# # 10.1 परिचय

आपने कक्षा नौ में अध्ययन किया था कि वृत्त समतल के उन सभी बिंदुओं का समूह होता है जो किसी एक स्थिर बिंदु (केंद्र) से एक स्थिर दूरी (त्रिज्या) पर होते हैं। आपने वृत्त से संबंधित विभिन्न पदों जैसे जीवा, खंड, क्षेत्र, चाप आदि का भी अध्ययन किया है।

आइए अब हम उन विभिन्न परिस्थितियों की जांच करें जो उत्पन्न हो सकती हैं जब एक समतल में एक वृत्त और एक रेखा दी गई हो। इसलिए, आइए हम एक वृत्त और एक रेखा PQ पर विचार करें। चित्र 10.1 में दिखाए अनुसार तीन संभावनाएँ हो सकती हैं:

चित्र 10.1

अंजीर 10.1(i) में, यह रेखा PQ और यह वृत्त कोई सामान्य बिंदु नहीं रखते। इस केस में, PQ को एक गैर-प्रतिच्छेद करने वाली रेखा कहा जाता है इस वृत्त के साथ। अंजीर 10.1(ii) में, वहाँ दो सामान्य बिंदु A और B हैं जो इस रेखा PQ और इस वृत्त के हैं। इस केस में, हम इस रेखा PQ को इस वृत्त का सकण्ट कहते हैं। अंजीर 10.1(iii) में, वहाँ केवल एक बिंदु A है जो इस रेखा PQ और इस वृत्त का सामान्य है। इस केस में, यह रेखा इस वृत्त की स्पर्शिका कहलाती है। तुमने देखा होगा एक चरखी को एक कुएँ पर फिट किया गया जो पानी निकालने के लिए उपयोग की जाती है। अंजीर 10.2 को देखो। यहाँ यह रस्सी इस चरखी के दोनों भुजाओं पर, यदि इसे एक किरण के रूप में विचार किया जाए, तो इस चरखी के द्वारा प्रतिनिधित्व किए जा रहे वृत्त की एक स्पर्शिका की तरह है।

क्या वहाँ कोई स्थिति है जब यह रेखा इस वृत्त को दूसरों की तरह ऊपर से स्पर्श करती है? क्या तुम देख सकते हो कि वहाँ कोई अन्य प्रकार की स्थिति नहीं है जब यह रेखा इस वृत्त को स्पर्श करती है? इस अध्याय में हम वृत्त की स्पर्शरेखाओं के अस्तित्व के बारे में अध्ययन करेंगे और उनके कुछ गुणधर्मों का भी अध्ययन करेंगे।

10.2 वृत्त की स्पर्शिका

पिछले खंड में तुमने देखा है कि वृत्त की स्पर्शिका एक ऐसी रेखा है जो वृत्त को केवल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है। वृत्त पर एक बिंदु पर स्पर्शिका के अस्तित्व को समझने के लिए, आइए हम निम्नलिखित गतिविधियाँ करें:

गतिविधि 1: एक वृत्ताकार तार लें और इसे सीधे तार $AB$ पर बिंदु $P$ से इस प्रकार संलग्न करें कि यह बिंदु $P$ के चारों ओर घूम सके। इस व्यवस्था को मेज़ पर रखें और धीरे-धीरे तार $AB$ को बिंदु $\mathrm{P}$ के चारों ओर घुमाकर विभिन्न स्थितियाँ प्राप्त करें [देखें आकृति 10.3(i)]।

विभिन्न स्थितियों में, यह तार वृत्त को प्रतिच्छेद करता है। यह वृत्ताकार तार पर बिंदु P और एक अन्य बिंदु Q₁ या Q₂ या Q₃, आदि पर। एक स्थिति में, आप देखेंगे कि यह वृत्त पर केवल बिंदु P को प्रतिच्छेद करता है (स्थिति A’B’ का AB देखें)। यह दिखाता है कि बिंदु P पर वृत्त की एक स्पर्शिका अस्तित्व में है। आगे घूर्णन करने पर, आप देख सकते हैं कि सभी अन्य स्थितियों में AB वृत्त को P और एक अन्य बिंदु, कहें R₁ या R₂ या R₃, आदि पर प्रतिच्छेद करेगा। इसलिए, आप देख सकते हैं कि वृत्त के किसी बिंदु पर केवल एक ही स्पर्शिका होती है।

जब यह गतिविधि की जाती है, तो आपने देखा होगा कि जैसे-जैसे रेखा AB स्थिति A’B’ की ओर बढ़ती है, इसका सामान्य बिंदु Q₁ रेखा AB और वृत्त दोनों के निकटतर और निकटतर आता जाता है। अंततः यह बिंदु P के साथ संपाती हो जाता है, जब रेखा स्थिति A’‘B’’ में पहुँचती है। फिर से ध्यान दें, क्या होता है यदि AB को बिंदु P के चारों ओर दाहिनी ओर घुमाया जाता है? सामान्य बिंदु R₃ धीरे-धीरे बिंदु P के निकट आता जाता है और अंततः P के साथ संपाती हो जाता है। इसलिए हम देखते हैं: वृत्त की स्पर्शिका उसकी सकण्ट का एक विशेष case है, जब दोनों समाप्त बिंदुओं से जुड़ी जीवा उसी बिंदु पर संपाती होती है।

गतिविधि 2: कागज पर एक वृत्त और एक सकण्ट PQ बनाएं। इस वृत्त पर विभिन्न समांतर रेखाएँ खींचें जो इस सकण्ट की दोनों भुजाओं को काटती हैं। तुम पाओगे कि कुछ चरणों के बाद, इन रेखाओं द्वारा काटी गई जीवा की लंबाई धीरे-धीरे कम होती जाती है, अर्थात् इन रेखाओं और वृत्त के दो बिंदुओं के प्रतिच्छेदन निकटतर और निकटतर आते जाते हैं [देखिए आकृति 10.3(i)]। एक स्थिति में, सकण्ट का एक भाग शून्य हो जाता है और दूसरी स्थिति में, सकण्ट का दूसरा भाग शून्य हो जाता है। इन स्थितियों को P’Q’ और P’‘Q’’ में आकृति 10.3(i) में देखिए। ये वृत्त की स्पर्शरेखाएँ हैं जो दिए गए सकण्ट PQ के समांतर हैं। यह भी देखने में मदद करता है कि एक दिए गए सकण्ट के समांतर दो से अधिक स्पर्शरेखाएँ नहीं हो सकती हैं।

अंजीर . 10 . 3 ( इि ) यह गतिविधि यह भी स्थापित करती है कि तुमने क्या देखा है, जबकि गतिविधि 1 करते समय, अर्थात्, एक स्पर्शिका है जो स्पर्श करती है जब दोनों समाप्त बिंदुओं का संगत जीवा संयोग होता है। इस सामान्य बिंदु को स्पर्शिका और वृत्त का संपर्क बिंदु कहा जाता है [यह बिंदु A में अंजीर . 10 . 1 ( iii )] और यह स्पर्शिका वृत्त को इस सामान्य बिंदु पर छूती है।

अब चारों ओर देखो। क्या तुमने कभी किसी साइकिल या गाड़ी को गति करते देखा है? इसके पहिए को ध्यान से देखो। यह सभी स्पोक्स वाला पहिया है और इसकी त्रिज्याएँ हैं। अब ध्यान दो कि जब यह पहिया भूमि पर गति करता है तो इसकी स्थिति कैसी होती है। क्या तुम्हें कहीं कोई स्पर्शिका दिखाई दे रही है? (देखो चित्र 10.4)। वास्तव में, यह पहिया एक ऐसी रेखा पर चलता है जो इस वृत्त की स्पर्शिका है जिसे यह पहिया प्रतिनिधित्व करता है। साथ ही, ध्यान दो कि सभी स्थितियों में, भूमि से संपर्क बिंदु पर यह त्रिज्या स्पर्शिका पर लंबवत् होती है (देखो चित्र 10.4)। अब हम इस स्पर्शिका के इस गुण को सिद्ध करेंगे। चित्र 10.4 प्रमेय 10.1: किसी वृत्त की स्पर्शिका पर बिंदु से जाने वाली त्रिज्या, स्पर्शिका पर लंबवत् होती है।

प्रमाण: हमें एक वृत्त दिया गया है जिसका केंद्र O है और एक स्पर्शिका XY जो वृत्त को बिंदु P पर स्पर्श करती है। हमें सिद्ध करना है कि OP, XY पर लंबवत् है। XY पर P के अतिरिक्त एक बिंदु Q लीजिए और OQ को मिलाइए (देखिए आकृति 10.5)। यह बिंदु Q वृत्त के बाहर होना चाहिए। (क्यों? ध्यान दीजिए कि यदि Q वृत्त के अंदर होता, तो XY वृत्त की स्पर्शिका न होकर एक जीवा होती)। इसलिए, OQ वृत्त की त्रिज्या OP से लंबी है। अर्थात्, $$\mathrm{OQ} > \mathrm{OP}$$ चूँकि यह प्रत्येक बिंदु के लिए सत्य है जो रेखा XY पर बिंदु P के अतिरिक्त है, OP वह न्यूनतम दूरी है जो बिंदु O से रेखा XY के किसी बिंदु तक है। इसलिए OP, XY पर लंबवत् है। (जैसा कि प्रमेय A1.7 में दिखाया गया है)।

अंजीर . 10 . 5 * * टिप्पणियाँ * * * * 1 . * * उपरोक्त प्रमेय के आधार पर हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि वृत्त के किसी बिंदु पर एक और केवल एक स्पर्शरेखा होती है। * * 2 . * * यह रेखा जो इस बिंदु से होकर जाती है और इस बिंदु पर वृत्त की त्रिज्या के संपर्क में है, इसे कभी-कभी वृत्त के इस बिंदु पर ‘सामान्य’ भी कहा जाता है। [ [ Sc_marker_0 ] ] # # # 10 . 3 वृत्त के किसी बिंदु से स्पर्शरेखाओं की संख्या का अनुमान लगाने के लिए आइए निम्नलिखित गतिविधि करें: > * * गतिविधि 3 * * : कागज पर एक वृत्त बनाएं। इसके अंदर एक बिंदु $P$ लीजिए। क्या आप इस बिंदु से होकर जाने वाली वृत्त की कोई स्पर्शरेखा खींच सकते हैं? आप पाएंगे कि इस बिंदु से होकर जाने वाली सभी रेखाएं वृत्त को दो बिंदुओं पर काटती हैं। इसलिए, वृत्त के अंदर स्थित किसी बिंदु से वृत्त की कोई स्पर्शरेखा खींचना संभव नहीं है [देखिए अंजीर . 10 . 6 (i)]।

अगला, बिंदु $\mathrm{P}$ पर वृत्त के अंदर लें और इस बिंदु से वृत्त पर स्पर्शरेखाएँ खींचने की कोशिश करें। आपने पहले ही देखा है कि ऐसे बिंदु से वृत्त पर केवल एक स्पर्शरेखा खींची जा सकती है [देखिए अंजीर. 10.6 (ii)]। Finally, बिंदु $P$ वृत्त के बाहर लें और इस बिंदु से वृत्त पर स्पर्शरेखाएँ खींचने की कोशिश करें। आप क्या देखते हैं? आप पाएँगे कि आप इस बिंदु से वृत्त पर बिल्कुल दो स्पर्शरेखाएँ खींच सकते हैं [देखिए अंजीर. 10.6 (iii)]। अंजीर. 10.6 हम इन तथ्यों को निम्नलिखित रूप में संक्षेपित कर सकते हैं: Case 1: वृत्त के अंदर स्थित किसी बिंदु से वृत्त पर कोई स्पर्शरेखा नहीं खींची जा सकती। Case 2: वृत्त पर स्थित किसी बिंदु से वृत्त पर एक और केवल एक स्पर्शरेखा खींची जा सकती है। Case 3: वृत्त के बाहर स्थित किसी बिंदु से वृत्त पर बिल्कुल दो स्पर्शरेखाएँ खींची जा सकती हैं।

अंजीर 10.6 (iii) में, (\mathrm{T_1}) और (\mathrm{T_2}) वे बिंदु हैं जहाँ स्पर्शरेखाएँ (\mathrm{PT_1}) और (\mathrm{PT_2}) वृत्त को क्रमशः स्पर्श करती हैं। बाहरी बिंदु (\mathrm{P}) से वृत्त पर खींची गई स्पर्शरेखा की लंबाई को स्पर्श-रेखा की लंबाई कहा जाता है।

ध्यान दें कि अंजीर 10.6 (iii) में, (\mathrm{PT_1}) और (\mathrm{PT_2}) वृत्त पर (\mathrm{P}) से खींची गई स्पर्शरेखाओं की लंबाइयाँ हैं। क्या ये लंबाइयाँ (\mathrm{PT_1}) और (\mathrm{PT_2}) समान हैं? मापकर देखें। क्या ये बराबर हैं? वास्तव में, यह हमेशा सत्य है। आइए इस तथ्य का प्रमाण दें जो निम्नलिखित प्रमेय में दिया गया है।

प्रमेय 10.2: एक वृत्त पर बाहरी बिंदु से खींची गई स्पर्शरेखाओं की लंबाइयाँ बराबर होती हैं।

प्रमाण: हमें एक वृत्त दिया गया है जिसका केंद्र O है, एक बिंदु P जो इस वृत्त के बाहर स्थित है, और दो स्पर्शरेखाएँ PQ तथा PR जो बिंदु P से वृत्त पर स्पर्श करती हैं (देखिए चित्र 10.7)। हमें सिद्ध करना है कि PQ = PR।

चित्र 10.7

इसके लिए, हम OP, OQ और OR को मिलाते हैं। फिर ∠OQP और ∠ORP समकोण हैं, क्योंकि ये त्रिज्याओं और स्पर्शरेखाओं के बीच के कोण हैं, और प्रमेय 10.1 के अनुसार ये समकोण होते हैं।

अब समकोण त्रिभुजों OQP और ORP में,

OQ = OR (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)

OP = OP (उभयनिष्ठ)

इसलिए, ΔOQP ≅ ΔORP (RHS)

यह देता है $P Q=P R\quad \quad \quad \quad \text{(CPCT)}$ * * टिप्पणियाँ * * * * 1 . * * यह प्रमेय सकना भी होना सिद्ध किया गया द्वारा उपयोग करना यह पाइथागोरस प्रमेय जैसा का अनुसरण करता है : $ \ \mathrm { पीक्यू } ^ { 2 } = \ \mathrm { ओप } ^ { 2 } - \ \mathrm { Oq } ^ { 2 } = \ \mathrm { ओप } ^ { 2 } - \ \mathrm { या } ^ { 2 } = \ \mathrm { प्र } ^ { 2 } ( \ \mathrm { जैसा } \ \mathrm { Oq } = \ \mathrm { या } ) $ जो देता है $P Q=P R$ . * * 2 . * * नोट भी वह $\angle \mathrm{OPQ}=\angle \mathrm{OPR}$ . इसलिए , $\mathrm{OP}$ है यह कोण कोण समद्विभाजक का $\angle \mathrm{QPR}$ , i . e . , यह केंद्र झूठ पर यह कोण समद्विभाजक का यह कोण के बीच यह दो स्पर्शरेखाएँ . Let हमें लेना कुछ उदाहरण . * * उदाहरण 1 * * : सिद्ध करना वह में दो संकेंद्रित वृत्त , यह जीवा का यह बड़ा वृत्त , जो छूता है यह छोटा वृत्त , है द्विभाजित पर यह बिंदु का संपर्क .

हल: हमें दो संकेंद्रित वृत्त (\mathrm{C_1}) और (\mathrm{C_2}) दिए गए हैं, जिनका केंद्र (\mathrm{O}) है और एक जीवा (\mathrm{AB}) बड़े वृत्त (\mathrm{C_1}) की है, जो छोटे वृत्त (\mathrm{C_2}) को बिंदु (\mathrm{P}) पर स्पर्श करती है (देखिए आकृति 10.8)। हमें सिद्ध करना है कि (\mathrm{AP}=\mathrm{BP})।

आकृति 10.8

मान लीजिए हम (\mathrm{OP}) को मिलाते हैं। तब (\mathrm{AB}), (\mathrm{C_2}) पर (\mathrm{P}) से स्पर्श रेखा है और (\mathrm{OP}) इसकी त्रिज्या है। इसलिए प्रमेय 10.1 के अनुसार,

[\mathrm{OP} \perp \mathrm{AB}]

अब (\mathrm{AB}), वृत्त (\mathrm{C_1}) की एक जीवा है और (\mathrm{OP} \perp \mathrm{AB})। इसलिए (\mathrm{OP}), जीवा (\mathrm{AB}) का समद्विभाजक है, क्योंकि केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को दो बराबर भागों में बांटता है, अर्थात्

[\mathrm{AP} = \mathrm{BP}]

उदाहरण 2: दो स्पर्शरेखाएँ TP और TQ एक वृत्त पर केंद्र O से एक बाहरी बिंदु T से आकर्षित की गई हैं। सिद्ध करना है कि ∠PTQ = 2∠OPQ।

हल: हमें दिया गया है एक वृत्त जिसका केंद्र O है, एक बाहरी बिंदु T और दो स्पर्शरेखाएँ TP और TQ जो इस वृत्त पर खींची गई हैं, जहाँ P और Q स्पर्श बिंदु हैं (देखिए आकृति 10.9)। हमें सिद्ध करना है कि

आकृति 10.9

∠PTQ = 2∠OPQ

मान लीजिए: ∠PTQ = θ

अब, प्रमेय 10.2 के अनुसार, TP = TQ। इसलिए, TPQ एक समद्विबाहु त्रिभुज है। इसलिए,

∠TPQ = ∠TQP = ½(180° - θ) = 90° - ½θ

भी, प्रमेय 10.1 से, $$ \angle \mathrm{OPQ} = 90^{\circ} $$ इसलिए, $$ \begin{aligned} \angle \mathrm{OPQ} &= \angle \mathrm{OPQ} - \angle \mathrm{TPQ} \ &= 90^{\circ} - \left(90^{\circ} - \dfrac{1}{2}\theta\right) \ &= \dfrac{1}{2}\theta = \dfrac{1}{2}\angle \mathrm{PTQ} \end{aligned} $$ यह देता है $$ \angle \mathrm{PTQ} = 2\angle \mathrm{OPQ} $$

उदाहरण 3: PQ एक जीवा है जिसकी लंबाई $8 \mathrm{~cm}$ है और एक वृत्त की त्रिज्या $5 \mathrm{~cm}$ है। यह स्पर्शरेखाएँ P और Q पर बिंदु T पर प्रतिच्छेद करती हैं (देखिए चित्र 10.10)। ज्ञात कीजिए TP की लंबाई।

हल: मिलाइए OT। माना यह PQ को बिंदु R पर प्रतिच्छेद करती है। फिर $\triangle$ TPQ समद्विबाहु है और OT कोण $\angle$ PTQ का समद्विभाजक है। इसलिए, $\mathrm{OT} \perp \mathrm{PQ}$ और इस प्रकार OT, PQ को द्विभाजित करती है जिससे $\mathrm{PR} = \mathrm{RQ} = 4 \mathrm{~cm}$ मिलता है।

अंजीर . 10 . 10 भी , $\mathrm{OR}=\sqrt{\mathrm{OP}^{2}-\mathrm{PR}^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}} \mathrm{~cm}=3 \mathrm{~cm}$। अब , $\angle \mathrm{TPR}+\angle \mathrm{RPO}=90^{\circ}=\angle \mathrm{TPR}+\angle \mathrm{PTR}$ (क्यों?) इसलिए , $\angle \mathrm{RPO}=\angle \mathrm{PTR}$। इसलिए , दाएं त्रिभुज टीआरपी और पीओआर समान हैं , यह दाएं त्रिभुज समानता से सिद्ध होता है। यह देता है $\dfrac{\mathrm{Tp}}{\mathrm{PO}}=\dfrac{\mathrm{Rp}}{\mathrm{RO}}$ , i.e. , $\dfrac{\mathrm{Tp}}{5}=\dfrac{4}{3}$ या $\mathrm{Tp}=\dfrac{20}{3} \mathrm{~cm}$। नोट : Tp को पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके भी निकाला जा सकता है , जैसा कि नीचे दिया गया है : Let : $$\begin{array}{rl} \mathrm{Tp} & =x \text{ और } \mathrm{Tr}=y . \end{array}$$

$$\begin{array}{rlrl} x^{2} & = y^{2} + 16 & & \text{(चतुर्भुज } \Delta \text{ प्रिंटर)} \tag{1} \end{array}$$ $$\begin{array}{rlrl} x^{2} + 5^{2} & = (y + 3)^{2} & & \text{(चतुर्भुज } \Delta \text{ चुनें)} \tag{2} \end{array}$$ समीकरण (1) को (2) से घटाने पर, हम प्राप्त करते हैं: $$\begin{align} 25 & = 6y - 7 \ \text{इसलिए, } y & = \dfrac{32}{6} = \dfrac{16}{3} \[6pt] x^{2} & = \left(\dfrac{16}{3}\right)^{2} + 16 = \dfrac{16}{9}(16 + 9) = \dfrac{16 \times 25}{9} \[6pt] x & = \dfrac{20}{3} \end{align}$$ [[Sc_marker_1]] ### 10.4 सारांश इस अध्याय में, आपने निम्नलिखित बिंदुओं का अध्ययन किया है: 1. स्पर्शरेखा का अर्थ वृत्त से। 2. वृत्त की स्पर्शरेखा वृत्त की त्रिज्या के माध्यम से संपर्क बिंदु पर लंबवत् होती है। 3. वृत्त के बाहरी बिंदु से खींची गई दो स्पर्शरेखाओं की लंबाइयाँ बराबर होती हैं।