# # 5 . 1 परिचय

तुमने देखा होगा कि प्रकृति में बहुत-सी चीज़ें एक निश्चित प्रतिरूप का अनुसरण करती हैं, जैसे पंखुड़ियों का सूरजमुखी, छत्ते के छिद्र, मकई के दाने, अनानास की सर्पिल और देवदार का शंकु आदि। अब हम कुछ ऐसे प्रतिरूप देखेंगे जो हमारे दिन-प्रतिदिन के जीवन में घटित होते हैं। कुछ उदाहरण इस प्रकार हैं:

(i) रीना ने एक नौकरी के लिए आवेदन किया और चयनित हो गई। उसे एक नौकरी दी गई जिसमें ₹8000 का प्रारंभिक मासिक वेतन था, साथ ही वार्षिक ₹500 की वृद्धि थी। उसका वेतन (₹ में) पहले, दूसरे, तीसरे… वर्षों में क्रमशः 8000, 8500, 9000… होगा।

(ii) एक सीढ़ी की डंडों की लंबाइयाँ नीचे से ऊपर की ओर $2 cm$ समान रूप से घटती जाती हैं (देखिए आकृति 5.1)। सबसे नीचे वाली डंडी की लंबाई $45 cm$ है। पहली, दूसरी, तीसरी… आठवीं डंडी की लंबाइयाँ (cm में) नीचे से ऊपर की ओर क्रमशः 45, 43, 41, 39, 37, 35, 33, 31 हैं।

अंजीर 5.1(iii) में एक बचत योजना है, जिसमें यह राशि हर 3 वर्षों बाद (\dfrac{5}{4}) गुना हो जाती है। यह परिपक्वता राशि (₹ में) एक ₹8000 के निवेश की 3, 6, 9 और 12 वर्षों बाद क्रमशः होगी: (10000, \quad 12500, \quad 15625, \quad 19531.25) (चतुर्थ) यह संख्याओं के इकाई वर्गों में वर्गों के साथ पक्ष (1,2,3, \ldots) इकाइयाँ हैं (देखिए अंजीर 5.2), क्रमशः (1^{2}, 2^{2}, 3^{2}, \ldots) अंजीर 5.2

(v) शकीला अपनी बेटी के धन-बॉक्स में ₹100 डालती है जब वह एक वर्ष की होती है, और हर वर्ष इस राशि को ₹50 बढ़ा देती है। इस बॉक्स में डाली गई राशियाँ (₹ में) उसके 1वें, 2वें, 3वें, 4वें… जन्मदिन पर क्रमशः 100, 150, 200, 250… होती हैं।

(vi) एक जोड़ा खरगोश बहुत युवा अवस्था से ही प्रजनन करना शुरू कर देता है। अपने पहले महीने में यह दूसरा जोड़ा उत्पन्न करता है, और हर अगले महीने एक नया जोड़ा। प्रत्येक नया खरगोश-जोड़ा अपने दूसरे महीने से एक नया जोड़ा उत्पन्न करता है और फिर हर अगले महीने (देखिए अंजीर 5.3)। यह मानते हुए कि कोई खरगोश मरता नहीं, प्रारंभ से 1वें, 2वें, 3वें… 6वें महीने तक युग्मों की संख्या क्रमशः है: 1, 1, 2, 3, 5, 8।

इस उदाहरण में, हम कुछ प्रतिरूपों का निरीक्षण करते हैं। कुछ में हम पाते हैं कि सफल पद एक स्थिर संख्या को जोड़कर प्राप्त होते हैं, कुछ में एक स्थिर संख्या से गुणा करके, एक अन्य में हम पाते हैं कि वे क्रमागत संख्याओं के वर्ग हैं, और इसी प्रकार। इस अध्याय में, हम उन प्रतिरूपों की चर्चा करेंगे जिनमें सफल पद पूर्ववर्ती पद में एक स्थिर संख्या जोड़कर प्राप्त होते हैं। हम यह भी देखेंगे कि इनके nवें पद और n क्रमागत पदों के योग को कैसे ज्ञात किया जाए, और इस ज्ञान का उपयोग दैनिक जीवन की समस्याओं को हल करने में कैसे करें।

5.2 अंकगणितीय अनुक्रम

इन निम्नलिखित संख्या सूचियों पर विचार करें: (i) 1, 2, 3, 4, … (ii) 100, 70, 40, 10, … (iii) -3, -2, -1, 0, … (iv) 3, 3, 3, 3, … (v) -1.0, -1.5, -2.0, -2.5, …

इन सूचियों में प्रत्येक संख्या को एक पद कहा जाता है। दिए गए पद से, क्या आप प्रत्येक सूची में अगला पद लिख सकते हैं? यदि हाँ, तो आप कैसे लिखेंगे? शायद किसी प्रतिरूप या नियम का पालन करके। आइए निरीक्षण करें और नियम लिखें।

(i) में, प्रत्येक पद अपने पूर्ववर्ती पद से 1 अधिक है। (ii) में, प्रत्येक पद अपने पूर्ववर्ती पद से 30 कम है। (iii) में, प्रत्येक पद अपने पूर्ववर्ती पद में 1 जोड़कर प्राप्त होता है। (चतुर्थ) में, सभी पद इस सूची में 3 हैं, अर्थात् प्रत्येक पद अपने पूर्ववर्ती पद में 0 जोड़कर (या घटाकर) प्राप्त होता है। (v) में, प्रत्येक पद अपने पूर्ववर्ती पद में -0.5 जोड़कर (अर्थात् 0.5 घटाकर) प्राप्त होता है। उपरोक्त सभी सूचियों में हम देखते हैं कि क्रमिक पद अपने पूर्ववर्ती पदों में एक स्थिर संख्या जोड़कर प्राप्त किए जाते हैं। ऐसी संख्याओं की सूची को अंकगणितीय प्रगति (ए.पी.) कहा जाता है। इसलिए, एक अंकगणितीय प्रगति संख्याओं की वह सूची है जिसमें प्रत्येक पद (पहले पद को छोड़कर) अपने पूर्ववर्ती पद में एक स्थिर संख्या जोड़कर प्राप्त होता है। यह स्थिर संख्या ए.पी. का सामान्य अंतर कहलाती है। याद रखें कि यह सकारात्मक, नकारात्मक या शून्य हो सकती है।

आइए हमें दर्शाते हैं कि पहला पद $a_1$ से, दूसरा पद $a_2$ से, …, nवाँ पद $a_n$ से और सामान्य अंतर $d$ से दर्शाया जाता है। फिर यह श्रेणी होती है: $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n$। इसलिए, $a_2-a_1=a_3-a_2=\ldots=a_n-a_{n-1}=d$।

कुछ और उदाहरणों की श्रेणियाँ हैं:

(a) स्कूल की सुबह की सभा में खड़े कुछ छात्रों की ऊँचाइयाँ (cm में) पंक्ति में इस प्रकार हैं: $147, 148, 149, \ldots, 157$।

(b) जनवरी महीने में एक सप्ताह के दौरान किसी शहर का न्यूनतम तापमान (डिग्री सेल्सियस में), आरोही क्रम में: $-3.1, -3.0, -2.9, -2.8, -2.7, -2.6, -2.5$।

(c) ₹1000 के कुल ऋण का 5% प्रत्येक महीने भुगतान करने के बाद शेष बचतुली धनराशि (₹ में): $950, 900, 850, 800, \ldots, 50$।

(d) विद्यालय द्वारा कक्षा I से XII के टॉपर्स को दिया गया नकद इनाम (₹ में), क्रमशः: $200, 250, 300, 350, \ldots, 750$।

(e) जब प्रत्येक महीने ₹50 बचाए जाते हैं, तो 10 महीनों के बाद कुल बचत (₹ में): $50, 100, 150, 200, 250, 300, 350, 400, 450, 500$।

यह एक अभ्यास है जैसा कि बाएँ दिखाया गया है, तुम्हें समझाने के लिए कि प्रत्येक सूची ऊपर एक समांतर श्रेणी (AP) क्यों है। तुम देख सकते हो कि $a, a + d, a + 2d, a + 3d, \ldots$ एक समांतर प्रगति का प्रतिनिधित्व करता है, जहाँ $a$ पहला पद है और $d$ सामान्य अंतर है। इसे समांतर श्रेणी का सामान्य रूप कहा जाता है। ध्यान दो कि उपरोक्त उदाहरण (a) से (e) तक, केवल सीमित संख्या में पद हैं। ऐसी समांतर श्रेणी को सीमित समांतर श्रेणी कहा जाता है। यह भी ध्यान दो कि प्रत्येक समांतर अनुक्रम (APs) में उपरोक्त उदाहरण (i) से (v) तक, एक अंतिम पद होता है। ये सीमित APs नहीं हैं और इसलिए इन्हें अनंत समांतर श्रेणियाँ कहा जाता है। ऐसी APs में कोई अंतिम पद नहीं होता है। अब, किसी AP के बारे में जानने के लिए तुम्हें न्यूनतम क्या जानकारी चाहिए? क्या केवल पहला पद जानना पर्याप्त है? या केवल सामान्य अंतर जानना? तुम पाओगे कि तुम्हें दोनों की जानकारी चाहिए - पहला पद $a$ और सामान्य अंतर $d$। उदाहरण के लिए, यदि पहला पद $a$ = 6 है और सामान्य अंतर $d$ = 3 है, तो AP है

$ 6 , 9 , 12 , 15 , \ \ldots $ और यदि $a$ है 6 और $d$ है - 3, तो यह A.P. है $ 6 , 3 , 0 , - 3 , \ \ldots $ इसी प्रकार, जब $ \begin{array}{lll} a = -7, & d = -2, & \text{तो यह A.P. है } -7 , -9 , -11 , -13 , \ \ldots \ a = 1.0, & d = 0.1, & \text{तो यह A.P. है } 1.0 , 1.1 , 1.2 , 1.3 , \ \ldots \ a = 0, & d = 1 \ \dfrac{1}{2}, & \text{तो यह A.P. है } 0 , 1 \ \dfrac{1}{2} , 3 , 4 \ \dfrac{1}{2} , 6 , \ \ldots \ a = 2, & d = 0, & \text{तो यह A.P. है } 2 , 2 , 2 , 2 , \ \ldots \end{array} $ इसलिए, यदि तुम जानना चाहो कि क्या $a$ और $d$ हैं, तुम सूची बना सकते हो यह A.P. क्या होगा यदि यह दूसरे तरीके से हो? अर्थात्, यदि तुम्हें एक सूची संख्याओं की दी गई है, क्या तुम कह सकते हो कि यह एक A.P. है और फिर खोज सकते हो $a$ और $d$? चूँकि $a$ यह पहला पद है, इसे आसानी से लिखा जा सकता है। हम जानते हैं कि एक A.P. में, हर सफल पद प्राप्त होता है $d$ को पूर्ववर्ती पद में जोड़कर। इसलिए, $d$ मिलता है किसी पद को उसके सफल पद से घटाकर, अर्थात्, पद जो तुरंत बाद आता है, उससे यह समान होना चाहिए एक A.P. के लिए। उदाहरण के लिए, इस सूची संख्याओं के लिए: $ 6 , 9 , 12 , 15 , \ \ldots , \ \ \ $

$ \begin{aligned} & a_2 - a_1 = 9 - 6 = 3, \ & a_3 - a_2 = 12 - 9 = 3, \ & a_4 - a_3 = 15 - 12 = 3 \end{aligned} $ यहाँ किसी भी दो क्रमागत पदों के बीच अंतर 3 है। इसलिए, यह दी गई सूची एक समांतर श्रेणी है जिसका पहला पद $a$ 6 है और सामान्य अंतर $d$ 3 है। इस सूची की संख्याएँ: $6,3,0,-3, \ldots$, $ \begin{aligned} & a_2 - a_1 = 3 - 6 = -3 \ & a_3 - a_2 = 0 - 3 = -3 \ & a_4 - a_3 = -3 - 0 = -3 \end{aligned} $ इसी प्रकार, यह भी एक समांतर श्रेणी है जिसका पहला पद 6 है और सामान्य अंतर -3 है। सामान्यतः, एक समांतर श्रेणी $AP a_1, a_2, \ldots, a_n$ के लिए, हमें $d = a_{k+1} - a_k$ मिलता है, जहाँ $a_{k+1}$ और $a_k$ क्रमशः $(k+1)$वाँ और $k$वाँ पद हैं। किसी दी गई समांतर श्रेणी से $d$ प्राप्त करने के लिए, हमें सभी $a_2-a_1, a_3-a_2, a_4-a_3, \ldots$ नहीं खोजने होते। केवल एक अंतर खोजना पर्याप्त है। संख्याओं की सूची 1, 1, 2, 3, 5, . . . पर विचार करें। इसे देखकर आप बता सकते हैं कि किसी भी दो क्रमागत पदों के बीच अंतर समान नहीं है। इसलिए, यह एक समांतर श्रेणी नहीं है।

नोट कीजिए कि हमें $d$ को खोजना है इस A.P. में: $6,3,0,-3, \ldots$। हमने 6 से 3 घटाया है, न कि 3 से 6, अर्थात् हमें यह सुनिश्चित करना चाहिए कि हम $k$वें पद से $(k+1)$वें पद घटाएँ, यदि $(k+1)$वां पद छोटा है। आइए इस संकल्पना को कुछ उदाहरणों के माध्यम से अधिक स्पष्ट बनाते हैं।

उदाहरण 1: इस A.P. के लिए: $\dfrac{3}{2}, \dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{2},-\dfrac{3}{2}, \ldots$, पहला पद $a$ और सामान्य अंतर $d$ लिखिए।

हल: यहाँ, $a=\dfrac{3}{2}, d=\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2}=-1$। याद रखिए कि हम $d$ को किन्हीं दो क्रमागत पदों का उपयोग करके खोज सकते हैं, एक बार जब हम जान जाते हैं कि ये संख्याएँ A.P. में हैं।

उदाहरण 2: निम्नलिखित सूचियों की संख्याएँ कौन-सी A.P. बनाती हैं? यदि वे A.P. बनाती हैं, तो अगले दो पद लिखिए: (i) $4,10,16,22, \ldots$ (ii) $1,-1,-3,-5, \ldots$ (iii) $-2,2,-2,2,-2, \ldots$ (iv) $1,1,1,2,2,2,3,3,3, \ldots$

हल: (i) हमें मिलता है: $$\begin{align} & a_2 - a_1 = 10 - 4 = 6 \ & a_3 - a_2 = 16 - 10 = 6 \ & a_4 - a_3 = 22 - 16 = 6 \end{align}$$

अर्थात्, (a_{k+1}-a_k) हर बार समान है। इसलिए, यह दी गई सूची की संख्याएँ एक समांतर श्रेणी (AP) है जिसका सामान्य अंतर (d=6) है। इसके अगले दो पद हैं: (22+6=28) और (28+6=34)।

(ii) (a_2-a_1=-1-1=-2) [\begin{aligned} &a_3-a_2=-3-(-1)=-3+1=-2\ &a_4-a_3=-5-(-3)=-5+3=-2 \end{aligned}]

अर्थात्, (a_{k+1}-a_k) हर बार समान है। इसलिए, यह दी गई सूची की संख्याएँ एक समांतर श्रेणी (AP) है जिसका सामान्य अंतर (d=-2) है। इसके अगले दो पद हैं: (-5+(-2)=-7) और (-7+(-2)=-9)

(iii) (a_2-a_1=2-(-2)=2+2=4) (a_3-a_2=-2-2=-4)

चूँकि (a_2-a_1 \neq a_3-a_2), यह दी गई सूची की संख्याएँ एक समांतर श्रेणी (AP) नहीं बनाती हैं।

(iv) (a_2-a_1=1-1=0) (a_3-a_2=1-1=0) (a_4-a_3=2-1=1)

यहाँ, (a_2-a_1=a_3-a_2 \neq a_4-a_3). इसलिए, यह दी गई सूची की संख्याएँ एक समांतर श्रेणी (AP) नहीं बनाती हैं।

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5.3 एक AP का nवाँ पद

आइए हम इस स्थिति पर फिर से विचार करें। दिया गया है कि रीना ने एक नौकरी के लिए आवेदन किया और चयनित हो गई। उसे ₹8000 के प्रारंभिक मासिक वेतन के साथ यह नौकरी प्रस्तुत की गई, साथ में ₹500 की वार्षिक वृद्धि। उसका पाँचवें वर्ष का मासिक वेतन क्या होगा?

उत्तर जानने के लिए, आइए पहले देखें कि उसका दूसरे वर्ष का मासिक वेतन क्या होगा। यह होगा ₹$(8000+500)=\text{ ₹ } 8500$। इसी प्रकार, हम तीसरे, चौथे और पाँचवें वर्ष का मासिक वेतन ज्ञात कर सकते हैं पिछले वर्ष के वेतन में ₹500 जोड़कर।

इसलिए, तीसरे वर्ष का वेतन $=\text{ ₹ } (8500+500)$

$\begin{align} &= \text{ ₹ } (8000 + 500 + 500)\ &= \text{ ₹ } (8000 + 2 \times 500)\ &= \text{ ₹ } [8000 + (\text{3}-1) \times 500]\ &= \text{ ₹ } 9000 \quad (\text{तीसरे वर्ष के लिए}) \end{align}$

चौथे वर्ष का वेतन $=\text{ ₹ } (9000+500)$

$=\text{ ₹ } (8000+500+500+500)$

$=\text{ ₹ } (8000+3 \times 500)$

$=\text{ ₹ } [8000+(4-1) \times 500] \quad$ (यह 4वें वर्ष के लिए) $=\text{ ₹ } 9500$
5वें वर्ष का वेतन $=\text{₹}(9500+500)$
$ \begin{align*} &= \text{₹ } (8000 + 500 + 500 + 500 + 500) \ &= \text{₹ } (8000 + 4 \times 500) \ &= \text{₹ } [8000 + (5 - 1) \times 500] \quad \text{(यह 5वें वर्ष के लिए)} \ &= \text{₹ } 10000 \end{align*} $

निरीक्षण करें, हमें प्राप्त होती है संख्याओं की एक सूची: $8000, 8500, 9000, 9500, 10000, \ldots$
ये संख्याएँ A.P. में हैं। (क्यों?)

अब, उपरोक्त बनाए गए प्रतिरूप को देखकर, क्या तुम पा सकते हो उसका मासिक वेतन 6वें वर्ष के लिए? 15वें वर्ष के लिए? और मान लीजिए वह अभी भी इस नौकरी में काम कर रहा है, तो 25वें वर्ष का मासिक वेतर क्या होगा?

तुम इसे गणना करोगे हर बार ₹500 जोड़कर पिछले वर्ष के वेतन से। क्या हम इस प्रक्रिया को छोटा कर सकते हैं? आइए देखते हैं।

तुम्हें पहले से कुछ विचार मिल गया होगा इस तरह से कि हमने ऊपर वेतन प्राप्त किया।
15वें वर्ष का वेतन

$ \begin{aligned} &= \text{वेतन for यह } 14\text{th वर्ष} + \text{₹ }500 \ &= \text{₹ }[8000 + \underbrace{500 + 500 + 500 + \ldots + 500}_{13 \text{ गुणा}}] + \text{₹ }500 \ &= \text{₹ }[8000 + 14 \times 500] \ &= \text{₹ }[8000 + (\text{15} - \text{1}) \times 500] = \text{₹ }15000 \end{aligned} $

i.e., पहला वेतन $+(15-1) \times$ वार्षिक वृद्धि। इसी तरह, उसका मासिक वेतन for यह 25th वर्ष होगा

$ \begin{aligned} &\text{₹ }[8000 + (25 - 1) \times 500] = \text{₹ }20000 \ &= \text{पहला वेतन} + (25 - \text{1}) \times \text{वार्षिक वृद्धि} \end{aligned} $

यह उदाहरण दिया गया है ताकि तुम्हें कुछ विचार मिले कि कैसे लिखें इसका 15th पद, या इसका 25th पद, और अधिक आमतौर पर, इसका $n$th पद। Let $a_1, a_2, a_3, \ldots$ होना एक ऐप जिसका पहला पद $a_1$ है $a$ और यह सामान्य अंतर है $d$। फिर, यह दूसरा पद $a_2 = a + d = a + (2 - 1)d$ यह तीसरा पद $\quad a_3 = a_2 + d = (a + d) + d = a + 2d = a + (3 - 1)d$

यह चौथा पद $\quad a_4=a_3+d=(a+2d)+d=a+3d=a+(\mathbf{4-1})d$ देखकर यह प्रतिरूप, हम कह सकते हैं कि यह $\boldsymbol{{}n}$वाँ पद $a_n=a+(n-1)d$ है। इसलिए, यह $n$वाँ पद $a_n$ का सूत्र पहला पद $a$ और सामान्य अंतर $d$ द्वारा दिया गया है: $a_n=a+(n-1)d$। $\boldsymbol{{}a}_{\boldsymbol{{}n}}$ को सामान्य पद भी कहा जाता है। यदि इस समांतर श्रेणी में $m$ पद हैं, तो $a_m$ अंतिम पद को दर्शाता है, जिसे कभी-कभी $l$ से भी दर्शाया जाता है। आइए हम कुछ उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 3: दी गई समांतर श्रेणी का 10वाँ पद ज्ञात कीजिए: 2, 7, 12, …

हल: यहाँ, $a=2$, $d=7-2=5$ और $n=10$। $\text{हम जानते हैं } a_n = a + (n-1)d$ $\text{इसलिए, } a_{10} = 2 + (10-1) \times 5 = 2 + 45 = 47$

इसलिए, दी गई समांतर श्रेणी का 10वाँ पद 47 है।

उदाहरण 4: समांतर श्रेणी $21, 18, 15, \ldots$ का कौन-सा पद $-81$ है? क्या इसमें कोई पद 0 है? अपने उत्तर का कारण दीजिए।

हल: यहाँ, $a=21$, $d=18-21=-3$ और $a_n=-81$, और हमें $n$ ज्ञात करना है।

$ \ पाठ { जैसा } \ क्वाड a_n = a + ( n - 1 ) d , $ $ \ प्रारंभ { संरेखित } \ पाठ { हम है } \ \ \ - 81 & = 21 + ( n - 1 ) ( - 3 ) \ \ \ - 81 & = 24 - 3 n \ \ \ - 105 & = - 3 n \ समाप्त { संरेखित } $ $ \ पाठ { इसलिए , } \ चतुर्भुज n = 35 $ इसलिए, यह 35वाँ पद है जिसका मान -81 है। अगला, हम जानना चाहते हैं कि क्या कोई ऐसा $n$ है जिसके लिए $a_n=0$। यदि ऐसा कोई $n$ है, तो $ \ प्रारंभ { संरेखित } & 21 + ( n - 1 ) ( - 3 ) = 0 , \ \ \ \ पाठ { i . e . , } \ चतुर्भुज \ चतुर्भुज & 3 ( n - 1 ) = 21 \ \ \ \ पाठ { i . e . , } \ चतुर्भुज \ चतुर्भुज & n = 8 \ समाप्त { संरेखित } $ इसलिए, आठवाँ पद 0 है। * * उदाहरण 5 * * : निर्धारित कीजिए कि किस अनुक्रम का 3वाँ पद 5 है और 7वाँ पद 9 है। * * हल * * : हमें दिया है $$ \ प्रारंभ { संरेखित करें * } & a_3 = a + ( 3 - 1 ) d = a + 2 d = 5 \ टैग { 1 } \ समाप्त { संरेखित करें * } $$ $$ \ प्रारंभ { संरेखित करें * } & \ पाठ { और } \ चतुर्भुज a_7 = a + ( 7 - 1 ) d = a + 6 d = 9 \ टैग { 2 } \ समाप्त { संरेखित करें * } $$ उपरोक्त रैखिक समीकरणों (1) और (2) को हल करने पर, हमें प्राप्त होता है $ a = 3 , \ चतुर्भुज d = 1 $ इसलिए, अभीष्ट अनुक्रम है $3,4,5,6,7, \ldots$ * * उदाहरण 6 * * : जाँच कीजिए कि 301, संख्याओं 5, 11, 17, 23, . . के अनुक्रम का पद है या नहीं। * * हल * * : हमें दिया है :

$a_2 - a_1 = 11 - 5 = 6$, चतुर्भुज $a_3 - a_2 = 17 - 11 = 6$, चतुर्भुज $a_4 - a_3 = 23 - 17 = 6$ जैसा $a_{k+1}-a_k$ है यह समान है $k=1,2,3$, आदि के लिए। यह दी गई सूची की संख्याएँ एक समांतर श्रेणी है। अब, $a=5$ और $d=6$। मान लीजिए 301 एक पद है, कहें, यह $n$वाँ पद है इस समांतर श्रेणी का। हम जानना चाहते हैं कि $\begin{aligned} & a_n = a + (n-1)d \ \text{इसलिए, } & 301 = 5 + (n-1) \times 6 \ \text{i.e., } & 301 = 6n - 1 \ \text{इसलिए, } & n = \dfrac{302}{6} = \dfrac{151}{3} \end{aligned}$ लेकिन $n$ एक सकारात्मक पूर्ण संख्या होनी चाहिए (क्यों?)। इसलिए, 301 दी गई सूची की संख्याओं का पद नहीं है। उदाहरण 7: कितनी दो-अंकीय संख्याएँ 3 से विभाज्य हैं? हल: दो-अंकीय संख्याएँ जो 3 से विभाज्य हैं: $12, 15, 18, \ldots, 99$। यह एक समांतर श्रेणी है? हाँ यह है। यहाँ, $a=12, d=3, a_n=99$। $\text{जैसा } a_n = a + (n-1)d,$ $\text{हमें है } 99 = 12 + (n-1) \times 3$ $\text{i.e., } 87 = (n-1) \times 3$ $\begin{aligned} \text{i.e., } n-1 & = \dfrac{87}{3} = 29 \end{aligned}$

$ \begin{aligned} \text{i.e.,} \quad n &= 29 + 1 = 30 \end{aligned} $ इसलिए, 30 दो-अंकीय संख्याएँ 3 से विभाज्य हैं।
उदाहरण 8: 11वाँ पद अंतिम पद (पहले पद की ओर) से है, ज्ञात कीजिए इस A.P. का: $10,7,4, \ldots,-62$।
हल: यहाँ, $a=10, d=7-10=-3, l=-62$,
$ \text{जहाँ} \quad l = a + (n - 1)d $
11वाँ पद अंतिम पद से है, इसलिए कुल पदों की संख्या ज्ञात करनी होगी।
$ \begin{aligned} \text{इसलिए,} \quad -62 &= 10 + (n - 1)(-3) \ -72 &= (n - 1)(-3) \ n - 1 &= 24 \ n &= 25 \end{aligned} $
इसलिए, दिए गए A.P. में 25 पद हैं। 11वाँ पद अंतिम पद से 15वाँ पद होगा। (ध्यान दें, यह 14वाँ नहीं होगा। क्यों?)
$ \text{इसलिए,} \quad a_{15} = 10 + (15 - 1)(-3) = 10 - 42 = -32 $
अर्थात् 11वाँ पद अंतिम पद से -32 है।

वैकल्पिक हल: यदि हम दिए गए A.P. को उलटे क्रम में लिखें, तो $a=-62$ और $d=3$ (क्यों?)

इसलिए, अब प्रश्न यह बन जाता है कि इन मानों (a) और (d) के साथ 11वाँ पद क्या है। [\text{इसलिए, } a_{11} = -62 + (11 - 1) \times 3 = -62 + 30 = -32] इसलिए 11वाँ पद, जो अभीष्ट पद है, -32 है।

उदाहरण 9 : ₹ 1000 की राशि (8%) प्रति वर्ष साधारण ब्याज पर निवेश की गई है। प्रत्येक वर्ष के अंत में ब्याज की गणना कीजिए। क्या ये ब्याज एक A.P. बनाते हैं? यदि हाँ, तो इस तथ्य का उपयोग करके 30 वर्षों के अंत में ब्याज ज्ञात कीजिए।

हल : हम जानते हैं कि साधारण ब्याज की गणना सूत्र द्वारा की जाती है [\text{साधारण ब्याज} = \dfrac{P \times R \times T}{100}]

इसलिए पहले वर्ष के अंत में ब्याज [=\text{₹ }\dfrac{1000 \times 8 \times 1}{100}=\text{₹ }80]

दूसरे वर्ष के अंत में ब्याज [=\text{₹ }\dfrac{1000 \times 8 \times 2}{100}=\text{₹ }160]

तीसरे वर्ष के अंत में ब्याज [=\text{₹ }\dfrac{1000 \times 8 \times 3}{100}=\text{₹ }240]

इसी प्रकार हम चौथे, पाँचवें वर्ष आदि के अंत में ब्याज प्राप्त कर सकते हैं।

इसलिए, ब्याज (₹ में) समाप्त होने पर पहले, दूसरे, तीसरे… वर्षों में क्रमशः ₹80, 160, 240, … होता है। यह एक समांतर श्रेणी (AP) है क्योंकि क्रमागत पदों के बीच का अंतर 80 है, अर्थात् d = 80। साथ ही, a = 80। इसलिए, 30 वर्षों में समाप्त होने वाले ब्याज को ज्ञात करने के लिए हमें a₃₀ निकालना होगा।

अब, a₃₀ = a + (30 - 1)d = 80 + 29 × 80 = 2400

इसलिए, 30 वर्षों में समाप्त होने वाला ब्याज ₹2400 होगा।

उदाहरण 10: एक फूल बिस्तर में पहली पंक्ति में 23 गुलाब के पौधे हैं, दूसरी में 21, तीसरी में 19, और इसी प्रकार आगे। अंतिम पंक्ति में 5 गुलाब के पौधे हैं। इस फूल बिस्तर में कुल कितनी पंक्तियाँ हैं?

हल: पहली, दूसरी, तीसरी… पंक्तियों में गुलाब के पौधों की संख्या क्रमशः 23, 21, 19, …, 5 है। यह एक समांतर श्रेणी बनाती है (क्यों?)। माना फूल बिस्तर में कुल पंक्तियों की संख्या n है।

फिर, a = 23, d = 21 - 23 = -2, aₙ = 5

जैसा कि, aₙ = a + (n - 1)d

$ \ प्रारंभ { संरेखित } \ पाठ { हम हैं, } \ चतुर्भुज 5 & = 23 + ( n - 1 ) ( - 2 ) \ समाप्त { संरेखित } $ $ \ पाठ { अर्थात्, } \ चतुर्भुज - 18 = ( n - 1 ) ( - 2 ) $ $ \ पाठ { अर्थात्, } \ चतुर्भुज n = 10 $ इसलिए, इस फूल बिस्तर में 10 पंक्तियाँ हैं। [[Sc_marker_1]] ### 5.4 योग का पहला $n$ पदों का एक ऐप आइए हम दी गई स्थिति पर फिर से विचार करें, जो कि अनुभाग 5.1 में है, जहाँ शकीला अपनी बेटी के धन बॉक्स में ₹100 डालती है जब वह एक वर्ष की होती है, ₹150 दूसरे जन्मदिन पर, ₹200 तीसरे जन्मदिन पर और इसी तरह आगे भी जारी रखती है। जब उसकी बेटी 21 वर्ष की हो जाएगी, तब तक इस धन बॉक्स में कितना धन एकत्रित होगा?

यहाँ, यह राशि का धन (₹ में) रखना है। धन बॉक्स पर उसका पहला, दूसरा, तीसरा, चौथा… जन्मदिन क्रमशः 100, 150, 200, 250,… तक उसके 21वें जन्मदिन तक। यह कुल राशि धन बॉक्स पर उसके 21वें जन्मदिन तक खोजने के लिए, हमें प्रत्येक की यह 21 संख्याएँ ऊपर लिखनी होंगी और फिर उन्हें जोड़ना होगा। क्या तुम नहीं सोचते कि यह एक थकाऊ और समय लेने वाली प्रक्रिया होगी? क्या हम इस प्रक्रिया को छोटा बना सकते हैं? यह संभव होगा अगर हम इस योग को निकालने की एक विधि खोज सकें। चलो हम देखें। हम इस समस्या पर विचार करें जो गॉस को दी गई थी (जिसके बारे में तुमने अध्याय 1 में पढ़ा होगा), जब वह मात्र 10 वर्ष का था। उससे 1 से 100 तक के धनात्मक पूर्णांकों का योग खोजने को कहा गया। उसने तुरंत उत्तर दिया कि यह योग 5050 है। क्या तुम अनुमान लगा सकते हो कि उसने ऐसा कैसे किया? उसने लिखा: $ S = 1 + 2 + 3 + \ \ldots + 99 + 100 $ और फिर, संख्याओं को उलट कर लिखा $ S = 100 + 99 + \ \ldots + 3 + 2 + 1 $ इन दोनों को जोड़ कर, उसे मिला

$$\begin{align} 2S &= (100 + 1) + (99 + 2) + \ldots + (3 + 98) + (2 + 99) + (1 + 100) \ &= 101 + 101 + \ldots + 101 + 101 \quad (100 \text{ बार}) \end{align}$$ $$\text{इसलिए, } S = \dfrac{100 \times 101}{2} = 5050 \text{, i.e., यह योग } = 5050 \text{.}$$ हम अब उपयोग करेंगे इसी तकनीक का यह ज्ञात करने के लिए कि पहले $n$ पदों का योग एक समांतर श्रेणी का क्या है: $a, a + d, a + 2d, \ldots$ इस श्रेणी का $n$वाँ पद है $a + (n - 1)d$। माना $S$ दर्शाता है पहले $n$ पदों का योग। हमारे पास है $$S = a + (a + d) + (a + 2d) + \ldots + [a + (n - 1)d] \tag{1}$$ पदों को उलटे क्रम में लिखने पर, हमारे पास है $$S = [a + (n - 1)d] + [a + (n - 2)d] + \ldots + (a + d) + a \tag{2}$$ (1) और (2) को पद-दर-पद जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं $$2S = \underbrace{[2a + (n - 1)d] + [2a + (n - 1)d] + \ldots + [2a + (n - 1)d]}_{n \text{ बार}}$$ या, $\quad 2S = n[2a + (n - 1)d] \quad$ (चूँकि वहाँ $n$ पद हैं) या, $\quad S = \dfrac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ इसलिए, पहले $\boldsymbol{n}$ पदों का योग एक समांतर श्रेणी का दिया गया है $S = \dfrac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ हम इसे इस प्रकार भी लिख सकते हैं

$S = \ \dfrac { n } { 2 } [ a + a + ( n - 1 ) d ]$ $$\ पाठ { i . e . , } \ चतुर्भुज S = \ \dfrac { n } { 2 } ( a + a_n ) \ टैग { 3 }$$ अब, यदि किसी A.P. में केवल $n$ पद हैं, तो $a_n=l$, यह अंतिम पद है। समीकरण (3) से, हम देखते हैं कि $$ S = \ \dfrac { n } { 2 } ( a + l ) \ टैग { 4 }$$ यह रूप तब उपयोगी होता है जब किसी A.P. के पहला और अंतिम पद दिए गए हों और सामान्य अंतर न दिया गया हो। अब हम उस प्रश्न पर लौटते हैं जो हमें प्रारंभ में प्रस्तुत किया गया था। शकीला की बेटी को उसके 1st, 2nd, 3rd, 4th जन्मदिन पर धन (रुपयों में) क्रमशः 100, 150, 200, 250, … दिया गया। यह एक A.P. है। हमें यह ज्ञात करना है कि उसके 21st जन्मदिन पर कुल कितना धन एकत्रित हुआ, अर्थात् इस A.P. के पहले 21 पदों का योग। यहाँ, $a=100$, $d=50$ और $n=21$। सूत्र का उपयोग करते हुए: $ S = \ \dfrac { n } { 2 } [ 2 a + ( n - 1 ) d ]$ हमें प्राप्त होता है $ \ प्रारंभ { संरेखित } S & = \ \dfrac { 21 } { 2 } [ 2 \ गुणा 100 + ( 21 - 1 ) \ गुणा 50 ] = \ \dfrac { 21 } { 2 } [ 200 + 1000 ] \ \ \ & = \ \dfrac { 21 } { 2 } \ गुणा 1200 = 12600 \ समाप्त { संरेखित }$

इसलिए, यह राशि का धन उसकी 21वें जन्मदिन पर एकत्रित होता है ₹12600। क्या यह समस्या को हल करना इस सूत्र का उपयोग करके बहुत आसान नहीं हो जाता? हम योग के पहले n पदों को दर्शाने के लिए Sₙ का उपयोग करते हैं। हम योग के पहले 20 पदों को दर्शाने के लिए S₂₀ लिखते हैं। यह सूत्र योग के पहले n पदों के लिए चार मात्राओं को शामिल करता है - S, a, d और n। यदि हम इनमें से कोई तीन जानते हैं, तो हम चौथा खोज सकते हैं।

टिप्पणी: किसी A.P. का nवाँ पद पहले n पदों के योग और पहले (n-1) पदों के योग का अंतर होता है, अर्थात् aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁।

आइए कुछ उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 11: A.P. 8, 3, -2, … के पहले 22 पदों का योग ज्ञात कीजिए।

हल: यहाँ, a = 8, d = 3 - 8 = -5, n = 22। हम जानते हैं कि [\begin{aligned} S &= \frac{n}{2}[2a + (n-1)d] \end{aligned}] [\begin{aligned} \text{इसलिए} \quad S &= \frac{22}{2}[16 + 21(-5)] \ &= 11(16 - 105) \ &= 11(-89) \ &= -979 \end{aligned}]

इसलिए, यह योग का पहला 22 पदों का ऐप है - 979।
उदाहरण 12: यदि योग का पहला 14 पदों का योग 1050 है और इसका पहला पद 10 है, तो 20वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हल: यहाँ, ( S_{14} = 1050, n = 14, a = 10 )।
जैसा कि ( S_n = \dfrac{n}{2} [2a + (n - 1)d] )
इसलिए, ( 1050 = \dfrac{14}{2} [20 + 13d] = 140 + 91d )
अतः, ( 910 = 91d )
या, ( d = 10 )
इसलिए, ( a_{20} = 10 + (20 - 1) \times 10 = 200 ), अर्थात् 20वाँ पद 200 है।

उदाहरण 13: कितने पदों का योगफल: ( 24, 21, 18, \ldots ) लिया जाए ताकि उनका योग 78 हो?
हल: यहाँ, ( a = 24, d = 21 - 24 = -3, S_n = 78 )। हमें ( n ) ज्ञात करना है।
हम जानते हैं कि ( S_n = \dfrac{n}{2} [2a + (n - 1)d] )
इसलिए, ( 78 = \dfrac{n}{2} [48 + (n - 1)(-3)] = \dfrac{n}{2} [51 - 3n] )

$ \begin{aligned} 3n^2 - 51n + 156 &= 0 \ n^2 - 17n + 52 &= 0 \ (n - 4)(n - 13) &= 0 \ n &= 4 \text{ या } 13 \end{aligned} $

दोनों मानों का (n) स्वीकार्य हैं। इसलिए, यह संख्या पदों की है या तो 4 या 13।

टिप्पणियाँ:

1. इस case में, यह योग का पहले 4 पदों = यह योग का पहले 13 पदों = 78।

2. दो उत्तर संभव हैं क्योंकि यह योग का पदों से 5वें से 13वें तक शून्य होगा। यह है क्योंकि (a) सकारात्मक है और (d) नकारात्मक है, इसलिए कुछ पद सकारात्मक होंगे और कुछ नकारात्मक, और वे एक-दूसरे को रद्द कर देंगे।

उदाहरण 14: खोजें यह योग का: (i) यह पहला 1000 सकारात्मक पूर्णांक (ii) यह पहला (n) सकारात्मक पूर्णांक

हल: (i) Let (S = 1 + 2 + 3 + \ldots + 1000)

उपयोग करना यह सूत्र (S_n = \dfrac{n}{2}(a + l)) for यह योग का यह पहला (n) पदों का एक ऐप, हम है

[ S_{1000} = \dfrac{1000}{2}(1 + 1000) = 500 \times 1001 = 500500 ]

इसलिए, योग का पहला 1000 सकारात्मक पूर्णांक 500500 है। (ii) मान लीजिए $S_n=1+2+3+\ldots+n$ यहाँ $a=1$ और अंतिम पद $l$ है $n$। $$\text{इसलिए, } S_n = \dfrac{n(1+n)}{2} \text{ या } S_n = \dfrac{n(n+1)}{2}$$ इसलिए, पहले $n$ सकारात्मक पूर्णांकों का योग दिया गया है $S_n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ द्वारा।

उदाहरण 15: खोजिए पहले 24 पदों का योग जिसका $n$वाँ पद दिया गया है $a_n=3+2n$ द्वारा।

हल: $$\text{जैसा } a_n = 3 + 2n,$$ $$\begin{aligned} \text{इसलिए, } \ \ & a_1 = 3 + 2 = 5 \ & a_2 = 3 + 2 \times 2 = 7 \ & a_3 = 3 + 2 \times 3 = 9 \end{aligned}$$ संख्याएँ हो जाती हैं $5,7,9,11, \ldots$ $$\text{यहाँ, } 7 - 5 = 9 - 7 = 11 - 9 = 2 \text{ और इसी प्रकार।}$$ इसलिए, यह एक समांतर श्रेणी है सामान्य अंतर $d=2$ के साथ।

$S_{24}$ खोजने के लिए, हमारे पास है $n=24, \quad a=5, \quad d=2$। $$\text{इसलिए, } S_{24} = \dfrac{24}{2}[2 \times 5 + (24 - 1) \times 2] = 12[10 + 46] = 672$$ इसलिए, पहले 24 पदों का योग 672 है।

उदाहरण 16: A निर्माता द्वारा टीवी सेटों का उत्पादन 600 सेट तीसरे वर्ष और 700 सेट सातवें वर्ष में किया गया। मानते हुए कि वह इस उत्पादन को हर वर्ष एक स्थिर संख्या से समान रूप से बढ़ाता है, खोजें: (i) उत्पादन में पहला वर्ष (ii) उत्पादन में दसवां वर्ष (iii) पहले 7 वर्षों में कुल उत्पादन

हल: (i) चूंकि उत्पादन हर वर्ष एक स्थिर संख्या से समान रूप से बढ़ता है, टीवी सेटों की संख्या जो पहले, दूसरे, तीसरे… वर्षों में निर्मित होती है, एक समांतर श्रेणी का रूप लेगी। मान लीजिए $n$वें वर्ष में निर्मित टीवी सेटों की संख्या को $a_n$ द्वारा दर्शाया जाता है।

$\text{तब,}\quad a_3 = 600$ $\text{और}\quad a_7 = 700$

$\text{या,}\quad a+2d=600$

$\text{और}\quad a+6d=700$

इन समीकरणों को हल करने पर, हमें प्राप्त होता है $d=25$ और $a=550$।

इसलिए, पहले वर्ष में टीवी सेटों का उत्पादन 550 है।

$\text{(ii) अब}\quad a_{10} = a + 9d = 550 + 9 \times 25 = 775$

इसलिए, दसवें वर्ष में टीवी सेटों का उत्पादन 775 है।

$ \begin{aligned} \text{(iii) भी,} \ \text{चतुर्भुज } S_7 &= \dfrac{7}{2} [2 \times 550 + (7 - 1) \times 25] \ &= \dfrac{7}{2} [1100 + 150] = 4375 \end{aligned} $

इस प्रकार, यह कुल उत्पादन का योग पहले 7 वर्षों में 4375 है। [[Sc_marker_2]] [[Sc_marker_3]]

5.5 सारांश

इस अध्याय में, तुमने अध्ययन किया है निम्नलिखित बिंदु:

1. एक अंकगणित प्रगति (ए.पी.) है एक सूची संख्याओं की जिसमें प्रत्येक पद प्राप्त होता है जोड़कर एक स्थिर संख्या (d) पूर्ववर्ती पद में, सिवाय पहले पद के। यह स्थिर संख्या (d) कहलाती है सामान्य अंतर। सामान्य रूप एक ए.पी. का है (a, a+d, a+2d, a+3d, \ldots)

2. एक दी गई सूची संख्याओं की (a_1, a_2, a_3, \ldots) है एक ए.पी., यदि अंतर (a_2-a_1, a_3-a_2), (a_4-a_3, \ldots), देते हैं समान मान, अर्थात् यदि (a_{k+1}-a_k) है समान विभिन्न मानों के लिए (k)।

3. एक ए.पी. में पहले पद (a) और सामान्य अंतर (d) के साथ, (n)वाँ पद (या सामान्य पद) दिया गया है द्वारा (a_n = a + (n-1)d).

4. यह योग का पहले n पदों का सूत्र इस प्रकार दिया गया है: S = \dfrac{n}{2}[2a + (n-1)d]

5. यदि l अंतिम पद है, अर्थात् nवाँ पद, तो सभी पदों के योग का सूत्र इस प्रकार दिया गया है: S = \dfrac{n}{2}(a + l)

एक नोट पाठक के लिए

यदि a, b, c ऐप में हैं, तो b = \dfrac{a+c}{2} और b को a और c का अंकगणितीय माध्य कहा जाता है।