6.1 परिचय

आप त्रिभुजों से परिचित हैं और उनके गुणधर्मों से भी जो आपने पिछली कक्षाओं में पढ़े हैं। कक्षा नौ में, आपने त्रिभुजों की सर्वांगसमता का अध्ययन किया था। याद कीजिए कि दो आकृतियाँ सर्वांगसम कही जाती हैं यदि वे समान आकृति और समान आकार की हों। इस अध्याय में, हम उन आकृतियों के बारे में अध्ययन करेंगे जो समान आकृति की होती हैं लेकिन अनिवार्य रूप से समान आकार की नहीं होतीं। दो आकृतियाँ जो समान आकृति की होती हैं (और अनिवार्य रूप से समान आकार की नहीं होतीं) समान आकृतियाँ कहलाती हैं। विशेष रूप से, हम त्रिभुजों की समानता पर चर्चा करेंगे और इस ज्ञान का उपयोग करके पाइथागोरस प्रमेय का एक सरल प्रमाण देंगे जिसे आपने पहले सीखा था।

क्या तुमने कभी सोचा है कि एवरेस्ट जैसे ऊँचे पहाड़ों या चंद्रमा जैसी दूरस्थ वस्तुओं की ऊँचाई और दूरी कैसे मापी जाती है? क्या तुम्हें लगता है कि इन्हें सीधे मापने के लिए कोई फीता इस्तेमाल किया गया है? वास्तव में, इन सभी ऊँचाइयों और दूरियों को परोक्ष मापन विधि से निकाला गया है, जो समान आकृतियों के सिद्धांत पर आधारित है (देखिए उदाहरण 7, प्रश्न 15 अभ्यास 6.3 और अध्याय 8 और 9 इसी पुस्तक में)।

6.2 समान आकृतियाँ

नौवीं कक्षा में आपने देखा है कि सभी वृत्त जिनकी त्रिज्याएँ समान हैं, वे सर्वांगसम होते हैं; सभी वर्ग जिनकी भुजाओं की लंबाई समान है, वे सर्वांगसम होते हैं और सभी समभुज त्रिभुज जिनकी भुजाओं की लंबाई समान है, वे भी सर्वांगसम होते हैं।

अब विचार करें कोई दो (या अधिक) वृत्त [देखना अंजीर. 6.1(i)]। क्या वे सर्वांगसम हैं? चूंकि सभी का उनका समान त्रिज्या नहीं है, वे प्रत्येक अन्य से सर्वांगसम नहीं हैं। ध्यान दें कि कुछ सर्वांगसम हैं और कुछ नहीं, लेकिन सभी का उनका समान आकृति है। इसलिए वे सभी हैं, जिन्हें हम समान कहते हैं। दो समान आकृतियाँ समान आकृति होती हैं लेकिन नecessarily समान आकार नहीं। इसलिए, सभी वृत्त समान होते हैं। क्या के बारे में दो (या अधिक) वर्ग या दो (या अधिक) समभुज त्रिभुज [देखना अंजीर. 6.1(ii) और (iii)]? जैसा वृत्त के case में देखा गया, यहाँ भी सभी वर्ग समान होते हैं और सभी समभुज त्रिभुज समान होते हैं। ऊपर से, हम कह सकते हैं कि सभी सर्वांगसम आकृतियाँ समान होती हैं लेकिन समान आकृतियाँ जरूरी नहीं सर्वांगसम हों। क्या एक वृत्त और एक वर्ग समान हो सकते हैं? क्या एक त्रिभुज और एक वर्ग समान हो सकते हैं? इन प्रश्नों का उत्तर इन आकृतियों को देखकर दिया जा सकता है (देखना अंजीर. 6.1)। स्पष्ट रूप से ये आकृतियाँ समान नहीं हैं। (क्यों?)

अंजीर 6.2 - क्या आप इन दो चतुर्भुजों ABCD और PQRS (देखिए अंजीर 6.2) के बारे में क्या कह सकते हैं? क्या ये समान हैं? ये आकृतियाँ दिखने में समान लगती हैं, लेकिन हम इस बारे में निश्चित नहीं हो सकते। इसलिए, हमें आकृतियों की समानता की कुछ परिभाषाओं की आवश्यकता है, और इन परिभाषाओं के आधार पर यह निर्णय लेना होगा कि दी गई दो आकृतियाँ समान हैं या नहीं। इसके लिए, आइए हम अंजीर 6.3 में दी गई इस फोटोग्राफ पर ध्यान दें:

क्या तुम कह सकते हो कि ये तीनों फोटोग्राफ़ समान हैं? हाँ, ये समान हैं। क्या तुम बता सकते हो कि इन दो फोटोग्राफ़ों में समान आकार के होने के बावजूद, एक में व्यक्ति की आयु 10 वर्ष है और दूसरे में 40 वर्ष? क्या ये फोटोग्राफ़ समान हैं? ये फोटोग्राफ़ समान आकार के हैं लेकिन निश्चित रूप से इनकी आकृति समान नहीं है। इसलिए, ये समान नहीं हैं।

यह फोटोग्राफर क्या करता है जब वह फोटोग्राफ़ के विभिन्न आकार छापता है, यह समान नकारात्मक से? तुमने सुना होगा डाक टिकट आकार, पासपोर्ट आकार और पोस्टकार्ड आकार के फोटोग्राफ़ों के बारे में। वह आमतौर पर एक छोटे आकार की फिल्म पर फोटोग्राफ लेता है, कहें 35 मिमी आकार की, और फिर इसे बड़े आकार में बढ़ाता है, कहें 45 मिमी (या 55 मिमी) में। इस प्रकार, यदि हम इस छोटे फोटोग्राफ़ (figure) में किसी रेखा खंड पर विचार करें, तो इसका संगत रेखा खंड इस बड़े फोटोग्राफ़ (figure) में $\dfrac{45}{35}$ (या $\dfrac{55}{35}$) गुना होगा। इसका मतलब है कि इस छोटे फोटोग्राफ़ का हर रेखा खंड इस अनुपात 35 : 45 (या 35 : 55) में विस्तारित (बढ़ा हुआ) है। इसे यह भी कहा जा सकता है कि इस बड़े फोटोग्राफ़ का हर रेखा खंड इस अनुपात 45 : 35 (या 55 : 35) में संकुचित (कम हुआ) है। आगे, यदि तुम इन दोनों फोटोग्राफ़ों के संगत रेखा खंडों के बीच के झुकाव (या कोण) पर विचार करो, तो तुम देखोगे कि ये झुकाव (या कोण) हमेशा बराबर होते हैं। यही इस समानता का सार है जो दो आकृतियों में होती है, विशेष रूप से दो बहुभुजों में। हम कहते हैं:

दो बहुभुजों की संगत भुजाएँ समान हैं, यदि (i) उनके संगत कोण बराबर हों और (ii) उनकी संगत भुजाएँ समान अनुपात में हों। ध्यान दें कि यह समान अनुपात संगत भुजाओं के लिए पैमाने के गुणनखंड (या प्रतिनिधि भिन्न) के रूप में संदर्भित करता है जैसे बहुभुज के लिए। आपने सुना होगा कि विश्व मानचित्र (i.e., वैश्विक मानचित्र) और नीले रंग की छपाई इमारत के निर्माण के लिए तैयार की जाती है, जिसमें उपयुक्त पैमाने के गुणनखंड और निश्चित परंपराओं का प्रेक्षण किया जाता है। आकृतियों की समानता को अधिक स्पष्ट रूप से समझने के लिए, आइए हम निम्नलिखित गतिविधि करें:

गतिविधि 1: स्थान a में प्रकाशित बल्ब पर एक बिंदु $O$ पर यह छत है और सीधे नीचे एक टेबल पर आपकी कक्षा है। आइए हम एक बहुभुज, मान लीजिए एक चतुर्भुज $ABCD$, काटते हैं एक समतल गत्ते से और यह गत्ता समांतर रखते हैं भूमि के बीच प्रकाशित बल्ब और टेबल के। फिर चतुर्भुज $ABCD$ की छाया टेबल पर पड़ती है। छाया की रूपरेखा को चिह्नित कीजिए जैसे $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ (देखिए चित्र 6.4)। ध्यान दीजिए कि चतुर्भुज $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ चतुर्भुज $ABCD$ का एक विस्तार (या आवर्धन) है। यह इसलिए है क्योंकि प्रकाश की यह संपत्ति है कि प्रकाश सीधी रेखा में फैलता है। आप यह भी नोट कर सकते हैं कि $A^{\prime}$ किरण $OA$ पर है, $B^{\prime}$ किरण $OB$ पर है, $C^{\prime}$ किरण $OC$ पर है और $D^{\prime}$ किरण $OD$ पर है। इस प्रकार, चतुर्भुज $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ और $ABCD$ समान आकृति के हैं लेकिन विभिन्न आकार के।

अंजीर . 6 . 4 इसलिए, चतुर्भुज $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ चतुर्भुज $ABCD$ के समान है। हम यह भी कह सकते हैं कि चतुर्भुज $ABCD$ चतुर्भुज $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ के समान है। यहाँ, तुम यह भी नोट कर सकते हो कि शीर्ष $A^{\prime}$ शीर्ष $A$ से संगत होता है, शीर्ष $B^{\prime}$ शीर्ष $B$ से संगत होता है, शीर्ष $C^{\prime}$ शीर्ष $C$ से संगत होता है और शीर्ष $D^{\prime}$ शीर्ष D से संगत होता है। प्रतीकात्मक रूप से, ये पत्राचार इस प्रकार दर्शाए गए हैं: $A^{\prime} \leftrightarrow A, B^{\prime} \leftrightarrow B$, $C^{\prime} \leftrightarrow C$ और $D^{\prime} \leftrightarrow D$। इन दोनों चतुर्भुजों के कोणों और भुजाओं की वास्तविक माप द्वारा, तुम सत्यापित कर सकते हो कि

(i) (\angle A=\angle A^{\prime}, \angle B=\angle B^{\prime}, \angle C=\angle C^{\prime}, \angle D=\angle D^{\prime}) और (ii) (\dfrac{AB}{A^{\prime} B^{\prime}}=\dfrac{BC}{B^{\prime} C^{\prime}}=\dfrac{CD}{C^{\prime} D^{\prime}}=\dfrac{DA}{D^{\prime} A^{\prime}})। यह फिर से जोर देता है कि दो बहुभुजों की समान संख्या की भुजाएँ समान हैं, यदि (i) सभी संगत कोण बराबर हैं और (ii) सभी संगत भुजाओं में समान अनुपात (या अनुपात) है। ऊपर से, तुम आसानी से कह सकते हो कि चतुर्भुज (A B C D) और PQRS अंजीर. 6.5 के समान हैं। अंजीर. 6.5 टिप्पणी: तुम सत्यापित कर सकते हो कि यदि एक बहुभुज दूसरे बहुभुज के समान है और वह दूसरा बहुभुज तीसरे बहुभुज के समान है, तो वह पहला बहुभुज तीसरे बहुभुज के समान है।

तुम्हारा ध्यान हो सकता है कि अंजीर 6.6 में ये दो चतुर्भुज (एक वर्ग और एक आयत) संगत कोणों में बराबर हैं, लेकिन उनकी संगत भुजाएँ समान अनुपात में नहीं हैं। अंजीर 6.6 इसलिए ये दो चतुर्भुज समान नहीं हैं। इसी प्रकार, तुम्हारा ध्यान हो सकता है कि अंजीर 6.7 में ये दो चतुर्भुज (एक वर्ग और एक समचतुर्भुज) संगत भुजाओं में समान अनुपात में हैं, लेकिन उनके संगत कोण बराबर नहीं हैं। फिर से, ये दो बहुभुज (चतुर्भुज) समान नहीं हैं। अंजीर 6.7

इस प्रकार, ऊपर दी गई दो शर्तें (i) और (ii) का समान होना दो बहुभुजों के समान होने के लिए पर्याप्त नहीं है। [[Sc_marker_0]] ### 6.3 समानता का त्रिभुज क्या आप कह सकते हैं इस समानता के बारे में दो त्रिभुजों की? आपको याद होगा कि त्रिभुज भी एक बहुभुज होता है। इसलिए, हम यह कह सकते हैं कि समानता के लिए समान शर्तें दो त्रिभुजों के लिए भी लागू होती हैं। वे हैं: दो त्रिभुज समान होते हैं, यदि (i) उनके संगत कोण बराबर हों और (ii) उनकी संगत भुजाएँ समान अनुपात में हों (या अनुपात में हों)। ध्यान दें कि यदि दो त्रिभुजों के संगत कोण बराबर हों, तो उन्हें समकोणीय त्रिभुज कहा जाता है। एक प्रसिद्ध ग्रीक गणितज्ञ थेल्स ने दो समकोणीय त्रिभुजों से संबंधित एक महत्वपूर्ण सत्य दिया था जो इस प्रकार है: दो समकोणीय त्रिभुजों में किसी भी दो संगत भुजाओं का अनुपात हमेशा समान होता है। यह माना जाता है कि उसने इस परिणाम का उपयोग किया था जिसे बुनियादी समानुपातिकता प्रमेय (अब थेल्स प्रमेय के नाम से जाना जाता है) कहा जाता है।

इस चित्र को देखकर यह बुनियादी समानुपातिकता प्रमेय समझने के लिए, आइए हम निम्नलिखित गतिविधि करें:

गतिविधि 2: कोई कोण XAY बनाइए और इसका एक भुजा AX, जिस पर पांच बिंदु P, Q, D, R और B इस प्रकार अंकित कीजिए कि AP = PQ = QD = DR = RB। अब, बिंदु B से गुजरती हुई कोई रेखा खींचिए जो भुजा AY को बिंदु C पर काटे (देखिए चित्र 6.9)।

भी, इस बिंदु $D$ के माध्यम से एक रेखा खींचिए जो $BC$ के समांतर हो और $AC$ को $E$ पर प्रतिच्छेद करती है। क्या आप अपने निर्माण से यह निरीक्षण करते हैं कि $\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{3}{2}$ है? $AE$ और $EC$ को मापिए। $\dfrac{AE}{EC}$ के बारे में क्या? निरीक्षण कीजिए कि $\dfrac{AE}{EC}$ भी $\dfrac{3}{2}$ के बराबर है। इस प्रकार, आप देख सकते हैं कि $\triangle ABC$ में, $DE \parallel BC$ और $\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}$ है। क्या यह एक संयोग है? नहीं, यह निम्नलिखित प्रमेय के कारण है (जिसे बुनियादी समानुपातिकता प्रमेय के रूप में जाना जाता है): प्रमेय 6.1: यदि एक रेखा त्रिभुज के एक भुजा के समांतर खींची जाती है और यह अन्य दो भुजाओं को विशिष्ट बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है, तो वह अन्य दो भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करती है। प्रमाण: हमें एक त्रिभुज $ABC$ दिया गया है जिसमें एक रेखा भुजा $BC$ के समांतर है और यह अन्य दो भुजाओं $AB$ और $AC$ को क्रमशः $D$ और $E$ पर प्रतिच्छेद करती है (देखिए चित्र 6.10)।

अंजीर . 6 . 10 हमें सिद्ध करना है कि $\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}$। आइए हम $BE$ और $CD$ को शामिल करें और फिर चित्र में $DM \perp AC$ और $EN \perp AB$ बनाएं। अब, $\Delta ADE$ का क्षेत्रफल $(=\dfrac{1}{2}.$ आधार $\times$ ऊँचाई $)=\dfrac{1}{2} AD \times EN$। कक्षा नौ से याद करें, $\triangle ADE$ का क्षेत्रफल दर्शाया गया है जैसे $ar(ADE)$। $$\text{इसलिए, } ar(ADE) = \dfrac{1}{2} AD \times EN$$ $$\begin{aligned} \text{इसी प्रकार, } & ar(BDE) = \dfrac{1}{2} DB \times EN, \ & ar(ADE) = \dfrac{1}{2} AE \times DM \ \text{और } & ar(DEC) = \dfrac{1}{2} EC \times DM \end{aligned}$$ इसलिए, $$\ \dfrac{ar(ADE)}{ar(BDE)} = \dfrac{\ \dfrac{1}{2} AD \times EN}{\ \dfrac{1}{2} DB \times EN} = \dfrac{AD}{DB} \tag{1}$$

और $$\ \dfrac { \operatorname{ar} ( \triangle ADE ) } { \operatorname{ar} ( \triangle DEC ) } = \ \dfrac { \ \dfrac { 1 } { 2 } AD \times DM } { \ \dfrac { 1 } { 2 } EC \times DM } = \ \dfrac { AD } { EC } \tag { 2 } $$ नोट कीजिए कि $\triangle BDE$ और $\triangle DEC$ में समान आधार $DE$ है और ये दोनों समानांतर रेखाओं $BC$ और $DE$ के बीच स्थित हैं। $$ \begin { equation* } \text { इसलिए , } \operatorname { ar } ( \triangle BDE ) = \ \operatorname { ar } ( \triangle DEC ) \tag { 3 } \end { equation* } $$ इसलिए , (1), (2) और (3) से हमें प्राप्त होता है : $ \ \dfrac { AD } { DB } = \ \dfrac { AE } { EC } $ क्या यह प्रमेय का विलोम भी सत्य है (इसके विलोम के अर्थ के लिए देखिए परिशिष्ट 1)? इसकी जांच करने के लिए, आइए निम्नलिखित गतिविधि करते हैं : > गतिविधि 3 : अपनी नोटबुक में कोण XAY बनाइए और किरण $AX$ पर बिंदु $B_1, B_2$, $B_3, B_4$ और $B$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $AB_1=B_1 B_2=B_2 B_3=$ $B_3 B_4=B_4 B$ . इसी प्रकार, किरण AY पर बिंदु $C_1, C_2, C_3, C_4$ और $C$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $AC_1=C_1 C_2=$ $C_2 C_3=C_3 C_4=C_4 C$ . फिर $B_1 C_1$ और $BC$ को मिलाइए (देखिए आकृति 6.11)।

अंजीर . 6 . 11 नोट कीजिए कि $\dfrac{AB_1}{B_1 B}=\dfrac{AC_1}{C_1 C}$ (प्रत्येक $\dfrac{1}{4}$ के बराबर)। आप देख सकते हैं कि रेखाएँ $B_1 C_1$ और $BC$ एक-दूसरे के समांतर हैं, i.e., $$ B_1 C_1 \ \ | \ BC \tag{1} $$ इसी प्रकार, $B_2 C_2, B_3 C_3$ और $B_4 C_4$ को मिलाकर, आप देख सकते हैं कि: $$ \dfrac{AB_2}{B_2 B} = \dfrac{AC_2}{C_2 C} \left(=\dfrac{2}{3}\right) \text{ और } B_2 C_2 \ \ | \ BC \tag{2} $$ $$ \dfrac{AB_3}{B_3 B} = \dfrac{AC_3}{C_3 C} \left(=\dfrac{3}{2}\right) \text{ और } B_3 C_3 \ \ | \ BC \tag{3} $$ $$ \dfrac{AB_4}{B_4 B} = \dfrac{AC_4}{C_4 C} \left(=\dfrac{4}{1}\right) \text{ और } B_4 C_4 \ \ | \ BC \tag{4} $$ से (1), (2), (3) और (4), यह देखा गया है कि यदि कोई रेखा एक त्रिभुज की दो भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करती है, तो यह रेखा तीसरी भुजा के समांतर होती है।

तुम इस गतिविधि को दोहराकर चित्र में कोई कोण XAY के विभिन्न माप ले सकते हो और किसी संख्या के बराबर भागों पर भुजाएँ काटकर देख सकते हो। प्रत्येक बार तुम्हें यही समान परिणाम मिलेगा। इस प्रकार, हमें निम्नलिखित प्रमेय मिलती है, जो प्रमेय 6.1 का विलोम है:

प्रमेय 6.2: यदि कोई रेखा किसी त्रिभुज की दो भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करती है, तो वह रेखा तीसरी भुजा के समांतर होती है। इस प्रमेय को सिद्ध किया जा सकता है लेकिन रेखा DE इस प्रकार लेकर कि (\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}) और मान लेकर कि DE, BC के समांतर नहीं है (देखिए आकृति 6.12)।

आकृति 6.12

यदि DE, BC के समांतर नहीं है, तो एक रेखा DE’ बनाइए जो BC के समांतर है।

(\text{इसलिए, } \dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE’}{E’C} \text{ (क्यों?)})

$\text{पाठ}{\text{इसलिए,}} \text{चतुर्भुज} \ \dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC} \text{चतुर्भुज}(\text{क्यों?})$
दोनों भुजाओं में 1 जोड़ने पर, आप देख सकते हैं कि $E$ और $E^{\prime}$ संयोग होना चाहिए। (क्यों?)
आइए कुछ उदाहरण लेकर इस उपरोक्त प्रमेय का उपयोग चित्रित करें।

उदाहरण 1: यदि एक रेखा $\triangle ABC$ की भुजाओं $AB$ और $AC$ को क्रमशः $D$ और $E$ पर प्रतिच्छेद करती है और $BC$ के समांतर है, तो सिद्ध कीजिए कि $\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}$ (देखिए अंजीर. 6.13)।

अंजीर. 6.13

हल:
$DE \parallel BC \quad\quad\quad$ (दिया गया)
इसलिए,
$$\text{चतुर्भुज}\ \dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC} \tag{प्रमेय 6.1}$$
या, $\quad\dfrac{DB}{AD}=\dfrac{EC}{AE}$
या, $\quad\dfrac{DB}{AD}+1=\dfrac{EC}{AE}+1$
या, $\quad\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AC}{AE}$
इसलिए, $\quad\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}$

उदाहरण 2: ABCD एक समलंब चतुर्भुज है जिसमें $AB \parallel DC$ है। E और F बिंदु हैं जो असमांतर भुजाओं AD और BC पर क्रमशः इस प्रकार स्थित हैं कि EF, AB के समांतर है (देखिए आकृति 6.14)। दिखाइए कि $\dfrac{AE}{ED} = \dfrac{BF}{FC}$।

आकृति 6.14

हल: माना AC, EF को G पर प्रतिच्छेद करती है (देखिए आकृति 6.15)।

आकृति 6.15

$AB \parallel DC$ और $EF \parallel AB$ (दिया गया है)। इसलिए, $EF \parallel DC$ (रेखाएँ जो किसी रेखा के समांतर हों, आपस में भी समांतर होती हैं)।

अब, त्रिभुज ADC में, क्योंकि $EF \parallel DC$ (जैसा कि $EF \parallel DC$ है) इसलिए,

$$\dfrac{AE}{ED} = \dfrac{AG}{GC} \tag{प्रमेय 6.1}$$

इसी प्रकार, से (\triangle CAB),

[\dfrac{CG}{AG} = \dfrac{CF}{BF}]

[\text{i.e., } \dfrac{AG}{GC} = \dfrac{BF}{FC} \tag{2}]

इसलिए, से (1) और (2),

[\dfrac{AE}{ED} = \dfrac{BF}{FC}]

उदाहरण 3: अंजीर 6.16 में, (\dfrac{PS}{SQ}=\dfrac{PT}{TR}) और (\angle PST = \angle PRQ). सिद्ध करना कि (PQR) एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

अंजीर 6.16

हल: यह दिया गया है कि (\dfrac{PS}{SQ}=\dfrac{PT}{TR}).

[\text{इसलिए, } ST \parallel QR \tag{प्रमेय 6.2}]

[\text{इसलिए, } \angle PST = \angle PQR \text{ (संगत कोण)} \tag{1}]

भी, यह दिया गया है कि

[\angle PST = \angle PRQ \tag{2}]

[\text{So,}\quad \angle PRQ = \angle PQR \text{ [से (1) और (2)]}]

इसलिए, $ \quad \quad PQ=PR \quad$ (भुजाएँ विपरीत बराबर कोणों की होती हैं) अर्थात्, $\quad\quad\triangle PQR$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है। [[Sc_marker_1]] ### 6.4 समानता के मानदंड त्रिभुजों में पिछले खंड में हमने कहा था कि दो त्रिभुज समान होते हैं, यदि (i) उनके संगत कोण बराबर हों और (ii) उनकी संगत भुजाएँ समान अनुपात में हों। अर्थात्, $\triangle ABC$ और $\triangle DEF$ में, यदि (i) $\angle A=\angle D, \angle B=\angle E, \angle C=\angle F$ और (ii) $\dfrac{AB}{DE}=\dfrac{BC}{EF}=\dfrac{CA}{FD}$ हो, तो ये दोनों त्रिभुज समान होते हैं (देखिए अंजीर 6.22)। अंजीर 6.22

यहाँ, तुम देख सकते हो कि A, D के संगत है, B, E के संगत है और C, F के संगत है। प्रतीकात्मक रूप से, हम इस समानता को इन दो त्रिभुजों के लिए ‘$\triangle ABC \sim \triangle DEF$’ लिखते हैं और इसे ‘त्रिभुज ABC त्रिभुज DEF के समान है’ के रूप में पढ़ते हैं। यह प्रतीक ‘$\sim$’ ‘समान से’ के लिए प्रयुक्त होता है। याद रखो कि तुमने यह प्रतीक ‘$\cong$’ ‘सर्वांगसम से’ के लिए कक्षा नौ में प्रयोग किया था। यह ध्यान देने योग्य है कि जैसे सर्वांगसमता के दो त्रिभुजों के मामले में होता है, वैसे ही समानता के दो त्रिभुजों को भी प्रतीकात्मक रूप से व्यक्त करते समय उनके शीर्ष बिंदुओं के सही पत्राचार का प्रयोग करना चाहिए। उदाहरण के लिए, त्रिभुज ABC और DEF के लिए चित्र 6.22 में, हम $\Delta ABC \sim \Delta EDF$ या $\Delta ABC \sim \Delta FED$ नहीं लिख सकते। हालांकि, हम $\Delta BAC \sim \Delta EDF$ लिख सकते हैं।

अब एक प्राकृतिक प्रश्न उत्पन्न होता है: क्या जाँच के लिए यह समानता के दो त्रिभुज, मान लीजिए ABC और DEF, हमें हमेशा देखना होगा कि सभी समानता संबंधों के उनके संगत कोण (∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F) और सभी समानता संबंधों के अनुपात में उनकी संगत भुजाएँ (AB/DE = BC/EF = CA/FD) हैं? आइए जाँच करें। आपको याद होगा कि कक्षा नौ में आपको दो त्रिभुजों की सर्वांगसमता के कुछ मानदंड मिले थे जिनमें केवल तीन युग्मों के संगत भाग (या तत्व) शामिल थे। यहाँ भी, आइए दो त्रिभुजों की समानता के निश्चित मानदंड तक पहुँचने का प्रयास करें जिसमें सभी छह युग्मों के संगत भागों के बजाय कम संख्या में संगत भागों के युग्म शामिल हों। इसके लिए आइए निम्नलिखित गतिविधि करें:

गतिविधि 4: दो रेखा खंडों $BC$ और $EF$ की दो विभिन्न लंबाइयाँ आकर्षित करें, जैसे 3 सेमी और 5 सेमी क्रमशः। फिर बिंदुओं $B$ और $C$ पर क्रमशः कोण $PBC$ और $QCB$ कुछ मापों के साथ आकर्षित करें, जैसे $60^{\circ}$ और $40^{\circ}$। इसी प्रकार, बिंदुओं $E$ और $F$ पर क्रमशः कोण $REF$ और $SFE$ भी $60^{\circ}$ और $40^{\circ}$ के साथ आकर्षित करें (देखें अंजीर. 6.23)।

किरणें $BP$ और $CQ$ एक-दूसरे को बिंदु $A$ पर प्रतिच्छेद करती हैं, और किरणें $ER$ और $FS$ एक-दूसरे को बिंदु $D$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। इन दो त्रिभुजों $ABC$ और $DEF$ में आप देख सकते हैं कि $\angle B=\angle E, \angle C=\angle F$ और $\angle A=\angle D$। अर्थात्, इन दोनों त्रिभुजों के संगत कोण बराबर हैं। आप इनकी संगत भुजाओं के बारे में क्या कह सकते हैं?

ध्यान दीजिए कि $\dfrac{BC}{EF}=\dfrac{3}{5}=0.6$। $\dfrac{AB}{DE}$ और $\dfrac{CA}{FD}$ का क्या? $AB, DE, CA$ और $FD$ को मापने पर आप पाएंगे कि $\dfrac{AB}{DE}$ और $\dfrac{CA}{FD}$ भी 0.6 के बराबर हैं (या यदि मापन में कुछ त्रुटि हो तो लगभग 0.6 के बराबर)। इस प्रकार, $\dfrac{AB}{DE}=\dfrac{BC}{EF}=\dfrac{CA}{FD}$।

आप संगत कोणों के बराबर वाले कई त्रिभुजों के युग्म बनाकर इस गतिविधि को दोहरा सकते हैं। हर बार आप पाएंगे कि उनकी संगत भुजाएँ समान अनुपात में हैं (या लगभग समान अनुपात में)। यह गतिविधि हमें दो त्रिभुजों की समानता के लिए निम्नलिखित मानदंड तक ले जाती है।

प्रमेय 6.3: यदि दो त्रिभुजों के संगत कोण बराबर हैं, तो उनकी संगत भुजाएँ समान अनुपात में होती हैं (या अनुपात में होती हैं) और इसलिए ये दोनों त्रिभुज समान होते हैं। इस मानदंड को कोण-कोण-कोण (AAA) समानता मानदंड कहा जाता है। यह प्रमेय सिद्ध की जा सकती है दो त्रिभुज ABC और DEF लेकर जहाँ ∠A = ∠D, ∠B = ∠E और ∠C = ∠F (देखिए अंजीर 6.24) अंजीर 6.24 DP = AB और DQ = AC काटिए और PQ को मिलाइए। \text{इसलिए, } \Delta ABC \cong \Delta DPQ \text{ (क्यों?)} \text{यह देता है } \angle B = \angle P = \angle E \text{ और } PQ \parallel EF \text{ (कैसे?)} $$\text{इसलिए, } \dfrac{DP}{PE} = \dfrac{DQ}{QF} \tag{क्यों?}$$

$$\text{पाठ (i.e.) चतुर्भुज } \dfrac{AD}{DE} = \dfrac{वायु-नियंत्रण}{DF} \tag{क्यों?}$$ इसी प्रकार, $\dfrac{AB}{DE} = \dfrac{BC}{EF}$ और इसलिए $\dfrac{AB}{DE} = \dfrac{BC}{EF} = \dfrac{AC}{DF}$।

टिप्पणी: यदि दो कोणों का एक त्रिभुज क्रमशः दो कोणों के बराबर हों किसी दूसरे त्रिभुज के, तो त्रिभुज के कोण योग गुण से उनका तीसरा कोण भी बराबर होगा। इसलिए, AAA समानता मानदंड को निम्नानुसार भी कहा गया है: यदि दो कोणों का एक त्रिभुज क्रमशः दो कोणों के बराबर हों किसी दूसरे त्रिभुज के, तो ये दोनों त्रिभुज समान हैं। इसे दो त्रिभुजों के लिए AAA समानता मानदंड के रूप में संदर्भित किया जा सकता है।

क्या तुमने देखा है कि यदि एक त्रिभुज के तीनों कोण क्रमशः किसी दूसरे त्रिभुज के तीनों कोणों के बराबर हैं, तो उनकी संगत भुजाएँ आनुपातिक होती हैं (अर्थात् समान अनुपात में होती हैं)? इस कथन के विलोम के बारे में क्या कहना है? क्या यह विलोम सत्य है? दूसरे शब्दों में, यदि एक त्रिभुज की भुजाएँ किसी दूसरे त्रिभुज की भुजाओं के साथ क्रमशः आनुपातिक हैं, तो क्या यह सत्य है कि उनके संगत कोण बराबर हैं? आइए इसकी जाँच एक गतिविधि के माध्यम से करें:

गतिविधि 5: आकर्षित करें दो त्रिभुज ABC और DEF इस प्रकार कि AB = 3 सेमी, BC = 6 सेमी, CA = 8 सेमी, DE = 4.5 सेमी, EF = 9 सेमी और FD = 12 सेमी (देखें आकृति 6.25)।

इसलिए, तुम्हें मिलता है: [\dfrac{AB}{DE}=\dfrac{BC}{EF}=\dfrac{CA}{FD}] (प्रत्येक (\dfrac{2}{3}) के बराबर)

अब मापिए कोण A, B, C, D, E और F। आप देखेंगे कि ∠A = ∠D, ∠B = ∠E और ∠C = ∠F, अर्थात् इन दोनों त्रिभुजों के संगत कोण बराबर हैं। आप इस गतिविधि को चित्र में दिखाए गए कई अन्य त्रिभुजों (जिनकी भुजाएँ समान अनुपात में हैं) के साथ दोहरा सकते हैं। हर बार आप पाएँगे कि उनके संगत कोण बराबर होते हैं। इससे निम्नलिखित समानता मानदंड प्राप्त होता है:

प्रमेय 6.4: यदि दो त्रिभुजों में एक त्रिभुज की भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की भुजाओं के अनुपातिक हों (अर्थात् समान अनुपात में हों), तो उनके संगत कोण बराबर होते हैं और इसलिए वे दोनों त्रिभुज समान होते हैं। इस मानदंड को SSS (भुजा-भुजा-भुजा) समानता मानदंड कहा जाता है। इस प्रमेय को दो त्रिभुज ABC और DEF लेकर सिद्ध किया जा सकता है, जहाँ AB/DE = BC/EF = CA/FD (<1) (देखिए चित्र 6.26):

अंजीर 6.26 में DP = AB और DQ = AC काटिए और PQ को मिलाइए। देखा जा सकता है कि $\dfrac{DP}{PE} = \dfrac{DQ}{QF}$ और $PQ \parallel EF$ (कैसे?) $$\text{इसलिए, } \angle P = \angle E \text{ और } \angle Q = \angle F \text{।}$$ $$\text{इसलिए, } \dfrac{DP}{DE} = \dfrac{DQ}{DF} = \dfrac{PQ}{EF}$$ $$\text{इसलिए, } \dfrac{DP}{DE} = \dfrac{DQ}{DF} = \dfrac{BC}{EF} \text{ (क्यों?)}$$ $$\text{इसलिए, } BC = PQ \text{ (क्यों?)}$$ $$\text{इस प्रकार, } \triangle ABC \cong \triangle DPQ \text{ (क्यों?)}$$ $$\text{इसलिए, } \angle A = \angle D, \angle B = \angle E \text{ और } \angle C = \angle F \text{ (कैसे?)}$$

टिप्पणी: हो सकता है तुम्हें याद हो कि दो बहुभुजों के समान होने के लिए ये दो शर्तें अर्थात् (i) संगत कोण बराबर हैं और (ii) संगत भुजाएँ समान अनुपात में हैं, पर्याप्त नहीं हैं। हालांकि, प्रमेय 6.3 और 6.4 के आधार पर अब तुम कह सकते हो कि दो त्रिभुजों की समानता के मामले में ये दोनों शर्तें जाँचना आवश्यक नहीं है, जैसा कि एक स्थिति दूसरे को संकेत करती है। आइए अब हम याद करें कि कक्षा नौ में दो त्रिभुजों की सर्वांगसमता के विभिन्न मानदंड सीखे गए थे। तुम देख सकते हो कि एसएएस समानता मानदंड की तुलना एसएएस सर्वांगसमता मानदंड से की जा सकती है। यह संकेत देता है कि हमें त्रिभुज के सर्वांगसमता मानदंड से तुलनीय समानता मानदंड की तलाश करनी चाहिए। इसके लिए आइए एक गतिविधि करें।

गतिविधि 6: आकर्षित करें दो त्रिभुज $ABC$ और $DEF$ इस प्रकार कि $AB=2 cm, \angle A=50^{\circ}$, $AC=4 cm, DE=3 cm, \angle D=50^{\circ}$ और $DF=6 cm$ (देखिए आकृति 6.27)।

अंजीर . 6 . 27 यहाँ, आप देख सकते हैं कि $\dfrac{AB}{DE}=\dfrac{AC}{DF}$ (प्रत्येक $\dfrac{2}{3}$ के बराबर है) और $\angle A$ (जो भुजाओं $AB$ और $AC$ के बीच शामिल है) $=\angle D$ (जो भुजाओं $DE$ और $DF$ के बीच शामिल है)। अर्थात्, एक त्रिभुज का एक कोण, दूसरे त्रिभुज के एक कोण के बराबर है और इन कोणों को सम्मिलित करने वाली भुजाएँ समान अनुपात में हैं (अर्थात्, समानुपाती हैं)। अब हम मापते हैं $\angle B, \angle C$, $\angle E$ और $\angle F$।

तुम्हें खोजना होगा कि ∠B = ∠E और ∠C = ∠F। अर्थात्, ∠A = ∠D, ∠B = ∠E और ∠C = ∠F। इसलिए, आआआ समानता मानदंड से, △ABC ~ △DEF। तुम इस गतिविधि को चित्रों के कई युग्मों के साथ दोहरा सकते हो, जिनमें एक त्रिभुज का एक कोण दूसरे त्रिभुज के एक कोण के बराबर हो और इन कोणों की सम्मिलित भुजाएँ आनुपातिक हों। हर बार तुम पाओगे कि ये त्रिभुज समान होते हैं। इसका कारण है त्रिभुजों की समानता का निम्नलिखित मानदंड:

प्रमेय 6.5: यदि एक त्रिभुज का एक कोण दूसरे त्रिभुज के एक कोण के बराबर हो और इन कोणों की सम्मिलित भुजाएँ आनुपातिक हों, तो दोनों त्रिभुज समान होते हैं। इस मानदंड को सास (पक्ष-कोण-पक्ष) समानता मानदंड कहा जाता है।

जैसा पहले, यह प्रमेय सिद्ध किया गया है लेना दो त्रिभुज ABC और DEF ऐसा कि (\dfrac{AB}{DE}=\dfrac{AC}{DF}(<1)) और (\angle A=\angle D) (देखना अंजीर. 6.28)। काटना (DP=AB), (DQ=AC) और शामिल हों PQ। अंजीर. 6.28 (\text{अब,}\quad PQ\parallel EF\text{ और }\Delta ABC\cong\Delta DPQ\text{ (कैसे?)}) (\text{इसलिए,}\quad\angle A=\angle D,\angle B=\angle P\text{ और }\angle C=\angle Q) (\text{Therefore,}\quad\triangle ABC\sim\triangle DEF\quad\quad\text{(Why?)}) हम अब लेना कुछ उदाहरण से चित्रित करना यह उपयोग का ये मानदंड। उदाहरण 4: में अंजीर. 6.29, if (PQ\parallel RS), सिद्ध करना कि (\Delta POQ\sim\Delta ROS).

अंजीर 6.29 हल: $\text{चतुर्भुज PQRS में}$ $\text{इसलिए,} \angle P = \angle S \text{(एकांतर कोण)}$ $\text{और} \angle Q = \angle R$ $\text{भी,} \angle POQ = \angle SOR \text{(शीर्षाभिमुख कोण)}$ $\text{Therefore,}\quad \triangle POQ \sim \Delta SOR \quad \quad \quad \text{(AAA similarity criterion)}$ उदाहरण 5: अंजीर 6.30 का निरीक्षण कीजिए और फिर $\angle$ P ज्ञात कीजिए। अंजीर 6.30 हल: $\Delta ABC$ और $\Delta PQR$ में

$ \ \dfrac { अ } { Rq } = \ \dfrac { 3 . 8 } { 7 . 6 } = \ \dfrac { 1 } { 2 } , \ \dfrac { बी.सी. } { क्यूपी } = \ \dfrac { 6 } { 12 } = \ \dfrac { 1 } { 2 } \ पाठ { और } \ \dfrac { का } { प्र } = \ \dfrac { 3 \ वर्गमूल { 3 } } { 6 \ वर्गमूल { 3 } } = \ \dfrac { 1 } { 2 } $ अर्थात्, $\quad \dfrac{AB}{RQ}=\dfrac{BC}{QP}=\dfrac{CA}{PR}$ इसलिए, $ \ डेल्टा एबीसी \ सिम \ डेल्टा Rqp \ चतुर्भुज \ चतुर्भुज \ चतुर्भुज \ पाठ { (SSS समानता) } $ इसलिए, $ \ कोण C = \ कोण P \ चतुर्भुज \ पाठ { (समान त्रिभुजों के संगत कोण) } $ लेकिन: $ \ कोण C = 180^{\circ} - \ कोण A - \ कोण B \ चतुर्भुज \ चतुर्भुज \ चतुर्भुज \ पाठ { (कोण योग गुणधर्म) } $ $ = 180^{\circ} - 80^{\circ} - 60^{\circ} = 40^{\circ} $ इसलिए, $ \ कोण P = 40^{\circ} $ उदाहरण 6: अंजीर 6.31 में, $OA \cdot OB=OC \cdot OD$. दिखाइए कि $\angle A=\angle C$ और $\angle B=\angle D$. हल: $\quad OA \cdot OB=OC \cdot OD \quad$ (दिया गया)

इसलिए, $\dfrac{OA}{OC} = \dfrac{OD}{OB}$ भी, हमें $\angle AOD = \angle COB$ मिलता है (लंबवत विपरीत कोण) (2)। इसलिए, (1) और (2) से, $\triangle AOD \sim \triangle COB$ (SAS समानता मानदंड)। इसलिए, $\angle A = \angle C$ और $\angle D = \angle B$ (समरूप त्रिभुजों के संगत कोण)।

उदाहरण 7: एक लड़की की ऊँचाई 90 cm है। वह एक दीपक-पोस्ट से चलते हुए 1.2 m/s की गति से दूर जा रही है। यदि दीपक भूमि से 3.6 m ऊपर है, तो 4 सेकंड बाद उसकी छाया की लंबाई ज्ञात कीजिए।

हल: माना AB दीपक-पोस्ट को और CD लड़की को दर्शाता है जो दीपक-पोस्ट से 4 सेकंड चलने के बाद (देखिए आकृति 6.32)। आकृति 6.32 से आप देख सकते हैं कि वह लड़की की छाया दे रही है। माना DE, x मीटर हो।

अब, BD = 1.2 m × 4 = 4.8 m। ध्यान दें कि त्रिभुज ABE और CDE में, ∠B = ∠D = 90° (क्योंकि दीपक-पोस्ट और लड़की दोनों ऊर्ध्वाधर खड़े हैं)। $$\begin{align*} \text{और} \quad \angle E &= \angle E \quad \text{(समान कोण)} \ \text{इसलिए,} \quad \triangle ABE &\sim \triangle CDE \quad \text{(आसन्नता मानदंड)} \ \text{इसलिए,} \quad \frac{\text{AB}}{\text{CD}} &= \frac{\text{BE}}{\text{DE}} \ \text{i.e.,} \quad \frac{4.8 + x}{x} &= \frac{3.6}{0.9} \quad (90 \text{ cm} = 0.9 \text{ m}) \ \text{i.e.,} \quad 4.8 + x &= 4x \ \text{i.e.,} \quad 3x &= 4.8 \ \text{i.e.,} \quad x &= 1.6 \end{align*}$$ इसलिए, लड़की की छाया 4 सेकंड बाद 1.6 m लंबी होगी।

उदाहरण 8: अंजीर 6.33 में, $CM$ और $RN$ क्रमशः $\triangle ABC$ और $\triangle PQR$ की माध्यिकाएँ हैं। यदि $\triangle ABC \sim \Delta PQR$, सिद्ध कीजिए कि:

अंजीर 6.33 (i) $\triangle AMC \sim \Delta PNR$ (ii) $\dfrac{CM}{RN}=\dfrac{AB}{PQ}$ (iii) $\Delta CMB \sim \Delta RNQ$

हल: (i) $\Delta ABC \sim \Delta PQR$ (दिया गया है)

इसलिए, $\dfrac{AB}{PQ}=\dfrac{BC}{QR}=\dfrac{CA}{RP} \tag{1}$

और $\angle A=\angle P, \angle B=\angle Q$ और $\angle C=\angle R \tag{2}$

लेकिन $AB=2 AM$ और $PQ=2 PN$ (क्योंकि $CM$ और $RN$ माध्यिकाएँ हैं)

इसलिए, (1) से, $\dfrac{2 AM}{2 PN}=\dfrac{CA}{RP}$

अर्थात्, $\dfrac{AM}{PN}=\dfrac{CA}{RP} \tag{3}$

साथ ही, $\angle MAC = \angle NPR$ [(2) से] $\tag{4}$

इसलिए, (3) और (4) से,

[\Delta AMC \sim \Delta PNR \quad \quad \quad \quad \text{(SAS समानता)} \tag{5}]

(i) (5) से,

[\dfrac{CM}{RN} = \dfrac{CA}{RP} \tag{6}]

लेकिन (\dfrac{CA}{RP} = \dfrac{AB}{PQ} \quad \quad \quad \quad \text{[समीकरण (1) से]} \tag{7})

इसलिए, (\dfrac{CM}{RN} = \dfrac{AB}{PQ} \quad \quad \quad \quad \text{[(6) और (7) से]} \tag{8})

(iii) फिर से,

[\dfrac{AB}{PQ} = \dfrac{BC}{QR} \quad \quad \quad \quad \text{[समीकरण (1) से]}]

इसलिए (\dfrac{CM}{RN} = \dfrac{BC}{QR} \quad \quad \quad \quad \text{[(8) से]} \tag{9})

इसके अलावा, (\dfrac{CM}{RN} = \dfrac{AB}{PQ} = \dfrac{2BM}{2QN})

अर्थात्, (\dfrac{CM}{RN} = \dfrac{BM}{QN} \tag{10})

अर्थात्, (\dfrac{CM}{RN} = \dfrac{BC}{QR} = \dfrac{BM}{QN} \quad \quad \quad \quad \text{[(9) और (10) से]})

इसलिए, (\Delta CMB \sim \Delta RNQ \quad \quad \quad \quad \text{(SSS समानता)})

[नोट: आप भाग (iii) को सिद्ध करने के लिए वही विधि उपयोग कर सकते हैं जैसी भाग (i) में की गई थी।]

[[Sc_marker_2]]

6.5 सारांश

मैंने इस अध्याय का अध्ययन किया है। इसके निम्नलिखित बिंदु हैं:

1. दो आकृतियाँ समान आकृति होती हैं लेकिन अनिवार्य रूप से समान आकार की नहीं होतीं, इन्हें समान आकृतियाँ कहा जाता है।

2. सभी सर्वांगसम आकृतियाँ समान होती हैं लेकिन इसका विलोम सत्य नहीं है।

3. दो बहुभुजों की समान संख्या की भुजाएँ समान होती हैं, यदि (i) उनके संगत कोण बराबर हों और (ii) उनकी संगत भुजाएँ समान अनुपात में हों (अर्थात् अनुपात समान हो)।

4. यदि एक रेखा त्रिभुज के एक पक्ष के समांतर खींची जाती है और यह अन्य दो भुजाओं को किसी विशिष्ट बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है, तो वह अन्य दो भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करती है।

5. यदि कोई रेखा त्रिभुज की दो भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करती है, तो वह रेखा तीसरी भुजा के समांतर होती है।

6. यदि दो त्रिभुजों में संगत कोण बराबर हों, तो उनकी संगत भुजाएँ समान अनुपात में होती हैं और इसलिए वे दोनों त्रिभुज समान होते हैं (आआआ समानता मानदंड)।

7. यदि दो त्रिभुजों में दो-दो कोण क्रमशः बराबर हों, तो ये दोनों त्रिभुज समान होते हैं (AA समानता मानदंड)।

8. यदि दो त्रिभुजों में संगत भुजाएँ समान अनुपात में हों, तो उनके संगत कोण भी बराबर होते हैं और इसलिए ये त्रिभुज समान होते हैं (SSS समानता मानदंड)।

9. यदि एक त्रिभुज का एक कोण दूसरे त्रिभुज के एक कोण के बराबर हो और इन कोणों को समेटने वाली भुजाएँ समान अनुपात में हों (आनुपातिक), तो ये त्रिभुज समान होते हैं (SAS समानता मानदंड)।

एक नोट पाठक के लिए: यदि दो समकोण त्रिभुजों में कर्ण और एक भुजा क्रमशः समान अनुपात में हों, तो ये दोनों त्रिभुज समान होते हैं। इसे समकोण त्रिभुज समानता मानदंड कहा जाता है। यदि आप उदाहरण 2, अध्याय 8 में इस मानदंड का उपयोग करें, तो प्रमाण सरल हो जाएगा।