# # 3 . 1 परिचय

आओ, ऐसी परिस्थितियों पर विचार करते हैं जो नीचे दी गई हैं:

अखिल अपने गाँव से एक मेले में गया। वह विशाल पहिए की सवारियों और हल्ला खेल का आनंद लेना चाहता था (हल्ला एक खेल है जिसमें तुम अंगूठी को फेंकते हो, जो वस्तुओं पर रखी होती है, और यदि अंगूठी किसी वस्तु को पूरी तरह से ढक लेती है, तो तुम उसे प्राप्त कर लेते हो)। हल्ला खेलने की संख्या उसकी विशाल पहिए की सवारियों की संख्या की आधी थी। यदि प्रत्येक सवारी ₹3 और प्रत्येक हल्ला खेल ₹4 का हो, तो तुम कैसे ज्ञात करोगे कि उसने कितनी सवारियाँ की और कितनी बार हल्ला खेला, यह दिया गया है कि उसने ₹20 व्यय किए।

तुम इसे विभिन्न मामलों पर विचार करके कर सकते हो। यदि उसने एक सवारी की, क्या यह संभव है? क्या दो सवारियाँ करना संभव है? और इसी प्रकार। अथवा तुम कक्षा नौ के ज्ञान का उपयोग कर सकते हो, ऐसी परिस्थितियों को दो चरों के रैखिक समीकरण के रूप में प्रस्तुत करने के लिए।

आइए हम इस दृष्टिकोण को आज़माते हैं। मान लीजिए इस संख्या के स्वारों की संख्या को अखिल द्वारा x से दर्शाया गया है, और इस संख्या के गुणजों की संख्या को खेला हल्ला द्वारा y से दर्शाया गया है। अब इस स्थिति को निम्नलिखित दो समीकरणों द्वारा दर्शाया गया है: $$ \begin{align*} y &= \dfrac{1}{2}x \tag{1} \ 3x + 4y &= 20 \tag{2} \end{align*} $$ क्या हम इस समीकरणों के युग्म का हल खोज सकते हैं? इन्हें खोजने के कई तरीके हैं, जिन्हें हम इस अध्याय में अध्ययन करेंगे।

एक जोड़े का रैखिक समीकरण जो हल नहीं होता, उसे असंगत जोड़े का रैखिक समीकरण कहा जाता है। एक जोड़े का रैखिक समीकरण जिसमें दो चर हों और जो हल हो, उसे संगत जोड़े का रैखिक समीकरण कहा जाता है। एक जोड़े का रैखिक समीकरण जो समतुल्य हो अनंत रूप से बहुत सारे विशिष्ट सामान्य हलों के साथ, ऐसा जोड़ा आश्रित जोड़े का रैखिक समीकरण में दो चर कहलाता है। ध्यान दें कि आश्रित जोड़े का रैखिक समीकरण हमेशा संगत होता है। हम अब संक्षेप में प्रस्तुत करते हैं यह व्यवहार जो रेखाओं द्वारा प्रतिनिधित्व किया जाता है एक जोड़े के रैखिक समीकरण में दो चरों के साथ और हलों के अस्तित्व के रूप में जो निम्नलिखित है: (i) यह रेखाएँ एकल बिंदु में प्रतिच्छेद कर सकती हैं। इस स्थिति में, यह जोड़े का समीकरण एक अनोखा हल रखता है (संगत जोड़े का समीकरण)। (ii) यह रेखाएँ समांतर हो सकती हैं। इस स्थिति में, यह समीकरण हल नहीं होता (असंगत जोड़े का समीकरण)। (iii) यह रेखाएँ संपाती हो सकती हैं। इस स्थिति में, यह समीकरण अनंत रूप से बहुत सारे हल रखता है [आश्रित (संगत) जोड़े का समीकरण]।

विचार कीजिए निम्नलिखित तीन युग्मों के समीकरण: (i) $x-2 y=0$ और $3 x+4 y-20=0$ (यह रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं) (ii) $2 x+3 y-9=0$ और $4 x+6 y-18=0$ (यह रेखाएँ संयोग होती हैं) (iii) $x+2 y-4=0$ और $2 x+4 y-12=0$ (यह रेखाएँ समांतर हैं)। अब हम नीचे लिखते हैं और तुलना करते हैं इन मानों की $\dfrac{a_1}{a_2}, \dfrac{b_1}{b_2}$ और $\dfrac{c_1}{c_2}$ में सभी तीनों उदाहरणों में। यहाँ $a_1, b_1, c_1$ और $a_2, b_2, c_2$ दर्शाते हैं गुणांकों को समीकरण के दिए गए सामान्य रूप में Section 3.2 Table 3.1

| स.नहीं. | जोड़ी की रेखाएँ | $\dfrac{a_1}{a_2}$ | $\dfrac{b_1}{b_2}$ | $\dfrac{c_1}{c_2}$ | तुलना/अनुपात | ग्राफिकल प्रतिनिधित्व | बीजगणितीय व्याख्या | | :———: | :—————————— | :————: | :————: | :————: | :———————— | :——————— | :——————— | | 1. | $x-2 y=0$
$3 x+4 y-20=0$ | $\dfrac{1}{3}$ | $\dfrac{-2}{4}$ | $\dfrac{0}{-20}$ | $\dfrac{a_1}{a_2} \neq \dfrac{b_1}{b_2}$ | प्रतिच्छेदी रेखाएँ | बिल्कुल एक हल (अद्वितीय) | | 2. | $2 x+3 y-9=0$
$4 x+6 y-18=0$ | $\dfrac{2}{4}$ | $\dfrac{3}{6}$ | $\dfrac{-9}{-18}$ | $\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}=\dfrac{c_1}{c_2}$ | संपाती रेखाएँ | अनंत रूप से अनेक हल | | 3. | $x+2 y-4=0$
$2 x+4 y-12=0$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{2}{4}$ | $\dfrac{-4}{-12}$ | $\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2} \neq \dfrac{c_1}{c_2}$ | समांतर रेखाएँ | कोई हल नहीं |

उपरोक्त तालिका से तुम निरीक्षण कर सकते हो कि यदि रेखाएँ समीकरणों $a_1 x + b_1 y + c_1 = 0$ और $a_2 x + b_2 y + c_2 = 0$ द्वारा दर्शायी गयी हैं, तो

(i) प्रतिच्छेद करना, तो (\dfrac{a_1}{a_2} \neq \dfrac{b_1}{b_2})।
(ii) संपाती, तो (\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}=\dfrac{c_1}{c_2})।
(iii) समांतर, तो (\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2} \neq \dfrac{c_1}{c_2})।

वास्तव में, यह विलोम भी सत्य है किसी भी जोड़ी की रेखाओं के लिए। तुम सत्यापित कर सकते हो इन्हें कुछ और उदाहरणों पर विचार करके स्वयं।

अब हम विचार करते हैं कुछ और उदाहरणों से इसे चित्रित करने के लिए।

उदाहरण 1: जाँचें ग्राफ़िकल रूप से कि यह समीकरणों का जोड़ा
[\begin{align*} x + 3y &= 6 \tag{1}\ 2x - 3y &= 12 \tag{2} \end{align*}]
संगत है या नहीं। यदि हाँ, तो हल करें इन्हें ग्राफ़िकल रूप से।

हल: आइए चित्र बनाएँ आलेख का इन समीकरणों (1) और (2) का। इसके लिए हम खोजते हैं दो हल प्रत्येक समीकरण के, जो दिए गए हैं Table 3.2 में।

Table 3.2

प्लॉट कीजिए बिंदुओं $A(0,2), B(6,0)$, $P(0,-4)$ और $Q(3,-2)$ को ग्राफ कागज पर और इन बिंदुओं से बनने वाली रेखाएँ $AB$ और $PQ$ को जैसा दिखाया गया है अंजीर 3.1 में। हम निरीक्षण करते हैं कि बिंदु $B(6,0)$ सामान्य है दोनों रेखाओं $AB$ और $PQ$ के लिए। इसलिए, हल का यह जोड़ा रैखिक समीकरणों का है $x=6$ और $y=0$, अर्थात्, दिए गए जोड़े का समीकरण संगत है। अंजीर 3.1 उदाहरण 2: ग्राफ़िकल रूप से ज्ञात कीजिए कि निम्नलिखित जोड़े का समीकरण हल नहीं है, अद्वितीय हल है या अनंत रूप से बहुत सारे हल हैं: $$ \begin{matrix} 5 x - 8 y + 1 = 0 \tag{1} \end{matrix} $$ $$ \begin{matrix} 3 x - \ \dfrac { 24 } { 5 } y + \ \dfrac { 3 } { 5 } = 0 \tag{2} \end{matrix} $$

हल: समीकरण (2) को $\dfrac{5}{3}$ से गुणा करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$$5x - 8y + 1 = 0$$

लेकिन यह समीकरण (1) के समान है। इसलिए समीकरण (1) और (2) द्वारा दर्शाई गई रेखाएँ संपाती हैं। इसलिए, समीकरण (1) और (2) के अनंत हल हैं। इसका ग्राफ प्लॉट करके कुछ बिंदुओं पर स्वयं सत्यापित करें।

उदाहरण 3: चंपा ने ‘सेल’ से कुछ पैंट और स्कर्ट्स खरीदे। जब उसकी सहेली ने पूछा कि उसने प्रत्येक कितने खरीदे, तो उसने उत्तर दिया, “स्कर्ट्स की संख्या पैंट की संख्या के दोगुने से दो कम है। साथ ही, स्कर्ट्स की संख्या पैंट की संख्या के चार गुने से चार कम है।” उसकी सहेली की मदद करें ज्ञात करने में कि चंपा ने कितने पैंट और स्कर्ट्स खरीदे।

हल: मान लीजिए पैंट की संख्या $x$ और स्कर्ट्स की संख्या $y$ है। फिर समीकरण बनते हैं:

$$\begin{align*} &y = 2x - 2 \tag{1}\ &y = 4x - 4 \tag{2} \end{align*}$$

आइए हम चित्र बनाते हैं। आलेख के समीकरण (1) और (2) द्वारा प्रत्येक समीकरण के दो हल खोजे गए हैं। वे Table 3.3 में दिए गए हैं।

Table 3.3

$x$	2	0
$y=2x-2$	2	-2
$x$	0	1
:—:	:—:	:—:
$y=4x-4$	-4	0

अंजीर. 3.2: इन बिंदुओं को प्लॉट करें और इन रेखाओं को उनके समीकरणों का प्रतिनिधित्व करते हुए खींचें, जैसा कि अंजीर. 3.2 में दिखाया गया है। ये दोनों रेखाएं बिंदु $(1,0)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। इसलिए, $x=1, y=0$ इस रैखिक समीकरणों के जोड़े का आवश्यक हल है, अर्थात् पैंट की संख्या 1 है और कोई स्कर्ट नहीं खरीदी गई है।

इस उत्तर की जाँच करके सत्यापित करें कि यह दी गई समस्या की शर्तों को संतुष्ट करता है।

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3.3 बीजगणितीय विधियाँ एक जोड़े रैखिक समीकरणों को हल करने की

इस पिछले खंड में हमने चर्चा की थी कि कैसे किसी जोड़े के रैखिक समीकरणों को ग्राफ़िकल विधि से हल किया जाए। यह ग्राफ़िकल विधि तब सुविधाजनक नहीं होती जब हल बिंदु के निर्देशांक गैर-पूर्णांकीय हों, जैसे $(\sqrt{3}, 2 \sqrt{7})$, $(-1.75, 3.3)$, $(\dfrac{4}{13}, \dfrac{1}{19})$ आदि। ऐसे निर्देशांक पढ़ते समय गलती करने की पूरी संभावना रहती है। क्या इस हल को खोजने कोई अन्य विधि है? कई बीजगणितीय विधियाँ हैं, जिनकी अब हम चर्चा करेंगे।

3.3.1 प्रतिस्थापन विधि

हम कुछ उदाहरणों के माध्यम से इस प्रतिस्थापन विधि को समझाएँगे।

उदाहरण 4: प्रतिस्थापन विधि से निम्नलिखित समीकरणों के जोड़े को हल कीजिए: $$\begin{align} 7x - 15y &= 2 \tag{1}\ x + 2y &= 3 \tag{2}\end{align}$$

हल: चरण 1: हम इनमें से किसी एक समीकरण को चुनते हैं और एक चर को दूसरे चर के पदों में लिखते हैं। आइए समीकरण (2) को लें: $$x + 2y = 3$$

$$ \ पाठ { और लिखिए यह जैसा } \ चतुर्भुज x = 3 - 2 y \ टैग { 3 } $$ चरण 2 : इस मान को $x$ के स्थान पर समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करें। हम प्राप्त करते हैं $ \ प्रारंभ { संरेखित } & 7 ( 3 - 2 y ) - 15 y & = 2 \ \ \ \ पाठ { अर्थात्, } & 21 - 14 y - 15 y & = 2 \ \ \ \ पाठ { अर्थात्, } & - 29 y & = - 19 \ \ \ & \ पाठ { इसलिए, } \ चतुर्भुज y & = \ \dfrac { 19 } { 29 } \ समाप्त { संरेखित } $ चरण 3 : इस मान को $y$ के स्थान पर समीकरण (3) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं $$ x = 3 - 2 ( \ \dfrac { 19 } { 29 } ) = \ \dfrac { 49 } { 29 } $$ इसलिए, हल है $x=\dfrac{49}{29}, y=\dfrac{19}{29}$। सत्यापन : $x=\dfrac{49}{29}$ और $y=\dfrac{19}{29}$ को प्रतिस्थापित करके, आप सत्यापित कर सकते हैं कि दोनों समीकरण (1) और (2) संतुष्ट होते हैं। इस प्रतिस्थापन विधि को अधिक स्पष्ट रूप से समझने के लिए, आइए हम इसे चरणबद्ध रूप से विचार करें: चरण 1 : एक चर का मान, कहें $y$, दूसरे चर के पदों में, अर्थात् $x$ में, या समीकरण से खोजें, जो भी सुविधाजनक हो।

चरण 2: प्रतिस्थापित करें इस मान को $y$ में इस अन्य समीकरण में, और घटाकर इसे एक समीकरण में एक चर में लाएँ, अर्थात् $x$ के पदों में, जिसे हल किया जा सके। कभी-कभी, जैसा कि उदाहरण 9 और 10 नीचे दिए गए हैं, आपको ऐसा कथन मिल सकता है जिसमें कोई चर न हो। यदि यह कथन सत्य है, तो आप निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि यह रैखिक समीकरणों का जोड़ा अनंत रूप से बहुत हल हैं। यदि यह कथन असत्य है, तो यह रैखिक समीकरणों का जोड़ा असंगत है। चरण 3: प्रतिस्थापित करें इस मान को $x$ (या $y$) का, जो चरण 2 में प्राप्त हुआ था, इस समीकरण में जिसे चरण 1 में उपयोग किया गया था, ताकि इस अन्य चर का मान प्राप्त किया जा सके। टिप्पणी: हमने एक चर का मान दूसरे चर के पदों में प्रतिस्थापित किया है इस रैखिक समीकरणों के जोड़े को हल करने के लिए। यही कारण है कि इस विधि को प्रतिस्थापन विधि के नाम से जाना जाता है।

उदाहरण 5: हल कीजिए यह निम्नलिखित प्रश्न - आफ़ताब अपनी बेटी से कहता है, “सात वर्ष पहले मैं तुमसे सात गुना बड़ा था। फिर भी, तीन वर्ष बाद मैं तुमसे तीन गुना बड़ा होऊंगा।” (क्या यह दिलचस्प नहीं है?) इस स्थिति का बीजगणितीय और ग्राफ़िकल रूप से प्रतिनिधित्व करें विधि के प्रतिस्थापन द्वारा।

हल: मान लीजिए $s$ और $t$ हैं आयु (वर्षों में) आफ़ताब और उसकी बेटी की, क्रमशः। फिर, इस स्थिति को प्रस्तुत करने वाली रैखिक समीकरणों की जोड़ी है

$$s - 7 = 7(t - 7), \text{ अर्थात्, } s - 7t + 42 = 0 \tag{1}$$

$$\text{और } s + 3 = 3(t + 3), \text{ अर्थात्, } s - 3t = 6 \tag{2}$$

समीकरण (2) का उपयोग कर, हम प्राप्त करते हैं $s = 3t + 6$। यह मान समीकरण (1) में रखने पर, हम प्राप्त करते हैं $(3t + 6) - 7t + 42 = 0$

$$\text{अर्थात्, } -4t = -48 \text{, जो देता है } t = 12 \text{।}$$

यह मान समीकरण (2) में रखने पर, हम प्राप्त करते हैं $s = 3(12) + 6 = 42$।

इसलिए, आफ़ताब और उसकी बेटी की आयु क्रमशः 42 और 12 वर्ष है।

सत्यापित करें कि यह उत्तर दी गई शर्तों को संतुष्ट करता है या नहीं। उदाहरण 6: एक दुकान में 2 पेंसिलों और 3 रबर की लागत ₹9 है और 4 पेंसिलों और 6 रबर की लागत ₹18 है। प्रत्येक पेंसिल और प्रत्येक रबर की लागत ज्ञात कीजिए। हल: निम्नलिखित रैखिक समीकरण बनाए गए: $$\begin{align*} & 2x + 3y = 9 \tag{1} \end{align*}$$ $$\begin{align*} & 4x + 6y = 18 \tag{2} \end{align*}$$ हम पहले समीकरण $2x + 3y = 9$ से $x$ का मान $y$ के पदों में व्यक्त करते हैं, $$x = \dfrac{9 - 3y}{2} \tag{3}$$ अब हम यह मान $x$ का समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करते हैं, $$\begin{align*} & \dfrac{4(9 - 3y)}{2} + 6y & = 18 \ \text{i.e.,} & 18 - 6y + 6y & = 18 \ \text{i.e.,} & 18 & = 18 \end{align*}$$

यह कथन सभी मानों के लिए सत्य है। हालांकि, हमें $y$ का कोई विशिष्ट मान हल के रूप में नहीं मिलता। इसलिए, हम $x$ का कोई विशिष्ट मान नहीं प्राप्त कर सकते। यह स्थिति इसलिए उत्पन्न हुई है क्योंकि दोनों दिए गए समीकरण समान हैं। इसलिए, समीकरण (1) और (2) के अनंत हल हैं। हम पेंसिल और रबर की कोई अनोखी लागत नहीं खोज सकते, क्योंकि दी गई स्थिति से बहुत सामान्य हल हैं।

उदाहरण 7: दो रेलगाड़ियाँ समीकरणों $x+2y-4=0$ और $2x+4y-12=0$ द्वारा प्रस्तुत की गई हैं। क्या ये रेलगाड़ियाँ एक-दूसरे को पार करेंगी?

हल: यह जोड़ी रैखिक समीकरणों इस प्रकार है: $$\begin{align*} x + 2y - 4 &= 0 \tag{1}\ 2x + 4y - 12 &= 0 \tag{2}\end{align*}$$

हम समीकरण (1) से $x$ को $y$ के पदों में व्यक्त करते हैं: $$x = 4 - 2y$$

अब, हम यह मान समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करते हैं: $$2(4 - 2y) + 4y - 12 = 0$$ $$\begin{align*} \text{अर्थात्, } 8 - 12 &= 0\ \text{अर्थात्, } -4 &= 0\end{align*}$$

यह एक असत्य कथन है। इसलिए, इस समीकरण का कोई सामान्य हल नहीं है। इसलिए, ये दो रेलगाड़ियाँ एक-दूसरे को पार नहीं करेंगी। [[Sc_marker_1]] #### 3.3.2 उन्मूलन विधि

अब हम विचार करते हैं एक और विधि का हटाना (अर्थात्, हटाना) एक चर। यह कभी-कभी प्रतिस्थापन विधि से अधिक सुविधाजनक होती है। आइए देखें कि यह विधि कैसे काम करती है।

उदाहरण 8: दो व्यक्तियों की आय का अनुपात 9:7 है और उनके व्यय का अनुपात 4:3 है। यदि प्रत्येक व्यक्ति ₹2000 प्रति माह बचाता है, तो उनकी मासिक आय ज्ञात कीजिए।

हल: माना दोनों व्यक्तियों की आय ₹9x और ₹7x है तथा उनका व्यय क्रमशः ₹4y और ₹3y है। तब दी गई स्थिति में बने समीकरण हैं:

$$\begin{align*} & 9x - 4y = 2000 \tag{1} \end{align*}$$

$$\begin{align*} & \text{और} \quad 7x - 3y = 2000 \tag{2} \end{align*}$$

चरण 1: समीकरण (1) को 3 से और समीकरण (2) को 4 से गुणा करने पर y के गुणांक बराबर हो जाते हैं। फिर हमें ये समीकरण प्राप्त होते हैं: $$\begin{align*} & 27x - 12y = 6000 \tag{3} \end{align*}$$ $$\begin{align*} & 28x - 12y = 8000 \tag{4} \end{align*}$$

चरण 2: समीकरण (3) को समीकरण (4) से घटाने पर y समाप्त हो जाता है, क्योंकि y के गुणांक समान हैं। इसलिए हमें प्राप्त होता है: $$(28x - 27x) - (12y - 12y) = 8000 - 6000$$ $$\text{i.e., } x = 2000$$

चरण 3: यह मान x = 2000 को समीकरण (1) में रखने पर हमें प्राप्त होता है: $$\begin{align} 9(2000) - 4y & = 2000 \ \Rightarrow 18000 - 4y & = 2000 \ \Rightarrow 4y & = 16000 \ \Rightarrow y & = 4000 \end{align}$$

इसलिए इस समीकरण का हल है: x = 2000, y = 4000। अतः इन व्यक्तियों की मासिक आय क्रमशः ₹18,000 और ₹14,000 है।

सत्यापन: 18000 : 14000 = 9 : 7। साथ ही उनके व्यय का अनुपात = 18000-2000 : 14000-2000 = 16000 : 12000 = 4 : 3

1. यह विधि उपयोग की जाती है उपरोक्त उदाहरण को हल करने के लिए। इसे उन्मूलन विधि कहा गया है, क्योंकि हम एक चर को हटाते हैं—रैखिक समीकरण में से एक चर को। उपरोक्त उदाहरण में हमने $y$ को नष्ट किया। हम $x$ को भी नष्ट कर सकते थे। इसे वैसे भी आज़माइए।

2. तुम इस समस्या को प्रतिस्थापन या ग्राफिकल विधि से भी हल कर सकते हो। इसलिए आज़माओ और देखो कि कौन-सी विधि अधिक सुविधाजनक है। अब हम उन्मूलन विधि के ये चरण नोट कर लें:

चरण 1: पहले दोनों समीकरणों को किसी उपयुक्त गैर-शून्य स्थिरांक से गुणा करके यह सुनिश्चित करो कि एक चर ($x$ या $y$) का गुणांक संख्यात्मक रूप से बराबर हो जाए।

चरण 2: फिर एक समीकरण को दूसरे में जोड़ो या घटाओ ताकि एक चर नष्ट हो जाए। यदि तुम्हें एक चर वाला समीकरण मिल जाए, तो चरण 3 पर जाओ। यदि चरण 2 में हमें कोई ऐसा सत्य कथन मिले जिसमें कोई चर न हो, तो मूल जोड़े का समीकरण अनंत रूप से बहुत हल होता है।

यदि चरण 2 में हम एक असत्य कथन प्राप्त करते हैं, जिसमें कोई चर संलग्न नहीं है, तो यह मूल जोड़े का समीकरण हल नहीं होता, अर्थात् यह असंगत है।
चरण 3: इस समीकरण को एक चर ($x$ या $y$) में हल करें, ताकि उसका मान प्राप्त हो।
चरण 4: इस मान को $x$ (या $y$) के स्थान पर मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करें और दूसरे चर का मान प्राप्त करें।
अब इसे चित्रित करने के लिए हम कुछ और उदाहरण हल करेंगे।

उदाहरण 9: उन्मूलन विधि का उपयोग करके निम्नलिखित रैखिक समीकरणों के जोड़े के सभी संभव हल खोजें:
$$\begin{align*} &2x + 3y = 8 \tag{1}\end{align*}$$
$$\begin{align*} &4x + 6y = 7 \tag{2}\end{align*}$$

हल:
चरण 1: समीकरण (1) को 2 से और समीकरण (2) को 1 से गुणा करें ताकि $x$ के गुणांक बराबर हों। तब हमें निम्न समीकरण मिलते हैं:
$$\begin{align*} &4x + 6y = 16 \tag{3}\end{align*}$$
$$\begin{align*} &4x + 6y = 7 \tag{4}\end{align*}$$

चरण 2: समीकरण (4) को समीकरण (3) से घटाएँ:
$(4x - 4x) + (6y - 6y) = 16 - 7$

$\text{अर्थात्,}$ चतुर्भुज $0=9$ $\text{, जो एक गलत कथन है।}$ इसलिए, यह जोड़ा समीकरण हल नहीं है। उदाहरण 10: यह योग है एक दो-अंकीय संख्या का और वही संख्या प्राप्त होती है अंकों को उलटने पर, 66 है। यदि अंकों का अंतर 2 हो, तो संख्या ज्ञात कीजिए। ऐसी कितनी संख्याएँ हैं? हल: माना पहली संख्या के दहाई का अंक $x$ और इकाई का अंक $y$ है। अतः पहली संख्या $10x+y$ लिखी जा सकती है (उदाहरण के लिए, $56=10(5)+6$)। जब अंकों को उलटा जाता है, तो $x$ इकाई का अंक बन जाता है और $y$ दहाई का अंक। इस प्रकार संख्या $10y+x$ हो जाती है (उदाहरण के लिए, जब 56 को उलटा जाता है, तो हमें $65=10(6)+5$ मिलता है)। दी गई स्थिति के अनुसार, $$(10x+y)+(10y+x)=66$$ $$\text{अर्थात् }11(x+y)=66$$ $$\text{अर्थात् }x+y=6\tag{1}$$ हमें यह भी दिया गया है कि अंकों का अंतर 2 है, इसलिए, $$\text{अतः }x-y=2\tag{2}$$

$$ \ पाठ { या } \ चतुर्भुज y - x = 2 \ टैग { 3 } $$ यदि $x-y=2$ है, तो (1) और (2) को उन्मूलन विधि से हल करने पर हमें $x=4$ और $y=2$ प्राप्त होते हैं। इस स्थिति में हमें संख्या 42 प्राप्त होती है। यदि $y-x=2$ है, तो (1) और (3) को उन्मूलन विधि से हल करने पर हमें $x=2$ और $y=4$ प्राप्त होते हैं। इस स्थिति में हमें संख्या 24 प्राप्त होती है। इस प्रकार, दो ऐसी संख्याएँ हैं: 42 और 24। सत्यापन: यहाँ $42+24=66$ और $4-2=2$ है। साथ ही $24+42=66$ और $4-2=2$ है। [[Sc_marker_2]] ### 3.4 सारांश इस अध्याय में, आपने निम्नलिखित बिंदुओं का अध्ययन किया है: 1. दो चरों वाले रैखिक समीकरणों के युग्म को प्रस्तुत किया गया और इन्हें हल करने की विधियाँ: (i) ग्राफीय विधि (ii) बीजगणितीय विधि 2. ग्राफीय विधि: दो चरों वाले रैखिक समीकरणों के युग्म को ग्राफ पर दो रेखाओं द्वारा प्रस्तुत किया जाता है। (i) यदि ये रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो वह बिंदु दोनों समीकरणों का अद्वितीय हल देता है। इस स्थिति में समीकरणों का युग्म संगत होता है।

(ii) यदि यह रेखाएँ संयोग होती हैं, तो वहाँ अनंत रूप से बहुत हल होते हैं — प्रत्येक बिंदु इस रेखा पर हल होता है। इस स्थिति में, यह जोड़े का समीकरण आश्रित (संगत) है। (iii) यदि यह रेखाएँ समांतर हैं, तो यह जोड़े का समीकरण हल नहीं है। इस स्थिति में, यह जोड़े का समीकरण असंगत है।

3. बीजगणितीय विधियाँ: हमने चर्चा की है निम्नलिखित विधियों का, रैखिक समीकरणों के जोड़े के हल खोजने के लिए: (i) प्रतिस्थापन विधि (ii) उन्मूलन विधि

4. यदि एक रैखिक समीकरणों का जोड़ा दिया गया है $a_1 x+b_1 y+c_1=0$ और $a_2 x+b_2 y+c_2=0$ द्वारा, तो निम्नलिखित परिस्थितियाँ हो सकती हैं: (i) $\dfrac{a_1}{a_2} \neq \dfrac{b_1}{b_2}$: इस स्थिति में, यह रैखिक समीकरणों का जोड़ा संगत है। (ii) $\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2} \neq \dfrac{c_1}{c_2}$: इस स्थिति में, यह रैखिक समीकरणों का जोड़ा असंगत है। (iii) $\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}=\dfrac{c_1}{c_2}$: इस स्थिति में, यह रैखिक समीकरणों का जोड़ा आश्रित और संगत है।

वहाँ कई परिस्थितियाँ हैं जिन्हें गणितीय रूप से प्रस्तुत करने के लिए दो समीकरणों की आवश्यकता होती है जो प्रारंभ से ही रैखिक नहीं होते। लेकिन हम उन्हें बदल सकते हैं ताकि वे कम से कम एक रैखिक समीकरण का रूप ले सकें।