1. परिचय

पिछले अध्याय में आपने आंकड़ों की सारणीबद्ध और आलेखीय प्रस्तुति के बारे में पढ़ा है। इस अध्याय में आप केंद्रीय प्रवृत्ति के माप सीखेंगे जो आंकड़ों को संक्षेप में समझाने की एक संख्यात्मक विधि है। आप दिन-प्रतिदिन के जीवन में विशाल आंकड़ों के समूह को संक्षेप में प्रस्तुत करने के उदाहरण देख सकते हैं, जैसे किसी कक्षा के विद्यार्थियों द्वारा किसी परीक्षा में प्राप्त किए गए औसत अंक, किसी क्षेत्र में औसत वर्षा, किसी कारखाने में औसत उत्पादन, किसी मोहल्ले में रहने वाले या किसी फर्म में कार्यरत व्यक्तियों की औसत आय आदि।

बैजू एक किसान है। वह बिहार के बक्सर जिले के बालापुर नामक गाँव में अपनी भूमि पर खाद्यान्न उगाता है। गाँव में 50 छोटे किसान हैं। बैजू के पास 1 एकड़ भूमि है। आप बालापुर के छोटे किसानों की आर्थिक स्थिति जानने में रुचि रखते हैं। आप बालापुर गाँव में बैजू की आर्थिक स्थिति की तुलना करना चाहते हैं। इसके लिए आपको उसकी भूमि धारण के आकार का मूल्यांकन करना होगा, जिसे बालापुर के अन्य किसानों की भूमि धारण के आकार से तुलना करके किया जा सकता है। आप यह देखना चाहेंगे कि बैजू के स्वामित्व वाली भूमि -

1. सामान्य अर्थों में औसत से ऊपर है (अंकगणितीय माध्य देखें)
2. आधे किसानों की भूमि के आकार से ऊपर है (माध्यिका देखें)
3. अधिकांश किसानों की भूमि से ऊपर है (बहुलक देखें)

बैजू की आपेक्षिक आर्थिक स्थिति का मूल्यांकन करने के लिए आपको बलापुर के किसानों की भूमिधारिता के संपूर्ण आँकड़ों का सारांश निकालना होगा। यह केंद्रीय प्रवृत्ति (central tendency) के प्रयोग से किया जा सकता है, जो आँकड़ों को एक ऐसे एकल मान में संक्षेपित करती है कि यह एकल मान संपूर्ण आँकड़ों का प्रतिनिधित्व कर सके। केंद्रीय प्रवृत्ति की माप आँकड़ों को एक प्रतिनिधि या विशिष्ट मान के रूप में संक्षेपित करने की विधि है।

केंद्रीय प्रवृत्ति या “औसत” के कई सांख्यिकीय मापक हैं। सबसे अधिक प्रयोग होने वाले तीन औसत निम्नलिखित हैं:

• समांतर माध्य (Arithmetic Mean)
• माध्यिका (Median)
• बहुलक (Mode)

ध्यान दें कि औसत के दो और प्रकार भी हैं, अर्थात् ज्यामितीय माध्य (Geometric Mean) और हरात्मक माध्य (Harmonic Mean), जो कुछ विशिष्ट परिस्थितियों में उपयुक्त होते हैं। फिर भी, वर्तमान चर्चा ऊपर उल्लिखित तीन औसतों तक सीमित रहेगी।

2. समांतर माध्य (Arithmetic Mean)

मान लीजिए छह परिवारों की मासिक आय (रुपयों में) इस प्रकार दी गई है: 1600, 1500, 1400, 1525, 1625, 1630।

माध्य परिवार आय प्राप्त की जाती है आयों को जोड़कर और परिवारों की संख्या से भाग देकर।

$=\frac{1600+1500+1400+1525+1625+1630}{6}$

= रु 1,547

इसका तात्पर्य है कि औसतन एक परिवार रु 1,547 कमाता है।

समांतर माध्य केंद्रीय प्रवृत्ति का सबसे अधिक प्रयोग होने वाला मापक है। इसे सभी प्रेक्षणों के मानों के योग को प्रेक्षणों की संख्या से भाग देने पर परिभाषित किया गया है और इसे सामान्यतः $\overline{\mathrm{X}}$ से दर्शाया जाता है। सामान्यतः, यदि $\mathrm{N}$ प्रेक्षण $X_1,X_2,X_3$, …, $X_N$ हैं, तो समांतर माध्य इस प्रकार दिया जाता है

$$ \bar{X}=\frac{X _{1}+X _{2}+X _{3}+\ldots+X _{N}}{N} $$

दाहिने हाथ का भाग $\frac{\sum _{i=1}^{N} \mathrm{X} _{i}}{\mathrm{~N}}$ के रूप में लिखा जा सकता है। यहाँ, $\mathrm{i}$ एक सूचक है जो क्रमिक मान 1,2 , $3, \ldots \mathrm{N}$ लेता है।

सुविधा के लिए, इसे सूचक i के बिना सरल रूप में लिखा जाएगा। इस प्रकार $\overline{\mathrm{X}}=\frac{\sum \mathrm{X}}{\mathrm{N}}$, जहाँ, $\Sigma \mathrm{X}=$ सभी प्रेक्षणों का योग और $\mathrm{N}=$ प्रेक्षणों की कुल संख्या।

समांतर माध्य की गणना कैसे की जाती है

समांतर माध्य की गणना को दो व्यापक श्रेणियों के अंतर्गत अध्ययन किया जा सकता है:

1. असमूहीकृत आंकड़ों के लिए समांतर माध्य।
2. समूहीकृत आंकड़ों के लिए समांतर माध्य।

असमूहीकृत आंकड़ों की श्रृंखला के लिए समांतर माध्य

प्रत्यक्ष विधि

प्रत्यक्ष विधि द्वारा समांतर माध्य एक श्रृंखला में सभी प्रेक्षणों का योग है जिसे प्रेक्षणों की कुल संख्या से विभाजित किया जाता है।

उदाहरण 1

एक वर्ग में छात्रों द्वारा अर्थशास्त्र परीक्षा में प्राप्त अंकों के आंकड़ों से समांतर माध्य की गणना करें: $40,50,55$, $78,58$.

$$ \begin{aligned} \overline{\mathrm{X}} & =\frac{\Sigma \mathrm{X}}{\mathrm{N}} \ & =\frac{40+50+55+78+58}{5}=56.2 \end{aligned} $$

अर्थशास्त्र परीक्षा में छात्रों का औसत अंक 56.2 है।

अनुमानित माध्य विधि

यदि आंकड़ों में प्रेक्षणों की संख्या अधिक है और/या आंकड़े बड़े हैं, तो प्रत्यक्ष विधि द्वारा समांतर माध्य की गणना करना कठिन होता है। अनुमानित माध्य विधि का उपयोग करके गणना को आसान बनाया जा सकता है।

बड़ी संख्या में प्रेक्षणों तथा बड़ी संख्यात्मक आंकड़ों वाले डेटा सेट से माध्य की गणना में समय बचाने के लिए आप कल्पित माध्य विधि का प्रयोग कर सकते हैं। यहाँ आप डेटा में से किसी विशेष आकड़े को तर्क/अनुभव के आधार पर समांतर माध्य मान लेते हैं। फिर आप उस कल्पित माध्य से प्रत्येक प्रेक्षण के विचलन निकाल सकते हैं। फिर आप इन विचलनों का योग निकालकर उसे डेटा में प्रेक्षणों की संख्या से विभाजित कर सकते हैं। वास्तविक समांतर माध्य का आकलन कल्पित माध्य तथा विचलनों के योग और प्रेक्षणों की संख्या के अनुपात के योग से किया जाता है। प्रतीकात्मक रूप से,

मान लीजिए, $\mathrm{A}=$ कल्पित माध्य

$\mathrm{X}=$ व्यक्तिगत प्रेक्षण

$\mathrm{N}=$ प्रेक्षणों की कुल संख्या

$d=$ कल्पित माध्य से व्यक्तिगत प्रेक्षण का विचलन, अर्थात् $d=X-A$

फिर सभी विचलनों का योग $\Sigma \mathrm{d}=\Sigma(\mathrm{X}-\mathrm{A})$ लिया जाता है

फिर $\frac{\Sigma \mathrm{d}}{\mathrm{N}}$ निकालें

फिर $\overline{\mathrm{X}}$ पाने के लिए $\mathrm{A}$ और $\frac{\Sigma \mathrm{d}}{\mathrm{N}}$ को जोड़ें

इसलिए, $\overline{\mathrm{X}}=\mathrm{A}+\frac{\Sigma \mathrm{d}}{\mathrm{N}}$

आपको याद रखना चाहिए कि कोई भी मान, चाहे वह डेटा में मौजूद हो या नहीं, कल्पित माध्य लिया जा सकता है। हालाँकि गणना को सरल बनाने के लिए डेटा में केंद्र-स्थित मान को कल्पित माध्य चुना जा सकता है।

उदाहरण 2

निम्नलिखित आँकड़े 10 परिवारों की साप्ताहिक आय दिखाते हैं।

परिवार:
$\text { A } \text { B } \text { C } \text { D } \text { E } \text { F } \text { G } \text { H}$

$\text { I } \text{ J }$

साप्ताहिक आय (रुपये में)

850 700 100 750 5000 80 420 2500

400 360

माध्य परिवार आय की गणना कीजिए।

TABLE 5.1 कल्पित माध्य विधि द्वारा समांतर माध्य की गणना

कल्पित माध्य विधि का उपयोग करते हुए समांतर माध्य

$$ \begin{aligned} \overline{\mathrm{X}} & =\mathrm{A}+\frac{\Sigma \mathrm{d}}{\mathrm{N}}=850+(2,660) / 10 \\ & =\operatorname{Rs} 1,116 \end{aligned} $$

इस प्रकार, दोनों विधियों द्वारा एक परिवार की औसत साप्ताहिक आय रु 1,116 है। आप इसकी जाँच प्रत्यक्ष विधि द्वारा कर सकते हैं।

चरण विचलन विधि

गणनाओं को और भी सरल बनाया जा सकता है यदि कल्पित माध्य से लिए गए सभी विचलनों को एक सामान्य गुणनखंड ‘c’ से विभाजित कर दिया जाए। उद्देश्य बड़ी संख्यात्मक संख्याओं से बचना है, अर्थात यदि $\mathrm{d}=\mathrm{X}-\mathrm{A}$ बहुत बड़ा है, तो $\mathrm{d}^{\prime}$ ज्ञात कीजिए। इसे निम्न प्रकार से किया जा सकता है:

$$ \mathrm{d}^{\prime}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{c}}=\frac{\mathrm{X}-\mathrm{A}}{\mathrm{c}} $$

सूत्र नीचे दिया गया है:

$$ \overline{\mathrm{X}}=\mathrm{A}+\frac{\Sigma \mathrm{d}^{\prime}}{\mathrm{N}} \times \mathrm{c} $$

जहाँ $\mathrm{d}^{\prime}=(\mathrm{X}-\mathrm{A}) / \mathrm{c}, \quad \mathrm{c}=$ सामान्य गुणांक, $\mathrm{N}=$ प्रेक्षणों की संख्या, $\mathrm{A}=$ माना गया माध्य।

इस प्रकार, आप उदाहरण 2 में समांतर माध्य, चरण विचलन विधि द्वारा निकाल सकते हैं,

$X=850+(266 / 10) \times 10=₹1,116$.

समूहीकृत आँकड़ों के लिए समांतर माध्य की गणना

विवृत श्रेणी

प्रत्यक्ष विधि

विवृत श्रेणी के मामले में, प्रत्येक प्रेक्षण के विरुद्ध बारंबारता को प्रेक्षण के मान से गुणा किया जाता है। इस प्रकार प्राप्त मानों को योग किया जाता है और कुल बारंबारता से भाग दिया जाता है। प्रतीकात्मक रूप से,

$$ \overline{\mathrm{X}}=\frac{\Sigma \mathrm{fX}}{\Sigma \mathrm{f}} $$

जहाँ, $\Sigma \mathrm{fX}=$ चरों और बारंबारताओं के गुणनफल का योग।

$\Sigma f=$ बारंबारताओं का योग।

उदाहरण 3

एक आवासीय कॉलोनी में प्लेटें केवल तीन आकारों में आती हैं: 100 वर्ग मीटर, 200 वर्ग मीटर और 300 वर्ग मीटर और प्लेटों की संख्या क्रमशः 200, 50 और 10 है।

TABLE 5.2 प्रत्यक्ष विधि द्वारा समांतर माध्य की गणना

प्रत्यक्ष विधि का उपयोग करके समांतर माध्य,

$\overline{\mathrm{X}}=\frac{\sum \mathrm{X}}{\mathrm{N}}=\frac{33000}{260}=126.92$ वर्ग मीटर

इसलिए, आवासीय कॉलोनी में औसत प्लॉट आकार 126.92 वर्ग मीटर है।

अनुमानित माध्य विधि

जैसा कि व्यक्तिगत श्रृंखला के मामले में गणनाओं को अनुमानित माध्य विधि का उपयोग करके सरल बनाया जा सकता है, जैसा कि पहले वर्णित किया गया है, एक सरल संशोधन के साथ। चूंकि प्रत्येक मद की आवृत्ति (f) यहां दी गई है, हम प्रत्येक विचलन (d) को आवृत्ति से गुणा करके fd प्राप्त करते हैं। फिर हम $\Sigma \mathrm{fd}$ प्राप्त करते हैं। अगला चरण सभी आवृत्तियों का योग प्राप्त करना है यानी $\Sigma \mathrm{f}$। फिर $\Sigma \mathrm{fd} / \Sigma \mathrm{f}$ निकालें। अंत में, समांतर माध्य की गणना $\overline{\mathrm{X}}=\mathrm{A}+\frac{\Sigma \mathrm{fd}}{\Sigma \mathrm{f}}$ अनुमानित माध्य विधि का उपयोग करके की जाती है।

चरण विचलन विधि

इस मामले में, विचलनों को सामान्य कारक ‘c’ से विभाजित किया जाता है जो गणना को सरल बनाता है। यहां हम गणना को आसान बनाने के लिए संख्यात्मक आंकड़ों के आकार को कम करने के लिए $d^{\prime}=\frac{d}{c}=\frac{X-A}{c}$ का अनुमान लगाते हैं। फिर $\mathrm{fd}^{\prime}$ और $\Sigma \mathrm{fd}^{\prime}$ प्राप्त करें। चरण विचलन विधि का उपयोग करके समांतर माध्य के लिए सूत्र इस प्रकार दिया गया है,

$$ \overline{\mathrm{X}}=\mathrm{A}+\frac{\Sigma \mathrm{fd}^{\prime}}{\Sigma \mathrm{f}} \times \mathrm{c} $$

गतिविधि

• उदाहरण 3 में दिए गए आँकड़ों के लिए पद विचलन और कल्पित माध्य विधियों का प्रयोग करके भूखंड के आकार का माध्य ज्ञात कीजिए।

सतत श्रेणी

यहाँ वर्ग अंतराल दिए गए हैं। सतत श्रेणी में अंकगणितीय माध्य की गणना की प्रक्रिया वही है जो विविक्त श्रेणी में होती है। केवल अंतर यह है कि विभिन्न वर्ग अंतरालों के मध्य-बिंदु लिए जाते हैं। हम पहले से जानते हैं कि वर्ग अंतराल विशिष्ट हो सकते हैं या समावेशक या असमान आकार के। विशिष्ट वर्ग अंतराल का उदाहरण है, मान लीजिए, 0-10, 10-20 इत्यादि। समावेशक वर्ग अंतराल का उदाहरण है, मान लीजिए, 0-9, 10-19 इत्यादि। असमान वर्ग अंतराल का उदाहरण है, मान लीजिए, 0-20, 20-50 इत्यादि। इन सभी स्थितियों में अंकगणितीय माध्य की गणना समान तरीके से की जाती है।

उदाहरण 4

निम्नलिखित विद्यार्थियों के औसत अंक (a) प्रत्यक्ष विधि (b) पद विचलन विधि का प्रयोग करके गणना कीजिए।

प्रत्यक्ष विधि

अंक: 0-10 $\quad$ 10-20 $\quad$ 20-30 $\quad$ 30-40 $\quad$ 40-50

50-60 $\quad$ 60-70

विद्यार्थियों की संख्या

5 $\quad$ 12 $\quad$ 15 $\quad$ 25 $\quad$ 8

3 $\quad$ 2

सारणी 5.3 विशिष्ट वर्ग अंतराल के लिए प्रत्यक्ष विधि द्वारा औसत अंकों की गणना

चरण:

1. प्रत्येक वर्ग के लिए मध्य मान प्राप्त करें जिसे $\mathrm{m}$ द्वारा दर्शाया गया है।
2. $\Sigma \mathrm{fm}$ प्राप्त करें और प्रत्यक्ष विधि सूत्र लागू करें:

$$ \overline{\mathrm{x}}=\frac{\Sigma \mathrm{fm}}{\Sigma \mathrm{f}}=\frac{2110}{70}=30.14 \mathrm{अंक} $$

चरण विचलन विधि

1. $\mathrm{d}^{\prime}=\frac{\mathrm{m}-\mathrm{A}}{\mathrm{c}}$ प्राप्त करें
2. $\mathrm{A}=35$ लें, (कोई भी मनमाना मान), $\mathrm{c}=$ सामान्य गुणनखंड।

$$ \begin{aligned} \overline{\mathrm{X}} & =\mathrm{A}+\frac{\Sigma \mathrm{fd}^{\prime}}{\Sigma \mathrm{f}} \times \mathrm{c}=35+\frac{(-34)}{70} \times 10 \\ & =30.14 \text { अंक } \end{aligned} $$

A.M. के दो रोचक गुण

(i) समांतर माध्य के बारे में मदों के विचलनों का योग हमेशा शून्य के बराबर होता है। प्रतीकात्मक रूप से, $\Sigma(\mathrm{X}-\overline{\mathrm{X}})=0$।

(ii) समांतर माध्य चरम मानों से प्रभावित होता है। कोई भी बड़ा मान, किसी भी सिरे पर, इसे ऊपर या नीचे खींच सकता है।

भारित समांतर माध्य

कभी-कभी गणितीय माध्य की गणना करते समय विभिन्न मदों को उनके महत्व के अनुसार भार देना आवश्यक होता है। उदाहरण के लिए, दो वस्तुएँ हैं—आम और आलू। आप आम के मूल्य $P_1$ और आलू के मूल्य $P_2$ का औसत मूल्य ज्ञात करना चाहते हैं। गणितीय माध्य होगा $\frac{p_1+p_2}{2}$। हालाँकि, आप आलू के मूल्य में वृद्धि को अधिक महत्व देना चाह सकते हैं। ऐसा करने के लिए, आप उपभोक्ता के बजट में आम के हिस्से को $\left(\mathrm{W} _{1}\right)$ और आलू के हिस्से को $\left(\mathrm{W} _{2}\right)$ ‘भार’ के रूप में प्रयोग कर सकते हैं। अब बजट में हिस्सों से भारित गणितीय माध्य होगा $\frac{\mathrm{W} _{1} \mathrm{P} _{1}+\mathrm{W} _{2} \mathrm{P} _{2}}{\mathrm{~W} _{1}+\mathrm{W} _{2}}$

सामान्य रूप से भारित गणितीय माध्य इस प्रकार दिया जाता है,

$$ \frac{\mathrm{w} _{1} \mathrm{x} _{1}+\mathrm{w} _{2} \mathrm{x} _{2}+\ldots+\mathrm{w} _{\mathrm{n}} \mathrm{x} _{\mathrm{n}}}{\mathrm{w} _{1}+\mathrm{w} _{2}+\ldots+\mathrm{w} _{\mathrm{n}}}=\frac{\Sigma \mathrm{wx}}{\Sigma \mathrm{w}} $$

जब मूल्य बढ़ते हैं, तो आप उन वस्तुओं के मूल्य में वृद्धि में रुचि रख सकते हैं जो आपके लिए अधिक महत्वपूर्ण हैं। आप इसके बारे में अधिक अध्याय 8 में सूचकांकों की चर्चा में पढ़ेंगे।

गतिविधियाँ

• निम्न उदाहरण के लिए समांतर माध्य की संपत्ति की जाँच करें:

$\qquad$ X: $\quad$ 4 $\quad$ 6 $\quad$ 8 $\quad$ 10 $\quad$ 12

• उपरोक्त उदाहरण में यदि माध्य 2 बढ़ जाए, तो व्यक्तिगत प्रेक्षणों पर क्या प्रभाव पड़ता है।
• यदि पहले तीन मद 2 बढ़ जाएँ, तो अंतिम दो मदों के क्या मान होने चाहिए ताकि माध्य वही रहे।
• मान 12 को 96 से बदलें। समांतर माध्य पर क्या प्रभाव पड़ता है? टिप्पणी करें।

3. माध्यिका

माध्यिका चर का वह स्थिति मान है जो बंटन को दो समान भागों में विभाजित करता है, एक भाग में सभी मान माध्यिका मान से बड़े या बराबर हैं और दूसरे भाग में सभी मान माध्यिका मान से छोटे या बराबर हैं। माध्यिका वह “मध्य” तत्व है जब डेटा सेट को परिमाण के क्रम में व्यवस्थित किया जाता है। चूँकि माध्यिका विभिन्न मानों की स्थिति द्वारा निर्धारित होती है, इसलिए यदि सबसे बड़े मान का आकार बढ़ भी जाए तो यह अप्रभावित रहती है।

माध्यिका की गणना

माध्यिका को आसानी से डेटा को सबसे छोटे से सबसे बड़े तक क्रमबद्ध करके और मध्य मान को खोजकर गणना की जा सकती है।

उदाहरण 5

मान लीजिए हमारे पास एक डेटा सेट में निम्न प्रेक्षण हैं: $5,7,6,1,8$, $10,12,4$, और 3।

डेटा को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर आपके पास है:

$1,3,4,5,6,7,8,10,12$।

“मध्य स्कोर” 6 है, इसलिए माध्यिका 6 है। आधे स्कोर 6 से बड़े हैं और आधे स्कोर 6 से छोटे हैं।

यदि डेटा में सम संख्या में प्रेक्षण हों, तो दो प्रेक्षण मध्य में आएँगे। इस स्थिति में माध्यिका की गणना दो मध्य मानों के अंकगणितीय माध्य के रूप में की जाती है।

गतिविधियाँ

• श्रृंखला के सभी चार मानों के लिए माध्य और माध्यिका ज्ञात कीजिए। आप क्या देखते हैं?

TABLE 5.4 विभिन्न श्रृंखलाओं का माध्य और माध्यिका

श्रृंखला	X (चर मान)	माध्य	माध्यिका
$\mathrm{A}$	$1,2,3$	$?$	$?$
$\mathrm{~B}$	$1,2,30$	$?$	$?$
$\mathrm{C}$	$1,2,300$	$?$	$?$
$\mathrm{D}$	$1,2,3000$	$?$	$?$

• क्या माध्यिका चरम मानों से प्रभावित होती है? आउटलायर क्या होते हैं?
• क्या माध्यिका माध्य से बेहतर विधि है?

उदाहरण 6

निम्नलिखित डेटा 20 विद्यार्थियों के अंक देता है। आपको माध्यिका अंक की गणना करनी है।

$25,72,28,65,29,60,30,54,32,53$, 33, 52, 35, 51, 42, 48, 45, 47, 46, 33.

डेटा को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर, आपको प्राप्त होता है

$25,28,29,30,32,33,33,35,42$, $45,46,47,48,51,52,53,54,60$, 65,72 .

आप देख सकते हैं कि बीच में दो प्रेक्षण हैं, 45 और 46। माध्यिका को इन दो प्रेक्षणों का माध्य निकालकर प्राप्त किया जा सकता है:

माध्यिका $=\frac{45+46}{2}=45.5$ अंक

माध्यिका की गणना करने के लिए यह जानना महत्वपूर्ण है कि माध्यिका की स्थिति क्या है, अर्थात् माध्यिका किस मद/मदों पर स्थित है। माध्यिका की स्थिति निम्नलिखित सूत्र द्वारा गणना की जा सकती है:

माध्यिका की स्थिति $=\frac{(\mathrm{N}+1)^{\text {वाँ}}}{2}$ मद

जहाँ $\mathrm{N}=$ मदों की संख्या।

आप ध्यान दें कि उपरोक्त सूत्र आपको क्रमबद्ध सरणी में माध्यिका की स्थिति देता है, न कि माध्यिका स्वयं को। माध्यिका इस सूत्र द्वारा गणना की जाती है:

माध्यिका $=\frac{(\mathrm{N}+1)^{\text {वाँ}}}{2}$ मद का मान

विवृत श्रेणी

विवृत श्रेणी के मामले में माध्यिका की स्थिति अर्थात् $(\mathrm{N}+1) / 2^{\text {वाँ }}$ मद संचयी बारंबारता के माध्यम से स्थित हो सकती है। इस स्थिति पर संगत मान माध्यिका का मान है।

उदाहरण 7

व्यक्तियों की बारंबारता वितरण और उनकी संबंधित आय (₹ में) नीचे दी गई है। माध्यिका आय की गणना कीजिए।

$\begin{array}{lllll}\text { आय (₹ में): } & 10 & 20 & 30 & 40\end{array}$

व्यक्तियों की संख्या: $\quad 2 \quad 4 \quad 4 \quad 10 \quad 4$

माध्यिका आय की गणना करने के लिए, आप बारंबारता वितरण नीचे दिए अनुसार तैयार कर सकते हैं।

TABLE 5.5 विविध श्रेणी के लिए माध्यिका की गणना

माध्यिका $(\mathrm{N}+1)$ / $2=(20+1) / 2=10.5^{\text {वें}}$ प्रेक्षण में स्थित है। इसे संचयी बारंबारता के माध्यम से आसानी से स्थित किया जा सकता है। $10.5^{\text {वां}}$ प्रेक्षण 16 की c.f. में आता है। इससे संगत आय रु 30 है, इसलिए माध्यिका आय रु 30 है।

सतत श्रेणी

सतत श्रेणी के मामले में आपको वह माध्यिका वर्ग स्थित करना होता है जहाँ $\mathrm{N} / 2^{\text {वां}}$ मद [न कि $(\mathrm{N}+1) / 2^{\text {वां}}$ मद] स्थित हो। तब माध्यिका इस प्रकार प्राप्त की जा सकती है:

माध्यिका $=\mathrm{L}+\frac{(\mathrm{N} / 2-\text { c.f.) })}{\mathrm{f}} \times \mathrm{h}$

जहाँ, $\mathrm{L}=$ माध्यिका वर्ग की निचली सीमा,

c.f. $=$ माध्यिका वर्ग से पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता,

$\mathrm{f}=$ माध्यिका वर्ग की बारंबारता,

$\mathrm{h}=$ माध्यिका वर्ग अंतराल का परिमाण।

यदि बारंबारता असमान आकार या परिमाण की है तो कोई समायोजन आवश्यक नहीं है।

उदाहरण 8

निम्नलिखित आँकड़े एक कारखाने में कार्यरत व्यक्तियों की दैनिक मजदूरी से संबंधित हैं। माध्यिका दैनिक मजदूरी की गणना कीजिए।

दैनिक मजदूरी (रुपये में):

55-60 50-55 45-50 40-45 35-40 30-35

25-30 $20-25$

कार्यकर्ताओं की संख्या:

$\begin{array}{llllll}7 & 13 & 15 & 20 & 30 & 33\end{array}$

$28 \quad 14$

आँकड़े यहाँ अवरोही क्रम में व्यवस्थित हैं।

उपरोक्त उदाहरण में माध्यिका वर्ग $(\mathrm{N} / 2)^{\text {वाँ}}$ (अर्थात् 160/2) $=80^{\text {वाँ}}$ पद है, जो 35-40 वर्ग अंतराल में आता है। माध्यिका का सूत्र लगाते हुए:

TABLE 5.6 Computation of Median for Continuous Series

$$ \begin{aligned} \text { Median } & =\mathrm{L}+\frac{(\mathrm{N} / 2-\text { c.f. })}{\mathrm{f}} \times \mathrm{h} \\ & =\frac{35+(80-75)}{30} \times(40-35) \\ & =\operatorname{Rs} 35.83 \end{aligned} $$

इस प्रकार, माध्यिका दैनिक वेतन Rs 35.83 है। इसका अर्थ है कि 50% श्रमिक Rs 35.83 से कम या बराबर वेतन पा रहे हैं और 50% श्रमिक इससे अधिक या बराबर वेतन पा रहे हैं।

आपको याद रखना चाहिए कि माध्यिका, केंद्रीय प्रवृत्ति की माप के रूप में, श्रेणी के सभी मानों के प्रति संवेदनशील नहीं होती है। यह आंकड़ों के केंद्रीय पदों के मानों पर केंद्रित होती है।

Quartiles

चतुर्थांश (Quartiles) वे मापक हैं जो आंकड़ों को चार बराबर भागों में बाँटते हैं, प्रत्येक भाग में समान संख्या में प्रेक्षण होते हैं। तीन चतुर्थांश होते हैं। प्रथम चतुर्थांश (जिसे $\mathrm{Q}{1}$ द्वारा दर्शाया जाता है) या निम्न चतुर्थांश के नीचे वितरण के 25% मद होते हैं और 75% मद इससे बड़े होते हैं। द्वितीय चतुर्थांश (जिसे $\mathrm{Q}{2}$ द्वारा दर्शाया जाता है) या माध्यिका के नीचे 50% मद होते हैं और 50% प्रेक्षण इसके ऊपर होते हैं। तृतीय चतुर्थांश (जिसे $\mathrm{Q}{3}$ द्वारा दर्शाया जाता है) या ऊपरी चतुर्थांश के नीचे वितरण के 75% मद होते हैं और 25% मद इसके ऊपर होते हैं। इस प्रकार, $\mathrm{Q}{1}$ और $\mathrm{Q}_{3}$ वे दो सीमाएँ दर्शाते हैं जिनके भीतर केंद्रीय 50% आंकड़े स्थित होते हैं।

प्रतिशतांक (Percentiles)

प्रतिशतांक वितरण को सौ बराबर भागों में बाँटते हैं, इसलिए आपको 99 विभाजन स्थितियाँ मिलती हैं जिन्हें $\mathrm{P}{1}, \mathrm{P}{2}$, $\mathrm{P}{3}, \ldots, \mathrm{P}{99}$ द्वारा दर्शाया जाता है। $\mathrm{P}_{50}$ माध्यिका मान है। यदि आपने किसी प्रबंधन प्रवेश परीक्षा में 82 प्रतिशतांक प्राप्त किया है, तो इसका अर्थ है कि आपका स्थान कुल परीक्षार्थियों के 18 प्रतिशत से नीचे है। यदि कुल एक लाख विद्यार्थी उपस्थित हुए, तो आप कहाँ खड़े हैं?

चतुर्थांश की गणना

व्यक्तिगत और विवृत श्रेणी के मामले में चतुर्थांश (Quartile) को खोजने की विधि माध्यक (median) की तरह ही होती है। क्रमबद्ध श्रेणी के $\mathrm{Q} _{1}$ और $\mathrm{Q} _{3}$ का मान निम्न सूत्र से प्राप्त किया जा सकता है, जहाँ $\mathrm{N}$ प्रेक्षणों की संख्या है।

$Q _{1}=\frac{(\mathrm{N}+1)^{\mathrm{th}}}{4}$ वें पद का आकार

$Q _{3}=\frac{3(\mathrm{~N}+1)^{\text {th }}}{4}$ वें पद का आकार।

उदाहरण 9

दस विद्यार्थियों द्वारा एक परीक्षा में प्राप्त किए गए अंकों के आंकड़ों से निम्न चतुर्थांश (lower quartile) का मान ज्ञात कीजिए।

$22,26,14,30,18,11,35,41,12,32$।

आंकड़ों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर,

$11,12,14,18,22,26,30,32,35,41$।

$Q _{1}=\frac{(\mathrm{N}+1)^{\text {th }}}{4}$ वें पद का आकार $=\frac{(10+1)^{\text {th }}}{4}$ वें पद का आकार $=2.75^{\text {वें}}$ पद का आकार $=2$ वाँ पद +.75 (3 वाँ पद -2 वाँ पद) $=12+.75(14-12)=13.5$ अंक।

गतिविधि

• $\mathrm{Q} _{3}$ स्वयं ज्ञात कीजिए।

5. बहुलक (Mode)

कभी-कभी आप किसी श्रेणी के सबसे प्रतिनिधित्वमूलक मान या वह मान जानने में रुचि रखते हैं जिसके आसपास अधिकतम आइटमों की सांद्रता होती है। उदाहरण के लिए, एक निर्माता यह जानना चाहेगा कि जूतों का कौन-सा साइज़ अधिकतम मांग में है या किस स्टाइल की शर्ट अधिक बार माँगी जाती है। यहाँ, बहुलक (Mode) सबसे उपयुक्त माप है। ‘Mode’ शब्द फ्रेंच शब्द “la Mode” से लिया गया है जिसका अर्थ है वितरण का सबसे फैशनेबल मान, क्योंकि यह श्रेणी में सबसे अधिक बार दोहराया जाता है। बहुलक वह आँकड़ा मान है जो सबसे अधिक बार प्रेक्षित होता है। इसे $\mathrm{M} _{\text {o }}$ द्वारा दर्शाया जाता है।

बहुलक की गणना

विविक्त श्रेणी (Discrete Series)

आँकड़ा समुच्चय $1,2,3,4,4,5$ पर विचार करें। इस आँकड़े के लिए बहुलक 4 है क्योंकि 4 सबसे अधिक बार (दो बार) आता है।

उदाहरण 10

निम्नलिखित विविक्त श्रेणी को देखें:

चर $\quad$ 10 $\quad$ 20 $\quad$ 30 $\quad$ 40 $\quad$ 50

बारंबारता $\quad$ 2 $\quad$ 8 $\quad$ 20 $\quad$ 10 $\quad$ 5

यहाँ, जैसा कि आप देख सकते हैं, अधिकतम बारंबारता 20 है, इसलिए बहुलक का मान 30 है। इस स्थिति में, चूँकि बहुलक का एक अद्वितीय मान है, आँकड़े एकल-बहुलक (unimodal) हैं। परंतु बहुलक अनिवार्यतः अद्वितीय नहीं होता, अंकगणितीय माध्य और माध्यिका के विपरीत। आपके पास दो बहुलकों वाले आँकड़े (द्वि-बहुलक) या दो से अधिक बहुलकों वाले आँकड़े (बहु-बहुलक) हो सकते हैं। यह भी संभव है कि कोई बहुलक न हो यदि कोई भी मान वितरण में किसी अन्य मान की तुलना में अधिक बार न आए। उदाहरण के लिए, श्रेणी $1,1,2,2,3,3,4$, 4 में कोई बहुलक नहीं है।

सतत श्रेणी

सतत बारंबारता बंटन के मामले में, बहुलक वर्ग वह वर्ग होता है जिसकी बारंबारता सबसे अधिक हो। बहुलक को निम्न सूत्र का उपयोग करके परिकलित किया जा सकता है:

$$ \mathrm{M}{\mathrm{o}}=\mathrm{L}+\frac{\mathrm{D}{1}}{\mathrm{D}{1}+\mathrm{D}{2}} \times \mathrm{h} $$

जहाँ $\mathrm{L}=$ बहुलक वर्ग की निचली सीमा
$\mathrm{D}_{1}=$ बहुलक वर्ग की बारंबारता और बहुलक वर्ग से पहले वाले वर्ग की बारंबारता के बीच का अंतर (चिन्हों को नजरअंदाज करते हुए)

$\mathrm{D}_{2}=$ बहुलक वर्ग की बारंबारता और बहुलक वर्ग के बाद वाले वर्ग की बारंबारता के बीच का अंतर (चिन्हों को नजरअंदाज करते हुए)

$h=$ बंटन की वर्ग अंतराल

आप ध्यान दें कि सतत श्रेणी के मामले में, वर्ग अंतराल समान होने चाहिए और बहुलक परिकलित करने के लिए श्रेणी विशिष्ट होनी चाहिए। यदि मध्य बिंदु दिए गए हैं, तो वर्ग अंतराल प्राप्त किए जाने चाहिए।

उदाहरण 11

निम्न आंकड़ों से मजदूर परिवार की मासिक आय का बहुलक मान परिकलित कीजिए:

मासिक आय प्रति माह (हजार रुपये में) की ‘से कम’ संचयी बारंबारता बंटन

जैसा कि आप देख सकते हैं यह संचयी बारंबारता बंटन का एक मामला है। मोड की गणना करने के लिए आपको इसे विशिष्ट श्रेणी में बदलना होगा। इस उदाहरण में श्रेणी अवरोही क्रम में है। मोड वर्ग निर्धारित करने के लिए इस सारणी को सामान्य बारंबारता सारणी (सारणी 5.7) में बदलना चाहिए।

मोड का मान 25-30 वर्ग अंतराल में स्थित है। निरीक्षण द्वारा भी यह देखा जा सकता है कि यह मोड वर्ग है।

अब $\mathrm{L}=25, \mathrm{D} _{1}=(30-18)=12, \mathrm{D} _{2}=$ $(30-20)=10, h=5$

सूत्र का प्रयोग करके आप मोड का मान प्राप्त कर सकते हैं:

$\mathrm{M} _{\mathrm{O}}$ (हजार रुपये में)

$$ \begin{aligned} \mathrm{M} _{\mathrm{o}} & =\mathrm{L}+\frac{\mathrm{D} _{1}}{\mathrm{D} _{1}+\mathrm{D} _{2}} \times \mathrm{h} \\ & =25+\frac{12}{12+10} \times 5=27.273 \end{aligned} $$

इस प्रकार मोड कारक परिवार की मासिक आय रु 27.273 है।

गतिविधियाँ

• एक जूता कंपनी, जो केवल वयस्कों के लिए जूते बनाती है, सबसे लोकप्रिय जूते के आकार को जानना चाहती है। कौन-सा औसत सबसे उपयुक्त होगा?
• निम्नलिखित वस्तुओं का उत्पादन करने वाली कंपनियों के लिए कौन-सा औसत सबसे उपयुक्त होगा? क्यों?

(i) डायरी और नोटबुक

(ii) स्कूल बैग

(iii) जींस और टी-शर्ट

• अपनी कक्षा में एक छोटा-सा सर्वेक्षण करें ताकि केंद्रीय प्रवृत्ति के उपयुक्त माप का उपयोग करके छात्रों की चीनी भोजन के प्रति पसंद को जाना जा सके।
• क्या मोड को आलेखीय रूप से स्थित किया जा सकता है?

6. अंकगणितीय माध्य, माध्यिका और मोड की सापेक्ष स्थिति

मान लीजिए हम व्यक्त करते हैं,

अंकगणितीय माध्य $=\mathrm{M} _{\mathrm{e}}$

माध्यिका $=\mathrm{M} _{\mathrm{i}}$

मोड $=\mathrm{M} _{\mathrm{o}}$

तीनों का सापेक्ष परिमाण $M _{e}>M _{i}>M _{o}$ या $M _{e}<M _{i}<M _{o}$ होता है (प्रत्यय वर्णानुक्रम में आते हैं)। माध्यिका सदैव अंकगणितीय माध्य और मोड के बीच होती है।

7. निष्कर्ष

केन्द्रीय प्रवृत्ति के माप या औसत आँकड़ों का सार प्रस्तुत करने के लिए प्रयुक्त होते हैं। ये डेटा सेट का वर्णन करने के लिए एक एकल सबसे प्रतिनिधि मान निर्दिष्ट करते हैं। अंकगणितीय माध्य सबसे अधिक प्रयुक्त औसत है। इसकी गणना सरल है और यह सभी प्रेक्षणों पर आधारित होता है। परन्तु यह चरम मदों की उपस्थिति से अत्यधिक प्रभावित होता है। ऐसे आँकड़ों के लिए माध्यिका एक बेहतर सार होती है। बहुल प्रायः गुणात्मक आँकड़ों का वर्णन करने के लिए प्रयुक्त होता है। माध्यिका और बहुल को आलेखीय रूप से सरलता से परिकलित किया जा सकता है। खुले सिरे वाले वितरण के मामले में भी इन्हें सरलता से परिकलित किया जा सकता है। इस प्रकार, विश्लेषण के उद्देश्य और वितरण की प्रकृति के अनुसुसार उपयुक्त औसत चयनित करना महत्वपूर्ण है।

पुनरावलोकन

• केन्द्रीय प्रवृत्ति का माप एक एकल मान के साथ आँकड़ों का सार प्रस्तुत करता है, जो सम्पूर्ण आँकड़ों का प्रतिनिधित्व कर सकता है।
• अंकगणितीय माध्य को सभी प्रेक्षणों के मानों के योग को प्रेक्षणों की संख्या से विभाजित कर परिभाषित किया जाता है।
• अंकगणितीय माध्य से मदों के विचलनों का योग सदैव शून्य के बराबर होता है।
• कभी-कभी विभिन्न मदों को उनके महत्व के अनुसार भार देना आवश्यक होता है।
• माध्यिका वितरण का केन्द्रीय मान है इस अर्थ में कि माध्यिका से कम मानों की संख्या माध्यिका से अधिक मानों की संख्या के बराबर होती है।
• चतुर्थक सम्पूर्ण मानों के समुच्चय को चार समान भागों में विभाजित करते हैं।
• बहुल वह मान है जो सर्वाधिक बार आता है।

अभ्यास

1. निम्नलिखित परिस्थितियों में कौन-सा औसत उपयुक्त होगा?

(i) तैयार कपड़ों का औसत आकार।

(ii) कक्षा में छात्रों की औसत बुद्धि।

(iii) एक कारखाने में प्रति शिफ्ट औसत उत्पादन।

(iv) एक औद्योगिक संस्था में औसत मजदूरी।

(v) जब औसत से निरपेक्ष विचलनों का योग न्यूनतम हो।

(vi) जब चर की मात्राएँ अनुपातों में हों।

(vii) खुले अंत वाली बारंबारता बंटन की स्थिति में।

2. प्रत्येक प्रश्न के सामने दिए गए बहुविकल्पी विकल्पों में से सर्वाधिक उपयुक्त विकल्प को चिह्नित कीजिए।

(i) गुणात्मक मापन के लिए सर्वाधिक उपयुक्त औसत है

(a) समांतर माध्य

(b) माध्यिका

(c) बहुलक

(d) गुणोत्तर माध्य

(e) उपर्युक्त में से कोई नहीं

(ii) चरम मानों की उपस्थिति से कौन-सा औसत सर्वाधिक प्रभावित होता है?

(a) माध्यिका

(b) बहुलक

(c) समांतर माध्य

(d) उपर्युक्त में से कोई नहीं

(iii) $n$ मानों के एक समूह का A.M. से विचलनों का बीजगणितीय योग होता है

(a) $\mathrm{n}$

(b) 0

(c) 1

(d) उपर्युक्त में से कोई नहीं

[उत्तर. (i) b (ii) c (iii) b]

3. टिप्पणी कीजिए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य।

(i) माध्यिका से मदों के विचलनों का योग शून्य होता है।

(ii) किसी श्रेणी की तुलना के लिए केवल औसत पर्याप्त नहीं होता।

(iii) समांतर माध्य एक स्थितीय मान होता है।

(iv) ऊपरी चतुर्थक शीर्ष $25 %$ मदों का न्यूनतम मान होता है।

(v) माध्यिका चरम प्रेक्षणों से अनुचित रूप से प्रभावित होती है।

[उत्तर. (i) असत्य (ii) सत्य (iii) असत्य (iv) सत्य (v) असत्य]

4. यदि नीचे दिए गए आंकड़ों का समांतर माध्य 28 है, तो (a) लुप्त बारंबारता ज्ञात कीजिए, और (b) श्रेणी की माध्यिका ज्ञात कीजिए:

खुदरा दुकान प्रति लाभ (रुपये में) $\quad$ 0-10 $\quad$ 10-20 $\quad$ 20-30 $\quad$ 30-40 $\quad$ 40-50 $\quad$ 50-60

खुदरा दुकानों की संख्या $\qquad \quad$ 12 $\qquad$ 18 $\qquad$ 27 $\qquad$ - $\qquad$ 17 $\qquad$ 6

(उत्तर: लुप्त बारंबारता का मान 20 है और माध्यक का मान रु. 27.41 है)

5. निम्न सारणी एक कारखाने के दस श्रमिकों की दैनिक आय देती है। समांतर माध्य ज्ञात कीजिए।

श्रमिक $\quad$ A $\quad$ B $\quad$ C $\quad$ D $\quad$ E $\quad$ F $\quad$ G $\quad$ H $\quad$ I

दैनिक आय (रुपये में) $\quad 120 \quad 150 \quad 180 \quad 200 \quad 250 \quad 300 \quad 220 \quad 350 \quad 370 \quad 260$ (उत्तर: रु. 240)

6. 150 परिवारों की दैनिक आय से सम्बन्धित निम्न जानकारी है। समांतर माध्य की गणना कीजिए।

7. एक गाँव के 380 परिवारों की भूमि-अधिकार का आकार नीचे दिया गया है। भूमि-अधिकार का माध्यक आकार ज्ञात कीजिए।

भूमि-अधिकार का आकार (एकड़ में)

100 से कम $\quad 100-200 \quad 200-300 \quad 300-400 \quad 400$ और अधिक.

परिवारों की संख्या $\quad 40 \quad 89 \quad 148 \quad 64 \quad 39 $

(उत्तर: 241.22 एकड़)

8. निम्नलिखित श्रृंखला एक फर्म में कार्यरत श्रमिकों की दैनिक आय से संबंधित है। गणना कीजिए (क) न्यूनतम 50% श्रमिकों की उच्चतम आय (ख) शीर्ष 25% श्रमिकों की न्यूनतम आय और (ग) न्यूनतम 25% श्रमिकों की अधिकतम आय।

दैनिक आय (रुपये में) $\quad 10-14 \quad 15-19 \quad 20-24 \quad 25-29 \quad 30-34 \quad 35-39$

श्रमिकों की संख्या $\quad 5 \quad 10 \quad 15 \quad 20 \quad 10 \quad 5$

(संकेत: माध्यिका, निम्नतम चतुर्थांश और उच्चतम चतुर्थांश की गणना कीजिए।)

[उत्तर (क) रु 25.11 (ख) रु 19.92 (ग) रु 29.19]

9. निम्नलिखित सारणी एक गाँव के 150 खेतों की गेहूँ की उत्पादन पैदावार को किग्रा. प्रति हेक्टेयर में देती है। माध्य, माध्यिका और बहुलक मानों की गणना कीजिए।

उत्पादन पैदावार (किग्रा. प्रति हेक्टेयर) $\quad 50-53 \quad 53-56 \quad 56-59 \quad 59-62 62-65 \quad 65-68 \quad 68-71 \quad 71-74 \quad 74-77$

खेतों की संख्या $\quad 3 \quad 8 \quad 14 \quad 30 \quad 36 \quad 28 \quad 16 \quad 10 \quad 5 $

(उत्तर माध्य $=63.82 \mathrm{~kg}$. प्रति हेक्टेयर, माध्यिका $=63.67 \mathrm{~kg}$. प्रति हेक्टेयर, बहुलक $=63.29 \mathrm{~kg}$. प्रति हेक्टेयर)