# # 7.1 परिचय

कक्षा नौ में, तुमने अध्ययन किया था कि किसी बिंदु की स्थिति ज्ञात करने के लिए हमें समतल में निर्देशांक अक्षों की आवश्यकता होती है। किसी बिंदु की y-अक्ष से दूरी को इसका x-निर्देशांक, या भुजा कहा जाता है। किसी बिंदु की x-अक्ष से दूरी को इसका y-निर्देशांक, या कोटि कहा जाता है। x-अक्ष पर स्थित किसी बिंदु के निर्देशांक का रूप (x, 0) होता है, और y-अक्ष पर स्थित किसी बिंदु के निर्देशांक का रूप (0, y) होता है।

यहाँ एक खेल है तुम्हारे लिए। चित्र बनाओ एक समुच्चय का, जोड़े का लंबवत् अक्ष पर ग्राफ कागज़ पर। अब प्लॉट करो निम्नलिखित बिंदुओं को और जोड़ो उन्हें जैसा निर्देशित है: जोड़ो बिंदु A(4,8) से B(3,9) से C(3,8) से D(1,6) से E(1,5) से F(3,3) से G(6,3) से H(8,5) से I(8,6) से J(6,8) से K(6,9) से L(5,8) से A। फिर जोड़ो बिंदु P(3.5,7), Q(3,6) और R(4,6) से एक त्रिभुज बनाने के लिए। भी जोड़ो बिंदु X(5.5,7), Y(5,6) और Z(6,6) से एक त्रिभुज बनाने के लिए। अब जोड़ो S(4,5), T(4.5,4) और U(5,5) से एक त्रिभुज बनाने के लिए। अंत में जोड़ो S से बिंदु (0,5) और (0,6) और जोड़ो U से बिंदु (9,5) और (9,6)। क्या चित्र तुम्हें मिला?

भी, तुमने देखा कि एक रैखिक समीकरण में दो चर का रूप (a x+b y+c=0) (जहाँ (a, b) दोनों एक साथ शून्य नहीं हैं), जब ग्राफ़िकल रूप से दर्शाया जाता है, तो एक सीधी रेखा देता है। आगे, अध्याय 2 में तुमने देखा कि ग्राफ (y=a x^{2}+b x+c) ((a \neq 0)) एक परवलय होता है। वास्तव में, निर्देशांक ज्यामिति एक बीजगणितीय उपकरण के रूप में विकसित हुई है ज्यामिति की आकृतियों के अध्ययन के लिए। यह हमें ज्यामिति का अध्ययन बीजगणित का उपयोग करके करने में मदद करता है, और बीजगणित को समझने में ज्यामिति की मदद से। इस कारण से, निर्देशांक ज्यामिति का व्यापक रूप से उपयोग होता है विभिन्न क्षेत्रों जैसे भौतिकी, इंजीनियरिंग, नेविगेशन, भूकंप विज्ञान और कला में। इस अध्याय में तुम सीखोगे कि कैसे दो बिंदुओं के बीच की दूरी निकाली जात है जिनके निर्देशांक दिए गए हैं, और कैसे तीन दिए गए बिंदुओं द्वारा बने त्रिभुज का क्षेत्रफल निकाला जाता है। तुम यह भी अध्ययन करोगे कि कैसे उस बिंदु के निर्देशांक निकाले जाते हैं जो दो दिए गए बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखा खंड को एक दिए गए अनुपात में विभाजित करता है।

7.2 दूरी सूत्र

आइए हम निम्नलिखित स्थिति पर विचार करें:

नगर B, नगर A से 36 km पूर्व और 15 km उत्तर में स्थित है। आप इस दूरी को नगर A से नगर B तक बिना वास्तव में मापे कैसे ज्ञात कर सकते हैं? आइए देखें। यह स्थिति ग्राफ़िकल रूप से अंजीर 7.1 में दिखाई गई है। आप पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके इस दूरी की गणना कर सकते हैं। अंजीर 7.1

अब, मान लीजिए दो बिंदु x-अक्ष पर स्थित हैं। क्या हम उनके बीच की दूरी ज्ञात कर सकते हैं? उदाहरण के लिए, अंजीर 7.2 में दो बिंदु A(4,0) और B(6,0) पर विचार करें। बिंदु A और B x-अक्ष पर स्थित हैं। इस आकृति से आप देख सकते हैं कि OA = 4 इकाइयाँ और OB = 6 इकाइयाँ हैं। इसलिए, B से A की दूरी, अर्थात् AB = OB - OA = 6 - 4 = 2 इकाइयाँ। इसलिए, यदि दो बिंदु x-अक्ष पर हों, तो हम उनके बीच की दूरी आसानी से ज्ञात कर सकते हैं।

अब, मान लीजिए हम लें दो बिंदु जो झूठे हैं y-अक्ष पर। क्या आप खोज सकते हैं उनके बीच की दूरी? यदि बिंदु C(0,3) और D(0,8) झूठे हैं y-अक्ष पर, तो हम पाते हैं CD = 8-3 = 5 इकाइयाँ (देखिए अंजीर 7.2)। अंजीर 7.2 अगला, क्या आप खोज सकते हैं A से C की दूरी (अंजीर 7.2 में)? चूँकि OA = 4 इकाइयाँ और OC = 3 इकाइयाँ, A से C की दूरी, अर्थात् AC = √(3²+4²) = 5 इकाइयाँ। इसी प्रकार, आप खोज सकते हैं B से D की दूरी BD = 10 इकाइयाँ। अब, यदि हम विचार करें दो बिंदु जो नहीं झूठे हैं निर्देशांक अक्षों पर, तो क्या हम खोज सकते हैं उनके बीच की दूरी? हाँ! हम उपयोग करेंगे पाइथागोरस प्रमेय का। आइए देखें एक उदाहरण।

अंजीर 7.3 में, बिंदु P(4,6) और Q(6,8) पहले चतुर्थांश में हैं। हम इनके बीच की दूरी पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके कैसे खोजें? आइए चित्र बनाएं: PR और QS क्रमशः P और Q से x-अक्ष पर लंबवत् खींचें। साथ ही, P से QS पर लंबवत् खींचें जो QS को T पर मिलता है। तब R और S के निर्देशांक क्रमशः (4,0) और (6,0) हैं। इसलिए RS = 2 इकाइयाँ। साथ ही, QS = 8 इकाइयाँ और TS = PR = 6 इकाइयाँ। अतः QT = 2 इकाइयाँ और PT = RS = 2 इकाइयाँ। अब पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर, हमें मिलता है: \begin{aligned} PQ^{2} &= PT^{2} + QT^{2} \ &= 2^{2} + 2^{2} = 8 \end{aligned} इसलिए PQ = 2\sqrt{2} इकाइयाँ। यदि दो बिंदु दो विभिन्न चतुर्थांशों में हों तो हम उनके बीच की दूरी कैसे खोजें?

विचार करें बिंदु (P(6,4)) और (Q(-5,-3)) (देखिए आकृति 7.4)। QS खींचिए जो x-अक्ष पर लंबवत् है। बिंदु P से QS (विस्तारित) पर लंबवत् PT खींचिए जो y-अक्ष पर बिंदु R से मिलता है। आकृति 7.4 फिर (\mathrm{PT}=11) इकाइयाँ और (\mathrm{QT}=7) इकाइयाँ हैं। (क्यों?) समकोण त्रिभुज PTQ में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर हमें प्राप्त होता है (PQ=\sqrt{11^{2}+7^{2}}=\sqrt{170}) इकाइयाँ। अब हम खोजें कि किसी दो बिंदुओं (P(x_1, y_1)) और (Q(x_2, y_2)) के बीच की दूरी कैसे निकालें। PR और QS खींचिए जो x-अक्ष पर लंबवत् हैं। बिंदु P से QS पर लंबवत् रेखा खींचिए जो बिंदु T पर मिलती है (देखिए आकृति 7.5)।

अंजीर . 7 . 5 फिर , $\quad OR=x_1, OS=x_2$ . इसलिए , $RS=x_2-x_1=PT$ . साथ ही , $\quad SQ=y_2, \quad ST=PR=y_1 . \quad$ इसलिए , $\quad QT=y_2-y_1$ . अब , त्रिभुज $\triangle PTQ$ में पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर , हम प्राप्त करते हैं $ \begin{aligned} PQ ^ { 2 } & = PT ^ { 2 } + Qt ^ { 2 } \ & = ( x_2 - x_1 ) ^ { 2 } + ( y_2 - y_1 ) ^ { 2 } \end{aligned} $ इसलिए , $P Q=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}}$ ध्यान दें कि चूंकि दूरी हमेशा गैर - नकारात्मक होती है , हम केवल सकारात्मक वर्ग मूल लेते हैं . इसलिए , बिंदु $P(x_1, y_1)$ और $Q(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी $ PQ = \sqrt { ( x_2 - x_1 ) ^ { 2 } + ( y_2 - y_1 ) ^ { 2 } } , $ जिसे दूरी सूत्र कहा जाता है . * * टिप्पणियाँ * * : * * 1 . * * विशेष रूप से , बिंदु $P(x, y)$ की मूल बिंदु $O(0,0)$ से दूरी $ OP = \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } $ द्वारा दी जाती है .

2. हम सकते हैं भी लिखिए, $PQ=\sqrt{(x_1-x_2)^{2}+(y_1-y_2)^{2}}$। (क्यों?)

उदाहरण 1: क्या यह बिंदु $(3,2),(-2,-3)$ और $(2,3)$ एक त्रिभुज बनाते हैं? यदि हाँ, तो बताइए यह किस प्रकार का त्रिभुज बनाया गया।

हल: आइए हम दूरी सूत्र का प्रयोग करके दूरियाँ PQ, QR और PR ज्ञात करें, जहाँ $P(3,2), Q(-2,-3)$ और $R(2,3)$ हैं यह दिए गए बिंदु। हमें मिलता है:

[\begin{aligned} PQ &= \sqrt{(3+2)^2+(2+3)^2} = \sqrt{5^2+5^2} = \sqrt{50} = 7.07 \text{ (लगभग)}\ QR &= \sqrt{(-2-2)^2+(-3-3)^2} = \sqrt{(-4)^2+(-6)^2} = \sqrt{52} = 7.21 \text{ (लगभग)}\ PR &= \sqrt{(3-2)^2+(2-3)^2} = \sqrt{1^2+(-1)^2} = \sqrt{2} = 1.41 \text{ (लगभग)} \end{aligned}]

चूँकि इन दूरियों में से किन्हीं दो का योग तीसरी दूरी से अधिक है, इसलिए यह बिंदु $P, Q$ और $R$ एक त्रिभुज बनाते हैं। भी, $PQ^{2}+PR^{2}=QR^{2}$, विलोम पाइथागोरस प्रमेय से, हम पाते हैं $\angle P=90^{\circ}$। इसलिए, $PQR$ एक समकोण त्रिभुज है।

उदाहरण 2: दिखाइए कि बिंदु $(1,7),(4,2),(-1,-1)$ और $(-4,4)$ एक वर्ग के शीर्ष बिंदु हैं।

हल: माना A $(1,7), B(4,2), C(-1,-1)$ और $D(-4,4)$ दिए गए बिंदु हैं। यह दिखाने का एक तरीका यह है कि $ABCD$ एक वर्ग है, इस संपत्ति का उपयोग करके कि इसकी सभी भुजाएँ बराबर होनी चाहिए और दोनों विकर्ण भी बराबर होने चाहिए।

अब, $ \begin{align} & AB = \sqrt{(1-4)^2+(7-2)^2} = \sqrt{9+25} = \sqrt{34} \ & BC = \sqrt{(4+1)^2+(2+1)^2} = \sqrt{25+9} = \sqrt{34} \ & CD = \sqrt{(-1+4)^2+(-1-4)^2} = \sqrt{9+25} = \sqrt{34} \ & DA = \sqrt{(1+4)^2+(7-4)^2} = \sqrt{25+9} = \sqrt{34} \ & AC = \sqrt{(1+1)^2+(7+1)^2} = \sqrt{4+64} = \sqrt{68} \ & BD = \sqrt{(4+4)^2+(2-4)^2} = \sqrt{64+4} = \sqrt{68} \end{align} $

चूंकि $AB=BC=CD=DA$ और $AC=BD$, इस चतुर्भुज $ABCD$ की सभी चार भुजाएँ बराबर हैं और इसके विकर्ण $AC$ और $BD$ भी बराबर हैं। इसलिए, $ABCD$ एक वर्ग है।

विकल्प हल: हम देखते हैं कि इसमें चार भुजाएँ और एक विकर्ण, मान लीजिए $AC$, ऊपर की तरह है। यहाँ $AD^{2}+DC^{2}=34+34=68=AC^{2}$। इसलिए, विलोम पाइथागोरस प्रमेय से, $\angle D=90^{\circ}$। एक चतुर्भुज जिसकी सभी चार भुजाएँ बराबर हों और एक कोण $90^{\circ}$ हो, वह वर्ग होता है। इसलिए, $ABCD$ एक वर्ग है।

उदाहरण 3: अंजीर 7.6 एक कक्षा में डेस्क की व्यवस्था दिखाता है। अशिमा, भर्ती और कैमेला क्रमशः $A(3,1)$, $B(6,4)$ और $C(8,6)$ पर बैठे हैं। क्या आप सोचते हैं कि वे एक रेखा में बैठे हैं? अपने उत्तर का कारण दीजिए।

हल: दूरी सूत्र का उपयोग करके, हमें मिलता है

$$\begin{align} AB &= \sqrt{(6-3)^2 + (4-1)^2} = \sqrt{9+9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\ BC &= \sqrt{(8-6)^2 + (6-4)^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\ AC &= \sqrt{(8-3)^2 + (6-1)^2} = \sqrt{25+25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \end{align}$$ चूँकि $AB + BC = 3\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 5\sqrt{2} = AC$, हम कह सकते हैं कि बिंदु $A$, $B$ और $C$ संरेख हैं। इसलिए, वे एक रेखा पर स्थित हैं।

उदाहरण 4: $x$ और $y$ के बीच वह संबंध ज्ञात कीजिए ताकि बिंदु $(x, y)$ बिंदुओं $(7, 1)$ और $(3, 5)$ से समदूरीय हो।

हल: माना $P(x, y)$ बिंदु $A(7, 1)$ और $B(3, 5)$ से समदूरीय है। हमें दिया गया है कि $AP = BP$। इसलिए, $AP^2 = BP^2$ अर्थात् $(x-7)^2 + (y-1)^2 = (x-3)^2 + (y-5)^2$ अर्थात् $x^2 - 14x + 49 + y^2 - 2y + 1 = x^2 - 6x + 9 + y^2 - 10y + 25$ अर्थात् $x - y = 2$ जो अभीष्ट संबंध है।

टिप्पणी: नोट करें कि इस ग्राफ का समीकरण $x-y=2$ एक रेखा है। जैसा कि आपने पहले अध्ययन किया है, आप जानते हैं कि एक बिंदु जो बिंदुओं A और B से समदूरीय हो, AB का लंबवत् कोण समद्विभाजक होता है। इसलिए, इस ग्राफ का $x-y=2$ है AB का लंबवत् कोण समद्विभाजक (देखें अंजीर. 7.7)। अंजीर. 7.7

उदाहरण 5: y-अक्ष पर वह बिंदु खोजें जो बिंदुओं $A(6,5)$ और $B(-4,3)$ से समदूरीय हो।

हल: हम जानते हैं कि y-अक्ष पर कोई बिंदु $(0, y)$ के रूप में होता है। इसलिए, मान लीजिए यह बिंदु $P(0, y)$ बिंदुओं $A$ और $B$ से समदूरीय है। तब $$(6-0)^2 + (5-y)^2 = (-4-0)^2 + (3-y)^2$$ अर्थात्, $36+25+y^2-10y = 16+9+y^2-6y$ अर्थात्, $4y = 36$ अर्थात्, $y = 9$

इसलिए, आवश्यक बिंदु $(0,9)$ है।

आइए जांचें हमारा हल: $AP=\sqrt{(6-0)^{2}+(5-9)^{2}}=\sqrt{36+16}=\sqrt{52}$ $$ BP = \sqrt{(-4-0)^{2}+(3-9)^{2}} = \sqrt{16+36} = \sqrt{52} $$ नोट: उपयोग करना यह टिप्पणी ऊपर, हम देखें कि $(0,9)$ है यह प्रतिच्छेदन का यह $y$-अक्ष और यह लंबवत् कोण समद्विभाजक का अ। [[Sc_marker_0]] ### 7.3 Section सूत्र आइए याद करें यह स्थिति में Section 7.2. मान लीजिए एक टेलीफोन कंपनी चाहती है से स्थिति एक रिले मीनार पर $P$ के बीच $A$ और $B$ है ऐसा एक रास्ता वह यह दूरी का यह मीनार से $B$ है दो बार इसका दूरी से $A$. यदि $P$ झूठ पर $AB$, यह होगा विभाजित करें $AB$ में यह अनुपात $1:2$ (देखें अंजीर. 7.9). यदि हम लें $A$ जैसा यह मूल $O$, और $1 km$ जैसा एक इकाई पर दोनों यह अक्ष, यह निर्देशांक का B होगा होना $(36,15)$. में क्रम से जानना यह स्थिति का यह मीनार, हम चाहिए जानना यह निर्देशांक का P. कैसे करें हम खोजें ये निर्देशांक?

अंजीर 7.9 मान लीजिए बिंदु P के निर्देशांक (x, y) हैं। बिंदु P और B से x-अक्ष पर लंब डालिए जो क्रमशः D और E पर मिलते हैं। PC को लंबवत् बनाइए। फिर, अध्याय 6 में पढ़े गए समानता मानदंड से, △OAD और △BPC समान हैं। इसलिए, OD/PC = OP/PB = 1/2 और PD/BC = OP/PB = 1/2। इसलिए, x/(36-x) = 1/2 और y/(15-y) = 1/2। इन समीकरणों से x = 12 और y = 5 प्राप्त होता है। आप जांच सकते हैं कि P(12, 5) बिंदु OP:PB = 1:2 के अनुपात को संतुष्ट करता है। अब हम इस उदाहरण से प्राप्त समझ का उपयोग करके सामान्य सूत्र विकसित कर सकते हैं।

विचार करें कोई दो बिंदु (A(x_1, y_1)) और (B(x_2, y_2)) और मान लीजिए कि बिंदु (P(x, y)) रेखा (AB) को आंतरिक रूप से अनुपात (m_1 : m_2) में विभाजित करता है, अर्थात् (\dfrac{PA}{PB} = \dfrac{m_1}{m_2}) (देखिए आकृति 7.10)। आकृति 7.10

आर, पीएस और बीटी को (x)-अक्ष पर लंबवत् खींचिए। एक्यू और पीसी को (x)-अक्ष के समांतर खींचिए। फिर, समरूपता की कसौटी से, (\Delta PAQ \sim \Delta BPC) इसलिए, (\dfrac{PA}{BP} = \dfrac{AQ}{PC} = \dfrac{PQ}{BC} \tag{1})

[ \begin{aligned} \text{अब, } & AQ = RS = OS - OR = x - x_1 \ & PC = ST = OT - OS = x_2 - x \ & PQ = PS - QS = PS - AR = y - y_1 \ & BC = BT - CT = BT - PS = y_2 - y \end{aligned} ]

इन मानों को (1) में रखने पर, हमें प्राप्त होता है:

[ \dfrac{m_1}{m_2} = \dfrac{x - x_1}{x_2 - x} = \dfrac{y - y_1}{y_2 - y} ]

$ \text{लेना} \ चतुर्भुज \ चतुर्भुज \ \dfrac { m_1 } { m_2 } = \ \dfrac { x - x_1 } { x_2 - x } \text{, हम प्राप्त करते हैं} x = \ \dfrac { m_1 x_2 + m_2 x_1 } { m_1 + m_2 } $$ \text{इसी प्रकार, लेना} \ चतुर्भुज \ चतुर्भुज \ \dfrac { m_1 } { m_2 } = \ \dfrac { y - y_1 } { y_2 - y } , \text{हम प्राप्त करते हैं} y = \ \dfrac { m_1 y_2 + m_2 y_1 } { m_1 + m_2 } $$ इसलिए, निर्देशांक इस बिंदु $P(x, y)$ का, जो रेखा खंड को आंतरिक रूप से अनुपात $m_1:m_2$ में विभाजित करता है, बिंदुओं $A(x_1, y_1)$ और $B(x_2, y_2)$ को जोड़ने वाले रेखा खंड पर हैं: $$ ( \ \dfrac { m_1 x_2 + m_2 x_1 } { m_1 + m_2 } , \ \dfrac { m_1 y_2 + m_2 y_1 } { m_1 + m_2 } ) \tag { 2 } $$ यह ज्ञात है जैसा कि विभाजन सूत्र। यह चित्र द्वारा भी प्राप्त किया जा सकता है, A, P और B से y-अक्ष पर लंबवत् रेखाएँ खींचकर और ऊपर दिखाए अनुसार आगे बढ़कर। यदि बिंदु P, AB को अनुपात k:1 में विभाजित करता है, तो बिंदु P के निर्देशांक होंगे: $ ( \ \dfrac { k x_2 + x_1 } { k + 1 } , \ \dfrac { k y_2 + y_1 } { k + 1 } ) $

विशेष स्थिति: यह मध्य-बिंदु रेखा खंड को अनुपात $1:1$ में विभाजित करता है। इसलिए, बिंदु $A(x_1, y_1)$ और $B(x_2, y_2)$ के मध्य-बिंदु $P$ के निर्देशांक होंगे: $$\left( \dfrac{1 \cdot x_1 + 1 \cdot x_2}{1 + 1}, \dfrac{1 \cdot y_1 + 1 \cdot y_2}{1 + 1} \right) = \left( \dfrac{x_1 + x_2}{2}, \dfrac{y_1 + y_2}{2} \right)$$

आइए हल करें कुछ उदाहरण इस सूत्र पर आधारित।

उदाहरण 6: उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो बिंदुओं $(4, -3)$ और $(8, 5)$ को जोड़ने वाले रेखा खंड को अनुपात $3:1$ में आंतरिक रूप से विभाजित करता है।

हल: माना $P(x, y)$ अभीष्ट बिंदु है। विभाजन सूत्र का प्रयोग करने पर, हम प्राप्त करते हैं: $$x = \dfrac{3(8) + 1(4)}{3 + 1} = 7, \quad y = \dfrac{3(5) + 1(-3)}{3 + 1} = 3$$

इसलिए, $(7, 3)$ अभीष्ट बिंदु है।

उदाहरण 7: बिंदु $(-4, 6)$ बिंदुओं $A(-6, 10)$ और $B(3, -8)$ को जोड़ने वाले रेखा खंड को किस अनुपात में विभाजित करता है?

हल: माना $(-4, 6)$, $AB$ को आंतरिक रूप से अनुपात $m_1 : m_2$ में विभाजित करता है। विभाजन सूत्र का प्रयोग करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$$( - 4 , 6 ) = ( \ \dfrac { 3 m_1 - 6 m_2 } { m_1 + m_2 } , \ \dfrac { - 8 m_1 + 10 m_2 } { m_1 + m_2 } ) \ टैग { 1 }$$ याद कीजिए कि यदि $(x, y)=(a, b)$ तो $x=a$ और $y=b$। इसलिए, $-4=\dfrac{3 m_1-6 m_2}{m_1+m_2} \text{ और } 6=\dfrac{-8 m_1+10 m_2}{m_1+m_2}$ $$\ पाठ { अब, } \ चतुर्भुज - 4 = \ \dfrac { 3 m_1 - 6 m_2 } { m_1 + m_2 } \ चतुर्भुज \ पाठ { हमें देता है }$$ $- 4 m_1 - 4 m_2 = 3 m_1 - 6 m_2$ i . e . , $7 m_1=2 m_2$ i . e . , $m_1: m_2=2: 7$ आपको सत्यापित करना चाहिए कि यह अनुपात $y$ - निर्देशांक को भी संतुष्ट करता है। अब, $\begin{aligned} \quad \dfrac{-8 m_1+10 m_2}{m_1+m_2} & =\dfrac{-8 \dfrac{m_1}{m_2}+10}{\dfrac{m_1}{m_2}+1} \quad (\text{ पूरे भाग को } m_2 \text{ से विभाजित करने पर })\end{aligned}$ $\begin{aligned} \quad =\dfrac{-8 \times \dfrac{2}{7}+10}{\dfrac{2}{7}+1}=6\end{aligned}$ इसलिए, यह बिंदु $(-4,6)$ रेखा खंड को बिंदुओं $A(-6,10)$ और $B(3,-8)$ में अनुपात $2: 7$ में विभाजित करता है।

वैकल्पिक रूप से: यह अनुपात $m_1:m_2$ को $\dfrac{m_1}{m_2}:1$ या $k:1$ के रूप में भी लिखा जा सकता है। मान लीजिए $(-4,6)$ बिंदु रेखा खंड $AB$ को आंतरिक रूप से अनुपात $k:1$ में विभाजित करता है। खंड सूत्र का उपयोग करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$$\begin{align*} (-4,6) &= \left(\dfrac{3k-6}{k+1}, \dfrac{-8k+10}{k+1}\right) \tag{2} \end{align*}$$

$$\begin{align*} \text{इसलिए,} \quad -4 &= \dfrac{3k-6}{k+1} \ \text{अर्थात्,} \quad -4k-4 &= 3k-6 \ \text{अर्थात्,} \quad 7k &= 2 \ \text{अर्थात्,} \quad k:1 &= 2:7 \end{align*}$$

आप $y$-निर्देशांक के लिए भी जांच कर सकते हैं। इस प्रकार, बिंदु $(-4,6)$ बिंदुओं $A(-6,10)$ और $B(3,-8)$ को जोड़ने वाले रेखा खंड को अनुपात $2:7$ में विभाजित करता है।

नोट: आप यह अनुपात दूरी PA और PB की गणना करके भी ज्ञात कर सकते हैं और उनका अनुपात ले सकते हैं, बशर्ते आप जानते हों कि A, P और B संरेख हैं।

उदाहरण 8: बिंदुओं $A(2,-2)$ और $B(-7,4)$ को जोड़ने वाले रेखा खंड के त्रिभाजन बिंदु (अर्थात्, वह बिंदु जो रेखा खंड को तीन बराबर भागों में विभाजित करता है) के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

हल: माना P और Q बिंदु AB के त्रिभाजन बिंदु हैं, अर्थात् AP = PQ = QB (देखिए आकृति 7.11)। आकृति 7.11

इसलिए, P बिंदु AB को आंतरिक रूप से 1:2 के अनुपात में विभाजित करता है। इसलिए, P के निर्देशांक, खंड सूत्र लगाकर, हैं: (\left(\dfrac{1(-7)+2(2)}{1+2}, \dfrac{1(4)+2(-2)}{1+2}\right)), अर्थात् ((-1, 0))

अब, Q भी AB को आंतरिक रूप से 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है। इसलिए, Q के निर्देशांक हैं: (\left(\dfrac{2(-7)+1(2)}{2+1}, \dfrac{2(4)+1(-2)}{2+1}\right)), अर्थात् ((-4, 2))

इसलिए, रेखाखंड AB के त्रिभाजन बिंदुओं के निर्देशांक ((-1, 0)) और ((-4, 2)) हैं।

नोट: हम Q को P का मध्य-बिंदु मानकर भी प्राप्त कर सकते हैं। इसलिए हम मध्य-बिंदु सूत्र का उपयोग करके इसके निर्देशांक प्राप्त कर सकते हैं।

उदाहरण 9: ज्ञात कीजिए वह अनुपात जिसमें y-अक्ष विभाजित करता है रेखा-खंड को जो बिंदुओं (5, -6) और (-1, -4) को मिलाता है। साथ ही ज्ञात कीजिए प्रतिच्छेदन बिंदु।

हल: माना अनुपात k : 1 है। तब विभाजन सूत्र से, बिंदु के निर्देशांक जो AB को अनुपात k : 1 में विभाजित करता है, हैं $\left(\dfrac{-k+5}{k+1}, \dfrac{-4k-6}{k+1}\right)$। यह बिंदु y-अक्ष पर स्थित है, और हम जानते हैं कि y-अक्ष पर भुजा 0 होती है। इसलिए, $\dfrac{-k+5}{k+1}=0$ अतः k = 5, अर्थात् अनुपात 5 : 1 है। k = 5 रखने पर, हम प्राप्त करते हैं प्रतिच्छेदन बिंदु $\left(0, \dfrac{-13}{3}\right)$।

उदाहरण 10: यदि बिंदु A(6, 1), B(8, 2), C(9, 4) और D(p, 3) क्रम में समांतर चतुर्भुज के शीर्ष बिंदु हैं, तो p का मान ज्ञात कीजिए।

हल: हम जानते हैं कि समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। इसलिए, AC के मध्य-बिंदु के निर्देशांक = BD के मध्य-बिंदु के निर्देशांक $\text{i.e.,}\quad \left(\dfrac{6+9}{2}, \dfrac{1+4}{2}\right)=\left(\dfrac{8+p}{2}, \dfrac{2+3}{2}\right)$

$\text{i.e.,}\quad \quad(\dfrac{15}{2}, \dfrac{5}{2})=(\dfrac{8+p}{2}, \dfrac{5}{2})$ $\text{so, }\quad \quad \dfrac{15}{2}=\dfrac{8+p}{2} $ $\text{i.e.,}\quad \quad p=7$ [ [ Sc_marker_1 ] ] # # # 7 . 4 सारांश इस अध्याय में, आपने निम्नलिखित बिंदुओं का अध्ययन किया है : * * 1 . * * बिंदुओं $P(x_1, y_1)$ और $Q(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी $\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}}$ है। * * 2 . * * बिंदु $P(x, y)$ की मूल से दूरी $\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ है। * * 3 . * * बिंदु $P(x, y)$ के निर्देशांक, जो बिंदुओं $A(x_1, y_1)$ और $B(x_2, y_2)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को आंतरिक रूप से $m_1: m_2$ अनुपात में विभाजित करता है, $(\dfrac{m_1 x_2+m_2 x_1}{m_1+m_2}, \dfrac{m_1 y_2+m_2 y_1}{m_1+m_2})$ हैं। * * 4 . * * बिंदुओं $P(x_1, y_1)$ और $Q(x_2, y_2)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड का मध्य-बिंदु $(\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2})$ है। # # # # पाठक के लिए एक नोट

Section 7.3 चर्चा करता है इस सूत्र को जो निर्देशांक $(x, y)$ वाले बिंदु $P$ के लिए होता है जो आंतरिक रूप से विभाजित करता है रेखा खंड को जोड़ता है बिंदु $A(x_1, y_1)$ और $B(x_2, y_2)$ को अनुपात $m_1: m_2$ में जैसा कि निम्नलिखित है: $$ x = \dfrac{m_1 x_2 + m_2 x_1}{m_1 + m_2}, \quad y = \dfrac{m_1 y_2 + m_2 y_1}{m_1 + m_2} $$ ध्यान दें कि यहाँ $PA: PB = m_1: m_2$ है। हालांकि, यदि $P$ बिंदु $A$ और $B$ के बीच में नहीं है बल्कि रेखा $AB$ पर है, रेखा खंड $AB$ के बाहर, और $PA: PB = m_1: m_2$ है, तो हम कहते हैं कि $P$ बाह्य रूप से विभाजित करता है रेखा खंड को जोड़ता है बिंदु A और B को। आप उच्च कक्षाओं में ऐसे case के लिए सूत्र का अध्ययन करोगे।