# # 9 . 1 ऊँचाइयाँ और दूरियाँ

इस अध्याय में, जिसे तुमने पिछले अध्याय में पढ़ा था, हमने त्रिकोणमितीय अनुपातों के बारे में अध्ययन किया था। इस अध्याय में तुम अध्ययन करोगे कि त्रिकोणमिति का उपयोग हमारे दैनिक जीवन में किस प्रकार किया जाता है। आइए हम अंजीर 8.1 को देखें, जिसे पिछले अध्याय से नीचे पुनः आरेखित किया गया है (अंजीर 9.1)।

अंजीर 9.1 में, रेखा $\mathrm{AC}$ छात्र की आँख से मीनार के शिखर तक खींची गई है; इसे दृष्टि रेखा कहा जाता है। छात्र मीनार के शिखर को देख रहा है। कोण $\mathrm{BAC}$, जो दृष्टि रेखा और क्षैतिज रेखा के बीच बनता है, मीनार के शिखर का उन्नयन कोण कहलाता है।

इस प्रकार, यह रेखा दृष्टि है। यह रेखा आकर्षित करने से यह आंख के प्रेक्षक से इस बिंदु में इस object को देखा गया है। यह कोण ऊँचाई का है, जो इस बिंदु पर देखा गया है। यह कोण बनाया गया है इस रेखा दृष्टि के साथ क्षैतिज जब यह बिंदु ऊपर क्षैतिज स्तर से देखा गया है, अर्थात् यह case जब हम अपना head उठाकर इस object को देखते हैं (देखना अंजीर. 9.2)। अंजीर. 9.2 अब विचार करें इस स्थिति को जो अंजीर. 8.2 में दी गई है। यह लड़की बालकनी पर बैठी है और नीचे एक फूल हंडी को देख रही है जो मंदिर की सीढ़ी पर रखी है। इस case में, यह रेखा दृष्टि क्षैतिज स्तर से नीचे है। यह कोण इसलिए बनाया गया है इस रेखा दृष्टि के साथ क्षैतिज का, जिसे अवसाद कोण कहा जाता है।

इस प्रकार, यह देखा गया है कि जब कोई बिंदु क्षैतिज स्तर से नीचे होता है, तो इस बिंदु पर बनने वाला कोण अवसाद कोण कहलाता है। यह कोण उस रेखा की दृष्टि रेखा और क्षैतिज रेखा के बीच बनता है जब हम अपने सिर को झुकाकर उस बिंदु को देखते हैं (देखिए अंजीर. 9.3)। अंजीर. 9.3 अब, आप पहचान सकते हैं कि अंजीर. 8.3 में दिखाई गई रेखाएँ दृष्टि रेखाएँ हैं और जो कोण बन रहे हैं, वे ऊंचाई कोण हैं या अवसाद कोण? आइए हम अंजीर. 9.1 को फिर से देखें। यदि आप मीनार की ऊँचाई CD को वास्तव में मापे बिना ज्ञात करना चाहते हैं, तो आपको क्या जानकारी चाहिए? आपको निम्नलिखित बातें जाननी होंगी: (i) छात्र के खड़े होने की दूरी DE मीनार के पाद से (ii) ऊंचाई कोण ∠BAC, मीनार के शिखर पर

(iii) यह ऊँचाई AE इस छात्र की है। मानते हुए कि उपरोक्त तीन शर्तें हैं, हम कैसे निर्धारित कर सकते हैं इस मीनार की ऊँचाई? इस चित्र में, CD = CB + BD। यहाँ, BD = AE, जो इस छात्र की ऊँचाई है। BC ज्ञात करने के लिए, हम ∠BAC या ∠A के त्रिकोणमितीय अनुपातों का उपयोग करेंगे। △ABC में, भुजा BC, ∠A के संदर्भ में विपरीत भुजा है। अब, हम किस त्रिकोणमितीय अनुपात का उपयोग कर सकते हैं? इनमें से कौन-सा अनुपात हमारे पास उपलब्ध मानों से हमें आवश्यक मान निर्धारित करने में मदद करेगा? हमारी खोज संकीर्ण हो जाती है—हम tan A या cot A का उपयोग करेंगे, क्योंकि ये अनुपात AB और BC को शामिल करते हैं। इसलिए, tan A = BC/AB या cot A = AB/BC, जिन्हें हल करने पर हमें BC मिलेगा।

$\mathrm{AE}$ को $\mathrm{BC}$ से जोड़ने पर आपको मीनार की ऊँचाई प्राप्त होगी। अब आइए समझते हैं यह प्रक्रिया, जिसकी हमने अभी चर्चा की है, कुछ समस्याओं को हल करके।

उदाहरण 1: एक मीनार भूमि पर लंबवत खड़ी है। भूमि पर एक बिंदु, जो मीनार के पैर से 15 मीटर दूर है, से मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण $60^{\circ}$ है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

अंजीर. 9.4

हल: पहले आइए इस समस्या का प्रतिनिधित्व करने के लिए एक सरल आरेख बनाते हैं (अंजीर. 9.4 देखें)। यहाँ AB मीनार को प्रतिनिधित्व करता है, $\mathrm{CB}$ बिंदु से मीनार की दूरी है और $\angle \mathrm{ACB}$ उन्नयन कोण है। हमें मीनार की ऊँचाई, अर्थात् AB, निर्धारित करनी है। साथ ही, ACB एक त्रिभुज है, जो B पर समकोणीय है।

इस समस्या को हल करने के लिए, हम त्रिकोणमितीय अनुपात $\tan 60^{\circ}$ (या $\cot 60^{\circ}$) चुनते हैं, क्योंकि यह अनुपात $\mathrm{AB}$ और $\mathrm{BC}$ को शामिल करता है। $\begin{array}{rlrl} & \text { अब, } & \tan 60^{\circ} & =\dfrac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}} \ & \text { अर्थात्, } & \sqrt{3} & =\dfrac{\mathrm{AB}}{15} \ \text { अर्थात्, } & & \mathrm{AB} & =15 \sqrt{3}\end{array}$ इसलिए, मीनार की ऊँचाई $15 \sqrt{3} \mathrm{~m}$ है।

उदाहरण 2: एक बिजली मिस्त्री को एक विद्युत खंभे के शीर्ष पर स्थित दोष की मरम्मत करनी है। खंभे की ऊँचाई 5 m है और उसे बिंदु B पर पहुँचना है जो शीर्ष से 1.3 m नीचे है (देखिए अंजीर. 9.5)। सीढ़ी की क्या लंबाई होनी चाहिए जिसे वह उपयोग करे, जब यह क्षैतिज से 60° के कोण पर झुकी हो, ताकि वह आवश्यक स्थिति तक पहुँच सके? साथ ही, खंभे के पैर से सीढ़ी के पैर की दूरी कितनी होनी चाहिए? (आप (\sqrt{3}=1.73) ले सकते हैं)।

हल: अंजीर. 9.5 में, बिजली मिस्त्री को खंभे AD के बिंदु B पर पहुँचना है। $$\text{इसलिए, } \mathrm{BD} = \mathrm{AD} - \mathrm{AB} = (5 - 1.3) \mathrm{m} = 3.7 \mathrm{~m}.$$

यहाँ, $\mathrm{BC}$ एक सीढ़ी को दर्शाता है। हमें इसकी लंबाई ज्ञात करनी है, अर्थात्, यह समकोण त्रिभुज BDC का कर्ण है। अब, क्या आप सोच सकते हैं कि हमें किस त्रिकोणमितीय अनुपात पर विचार करना चाहिए? यह $\sin 60^{\circ}$ होना चाहिए। इसलिए, $\dfrac{\mathrm{BD}}{\mathrm{BC}}=\sin 60^{\circ} \text{ या } \dfrac{3.7}{\mathrm{BC}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ इसलिए, $$\mathrm{BC} = \dfrac{3.7 \times 2}{\sqrt{3}} = 4.28 \mathrm{~m} \text{ (लगभग)}$$ अर्थात्, सीढ़ी की लंबाई $4.28 \mathrm{~m}$ होनी चाहिए। अब, $$\dfrac{\mathrm{DC}}{\mathrm{BD}} = \cot 60^{\circ} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$$ अर्थात्, $$\mathrm{DC} = \dfrac{3.7}{\sqrt{3}} = 2.14 \mathrm{~m} \text{ (लगभग)}$$ इसलिए, सीढ़ी का पैर खंभे से $2.14 \mathrm{~m}$ की दूरी पर होना चाहिए। उदाहरण 3: एक प्रेक्षक जिसकी ऊँचाई $1.5 \mathrm{~m}$ है, एक चिमनी से $28.5 \mathrm{~m}$ दूर है। उसकी आँखों से चिमनी के शीर्ष का उन्नयन कोण $45^{\circ}$ है। चिमनी की ऊँचाई क्या है?

हल: यहाँ AB चिमनी है, CD प्रेक्षक है और ∠ADE ऊँचाई का कोण है (देखिए अंजीर 9.6)। इस स्थिति में ADE एक त्रिभुज है, जो E पर समकोण है और हमें चिमनी की ऊँचाई ज्ञात करनी है। अंजीर 9.6 हम जानते हैं कि AE = AB - BE = AB - 1.5 और DE = CB = 28.5 m। AE ज्ञात करने के लिए, हम एक त्रिकोणमितीय अनुपात चुनते हैं जिसमें AE और DE दोनों शामिल हैं। आइए ऊँचाई के कोण का स्पर्शिका चुनें। अब, $$\begin{aligned} \tan 45^{\circ} &= \dfrac{AE}{DE} \ \text{i.e., } 1 &= \dfrac{AE}{28.5} \end{aligned}$$ इसलिए, AE = 28.5। अतः चिमनी की ऊँचाई (AB) = (28.5 + 1.5) m = 30 m।

उदाहरण 4: बिंदु P से एक भवन का शिखर जिसकी ऊँचाई 10 m है, का उन्नयन कोण 30° है। इस भवन के शिखर पर एक ध्वजस्तंभ लगा है और ध्वजस्तंभ के शिखर का बिंदु P से उन्नयन कोण 45° है। ध्वजस्तंभ की लंबाई और भवन से बिंदु P की दूरी ज्ञात कीजिए। (आप $\sqrt{3}=1.732$ ले सकते हैं)

हल: आकृति 9.7 में, AB भवन की ऊँचाई को, BD ध्वजस्तंभ को और P दिया गया बिंदु को दर्शाता है। ध्यान दें कि दो समकोण त्रिभुज PAB और PAD हैं। हमें ध्वजस्तंभ की लंबाई, अर्थात् DB और भवन से बिंदु P की दूरी, अर्थात् PA खोजनी है।

चूँकि हम भवन AB की ऊँचाई जानते हैं, हम पहले समकोण त्रिभुज PAB पर विचार करेंगे।

हमारे पास है [ \tan 30^\circ = \dfrac{10}{\mathrm{AP}} ] अर्थात्, [ \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{10}{\mathrm{AP}} ] इसलिए, [ \mathrm{AP} = 10\sqrt{3} ] अर्थात्, यह दूरी इमारत से बिंदु (P) तक (10\sqrt{3}\ \mathrm{m} = 17.32\ \mathrm{m}) है। अगले, मान लीजिए (\mathrm{DB}=x\ \mathrm{m})। तब (\mathrm{AD}=(10+x)\ \mathrm{m})। अब, समकोण त्रिभुज (\Delta\mathrm{PAD}) में, [ \tan 45^\circ = \dfrac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AP}} = \dfrac{10+x}{10\sqrt{3}} ] इसलिए, [ 1 = \dfrac{10+x}{10\sqrt{3}} ] अर्थात्, [ x = 10(\sqrt{3}-1) = 7.32 ] इसलिए, ध्वजस्तंभ की लंबाई (7.32\ \mathrm{m}) है।

उदाहरण 5: एक मीनार की छाया, जो समतल भूमि पर खड़ी है, सूर्य की ऊँचाई (30^\circ) से (60^\circ) होने पर क्रमशः (40\ \mathrm{m}) से घटकर मिलती है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल: अंजीर 9.8 में, यह मीनार है और BC इसकी छाया की लंबाई है जब सूर्य की ऊँचाई 60° है, अर्थात् मीनार के शीर्ष से छाया का उन्नयन कोण 60° है। DB छाया की लंबाई है जब उन्नयन कोण 30° है।

अंजीर 9.8

अब, मान लीजिए AB की ऊँचाई h मीटर है और BC की लंबाई x मीटर है। प्रश्न के अनुसार, DB, BC से 40 मीटर अधिक लंबा है। इसलिए,

[\mathrm{DB} = (40 + x)\ \mathrm{m}]

अब, हमारे पास दो समकोण त्रिभुज ABC और ABD हैं।

$$\begin{array}{rlrl} \text{में } \Delta \mathrm{ABC} & \tan 60^{\circ} & = \dfrac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}} \ \text{या } & \sqrt{3} & = \dfrac{h}{x} \ \text{में } \Delta \mathrm{ABD} & \tan 30^{\circ} & = \dfrac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BD}} \ \text{i.e., } & \dfrac{1}{\sqrt{3}} & = \dfrac{h}{x+40} \end{array}$$

समीकरण (1) से, हमें प्राप्त होता है $$ h = x \sqrt{3} $$ यह मान समीकरण (2) में रखने पर, हमें मिलता है $(x \sqrt{3}) \sqrt{3}=x+40$, i.e., $3 x=x+40$ $$\begin{aligned} \text{अर्थात् } \quad \quad & x = 20 \ \text{इसलिए } \quad \quad & h = 20 \sqrt{3} \tag{[समीकरण (1) से]} \end{aligned}$$

इसलिए, मीनार की ऊँचाई $20 \sqrt{3} \mathrm{~m}$ है।

उदाहरण 6: एक बहुमंज़िला इमारत के शीर्ष और निचले हिस्से से $8 \mathrm{~m}$ लंबी इमारत के शीर्ष के अवसाद कोण क्रमशः $30^{\circ}$ और $45^{\circ}$ हैं। बहुमंज़िला इमारत की ऊँचाई और दोनों इमारतों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

हल: अंजीर 9.9 में, PC एक बहुमंज़िला इमारत को दर्शाता है और AB एक 8 मीटर लंबी इमारत को दर्शाता है। हम इस बहुमंज़िला इमारत की ऊँचाई (PC) और दोनों इमारतों के बीच की दूरी (AC) ज्ञात करना चाहते हैं, अर्थात् वायु-नियंत्रण। इस आकृति को ध्यान से देखें। निरीक्षण कीजिए कि PB एक रेखा है जो समांतर रेखाओं PQ और BD के अनुप्रस्थ है। इसलिए, ∠QPB और ∠PBD एकांतर कोण हैं, और इसलिए बराबर हैं। इसलिए ∠PBD = 30°। इसी प्रकार, ∠PAC = 45°। दाएँ त्रिभुज PBD में, हमें मिलता है:

$$\dfrac{PD}{BD} = \tan 30° = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \text{ या } BD = PD\sqrt{3}$$

दाएं $\Delta \mathrm{PAC}$ में, हमें है $\dfrac{\mathrm{PC}}{\mathrm{AC}}=\tan 45^{\circ}=1$ अर्थात् $\mathrm{PC}=\mathrm{AC}$।
साथ ही, $\mathrm{PC}=\mathrm{PD}+\mathrm{DC}$, इसलिए $\mathrm{PD}+\mathrm{DC}=\mathrm{AC}$।
चूँकि $\mathrm{AC}=\mathrm{BD}$ और $\mathrm{DC}=\mathrm{AB}=8 \mathrm{~m}$, हम प्राप्त करते हैं
$\mathrm{PD}+8=\mathrm{BD}=\mathrm{PD}\sqrt{3}$ (क्यों?)
इससे मिलता है
$\mathrm{PD}=\dfrac{8}{\sqrt{3}-1}=\dfrac{8(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=4(\sqrt{3}+1) \mathrm{m}$।

इसलिए इस बहुमंज़िला इमारत की ऊँचाई है
${4(\sqrt{3}+1)+8} \mathrm{m}=4(3+\sqrt{3}) \mathrm{m}$
और दोनों इमारतों के बीच की दूरी भी $4(3+\sqrt{3}) \mathrm{m}$ है।

उदाहरण 7: एक नदी पर एक बिंदु A से पुल के एक किनारे पर नदी की विपरीत दिशा में बैंक पर बनाए गए कोण $30^{\circ}$ और $45^{\circ}$ हैं, क्रमशः। यदि पुल की ऊँचाई A से $3 \mathrm{~m}$ है, तो नदी की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।

हल: अंजीर 9.10 में, A और B बिंदु इस नदी के विपरीत किनारों को दर्शाते हैं, इसलिए AB इस नदी की चौड़ाई है। P बिंदु पुल पर एक ऐसा बिंदु है जिसकी ऊँचाई 3 m है, अर्थात् DP = 3 m। हम इस नदी की चौड़ाई ज्ञात करना चाहते हैं, जो DAPB के भुजा AB की लंबाई है। अंजीर 9.10

अब, $$ AB = AD + DB $$

समकोण त्रिभुज APD में, ∠A = 30°। इसलिए, $$ \tan 30° = \frac{PD}{AD} $$ अर्थात् $$ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3}{AD} $$ या $$ AD = 3\sqrt{3} , \text{m} $$

इसी प्रकार, समकोण त्रिभुज PBD में, ∠B = 45°। इसलिए, $$ BD = PD = 3 , \text{m} $$

अब, $\mathrm{AB} = \mathrm{BD} + \mathrm{AD} = 3 + 3\sqrt{3} = 3(1 + \sqrt{3}) \mathrm{m}$। इसलिए, इस नदी की चौड़ाई $3(\sqrt{3}+1) \mathrm{m}$ है। [[Sc_marker_0]] ### 9.2 सारांश इस अध्याय में आपने निम्नलिखित बिंदुओं का अध्ययन किया है: 1. (i) रेखा दृष्टि वह रेखा है जो वस्तु की स्थिति को प्रेक्षक की आँख से मिलाती है। (ii) किसी वस्तु का उन्नयन कोण वह कोण है जो रेखा दृष्टि और क्षैतिज रेखा के बीच बनता है जब वस्तु क्षैतिज स्तर से ऊपर होती है, अर्थात् जब हम अपना सिर ऊपर उठाकर वस्तु को देखते हैं। (iii) किसी वस्तु का अवनमन कोण वह कोण है जो रेखा दृष्टि और क्षैतिज रेखा के बीच बनता है जब वस्तु क्षैतिज स्तर से नीचे होती है, अर्थात् जब हम अपना सिर नीचे झुकाकर वस्तु को देखते हैं। 2. किसी वस्तु की ऊँचाई या लंबाई या दो दूरस्थ वस्तुओं के बीच की दूरी को त्रिकोणमितीय अनुपातों की सहायता से निर्धारित किया जा सकता है।