र x-अक्ष को केवल इन 3 बिंदुओं पर मिलता है, इसलिए इनके x-निर्देशांक ही इस बहुपद के शून्य हैं। आइए कुछ और उदाहरण लेते हैं। विचार करें घन बहुपद x³ और x³ - x² को। हमने आलेख y = x³ और y = x³ - x² के चित्र अंजीर 2.7 और अंजीर 2.8 में क्रमशः बनाए हैं।

अंजीर . 2 . 7 https://temp-public-img-folder.s3.amazonaws.com/sathee.prutor.images/images/ncert-book-english/class-10-img/2024-12-10 14_32_05 - एनसीईआरटी . पीएनजी अंजीर . 2 . 8 नोट: 0 है यह केवल शून्य का यह बहुपद $x^{3}$ का। भी, से अंजीर . 2 . 7, तुम सकना देखना वह 0 है यह $x$ - निर्देशांक का यह केवल बिंदु कहाँ यह ग्राफ का $y=x^{3}$ प्रतिच्छेद करता है यह $x$ - अक्ष। इसी प्रकार, चूंकि $x^{3}-x^{2}=x^{2}(x-1), 0$ और 1 हैं यह केवल शून्य का यह बहुपद $x^{3}-x^{2}$ का। भी, से अंजीर . 2 . 8, ये मान हैं यह $x$ - निर्देशांक का यह केवल बिंदु कहाँ यह ग्राफ का $y=x^{3}-x^{2}$ प्रतिच्छेद करता है यह $x$ - अक्ष। से यह उदाहरण ऊपर, हम देखना वह वहाँ हैं पर अधिकांश 3 शून्य for कोई घन बहुपद। में अन्य शब्द, कोई बहुपद का डिग्री 3 सकना है पर अधिकांश तीन शून्य।

टिप्पणी: सामान्यतः, दिए गए बहुपद $p(x)$ की डिग्री $n$ होती है, तो इसका ग्राफ $y=p(x)$, $x$-अक्ष को अधिकतम $n$ बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है। इसलिए, एक बहुपद $p(x)$ की डिग्री $n$ होने पर इसके अधिकतम $n$ शून्य होते हैं।

उदाहरण 1: अंजीर 2.9 में दिए गए आलेख को देखिए। प्रत्येक आलेख $y=p(x)$ का है, जहाँ $p(x)$ एक बहुपद है। प्रत्येक आलेख के लिए $p(x)$ के शून्यों की संख्या ज्ञात कीजिए।

अंजीर 2.9

हल:

(i) शून्यों की संख्या 1 है क्योंकि ग्राफ $x$-अक्ष को केवल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करता है।

(ii) शून्यों की संख्या 2 है क्योंकि ग्राफ $x$-अक्ष को दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है।

(iii) शून्यों की संख्या 3 है। (क्यों?)

(iv) शून्यों की संख्या 1 है। (क्यों?)

(v) शून्यों की संख्या 1 है। (क्यों?)

(vi) शून्यों की संख्या 4 है। (क्यों?)

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2.3 बहुपद के शून्यों और गुणांकों के बीच संबंध

तुमने पहले से देखा है कि रैखिक बहुपद (ax + b) का शून्य (-\dfrac{b}{a}) होता है। अब हम इस प्रश्न का उत्तर देने की कोशिश करेंगे जो कि अनुभाग 2.1 में उठाया गया था—यह शून्य और गुणांकों के बीच संबंध है एक द्विघात बहुपद का। इसके लिए, हम एक द्विघात बहुपद लेते हैं, मान लीजिए (p(x) = 2x^2 - 8x + 6)। कक्षा नौ में तुमने सीखा है कि द्विघात बहुपद को गुणनखंड कैसे करते हैं—मध्य पद को विभाजित करके। इसलिए यहाँ हमें मध्य पद (-8x) को दो पदों के योग के रूप में लिखना होगा, जिनका गुणनफल (6 \times 2x^2 = 12x^2) हो। इसलिए हम लिखते हैं: [ \begin{aligned} 2x^2 - 8x + 6 &= 2x^2 - 6x - 2x + 6 \ &= 2x(x - 3) - 2(x - 3) \ &= (2x - 2)(x - 3) = 2(x - 1)(x - 3) \end{aligned} ] इसलिए, (p(x) = 2x^2 - 8x + 6) का मान शून्य होता है जब (x - 1 = 0) या (x - 3 = 0), अर्थात जब (x = 1) या (x = 3)। इसलिए, (2x^2 - 8x + 6) के शून्य 1 और 3 हैं। निरीक्षण करें:

$ \begin{aligned} \text{योग का इसका शून्य} &= 1 + 3 = 4 = \dfrac{-(-8)}{2} = \dfrac{-(\text{गुणांक का } x)}{\text{गुणांक का } x^{2}} \ \text{उत्पाद का इसका शून्य} &= 1 \times 3 = 3 = \dfrac{6}{2} = \dfrac{\text{स्थिरांक पद}}{\text{गुणांक का } x^{2}} \end{aligned} $

लें एक और द्विघात बहुपद, कहें, $p(x)=3x^{2}+5x-2$. इस विधि द्वारा इसका मध्य पद विभाजित करने पर,

$ \begin{aligned} 3x^{2}+5x-2 &= 3x^{2}+6x-x-2 \ &= 3x(x+2)-1(x+2) \ &= (3x-1)(x+2) \end{aligned} $

इसलिए, $3x^{2}+5x-2$ का मान शून्य होता है जब या तो $3x-1=0$ या $x+2=0$, अर्थात् जब $x=\dfrac{1}{3}$ या $x=-2$। इसलिए, $3x^{2}+5x-2$ के शून्य हैं $\dfrac{1}{3}$ और $-2$। ध्यान दें:

$ \begin{aligned} \text{योग का इसका शून्य} &= \dfrac{1}{3}+(-2) = \dfrac{-5}{3} = \dfrac{-(\text{गुणांक का } x)}{\text{गुणांक का } x^{2}} \ \text{उत्पाद का इसका शून्य} &= \dfrac{1}{3}\times(-2) = \dfrac{-2}{3} = \dfrac{\text{स्थिरांक पद}}{\text{गुणांक का } x^{2}} \end{aligned} $

यदि α और β शून्य हैं द्विघात बहुपद p(x)=ax²+bx+c, a≠0, के, तो आप जानते हैं कि x-α और x-β इसके गुणनखंड हैं। इसलिए,

\begin{aligned} ax²+bx+c &= k(x-\alpha)(x-\beta), \text{ जहाँ } k \text{ एक स्थिरांक है} \ &= k[x²-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta] \ &= kx²-k(\alpha+\beta)x+k\alpha\beta \end{aligned}

x², x और स्थिरांक पदों के गुणांकों की तुलना करने पर, हम पाते हैं

\begin{aligned} a=k, b &= -k(\alpha+\beta) \text{ और } c=k\alpha\beta. \ \text{इससे मिलता है } \alpha+\beta &= \dfrac{-b}{a}, \quad \alpha\beta = \dfrac{c}{a} \end{aligned}

$ \begin{aligned} \text{i.e.,} \ \text{योग का शून्य} &= \alpha + \beta = -\dfrac{b}{a} = \dfrac{-(\text{गुणांक का } x)}{\text{गुणांक का } x^{2}}, \ \text{उत्पाद का शून्य} &= \alpha\beta = \dfrac{c}{a} = \dfrac{\text{स्थिरांक पद}}{\text{गुणांक का } x^{2}}. \end{aligned} $

आइए विचार करें कुछ उदाहरण। उदाहरण 2: इस द्विघात बहुपद $x^{2}+7x+10$ के शून्य खोजें, और शून्य तथा गुणांकों के बीच संबंध को सत्यापित करें। हल: हमारे पास $x^{2}+7x+10=(x+2)(x+5)$ है। इसलिए, $x^{2}+7x+10$ का मान शून्य होता है जब $x+2=0$ या $x+5=0$, अर्थात् जब $x=-2$ या $x=-5$। इसलिए, $x^{2}+7x+10$ के शून्य $-2$ और $-5$ हैं। अब, $ \begin{aligned} \text{योग का शून्य} &= -2+(-5) = -7 = \dfrac{-7}{1} = \dfrac{-(\text{गुणांक का } x)}{\text{गुणांक का } x^{2}}, \ \text{उत्पाद का शून्य} &= (-2)\times(-5) = 10 = \dfrac{10}{1} = \dfrac{\text{स्थिरांक पद}}{\text{गुणांक का } x^{2}}. \end{aligned} $

उदाहरण 3: खोजें बहुपद (x^{2}-3) के शून्य और सत्यापित करें शून्य तथा गुणांकों के बीच का संबंध।
हल: याद कीजिए पहचान (a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b))। इसका उपयोग कर, हम लिख सकते हैं:
(x^{2}-3=(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3}))
इसलिए, (x^{2}-3) का मान शून्य होता है जब (x=\sqrt{3}) या (x=-\sqrt{3})।
इस प्रकार, (x^{2}-3) के शून्य हैं (\sqrt{3}) और (-\sqrt{3})।
अब,
[ \begin{aligned} \text{शून्यों का योग} &= \sqrt{3}-\sqrt{3}=0=\frac{-(\text{गुणांक }x)}{\text{गुणांक }x^{2}}, \ \text{शून्यों का गुणनफल} &= (\sqrt{3})(-\sqrt{3})=-3=\frac{-3}{1}=\frac{\text{स्थिरांक पद}}{\text{गुणांक }x^{2}}. \end{aligned} ]

उदाहरण 4: खोजें एक द्विघात बहुपद, जिसके शून्यों का योग और गुणनफल क्रमशः (-3) और (2) हैं।
हल: मान लीजिए द्विघात बहुपद है (ax^{2}+bx+c), और इसके शून्य हैं (\alpha) और (\beta)।
हमें है
[ \alpha+\beta=-3=\frac{-b}{a}, ]

$ \ पाठ { और } \ क्वाड \ अल्फा \ बीटा = 2 = \ \dfrac { c } { a } . $ यदि $a=1$ , तो $b=3$ और $c=2$ . इसलिए , एक द्विघात बहुपद जो इन शर्तों को संतुष्ट करता है वह है $x^{2}+3 x+2$ . तुम जांच सकते हो कि कोई अन्य द्विघात बहुद जो इन शर्तों को संतुष्ट करेगा वह इस रूप का होगा $k(x^{2}+3 x+2)$ , जहाँ $k$ वास्तविक है . अब हम घन बहुपद पर देखते हैं . क्या तुम सोचते हो कि शून्य और गुणांकों के बीच कोई समान संबंध है ? आइए विचार करें $p(x)=2 x^{3}-5 x^{2}-14 x+8$ . तुम जांच सकते हो कि $p(x)=0$ है जब $x=4,-2, \dfrac{1}{2}$ . चूंकि $p(x)$ के अधिकतम तीन शून्य हो सकते हैं , ये ही $2 x^{3}-5 x^{2}-14 x+8$ के शून्य हैं . अब , $ \ प्रारंभ { आव्यूह } \ पाठ { शून्यों का योग } = 4 + ( - 2 ) + \ \dfrac { 1 } { 2 } = \ \dfrac { 5 } { 2 } = \ \dfrac { - ( - 5 ) } { 2 } = \ \dfrac { - ( \ पाठ { गुणांक का } x ^ { 2 } ) } { \ पाठ { गुणांक का } x ^ { 3 } } , \ \ \ \ पाठ { शून्यों का गुणनफल } = 4 \ गुणा ( - 2 ) \ गुणा \ \dfrac { 1 } { 2 } = - 4 = \ \dfrac { - 8 } { 2 } = \ \dfrac { - \ पाठ { स्थिरांक पद } } { \ पाठ { गुणांक का } x ^ { 3 } } . \ समाप्त { आव्यूह } $

हालांकि, यहाँ एक गहरा संबंध है। विचार कीजिए कि यदि योग लिया जाए इस उत्पाद के शून्यों का दो-दो करके। हमारे पास है $ \begin{aligned} & \ { 4 \times (-2) \ } + \left { (-2) \times \dfrac{1}{2} \right } + \left { \dfrac{1}{2} \times 4 \right } \ & = -8 - 1 + 2 = -7 = \dfrac{-14}{2} = \dfrac{\text{गुणांक का } x}{\text{गुणांक का } x^{3}} \end{aligned} $। सामान्यतः, यह सिद्ध किया जा सकता है कि यदि $\alpha, \beta, \gamma$ घन बहुपद $a x^{3}+b x^{2}+c x+d$ के शून्य हैं, तो $ \begin{aligned} \alpha + \beta + \gamma &= \dfrac{-b}{a}, \ \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha &= \dfrac{c}{a}, \ \alpha \beta \gamma &= \dfrac{-d}{a}. \end{aligned} $ आइए एक उदाहरण पर विचार करें। उदाहरण 5: सत्यापित कीजिए कि $3,-1,-\dfrac{1}{3}$ बहुपद $p(x)=3 x^{3}-5 x^{2}-11 x-3$ के शून्य हैं, और फिर शून्यों तथा गुणांकों के बीच संबंध को सत्यापित कीजिए। हल: दिए गए बहुपद की तुलना $a x^{3}+b x^{2}+c x+d$ से करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{align*} & a = 3, b = -5, c = -11, d = -3. \ \text{आगे}\quad & p(3) = 3 \times 3^{3} - (5 \times 3^{2}) - (11 \times 3) - 3 = 81 - 45 - 33 - 3 = 0, \ & p(-1) = 3 \times (-1)^{3} - 5 \times (-1)^{2} - 11 \times (-1) - 3 = -3 - 5 + 11 - 3 = 0, \ & p\left(-\dfrac{1}{3}\right) = 3 \times \left(-\dfrac{1}{3}\right)^{3} - 5 \times \left(-\dfrac{1}{3}\right)^{2} - 11 \times \left(-\dfrac{1}{3}\right) - 3, \ & \phantom{\text{चतुर्भुज}} = -\dfrac{1}{9} - \dfrac{5}{9} + \dfrac{11}{3} - 3 = -\dfrac{2}{3} + \dfrac{2}{3} = 0 \end{align*} $

इसलिए, 3, -1 और $-\dfrac{1}{3}$ बहुपद $3x^{3}-5x^{2}-11x-3$ के शून्यक हैं। इसलिए हम लेते हैं $\alpha=3$, $\beta=-1$ और $\gamma=-\dfrac{1}{3}$।

$ \begin{align*} & \alpha + \beta + \gamma = 3 + (-1) + \left(-\dfrac{1}{3}\right) = 2 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{3} = \dfrac{-(-5)}{3} = \dfrac{-b}{a}, \ & \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = 3 \times (-1) + (-1) \times \left(-\dfrac{1}{3}\right) + \left(-\dfrac{1}{3}\right) \times 3 = -3 + \dfrac{1}{3} - 1 = \dfrac{-11}{3} = \dfrac{c}{a}, \ & \alpha\beta\gamma = 3 \times (-1) \times \left(-\dfrac{1}{3}\right) = 1 = \dfrac{-(-3)}{3} = \dfrac{-d}{a}. \end{align*} $

[[Sc_marker_1]] ### 2.4 सारांश

इस अध्याय में, आपने निम्नलिखित बिंदुओं का अध्ययन किया है:

1. बहुपद की डिग्री 1, 2 और 3 होने पर क्रमशः रैखिक, द्विघात और घन बहुपद कहा जाता है।

2. एक द्विघात बहुपद में (x) के साथ वास्तविक गुणांक होने का रूप (ax^{2}+bx+c) होता है, जहाँ (a, b, c) वास्तविक संख्याएँ हैं और (a \neq 0)।

3. किसी बहुपद (p(x)) के शून्य वास्तव में वे (x)-निर्देशांक होते हैं, जहाँ ग्राफ (y=p(x)), (x)-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।

4. एक द्विघात बहुपद के अधिकतम 2 शून्य हो सकते हैं और एक घन बहुपद के अधिकतम 3 शून्य हो सकते हैं।

5. यदि (\alpha) और (\beta) द्विघात बहुपद (ax^{2}+bx+c) के शून्य हैं, तो [\alpha + \beta = -\dfrac{b}{a}, \quad \alpha\beta = \dfrac{c}{a}.]

6. यदि (\alpha, \beta, \gamma) घन बहुपद (ax^{3}+bx^{2}+cx+d) के शून्य हैं, तो

[\begin{aligned} &\alpha + \beta + \gamma = \dfrac{-b}{a}, \ &\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \dfrac{c}{a}, \ &\text{और} \ &\alpha\beta\gamma = \dfrac{-d}{a}. \end{aligned}]