11.1 क्षेत्रफल का क्षेत्र और खंड का वृत्त

तुम पहले से ही जानते हो कि वृत्त के क्षेत्र और खंड क्या होते हैं। याद करो कि वृत्त का वह भाग (या भाग) जिसे दो त्रिज्याएँ और संगत चाप घेरते हैं, वृत्त का क्षेत्र कहलाता है। और वृत्त का वह भाग (या भाग) जिसे एक जीवा और संगत चाप घेरते हैं, वृत्त का खंड कहलाता है।

इस प्रकार, चित्र 11.1 में, छायांकित क्षेत्र OAPB वृत्त का एक क्षेत्र है जिसका केंद्र O है। ∠AOB को इस क्षेत्र का कोण कहा जाता है। ध्यान दो कि इस आकृति में, बिना छायांकित क्षेत्र OAQB भी वृत्त का एक क्षेत्र है। स्पष्टता के लिए, OAPB को लघु क्षेत्र और OAQB को प्रमुख क्षेत्र कहा जाता है। तुम यह भी देख सकते हो कि प्रमुख क्षेत्र का कोण 360° - ∠AOB होता है।

अंजीर . 11 . 1 अब, अंजीर . 11 . 2 में देखो। जो अ जीवा है, उसका केंद्र $\mathrm{O}$ है। इसलिए, छायांकित क्षेत्र Apb इस वृत्त का एक खंड है। तुम यह भी नोट कर सकते हो कि छायाहीन क्षेत्र $\mathrm{AQB}$ इस वृत्त का एक और खंड है, जो इस जीवा अ द्वारा बनाया गया है। स्पष्ट कारणों से, Apb को लघु खंड और Aqb को दीर्घ खंड कहा जाता है। अंजीर . 11 . 2 टिप्पणी: जब हम ‘खंड’ और ‘क्षेत्र’ लिखते हैं, तो हमारा मतलब ‘लघु खंड’ और ‘लघु क्षेत्र’ से होगा, जब तक अन्यथा न कहा गया हो।

अब इस ज्ञान के साथ, आइए कुछ संबंध (या सूत्र) खोजने की कोशिश करें जिनसे हम उनका क्षेत्रफल निकाल सकें। मान लीजिए OAPB एक वृत्ताकार क्षेत्र है जिसका केंद्र O है और त्रिज्या r (देखिए चित्र 11.3)। मान लीजिए ∠AOB का डिग्री माप θ है। चित्र 11.3 आप जानते हैं कि एक वृत्त (वास्तव में एक वृत्ताकार क्षेत्र या डिस्क) का क्षेत्रफल πr² होता है। एक तरह से, हम इस वृत्ताकार क्षेत्र को केंद्र O पर 360° के कोण से बने क्षेत्र के रूप में देख सकते हैं। अब इस एकात्मक विधि को लागू करके, हम इस क्षेत्र OAPB के क्षेत्रफल पर पहुँच सकते हैं जैसा कि निम्नलिखित है: जब केंद्र पर कोण का माप 360° होता है, तो क्षेत्र का क्षेत्रफल = πr²

इसलिए, जब केंद्र पर कोण 1° होता है, तो क्षेत्रफल = $\dfrac{\pi r^{2}}{360}$। इसलिए, जब केंद्र पर कोण $\theta$ होता है, तो क्षेत्रफल = $\dfrac{\pi r^{2}}{360} \times \theta = \dfrac{\theta}{360} \times \pi r^{2}$। इस प्रकार, हम निम्नलिखित संबंध (या सूत्र) प्राप्त करते हैं for area of a sector of a circle: क्षेत्रफल = $\dfrac{\theta}{360} \times \pi r^{2}$, जहाँ $r$ वृत्त की त्रिज्या है और $\theta$ क्षेत्र का कोण डिग्री में है। अब, एक स्वाभाविक प्रश्न उत्पन्न होता है: क्या हम चाप APB की लंबाई खोज सकते हैं जो इस क्षेत्र से संबंधित है? हाँ। फिर से, एकात्मक विधि लागू करके और पूरे वृत्त की लंबाई (जिसका कोण 360° है) को $2\pi r$ लेकर, हम चाप APB की आवश्यक लंबाई प्राप्त कर सकते हैं: $\dfrac{\theta}{360} \times 2\pi r$। इसलिए, कोण $\theta$ वाले वृत्त-क्षेत्र के चाप की लंबाई = $\dfrac{\theta}{360} \times 2\pi r$।

अंजीर. 11.4 अब हम इस स्थिति को लेते हैं। इस वृत्तखंड APB का केंद्र O है और त्रिज्या r है (देखिए अंजीर. 11.4)। आप देख सकते हैं कि: वृत्तखंड APB का क्षेत्रफल = क्षेत्र OAPB का क्षेत्रफल − त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल $$ = \frac{\theta}{360} \times \pi r^{2} - \text{क्षेत्रफल } \triangle \mathrm{OAB} $$

नोट: अंजीर. 11.3 और अंजीर. 11.4 से आप देख सकते हैं कि: बड़े वृत्तखंड OAQB का क्षेत्रफल = πr² − छोटे वृत्तखंड OAPB का क्षेत्रफल और बड़े वृत्तखंड AQB का क्षेत्रफल = πr² − छोटे वृत्तखंड APB का क्षेत्रफल।

अब हम कुछ उदाहरणों से इन संकल्पनाओं को समझते हैं।

उदाहरण 1: ज्ञात कीजिए इस वृत्तखंड का क्षेत्रफल जिसकी त्रिज्या 4 सेमी और कोण 30° है। साथ ही, ज्ञात कीजिए इसके संगत प्रमुख क्षेत्र का क्षेत्रफल (π=3.14 प्रयोग कीजिए)।

हल: दिया गया क्षेत्र OAPB है (देखिए चित्र 11.5)। चित्र 11.5

वृत्तखंड का क्षेत्रफल = (\dfrac{\theta}{360} \times \pi r^{2}) [\begin{aligned} &= \dfrac{30}{360} \times 3.14 \times 4 \times 4 \ \mathrm{cm}^{2} \ &= \dfrac{12.56}{3} \ \mathrm{cm}^{2} = 4.19 \ \mathrm{cm}^{2} \text{ (लगभग)}\end{aligned}]

संगत प्रमुख क्षेत्र का क्षेत्रफल [\begin{aligned} &= \pi r^{2} - \text{वृत्तखंड OAPB का क्षेत्रफल} \ &= (3.14 \times 16 - 4.19) \ \mathrm{cm}^{2} \ &= 46.05 \ \mathrm{cm}^{2} = 46.1 \ \mathrm{cm}^{2} \text{ (लगभग)}\end{aligned}]

वैकल्पिक रूप से, क्षेत्र का यह प्रमुख भाग $=\dfrac{(360-\theta)}{360} \times \pi r^{2}$

$$ \begin{aligned} &= \left( \dfrac{360 - 30}{360} \right) \times 3.14 \times 16 \ \mathrm{cm}^2 \ &= \dfrac{330}{360} \times 3.14 \times 16 \ \mathrm{cm}^2 = 46.05 \ \mathrm{cm}^2 \ &= 46.1 \ \mathrm{cm}^2 \text{ (लगभग)} \end{aligned} $$

उदाहरण 2: अंजीर 11.6 में दिखाए गए वृत्त खंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि वृत्त की त्रिज्या $21 \mathrm{~cm}$ है और $\angle \mathrm{AOB}=120^{\circ}$। (उपयोग कीजिए $\pi=\dfrac{22}{7}$)

अंजीर 11.6

हल: वृत्त खंड का क्षेत्रफल $$ = \text{क्षेत्र OAPB का क्षेत्रफल} - \text{त्रिभुज } \mathrm{OAB} \text{ का क्षेत्रफल} \tag{1} $$

$$\text{अब, क्षेत्रफल का यह भाग } \mathrm{OAB} = \dfrac{120}{360} \times \dfrac{22}{7} \times 21 \times 21~\mathrm{cm}^2 = 462~\mathrm{cm}^2 \tag{2}$$ $\triangle\mathrm{OAB}$ का यह क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, चित्र बनाएँ जिसमें $\mathrm{OM} \perp \mathrm{AB}$ जैसा कि आकृति 11.7 में दिखाया गया है। आकृति 11.7
ध्यान दें कि $\mathrm{OA} = \mathrm{OB}$। इसलिए दाहिने कोण-भुजा-कोण सर्वांगसमता से, $\triangle\mathrm{AMO} \cong \triangle\mathrm{BMO}$। इसलिए $\mathrm{M}$ बिंदु $\mathrm{AB}$ का मध्य-बिंदु है और $\angle\mathrm{AOM} = \angle\mathrm{BOM} = \dfrac{1}{2} \times 120^\circ = 60^\circ$।
मान लीजिए $\mathrm{OM} = x~\mathrm{cm}$।
$\triangle\mathrm{OMA}$ से, $$\dfrac{\mathrm{OM}}{\mathrm{OA}} = \cos 60^\circ$$
$$\dfrac{x}{21} = \dfrac{1}{2} \quad \left(\because \cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}\right)$$

$\text {अतः,}\qquad x=\dfrac{21}{2}$ $\text {इसलिए,}\qquad \mathrm{OM}=\dfrac{21}{2} \mathrm{~cm}$ $\text {साथ ही,}\qquad \dfrac{\mathrm{AM}}{\mathrm{OA}}=\sin 60^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ $\text {अतः,}\qquad \mathrm{AM}=\dfrac{21 \sqrt{3}}{2} \mathrm{~cm}$ $\text {अत:,}\qquad \mathrm{AB}=2 \mathrm{AM}=\dfrac{2 \times 21 \sqrt{3}}{2} \mathrm{~cm}=21 \sqrt{3} \mathrm{~cm}$ इसलिए, $$\text{क्षेत्रफल } \begin{aligned} \text{त्रिभुज } \mathrm{OAB} &=\dfrac{1}{2} \times \mathrm{AB} \times \mathrm{OM} \ &=\dfrac{1}{2} \times 21 \sqrt{3} \times \dfrac{21}{2} \mathrm{~cm}^{2} \ &=\dfrac{441}{4} \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned}$$ इसलिए, इस खंड का क्षेत्रफल $=\left(462-\dfrac{441}{4} \sqrt{3}\right) \mathrm{cm}^{2}$ [समीकरण (1), (2) और (3) से] $$ =\dfrac{21}{4}(88-21 \sqrt{3}) \mathrm{cm}^{2} $$ [[Sc_marker_0]] ### 11.2 सारांश इस अध्याय में, तुमने निम्नलिखित बिंदुओं का अध्ययन किया है:

1. लंबाई का एक चाप का क्षेत्र का वृत्त साथ त्रिज्या $r$ और कोण साथ डिग्री मापना $\theta$ है $\dfrac{\theta}{360} \times 2 \pi r$।
2. Area का क्षेत्र का वृत्त साथ त्रिज्या $r$ और कोण साथ डिग्री मापना $\theta$ है $\dfrac{\theta}{360} \times \pi r^{2}$।
3. Area का खंड का वृत्त $=$ Area का यह संगत क्षेत्र - Area का यह संगत त्रिभुज।