संभावनाओं और त्रुटियों का सिद्धांत अब गणितीय रुचि और व्यावहारिक महत्व का एक शक्तिशाली निकाय बन गया है।

आर.एस. वुडवर्ड

14.1 प्रायिकता - एक सैद्धांतिक दृष्टिकोण

आइए निम्नलिखित स्थिति पर विचार करें:

मान लीजिए कि एक सिक्का यादृच्छिक रूप से उछाला जाता है।

जब हम एक सिक्के की बात करते हैं, तो हम मानते हैं कि वह ‘निष्पक्ष’ है, अर्थात वह सममित है ताकि उसके एक तरफ दूसरी तरफ की तुलना में अधिक बार गिरने का कोई कारण न हो। हम सिक्के के इस गुण को ‘निष्पक्ष’ होना कहते हैं। ‘यादृच्छिक उछाल’ वाक्यांश से हमारा तात्पर्य है कि सिक्के को बिना किसी पक्षपात या हस्तक्षेप के स्वतंत्र रूप से गिरने दिया जाता है।

हम पहले से जानते हैं कि सिक्का केवल दो संभावित तरीकों में से एक में ही गिर सकता है - या तो चित ऊपर या पट ऊपर (हम इसकी ‘किनारे पर गिरने’ की संभावना को खारिज करते हैं, जो संभव हो सकता है, उदाहरण के लिए, यदि यह रेत पर गिरता है)। हम यह मान सकते हैं कि प्रत्येक परिणाम, चित या पट, दूसरे के समान ही संभावित है। हम इसका उल्लेख यह कहकर करते हैं कि परिणाम चित और पट, समान रूप से संभावित हैं।

समान रूप से संभावित परिणामों के एक अन्य उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि हम एक पासा एक बार फेंकते हैं। हमारे लिए, पासा हमेशा एक निष्पक्ष पासा होगा। संभावित परिणाम क्या हैं? वे 1, 2, 3, 4, 5, 6 हैं। प्रत्येक संख्या के ऊपर आने की समान संभावना है। तो पासा फेंकने के समान रूप से संभावित परिणाम 1,2,3,4,5 और 6 हैं।

क्या प्रत्येक प्रयोग के परिणाम समान रूप से संभावित होते हैं? आइए देखें।

मान लीजिए कि एक थैले में 4 लाल गेंदें और 1 नीली गेंद है, और आप बिना थैले में देखे एक गेंद निकालते हैं। परिणाम क्या हैं? क्या परिणाम - एक लाल गेंद और एक नीली गेंद समान रूप से संभावित हैं? चूंकि 4 लाल गेंदें हैं और केवल एक नीली गेंद है, आप सहमत होंगे कि आपको नीली गेंद की तुलना में लाल गेंद मिलने की अधिक संभावना है। तो, परिणाम (एक लाल गेंद या एक नीली गेंद) समान रूप से संभावित नहीं हैं। हालाँकि, थैले से किसी भी रंग की गेंद निकालने का परिणाम समान रूप से संभावित है। तो, सभी प्रयोगों में आवश्यक रूप से समान रूप से संभावित परिणाम नहीं होते हैं।

हालाँकि, इस अध्याय में, अब से, हम यह मानेंगे कि सभी प्रयोगों के परिणाम समान रूप से संभावित हैं।

कक्षा IX में, हमने एक घटना $\mathrm{E}$ की प्रायोगिक या अनुभवजन्य प्रायिकता $\mathrm{P}(\mathrm{E})$ को इस प्रकार परिभाषित किया था

$$ \mathrm{P}(\mathrm{E})=\dfrac{\text { Number of trials in which the event happened }}{\text { Total number of trials }} $$

प्रायिकता की अनुभवजन्य व्याख्या उस प्रत्येक घटना पर लागू की जा सकती है जो एक ऐसे प्रयोग से जुड़ी है जिसे बड़ी संख्या में बार दोहराया जा सकता है। एक प्रयोग को दोहराने की आवश्यकता की कुछ सीमाएँ हैं, क्योंकि यह कई स्थितियों में बहुत महंगा या अव्यवहारिक हो सकता है। निश्चित रूप से, यह सिक्का उछालने या पासा फेंकने के प्रयोगों में अच्छी तरह काम करता है। लेकिन प्रक्षेपण के दौरान इसकी विफलता की अनुभवजन्य प्रायिकता की गणना करने के लिए एक उपग्रह प्रक्षेपण के प्रयोग को दोहराने, या भूकंप में एक बहुमंजिला इमारत के नष्ट होने की अनुभवजन्य प्रायिकता की गणना करने के लिए भूकंप की घटना को दोहराने के बारे में क्या कहा जाए?

ऐसे प्रयोगों में जहां हम कुछ मान्यताएँ बनाने के लिए तैयार हैं, एक प्रयोग की पुनरावृत्ति से बचा जा सकता है, क्योंकि मान्यताएँ सीधे सटीक (सैद्धांतिक) प्रायिकता की गणना करने में मदद करती हैं। समान रूप से संभावित परिणामों की धारणा (जो कई प्रयोगों में मान्य है, जैसे कि ऊपर दो उदाहरणों में, एक सिक्के और एक पासे का) एक ऐसी ही धारणा है जो हमें किसी घटना की प्रायिकता की निम्नलिखित परिभाषा तक ले जाती है।

एक घटना E की सैद्धांतिक प्रायिकता (जिसे शास्त्रीय प्रायिकता भी कहा जाता है), जिसे $\mathrm{P}(\mathrm{E})$ लिखा जाता है, को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

$$ P(E)=\dfrac{\text { Number of outcomes favourable to } E}{\text { Number of all possible outcomes of the experiment }} \text {, } $$

जहां हम मानते हैं कि प्रयोग के परिणाम समान रूप से संभावित हैं।

हम संक्षेप में सैद्धांतिक प्रायिकता को प्रायिकता कहेंगे।

प्रायिकता की यह परिभाषा पियरे साइमन लाप्लास ने 1795 में दी थी।

प्रायिकता सिद्धांत की उत्पत्ति 16वीं शताब्दी में हुई थी जब एक इतालवी चिकित्सक और गणितज्ञ जे.कार्डान ने इस विषय पर पहली पुस्तक, द बुक ऑन गेम्स ऑफ चांस लिखी थी। अपनी शुरुआत के बाद से, प्रायिकता के अध्ययन ने महान गणितज्ञों का ध्यान आकर्षित किया है। जेम्स बर्नौली (1654 - 1705), ए. डी मोइवरे (1667 - 1754), और पियरे साइमन लाप्लास उन लोगों में से हैं जिन्होंने इस क्षेत्र में महत्वपूर्ण योगदान दिया। लाप्लास की थ्योरी एनालिटिक डेस प्रोबेबिलिटी, 1812, को प्रायिकता सिद्धांत में एक व्यक्ति द्वारा किए गए सबसे बड़े योगदान के रूप में माना जाता है। हाल के वर्षों में, प्रायिकता का व्यापक रूप से जीव विज्ञान, अर्थशास्त्र, आनुवंशिकी, भौतिकी, समाजशास्त्र आदि जैसे कई क्षेत्रों में उपयोग किया गया है।

पियरे साइमन लाप्लास (1749 - 1827)

आइए उन प्रयोगों से जुड़ी कुछ घटनाओं की प्रायिकता ज्ञात करें जहां समान रूप से संभावित धारणा मान्य है।

उदाहरण 1 : एक सिक्के को एक बार उछालने पर चित आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। साथ ही पट आने की प्रायिकता भी ज्ञात कीजिए।

हल : एक सिक्के को एक बार उछालने के प्रयोग में, संभावित परिणामों की संख्या दो है - चित (H) और पट (T)। मान लीजिए E घटना ‘चित आना’ है। E के अनुकूल परिणामों की संख्या (अर्थात चित आने की) 1 है। इसलिए,

$$ P(E)=P(\text { head })=\dfrac{\text { Number of outcomes favourable to } E}{\text { Number of all possible outcomes }}=\dfrac{1}{2} $$

इसी प्रकार, यदि $\mathrm{F}$ घटना ‘पट आना’ है, तो

$$ P(F)=P(\text { tail })=\dfrac{1}{2} \quad \text { (Why ?) } $$

उदाहरण 2 : एक थैले में एक लाल गेंद, एक नीली गेंद और एक पीली गेंद है, सभी गेंदें समान आकार की हैं। कृतिका बिना देखे थैले से एक गेंद निकालती है। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह

(i) पीली गेंद निकालेगी?

(ii) लाल गेंद निकालेगी?

(iii) नीली गेंद निकालेगी?

हल : कृतिका बिना देखे थैले से एक गेंद निकालती है। तो, यह समान रूप से संभावित है कि वह उनमें से कोई भी एक निकालेगी।

मान लीजिए $\mathrm{Y}$ घटना ‘निकाली गई गेंद पीली है’ है, B घटना ‘निकाली गई गेंद नीली है’ है, और $\mathrm{R}$ घटना ‘निकाली गई गेंद लाल है’ है।

अब, संभावित परिणामों की संख्या $=3$.

(i) घटना $Y=1$ के अनुकूल परिणामों की संख्या।

तो, $\quad \mathrm{P}(\mathrm{Y})=\dfrac{1}{3}$

इसी प्रकार, $$ \text { (ii) } \mathrm{P}(\mathrm{R})=\dfrac{1}{3} \text { and (iii) } \mathrm{P}(\mathrm{B})=\dfrac{1}{3} \text {. } $$

टिप्पणियाँ :

1. एक प्रयोग के केवल एक परिणाम वाली घटना को प्रारंभिक घटना कहा जाता है। उदाहरण 1 में, दोनों घटनाएँ $\mathrm{E}$ और $\mathrm{F}$ प्रारंभिक घटनाएँ हैं। इसी प्रकार, उदाहरण 2 में, सभी तीन घटनाएँ, Y, B और R प्रारंभिक घटनाएँ हैं।

2. उदाहरण 1 में, हम ध्यान देते हैं कि: $P(E)+P(F)=1$

उदाहरण 2 में, हम ध्यान देते हैं कि: $\mathrm{P}(\mathrm{Y})+\mathrm{P}(\mathrm{R})+\mathrm{P}(\mathrm{B})=1$

ध्यान दें कि किसी प्रयोग की सभी प्रारंभिक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग 1 है। यह सामान्य रूप से भी सत्य है।

उदाहरण 3 : मान लीजिए हम एक पासा एक बार फेंकते हैं। (i) 4 से बड़ी संख्या आने की प्रायिकता क्या है? (ii) 4 से कम या बराबर संख्या आने की प्रायिकता क्या है?

हल : (i) यहाँ, मान लीजिए $\mathrm{E}$ घटना ‘4 से बड़ी संख्या आना’ है। संभावित परिणामों की संख्या छह है: 1, 2, 3, 4, 5 और 6, और $\mathrm{E}$ के अनुकूल परिणाम 5 और 6 हैं। इसलिए, $\mathrm{E}$ के अनुकूल परिणामों की संख्या 2 है। तो,

$$ P(E)=P(\text { number greater than } 4)=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3} $$

(ii) मान लीजिए $\mathrm{F}$ घटना ‘4 से कम या बराबर संख्या आना’ है।

संभावित परिणामों की संख्या $=6$

घटना $\mathrm{F}$ के अनुकूल परिणाम 1, 2, 3, 4 हैं।

तो, $\mathrm{F}$ के अनुकूल परिणामों की संख्या 4 है।

इसलिए, $$ \mathrm{P}(\mathrm{F})=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3} $$

क्या उपरोक्त उदाहरण में घटनाएँ $\mathrm{E}$ और $\mathrm{F}$ प्रारंभिक घटनाएँ हैं? नहीं, वे नहीं हैं क्योंकि घटना $\mathrm{E}$ के 2 परिणाम हैं और घटना $\mathrm{F}$ के 4 परिणाम हैं।

टिप्पणियाँ : उदाहरण 1 से, हम ध्यान देते हैं कि

$$ \mathrm{P}(\mathrm{E})+\mathrm{P}(\mathrm{F})=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1 \tag{1} $$

जहाँ $\mathrm{E}$ घटना ‘चित आना’ है और $\mathrm{F}$ घटना ‘पट आना’ है।

उदाहरण 3 के (i) और (ii) से, हमें यह भी प्राप्त होता है

$$ \mathrm{P}(\mathrm{E})+\mathrm{P}(\mathrm{F})=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}=1 \tag{2} $$

जहाँ $\mathrm{E}$ घटना ‘एक संख्या $>4$ आना’ है और $\mathrm{F}$ घटना ‘एक संख्या $\leq 4$ आना’ है।

ध्यान दें कि 4 से अधिक नहीं संख्या आना, 4 से कम या बराबर संख्या आने के समान है, और इसके विपरीत।

ऊपर (1) और (2) में, क्या F ‘E नहीं’ के समान नहीं है? हाँ, यह है। हम घटना ‘E नहीं’ को $\overline{\mathrm{E}}$ द्वारा निरूपित करते हैं।

तो, $$ P(E)+P(\text { not } E)=1 $$

अर्थात्, $ P(E)+P(\bar{E})=1 \text {, which gives us } P(\bar{E})=1-P(E) \text {. } $

सामान्य तौर पर, यह सत्य है कि किसी घटना $\mathrm{E}$ के लिए,

$$ \mathbf{P}(\overline{\mathbf{E}})=1-\mathbf{P}(\mathbf{E}) $$

घटना $\overline{\mathrm{E}}$, जो ‘$\mathrm{E}$ नहीं’ को दर्शाती है, घटना $\mathrm{E}$ का पूरक कहलाती है। हम यह भी कहते हैं कि $\mathrm{E}$ और $\overline{\mathrm{E}}$ पूरक घटनाएँ हैं।

आगे बढ़ने से पहले, आइए निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर खोजने का प्रयास करें:

(i) एक पासे को एक बार फेंकने पर 8 आने की प्रायिकता क्या है?

(ii) एक पासे को एक बार फेंकने पर 7 से कम संख्या आने की प्रायिकता क्या है?

आइए (i) का उत्तर दें:

हम जानते हैं कि एक पासे को एक बार फेंकने में केवल छह संभावित परिणाम होते हैं। ये परिणाम 1, 2, 3, 4, 5 और 6 हैं। चूंकि पासे के किसी भी फलक पर 8 अंकित नहीं है, इसलिए 8 के अनुकूल कोई परिणाम नहीं है, अर्थात ऐसे परिणामों की संख्या शून्य है। दूसरे शब्दों में, एक पासे को एक बार फेंकने पर 8 आना असंभव है।

तो, $$ P(\text { getting } 8)=\dfrac{0}{6}=0 $$

अर्थात, एक ऐसी घटना की प्रायिकता जो घटित होना असंभव है, 0 है। ऐसी घटना को असंभव घटना कहा जाता है।

आइए (ii) का उत्तर दें:

चूंकि एक पासे के प्रत्येक फलक पर 7 से कम एक संख्या अंकित होती है, यह निश्चित है कि जब इसे एक बार फेंका जाएगा तो हमें हमेशा 7 से कम संख्या मिलेगी। तो, अनुकूल परिणामों की संख्या सभी संभावित परिणामों की संख्या के समान है, जो 6 है।

इसलिए, $$ P(E)=P(\text { getting a number less than } 7)=\dfrac{6}{6}=1 $$

तो, एक ऐसी घटना की प्रायिकता जो घटित होना निश्चित (या पक्का) है, 1 है। ऐसी घटना को निश्चित घटना या पक्की घटना कहा जाता है।

नोट: प्रायिकता $\mathrm{P}(\mathrm{E})$ की परिभाषा से, हम देखते हैं कि अंश (घटना $\mathrm{E}$ के अनुकूल परिणामों की संख्या) हमेशा हर (सभी संभावित परिणामों की संख्या) से कम या बराबर होता है। इसलिए,

$$ 0 \leq \mathrm{P}(\mathrm{E}) \leq 1 $$

अब, आइए ताश के पत्तों से संबंधित एक उदाहरण लेते हैं। क्या आपने ताश के पत्तों का एक गड्डी देखा है? इसमें 52 पत्ते होते हैं जो 4 प्रकार के 13-13 पत्तों में विभाजित होते हैं: हुकुम ($\spadesuit$), पान ($\heartsuit$), ईंट ($(\diamondsuit)$) और चिड़ी ($(\clubsuit)$)। चिड़ी और हुकुम काले रंग के होते हैं, जबकि पान और ईंट लाल रंग के होते हैं। प्रत्येक प्रकार के पत्ते इक्का, बादशाह, बेगम, गुलाम, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3 और 2 होते हैं। बादशाह, बेगम और गुलाम चेहरे वाले पत्ते कहलाते हैं।

उदाहरण 4 : 52 पत्तों की एक अच्छी तरह फेंटी गई गड्डी से एक पत्ता निकाला जाता है। प्रायिकता की गणना कीजिए कि पत्ता

(i) एक इक्का होगा,

(ii) एक इक्का नहीं होगा।

हल : अच्छी तरह फेंटने से समान रूप से संभावित परिणाम सुनिश्चित होते हैं।

(i) एक गड्डी में 4 इक्के होते हैं। मान लीजिए $\mathrm{E}$ घटना ‘पत्ता एक इक्का है’ है।

$\mathrm{E}=4$ के अनुकूल परिणामों की संख्या

संभावित परिणामों की संख्या $=52$ (क्यों?)

इसलिए, $\quad P(E)=\dfrac{4}{52}=\dfrac{1}{13}$

(ii) मान लीजिए $\mathrm{F}$ घटना ‘निकाला गया पत्ता एक इक्का नहीं है’ है।

घटना $\mathrm{F}=52-4=48$ के अनुकूल परिणामों की संख्या (क्यों?)

संभावित परिणामों की संख्या $=52$

इसलिए, $$ P(F)=\dfrac{48}{52}=\dfrac{12}{13} $$

टिप्पणी : ध्यान दें कि $\mathrm{F}$ $\overline{\mathrm{E}}$ के अलावा और कुछ नहीं है। इसलिए, हम $\mathrm{P}(\mathrm{F})$ की गणना निम्नानुसार भी कर सकते हैं: $P(F)=P(\bar{E})=1-P(E)=1-\dfrac{1}{13}=\dfrac{12}{13}$.

उदाहरण 5 : दो खिलाड़ी, संगीता और रेशमा, एक टेनिस मैच खेलती हैं। यह ज्ञात है कि संगीता के मैच जीतने की प्रायिकता 0.62 है। रेशमा के मैच जीतने की प्रायिकता क्या है?

हल : मान लीजिए S और R क्रमशः उन घटनाओं को दर्शाते हैं कि संगीता मैच जीतती है और रेशमा मैच जीतती है।

संगीता के जीतने की प्रायिकता $=\mathrm{P}(\mathrm{S})=0.62$ (दिया गया है)

रेशमा के जीतने की प्रायिकता $=\mathrm{P}(\mathrm{R})=1-\mathrm{P}(\mathrm{S})$

[चूंकि घटनाएँ $\mathrm{R}$ और $\mathrm{S}$ पूरक हैं]

$$ =1-0.62=0.38 $$

उदाहरण 6 : सविता और हमीदा दोस्त हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि दोनों का (i) अलग-अलग जन्मदिन होगा? (ii) एक ही जन्मदिन होगा? (लीप वर्ष को नजरअंदाज करते हुए)।

हल : दो दोस्तों में से, एक लड़की, मान लीजिए, सविता का जन्मदिन वर्ष के किसी भी दिन हो सकता है। अब, हमीदा का जन्मदिन भी वर्ष के 365 दिनों में से कोई भी दिन हो सकता है।

हम मानते हैं कि ये 365 परिणाम समान रूप से संभावित हैं।

(i) यदि हमीदा का जन्मदिन सविता के जन्मदिन से अलग है, तो उसके जन्मदिन के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या $365-1=364$ है

तो, P (हमीदा का जन्मदिन सविता के जन्मदिन से अलग है) $=\dfrac{364}{365}$

(ii) $\mathrm{P}$ (सविता और हमीदा का जन्मदिन एक ही है)

$$ \begin{aligned} & =1-\mathrm{P} \text { (both have different birthdays) } \\ & =1-\dfrac{364}{365} \quad[\text { Using } \mathrm{P}(\overline{\mathrm{E}})=1-\mathrm{P}(\mathrm{E})] \\ & =\dfrac{1}{365} \end{aligned} $$

उदाहरण 7 : एक स्कूल की कक्षा $\mathrm{X}$ में 40 छात्र हैं जिनमें से 25 लड़कियाँ और 15 लड़के हैं। कक्षा शिक्षक को एक छात्र को कक्षा प्रतिनिधि के रूप में चुनना है। वह प्रत्येक छात्र का नाम एक अलग कार्ड पर लिखती है, कार्ड समान होते हैं। फिर वह कार्डों को एक थैले में डालती है और उन्हें अच्छी तरह हिलाती है। फिर वह थैले से एक कार्ड निकालती है। इसकी क्या प्रायिकता है कि कार्ड पर लिखा नाम (i) एक लड़की का है? (ii) एक लड़के का है?

हल : 40 छात्र हैं, और केवल एक नाम कार्ड चुना जाना है।

(i) सभी संभावित परिणामों की संख्या 40 है

एक लड़की के नाम वाले कार्ड के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या = 25 (क्यों?)

इसलिए, $\mathrm{P}($ एक लड़की के नाम वाला कार्ड $)=\mathrm{P}($ लड़की $)=\dfrac{25}{40}=\dfrac{5}{8}$

(ii) एक लड़के के नाम वाले कार्ड के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या $=15$ (क्यों?)

इसलिए, $\mathrm{P}($ एक लड़के के नाम वाला कार्ड $)=\mathrm{P}($ लड़का $)=\dfrac{15}{40}=\dfrac{3}{8}$

नोट : हम $\mathrm{P}(\mathrm{Boy})$ को इस प्रकार लेकर भी निर्धारित कर सकते हैं:

$$ \mathrm{P}(\text { Boy })=1-\mathrm{P}(\text { not Boy })=1-\mathrm{P}(\text { Girl })=1-\dfrac{5}{8}=\dfrac{3}{8} $$

उदाहरण 8 : एक डिब्बे में 3 नीले, 2 सफेद और 4 लाल कंचे हैं। यदि डिब्बे से यादृच्छिक रूप से एक कंचा निकाला जाता है, तो इसकी क्या प्रायिकता है कि वह होगा

(i) सफेद?

(ii) नीला?

(iii) लाल?

हल : यह कहना कि एक कंचा यादृच्छिक रूप से निकाला गया है, यह कहने का एक संक्षिप्त तरीका है कि सभी कंचों के निकाले जाने की समान संभावना है। इसलिए,

संभावित परिणामों की संख्या $=3+2+4=9 \quad$ (क्यों?)

मान लीजिए $\mathrm{W}$ घटना ‘कंचा सफेद है’ को दर्शाता है, $\mathrm{B}$ घटना ‘कंचा नीला है’ को दर्शाता है और $\mathrm{R}$ घटना ‘कंचा लाल है’ को दर्शाता है।

(i) घटना $\mathrm{W}=2$ के अनुकूल परिणामों की संख्या

तो, $\mathrm{P}(\mathrm{W})=\dfrac{2}{9}$

इसी प्रकार,

(ii) $\mathrm{P}(\mathrm{B})=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}$ और

(iii) $\mathrm{P}(\mathrm{R})=\dfrac{4}{9}$

ध्यान दें कि $\mathrm{P}(\mathrm{W})+\mathrm{P}(\mathrm{B})+\mathrm{P}(\mathrm{R})=1$.

उदाहरण 9 : हरप्रीत एक साथ दो अलग-अलग सिक्के उछालती है (मान लीजिए, एक ₹1 का और दूसरा ₹2 का)। इसकी क्या प्रायिकता है कि उसे कम से कम एक चित मिलेगा?

हल : हम $\mathrm{H}$ ‘चित’ के लिए और $\mathrm{T}$ ‘पट’ के लिए लिखते हैं। जब दो सिक्कों को एक साथ उछाला जाता है, तो संभावित परिणाम $(\mathrm{H}, \mathrm{H}),(\mathrm{H}, \mathrm{T}),(\mathrm{T}, \mathrm{H}),(\mathrm{T}, \mathrm{T})$ हैं, जो सभी समान रूप से संभावित हैं। यहाँ $(\mathrm{H}, \mathrm{H})$ का अर्थ है पहले सिक्के (मान लीजिए ₹1 पर) पर चित और दूसरे सिक्के (₹2) पर चित। इसी प्रकार (H, T) का अर्थ है पहले सिक्के पर चित और दूसरे सिक्के पर पट और इसी तरह आगे।

घटना $\mathrm{E}$, ‘कम से कम एक चित’ के अनुकूल परिणाम $(\mathrm{H}, \mathrm{H}),(\mathrm{H}, \mathrm{T})$ और (T, H) हैं। (क्यों?)

तो, $\mathrm{E}$ के अनुकूल परिणामों की संख्या 3 है।

इसलिए, $\quad \mathrm{P}(\mathrm{E})=\dfrac{3}{4}$

अर्थात, हरप्रीत के कम से कम एक चित प्राप्त करने की प्रायिकता $\dfrac{3}{4}$ है।

नोट : आप $\mathrm{P}(\mathrm{E})$ को निम्नानुसार भी ज्ञात कर सकते हैं:

$$ P(E)=1-P(\bar{E})=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4} \quad\left(\text { Since } P(\bar{E})=P(\text { no head })=\dfrac{1}{4}\right) $$

क्या आपने देखा कि अब तक चर्चा किए गए सभी उदाहरणों में, प्रत्येक प्रयोग में संभावित परिणामों की संख्या सीमित थी? यदि नहीं, तो अब जांचें।

ऐसे कई प्रयोग हैं जिनमें परिणाम दो दी गई संख्याओं के बीच कोई भी संख्या होती है, या जिसमें परिणाम एक वृत्त या आयत के भीतर प्रत्येक बिंदु होता है, आदि। क्या आप अब सभी संभावित परिणामों की संख्या गिन सकते हैं? जैसा कि आप जानते हैं, यह संभव नहीं है क्योंकि दो दी गई संख्याओं के बीच अपरिमित रूप से कई संख्याएँ होती हैं, या एक वृत्त के भीतर अपरिमित रूप से कई बिंदु होते हैं। तो, (सैद्धांतिक) प्रायिकता की परिभाषा जो आपने अब तक सीखी है, वह वर्तमान रूप में लागू नहीं की जा सकती। क्या उपाय है? इसका उत्तर देने के लिए, आइए निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें:

उदाहरण 10 : एक संगीत कुर्सी खेल में, संगीत बजाने वाले व्यक्ति को सलाह दी गई है कि वह संगीत बजाना शुरू करने के 2 मिनट के भीतर किसी भी समय संगीत बजाना बंद कर दे। इसकी क्या प्रायिकता है कि संगीत शुरू होने के पहले आधे मिनट के भीतर बंद हो जाएगा?

हल : यहाँ संभावित परिणाम 0 और 2 के बीच की सभी संख्याएँ हैं। यह संख्या रेखा का 0 से 2 तक का भाग है (चित्र 14.1 देखें)।

चित्र 14.1

मान लीजिए $\mathrm{E}$ घटना है कि ‘संगीत पहले आधे मिनट के भीतर बंद हो जाता है’।

$\mathrm{E}$ के अनुकूल परिणाम संख्या रेखा पर 0 से $\dfrac{1}{2}$ तक के बिंदु हैं।

0 से 2 की दूरी 2 है, जबकि 0 से $\dfrac{1}{2}$ की दूरी $\dfrac{1}{2}$ है।

चूंकि सभी परिणाम समान रूप से संभावित हैं, हम तर्क दे सकते हैं कि कुल दूरी 2 में से, घटना $\mathrm{E}$ के अनुकूल दूरी $\dfrac{1}{2}$ है।

तो, $\quad P(E)=\dfrac{\text { Distance favourable to the event } E}{\text { Total distance in which outcomes can lie }}=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{2}=\dfrac{1}{4}$

क्या हम अब प्रायिकता को अनुकूल क्षेत्र और कुल क्षेत्र के अनुपात के रूप में ज्ञात करने के लिए उदाहरण 10 के विचार का विस्तार कर सकते हैं?

उदाहरण 11 [^0] : एक लापता हेलीकॉप्टर के चित्र 14.2 में दिखाए गए आयताकार क्षेत्र में कहीं दुर्घटनाग्रस्त होने की सूचना है। इसकी क्या प्रायिकता है कि यह चित्र में दिखाए गए झील के अंदर दुर्घटनाग्रस्त हुआ?

चित्र 14.2

हल : हेलीकॉप्टर के क्षेत्र में कहीं भी दुर्घटनाग्रस्त होने की समान संभावना है।

संपूर्ण क्ष