आपने अध्याय 1 में पढ़ा है कि मानचित्र सभी प्रकार के नक्शों का एक अनिवार्य तत्व है। यह इतना महत्वपूर्ण है कि यदि रेखाओं और बहुभुजों के जाल में मानचित्र न हो, तो हम उसे “रफ़ चित्र” कहते हैं। मानचित्र इतना महत्वपूर्ण क्यों है? इसका क्या अर्थ है? नक्शे पर मानचित्र दिखाने के विभिन्न तरीके क्या हैं? दूरी और क्षेत्रफल मापने में मानचित्र कितना उपयोगी है? ये कुछ ऐसे प्रश्न हैं जिन पर इस अध्याय में विचार किया जाएगा।

शब्दावली

हर: भिन्न में रेखा के नीचे वाली संख्या। उदाहरण के लिए, 1:50,000 भिन्न में 50,000 हर है।
अंश: भिन्न में रेखा के ऊपर वाली संख्या। उदाहरण के लिए, 1:50,000 भिन्न में 1 अंश है।
प्रतिनिधि भिन्न: नक्शे या योजना के मानचित्र को भिन्न के रूप में व्यक्त करने की एक विधि जो नक्शे या योजना पर एक इकाई दूरी और जमीन पर उसी इकाई में मापी गई दूरी के बीच अनुपात दिखाती है।

मानचित्र क्या है?

आपने ऐसे नक्शे जरूर देखे होंगे जिनमें समान विभाजनों वाला मानचित्र पट्ट होता है, जिस पर प्रत्येक विभाजन किलोमीटर या मील में अंकित होता है। इन विभाजनों का उपयोग नक्शे पर भूमि की दूरी ज्ञात करने के लिए किया जाता है। दूसरे शब्दों में, नक्शे का मानचित्र नक्शे और उस पर दिखाए गए पृथ्वी की सतह के पूरे या किसी भाग के बीच संबंध प्रदान करता है। हम इस संबंध को नक्शे पर दो बिंदुओं के बीच की दूरी और जमीन पर उन्हीं दो बिंदुओं के बीच की संगत दूरी के अनुपात के रूप में भी व्यक्त कर सकते हैं।

इस संबंध को व्यक्त करने के कम से कम तीन तरीके हैं। ये हैं:

1. स्केल का कथन

2. प्रतिनिधि भिन्न (R. F.)

3. ग्राफ़िकल स्केल

स्केल के इन तरीकों में से प्रत्येक के कुछ लाभ और सीमाएँ हैं। लेकिन इन मुद्दों को उठाने से पहले, आइए समझें कि स्केल सामान्यतः मापन की एक या दूसरी प्रणाली में व्यक्त किया जाता है। आपने ज़मीन पर दो बिंदुओं के बीच की रेखीय दूरी मापने के लिए किलोमीटर, मीटर, सेंटीमीटर आदि को पढ़ा और/या उपयोग किया होगा। आपने मील, फरलांग, गज, फुट आदि के बारे में भी सुना होगा। ये दुनिया के विभिन्न देशों में प्रयुक्त दूरी मापने की दो भिन्न प्रणालियाँ हैं। जहाँ पहली प्रणाली को मीट्रिक प्रणाली कहा जाता है और वर्तमान में भारत तथा दुनिया के कई अन्य देशों में प्रयुक्त होती है, वहीं दूसरी प्रणाली को अंग्रेज़ी प्रणाली कहा जाता है और यह संयुक्त राज्य अमेरिका तथा संयुक्त राज्य अमेरिका दोनों में प्रचलित है। भारत ने भी 1957 से पहले रेखीय दूरी मापने/दिखाने के लिए इसी प्रणाली का प्रयोग किया था। इन प्रणालियों की मापन इकाइयाँ बॉक्स 2.1 में दी गई हैं।

स्केल के तरीके

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, मानचित्र का स्केल एक या एक से अधिक तरीकों के संयोजन का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है। आइए देखें कि ये तरीके कैसे प्रयुक्त होते हैं और इनके क्या लाभ और सीमाएँ हैं।

बॉक्स 2.1 मापन की प्रणालियाँ

मापन की मीट्रिक प्रणाली
$1 \mathrm{~km} \quad=1000$ मीटर
1 मीटर $=100$ सेंटीमीटर
1 सेंटीमीटर $=10$ मिलीमीटर
मापन की अंग्रेज़ी प्रणाली
1 मील $=8$ फरलॉन्ग
1 फरलॉन्ग $=220$ गज
1 गज $=3$ फुट
1 फुट $=12$ इंच

1. स्केल का कथन: किसी मानचित्र का स्केल लिखित कथन के रूप में दिया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि किसी मानचित्र पर लिखा हो कि $1 \mathrm{~cm}$ का अर्थ $10 \mathrm{~km}$ है, तो इसका अर्थ है कि उस मानचित्र पर $1 \mathrm{~cm}$ की दूरी ज़मीन पर $10 \mathrm{~km}$ को दर्शा रही है। इसे किसी अन्य मापन प्रणाली में भी व्यक्त किया जा सकता है, जैसे 1 इंच का अर्थ 10 मील है। यह तीनों विधियों में सबसे सरल है। हालाँकि, यह ध्यान रखना चाहिए कि एक प्रणाली से परिचित लोग दूसरी प्रणाली में दिए गए स्केल के कथन को समझ नहीं पाएँगे। इस विधि की एक अन्य सीमा यह है कि यदि मानचित्र को घटाया या बढ़ाया जाता है, तो स्केल व्यर्थ हो जाएगा और एक नया स्केल तैयार करना होगा।

2. ग्राफ़िकल या बार स्केल: दूसरे प्रकार की स्केल मानचित्र की दूरियों और संगत भूमि की दूरियों को एक रेखीय पट्टी पर प्राथमिक और द्वितीयक विभाजनों के साथ दिखाती है। इसे ग्राफ़िकल स्केल या बार स्केल कहा जाता है (चित्र 2.1)। यह ध्यान देने योग्य है कि चित्र 2.1 में बार स्केल पर दिखाई गई स्केल रीडिंग केवल किलोमीटर और मीटर में होती है। किसी अन्य बार स्केल में रीडिंग माइल और फर्लांग में दिखाई जा सकती है। इसलिए, स्केल के कथन विधि की तरह, यह विधि भी केवल उन लोगों के लिए सीमित उपयोग रखती है जो इसे समझ सकते हैं। हालांकि, स्केल के कथन विधि के विपरीत, ग्राफ़िकल स्केल तब भी वैध रहता है जब मानचित्र को घटाया या बढ़ाया जाता है। यह मानचित्र स्केल की ग्राफ़िकल विधि का अनोखा लाभ है।

चित्र 2.1

3. प्रतिनिधित्व अनुपात (R. F.): तीसरे प्रकार की स्केल R. F. है। यह मानचित्र की दूरी और संगत भूमि की दूरी के बीच लंबाई की इकाइयों में संबंध दिखाती है। स्केल को व्यक्त करने के लिए इकाइयों के प्रयोग से यह सबसे बहुमुखी विधि बन जाती है।

R. F. आमतौर पर भिन्न के रूप में दिखाया जाता है क्योंकि यह दर्शाता है कि वास्तविक दुनिया को मानचित्र पर फिट करने के लिए कितना घटाया गया है। उदाहरण के लिए, 1 : 24,000 का एक भिन्न दिखाता है कि मानचित्र पर लंबाई की एक इकाई जमीन पर उसी इकाई की 24,000 इकाइयों को दर्शाती है, अर्थात् एक $\mathrm{mm}$, एक $\mathrm{cm}$ या एक इंच मानचित्र पर क्रमशः $24,000 \mathrm{~mm}$, 24,000 $\mathrm{cm}$ और 24,000 इंच जमीन को दर्शाता है। यह, हालांकि, ध्यान दिया जा सकता है कि जबकि इकाइयों के भिन्न को मेट्रिक या अंग्रेजी प्रणाली में बदलते हैं, सामान्य रूप से सेंटीमीटर या इंच की इकाइयों का उपयोग परंपरा से किया जाता है। R. F. में इकाइयों के रूप में माप को व्यक्त करने की यह विशेषता इसे एक सार्वभौमिक रूप से स्वीकार्य और उपयोगी विधि बनाती है। आइए R. F. का $1:36,000$ लेते हैं ताकि R. F. की सार्वभौमिक प्रकृति को विस्तार से समझाया जा सके।

यदि दिया गया मापनी $1: 36,000$ है, तो मीट्रिक पद्धति से परिचित व्यक्ति दी गई इकाइयों को $\mathrm{cm}$ में बदलकर पढ़ेगा, अर्थात् मानचित्र पर 1 इकाई की दूरी को $1 \mathrm{~cm}$ और जमीन पर 36,000 इकाइयों की दूरी को $36,000 \mathrm{~cm}$ के रूप में। इन मानों को बाद में मापनी के कथन में बदला जा सकता है, अर्थात् $1 \mathrm{~cm}$ 360 मीटर को दर्शाता है। (हर में दिए गए मानों को 100 से भाग देकर, क्योंकि 1 मीटर में 100 सेंटीमीटर होते हैं।) फिर भी, मानचित्र का एक अन्य उपयोगकर्ता जो अंग्रेज़ी मापन पद्धति से परिचित है, वह मानचित्र की मापनी को अपने लिए सुविधाजनक मापनी के कथन में बदलकर समझेगा और मानचित्र की मापनी को 1 इंच 1,000 गज़ को दर्शाता है के रूप में पढ़ेगा। यह कथन 36,000 इकाइयों को 36 से भाग देकर प्राप्त किया जाएगा (क्योंकि 1 गज़ में 36 इंच होते हैं)।

मापनी का रूपांतरण

यदि आपने विभिन्न मापनी विधियों के लाभ और सीमाओं को ध्यान से पढ़ा है, तो आपके लिए मापनी के कथन को प्रतिनिधि भिन्न (R. F.) में और इसके विपरीत बदलना कठिन नहीं होगा।

मापनी के कथन को R. F. में

समस्या दिए गए मापनी के कथन 1 इंच 4 मील को दर्शाता है को R. F. में बदलें।

हल दिए गए मापनी के कथन को निम्नलिखित चरणों का उपयोग करके R. F. में बदला जा सकता है।

1 इंच 4 मील को दर्शाता है

या $\quad 1$ इंच $4 \times 63,360$ इंच को दर्शाता है (1 मील = 63,360 इंच)

या $\quad 1$ इंच 253,440 इंच को दर्शाता है

नोट : हम अब वर्ण “इंच” को “इकाई” से बदल सकते हैं और इसे इस प्रकार पढ़ सकते हैं :

1 इकाई 253,440 इकाइयों को दर्शाती है

उत्तर आर. एफ. $1: 253,440$

आर. एफ. को पैमाने के कथन में बदलना

समस्या आर. एफ. $1: 253,440$ को पैमाने के कथन में बदलें (मीट्रिक प्रणाली में)

हल दिए गए आर. एफ. $1: 253,440$ को निम्नलिखित चरणों का उपयोग करके पैमाने के कथन में बदला जा सकता है :

$1: 253,440$ का अर्थ है कि

नक्शे पर 1 इकाई भूमि पर 253,440 इकाइयों को दर्शाती है।

या $\quad 1 \mathrm{~cm}$ 253,440/100,000 $(1 \mathrm{~km}=100,000$ cm) को दर्शाता है

या $\quad 1 \mathrm{~cm}$ $2.5344 \mathrm{~km}$ को दर्शाता है

2 दशमलव तक पूर्णांकित करने पर, उत्तर होगा :

उत्तर $1 \mathrm{~cm}$ $2.53 \mathrm{~km}$ को दर्शाता है

ग्राफिकल/बार पैमाने का निर्माण

समस्या 1 $1: 50,000$ के पैमाने पर बने नक्शे के लिए एक ग्राफिकल पैमाना बनाएं और दूरी को किलोमीटर और मीटर में पढ़ें।

नोट: $\quad$ परंपरा के अनुसार, ग्राफिकल पैमाना बनाने के लिए लगभग $15 \mathrm{~cm}$ की लंबाई ली जाती है।

गणना ग्राफिकल पैमाने के लिए रेखा की लंबाई प्राप्त करने के लिए, इन चरणों का पालन किया जा सकता है:

$1: 50,000$ का अर्थ है कि

नक्शे की 1 इकाई भूमि पर 50,000 इकाइयों को दर्शाती है

या $\quad 1 \mathrm{~cm}$ $50,000 \mathrm{~cm}$ को दर्शाता है

या $\quad 15 \mathrm{~cm}$ $50,000 \times 15 / 100,000 \mathrm{~km}$ को दर्शाता है

या $\quad 15 \mathrm{~cm}$ $7.5 \mathrm{~km}$ को दर्शाता है

चूँकि $7.5(\mathrm{~km})$ का मान एक पूर्ण संख्या नहीं है, हम 5 या $10(\mathrm{~km})$ को पूर्ण संख्या चुन सकते हैं। वर्तमान स्थिति में हम 5 को पूर्ण संख्या चुनते हैं।

$5 \mathrm{~km}$ दिखाने वाली रेखा की लंबाई निर्धारित करने के लिए निम्नलिखित गणनाएँ की जानी हैं:

$\quad 7.5 \mathrm{~km}$ को $15 \mathrm{~cm}$ की रेखा द्वारा दर्शाया गया है

$\quad 5 \mathrm{~km}$ को $15 \times 5 / 7.5$ की रेखा द्वारा दर्शाया जाएगा

या $\quad 5 \mathrm{~km}$ को $10 \mathrm{~cm}$ की रेखा द्वारा दर्शाया जाएगा

निर्माण ग्राफिकल स्केल का निर्माण निम्नलिखित प्रकार से किया जा सकता है

$10 \mathrm{~cm}$ की एक सीधी रेखा खींचें और उसे 5 बराबर भागों में विभाजित करें और 0 चिह्न से दाईं ओर के 4 भागों में प्रत्येक के लिए $1 \mathrm{~km}$ का मान निर्धारित करें। साथ ही बाईं ओर के अंतिम भाग को 10 बराबर भागों में विभाजित करें और प्रत्येक भाग को 100 मीटर के मान से चिह्नित करें, 0 से प्रारंभ करते हुए। (आप इसे 2, 4 या 5 भागों में भी विभाजित कर सकते हैं और प्रत्येक उपभाग को क्रमशः 0 से 500, 250 या 200 मीटर का मान दे सकते हैं।)

आकृति 2.2

समस्या 2 एक ग्राफिकल स्केल का निर्माण करें जब दिया गया स्केल कथन 1 इंच = 1 मील है और दूरियों को मील और फर्लॉन्ग में पढ़ें।

नोट: $\quad$ परंपरा के अनुसार, ग्राफिकल स्केल खींचने के लिए लगभग 6 इंच की लंबाई ली जाती है।

गणना ग्राफिकल स्केल के लिए रेखा की लंबाई प्राप्त करने के लिए, इन चरणों का पालन किया जा सकता है:

1 इंच 1 मील को दर्शाता है

या 6 इंच 6 मील को दर्शाते हैं

निर्माण ग्राफिकल स्केल को निम्नलिखित चरणों में बनाया जा सकता है:

6 इंच की एक सीधी रेखा खींचें और उसे 6 बराबर भागों में विभाजित करें और दाईं ओर के 5 भागों में प्रत्येक के लिए 1 मील का मान निर्धारित करें। साथ ही बाईं ओर के अंतिम भाग को 4 बराबर भागों में विभाजित करें और प्रत्येक भाग को 2 मील के मान से चिह्नित करें, 0 से शुरू करते हुए।

चित्र 2.3

समस्या 3 एक ग्राफिकल स्केल का निर्माण करें जब दिया गया R. F. 1 : 50,000 है और दूरियों को मील और फर्लांग में पढ़ें।

गणना ग्राफिकल स्केल के लिए रेखा की लंबाई प्राप्त करने के लिए, इन चरणों का पालन किया जा सकता है:

$1: 50,000$ का अर्थ है कि

1 इकाई 50,000 इकाइयों को दर्शाती है

या 1 इंच 50,000 इंच को दर्शाता है।

या 6 " $50,000 \times 6 / 63,360$ मील को दर्शाता है

$=6$ ’ 4.73 मील को दर्शाता है

चूंकि 4.73 (मील) एक गोल संख्या नहीं है, हम 5 को गोल संख्या के रूप में लेते हैं।

$5 \mathrm{~km}$ दिखाने के लिए रेखा की लंबाई निर्धारित करने के लिए, निम्नलिखित गणनाएं की जानी चाहिए:

4.73 मील को 6 इंच की रेखा द्वारा दर्शाया गया है

5 मील को $6 \times 5 / 4.73$ इंच की रेखा द्वारा दर्शाया जाएगा

$=5$ मील को 6.34 इंच की रेखा द्वारा दर्शाया जाएगा

निर्माण ग्राफिकल स्केल को निम्नलिखित चरणों में बनाया जा सकता है:

5 मील दिखाने के लिए एक ग्राफिकल स्केल बनाने के लिए हमें 6.34 इंच की एक रेखा खींचनी होगी और उसे 5 बराबर भागों में बांटना होगा। सवाल यह है कि 6.3 इंच की एक असमान रेखा को 5 बराबर भागों में कैसे बांटा जाए। ऐसा करने के लिए हम निम्नलिखित प्रक्रिया का उपयोग कर सकते हैं:

• 6.3 इंच की एक सीधी रेखा खींचें।

• रेखा के प्रारंभिक और अंतिम बिंदुओं से $40^{\circ}$ या $45^{\circ}$ के कोण पर रेखाएं खींचें और उन्हें 1 या 1.5 इंच के 5 बराबर भागों में बांटें।

• दोनों रेखाओं पर चिह्नित विभाजनों को जोड़ते हुए बिंदीदार रेखाएं खींचें।

• इन रेखाओं के प्राथमिक स्केल पर प्रतिच्छेदन बिंदुओं को चिह्नित करें।

ऐसा करने से, आप 6.3 इंच की असमान रेखा को 5 बराबर भागों में बांट देंगे। आप उसी तरह प्राथमिक स्केल के सबसे बाएं भाग को 4 या 8 भागों में बांट सकते हैं ताकि यह दिखाया जा सके कि 1 मील के बराबर कितने फर्लांग हैं।

आकृति 2.4 ग्राफिकल स्केल में बराबर विभाजन का चित्रण

अभ्यास

1. नीचे दिए गए चार विकल्पों में से सही उत्तर चुनें:

(i) निम्नलिखित स्केल की विधियों में से कौन-सी एक सार्वभौमिक विधि है?
(a) सरल कथन
(b) प्रतिनिधि भिन्न
(c) ग्राफिकल स्केल
(d) उपरोक्त में से कोई नहीं

(ii) मानचित्र की दूरी को स्केल में इस रूप में भी जाना जाता है:
(a) अंश (Numerator)
(b) हर (Denominator)
(c) स्केल का कथन (Statement of Scale)
(d) प्रतिनिधित्व अनुपात (Representative Fraction)

(iii) स्केल में ‘अंश’ (Numerator) दर्शाता है:
(a) भूमि की दूरी
(b) मानचित्र की दूरी
(c) दोनों दूरियाँ
(d) उपरोक्त में से कोई नहीं

2. निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर लगभग 30 शब्दों में दीजिए:

(i) माप की दो भिन्न प्रणालियाँ कौन-सी हैं?
(ii) मीट्रिक और अंग्रेज़ी प्रणाली में स्केल के कथन का एक-एक उदाहरण दीजिए।
(iii) प्रतिनिधित्व अनुपात विधि को सार्वभौमिक विधि क्यों कहा जाता है?
(iv) आलेखीय विधि के प्रमुख लाभ क्या हैं?

3. दिए गए स्केल के कथन को प्रतिनिधित्व अनुपात (R. F.) में बदलिए।

(i) $5 \mathrm{~cm}$ दर्शाता है $10 \mathrm{~km}$
(ii) 2 इंच दर्शाते हैं 4 मील
(iii) 1 इंच दर्शाता है 1 गज़
(iv) $1 \mathrm{~cm}$ दर्शाता है 100 मीटर

4. दिए गए प्रतिनिधित्व अनुपात (R. F.) को कोष्ठक में दिखाई गई मापन प्रणाली में स्केल के कथन में बदलिए:

(i) $1: 100,000$ (किलोमीटर में)
(ii) $1: 31680$ (फ़रलॉन्ग में)
(iii) $1: 126,720$ (मील में)
(iv) $1: 50,000$ (मीटर में)

5. एक आलेखीय स्केल बनाइए जब दिया गया R. F. $1: 50,000$ हो और दूरियों को किलोमीटर और मीटर में पढ़िए।