4.1 परिचय

अध्याय 2 में, तुमने विभिन्न प्रकार के बहुपदों का अध्ययन किया था। एक प्रकार द्विघात बहुपद था जिसका रूप होता है $a x^{2}+b x+c, a \neq 0$। जब हम इस बहुपद को शून्य के बराबर करते हैं, तो हमें एक द्विघात समीकरण प्राप्त होता है। द्विघात समीकरण तब आते हैं जब हम कई वास्तविक-जीवन परिस्थितियों से निपटते हैं।

उदाहरण के लिए, मान लीजिए एक दान विश्वास एक प्रार्थना हॉल के निर्माण का निर्णय लेता है जिसका क्षेत्रफल 300 वर्ग मीटर है, और इसकी लंबाई इसकी चौड़ाई के दोगुने से एक मीटर अधिक है। इस हॉल की लंबाई और चौड़ाई क्या होनी चाहिए?

मान लीजिए इस हॉल की चौड़ाई $x$ मीटर है। फिर, इसकी लंबाई $(2x+1)$ मीटर होनी चाहिए। हम इस जानकारी को चित्रात्मक रूप से चित्र 4.1 में दिखाए अनुसार चित्रित कर सकते हैं।

चित्र 4.1

$\text{अब, इस हॉल का क्षेत्रफल} = (2x + 1) \cdot x , m^{2} = (2x^{2} + x) , m^{2}$

$\text{इसलिए,}\quad 2x^{2}+x=300 \quad \quad \quad \text{(दिया गया)}$

$ \ पाठ { इसलिए , } \ चतुर्भुज 2 x ^ { 2 } + x - 300 = 0 $ इसलिए, यह चौड़ाई का हॉल इस समीकरण $2 x^{2}+x-300=0$ को संतुष्ट करना चाहिए, जो एक द्विघात समीकरण है। बहुत से लोग विश्वास करते हैं कि बेबीलोनियन पहले से ही द्विघात समीकरण हल कर रहे थे। उदाहरण के लिए, वे जानते थे कि दो सकारात्मक संख्याएँ कैसे खोजें जिनका दिया गया योग और दिया गया गुणनफल दोनों सकारात्मक हों, और यह समस्या $x^{2}-p x+q=0$ रूप के द्विघात समीकरण को हल करने के समतुल्य है। ग्रीक गणितज्ञ यूक्लिड ने बाहर लंबाइयाँ खोजने के लिए एक ज्यामितीय दृष्टिकोण विकसित किया, जो आज की परिभाषिक शब्दावली में द्विघात समीकरण के हल हैं। द्विघात समीकरण को सामान्य रूप में हल करना अक्सर प्राचीन भारतीय गणितज्ञों को श्रेय दिया जाता है। वास्तव में, ब्रह्मगुप्त (C. E. 598-665) ने $a x^{2}+b x=c$ रूप के द्विघात समीकरण को हल करने के लिए एक स्पष्ट सूत्र दिया। बाद में,

श्रीधराचार्य (C.E. 1025) ने प्राप्त किया सूत्र, अब ज्ञात द्विघात सूत्र के रूप में, (जैसा कि भास्कर द्वारा उद्धृत) हल करने के लिए द्विघात समीकरण को इस विधि से पूरा करना वर्ग। एक अरब गणितज्ञ अल-ख्वारिज़्मी (लगभग C.E. 800) ने भी अध्ययन किया द्विघात समीकरणों के विभिन्न प्रकार। अब्राहम बार हाय्या नासी ने अपनी पुस्तक ‘लिबर अल्बगोरिस्मी’ में यूरोप में C.E. 1145 में प्रकाशित किया पूर्ण हल विभिन्न द्विघात समीकरणों का। इस अध्याय में, तुम अध्ययन करोगे द्विघात समीकरणों का, और विभिन्न तरीकों को खोजोगे उनके मूल ज्ञात करने के। तुम देखोगे भी कुछ अनुप्रयोग द्विघात समीकरणों के दैनिक जीवन की परिस्थितियों में।

4.2 द्विघात समीकरण

एक द्विघात समीकरण में चर $x$ का एक समीकरण होता है इस रूप में $ax^{2}+bx+c=0$, जहाँ $a, b, c$ वास्तविक संख्याएँ हैं, $a \neq 0$। उदाहरण के लिए, $2x^{2}+x-300=0$ एक द्विघात समीकरण है। इसी प्रकार, $2x^{2}-3x+1=0$, $4x-3x^{2}+2=0$ और $1-x^{2}+300=0$ भी द्विघात समीकरण हैं।

तथ्य यह है कि कोई समीकरण जिसका रूप $p(x)=0$ है, जहाँ $p(x)$ एक बहुपद है जिसकी डिग्री 2 है, एक द्विघात समीकरण होता है। लेकिन जब हम $p(x)$ के पदों को उनकी डिग्री के अवरोही क्रम में लिखते हैं, तो हमें इस समीकरण का मानक रूप प्राप्त होता है। वह है, $ax^{2}+bx+c=0$, जहाँ $a \neq 0$ है, इसे द्विघात समीकरण का मानक रूप कहा जाता है। द्विघात समीकरण विश्व के चारों ओर और गणित के विभिन्न क्षेत्रों में कई परिस्थितियों में उत्पन्न होते हैं। आइए हम कुछ उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 1: निम्नलिखित परिस्थितियों को गणितीय रूप से प्रस्तुत करना: (i) जॉन और जीवंती के पास कुल 45 कंचे हैं। दोनों ने प्रत्येक 5 कंचे खो दिए, और अब उनके पास मौजूद कंचों की संख्या का गुणनफल 124 है। हम जानना चाहेंगे कि प्रारंभ में उनके पास कितने कंचे थे।

(i) एक कुटीर उद्योग एक निश्चित संख्या में खिलौने उत्पन्न करता है एक दिन में। यह लागत का उत्पादन का प्रत्येक खिलौना (रुपये में) था मिला से होना 55 घटाव यह संख्या का खिलौने उत्पन्न किया गया एक दिन में। पर एक विशेष दिन, यह कुल लागत का उत्पादन था ₹750। हम होगा पसंद से खोजें बाहर यह संख्या का खिलौने उत्पन्न किया गया पर वह दिन। हल: (i) Let यह संख्या का कंचे जॉन था होना $x$। फिर यह संख्या का कंचे जीवंती था $=45-x$ (क्यों?)। यह संख्या का कंचे बाएं साथ जॉन, जब वह खो गया 5 कंचे $=x-5$ यह संख्या का कंचे बाएं साथ जीवंती, जब वह खो गया 5 कंचे $=45-x-5$ $$=40-x$$ इसलिए, उनका उत्पाद $=(x-5)(40-x)$ $$\begin{aligned} &=40x-x^{2}-200+5x \ &=-x^{2}+45x-200 \end{aligned}$$ इसलिए, $\quad-x^{2}+45x-200=124 \quad$ (दिया गया वह उत्पाद $=124$) i.e., $\quad-x^{2}+45x-324=0$ i.e., $\quad x^{2}-45x+324=0$ इसलिए, यह संख्या का कंचे जॉन था, संतुष्ट करता है यह द्विघात समीकरण $$x^{2}-45x+324=0$$

यह आवश्यक प्रतिनिधित्व की समस्या गणितीय रूप से इस प्रकार है। (ii) माना उस दिन उत्पन्न किए गए खिलौनों की संख्या x है। इसलिए उस दिन प्रत्येक खिलौने का उत्पादन लागत (रुपयों में) = 55 - x इसलिए उस दिन कुल उत्पादन लागत (रुपयों में) = x(55 - x) इसलिए, x(55 - x) = 750 अर्थात्, 55x - x² = 750 अर्थात्, -x² + 55x - 750 = 0 अर्थात्, x² - 55x + 750 = 0 इसलिए, उस दिन उत्पन्न किए गए खिलौनों की संख्या इस द्विघात समीकरण x² - 55x + 750 = 0 को संतुष्ट करती है। उदाहरण 2: जांचें कि निम्नलिखित द्विघात समीकरण हैं या नहीं: (i) (x - 2)² + 1 = 2x - 3 (ii) x(x + 1) + 8 = (x + 2)(x - 2) (iii) x(2x + 3) = x² + 1 (iv) (x + 2)³ = x³ - 4 हल: (i) बायाँ पक्ष = (x - 2)² + 1 = x² - 4x + 4 + 1 = x² - 4x + 5 इसलिए, (x - 2)² + 1 = 2x - 3 को पुनर्लिखित किया जा सकता है जैसे: x² - 4x + 5 = 2x - 3 x² - 6x + 8 = 0

यह फॉर्म $a x^{2}+b x+c=0$ का है। इसलिए, यह दिया गया समीकरण एक द्विघात समीकरण है। (ii) चूँकि $x(x+1)+8=x^{2}+x+8$ और $(x+2)(x-2)=x^{2}-4$, इसलिए, $\quad x^{2}+x+8=x^{2}-4$ अर्थात् $\quad x+12=0$ यह फॉर्म $a x^{2}+b x+c=0$ का नहीं है। इसलिए, यह दिया गया समीकरण एक द्विघात समीकरण नहीं है। (iii) यहाँ, $\text{LHS}=x(2 x+3)=2 x^{2}+3 x$ $$\begin{aligned} \text{इसलिए, } & x(2 x+3)=x^{2}+1 \ \text{इसे पुनर्लिखित किया जा सकता है } & 2 x^{2}+3 x=x^{2}+1 \end{aligned}$$ इसलिए, हमें प्राप्त होता है $x^{2}+3 x-1=0$ यह फॉर्म $a x^{2}+b x+c=0$ का है। इसलिए, यह दिया गया समीकरण एक द्विघात समीकरण है। (iv) यहाँ, $\text{LHS}=(x+2)^{3}=x^{3}+6 x^{2}+12 x+8$ इसलिए, $(x+2)^{3}=x^{3}-4$ इसे पुनर्लिखित किया जा सकता है $$x^{3}+6 x^{2}+12 x+8=x^{3}-4$$ $$\text{अर्थात् } 6 x^{2}+12 x+12=0$$ $$\text{या } x^{2}+2 x+2=0$$ यह फॉर्म $a x^{2}+b x+c=0$ का है।

इसलिए, यह दिया गया समीकरण एक द्विघात समीकरण है। टिप्पणी: सावधान रहें! ऊपर (i) में, यह दिया गया समीकरण एक द्विघात समीकरण प्रतीत होता है, लेकिन यह एक द्विघात समीकरण नहीं है। ऊपर (iv) में, यह दिया गया समीकरण एक घन समीकरण (एक समीकरण जिसकी डिग्री 3 है) प्रतीत होता है और एक द्विघात समीकरण नहीं है। लेकिन यह पता चलता है कि यह एक द्विघात समीकरण है। जैसा कि आप देख सकते हैं, अक्सर हमें यह निर्णय लेने से पहले दिए गए समीकरण को सरल करना पड़ता है कि यह द्विघात है या नहीं। [[Sc_marker_0]] ### 4.3 गुणनखंडन द्वारा एक द्विघात समीकरण का हल विचार करें इस द्विघात समीकरण को: $2x^{2}-3x+1=0$। यदि हम इस समीकरण में $x$ के स्थान पर 1 प्रतिस्थापित करें, तो हमें बायाँ पक्ष मिलता है: $(2 \times 1^{2})-(3 \times 1)+1=0=$ समीकरण का दाहिना पक्ष। हम कहते हैं कि 1 इस द्विघात समीकरण $2x^{2}-3x+1=0$ का एक मूल है। इसका यह भी अर्थ है कि 1 इस द्विघात बहुपद $2x^{2}-3x+1$ का एक शून्य है।

कहा गया है कि यदि a वास्तविक संख्या (\alpha) इस द्विघात समीकरण (a x^{2}+b x+c=0, a \neq 0) का मूल है, तो (a \alpha^{2}+b \alpha+c=0). हम यह भी कहते हैं कि (x=\alpha) इस द्विघात समीकरण का हल है, या (\alpha) इस द्विघात समीकरण को संतुष्ट करता है। ध्यान दें कि इस द्विघात बहुपद (a x^{2}+b x+c) का शून्य और इस द्विघात समीकरण (a x^{2}+b x+c=0) का मूल समान होते हैं। जैसा कि आपने अध्याय 2 में देखा है, एक द्विघात बहुपद के अधिकतम दो शून्य हो सकते हैं। इसलिए, कोई भी द्विघात समीकरण अधिकतम दो मूलों का हो सकता है। आपने कक्षा नौ में सीखा है कि द्विघात बहुपद को मध्य पदों के विभाजन द्वारा गुणनखंड कैसे किया जाता है। हम इस ज्ञान का उपयोग द्विघात समीकरण के मूल खोजने के लिए करेंगे। आइए देखें कैसे।

उदाहरण 3: गुणनखंडन द्वारा समीकरण (2 x^{2}-5 x+3=0) के मूल खोजें।

हल: आइए पहले मध्य पद (-5x) को (-2x-3x) के रूप में विभाजित करें [क्योंकि ((-2x) \times (-3x) = 6x^{2} = (2x^{2}) \times 3)]।

इसलिए, (2x^{2}-5x+3 = 2x^{2}-2x-3x+3 = 2x(x-1)-3(x-1) = (2x-3)(x-1))
अब, (2x^{2}-5x+3=0) को पुनर्लिखित किया जा सकता है: ((2x-3)(x-1)=0)।
इसलिए, वे (x) के मान जिनके लिए (2x^{2}-5x+3=0) है, वही हैं जिनके लिए ((2x-3)(x-1)=0), अर्थात् या तो (2x-3=0) या (x-1=0)।
अब, (2x-3=0) देता है (x=\dfrac{3}{2}) और (x-1=0) देता है (x=1\।
इसलिए, (x=\dfrac{3}{2}) और (x=1) इस समीकरण के हल हैं।
दूसरे शब्दों में, 1 और (\dfrac{3}{2}) समीकरण (2x^{2}-5x+3=0) के मूल हैं।
सत्यापित करें कि ये दिए गए समीकरण के मूल हैं।
ध्यान दें कि हमने (2x^{2}-5x+3=0) के मूल गुणनखंडन द्वारा प्राप्त किए हैं—(2x^{2}-5x+3) को दो रैखिक गुणनखंडों में विभाजित करके और प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखकर।

उदाहरण 4: द्विघात समीकरण (6x^{2}-x-2=0) के मूल खोजिए।
हल:
[ \begin{aligned} 6x^{2}-x-2 &= 6x^{2}+3x-4x-2 \ &= 3x(2x+1)-2(2x+1) \ &= (3x-2)(2x+1) \end{aligned} ]
(6x^{2}-x-2=0) के मूल वे (x) के मान हैं जिनके लिए ((3x-2)(2x+1)=0)

इसलिए, $3x-2=0$ या $2x+1=0$, अर्थात् $x=\dfrac{2}{3}$ या $x=-\dfrac{1}{2}$। इसलिए, $6x^2-x-2=0$ के मूल $\dfrac{2}{3}$ और $-\dfrac{1}{2}$ हैं। हम इन मूलों की जाँच करके सत्यापित करते हैं कि $\dfrac{2}{3}$ और $-\dfrac{1}{2}$ समीकरण $6x^2-x-2=0$ को संतुष्ट करते हैं।

उदाहरण 5: द्विघात समीकरण $3x^2-2\sqrt{6}x+2=0$ के मूल ज्ञात कीजिए।

हल: $3x^2-2\sqrt{6}x+2 = 3x^2-\sqrt{6}x-\sqrt{6}x+2$ $$\begin{aligned} &= \sqrt{3}x(\sqrt{3}x-\sqrt{2})-\sqrt{2}(\sqrt{3}x-\sqrt{2}) \ &= (\sqrt{3}x-\sqrt{2})(\sqrt{3}x-\sqrt{2}) \end{aligned}$$

इसलिए, इस समीकरण के मूल वे $x$ के मान हैं जिनके लिए $(\sqrt{3}x-\sqrt{2})(\sqrt{3}x-\sqrt{2}) = 0$।

अब, $\sqrt{3}x-\sqrt{2}=0$ से $x=\sqrt{\dfrac{2}{3}}$।

इसलिए, मूल दो बार दोहराया गया है, प्रत्येक दोहराए गए गुणनखंड $\sqrt{3}x-\sqrt{2}$ के लिए एक बार।

इसलिए, $3x^2-2\sqrt{6}x+2=0$ के मूल $\sqrt{\dfrac{2}{3}}, \sqrt{\dfrac{2}{3}}$ हैं।

उदाहरण 6: खोजें इस प्रार्थना हॉल का आयाम जिसकी चर्चा Section 4.1 में की गई है।

हल: Section 4.1 में, हमने पाया कि यदि इस हॉल की चौड़ाई x मीटर है, तो x समीकरण 2x² + x - 300 = 0 को संतुष्ट करता है। गुणनखंडन विधि लागू करते हुए, हम इस समीकरण को इस प्रकार लिखते हैं:

[\begin{aligned} 2x^2 - 24x + 25x - 300 &= 0 \ 2x(x - 12) + 25(x - 12) &= 0 \ \text{i.e., } (x - 12)(2x + 25) &= 0 \end{aligned}]

इसलिए, दिए गए समीकरण के मूल x = 12 या x = -12.5 हैं। चूंकि x इस हॉल की चौड़ाई है, यह ऋणात्मक नहीं हो सकती। इस प्रकार, इस हॉल की चौड़ाई 12 मीटर है। इसकी लंबाई = 2x + 1 = 25 मीटर।

4.4 समीकरण ax² + bx + c = 0 के मूलों की प्रकृति

समीकरण ax² + bx + c = 0 के मूल दिए गए हैं द्वारा:

[x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}]

यदि b² - 4ac > 0, तो हमें दो विशिष्ट वास्तविक मूल प्राप्त होते हैं: (-\dfrac{b}{2a} + \dfrac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}) और (-\dfrac{b}{2a} - \dfrac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a})।

यदि b² - 4ac = 0, तो x = (-\dfrac{b}{2a} \pm 0), i.e., x = (-\dfrac{b}{2a}) या (-\dfrac{b}{2a})।

इसलिए, यह मूल का यह समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ है दोनों $\dfrac{-b}{2 a}$। इसलिए, हम कह सकते हैं कि यह द्विघात समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ के दो बराबर वास्तविक मूल हैं इस केस में। यदि $b^{2}-4 a c<0$, तब वहाँ नहीं है वास्तविक संख्या जिसका वर्ग $b^{2}-4 a c$ है। इसलिए, वहाँ नहीं हैं वास्तविक मूल इस दिए गए द्विघात समीकरण के इस केस में। चूंकि $b^{2}-4 a c$ निर्धारित करता है कि यह द्विघात समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ के वास्तविक मूल हैं या नहीं, $b^{2}-4 a c$ को कहा गया है यह विचरक इस द्विघात समीकरण का। इसलिए, एक द्विघात समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ के (i) दो विशिष्ट वास्तविक मूल, यदि $b^{2}-4 a c>0$, (ii) दो बराबर वास्तविक मूल, यदि $b^{2}-4 a c=0$, (iii) नहीं वास्तविक मूल, यदि $b^{2}-4 a c<0$। आइए हम विचार करें कुछ उदाहरण।उदाहरण 7: खोजें यह विचरक इस द्विघात समीकरण $2 x^{2}-4 x+3=0$ का, और इसलिए खोजें यह प्रकृति इसके मूलों की।हल: यह दिया गया समीकरण है इस फॉर्म का $a x^{2}+b x+c=0$, जहाँ $a=2, b=-4$ और $c=3$। इसलिए, यह विचरक

$ b ^ { 2 } - 4 a c = ( - 4 ) ^ { 2 } - ( 4 \ गुणा 2 \ गुणा 3 ) = 16 - 24 = - 8 <0 $

अतः दी गई समीकरण के वास्तविक मूल नहीं हैं।

उदाहरण 8 : एक 13 मीटर व्यास के वृत्ताकार पार्क की सीमा पर एक बिंदु पर खंभा गाड़ना है, इस प्रकार कि सीमा पर स्थित दो व्यास के विपरीत स्थिर द्वारों A और B से उसकी दूरियों का अंतर 7 मीटर हो। क्या ऐसा करना संभव है? यदि हाँ, तो दोनों द्वारों से कितनी दूरी पर खंभा गाड़ा जाना चाहिए?

हल : आइए पहले आरेख बनाते हैं (देखिए आकृति 4.2)।

आकृति 4.2 माना P वह अभीष्ट स्थान पर खंभा है। माना खंभे की द्वार B से दूरी x मीटर है, अर्थात् BP = x मीटर। अब खंभे से दोनों द्वारों की दूरियों का अंतर = AP - BP (या BP - AP) = 7 मीटर। इसलिए AP = (x + 7) मीटर।

अब, AB = 13 m, और चूँकि AB व्यास है,
∠APB = 90° (क्यों?)
इसलिए, AP² + PB² = AB² (पाइथागोरस प्रमेय से)
अर्थात्, (x + 7)² + x² = 13²
अर्थात्, x² + 14x + 49 + x² = 169
अर्थात्, 2x² + 14x − 120 = 0
इसलिए, यह दूरी ‘x’ ध्रुव B से संतुष्ट करती है।
यह समीकरण x² + 7x − 60 = 0 है।
इसलिए, यह ध्रुव खड़ा करना तभी संभव है जब इस समीकरण के वास्तविक मूल हों।
यह देखने के लिए कि ऐसा है या नहीं, आइए इसका विचरक देखें।
विचरक है b² − 4ac = 7² − 4 × 1 × (−60) = 289 > 0।
इसलिए, इस द्विघात समीकरण के दो वास्तविक मूल हैं, और यह ध्रुव इस पार्क की सीमा पर खड़ा किया जा सकता है।
इस द्विघात समीकरण x² + 7x − 60 = 0 को द्विघात सूत्र से हल करने पर हमें प्राप्त होता है
x = (−7 ± √289)/2 = (−7 ± 17)/2
इसलिए, x = 5 या −12।

चूँकि (x) यह दूरी है इस ध्रुव और द्वार B के बीच, इसे सकारात्मक होना चाहिए। इसलिए, (x = -12) को नज़रअंदाज़ किया गया है। अतः, (x = 5)। इस प्रकार, यह ध्रुव इस पार्क की सीमा पर खड़ा है, द्वार B से 5 m और द्वार A से 12 m की दूरी पर।

उदाहरण 9: विचरक का समीकरण (3x^{2} - 2x + \dfrac{1}{3} = 0) खोजें और इसके मूलों की प्रकृति ज्ञात करें। यदि वे वास्तविक हैं, तो उन्हें खोजें।

हल: यहाँ (a = 3), (b = -2) और (c = \dfrac{1}{3}) है। इसलिए, विचरक (b^{2} - 4ac = (-2)^{2} - 4 \times 3 \times \dfrac{1}{3} = 4 - 4 = 0) है। अतः, दिया गया द्विघात समीकरण के दो बराबर वास्तविक मूल हैं। ये मूल (\dfrac{-b}{2a}, \dfrac{-b}{2a}) हैं, अर्थात् (\dfrac{2}{6}, \dfrac{2}{6}), अर्थात् (\dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{3})।

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4.5 सारांश

इस अध्याय में आपने निम्नलिखित बिंदुओं का अध्ययन किया है:

1. एक द्विघात समीकरण चर (x) में इस रूप का होता है: (ax^{2} + bx + c = 0), जहाँ (a, b, c) वास्तविक संख्याएँ हैं और (a \neq 0)।

2. वास्तविक संख्या (\alpha) को द्विघात समीकरण (a x^{2}+b x+c=0) का मूल कहा जाता है, यदि (a \alpha^{2}+b \alpha+c=0). यह शून्य का द्विघात बहुपद (a x^{2}+b x+c) और द्विघात समीकरण (a x^{2}+b x+c=0) का मूल समान हैं।

3. यदि हम (a x^{2}+b x+c, a \neq 0) को दो रैखिक कारकों के गुणनफल के रूप में गुणनखंड कर सकते हैं, तो द्विघात समीकरण (a x^{2}+b x+c=0) के मूल प्रत्येक गुणनखंड को शून्य करके प्राप्त किए जा सकते हैं।

4. द्विघात सूत्र: द्विघात समीकरण (a x^{2}+b x+c=0) के मूल (\dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}) द्वारा दिए जाते हैं, जबकि (b^{2}-4 a c \geq 0)।

5. एक द्विघात समीकरण (a x^{2}+b x+c=0) के (i) दो विशिष्ट वास्तविक मूल होते हैं, यदि (b^{2}-4 a c>0), (ii) दो बराबर मूल (अर्थात् संपाती मूल) होते हैं, यदि (b^{2}-4 a c=0), और (iii) कोई वास्तविक मूल नहीं होता, यदि (b^{2}-4 a c<0).